Sur la résolution numérique de problèmes de contrôle optimal à solution bang-bang via les méthodes homotopiques. Joseph Gergaud

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1 Sur la résoluion numérique de problèmes de conrôle opimal à soluion bang-bang via les méhodes homoopiques Joseph Gergaud Universié de Toulouse INP-ENSEEIHT-IRIT (UMR CNRS 555) Mémoire d Habiliaion à Diriger des Recherches présené le 8 février 28 devan le jury composé de MM. H.G. Bock Rapporeurs B. Bonnard H. Maurer M. P. Augros Examinaeurs Mme M. Bergounioux MM. E. Hairer P. Legendre J. Noailles

2

3 À mon cher Maîre Joseph Noailles i

4 ii

5 Remerciemens Les deux rapporeurs exérieurs de ce ravail son le professeur Dr. Dr. h.c. Hans Georg Bock de l Universié d Heidelberg e le professeur Dr. Helmu Maurer de l Universié de Münser. Qu ils reçoiven ici l expression de ma graiude pour leurs encouragemens lors de nore renconre au Congrès Franco-Allemand d opimisaion d Heidelberg don je garderai un rès bon souvenir. Mes remerciemens von égalemen au professeur Erns Hairer de l Universié de Genève e examinaeur, pour les conacs e échanges frucueux e chaleureux, ainsi qu à Philippe Augros d EADS ASTRIUM Space Transporaion qui a accepé d êre examinaeur de cee habiliaion e à Maïine Bergounioux, Professeur à l Universié d Orléans, qui m a fai l honneur d en présider le jury. Le Cenre Naional d Éudes Spaiales es un parenaire privilégié depuis de nombreuses années. Que les personnes avec qui nous avons ravaillé, représenées dans ce jury par Paul Legendre, soien remerciées. À ous les membres de l équipe Algorihmiques Parallèles & opimisaion, je souhaie exprimer ou le plaisir qu il y a à ravailler dans cee équipe. Merci Bernard pour es conseils e pour m avoir fai découvrir le conrôle géomérique. Jean-Bapise, mercí per u! Enfin e surou, merci à ous mes enseignans de mahémaiques. Je pense en pariculier à M. Delavallée (mon professeur en première e erminale C au lycée Ariside Briand de Sain- Nazaire), M. Cuany (mon professeur en Mah. Sup. au lycée Clémenceau de Nanes) e à mes professeurs, devenus ensuie collègues, à l ENSEEIHT : Gérard Soubry, Pierre-Marie Marsili, Jean- Louis Lagouanelle e bien sûr à Joseph Noailles à qui ce mémoire es dédié. C es la passion des mahémaiques qu ils on su me ransmere, la qualié de leur enseignemen e les chemins qu ils m on ouvers qui m on condui à faire ce beau méier d enseignan-chercheur. iii

6 iv

7 Table des maières Inroducion Conrôle opimal 3 Les problèmes de conrôle opimal éudiés Le ransfer orbial avec maximisaion de la masse finale Formulaion en coordonnées de Gauss Définiion des problèmes de conrôle opimal résolus Srucure du conrôle Le Principe du Maximum de Ponriaguine Srucure du conrôle Exisence de soluion Difficulés des méhodes de ir Inroducion Propriéés de la foncion de ir Difficulés numériques des méhodes de ir Les méhodes homoopiques 3 Principe générale Inroducion Propriéés de convergence Algorihmes homoopiques Inroducion Théorie du degré opologique e homoopie Homoopie différenielle Homoopie simpliciale Applicaion au ransfer orbial Propriéés de l homoopie de ir Logiciels Résulas numériques Méhode de ir simple e commuaion 33 Inroducion Déecion des commuaions e équaions variaionnelles Calcul de la foncion de ir Calcul de la dérivée Résulas numériques Calcul de la dérivée Conclusion Conservaion du hamilonien Origine de l éude v

8 vi TABLE DES MATIÈRES 3.2 Déecion symérique des commuaions Résulas numériques Conclusion Condiions du second ordre 45 Inroducion Poins conjugués Hypohèses Définiions e héorème Calcul des poins conjugués Applicaion au ransfer orbial Lissage par homoopie Résulas numériques A Minimisaion du hamilonien 55 Inroducion Crière J λ Crière J 2 λ Crière J 4 ε Crière J 5 ε Bibliographie 59

9 Inroducion Ce mémoire es une synhèse de nos ravaux de recherche. Il pore sur la résoluion numérique par les méhodes indireces de problèmes de conrôle opimal à soluion bang-bang. Plus précisémen, nous considérons les problèmes où la minimisaion du hamilonien s écri { H(x, u, p) = a(x, p) u + (f (x) p) + m i= (u if i (x) p), u, avec a(x, p) > ;. e (..) désignen respecivemen la norme euclidienne e le produi scalaire euclidien. Il s agi d un problème d opimisaion convexe mais non sricemen convexe. Ceci va induire un conrôle bang-bang (nous supposons que nous n avons pas d arcs singuliers) dans le sens où la norme du conrôle sera nulle ou égale à. Un exemple qui enre dans ce formalisme e qui es à l origine de ce ravail es le ransfer orbial à poussée faible auour de la Terre avec maximisaion de la masse finale. C es ce problème, issu d une longue collaboraion avec le cenre de Toulouse du Cenre Naional d Éudes Spaiales, que nous uiliserons dans oues nos expérimenaions numériques. La srucure bang-bang de la soluion rend ces problèmes de conrôle opimal difficile à résoudre numériquemen, en pariculier par les méhodes indireces. La difficulé du choix du poin de dépar pour les méhodes de ir es accenuée par les disconinuiés du conrôle. En effe, comme nous le verrons dans le premier chapire via le conrôle géomérique, à chaque srucure du conrôle es associé un ouver sur lequel la foncion de ir es lisse. Mais aux fronières de ces ouvers, celle-ci n es pas en général différeniable ; elle peu même ne pas êre définie en emps que foncion. Il es par suie praiquemen nécessaire d avoir un poin de dépar dans le bon ouver (c es-à-dire celui qui défini la bonne srucure du conrôle opimal) pour pouvoir converger. L objecif des méhodes homoopiques présenées au chapire deux es de résoudre cee difficulé du choix du poin de dépar. L idée principale es de plonger le problème de conrôle opimal dans une famille de problèmes dépendan d un paramère λ [, ] elle que pour λ = le problème soi facile à résoudre e pour λ =, nous rerouvons le problème de dépar. La foncion de ir associée à cee famille de problèmes nous définira alors une homoopie de ir S(z, λ) e le suivi du chemin de zéros de cee homoopie nous conduira alors à un bon poin de dépar. Il fau bien sûr bien choisir la famille de problèmes. Le poin esseniel ici es d obenir pour λ < un hamilonien sricemen convexe en la commande u. Le conrôle sera alors coninu e nous n aurons plus les difficulés liées aux disconinuiés du conrôle. Une fois que l on a obenu un bon poin de dépar, il nous fau résoudre précisémen nore problème. Pour cela, il es nécessaire de déecer avec une grande précision les commuaions. Le chapire 3 présenera en pariculier une nouvelle méhode de déecion qui, couplée avec un schéma d inégraion numérique symérique, nous permera de gagner plusieurs ordres dans la précision des résulas numériques. Enfin, nous nous sommes inéressés dans le dernier chapire aux condiions du second ordre. Nous uiliserons une nouvelle fois l homoopie pour obenir un problème de conrôle opimal lisse e pouvoir ainsi uiliser les condiions du second ordre basées sur les noions d insans e de poins conjugués.

10 2 TABLE DES MATIÈRES

11 Chapire Conrôle opimal Les problèmes de conrôle opimal éudiés. Le ransfer orbial avec maximisaion de la masse finale L origine de nore ravail fu la résoluion numérique du problème de ransfer orbial à poussée faible auour de la Terre avec maximisaion de la masse finale. Le saellie es considéré comme un poin maériel dans le champ de veceurs erresre. Son mouvemen es alors donné par les équaions de Kepler conrôlées (on néglige ici les ermes en J 2 e d ordres supérieurs) r = µr r 3 + T m, où r désigne la norme euclidienne du veceur posiion r = (r, r 2, r 3 ) R 3, T = (T, T 2, T 3 ) le veceur poussée du moeur, e m la masse du saellie. Remarque.. m désignera dans la suie suivan le conexe soi la masse, soi la dimension du conrôle u. L équaion de la masse es elle donnée par ṁ = Ispg T = β T, où Isp es l impulsion spécifique du moeur e g la consane de graviaion à la surface de la Terre. Les valeurs des consanes physiques µ, Isp, β e m (la masse de dépar du saellie), son données à la able.. Consanes Valeurs µ Mm 3.h 2 Isp 2s β.42 2 Mm.h m 5 kg Tab.. Consanes physiques. Un ransfer ypique consise à aeindre l orbie géosaionnaire GEO à parir d une orbie basse à fore excenricié LEO 2. Bien sûr la poussée du moeur es conraine GEosaionary Orbi 2 Low Earh Orbi T T max. 3

12 4 CHAPITRE. CONTRÔLE OPTIMAL L objecif es alors de réaliser le ransfer en maximisan la masse finale ou encore en minimisan la consommaion Max m( f ) Min f T d. En coordonnées carésiennes e en normalisan le conrôle u = T/T max, on obien le problème de conrôle opimal suivan Min f u d ṙ = v v = µr r + T max (P) 3 m u ṁ = βt max u u r(), v(), m() fixés h f (r( f ), v( f )) =, où r es la posiion du saellie, v sa viesse e h f es la foncion expriman que l orbie géosaionnaire es aeine à l insan erminal avec la bonne viesse. Dans cee formulaion, l insan erminal f doi êre fixé, en effe ce problème en emps final libre n adme pas de soluion (cf. la sous-secion 2.3.3)..2 Formulaion en coordonnées de Gauss Ce problème de ransfer orbial à poussée faible nécessie beaucoup de révoluions auour de la Terre, ceci indui de fores oscillaions de l éa en coordonnées carésiennes. C es pourquoi il es préférable de choisir un sysème de coordonnées lié aux élémens orbiaux, les coordonnées de Gauss modifiées [8] x = (P, e x, e y, h x, h y, L) où P es le paramère de l ellipse oscularice, e = (e x, e y ) = (e cos(ω+ω), e sin(ω+ω)) es le veceur excenricié, h = (h x, h y ) = (an(i/2) cos Ω, an(i/2) sin Ω) es le veceur inclinaison e L = Ω + ω + ν es la longiude cumulée. Quan au conrôle u il es exprimé dans le repère orho-radial (q, s, w) lié au saellie ; q = r/ r, w = q q/ q q e s = w q, cf. figure.. Z saellie périgée plan équaorial X orbie Ω v ω Y i k O j i r w S v s q Fig.. Élémens orbiaux e repère orho-radial.

13 . LES PROBLÈMES DE CONTRÔLE OPTIMAL ÉTUDIÉS 5 Nore problème de ransfer orbial devien alors Min f u d ẋ = f (x) + T max m F (x)u = f (x) + T max m ṁ = βt max u (P2) u x(), m() fixés P ( f ), e x ( f ), e y ( f ), h x ( f ), h y ( f ) fixés m( f ) libre L( f ) = L f fixé ou libre. avec e F (x) = P µ f (x) = µ P 3 i= u if i (x), (.) W 2 /P 2P/W sin L cos L + (e x + cos L)/W Ze y /W cos L sin L + (e y + sin L)/W Ze x /W C cos L/2W, (.2) C sin L/2W Z W = + e x cos L + e y sin L Z = h x sin L h y cos L C = + h 2 x + h 2 y. Remarque.2. L uilisaion des coordonnées de Gauss modifiées perme de résoudre le problème de ransfer soi à f fixé e L f libre, soi à L f fixé e f libre, soi encore à f e L f fixés. Noons que fixer L f revien non seulemen à fixer la posiion du saellie sur l orbie finale, mais aussi le nombre de révoluions du saellie auour de la Terre..3 Définiion des problèmes de conrôle opimal résolus On noe n la dimension de x, la dimension de l éa (x, m) es donc n +, e m la dimension du conrôle (m désignera donc soi la masse, soi, lorsque ce sera un enier, la dimension du conrôle), y = (x, m, p, p m ) le veceur éa, éa adjoin e H i (y) = (f i (x) p) i m, (.3) où (..) désigne le produi scalaire dans R n. Le hamilonien associé à nore problème (P2) s écri alors H(x, m, u, p, p, p m ) = (p βt max p m ) u + H (y) + T m max u i H i (y). (.4) m L obje de ce mémoire es de résoudre numériquemen les problèmes de conrôle opimal ayan un hamilonien du ype ci-dessus. Remarque.3. (i) Si le sysème n es pas auonome, la majorié des résulas présenés ici s appliquen. i=

14 6 CHAPITRE. CONTRÔLE OPTIMAL (ii) Les condiions erminales du problème (P2) peuven êre plus générales : h f (x( f )) =. Remarque.4. Si p βt max p m, ce qui sera le cas, le hamilonien es convexe, mais non sricemen convexe par rappor au conrôle. C es en fai cee propriéé de convexié, mais de non srice convexié du hamilonien qui es la propriéé imporane ici (cf. le chapire 2). 2 Srucure du conrôle 2. Le Principe du Maximum de Ponriaguine Sous les hypohèses que l éa rese dans un ouver, la masse m rese sricemen posiive e où les champs de veceurs f,..., f m son lisses, nous pouvons appliquer le Principe du Maximum de Ponriaguine [57]. Équaion adjoine Minimisaion du hamilonien ṗ = f x (x)p T max m m u i f ix (x)p (.5) i= ṗ m = T max (F (x)u p) (.6) m2 (.7) Le conrôle opimal es soluion presque parou de { Min H(x, m, u, p, p, p (P3) m ) u. Condiions de ransversalié En posan la foncion appelée foncion de singularié e p( f ) = h fx (x( f ))ν f (.8) p m ( f ) = (.9) H( f ) = si f es libre (.) φ(y) = (H (y),..., H m (y)) (.) ψ(y) = p βt max p m T max φ(y) (.2) m la foncion appelée foncion de commuaion, la soluion de la minimisaion du Hamilonien s écri Si φ(y) alors φ(y) φ(y) si ψ(y) < u(y) = α φ(y) φ(y) α [, ] si ψ(y) = (.3) si ψ(y) >,

