Introduction à l analyse microéconomique Devoir Maison n o 1

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1 Introduction à l analyse microéconomique Devoir Maison n o 1 10 novembre 2014 Marianne Tenand Monitorat ENS ( ) A rendre au plus tard dans mon casier du bâtiment B le mercredi 12 novembre à 12h Barème indicatif 1

2 Exercice 1 : PMU, PMD et dualité [3,5 points] Soit un consommateur disposant d un revenu m et consommants deux biens, x et y, dont les prix sont p x = 5 et p y = 3. Les préférences du consommateur sont représentées par la fonction d utilité suivante : U(x, y) = (x + 2)(x + 3y) On suppose que x et y ne peuvent être consommés qu en quantité positive ou nulle. 1. Etudiez mathématiquement la forme des courbes d indifférence de notre consommateur : (a) Les courbes d indifférence sont-elles croissantes ou décroissantes dans le plan (x, y)? Que pouvez-vous en déduire sur le signe du T MS x,y (sans le calculer)? (b) Les préférences sont-elles convexes? (c) Que se passe t il quand x = 0? Et quand y = 0? Qu en déduisez-vous pour la résolution du PMU? Indication : pour représentez les courbes d indifférences dans le plan (x, y), c est la fonction f telle que : y = f(x) U(x,y)=k (avec k > 0 un certain niveau d utilité) qu il vous faut déterminer. C est cette fonction dont il convient d étudier les propriétés pour répondre aux questions précédentes. 2. Ecrire et résoudre le programme de maximisation de l utilité (PMU) du consommateur de manière rigoureuse. Pour cela : (a) Ecrire le problème de maximisation en faisant apparaître les contraintes ; en déduire le Lagrangien associé. Vérifiez que votre nombre de contraintes est bien égal au nombre de multiplicateurs de Lagrange. (b) Ecrire les conditions de Kuhn et Tucker (ou conditions de premier ordre) dans le cas général. (c) Distinguer les trois cas de figure possibles, selon qu il y a ou non des solutions en coin, et pour chacun de ces cas, résoudre le PMU. (d) A partir des conditions de premier ordre, discuter de la valeur des demandes marshalliennes x = x(m) et y = y(m) en fonction de la valeur du revenu m Au sens strict, la fonction de demande marshallienne dépend également du vecteur de prix (p x, p y). Mais 2

3 3. Si on vous avait donné directement la fonction d utilité indirecte associée au PMU, v(p, m), comment auriez-vous pu trouver directement la fonction de demande marshallienne? 4. Le Programme de minimisation de la dépense (PMD) et la dualité (a) En supposant que le revenu m est tel que le programme admettra une solution intérieure, écrire le programme de minimisation de la dépense (PMD), avec U(x, y) u. Pour cela, écrivez proprement le programme lui-même, puis le Lagrangien associé, et enfin les conditions de Kuhn et Tucker. En déduire les fonctions de demande hicksienne h x (u) et h y (u) 2. (b) A partir de la demande marshallienne et de la demande hicksienne, énoncer et vérifier la dualité du PMU et du PMD. Exercice 2 : L arbitrage travail-loisir et l offre de travail [6,5 points] On considère un individu dont la fonction d utilité U a pour arguments un bien de consommation agrégé, c, et du loisir, l, telle que U = U(c, l). On suppose que cette fonction est : 1. Strictement quasi-concave ; 2. U c(c, l) = U(c,l) c > 0 et U l U(c,l) (c, l) = l > 0 ; 3. lim l 0 T MS c,l = + et lim c 0 T MS c,l = 0 (en définissant T MS c,l = U l (c,l) U c(c,l) ). On suppose également que l individu touche un revenu R > 0 indépendamment de tout travail (il peut s agir de revenus du capital, d une bourse, d un transfert parents-étudiant, etc.). On suppose qu il peut allouer une durée maximale quotidienne T de son temps au travail et au loisir, et qu il touche un salaire horaire w s il décide de travailler. On note p le prix du bien de consommation. On note m le revenu total de l individu (soit la somme de son revenu exogène R et de son éventuel revenu du travail). Évidemment, m dépend de w (m = m(w)). comme nous avons fixé ces prix dès l énoncé, nous pouvons écrire la demande marshallienne comme une simple fonction du niveau de revenu. 2. Au sens strict, la fonction de demande hicksienne dépend également du vecteur de prix (p x, p y). Mais comme nous avons fixé ces prix dès l énoncé, nous pouvons écrire la demande hicksienne comme une simple fonction du niveau d utilité cible. 3

