Chapitre 3 : Ondes sonores

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1 Chapitre 3 : Ondes sonores De toutes les ondes mécaniques longitudinales se propageant dans l'air ou dans un autre milieu matériel, les ondes sonores sont les plus banales. Si leur fréquence est comprise entre 20 Hz et 20 khz, ces ondes sont perceptibles par l'oreille humaine et, selon les cas, sont décrites comme un bruit ou comme un son musical. Les sons dont les fréquences sortent du domaine audible sont qualifiées d'infrasons si leur fréquence est basse, d'ultrasons si leur fréquence est élevée. L'énergie portée par les ondes sonores est également un paramètre important et le niveau d'intensité qui lui est associé se mesure en décibels. L'excitation d'une corde ou d'une colonne d'air est la manière la plus simple de produire une onde sonore et présente de plus l'avantage d'être calculable. 3.1 Description des ondes sonores La vitesse de propagation des ondes sonores est fonction de la rigidité et de la densité du milieu. Dans l'air, elles se déplacent à la vitesse v air = 20 T, soit à 342 m/s si la température de l'air est de 20 C. Contrairement à ce qui se passe pour la lumière se propageant dans un milieu transparent, la vitesse du son dans l'air est indépendante de la fréquence de l'onde : le son n'est pas dispersé et se propage donc sans se déformer. A titre de comparaison, voici la vitesse de propagation du son dans quelques milieux : Milieu Air (20 C) Eau Sapin Cuivre Acier Vitesse (m/s) Un bruit est une onde qui ne présente aucune structure régulière. Sur le plan perceptif un bruit n'a pas une hauteur bien définie : on ne saurait "chanter" un bruit! Par contre, un son musical est caractérisé par une structure régulière (périodique) et présente une hauteur bien définie : une onde sonore audible de basse fréquence est perçue comme un son grave, une onde de fréquence plus élevée comme un son plus aigu. On peut montrer de plus que tout son musical est constitué d'une onde harmonique ou d'une superposition d'ondes harmoniques. Le son musical le plus simple est un son sinusoïdal de fréquence f produit par un diapason. Pour une valeur donnée du temps t, on observe dans l'air une alternance de zones en surpression ou en sous-pression par rapport à la pression atmosphérique moyenne. L'amplitude de la perturbation se mesure en pascals [Pa]. Une autre manière de décrire le même phénomène est de remarquer que l'onde est constituée d'une succession de zones où le déplacement des molécules d'air est alternativement maximum ou nul. L'amplitude de la perturbation se mesure alors en mètres. On notera qu'aux endroits où la pression est maximale, le déplacement des molécules est nul et viceversa : les deux descriptions sont déphasées de π/2 l'une par rapport à l'autre. Haut-parleur générant une onde dans l'air, montrant les zones où la pression (le déplacement) est extremum