15 2. STRUCTURE DU CONTRÔLE 7 Si φ(y) = alors S(, ) si ψ(y) < u(y) = B(, ) si ψ(y) = si ψ(y) >, (.4) où S(, ) (respecivemen B(, )) désigne la sphère unié (respecivemen la boule unié). For heureusemen pour nous, nous allons voir que le cas φ(y) = ne peu se produire qu un nombre fini de fois. 2.2 Srucure du conrôle Pour êre plus générique, nous suivons ici la démarche du conrôle géomérique de [5], les démonsraions se simplifian dans le cas du ransfer en coordonnées carésiennes (cf. [34]). Monrons ou d abord que sous l hypohèse (H) Les croches de Lie [f i, f j ], i < j m son dans l espace V ec{f,..., f m }, nous avons la Proposiion 2.. Sous l hypohèse (H), la foncion de singularié φ() = φ(y()) es dérivable en ou insan où elle s annule. Démonsraion La foncion de singularié φ() es absolumen coninue, e sa dérivée s écri presque parou φ i () = Ḣi(y()) = ([f, f i ] x() + T max m m u j ()[f j, f i ] x() p()). (.5) Si mainenan es un insan où φ() s annule, c es-à-dire où p() V ec{f,..., f m } x(), alors pour oue suie ( k ) k qui converge vers, ([f j, f i ] x(k ) p( k )) converge vers ([f j, f i ] x() p()) qui es nulle par hypohèse (H). Comme le conrôle es borné on a φ i ( k ) qui converge vers ([f, f i ] x() p()). Par suie φ i () exise e es égale à j= φ i () = ([f, f i ] x() p()). (.6) Les hypohèses (H2) les champs de veceurs (f,..., f m, [f, f ],..., [f, f m ]) engendren R n, e (H3) la commande ideniquemen nulle n es pas admissible, nous perme alors de démonrer la Proposiion 2.2. Sous les hypohèses (H) (H3) la foncion de singularié φ() possède au plus un nombre fini de zéros. Démonsraion Nous allons monrer que l on ne peu avoir φ() = e φ() =. Ainsi les zéros de φ() seron isolés e donc en nombre au plus fini sur ou compac [, f ]. Supposons qu il exise un insan où φ e φ s annulen. Alors p() f i (x()) pour ou i e p() [f, f i ] x() grâce à (.6). L hypohèse (H2) implique alors que p() =. Or l équaion adjoin (.6) es linéaire en p, par suie p es ideniquemen nul sur [, f ]. Dans ce cas p m es aussi ideniquemen nulle sur ce inervalle de emps (ṗ m = e p m ( f ) = ) e donc p. La minimisaion du hamilonien donne alors u =, ce qui es en conradicion avec l hypohèse (H3). Remarque 2.3. Pour nore problème de ransfer orbial, la vérificaion des hypohèses (H) e (H2) a éé faie dans [5].

16 8 CHAPITRE. CONTRÔLE OPTIMAL Enfin, sous l hypohèse supplémenaire (H4) Le emps final f es sricemen supérieur au emps minimum, nous allons démonrer que l on es dans le cas normal. Nous prendrons donc dans la suie p =. Proposiion 2.4. Sous les hypohèses (H) (H4), p. Démonsraion Supposons le conraire, nous avons alors, grâce à l inégalié de Cauchy Schwarz, H(x, m, u, p, p m ) (f (x) p) + ( βp m T max T max m φ(y) ) u, avec l égalié si u = αφ(y)/ φ(y), α. Dans ce cas, puisque ṗ m = α T max m φ(y) e 2 p m ( f ) =, p m e donc (φ(y) presque parou) le coefficien de u es sricemen négaif e la minimisaion du hamilonien donne u = presque parou. Le coû es alors égal à f u d = f e l hypohèse (H4) implique que ce coû es sricemen supérieur au emps minimum f > fmin = fmin u d, (pour le problème en emps minimum u = presque parou [5]). Le conrôle u n es donc pas opimal, d où la conradicion. Remarque 2.5. Nous avons oujours eu, lors de nos expérimenaions numériques βt max p m () >. Ceci implique que βt max p m () βt max p m () >. Par suie lorsque φ(y) =, nous aurons ψ(y) > e le conrôle sera nul. En conséquence, le cas φ(y) = n es pas une difficulé ici e seules les relaions.3 inerviennen. 2.3 Exisence de soluion On suppose dans cee secion que l éa rese dans un compac fixe e que l on a la conrôlabilié du sysème. Pour nore problème de ransfer orbial, le premier poin es vérifié si on suppose que l éa rese dans une zone de sécurié A = {(r, v, m) R 7 r > ρ >, m > χ > } (en coordonnées carésiennes) [5], quan à la conrôlabilié, elle es rivialemen vraie lorsque f es fixé e L f es libre (respecivemen f libre e L f fixé) si on prend f > fmin (respecivemen L f > L fmin ) [5]. Pour f e L f fixés, on supposera la conrôlabilié. Dans ces condiions, la seule hypohèse non vérifiée pour appliquer le héorème d exisence de Filippov (cf. héorème 9.3.i de [6]), es la convexié de f(x, U), ceci à cause le l équaion d éa en la masse. Aussi pour démonrer l exisence il nous fau uiliser les soluions généralisées de Gamkrelidze, Young comme dans [8], pages Le problème généralisé vérifie alors la convexié qui manquai e adme donc une soluion généralisée (ν j, u j) ) j=,...,n+2, ν j pour ou j e j ν j =. On monre alors facilemen que le conrôle u = j ν ju (j) es une soluion du problème généralisé e es admissible pour nore problème de dépar qui adme donc une soluion [34]. 3 Difficulés des méhodes de ir 3. Inroducion Rappelons que nore objecif de dépar es de résoudre numériquemen nore problème de ransfer orbial à poussée faible sans aucune connaissance a priori sur la soluion. Ceci implique en pariculier, lorsqu il n y a pas d arc singulier soluion (ce qui a oujours éé le cas dans nos expérimenaions numériques), que l on ne connaî pas le nombre d insans de disconinuiés du conrôle opimal. Nous avons pour la résoluion numérique écaré les méhodes direces car le

17 3. DIFFICULTÉS DES MÉTHODES DE TIR 9 problème de programmaion mahémaique obenu par ces méhodes es non différeniable à cause de la norme du conrôle. Quan aux méhodes de ir direc [24], à poussée faible elles auraien nécessié un rès grand nombre d insans de discréisaion. C es pourquoi, nous avons préféré uiliser les méhodes indireces e plus précisémen le ir simple. Remarquons que pour nore problème de ransfer orbial exprimé en coordonnées de Gauss modifiées, coordonnées qui son, sauf pour la longiude cumulée, des inégrales premières du mouvemen pour le sysème non conrôlé, le ir muliple n appore pas d avanage majeur ici. 3.2 Propriéés de la foncion de ir Pour simplifier la présenaion, nous supposerons ici que le emps final f es fixé. Le cas où il es libre ne pose pas de difficulés majeures. À cause des relaions (.3), (nous écarons les relaions.4 grâce à la remarque 2.5), l éude de la coninuié, voir de la définiion de la foncion de ir n es pas riviale. Le problème aux deux bous issu de l applicaion du principe du maximum de Ponriaguine s écri alors sous la forme d une inclusion différenielle avec (BVP4) e U(y) la muli-applicaion définie par [ U(y) = ẏ ϕ(y, U(y)) x(), m() fixés h f (x( f )) =, p( f ) = h fx (x( f ))ν f, p m ( f ) =, f (x) + T max m F (x)u βt ϕ(y, u) = max u f x (x)p m i= f ix p, (F (x)u p) T max m 2 φ(y) φ(y) ] si ψ(y) < si ψ(y) =, φ(y) φ(y) si ψ(y) > (.7) Il es alors facile de vérifier que le second membre de ce problème aux deux bous es à valeurs convexes e compaces e es semi-coninu supérieuremen. Les héorèmes classiques des inclusions différenielles [6] e [29] nous disen alors que l applicaion qui à une condiion iniiale y associe l ensemble des soluions en f de l inclusion différenielle { ẏ ϕ(y, U(y)) (IVP5) y() = y es à valeurs compaces, acycliques (e donc connexe) e es semi-coninue supérieuremen. Par suie ces propriéés seron conservées pour la muli-applicaion de ir. Nous allons mainenan nous inéresser au cas où cee muli-applicaion es une applicaion e éudier sa dérivabilié. Soi y(., z) l unique foncion soluion de l inclusion différenielle à valeur iniiale Ω l ensemble (IVP6) e ψ z () = ψ(y(, z)), nous avons alors la ẏ ϕ(y, U(y)) (x(), m()) = (x, m ) (p(), p m ()) = z, Ω = {z R n+ φ(y(, z)) [, f ], ψ 2 (y(, z)) + (φ(y(, z)) φ(y(, z))) 2, ψ(y(, z)) e ψ(y( f, z)) } (.8)

18 CHAPITRE. CONTRÔLE OPTIMAL Proposiion 3.. (i) Pour ou z Ω, ψ z () es coninûmen différeniable e possède au plus un nombre fini de zéros. (ii) Ω es ouver e la foncion de ir S(z) es C sur ce ouver. Démonsraion (i) Soi z dans Ω, la foncion ψ z (), qui es absolumen coninue, es dérivable presque parou. Un calcul simple monre que ψ z () ψ z () = T max m (φ(y(, z)) φ(y(, z))). (.9) φ(y(, z)) Mais ici φ(y(, z)) = (H (y(, z)),..., H m (y(, z))) e φ(y(, z)) (.6) peu s écrire en uilisan les croches de Poisson φ i (y()) = {H, H i } (x(,z),p(,z)) α(y(, z)) φ(y(, z) m H j (y(, z)){h j, H i } (x(,z),p(,z)). Remarque 3.2. Il fau comprendre dans les croches de Poisson ci-dessus les foncions H i, i =,..., m comme de dépendan que des variables x e p. Nous avons donc, en suppriman les argumens afin de ne pas surcharger l écriure, j= (φ φ) = m i= H i{h, H i } α m m φ i= j= H ih j {H j, H i } = m i= H i{h, H i }, (.2) par anisymérie des croches de Poisson. En conclusion (φ(y(, z) φ(y(, z))), donc ψ(y(, z)), es coninue e ψ z () es C. Ensuie, par définiion de Ω, ψ z e ψ z ne peuven s annuler en même emps e les zéros de ψ z son isolés e donc en nombre fini. (ii) Soi mainenan z dans Ω. Si pour ou dans [, f ], ψ z (), alors le problème à valeur iniiale (IVP6) se ramène à un sysème de Cauchy classique avec un second membre lisse. La foncion de ir es alors bien définie e es lisse. Supposons mainenan qu il y ai sur l inervalle ], f [ qu un seul insan où ψ z s annule, alors la soluion y(., z) es la soluion y (, z) d un problème de Cauchy lisse sur l inervalle[, [ (IVP7) ẏ = ϕ (y) (x(), m() = (x, m ) (p(), p m ()) = z. Dans ce cas la foncion z (z) es bien définie e es lisse dans un voisinage de z. En effe la foncion vérifie g : [, + η] B(z, η) R (, w) ψ(y (, w)) g (, z) = ψ y ẏ(, z) = ψ z ( ). Le héorème des foncions implicies implique alors que (z) es C. Mais alors sur ], f ], y(, z) es la soluion y 2 (, z) du sysème de Cauchy lisse ayan le deuxième champ de veceurs lisse { ẏ = ϕ2 (y) (IVP8) y( ) = y (, z).