4 Enfin, on fait l hypothèse que l agent alloue son temps disponible, T, entre le travail et le loisir de manière à maximiser son utilité. 1. Que signifient les trois hypothèses faites sur la fonction d utilité? Qu impliquent t elles pour le PMU? 2. La contrainte budgétaire (a) En notant h le nombre d heures travaillées, écrire et interpréter la contrainte budgétaire de cet individu en fonction de p, c, w, l, R et T. Indice : en plus des contraintes de non-négativité classiques, la contrainte se décline en deux inéquations. (b) Quel est le prix du loisir dans ce modèle? (c) Représentez graphiquement la contrainte budgétaire dans le plan (l, c). Que remarquezvous au point l = T? 3. Le Programme de Maximisation de l Utilité (PMU) (a) Ecrire le programme de maximisation de l agent qui permet de déterminer les niveaux optimaux de consommation c et de loisir l. Posez proprement les conditions de Kuhn et Tucker. (b) A quelle condition sur le T MS c,l le PMU admet-il une solution en coin telle que l = T? (c) Représentez graphiquement dans le plan (l, c) les deux types de solution possibles. (d) Comment déduit-on le nombre optimal d heures travaillées h? (e) Dans le cas général, comment procéderiez-vous pour déterminer qui de (T, c coin ) et de (c int, l int ) est bien solution au PMU? 4. Caractérisez le salaire de réserve de l individu, w, qui se définit comme la valeur du salaire en-deçà de laquelle l individu préfère ne pas travailler. 5. L effet des variations de salaire horaire (a) On suppose que les conditions d existence d une condition intérieure sont réunies. On note x l (p, w, m(w)) la demande marshallienne de loisir et h l (p, w, u) la demande hicksienne de loisir de l individu. On suppose que le loisir est un bien normal. En utilisant la question précédente, montrer que l effet du salaire horaire sur la demande (marshallienne) de loisir s écrit (en notant u = v(p, w, m(w))) : 4

5 x l (p, w, m(w)) = h l(p, w, u) + [T x l (p, w, m)] x l(p, w, m) w w m (b) h = x h (p, w, m(x)) correspond à l offre de travail de l individu. Utiliser l équation de Slutsky de la question précédente pour déterminer l effet d une variation du salaire horaire sur l offre de travail. Accompagnez votre réponse d une représentation graphique qui met en évidence les différents effets en jeu. 6. Dans quelle mesure ce modèle permet-il d expliquer que l augmentation des salaires au cours du XXème siècle se soit accompagnée simultanément de : (a) une diminution du nombre d heures travaillées par les hommes? (b) une augmentation de la participation des femmes au marché du travail? Exercice 3 : Variation compensatrice et variation équivalente [5 points] On s intéresse au bien-être d un consommateur de revenu m et dont l utilité dépend de k biens (x 1, x 2,.., x k ) (dont les prix sont notés p = (p 1, p 2,.., p k )). On suppose que les préférences du consommateur sont monotones. Le maire de la résidence dans laquelle réside le consommateur envisage de réaliser un projet dont la conséquence serait de faire passer le vecteur de prix de p à p et le revenu de l agent de m à m. Il peut s agir de la création d un pôle de compétitivité qui aurait pour effet d augmenter le salaire de l individu mais aussi d augmenter la demande et donc les prix dans la commune. Une mesure simple de la variation de bien-être (notée BE) induite par le projet est la variation de l utilité indirecte de l individu : BE = v(p, m ) v(p, m) Le projet n est avantageux pour l individu que si BE > 0. Cependant un tel critère ne permet pas d estimer numériquement le gain ou la perte de bine-être : la fonction d utilité indirecte n étant définie qu à une transformation croissante près (à préférences données), deux utilités indirectes correspondant aux mêmes préférences donneront en général deux mesures différentes de BE. La solution de ce problème consiste 5