2 Les expressions mathématiques pour ces deux descriptions sont les suivantes : Onde de pression (courbe en trait plein) : Onde de déplacement (courbe en trait-tillé) : p(x,t) = Δp sin(kx ± ωt) s(x,t) = A cos(kx ± ωt). Le signe + décrit une onde se rapprochant de la source, le signe une onde qui s'en éloigne. L'amplitude de déplacement A et l'amplitude de surpression Δp sont proportionnelles et leur relation est donnée par : Δp = ρωva, où ρ est la masse volumique du milieu, ω la fréquence circulaire de l'onde et v sa vitesse de propagation. Exemple : Une onde de 500 Hz se propageant à 342 m/s dans l'air et dont l'amplitude est de 0,01 mm (onde produite par la vibration de la membrane d'un haut-parleur) donne lieu à des maxima de pression de Δp =1,2 2π , =13 Pa. Ce résultat est à comparer à la pression atmosphérique qui est de l'ordre de 100 kpa. Le son se comporte comme toutes les ondes : en passant d'un milieu à un autre il est en général réfracté et à la surface de séparation de deux milieux il peut être partiellement réfléchi ou absorbé. La réflexion sur une surface n'a lieu que si celle-ci est suffisamment grande. Si ce n'est pas le cas, le son contourne l'obstacle : c'est la diffraction. Grâce à ce dernier phénomène, un spectateur placé derrière un pilier peut entendre un musicien qui joue sur scène même s'il ne le ne voit pas! 3.2 Intensité sonore et décibels Une onde sonore produite par une source ponctuelle de puissance moyenne P se propage comme une onde sphérique. Il a été vu plus haut que son intensité diminuait selon I = P S = P 4πr 2 [W/m 2 ] où r est la distance à la source. On peut montrer qu'en un point donné, l'intensité de l'onde sonore dépend de son amplitude de déplacement A, de sa fréquence f (ou ω = 2π f), de sa vitesse v de propagation et de la masse volumique ρ du milieu : I = 1 2 ρ v A2 ω 2 ou, si on exprime l'intensité en fonction de la surpression, I = (Δp)2 2ρv Le détecteur de son le plus répandu est... l'oreille. Son domaine de sensibilité est considérable puisque le seuil d'audibilité correspond à une intensité de W/m 2 alors que le seuil de douleur est atteint pour une intensité de 1 W/m 2. L'oreille fonctionne ainsi sur 12 ordres de grandeur : imaginons une règle unique qui permettrait de mesurer non seulement le mm, mais aussi le million de km (10 12 mm = 10 6 km)! Exemple 1 : Une onde de 500 Hz, se propageant à 344 m/s dans l'air et dont l'amplitude est de 0,01 mm donne lieu à une intensité de I = 1 2 ρva2 ω 2 = 1 2 1,2 342 (0, ) 2 (2π500) 2 = 0,20 W m 2. Exemple 2 : Au seuil d'audition, l'amplitude de déplacement dans l'air est donnée par la relation I = 1 2 ρva2 ω 2, soit = 1 2 ρva2 ω 2 = 1 2 1,2 342 A2 (2π500) 2 d'où l'on tire A = 0, m. C'est moins que le diamètre d'un atome! Pour traiter une gamme aussi vaste d'ordres de grandeur, l'échelle logarithmique est la plus appropriée. C'est aussi celle qui tient le mieux compte du comportement physiologique de

3 l'oreille. En effet, la variation de sensation sonore, ΔS, est proportionnelle à la variation relative de l'intensité physique ΔI/I (analogie : ajouter 30 g à une charge de 300 g produit davantage d'effet que d'ajouter 30 g à une charge de 3 tonnes!). La relation entre la sensation S et l'intensité physique I est donc de type logarithmique. On définit le niveau d'intensité sonore comme : L I =10 log( I ) décibel [db] I 0 où I est l'intensité physique et I 0 =10 12 W/m 2 l'intensité de référence (seuil d'audibilité). Lorsque I = I 0, L = 0 et lorsque I = 1 W/m 2, L I = 120 db. Si le niveau d'intensité sonore est connu et donné en db, on peut en déduire l'intensité physique en inversant la relation ci-dessus : I = I 0 10 L I /10 [W/m 2 ] Exemple 1 : Une intensité de 6, W/m 2 correspond à un niveau sonore de L I =10log(6, /10 12 ) = 98 db. Exemple 2 : Le bruit d'une machine est de 60 db. Le bruit de 2 de ces mêmes machines est alors de L I =10log(2I /I 0 ) =10log(2) +10log(I /I 0 ) = 3 db + 60 db = 63 db. Pour 4 machines on obtiendrait 66 db ; pour 10 machines 70 db. Exemple 3 : Un niveau d'intensité 95 db correspond à une intensité de I = /10 = 3, W/m 2. Ordre de grandeur pour quelques niveaux sonores : Source sonore Tic-tac d'une montre Salle de séjour Conversation normale à 1 m Aspirateur Gros camion Hurlement à 1m Site de construction Niveau sonore L I 30 db 40 db 60 db 80 db 90 db 100 db 110 db (intolérable) 3.3 Production d'une onde acoustique Un son musical est habituellement créé par un instrument à cordes, par un instrument à vent ou par la voix : on pince, frotte ou frappe une corde ou bien on excite la colonne d'air délimitée par un tube. Dans ce qui suit, on établira les fréquences (donc les notes de musique) que l'on peut produire avec une corde ou avec un tuyau donné. Résonances dans une corde aux extrémités fixes Les fréquences de résonance d'une corde sont le résultat des interférences conduisant à l'établissement d'une onde stationnaire le long de la corde. En des points régulièrement espacés, la corde reste immobile (noeud), en d'autres points la corde oscille de part et d'autre de sa position d'équilibre (ventre). Cette situation se produit lorsque la corde, fixée à ses deux extrémités, est excitée avec une fréquence correspondant à une longueur d'onde qui est un sous