19 3. DIFFICULTÉS DES MÉTHODES DE TIR En effe y(., z) arrive ransversalemen à la surface de commuaion Σ = {y R 2n+2 ψ(y) = } car ψ z ( ) = ψ y ϕ (y(, z)) = ψ y ϕ 2(y(, z)) = T max m (φ(y(,z)) φ(y(,z))) φ(y(,z)). (.2) Il suffi alors de composer les foncions z ( (z), y ( (z), z)) y 2 ( f, (z), y ( (z), z)) pour conclure. Lorsque l on a un nombre fini de commuaions, il suffi de répéer l argumen. Remarque 3.3. Dire que z es dans Ω signifie qu il n y a aucun insan dans [, f ] où un arc de poussée apparaî ou disparaî localemen, e qu il n y a pas d arc singuliers. Dans ce cas lorsque ψ z () =, on a bien une commuaion du conrôle. 3.3 Difficulés numériques des méhodes de ir Afin d illusrer nore propos, nous allons considérer l exemple du problème simple, noé (P9), d un poin maériel don on conrôle l accéléraion ẍ = u, d où l on par à l insan iniial = de la posiion x = avec une viesse nulle pour arriver en f = 2 en x f =.5 avec une viesse nulle, e don le conrôle es conrain u, le crière à minimiser éan 2 u d. La foncion de ir es visualisée sur la figure S (z) S 2 (z) z2 4 4 z z2 4 4 z Fig..2 Foncion de ir du problème simple (P9). Sur ce exemple, on peu facilemen voir que l ouver Ω es la réunion de 9 régions caracérisées par la srucure du conrôle, cf. la figure.3. Plus précisémen sur ce exemple : (i) la foncion de ir es consane sur les ensembles D, D e D + ; (ii) la foncion de ir n es pas définie en emps que foncion en z = (, ) e z = (, ) ; (iii) la foncion de ir n es pas différeniable sur la fronière de l ouver Ω. Une conséquence de ceci concernan l uilisaion de la méhode de ype Newon pour résoudre l équaion de ir S(z) = es que si le poin iniial z n es pas choisi dans la bonne région, c es-à-dire celle qui correspond à la bonne srucure de la commande opimale, alors l algorihme risque de diverger. Sur ce pei exemple en effe, l algorime peu générer un poin dans la région D où la foncion de ir es consane. Or dans la praique, nous ne connaissons pas la srucure de

20 2 CHAPITRE. CONTRÔLE OPTIMAL u() u() u() D D, D,,+ u() u() u() D, D D,+ u() u() u() D +,, D +, D + Fig..3 Srucure du conrôle opimal pour le problème simple (P9) ; les équaions des droies son z 2 =, z 2 = +, 2z + z 2 =, 2z + z 2 = +. cee commande opimale. L inroducion des méhodes homoopiques du chapire suivan a pour objecif de s affranchir de cee difficulé. La deuxième difficulé qui inervien, qui es d ordre numérique, es le calcul de la foncion de ir e de sa dérivée. En effe, le second membre de l équaion différenielle qui défini la foncion de ir es disconinue, il nous faudra, pour résoudre finemen nore équaion de ir calculer finemen cee foncion de ir e sa dérivée. Ce poin fai l obje du chapire 3.

21 Chapire 2 Les méhodes homoopiques Principe générale. Inroducion L idée des méhodes homoopiques es de plonger nore problème de dépar (P ) dans une famille de problèmes (P ) λ dépendan d un paramère λ [, ] elle que pour λ = le problème soi facile à résoudre e pour λ = nous rerouvons le problème de dépar. Nous espérons ainsi lorsque ce paramère homoopique parcour le segmen [, ], que le chemin des soluions des problèmes (P ) λ nous amène à la soluion recherchée. Dans nore cas, l idée a éé de connecer, pour λ =, le problème de conrôle opimal avec la minimisaion du carré de la norme L 2 du conrôle au problème, pour λ =, avec la minimisaion de la norme L du conrôle [33] : J λ (u) = f Dans ce cas en effe, si nous posons, pour λ <, (λ u + ( λ) u 2 )d. (2.) α(y, λ) = λ βt maxp m (T max /m) φ(y) 2( λ) (2.2) la minimisaion du hamilonien donne Si φ(y) alors φ(y) φ(y) si ψ(y) ( λ) u(y, λ) = α(y, λ) φ(y) φ(y) si ψ(y) ( λ) si ψ(y) ( λ) Si φ(y) = alors S(, ) si ψ(y) ( λ) u(y, λ) = S(, α(y, λ)) si ψ(y) ( λ) si ψ(y) ( λ). En conséquence, si φ(y()) pour ou, le conrôle u(y(), λ) sera C par morceaux. La famille de foncions de ir associée nous fournira alors une homoopie de ir S : R n+ [, ] R n+, e la recherche du chemin de zéros de cee homoopie nous permera alors de rouver la soluion de nore problème de conrôle opimal de dépar. 3 (2.3) (2.4)

22 4 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES On rouve dans la liéraure d aures crières, cions en pariculier proposé dans [33, 38, 65], ou J 2 λ(u) = f u 2 λ d, λ [, ], (2.5) J 3 ρ (u) = f ( u + ρ u 2 )d, ρ [, ρ ] ρ consane >, (2.6) proposé par Chen e Huang [2], ou le crière appelé poin inérieur par analogie avec la programmaion mahémaique proposé par Bonnans [35, 7, 45]. J 4 ε (u) = f ou encore celui proposé par R. Épenoy [28] J 5 ε (u) = f ( u ε(ln( u )))d, ε [, ε ] ε consane >, (2.7) ( u ε(ln( u ) + ln( u )))d, ε [, ε ] ε consane >. (2.8) Remarque.. En re-écrivan, pour λ >, J(u) = λ f λ ( u + λ u 2 )d, nous rerouvons le crière J ρ (u). En posan ε = ( λ)ε, nous rerouvons bien une famille de problèmes paramérés par λ. Les différens avanages e inconvéniens de ces différens crières son : (i) Pour ous ces crières, lorsque φ(y) e λ <, la minimisaion du hamilonien a pour résula u(y, λ) = α(ψ(y), λ)φ(y)/ φ(y) avec α coninue. Nous renvoyons à l annexe A pour les expressions analyiques e la visualisaion de la foncion α. (ii) L iniialisaion pour les crières J λ e Jλ 2 es plus simple. En effe le problème iniial es la minimisaion du carré de la norme L 2 du conrôle, problème pour lequel il sera facile de rouver une soluion. Pour les aures crières, il faudra rouver une valeur des consanes ρ e ε respecivemen pour lesquels la soluion se calcule facilemen. (iii) Dans le cas où βt max p m rese sricemen posiif sur [, f ], en pariculier lorsque β =, le hamilonien es sricemen convexe en u pour les 4 premiers crières lorsque λ <. Ceci impliquera que le conrôle opimal sera coninu, ceci même lorsque la foncion de singularié φ(y) es nulle, [3], [33], [59]. (iv) L inérê par conre du dernier crière es que le conrôle u(y, λ) es lisse si φ(y). Pour les crières J λ (e donc aussi pour le crière Jρ 3 ) e Jλ 2 e pour oues les valeurs de λ, les proposiions resen vraies. Nous avons donc oujours un nombre au plus fini d insans où la foncion de singularié φ() s annule e nous serons aussi oujours dans le cas de problèmes de conrôle normaux (p ). Nous avons de même les propriéés d exisence de soluion. Par conre pour les crières Jε 4 e Jε 5, ceci es moins éviden : (i) la proposiion 2. rese vraie pour les deux crières ; (ii) la proposiion 2.2 rese vraie pour le crière Jε 4. Pour avoir la même conclusion pour le crière Jε 5, il fau rempacer l hypohèse (H3) par l hypohèse (H 3) Il exise γ el que aucun conrôle u vérifian u γ n es admissible. (iii) Pour la proposiion 2.4 qui conclu à la normalié du problème de conrôle, elle es vraie si on monre l exisence de soluion. En effe la minimisaion du hamilonien lorsque p = n a pas de soluion dans la boule ouvere B(, ) e donc si on a l exisence de soluion ceci ne peu se produire. (iv) L exisence de soluion n es pas évidene car nous pouvons rès bien avoir des conrôles admissibles (donc qui resen presque parou dans la boule ouvere B(, )) de norme infinie égale à ou en ayan une valeur finie pour le crière.

23 . PRINCIPE GÉNÉRALE 5.2 Propriéés de convergence Concernan le crière J λ (u) nous pouvons démonrer la Proposiion.2. Sous les hypohèses (H) (H4) du chapire précéden, si (x λ, u λ ) es une soluion du problème (P λ ) alors pour ou λ λ nous avons : (i) (ii) J λ (u λ ) J (u λ ) end vers lorsque λ end vers. J λ (u λ ) J λ (u λ ) J (u ) J (u λ ). (2.9) (iii) J λ (u λ ) e J (u λ ) enden vers J (u ) lorsque λ end vers. Démonsraion (i) Pour ou u dans la boule unié B(, ) e pour ou λ λ, nous avons λ u + ( λ) u 2 = λ u + ( λ) u 2 + (λ λ)( u u 2 ) λ u + ( λ) u 2. Ceci implique que J λ (u) J λ (u) pour ou conrôle admissible. Comme l ensemble des conrôles admissibles es le même pour ous les λ [, ], nous avons l inégalié suivane : J λ (u λ ) J λ (u λ ) J λ (u λ ). (ii) La foncion l(u, λ) = λ u + ( λ) u 2 es coninue sur le compac B(, ) [, ], elle es donc uniformémen coninue. Par suie, pour ou ε >, il exise η > el que pour ou λ, λ < η e u B(, ) on ai l(u, λ) l(u, ). Nous avons donc J λ (u λ ) J (u λ f l(u λ, λ) l(u λ, ) d ε f. D où le résula lorsque f es fixé (si f es libre, il fau le borner). (iii) Éviden. Concernan le ransfer orbial la figure 2. illusre parfaiemen cee proposiion. Remarque.3. Nous avons rivialemen le même ype de résulas pour le crière J 2 λ. Lorsqu une suie (λ k ) k es une suie qui converge vers, (u k ) k es donc une suie minimisane de (P ). Nous allons conclure à la convergence d une sous-suie des conrôles (u λk ) λk vers un conrôle opimal dans le cas où il es possible d inverser de façon lisse la dynamique (H) Il exise R e S lisses, R(x, m) L(R n, R m ) e S(x, m) R m, el que si y = f(x, m, u) alors u = R(x, m)y + S(x, m). Remarque.4. Pour les problèmes de ransfer orbial, l hypohèse (H) es rivialemen vérifiée. Proposiion.5. On suppose que les hypohèses (H) (H4) du chapire précéden e l hypohèse (H) ci-dessus son vérifiées. On suppose de plus que f es borné dans le cas d un problème à emps final libre. Alors si (λ k ) k es une suie de poins de [, ] qui converge vers lorsque k end vers +, e si (x k, u k ) es pour ou k une paire opimale du problème (P ) λk, il exise une sous-suie, oujours noée (x k, u k ) k, qui converge vers une soluion ( x, ū) du problème (P ) au sens suivan :

24 6 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES 8 J λ J 75 7 J λ Fig. 2. J (u λ ) e J λ (u λ ) en foncion de λ (cas d un ransfer de N). (i) x k x uniformémen sur [, f ]. (ii) u k ū *-faiblemen dans L m ([, f ]). Démonsraion (i) La démonsraion sui la démonsraion classique du héorème d exisence de Filippov. Tou d abord, la proposiion.2 nous di que (u k ) k es une suie minimisane de (P ). Ensuie, les hypohèses assuren que (x k ) k es une suie de foncions absolumen coninues équibornées e que ẋ k L pour ou k. Le héorème 4, page 3 de [6] di qu il exise une sous-suie (x k ) k qui converge uniformémen vers x absolumen coninue e (ẋ k ) k converge *-faiblemen vers x dans L n ([, f ]). Du héorème de fermeure (8.8.i) de [8], x() apparien à Q G ( x()) presque parou. L ensemble Q G (x()) es, comme page 33 [8], l ensemble associé au problème généralisé (P ) G de ous les ( x, x) avec x l G (ν,...,..., ν n+2, u (),..., u (n+2) ) e x = f G (x, ν,...,..., ν n+2, u (),..., u (n+2) ) pour un conrôle généralisé (l G e f G son les foncions qui définissen respecivemen le coû e l équaion d éa du problème généralisé). Enfin, x es une rajecoire opimale du problème généralisé. Par sélecion mesurable, un conrôle généralisé ( ν,..., ν n+2, ū (),..., ū (n+2) ) associé à x peu êre choisi. Mainenan, comme pour l exisence de soluion.2.3, on consae que ū = n+2 i= ν iū (i), es un conrôle admissible pour (P ) associé à x. (ii) L hypohèse (H) implique les égaliés u k = (R(x k, m k )ẋ k + S(x k, m k ))χ k ū = R( x, m) x + S( x, m). Or (x k, m k ) k converge uniformémen vers ( x, m) k e ẋ k converge *-faiblemen vers x dans L n ([, f ]), d où le résula. La figure 2.2 illusre cee convergence. Considérons mainenan les crières Jε 4 (u) e Jε 5 (u). Il es facile de monrer, si les problèmes (P ) ε on des soluions que pour < ε ε on a J (u ) J (u ε ) J ε (u ε ) J ε (u ε ). Pour démonrer ensuie la convergence de J ε (u ε ) vers J (u ) il nous fau supposer que pour ou conrôle admissible u pour le problème (P ), il exise une suie de conrôles admissibles (u k ) k

25 2. ALGORITHMES HOMOTOPIQUES u() Fig. 2.2 Évoluion de la norme du conrôle pour λ =,.38 e (Cas d un ransfer à N). vérifian pour le crière J 4 λ (respecivemen J 5 λ ) u k < presque parou (respecivemen < u k < pp) qui converge vers u. Sous cee hypohèse la démonsraion classique des méhodes de pénaliés inérieures de la programmaion mahémaique s applique sans difficulés. Remarque.6. Praiquemen, pour le ransfer orbial l homoopie J 5 ε (u) condui bien vers la soluion quand ε emps vers (cf. le chapire 4). 2 Algorihmes homoopiques 2. Inroducion Dans le cas favorable, nore homoopie de ir sera lisse e le calcul du chemin de zeros, nous conduira vers la soluion recherchée. Nous allons ici exposer les différenes méhodes de calcul de ce chemin de zéros. Afin de respecer les noaions classiques liées à l homoopie, nous noerons h(x, λ) dans cee secion l homoopie au lieu de S(z, λ). Bien évidemmen le premier algorihme qui vien à l espri es celui, appelé dans la suie l algorihme de coninuaion discrèe, qui consise à résoudre successivemen les équaions non linéaires h(x, λ i ) = pour une suie de valeurs de λ sricemen croissane de à : = λ < λ <... < λ N =. L inconvénien de ce algorihme réside dans le choix de la suie. Pour nore problème de ransfer orbial, nous n avons pas réussi à rouver une elle bonne suie (nous comprendrons pourquoi lorsque nous visualiserons un chemin de zéros cf. la figure 2.9), c es pourquoi nous nous sommes inéressés aux algorihmes homoopiques différeniels e simpliciaux 2. D un poin de vue héorique, l homoopie es liée à la héorie du degré opologique don nous allons donner quelques définiions e résulas uiles dans le cadre de ce mémoire. 2.2 Théorie du degré opologique e homoopie La présenaion choisie ici es celle de la héorie analyique du degré opologique en dimension finie. Nous ne donnons que les résulas mahémaiques, nous renvoyons pour les démonsraions à [55] e [62]. On considère f : Ω R n R n, une foncion coninue e y R n. Un problème souven posé es l exisence d une soluion dans Ω à l équaion f(x) = y. La héorie du degré opologique perme Predicor-Correcor Mehods. 2 Piecewise-Linear Mehods.