6 à utiliser des variations mesurées en unités monétaires. 1. En se restreignant au cas où le consommateur a le choix entre seulement deux biens, x 1 et x 2, représenter dans le plan (x 1, x 2 ) le choix du consommateur qui maximise sont utilité dans le cas où on a (p 1, p 2, m) et dans le cas où on a (p 1, p 2, m ). 2. Une première mesure monétaire possible de la variation du bien-être s appelle la variation équivalente. Elle s écrit : V E = e(p, v(p, m )) m où e désigne la fonction de dépense du consommateur. Que mesure V E? Comment la représenteriez-vous graphiquement (toujours dans le cas à deux biens)? Indication : Reprenez la définition de la fonction de dépense. 3. Une seconde mesure monétaire possible de la variation de bien-être est appelée variation compensatrice. Elle se définit ainsi : V C = m e(p, v(p, m)) où e désigne la fonction de dépense du consommateur. Que mesure V C? Comment la représenteriez-vous graphiquement (toujours dans le cas à deux biens)? 4. Laquelle de V C ou de V E doit-on utiliser si on souhaite évaluer le coût d une éventuelle indemnisation des agents lésés (pour définir un dédommagement financier par exemple)? Même question si l objectif est plutôt d estimer les bénéfices d un projet, sans idée d indemnisation. Justifiez vos réponses. 5. On suppose que seul le prix du bien 1 est susceptible d augmenter (on a p 1 > p 1), les prix des autres biens et le revenu de l individu restant constants. En remarquant que : m = m = e(p, v(p, m)) = e(p, v(p, m)) montrez que : p 1 V E = h 1 (p 1, p 2,..., p k, u )dp 1 p 1 6

7 et que : p 1 V C = h 1 (p 1, p 2,..., p k, u)dp 1 p 1 h 1 désignant la demande hicksienne pour le bien1, u = v(p 1, p 2,..., p k, m) et u = v(p 1, p 2,..., p k, m). L inconvénient de ces deux mesures monétaires est que la fonction de demande hicksienne n est pas observable empiriquement, contrairement à la fonction de demande marshallienne. C est pourquoi on utilise une approximation de la variation de bien-être appelée variation de surplus. En restant dans le cas où seul le prix du bien 1 varie, la variation de surplus s écrit : p 1 V S = x 1 (p 1, p 2,..., p k, m)dp 1 p 1 6. Dans le plan (p 1, x 1 ), représentez graphiquement les fonctions x 1 (p 1, p 2,..., p k, m), h 1 (p 1, p 2,..., p k, u) et h 1 (p 1, p 2,..., p k, u ). 7. Pour quelle valeur de p 1 les fonctions x 1 (p 1, p 2,..., p k, m) et h 1 (p 1, p 2,..., p k, u) se coupentelles? Même question pour les fonctions x 1 (p 1, p 2,..., p k, m) et h 1 (p 1, p 2,..., p k, u ). 8. On suppose que le bien 1 est un bien normal. Utilisez l équation de Slutksy pour montrer que les fonctions de demande hicksienne sont moins pentues que les fonctions de demande marshallienne. 9. En déduire que : V C V S V E 10. Que devient cette relation dans le cas d un bien inférieur? Exercice 4 : La demande de services d aide à domicile chez les personnes âgées dépendantes [5 points] En France, la prise en charge de la dépendance des personnes âgées par les pouvoirs publics 7