4 multiple entier de deux longueurs de corde. La corde étant fixée à ses deux extrémités, la perturbation doit être nulle en ces endroits (noeuds). λ 1 = 2L = 2L 1 λ 2 = 2L 2 λ 3 = 2L 3 λ n = 2L n Les longueurs d'onde possibles sont ainsi données par : λ n = 2L n. La relation donnant la vitesse de propagation de la perturbation dans la corde, v corde = λ n f n, permet de déduire que les ondes stationnaires se produisent lorsque f n = v corde = n λ n 2L v corde. La fréquence f 1 = 1 2L v corde est appelée fréquence fondamentale. Les fréquences f n multiples entiers de f 1 sont les harmoniques de la fréquence fondamentale. En résumé, la note produite par la corde est donnée par la fréquence fondamentale (également appelée harmonique n 1) : f 1 = 1 2L v = 1 F corde 2L µ A celle-ci se superposent les harmoniques f n = n f 1.. On déduit de l'expression de f 1 les constatations suivantes que chacun peut vérifier en écoutant un instrument à cordes : Si la corde est longue (L grand), la fréquence est petite et donc le son grave. Une corde de grand diamètre produit un son plus grave qu'une corde mince. En augmentant la tension de la corde, le son qu'elle produit devient plus aigu : c'est en variant finement la tension des cordes que les violonistes accordent leur instrument. Exemple : Une corde de piano en acier est tendue avec une force de 800 N. Sa longueur est de 1,2 m et son diamètre de 0,9 mm. La masse linéique se calcule par µ = ρπr 2 = 7850π(0, ) 2 = 4,99 g/m. La fréquence fondamentale (ou harmonique 1) vaut f 1 = (0,5 /L) F /µ = (0,5/1,2) 800/4, =167 Hz. Les harmoniques sont des multiples entiers de f 1. Ainsi f 2 = 334 Hz ; f 3 = 500 Hz ; f 4 = 667 Hz, etc. Résonances dans une colonne d'air : Dans le cas d'un instrument à vent constitué d'un tuyau cylindrique de longueur L ouvert aux deux extrémités (flûte traversière, certains tuyaux d'orgue), les conditions pour la formation d'une onde stationnaire sont les mêmes que pour une corde : aux deux extrémités du tuyau ouvert la surpression de l'onde doit être nulle (noeuds)