26 8 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES de donner une condiion suffisane pour répondre posiivemen à cee quesion. On suppose ici que Ω es un ouver borné de R n e que y f( Ω), où Ω désigne la fronière de Ω. Si f es coninûmen différeniable e que y n es pas une valeur criique, c es-à-dire que soi f (y) =, soi pour ou poin x dans f (y) on a de f (x), alors on défini le degré opologique de f par rappor à Ω e à y par deg(f, Ω, y) = sign de f (x). (2.) x f (y) C es donc le nombre algébrique de soluions dans Ω de f(x) = y, c es-à-dire le nombre de soluions qui conserven l orienaion moins le nombre de soluions qui renversen l orienaion. On dédui immédiaemen de cee définiion que si deg(f, Ω, y) alors f(x) = y possède une soluion! On démonre que l on peu éendre cee définiion au cas des foncions coninues vérifian y f( Ω). Il suffi en fai de considérer une suie de foncions (f k ) k de classe C qui converge uniformémen vers f e de poser deg(f, Ω, y) = lim deg(f k, Ω, y). k + On démonre en effe que cee limie exise e ne dépend pas de la suie (f k ) k choisie. Revenons mainenan à l homoopie Définiion 2.. Soi Ω un ouver bornée de R n, on appelle homoopie, oue applicaion coninue h : Ω [, ] R n. (2.) L homoopie es die admissible par rappor à Ω e à y si y h( Ω [, ]). Elle es die connecer r e f si h(x, ) = r(x) e h(x, ) = f(x) pour ou x Ω. On démonre alors les propriéés fondamenales suivanes Propriéés 2.2. Soien Ω un ouver borné de R n, f une applicaion coninue de Ω à valeurs dans R n e y f( Ω), alors (i) deg(f, Ω, y) Z. (ii) deg(f, Ω, y) = x Ω f(x) = y. (iii) Si h es une homoopie admissible par rappor à Ω e à y qui connece r à f, alors le degré opologique es consan deg(h(., λ), Ω, y) = C e. (2.2) La conséquence de la propriéé (2.2) es que si nous arrivons à consruire une homoopie admissible par rappor à Ω e à qui connece une applicaion simple r don le degré opologique deg(r, Ω, ) es non nul à une applicaion f, alors nous aurons démonré l exisence d une soluion dans Ω à l équaion f(x) =. Ce ouil rès puissan perme en fai de démonrer l exisence de poin fixe comme les héorèmes de poins fixes de Brouwer ou de Leray-Schauder [62], ou encore des héorèmes d exisence de soluion pour des problèmes aux deux bous [56]. 2.3 Homoopie différenielle Nous allons rapidemen dans cee sous-secion présener les méhodes homoopiques différenielles, égalemen appelées coninuaion différenielle ou encore de Prédicion-Correcion. Les deux premières appellaions viennen du fai que l on suppose que le chemin de zéros es une courbe différeniable, la dernière appellaion fai référence à l algorihme lui-même. On rouve dans la liéraure un grand nombre de références sur ce suje, cions en pariculier[5] qui es un bon ouvrage de synhèse, [22] qui donne l algorihme uilisé dans le logiciel Hompack9 de Wason e al., que l on rouvera sur Nelib e que nous avons uilisé, ainsi que [67, 68, 66, 7, 69, 7, 73, 72, 74, 75, 76, 78, 77, 79].

27 2. ALGORITHMES HOMOTOPIQUES 9 Pour suivre le chemin de zéros, il fau ou d abord que ce chemin exise. On fai classiquemen, pour une homoopie coninûmen différeniable h = Ω [, ] R n, où Ω es un ouver bornée de R n, les hypohèses (H2) Pour ou (x, λ) h (), rang(h (x, λ)) = n, e (H3) Pour ou (x, ) h (), rang( h x (x, )) = n e pour ou (x, ) h (), rang( h x (x, )) = n. afin d avoir le Théorème 2.3. Soi Ω un ouver borné de R n e h = Ω [, ] R n une homoopie coninûmen différeniable. Si les hypohèses (H2) e (H3) son vérifiées alors h () es consiué : (i) d un nombre fini de courbes fermées de longueur finie dans Ω [, ] ; (ii) d un nombre fini d arcs de longueur finie ayan ses poins erminaux dans Ω [, ]. Les courbes son oues disjoines enre elles e son coninûmen différeniables Démonsraion Voir [3]. Les figures 2.3 illusren les chemins possibles e impossibles Fig. 2.3 Chemins possibles (à gauche) e impossibles (à droie) (x es en abscisse e λ en ordonnée). Nous pouvons mainenan décrire les méhodes homoopiques différenielles. Sous les hypohèses du héorème précéden, noons c la courbe différeniable issu de (x, ) e paramérisons cee courbe par l abscisse curviligne s. Sous les hypohèses supplémenaires (H4) Pour ou s le rang de h (c(s)) es n, e (H5) Pour ou s, ċ(s), le veceur angen à la courbe au poin c(s) de norme, noé k(h (x(s), λ(s))) es parfaiemen déerminé par (i) h (c(s))ċ(s) = (ii) ċ(s) = ( ( S (iii) sign de ċ(s) (c(s)) )) En conséquence la courbe c(s) es soluion du sysème différeniel à condiion iniiale { ċ(s) = k(h (IVP) (c(s))) c() = (x, ).

28 2 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES Il suffi alors d effecuer une inégraion de s = à s f el que λ(s f ) = pour consruire le chemin de zéros. Pour effecuer cee inégraion, la première idée qui vien à l espri es d uiliser un inégraeur numérique de ype Runge-Kua par exemple. Mais ceci ne prend pas en compe l informaion la plus imporane à savoir que la courbe es un chemin de zéros de l homoopie. C es pourquoi on préfère en praique uiliser une méhode de Prédicion-Correcion visualisée sur la figure h(x, λ) = lambda (x +, λ + ) Correcion ( x, λ) Prédicion.3.2. (x c, λ c ) x Fig. 2.4 Prédicion-Correcion pour l inégraion. Chaque pas es consiué de deux éapes. La première es d effecuer un pas d inégraion numérique peu coûeux, par exemple Euler ( x, λ) = (x c, λ c ) + δs k(h (x c, λ c )). (2.3) La deuxième éape es ensuie de corriger cee prédicion en revenan sur le chemin de zéros. Ceci es réalisé en résolvan le problème d opimisaion { Min (x, λ) ( x, 2 λ) (P2) h(x, λ) =. Si la résoluion du problème d opimisaion (P2) se fai en peu d iéraions alors le pas d inégraion es augmené. Dans le cas où il ne converge pas, on rese au poin couran e on diminue le pas d inégraion. Résumons ceci : Algorihme général des méhodes homoopiques différenielles Iniialisaion x el que h(x, ) = δs > (par exemple.) λ = Corps anque λ < faire Calculer k(h (x, λ) ( x, λ) := pred(x, λ, δs,...) (Prédicion)

29 2. ALGORITHMES HOMOTOPIQUES 2 Résoudre le problème d opimisaion (P2) Si l algorihme pour résoudre (P2) diverge alors Réduire le pas δs sinon (x, λ) := la soluion du problème d opimisaion (P2) Mere à jour le pas d inégraion δs fin si fin anque Résoudre l équaion h(x, ) par un algorihme de ype Newon. Pour une descripion plus déaillée de cee méhode e en pariculier pour les aspecs numériques nous renvoyons à l ouvrage d Allgower e Georg[5] e à [79] e [36] pour le logiciel Hompack9 que nous avons uilisé. Nous souhaions cependan faire quelques remarques concernan son applicaion pour nos problèmes de conrôle opimal. Le calcul du second membre k(h (x, λ)) du sysème différeniel (IVP) nécessie de calculer la dérivée de l homoopie. Or, dans nore cas cee homoopie es l homoopie de ir S(z, λ) don l évaluaion es obenue par inégraion numérique. Le calcul du second membre k(h (x, λ)) es donc rès coûeux, d où l inérê de considérer des schémas simples pour la prédicion. Quan à la résoluion du problème d opimisaion dans l éape de la correcion, elle sera effecuée par un algorihme de pseudo-newon en uilisan une mise à jour de ype Broyden pour la dérivée. 2.4 Homoopie simpliciale L idée principale des méhodes homoopiques simpliciales es de calculer le chemin de zéros de l approximaion affine par morceaux de l homoopie sur chaque simplexe d une riangulaion (cf. les définiions ci-après). L inérê de ces méhodes par rappor aux méhodes homoopiques différenielles es qu elles n uilisen pas la dérivée de l homoopie, seule la coninuié es nécessaire. Nous pouvons même uiliser ces méhodes pour des applicaions muli-valuées semi-coninues supérieuremen. Pour une présenaion plus déaillée des ces méhodes nous renvoyons encore une fois à l ouvrage d E. Allgower e K. Georg [4] e leur aricle [3], mais aussi aux aricles de M.J. Todd [63] e [64]. Avan de donner l algorihme générique des méhodes homoopiques simpliciales, nous avons besoins de quelques définiions e propriéés. Définiion 2.4 (n simplexe). On appelle n simplexe l enveloppe convexe de (n + ) poins affinemen indépendans. On noera σ = [v,..., v n ] un n simplexe. Les poins v,..., v n son appelés les sommes du n simplexe σ. Définiion 2.5 (k face). On appelle k face d un n simplexe σ = [v,..., v n ], ou k simplexe de somme {w,..., w k } {v,..., v n }. Les -faces son les sommes du simplexe e les faces les arêes du n simplexe. Définiion 2.6 (Triangulaion). Soi K une collecion non vide de n simplexes de R n, finie ou infinie dénombrable, e soi K = {σ K} σ. Alors, K es une riangulaion (de K ) si les deux condiions suivanes son vérifiées : (i) L inersecion de 2 n simplexes de K es vide ou es une k face. (ii) K es localemen finie, c es-à-dire que ou sous ensemble compac non vide de K ne renconre qu un nombre fini de n simplexes de K. Les figures 2.5 illusren des siuaions où la condiion (2.6.i) es saisfaie e non saisfaie. Définiion 2.7 (Fronière d une riangulaion). On appelle fronière d une riangulaion K l ensemble, noé K, des (n ) faces qui n appariennen qu à un seul simplexe de K. On démonre alors facilemen la

30 22 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES Fig. 2.5 À gauche la condiion (2.6.i) es saisfaie e à droie cee relaion n es pas saisfaie. Propriéé 2.8. Soi K une riangulaion, alors chaque (n ) faces de K qui n es pas dans la fronière de K apparien à exacemen 2 n simplexes de K. La figure visualise les riangulaions K de Freundenhal, qui es une riangulaion uniforme de R [, ], e J3 de Todd, qui es une riangulaion raffinée en λ de R [, [. Fig. 2.6 À gauche, riangulaion K uniforme de Freundenhal de R [, ] e à droie riangulaion J3 raffinée de Todd de R [, [. Ces riangulaions se généralisen au cas R n e son consrucives dans le sens où si on se donne un n simplexe σ e une (n ) face τ de ce simplexe qui n apparien pas à la fronière de la riangulaion K, alors on sai calculer simplemen l unique n simplexe σ différen de σ de la riangulaion ayan τ comme (n ) face. L algorihme de consrucion du simplexe σ à parir de σ e τ s appelle la règle de pivoage du n simplexe σ à ravers la (n ) face τ. Afin de définir les simplexes qui approximeron le chemin de zéros de l homoopie, nous inroduisons la noion bien connue en programmaion linéaire de L.P.base [23]. Définiion 2.9 (LP base). Un ensemble de (n + ) poins affinemen indépendans a,..., a n de R n es une LP base s il exise ε > el que pour ou ε ε, le veceur (ε, ε 2,..., ε n ) apparien au n simplexe [a,..., a n ]. Définiion 2. (Marice lexicographiquemen posiive). Une marice carrée inversible Λ es lexicographiquemen posiive si e seulemen si le premier élémen non nul de chaque ligne de son inverse Λ es posiif. On démonre alors facilemen le Lemme 2.. Un ensemble de (n + ) poins a,..., a n de R n es une LP base si e seulemen si la marice ( )... Λ = a a... a n es lexicographiquemen posiive.