8 repose en grande partie sur l Allocation personnalisée d autonomie (Apa). Cette prestation permet d aider les personnes âgées dépendantes à payer des interventions d aidants professionnels, qui vont les assister dans les tâches de la vie quotidienne (ménage, toilette, habillement, etc.). Le montant de cette allocation dépend à la fois du degré de dépendance de la personne et de ses ressources. Lorsqu une personne fait une demande d Apa, une équipe du Conseil général se rend à son domicile pour évaluer le nombre d heures d aides dont elle a besoin, qu on notera h. Pour chacune des heures jugées nécessaires, le Conseil général accorde une subvention sur le prix horaire, qui va être d autant plus importante que le revenu est faible. Si la personne désire recevoir davantage d heures d aide à domicile, elle est tout à fait libre de le faire ; toutefois, les heures d aide domicile excédant le nombre d heures jugées nécessaires par le Conseil général (soit h h), en notant h le nombre d heures à domicile consommées) ne seront pas subventionnées. Si la la personne désire recevoir moins d heures d aide que ce que le Conseil général lui a prescrit, elle est également libre de le faire. On note : p le prix de marché d une heure d aide à domicile ; s la subvention accordée par le Conseil général par heure d aide ; h le nombre d heures d aides effectivement consommées par la personne âgée. Le montant de l Apa, noté AP A, qui est finalement versé par le Conseil général est ainsi égal à : AP A = s.h s.h si h h si h > h On suppose enfin que le prix de marché d une heure d aide à domicile est de 20 e. On considère un individu dont le revenu mensuel, noté R, s élève à 900 e 3. Les invalidités de cette personne sont telles que le Conseil général est prêt à participer au financement de 30 heures d aide par mois ; en outre, ses ressources sont telles que le Conseil général accorde pour chacune des heures d aide effectivement consommées une subvention de 70 %. 1. Détermination de la contrainte budgétaire (a) Que valent h et s? Que vaut le reste à charge, RAC = (p s)? (b) Ecrire la dépense d(p, s, h, h) en consommation de services d aide à domicile effectivement à charge de la personne, comme une fonction du prix de marché du bien, de la subvention accordée, du nombre d heures subventionnées accordées (h) 3. Pour votre information : en 2012 la pension moyenne de droit direct des femmes retraitées est de 950 e mensuels, contre 1650 e pour les hommes. 8

9 et du nombre d heures consommées, selon les différents cas de figure possibles. (c) Pourquoi pouvez-vous affirmer qu à l optimum, on aura : y = R d(p, s, h, h ) (d) Déterminer h max le maximum du nombre d heures d aide que la personne peut consommer, compte tenu de ses ressources et de la subvention du Conseil général. (e) Déterminez et représentez la contrainte budgétaire dans le plan (h, y), où h correspond au nombre d heures d aide à domicile consommées et y correspond au bien composite (qui se définit comme la quantité de ressources que la personne peut affecter à la consommation de biens et services autres que les services d aide à domicile ; le prix du bien composite est donc celui du numéraire, donc est égal à 1.). Indice : une contrainte budgétaire ne se représente pas nécessairement par une simple droite. 2. Supposez maintenant que l utilité de l individu peut être représentée par la fonction U(h, y) = h α y 1 α, avec 0 < α < 1. (a) Ecrire et interpréter le taux marginal de substitution (TMS) entre y et h. (b) Pour quelles valeurs du TMS le nombre d heures d aide consommées à l optimum, noté h, est exactement égal à h? Pour quelles valeurs du TMS h < h? Enfin, pour quelles valeurs du TMS h > h? (c) Si α = 0, 15, combien d heures d aide à domicile seront consommées par la personne âgée? 3. Supposons maintenant que le Conseil général décide d augmenter la subvention accordée 4 : celle-ci passe à 90 % du prix facturé par le service d aide à domicile. (a) Quel est maintenant le montant de la subvention s 2? Et la nouvelle valeur du reste à charge RAC 2 = (p s 2 )? 4. Scénario très peu probable, les conseils généraux étant sommés de faire d importantes économies pour que le déficit budgétaire des administrations publiques françaises revienne sous la limite européenne des 3 % du PIB. 9

10 (b) Quel est le nouveau volume d heures d aide à domicile consommées h 2? Comment l expliquez-vous? Conseil : illustrez à l aide du graphe ce qu il peut se passer. (c) Le Conseil général est rattrapé par la crise des finances publiques. Il décide donc baisser sa subvention, qui ne s élève plus qu à 60 % du prix de marché. De même que précédemment, déterminer le montant horaire de la subvention s 3 et le nouveau reste à charge, RAC 3. En déduire le volume d heures d aide à domicile consommées par la personne âgée, h 3. (d) A partir de h, h 3, RAC et RAC 3, en déduire une approximation de la valeur de l élasticité-prix de la demande d aide à domicile au point h. Quel type de bien (ou, pour être exact, service) l aide à domicile constitue t elle? 4. Une certaine proportion de bénéficiaires de l Apa bénéficient d une subvention à hauteur de 100%. Pourtant, on observe que nombre d individus dans ce cas consomment moins d heures d aide que le nombre d heures subventionnées que leur accorde le Conseil général (h < h). Comment pourriez-vous l expliquer? Pour vous aider, n hésitez pas à tracer la droite de budget pour ces individus. On cesse de supposer que la fonction d utilité est du type Cobb-Douglas. 10

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