5 Le même développement que ci-dessus conduit aux relations suivantes : Fréquence fondamentale : f 1 = 1 2L v où air v air est la propagation de la perturbation dans l'air. Fréquences des harmoniques : f n = n f 1. Contrairement à la corde qui est toujours fixée aux deux extrémités, un tuyau cylindrique, au lieu d'être ouvert aux deux extrémités, peut être fermé à une des extrémités et ouvert à l'autre. C'est le cas pour la flûte de Pan, la clarinette et certains tuyaux d'orgue. Les ondes stationnaires sont alors déterminées en imposant un noeud (surpression nulle) à l'extrémité ouverte et un ventre à l'extrémité fermée : Les résonances ont lieu lorsque la longueur L est égale à un multiple entier impair d'un quart de longueur d'onde : L = (2n 1) λ 2 n 1 4 λ 2 n 1 = 4L ce qui donne pour les fréquences de résonance : 2n 1 La fréquence fondamentale vaut f 3 = 3 f 1, f 5 = 5 f 1, f 7 = 7 f On obtient ainsi pour les longueurs d'onde possibles : f 1 = 1 4L v air f 2 n 1 = 2n 1 4L v air. et ses harmoniques correspondent à la suite On constate en particulier qu'un tuyau de longueur L, fermé à une extrémité, sonne à l'octave inférieure d'un tuyau de même longueur ouvert aux deux extrémités. Exemple 1 : La note la plus grave produite par une flûte longue de 60 cm correspond à une vibration de fréquence f 1 = v air /2L = 342 /(2 0,6) = 285 Hz. Les harmoniques valent 570 Hz, 855 Hz etc. Exemple 2 : La note la plus grave produite par l'orgue a une fréquence de 20 Hz. La longueur d'un tuyau ouvert-ouvert produisant cette note devrait valoir L = v air = 342 = 8,6 m. Un tuyau 2 f ouvert-fermé produisant la même note aurait une longueur L' = 4,3 m

6 Chapitre 3 : Ondes sonores Résonances dans les plaques et les membranes Trouver les fréquences de résonance d'une plaque ou d'une membrane est une tâche ardue. Dans une telle situation, les fréquences des harmoniques ne sont pas des multiples entiers de la fréquence fondamentale et selon la complexité de sa forme, une plaque peut même présenter un continuum de fréquences de résonance. C'est le cas pour la table d'un violon ou la table d'harmonie d'un piano. Ces tables sont utilisées pour amplifier les sons produits par une corde. En effet, en vibrant, une table d'harmonie déplace davantage d'air qu'une simple corde et en couplant cette dernière à la table grâce à un chevalet, le son émis par l'instrument est donc plus intense. Les plaques et les membranes ne présentent pas de noeuds de vibration, mais plutôt des lignes ou des cercles nodaux le long desquels la surface est immobile. Ceci peut être mis en évidence en saupoudrant la surface vibrante de sable fin et en l'excitant à ses fréquences de résonance : le sable se rassemble alors aux endroits où la surface est immobile, dessinant la série de figures reproduites ci-dessous (figures de Chladni). Les fréquences de résonance correspondant aux figures sont indiquées et mettent en évidence le fait que dans un tel cas les fréquences des "harmoniques" ne sont pas des multiples entiers de la fréquence fondamentale. 252 Hz 264 Hz 735 Hz 1313 Hz 1904 Hz 3080 Hz 3690 Hz 4040Hz Figures de Chladni pour une plaque carrée excitée en son centre En résumé, le son produit par un instrument de musique est composé d'une fréquence fondamentale accompagnée de ses harmoniques qui apparaissent chacune avec une amplitude bien déterminée selon le type de corde (ou le type de tuyau ou le type de membrane) utilisée et de la manière dont on l'excite. La hauteur de la note est donnée par la fréquence de la résonance fondamentale, alors que la distribution des harmoniques détermine le timbre des instruments (voir chapitre suivant)