31 2. ALGORITHMES HOMOTOPIQUES 23 Nous arrivons mainenan au héorème fondamenal suivan. Théorème 2.2. Soi a,..., a n une LP base de R n e a un poin quelconque de R n. Alors il exise un unique indice i dans {,..., n} el que {a,..., a n }\{a i } {a} soi encore une LP base. Remarque 2.3. La démonsraion qui es classique, cf. par exemple [3], es consrucive e sera un élémen imporan, qui sera appelé le es lexicographique, dans les algorihmes homoopiques simpliciaux. Définiion 2.4 (Éiqueage d un simplexe). Soi τ = [v,..., v n ] un n simplexe. On appelle éiqueage de τ une applicaion e : τ R n (2.4) Définiion 2.5 (Marice d éiqueage). Soi τ un n simplexe e e un éiqueage. On appelle marice d éiqueage de τ la marice ( )... D τ = e(v )... e(v n (2.5) ) Définiion 2.6 (n simplexe complèemen éiqueé). On di qu un n simplexe τ = [v,..., v n ] es complèemen éiqueé, pour l éiqueage e, si e(v ),..., e(v n ) es une LP base. Remarque 2.7. Si Dτ = (c ij ) i,j=,...,n es l inverse de la marice d éiqueage d un n simplexe τ complèemen éiqueé, alors n i= c ie(v i ) =. Par suie, si e es affine sur τ, n i= c iv i sera un zéro de e. Si mainenan nous définissons e comme éan la foncion affine qui vérifie e(v i ) = h(v i ) pour i =..., n (où h es une foncion coninue que l on se donne), alors, si le diamère de τ es suffisammen pei, x approchera un zéro de h. Remarque 2.8. Si on se place dans R alors dire qu un simplexe [v, v ], qui es un inervalle dans ce cas, es complèemen éiqueé es équivalen à dire que h(v )h(v n ) e que h(v ). L applicaion h éan coninue, cela impliquera que l on a une soluion de h(x) = dans ce inervalle. Soi mainenan K une riangulaion dans R n+ e e une applicaion de K dans R n. L ensemble de définiion de e possède une dimension de plus que son ensemble image, ce son donc les n faces qui seron complèemen éiqueées. Nous avons alors le héorème fondamenal suivan. Théorème 2.9. Soi σ K un (n + ) simplexe d une riangulaion dans R n+. Alors l une des deux proposiions suivanes es vraie : (i) σ n a aucune n face complèemen éiqueée. (ii) σ a exacemen 2 n faces complèemen éiqueées. Nous pouvons mainenan donner la forme générale des méhodes homoopiques simpliciales. Forme générale d un algorihme homoopique simplicial Iniialisaion Consruire une n face τ K complèemen éiqueée. Consruire l unique (n + ) simplexe σ de K qui conien τ k := Corps Répéer Rechercher l aure n face τ k de σ k complèemen éiqueée (es lexicographique)

32 24 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES Si (τ k K) alors Consruire σ k l unique (n + ) simplexe de K différen de σ k e conenan τ k k :=k+ fin si jusque (τ k K) Ce algorihme produi une suie finie ou infinie de n faces complèemen éiqueées e de (n + ) simplexes : τ, σ, τ, σ,..., τ k, σ k,.... Mais il es facile de démonrer que cee suie ne comprend pas de répéiions. Par suie s il exise un compac K qui conien oues les n faces complèemen éiqueées, où si K es un compac alors l algorihme s arrêera car par définiion une riangulaion es localemen finie. Revenons enfin à nore quesion de dépar qui éai de rechercher un chemin de zéros d une homoopie h définie de Ω [, ], avec Ω un ouver borné de R n, e à valeurs dans R n. Définissons l éiqueage e par e(v) = h(v) pour ou somme v = (x, λ) d une riangulaion de Ω. L algorihme homoopique simplicial générera alors une suie de n faces complèemen éiqueées. Ces n faces coniendron donc un zéro de l approximaion affine de nore homoopie. Remarque 2.2. Avec la riangulaion J3 (cf. la figure 2.6), il fau s arrêer lorsque la n face complèemen éiqueée générée τ k apparien à K ou apparien à l hyperplan d équaion λ = 2 k, k enier fixé. Le principal avanage des méhodes simpliciales par rappor aux méhodes différenielles es, comme nous l avons déjà menionné, qu elles n uilisen pas la dérivée de l homoopie. Elles on par conre deux inconvéniens majeurs. Le premier es qu il fau consruire au dépar une n face complèemen éiqueée, ce qui n es pas oujours facile. Il fau en praique consruire un n simplexe dans R n don l inérieur conien un zéro de l approximaion affine de la foncion r(x) = h(x, ). Pour nore problème de conrôle opimal, ceci a nécessié la mise en place d une homoopie de joncion. Le deuxième inconvénien es le coû numérique. Afin de réduire ce coû, il a éé mis en place une riangulaion adapaive. Tous ces aspecs numériques fins e les développemens informaiques on éé réalisés par Pierre Marinon dans le cadre de sa hèse [47] e son inégrés dans le logiciel Simplicial [49]. Pour erminer cee présenaion des méhodes homoopiques simpliciales nous donnons à la figure 2.7 les simplexes générés par ce algorihme pour nore problème simple (P9) du chapire où l homoopie es la foncion de ir associée au coû J λ (u) = 2 (λ u + ( λ) u 2 )d. 3 Applicaion au ransfer orbial 3. Propriéés de l homoopie de ir Nous allons ici éudier les propriéés de coninuié e de dérivabilié de nore homoopie de ir S(z, λ). Considérons ou d abord le cas du crière J λ (u) = f (λ u + ( λ) u 2 )d. Noons φ z,λ () = φ(y(, z, λ)), ψ z,λ () = ψ(y(, z, λ)) e φ z,λ () = dφ d (y(, z, λ)), e définissons les ensembles Ω = {(z, λ) R n [, [ φ z,λ () }, (2.6) Ω = {(z, λ) R n [, ] φ z,λ () }, (2.7)

33 3. APPLICATION AU TRANSFERT ORBITAL Fig. 2.7 Algorihme homoopique simplicial pour le problème simple (P9). e Ω = {(z, λ) Ω Nous pouvons alors démonrer la proposiion suivane : (ψ z,λ () ( λ)) 2 + (φ z,λ () φ z,λ ()) 2, (ψ z,λ () + ( λ)) 2 + (φ z,λ () φ z,λ ()) 2, ψ z,λ () = λ e ψ z,λ ( f ) λ}. (2.8) Proposiion 3.. (i) L homoopie de ir es coninue sur Ω e es une muli-applicaion semiconinue supérieuremen sur Ω. (ii) L homoopie de ir es lisse sur Ω. Démonsraion

34 26 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES (i) Pour (z, λ ) dans Ω, y(., z, λ ) es soluion du problème de Cauchy ẏ = ϕ(y, u(y, λ)) λ = (IVP3) (x(), m(), λ()) = (x, m, λ ) (p(), p m ()) = z, avec u(y, λ) définie par (2.3). Le second membre de ce problème de Cauchy (IVP3) es donc C par morceaux d où la coninuié de y( f, z, λ) par rappor à z e λ dans Ω. Pour le cas (z, ) Ω, le résula es moins éviden car le problème de Cauchy es une inclusion différenielle. Mais c es une inclusion différenielle don le second membre es à valeurs compaces e convexes, e es semi-coninue supérieuremen. Une nouvelle fois les héorèmes sur les inclusions différenielles nous permeen de conclure. (ii) Comme pour la proposiion.3. il suffi de monrer que y(., z, λ) arrive ransversalemen par rappor aux variéés définies par ψ(y) = λ e par ψ(y) = ( λ), ce qui es le cas par définiion de Ω. Remarque 3.2. La dérivabilié de l homoopie de ir en (z, ) es plus délicae. Il es possible de définir le problème de Cauchy (IVP3) pour les valeurs de λ >, mais la minimisaion du hamilonien donne, oujours lorsque φ(y), φ(y) φ(y) si ψ(y) < u(y, λ) = ou φ(y) φ(y) si ψ(y) = (2.9) si ψ(y) >. L homoopie de ir sera donc consane en pour λ > e donc S λ (z, + ) =. Il n es cependan pas du ou éviden que l on ai la même valeur en (z, ). Heureusemen, nous n avons pas besoin de cee dérivée parielle, puisque lorsque l on es arrivée en λ = le suivi de chemin s arrêe. Corollaire 3.3. Pour (z, λ) dans Ω le conrôle u(., z, λ) es C par morceaux. Remarque 3.4. Pour le crière J 4 (u) = f ( u ε ln( u ))d, nous avons les mêmes résulas en remplaçan Ω par Ω = {(z, λ) Ω (ψ z,λ () ε) 2 + (φ z,λ () φ z,λ ()) 2, ψ z,λ () ε e ψ z,λ ( f ) ε}. (2.2) Pour J 5 (u) = f ( u ε(ln( u ) + ln( u )))d l homoopie de ir sera lisse dans Ω. 3.2 Logiciels La mise en œuvres des méhodes homoopiques présenées ci-dessus pour la résoluion du problème de ransfer d orbie a condui à la réalisaion de deux logiciels. Le premier Mfmax a éé développé par Thomas Haberkorn [37]. Il uilise une méhode homoopique diffrenielle e es basé sur le logiciel Hompack9. L inégraion numérique, nécessaire pour calculer la foncion de ir, es effecuée par le programme Rkf45 [6]. Quan à sa dérivée, elle es calculée par différences finies. Nous avons conscience que ces poins peuven êre améliorés (cf. le chapire 3), mais le programme Mfmax donne déjà de rès bons résulas. Enfin la résoluion en λ = es obenue grâce au programme Hybrd [58]. Ce logiciel Mfmax possède deux versions Mfmax-v (respecivemen Mfmax-v) pour le raiemen du problème de ransfer orbial à f fixé (respecivemen L f fixé). Le deuxième logiciel Simplicial a éé enièremen développé par Pierre Marinon. Il

35 3. APPLICATION AU TRANSFERT ORBITAL 27 es remarquable que ce logiciel, grâce aux amélioraions algorihmiques liées en pariculier à la riangulaion adapaive [47], fournisse des résulas aussi bons en ermes de emps de calcul que la méhode différenielle. Tous les résulas numériques présenés ci-après on éé obenus avec le logiciel Mfmax e le crière J λ (u) = f (λ u + ( λ) u 2 )d. 3.3 Résulas numériques Les résulas ci-après son donnés pour des problèmes à L f fixé e f libre. La valeur de la longiude cumulée finale es donné par L f = L + c Lf (L fmin L ), où L fmin es la soluion du ransfer en longiude cumulée finale minimale. Le calcul de cee valeur es obenue via le logiciel Lfmin qui es une version modifiée de Tfmin [6]. L orbie iniiale es une orbie basse à fore excenricié, e =.75 e à faible inclinaison i = 7 e l orbie finale es l orbie géosaionnaire. Les valeurs des paramères de Gauss e de la masse de dépar son données à la able 2.. Orbie iniial LEO Orbie finale GEO P 625km 4265km e x.75 e y h x.62 h y L π fixé m 5kg libre Tab. 2. Paramères des orbies iniiale e finale e masse de dépar. Poussée de N La figure 2.8 donne le chemin de zéros de l homoopie. On peu voir sur ce exemple que ce chemin possède des coudes. Ceci explique la divergence de l algorihme de coninuaion discrèe. En effe une faible progression en λ peu induire un poin de dépar qui n apparien pas au domaine de convergence de l algorihme de ype Newon pour la valeur suivane de λ (cf. figure 2.9). Les figures 2. e 2., quan à elles donnen les résulas en λ =. On peu consaer sur ce exemple que : (i) βt max p m () > ; (ii) on es bien en un poin de Ω (cf...8), c es-à-dire que la foncion de commuaion e sa dérivée ψ() e ψ() ne s annulen jamais simulanémen.

36 28 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES Zero pah for T max = N, L f = rad Fig. 2.8 Chemin de zéros pour T max = N e un c Lf = 2. S(z, λ ) = λ Discre Differenielle Fig. 2.9 Comparaison Coninuaion discrèe e homoopie différenielle. z

37 3. APPLICATION AU TRANSFERT ORBITAL 29 Conrol vs ime, T max = N, clf = 2, m f = kg. radial hrus orho radial hrus normal hrus Norm of hrus ime ime ime ime r r r r r 2 r r 2 Fig. 2. Conrôle e rajecoire pour T max = N e un c Lf = 2. 5 T max = N, clf = 2 m f = kg. 5 P 5 p P e x.5 p ex 5 5 φ e y h x x 3 p hx p ey φ φ 5 h y 2 5 p hy.9 5 φ m L p m p L p f x 2 5 ψ Fig. 2. Éas e éas adjoins, foncion de singularié φ() ( T maxβp m () = ) e foncion de commuaion ψ() pour T max = N e un c Lf = 2.

38 3 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES Poussée de N Pour une poussée de N, nous obenons Conrol vs ime, T max = N, clf = 2, m f = kg. radial hrus orho radial hrus normal hrus Norm of hrus ime ime ime ime r r r r r 2 r r 2 Fig. 2.2 Conrôle e rajecoire pour T max = N e un c Lf = 2. T max = N, clf = 2 m f = kg. 5 5 P 5 p P e x x 3 p ex 5 5 φ 3 2 h x e y x 4 p ey p hx φ φ 5 h y 2 5 p hy φ m L p L p m p f x 5 ψ Fig. 2.3 Éas e éas adjoins, foncion de singularié φ() ( T maxβp m () = ) e foncion de commuaion ψ() pour T max = N e un c Lf = 2.

39 3. APPLICATION AU TRANSFERT ORBITAL 3 Poussée de.n Enfin pour.n nous obenons la rajecoire de la figure 2.4. r r r 2 4 Fig. 2.4 Trajecoire pour T max =.N e un c Lf =.5, T max βp m = ; plus de 75 révoluions e plus de 5 commuaions! Conclusion On rouvera d aures résulas dans la hèse de Thomas Haberkorn [36]. Signalons cependan le résula remarquable suivan. L évoluion de la masse finale en foncion du coefficien c Lf es indépendane de la poussée T max (cf.. la figure 2.5). De plus la valeur limie correspond à la valeur de la masse pour le ransfer réalisé en impulsionnel. Nous voyons en pariculier sur cee courbe que le problème à f e L f libre n a visiblemen pas de soluion Tmax = N Tmax = N Tmax =.5 N Tmax =. N Impulse Fig. 2.5 Indépendance de m( f ) par rappor à T max, en abscisse c Lf e en ordonnées m( f ).

40 32 CHAPITRE 2. LES MÉTHODES HOMOTOPIQUES

41 Chapire 3 Méhode de ir simple e commuaion Inroducion Nous considérons dans ce chapire le cas où la soluion de nore problème de conrôle opimal es bang-bang. Nous supposons plus précisémen que la soluion se rouve dans l ouver Ω (cf. (..8)). Ceci implique, comme nous l avons déjà précisé, que nous n avons pas d arcs singuliers e que, localemen auour de la soluion z de l équaion de ir S(z) =, le conrôle garde la même srucure. Dans ce cas, les méhodes homoopiques vues au chapire précéden nous donnen un poin de dépar z proche de la soluion. Mais ici l applicaion du principe du maximum de Ponriaguine nous condui à un problème aux deux bous don le second membre es disconinu, e don les rajecoires arriven ransversalemen à une surface de commuaion Σ. L obje de ce chapire es de calculer finemen la foncion de ir associée au problème aux deux bous ainsi que sa dérivée. Ce ravail a éé effecué en collaboraion avec Pierre Marinon lorsqu il éai ATER à l ENSEEIHT e avec le professeur E. Hairer de l Universié de Genève. Dans la secion 2, nous comparerons les différenes méhodes classiques pour effecuer les calculs de la foncion de ir e de sa dérivée [44, 8, 9, 5, 5] e dans la secion 3 une nouvelle méhode de déecion des commuaions sera inroduie qui conserve la symérie du schéma numérique. Nous obiendrons ainsi une meilleure conservaion du hamilonien que l on sai consammen nul (pour f libre), une meilleure précision dans les évaluaions de la foncion de ir e une meilleure convergence de la méhode de ir simple. Ces derniers résulas ne son pas encore publiés (un aricle es en cours de rédacion). 2 Déecion des commuaions e équaions variaionnelles 2. Calcul de la foncion de ir Le calcul de la foncion de ir es basé sur l inégraion numérique d un sysème de Cauchy ẏ = ϕ (y) si ψ(y) < (IVP) ẏ = ϕ 2 (y) si ψ(y) > y() = (x, z), où les foncions ϕ, ϕ 2 son lisses, x R n es fixé e les rajecoires arriven oujours ransversalemen à la surface de commuaion Σ = {y R 2n ψ(y) = } qui es une variéé différenielle lisse de dimension (2n ). Aaché Temporaire d Enseignemen e de Recherche 33

42 34 CHAPITRE 3. MÉTHODE DE TIR SIMPLE ET COMMUTATION Remarque 2.. Afin d alléger les noaions, on noe ici x l éa comple (noé (x, m) précédemmen) e n (n+ précédemmen) la dimension de ce éa. On noera de même p ((p, p m ) précédemmen) l éa adjoin. Nous conservons comme dimension du sysème la dimension 2n pour reser dans le cadre hamilonien. Nous avons deux méhodes pour calculer la soluion de ce sysème de Cauchy en f. Soi nous uilisons un inégraeur numérique à pas variable e nous laissons le pas adapaif gérer les disconinuiés ; soi nous uilisons un inégraeur ayan une sorie dense [42, 44]. La sorie dense perme en effe d obenir sur chaque inervalle d inégraion [ i, i+ ], une approximaion de la soluion, en général par inerpolaion polynomiale, d un coû numérique rès faible par rappor au pas d inégraion. Nous pouvons ainsi sur l inervalle déecer si la foncion de commuaion ψ change de signe. S il y a une commuaion, nous pouvons aussi localiser ce insan τ, par dichoomie par exemple, e ensuie reprendre l inégraion numérique à parir du poin (τ, y(τ)) en changean de champ de veceurs. 2.2 Calcul de la dérivée La première façon de calculer la dérivée es d effecuer des différences finies. Nous prendrons comme pas de différences finies dans la direcion z i, h i = RelT ol z i, où RelT ol es l erreur locale relaive de l inégraeur numérique. Nous noerons cee méhode de calcul de la dérivée END (Exernal Numerical Differeniaion). Les deux aures méhodes son basées sur les équaions variaionnelles e nécessien la déecion des commuaions via la sorie dense. Supposons qu au poin z on es q commuaions < τ <... < τ q < f. Nous pouvons alors écrire la foncion de ir comme la composée de q foncions S(z) = S q... S (z), avec S : Ω R n Ω R R 2n z (τ (z), y(τ (z), z)), pour i =,..., q e S i : Ω i R R 2n Ω i+ R R 2n (τ i, y i ) (τ i+ (τ i, y i ), y(τ i+ (τ i, y i ), τ i, y i )), S q : Ω q R R 2n Ω q+ R 2n (τ q, y q ) y( f, τ q, y q ). Le héorème des foncions implicies nous donne alors la dérivée de la commuaion τ i+ (τ i, y i ) e donc ensuie la dérivée S i (τ i+, y i+ ). Ce calcul nécessie de calculer les dérivées parielles y τ i (τ i+, τ i, y i ) e y y i (τ i+, τ i, y i ), qui seron obenues en inégran le sysème d équaions variaionnelles associé sur chaque inervalle [τ i, τ i+ ]. Ce sysème variaionnel es de dimension 2n 2n, alors que nous n avons besoin que de la dérivée par rappor à z, c es-à-dire aux n dernières composanes de nore sysème (IVP). Mais il es possible de mieux faire. Considérons pour simplifier la présenaion que l on ai qu un seul insan τ de commuaion dans ], f [. Comme nore sysème es auonome (dans le cas conraire, on ajoue une variable pour le rendre auonome), nous avons y(,, y ) = y(, y ). Supposons, pour fixer les idées, que la dynamique soi ϕ avan l insan τ e ϕ 2 après ce insan. Noons I(y ) la valeur de y en f I(y ) = y 2 ( f τ, y (τ, y )) avec τ = τ(y ) déerminé par ψ(y (τ, y )) =.

43 2. DÉTECTION DES COMMUTATIONS ET ÉQUATIONS VARIATIONNELLES 35 Si nous noons y τ = y (τ, y ), y f nous pouvons écrire = y 2 ( f τ, y τ ), Y (, y ) = y y (, y ) e Y 2 (, y ) = y2 y (, y ), I (y ) = Y 2 ( f τ, y τ )(Y (τ, y ) + ϕ (y τ )τ (y )) ϕ 2 (y f )τ (y ), où la dérivée de l insan de commuaion τ par rappor à y s écri ψ τ y (y τ )Y (τ, y ) (y ) =. ψ y (y τ )ϕ (y τ ) Si nous inégrons le sysème variaionnel jusqu à la commuaion, en posan f relaions ci-dessus nous obenons (Y 2 (τ + τ, y τ ) = I) = τ + dans les Aussi en effecuan la mise à jour I (y ) = Y (τ, y ) + (ϕ (y τ ) ϕ 2 (y τ +))τ (y ). Y := Y + (ϕ (y τ ) ϕ 2 (y τ +))τ (y ), Y es égale à y y (τ +, y ) e nous avons raversé la commuaion. Nous pouvons ensuie poursuivre cee inégraion jusqu à la commuaion suivane. L inérê de cee formulaion réside dans le fai que, pour calculer la dérivée par rappor à z = p, les formules ci-dessus resen vraies si on remplace les dérivées par rappor à y par les dérivées parielles par rappor à z. Ainsi, sur chaque inervalle, nous n aurons pour les équaions variaionnelles qu un sysème de dimension n 2n à inégrer. En conclusion, la complexié pour la calcul de la dérivée avec cee approche es la même que cee par différences finies. Pour calculer la soluion des équaions variaionnelles sur chaque inervalle [τ i, τ i+ ], nous avons deux possibiliés. Soi nous uilisons la différeniaion auomaique (Tapenade ici [43]) pour générer le second membre des équaions variaionnelles, nous noerons V AR AD cee méhode, soi nous approximons ce deuxième membre par différences finies [8, 9, 42], nous noerons cee méhode V AR IND (Inernal Numerical Differeniaion). 2.3 Résulas numériques L inégraeur numérique uilisé es Dopri5 de E. Hairer e G. Wanner. Il uilise le schéma de Runge-Kua d ordre 5(4) de Dormand-Prince e la sorie dense es d ordre 4. Les résulas numériques ci-après on éé obenus pour des olérances locales absolues e relaives de 8 e 6 respecivemen. Nous avons des résulas similaires pour des précisions de 6 / 4 ou de 2 /. Quan à la résoluion de l équaion de ir elle es oujours effecuée avec le logiciel Hybrd. Déecion des commuaions La able 3. (respecivemen 3.2) donne les résulas numériques sur nore ransfer orbial lorsqu on laisse l inégraeur à pas variable gérer les disconinuiés (respecivemen lorsqu on uilise la sorie dense pour déecer e calculer les commuaions). La significaion des colonnes es : T max : poussée maximale (de N à.n) ; Ne (Njac) : nombre d évaluaions de la foncion (de la dérivée) par Hybrd ; Temps : emps de calcul (sur un Penium IV à 2.8GHz) ; S : norme euclidienne de la foncion de ir à la soluion ; Consommaion : valeur du coû f u d ;

44 36 CHAPITRE 3. MÉTHODE DE TIR SIMPLE ET COMMUTATION T max Ne(Njac) Temps S Consommaion Pas Rejeés raio N 6 (5) N 72 (5) N 59 (4) N 2 (7) N 48 (3) N 75 (5) Tab. 3. Calcul de la foncion de ir sans déecion des commuaions T max Ne(Njac) Temps S Consommaion Pas Rejeés raio N 24 () N 2 (8) N 47 (3) N 98 (7) N 79 (5) N 33 (2) Tab. 3.2 Calcul de la foncion de ir avec déecion des commuaions. Pas, Rejeés, raio : nombre oal de pas, nombre de pas rejeés, rappor nombre de pas oal/nombre de pas rejeés. Nous pouvons consaer une meilleure convergence avec la déecion (cf. la norme de la foncion de ir S) e une fore décroissance du emps d exécuion. Comme le nombre d évaluaions de la foncion de ir e de sa dérivée son du même ordre, le gain provien de la diminuion du nombre oal de pas d un faceur 5 e du nombre de pas rejeés d un faceur. Ces valeurs son représenées sur la figure 3.. Nous pouvons consaer la relaion empirique T max Pas C e ; ceci es à rapprocher de la relaion T max fmin C e [32, 46, 54]. 5 Sans decions Avec decions 4 Pas 3 2 Tmax Fig. 3. Nombre oal de pas d inégraion en foncion de la poussée maximale T max. 2.4 Calcul de la dérivée Nous comparons ici les deux méhodes variaionnelles V ar AD e V ar IND avec les différences finies exernes END c. Ces rois méhodes uilisen la déecion des commuaions. Pour les méhodes

45 3. CONSERVATION DU HAMILTONIEN 37 variaionnelles, nous uilisons une variane du logiciel Hybrd qui perme à l uilisaeur de donner la dérivée. Les résulas son synhéisés à la able 3.3. Nous consaons que les méhodes variaionnelles n apporen pas de gains, ni en ce qui concerne la convergence (la norme de la foncion de ir es du même ordre de grandeur), ni en erme du nombre d évaluaions de la foncion de ir e de sa dérivée (informaion non donnée ici), ni en erme de raio nombre de pas oal/nombre de pas rejeés (informaion non donnée ici). La seule différence majeure es le emps de calcul où la méhode variaionnelle uilisan la différeniaion auomaique es environ deux fois plus coûeuse que les deux aures méhodes. Cependan, d après des expériences numériques de R. Épenoy du CNES (communicaion personnelle), il semble que le code de la dérivée générée par Tapenade soi environ deux fois moins performan en erme de emps de calcul que celui généré par Adifor. Si cela es exac, alors, nous ne consaons plus de différences enre ces rois méhodes. 8 / 6 END c V AR AD V ar IND T max Temps S Temps S Temps S N N N N N N Tab. 3.3 Comparaisons numériques des différenes méhodes de calcul de la dérivée de la foncion de ir. Remarque 2.2. Une différence enre les rois méhodes es peu-êre le rayon de convergence, mais nous n avons pas effecué de ess sur ce poin ayan déjà un rès bon poin de dépar via les méhodes homoopiques. 2.5 Conclusion En conclusion, nous pouvons dire que le poin imporan es la déecion des commuaions. D un poin de vue praique, les différences finies suffisen. Une raison es peu-êre que le fai de déecer les commuaions fixe praiquemen la grille de discréisaion ; si ceci es bien le cas, il es logique de ne pas observer de différences enre la différeniaion exerne e inerne. 3 Conservaion du hamilonien 3. Origine de l éude Bien que les résulas de la secion précédenes soien déjà d une rès bonne qualié numérique, nous nous sommes demandés s il n éai pas possible de faire mieux. En effe, nous considérons ici le problème de conrôle, qui es auonome, à insan erminal libre. Nous devons donc avoir le hamilonien consammen nul. Qui plus es, le sysème dynamique que nous inégrons pour évaluer la foncion de ir es un sysème hamilonien, ẋ = H r (x, p) p ṗ = H r (x, p), (3.) x où H r es ici le hamilonien vrai H r (x, p) = H(x, u(x, p), p). (3.2)