7 3.4 Ultrasons Pour qu'une onde soit réfléchie par un obstacle et ne le contourne pas (pas de diffraction), il faut que sa longueur d'onde soit plus petite que les dimensions de l'obstacle. Rappelons que les longueurs d'onde pour le domaine audible vont de 11 m pour les sons graves à 0,1 m pour les sons aigus : les obstacles dont la dimension est inférieure à 10 cm ne réfléchissent donc pas de telles ondes sonores. C'est la raison pour laquelle les chauve-souris qui détectent leurs petites proies par écholocation émettent des ultrasons. Ce sont également des ultrasons qui sont utilisés en médecine pour l'investigation des organes internes : en passant d'un milieu à un autre dans lesquels les vitesses de propagation diffèrent, les ultrasons sont partiellement réfléchis, l'intensité réfléchie étant fonction de la matière rencontrée. En enregistrant les coordonnées spatiales où les réflexions ont lieu ainsi que l'intensité de ces dernières, on peut reconstruire géométriquement la forme des organes internes : Cliché d'un foetus de 18 semaines obtenu avec un appareil à ultrasons 3. 5 Effet Doppler et bang supersonique Lorsqu une ambulance s approche ou s éloigne, on constate que la hauteur du son de la sirène change, devenant plus aigu lorsque le véhicule s approche, plus grave lorsqu il s éloigne. C'est ce que l'on nomme l'effet Doppler. Il se manifeste dès que la source d une onde et son détecteur sont en mouvement relatif. La fréquence perçue f' n'est alors pas la même que la fréquence vraie f qui serait perçue si source et détecteur étaient immobiles. Calcul du rapport des fréquences perçue f' et vraie f pour différentes situations : (a) Source immobile, observateur en mouvement (Fig. 1) : l observateur s approchant de la source à la vitesse v 0 traverse davantage de crêtes par unité de temps que s il était immobile. En un temps t il parcourt la distance v 0 t et voit donc v 0 t/λ crêtes supplémentaires. Cela correspond à une augmentation de fréquence de v 0 /λ. La fréquence perçue est donnée par : f '= f + Δf = f + v 0 λ = f + v 0 f = f (1+ v 0 f ' ), d'où = v ± v 0. v v f v On utilise le signe positif si l observateur s approche de la source, négatif dans le cas contraire. (b) Observateur immobile, source en mouvement (Fig. 2) : si la source se déplace à la vitesse v s l observateur A (B) voit une longueur d onde plus petite (grande) que si la source était immobile. Durant une période T, la source parcourt la distance v s T et la longueur d onde observée par A est f ' v raccourcie (rallongée) d autant. On peut montrer que l'on obtient =. f v m v s (signe négatif si la source s approche de l'observateur, positif dans le cas contraire)

8 On en déduit que dans le cas général où observateur et (ou) source sont en mouvement l un par rapport à l autre, le rapport des fréquences vaut : Numérateur : signe positif si l observateur s approche de la source Dénominateur : signe négatif si la source s approche de l'observateur. f ' f = v ± v 0 v m v s Fig.1 Fig. 2 Exemple 1 : Une ambulance est à l'arrêt, sirène de fréquence 800 Hz enclenchée. Un observateur s'en approche à 120 km/h et perçoit une fréquence f' calculée en utilisant f ' = v + v /3,6 = =1,097 d'où f' = 878 Hz. f v 342 Exemple 2 : L'ambulance décrite ci-dessus s'approche d'un observateur à la vitesse de 120 km/h. f ' v 342 La fréquence perçue par l'observateur immobile est calculée par = = f v - v /3,6 =1,108 d'où f' = 886 Hz. On notera que ce résultat est différent du précédent. Lorsque la vitesse de la source est supérieure à la vitesse de l'onde dans le milieu (Fig. 3), il y a formation d'un front d'onde de choc, cône de demi-angle au sommet θ avec sinθ = v/v s. Dans le cas d'un avion volant à vitesse supersonique ce cône, appelé cône de Mach, est à l'origine de la déflagration caractéristique perçue au niveau du sol. Le sillage laissé par un canard nageant à la surface de l'eau procède du même phénomène, mais dans ce cas l'ouverture du cône est indépendante de la vitesse de la source et vaut toujours 39! Fig