46 38 CHAPITRE 3. MÉTHODE DE TIR SIMPLE ET COMMUTATION Or, dans le cas lisse, on sai qu il exise des inégraeurs di sympleciques qui son parfaiemen adapés à cee srucure hamilonienne [4, 2, 9], e des inégraeurs symériques qui eux son adapés aux sysèmes dynamiques réversibles en emps dans le sens où [4, 7] : si le sysème dynamique es hamilonien e si la méhode numérique es symplecique alors le flo numérique es symplecique, nous avons en pariculier la conservaion du volume ; si le sysème es hamilonien e si la méhode numérique es symplecique, nous avons la quasi conservaion du hamilonien sur des emps rès longs ; si le sysème es hamilonien ou réversible en emps e s il es inégrable, alors la croissance de l erreur globale es linéaire en emps. De plus, il a éé monré, oujours dans le cas lisse, que le schéma de la figure 3.2 commuai si les schémas numériques de Runge-Kua éaien sympleciques [25, 26, 39,, 45] Condiion nécessaire Problème de conrôle opimal Problème aux deux bous Discréisaion Discréisaion Problème d opimisaion Condiion nécessaire Équaion non linéaire Fig. 3.2 Schéma commuaif si l inégraion numérique es symplecique. Bien que nore sysème dynamique soi non lisse e non réversible (à cause de l équaion de la masse, mais comme elle varie peu, nous sommes dans le cas quasi réversible), nous nous sommes posés la quesion de l appor évenuel de ces schémas numériques. 3.2 Déecion symérique des commuaions Lorsqu on représene le hamilonien en foncion du emps (cf. la figure 3.3), nous observons qu il es rès bien conservé (consan à la précision machine près) sur les arcs à poussée nulle, bien conservé sur les arcs de poussée, mais qu il présene des saus aux commuaions. Qui plus es, HAMILTONIAN x 7 6 H 4 ψ 2 2 H TIME Fig. 3.3 Hamilonien pour un ransfer à N, l inégraion es effecuée avec Dopri5 (olérences de 2 / ) e la déecion des commuaions. si on effecue l inégraion avec l inégraeur symplecique Gauss d ordre 4 (dans la suie lorsque nous parlerons de l inégraeur de Gauss, ce sera oujours de ce inégraeur à pas fixe basé sur

47 3. CONSERVATION DU HAMILTONIEN 39 le schéma de Gauss à l ordre 4 don il s agira), nous observons le même phénomène (cf. la figure 3.4). HAMILTONIAN x 5 6 RK4 4 GAUSS 2 2 H TIME Fig. 3.4 Hamilonien pour un ransfer à N, l inégraion es effecuée avec le schéma Rk4 e avec le schéma symplecique de Gauss à l ordre 4 avec 5 pas d inégraion, soi un pas d environ h =., e la déecion des commuaions. Remarque 3.. Les inégraeurs sympleciques éan à pas fixes, nous prendrons le schéma classique de Runge-Kua à l ordre 4 Rk4 pour effecuer des comparaisons numériques. Pour nore problème de ransfer orbial, ceci a indui d écrire le sysème dynamique en longiude cumulée L e non plus en en emps. Le sysème réellemen inégré n es donc plus hamilonien... Le poin esseniel es donc ce qui se passe aux insans de commuaion. Rappelons que le calcul acuel d un insan de commuaion es effecué par dichoomie en uilisan la sorie dense de l inégraeur. L inconvénien de cee méhode es qu elle ne respece pas le schéma numérique. En effe, lorsqu une commuaion es déecée sur l inervalle [ i, i+ ], le poin (τ, y τ ) calculé vérifie bien (aux erreurs numériques près) l équaion ψ(y τ ) =, mais y τ es obenu à parir de la sorie dense e ne vérifie donc pas le schéma numérique y τ = Φ τ i (y i ). L idée es alors de déerminer α = τ i h vérifian { yτ = Φ αh (y i ) ψ(y τ ) =, puis, à parir du poin (τ, y τ ) d effecuer un pas ronqué ( α)h avec le deuxième champ de veceur pour obenir le poin y i+. Cee méhode respece la symérie du schéma (si le schéma de dépar es symérique). Cee méhode de calcul, que nous appellerons la déecion avec correcion symérique par opposiion à la déecion simple 2, es visualisée par le schéma de la figure 3.5. Remarque 3.2. Le sysème d équaion non linéaire 3.3 se simplifie en une équaion non linéaire à une inconnue : ψ(φ αh (y i )) =. En résumé ce nouvel algorihme de déecion symérique s écri Iniialisaion On calcul par dichoomie τ comme dans la déecion classique Calcul On résou ψ(φ αh (y i )) =, avec comme insan de commuaion de dépar τ, (soi α la 2 Il s agi d un abus de noaions car la déecion s effecue oujours sur le signe de la foncion de commuaion ψ, c es le pas d inégraion qui respece la symérie ou non. (3.3)

48 4 CHAPITRE 3. MÉTHODE DE TIR SIMPLE ET COMMUTATION y i ψ (y)= y y i+ i+ y i+ Fig. 3.5 En bleu déecion via la sorie dense, en rouge déecion symérique. soluion e y τ = Φ αh (y i )) On effecue un pas ronqué y i+ = Φ ( α)h (y τ ). 3.3 Résulas numériques Regardons ou d abord la différence enre les deux méhodes de déecion sur une inégraion. La figure 3.6, qui compare les deux méhodes de déecion avec l inégraeur de Gauss, monre un gain d un ordre de grandeurs pour la déecion symérique. HAMILTONIAN x H 6 4 DETECTION CORRECTION TIME Fig. 3.6 Hamilonien en foncion du emps pour N ; l inégraion numérique es effecuée avec le schéma de Gauss avec la déecion simple e la correcion symérique. Quan à la able 3.4, qui compare la norme de la foncion de ir e le module du hamilonien (aussi représené graphiquemen sur la figure 3.7), en l insan erminal f pour les inégraeurs à pas fixe Rk4 e Gauss e les deux varianes pour la déecion des commuaions, elle nous monre une augmenaion du hamilonien qui semble linéaire par rappor au emps f pour la déecion simple (qui es, rappelons le, inversemen proporionnel à T max e au nombre de commuaions). Le fai que ces deux inégraeurs présenen les mêmes comporemens laisse à penser que l erreur prépondérane es ici l accumulaion des erreurs aux insans de commuaions. Quan aux résulas avec la correcion symérique, nous consaons une amélioraion de la valeur du hamilonien de à 3 ordres. Nous consaons aussi que la courbe qui correspond à l inégraeur de Gauss avec correcion symérique es praiquemen horizonal, ce qui n es pas le cas de l algorihme Rk4.

49 3. CONSERVATION DU HAMILTONIEN 4 Nous rerouvons donc numériquemen la quasi conservaion du hamilonien pour les inégraeurs sympleciques. N N.N S H( f ) S H( f ) S H( f ) D. DOPRI D. RK D. GAUSS C. RK C. GAUSS Tab. 3.4 Norme de la foncion de ir e du hamilonien pour les poussées de N, N e.n e les inégraeurs à pas fixe (respecivemen 5, 5 e 5 pas) Rk4 e Gauss avec la déecion simple (D.) e avec la déecion avec correcion symérique (C.) ; l inégraeur Dopri5 es présen comme référence (olérances 2 / ). 2 3 RK4 D. GAUSS D. RK4 C. GAUSS C. HAMILTONIAN 4 H( f ) THRUST T max Fig. 3.7 Hamilonien en l insan erminal f en foncion de la poussée (N à gauche e.n à droie) pour les inégraeurs Rk4 e Gauss avec la déecion simple e la déecion avec correcion symérique. Enfin, pour erminer cee première série de ess numériques, nous avons éudié l influence de ces inégraeurs sur le ir simple. La dérivée es ici approximée par différences finies, conformémen à la conclusion de la secion précédene. La able 3.5 donne les résulas obenus pour différenes poussées. Concernan le hamilonien, les observaions son ideniques à celles faies précédemmen, par conre nous consaons une meilleure convergence (c es-à-dire une norme de la foncion de ir plus faible) pour la déecion avec correcion symérique. Remarque 3.3. Rappelons que les inégraeurs Rk4 e Gauss son à pas fixe. Dans ce cas le ir simple, sans la déecion des commuaions, diverge. Nous avons ensuie désiré connaîre l impac de la symérie du schéma sur ces méhodes. Pour cela, nous avons ou d abord considéré un pas non symérique lorsqu il y a une commuaion. Il consise ou simplemen à parir du poin (τ, y τ ) calculé par la méhode de déecion avec

50 42 CHAPITRE 3. MÉTHODE DE TIR SIMPLE ET COMMUTATION N N.N S H( f ) S H( f ) S H( f ) D. DOPRI D. RK D. GAUSS C. RK C. GAUSS Tab. 3.5 Résulas pour le ir simple, norme de la foncion de ir e du hamilonien pour les poussées de N, N e.n e les inégraeurs à pas fixe (respecivemen 5, 5 e 5 pas) Rk4 e Gauss avec la déecion simple (D.) e avec la déecion avec correcion symérique (C.) ; l inégraeur Dopri5 es présen comme référence (olérances 2 / ). correcion symérique de prendre un pas h normal (e non plus un pas ronqué de ( α)h. En examinan le rappor H( f )/H( f ), où H( f ) désigne la valeur du hamilonien avec ce nouveau pas (cf. able 3.6), nous observons que le hamilonien es moins bien conservé pour la correcion asymérique. N N.N RK GAUSS Tab. 3.6 Rappor H( f )/H( f ) pour différenes poussées e les inégraeurs Rk4 e Gauss. L inégraeur Rk4 n es pas symérique, mais, éan basé sur un schéma de Runge-Kua d ordre pair, son comporemen es, pour les emps suffisammen cours, idenique à un inégraeur symérique. Aussi pour confirmer nos résulas, nous avons esé l inégraeur Rk3 basé sur un schéma de Runge-Kua d ordre 3. La able 3.7 monre clairemen qu il n y a enre ces varianes aucun appor les correcions par rappor à la déecion simple. N N.N S H( f ) S H( f ) S H( f ) RK3 D RK3 C RK3 A Tab. 3.7 Norme de la foncion de ir e du hamilonien pour différenes poussées, l inégraeur es Rk3 avec la déecion simple (D.), la déecion avec correcion symérique (C.) e la déecion avec correcion asymérique (A.). Pour résumer, voici à la figure 3.8, le hamilonien pour une poussée de N pour les rois inégraeurs Rk4, Rk3 e Gauss e pour les rois varianes pour la déecion des commuaions. 3.4 Conclusion En conséquence, comme nous l avons menionné en inroducion de ce chapire, la nouvelle méhode de calcul des commuaions respecan la symérie, couplée à un schéma symplecique donne de bien meilleurs résulas quan à la conservaion du hamilonien, l évaluaion de la foncion de ir e la convergence de la méhode de ir. Remarque 3.4. En praique, la méhode de ir es souven uilisée avec un inégraeur à pas variables. Malheureusemen, il n exise pas d inégraeur symplecique à pas variables. Par conre il exise des inégraeurs à pas variables symériques. Comme c es visiblemen cee propriéé qui es

51 3. CONSERVATION DU HAMILTONIEN 43 HAMILTONIAN x 4 5 HAMILTONIAN x 5 8 HAMILTONIAN x H 2 DETECTION CORRECTION ASYMMETRIC H 8 6 DETECTION CORRECTION ASYMMETRIC H 8 6 DETECTION CORRECTION ASYMMETRIC TIME TIME TIME Fig. 3.8 Hamilonien en foncion du emps pour une poussée de N, pour les inégraeurs Rk3 (à gauche), Rk4 (au cenre) e Gauss (à droie), avec la déecion simple, la déecion avec correcion symérique e la déecion avec la correcion asymérique. la plus imporane ici, ce son ces inégraeurs qu il fau uiliser si l on veu uiliser un inégraeur à pas variables. Remarque 3.5. Les inégraeurs de Runge-Kua d ordre pair se comporen en emps suffisammen cour comme les inégraeurs symériques. Ces schémas son donc bien adapés pour le ir simple. Dans nos expérimenaions numériques concernan le ir simple, lorsqu il y a des commuaions, en comparan les inégraeurs Rkf45 e Dopri5, e en laissan le pas variable gérer les commuaions, l inégraeur Rkf45 donnai souven de meilleurs résulas en erme de convergence. Nous nous demandons aujourd hui si l origine ne provien pas de la quasi symérie de Rkf45 (qui inègre avec le schéma à l ordre 4, le schéma à l ordre 5 servan à conrôler l erreur locale) conrairemen à Dopri5 (qui inègre avec le schéma à l ordre 5, le schéma à l ordre 4 servan à conrôler l erreur).