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10 Exercices Sauf indication contraire, la température ambiante est de 20 C dans les exercices suivants. 1. Un sonar détecte une épave sous-marine. Il s'écoule 1,8 s entre le moment où l'onde est émise par le sonar et le moment où elle revient après réflexion sur l'épave. A quelle distance se trouve l'épave? 2. Le niveau d'intensité sonore d'un aspirateur est de 70 db. Quelle est l'intensité de ce son? 3. Une source d'ondes sonores émet avec une puissance de 80 W. (a) Quelle est l'intensité perçue à 3 m de la source? (b) A quelle distance de cette source le niveau sonore vaut-il 40 db? 4. A une certaine distance d'un haut-parleur vibrant à 1000 Hz, l'intensité d'une onde est de 0,06 W/m 2. (a) Que vaut cette intensité si on passe à une fréquence de 2500 Hz mais en gardant la même amplitude de déplacement? (b) Calculer l'intensité si on réduit la fréquence à 500 Hz tout en doublant l'amplitude de déplacement. 5. Quelle est l'amplitude de déplacement des molécules d'air lorsqu'un son de 1 khz produit un niveau sonore de 80 db? Quelle est alors l'amplitude de surpression? 6. A 3 m d'une source, le niveau sonore atteint 120 db. A quelle distance ce niveau sera-t-il de 100 db? De 50 db? De 10 db? 7. Quel est le niveau sonore de 3 cymbales jouant simultanément, si chacune d'entre elles produit 78 db? 8. Un haut-parleur de puissance électrique 150 W et de rendement acoustique 2%, est placé à 20 m des auditeurs. Quel est le niveau d'intensité sonore qu'ils perçoivent? A quelle distance les auditeurs devraient-ils se trouver pour que le niveau soit de 60 db? 9. Le niveau sonore produit par une foule en conversation est de 87 db. Le niveau sonore moyen de la conversation d'une personne est d'environ 65 db. Combien y a-t-il de personnes dans cette foule? Si 40 personnes s'en vont, que vaut alors le niveau sonore? 10. On tend une corde en plastique longue de 1,4 m en lui accrochant une masse de 150 g. La masse de la corde est de 3,8 g. Calculer les trois premières fréquences de résonance

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12 11. La corde de Mi du violon est en acier de diamètre 0,25 mm, de longueur 32,5 cm et elle est tendue avec une force de 70 N. Calculer la fréquence fondamentale de cette corde ainsi que les deux harmoniques suivantes. 12. La corde produisant le La le plus aigu du piano (3520 Hz) est, dans certains modèles de piano, longue de 6,1 cm. Son diamètre valant 0,8 mm, calculer la tension à laquelle la corde est soumise. 13. Un tuyau ouvert-fermé est long de 12 cm. Calculer les trois premiers modes de résonance. 14. Une corde de harpe produit une fréquence fondamentale de 580 Hz. Quelle serait cette fréquence si (a) on doublait la longueur de la corde, (b) on triplait le diamètre de la corde, (c) on doublait la tension et la longueur de la corde, (d) on prenait une corde de masse volumique deux fois plus petite? 15. Quelle longueur de tuyau ouvert aux deux extrémités produit, comme note fondamentale, un La (440 Hz) à 20 C? Même question pour un tuyau ouvert-fermé. 16. Quelles sont les fréquences des trois premières harmoniques pour chacune des situations décrites dans l'exercice précédent? 17. Expliquer comment on pourrait mesurer la fréquence d'un diapason en l'approchant d'un tube ouvert aux deux extrémités que l'on a plongé dans l'eau de manière à limiter la longueur L de la colonne d'air. 18. Une voiture de police poursuit un chauffard lancé à 30 m/s. La voiture de police se déplace à 50 m/s et sa sirène émet un son à la fréquence de 1100 Hz. Quelle est la fréquence perçue par le chauffard? 19. Une chauve-souris vole à 6 m/s en direction d'un insecte immobile et le détecte en émettant des ultrasons de fréquence 40,2 khz. (a) Quelle est la fréquence du signal (réfléchi par l'insecte) que la chauve-souris reçoit? (b) Quelle est la différence de fréquence entre le signal émis et le signal reçu? (c) Quelle est la taille minimale de l'insecte que la chauvesouris peut percevoir? f' -f 20. Principe du radar : montrer que la vitesse v d'une voiture est donnée par v c où f est 2 f la fréquence émise par le radar et f' la fréquence qu'il détecte après réflexion par la voiture. Les ondes radar utilisées sont des ondes électromagnétiques dont la vitesse est très supérieure à celle de la voiture

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