52 44 CHAPITRE 3. MÉTHODE DE TIR SIMPLE ET COMMUTATION

53 Chapire 4 Condiions du second ordre Inroducion Une fois que l on a résolu la condiion nécessaire du premier ordre, il es ou naurel de s inéresser aux condiions suffisanes de soluion du deuxième ordre. Ceci n es pas rivial ici, car le conrôle es bang-bang dans le sens où la norme du conrôle es nulle ou égale à. La siuaion es ici différene de celle exposée dans [52, 53] e [2]. Dans ces aricles en effe, les conrôles ne prennen qu un nombre fini de valeurs différenes. Ici, lorsque la norme du conrôle es, nous ne connaissons pas sa direcion. Mais, si nous avions un problème de conrôle opimal lisse, nous pourrions uiliser la condiion du deuxième ordre définie à parir des noions d insans e de poins conjugués [,, 3, 4, 6], pour lequel il exise un algorihme de calcul e un logiciel libre Coco [2]. Or, si nous considérons le crière Jε 4 (u) = f ( u ε(ln( u ) + ln( u )))d, nous sommes bien dans ces pré-requis. D où l idée de calculer ces insans e poins conjugués pour une suie de valeurs de ε qui converge vers. Nous allons donc dans ce chapire ou d abord rappeler à la secion 2 la noion d insans e de poins conjugués ainsi que le héorème donnan les condiions suffisanes du deuxième ordre. Cee présenaion es largemen inspirée de la hèse de R. Dujol [27]. Ensuie, dans la secion 3, nous présenerons les résulas obenus pour le problème de ransfer orbial. 2 Poins conjugués 2. Hypohèses Nous supposerons dans la suie que les 5 hypohèses suivanes son vérifiées. (H) L éa es oalemen fixé aux insans iniial e erminal. (H2) L ensemble U des conraines sur le conrôle es un ouver de R m. (H3) On es dans le cas normal (p = ). (H4) Les condiions fores de Legendre-Clebsch son vérifiées le long de l exrémale : α > el que 2 H (x(), u(), p()).(v, v) α v 2 v R m e. u2 Pour exprimer la dernière hypohèse nous avons besoin de définir l applicaion exrémié. Pour cela on défini le sysème augmené, c es-à-dire avec le coû x = f(, x, u). Définiion 2. (Applicaion exrémié). Soi < f e x R n+, on appelle applicaion 45

54 46 CHAPITRE 4. CONDITIONS DU SECOND ORDRE exrémié l applicaion définie par E ex, : U [,] R n+ u x(, x, u), où U [,] es l ensemble des conrôles resreins à l inervalle [, ] muni de la norme.. Nous pouvons mainenan définir l hypohèse (H5) Le conrôle es de codimension sur ou inervalle [, ] ], f ], c es-à-dire que 2.2 Définiions e héorème dim Im(E ex( ), ) = n < < f. Définiion 2.2 (Hamilonien vrai). On appelle hamilonien vrai l applicaion H r (x, p) = H(x, u(x, p), p), (4.) où u(x, p) es le conrôle soluion de la minimisaion du hamilonien. On noe e l exrémale es alors soluion de H(y) = ( Hr p Hr x ẏ = H(y) Quan à l applicaion exponenielle, nous avons la ) (x, p) (x, p), (4.2) Définiion 2.3 (Applicaion exponenielle). Soi f e x R n, on appelle applicaion exponenielle l applicaion exp x, : Λ R n p x(, x, p ), où Λ es R n si f es fixé e {p R n H r (x, p ) = } si f es libre. Remarque 2.4. Ici p = p() désigne un veceur de R n. Définiion 2.5 (Poin conjugué géomérique). Soi H r (x, p) un hamilonien lisse e y = (x, p) une rajecoire de H définie sur [, f ]. On appelle équaion de Jacobi le long de y l équaion aux variaions δy = dh(y).δy. (4.3) Un champ de Jacobi es une soluion non riviale de cee équaion, noé J = (δx, δp). On di que J es verical à l insan si δx() =. Le emps c e le poin correspondan x( c ) son dis géomériquemen conjugués à e x() respecivemen s il exise un champ de Jacobi verical aux insans = e = c. Nous pouvons mainenan donner le héorème fondamenal suivan [6]. Théorème 2.6. Soi (x, u, p) une exrémale du problème de conrôle e c le premier emps conjugué. Alors, sous les hypohèses (H) (H5) (i) x es localemen C -opimal avan l insan c ; (ii) x n es pas localemen L opimal après l insan c (c es-à-dire dans un voisinage de u pour la opologie L ).

55 3. APPLICATION AU TRANSFERT ORBITAL Calcul des poins conjugués L hypohèse (H4) implique que le hamilonien vrai es lisse. Temps final fixé Dans ce cas, le domaine de définiion de l applicaion exponenielle exp x, es R n. Aussi, si on calcule les champs de Jacobi J i = (δ i x, δ i p), i =,..., n qui corresponden aux condiions iniiales δ i x() = e δ i p() = e i, où (e i ) i=,...,n es la base canonique de R n, l insan sera un insan conjugué si e seulemen si rang{δx (),..., δx n ()} n. (4.4) Temps final libre Dans ce cas, le domaine de définiion de l applicaion exponenielle es la variéé X = {p R n H r (x, p ) = } de dimension n. Par suie les δp() son resreins à apparenir à l espace angen T p X = {δp() R n H r p (x, p )δp = f(x, u(x, p )).δp() = }. Il es donc facile de calculer une base de ce espace angen (δp (),..., δp n ()) e sera alors un poin conjugué si e seulemen si rang{δx (),..., δx n ()} n 2. (4.5) Remarque 2.7. Praiquemen on calculera la plus peie des valeurs singulières des marices pour savoir si le rang es maximal ou non. 3 Applicaion au ransfer orbial 3. Lissage par homoopie Nore problème de ransfer orbial ne vérifie pas, bien évidemmen, les hypohèses ci-dessus. Tou d abord, dans nore cas, la masse à l insan erminal n es pas fixée! Nous allons donc ici considérer le cas où la masse es consane e donc supprimer cee équaion dans les équaions d éa. Ensuie, nous sommes dans le cas où le conrôle opimal es bang-bang e nous n avons donc pas les condiions de régularié requises. Aussi, une nouvelle fois, nous allons uiliser l homoopie. Nous considérons le crière Jε 4 = f u ε(ln( u ) + ln( u ))d. En effe pour ce crière, nous vérifions bien les hypohèses de régularié : U es la boule ouvere B(, ) privée de, c es donc bien un ouver de R 3, e on peu vérifier sans difficulé que le long de l exrémale on a si v 2 H (x(), u(), p()).(v, v) >, u2 par suie, comme nous supposons que f es borné, l hypohèse (H4) sera bien vérifiée. Bien que pour ce crière nous n avons pas démonré l exisence de soluion, ni la convergence lorsque ε emps vers, les expérimenaions numériques nous laissen penser que ces propriéés son vraies. On peu par exemple comparer les résulas des figures 2. e 2. du chapire 2 qui donnen les résulas pour ε = e 4.3 e 4.4 ci-après qui donnen les résulas pour ε = 5 (en poursuivan l inégraion jusqu à.5 fois le emps final). Le vrai hamilonien s écri alors H ε (x, p) = u ε (x, p) ε(ln( u ε (x, p) ) + ln( u ε (x, p) )) + T max m (u ε(x, p) φ(x, p)) + (f (x) p). (4.6)

56 48 CHAPITRE 4. CONDITIONS DU SECOND ORDRE 3.2 Résulas numériques Temps final libre Les figures donnen les soluions obenues pour respecivemen ε = e ε = 5. Quan à la figure 4.6 elle visualise la plus peie valeur singulière pour ε =,.,.,.,.. Nous consaons bien que la condiion du deuxième ordre es ici vérifiée pour oues les valeurs de ε. e y P e x u L h x x 3 h y p P p ex p ey φ p hx p L p hy u 3 u φ 3 ψ u φ φ 2 4 Fig. 4. Éa, éa adjoin, conrôle e foncion de commuaion pour T max = N, c Lf [,.5 f ] e ε =. = 2,

57 3. APPLICATION AU TRANSFERT ORBITAL 49 5 x 2.5 eps= 2 σ q q x 5 q 5 4 eps= 4 2 q3 σ 3 q q 5 5 q Fig. 4.2 Trajecoire e plus peie valeur singulie re pour Tmax = N, clf = 2, [,.5 f ] e ε = hx ex x 5 2 pe.2.2 hy ey pl y 5 5 ph 5 x pe 5 x pp y 2 5 ph L P 4.2 u φ ψ u u u 5 φ φ φ Fig. 4.3 E a, e a adjoin, conro le e foncion de commuaion pour Tmax = N, clf = 2, [,.5 f ] e ε = 5.

58 5 CHAPITRE 4. CONDITIONS DU SECOND ORDRE 2 x 5.5 eps=e 5 q 2 q q q 5 q σ σ 3 2 x 4 eps=e q q Fig. 4.4 Trajecoire e plus peie valeur singulière pour T max = N, c Lf ε = 5. = 2, [,.5 f ] e σ 3 x eps=. eps= eps=. eps=e σ 7 x eps=. eps= eps=. eps=e Fig. 4.5 Plus peie valeur singulière pour T max = N, c Lf = 2, [,.5 f ] e ε =,.,.,..

59 3. APPLICATION AU TRANSFERT ORBITAL 5 Temps final fixé Nous ne donnons ici que le graphique concernan les valeurs singulières x 5 σ.5 eps=. eps=. eps=. eps=. eps= σ 7 x eps=. eps=. eps=. eps=. eps= Fig. 4.6 Plus peie valeure singulière pour T max = N, c Lf =.78, f = 27.5h, [,.5 f ] e ε =,.,.,.,.. Les résulas numériques que nous avons obenus son donc rès encouragean. Il nous rese à éudier la convergence lorsque ε end vers.

60 52 CHAPITRE 4. CONDITIONS DU SECOND ORDRE

61 Conclusion Nous avons donc réussi à résoudre nore problème de conrôle opimal à soluion bang-bang sans aucune connaissance a priori sur la srucure de la commande opimale. Deux poins resen cependan à approfondir pour que cee éude soi complèe : les condiions du deuxième ordre e le schéma numérique de déecion des commuaions. Quan aux méhodes homoopiques présenées ici, elles on aussi éé uilisées pour résoudre des problèmes don la soluion comprenai un arc singulier [2, 48, 47]. L idée essenielle es oujours de définir une homoopie elle que pour λ < le conrôle soi régulier e de suivre le chemin de zéros jusqu à ε. L éude de la foncion de commuaion e de la commande opimale obenues nous indique alors la srucure de conrôle. Connaissan cee srucure, le ir muliple nous perme ensuie d obenir la soluion. Mais le choix de ce ε es délica en praique e cee méhode n es pas à ce jour oalemen saisfaisane. Un aure cadre dans lequel nous pensons par conre que ces méhodes homoopiques peuven nous êre uiles es le raiemen de problèmes avec les conraines sur l éa. L idée éan oujours que ce soi la méhode que déermine la srucure de la soluion, c es-à-dire la suie d arcs conrains, non conrains ou de poins de conac. Enfin concernan les développemens plus numériques, nous avons à améliorer le logiciel Mfmax. En fai, il nous fau re-écrire le suivi du chemin de zéros afin que l uilisaeur puisse choisir en pariculier différens schémas numériques pour la prédicion. Il nous fau aussi bien évidemmen dans ce logiciel inégrer le calcul de la dérivée de l homoopie de ir en uilisan les équaions variaionnelles e la différeniaion auomaique ou l Inernal Numerical Differeniaion. 53

62 54 CHAPITRE 4. CONDITIONS DU SECOND ORDRE

63 Annexe A Minimisaion du hamilonien Inroducion Nous donnons dans cee annexe les soluions analyiques du problème de la minimisaion du hamilonien pour les différenes homoopies e pour λ [, [. Nous visualiserons aussi la foncion α dans le cas où la foncion de singularié φ es non nulle. On rappelle que φ i (y) = (f i (x) p) i =,..., m e ψ(y) = βt max p m T max m φ(y) 2 Crière J λ Le crière es J λ (u) = La minimisaion du hamilonien es alors Si φ(y) alors avec f (λ u + ( λ) u 2 )d. u(y, λ) = α(ψ(y), λ) φ(y) φ(y) si ψ(y) < ( λ) α(ψ(y), λ) = ψ(y) +λ 2( λ) si ψ(y) ( λ) si ψ(y) > ( λ) Si φ(y) = S(, ) si ψ(y) < ( λ) u(y, λ) = S(, ψ(y) +λ 2( λ) ) si ψ(y) ( λ) si ψ(y) > ( λ) La figure A. représene, lorsque φ(y) la foncion α en foncion de ψ pour différenes valeurs de λ. 55

64 56 ANNEXE A. MINIMISATION DU HAMILTONIEN.8.6 α ψ Fig. A. Crière J λ ; foncions α(ψ, λ) pour λ =,.5,.8. 3 Crière J 2 λ Le crière es On pose La minimisaion du hamilonien es alors Si φ(y) alors avec Si φ(y) = J λ (u) = f u 2 λ d. γ(ψ, λ) = ψ 2 λ u(y, λ) = α(ψ(y), λ) φ(y) φ(y) si (γ(ψ(y), λ) /( λ) α(ψ(y), λ) = γ(ψ(y), λ) si γ(ψ(y), λ) /( λ) [, ] si (γ(ψ(y), λ) S(, ) si (γ(ψ(y), λ) /( λ) u(y, λ) = S(, γ(ψ(y), λ) /( λ) ) si γ(ψ(y), λ) /( λ) [, ] si (γ(ψ(y), λ) La figure A.2 représene, lorsque φ(y) la foncion α en foncion de ψ pour différenes valeurs de λ. 4 Crière J 4 ε Le crière es J ε (u) = La minimisaion du hamilonien es alors Si φ(y) alors f ( u ε ln( u ))d. u(y, ε) = α(ψ(y), ε) φ(y) φ(y)

65 5. CRITÈRE J 5 ε α ψ Fig. A.2 Crière Jλ 2 ; foncions α(ψ, λ) pour λ =,.5,.8. avec Si φ(y) = α(ψ(y), ε) = { + ε ψ(y) si ψ(y) ε si ψ(y) > ε { S(, + ε u(y, ε) = ψ(y) ) si ψ(y) ε si ψ(y) > ε La figure A.3 représene, lorsque φ(y) la foncion α en foncion de ψ pour différenes valeurs de ε..8.6 α ψ Fig. A.3 Crière J 4 ε ; foncions α(ψ, ε) pour ε =.5,.,.. 5 Crière J 5 ε Le crière es J ε (u) = f La minimisaion du hamilonien es alors Si φ(y) alors ( u ε(ln( u ) + ln( u )))d. u(y, ε) = α(ψ(y), ε) φ(y) φ(y)

66 58 ANNEXE A. MINIMISATION DU HAMILTONIEN avec Si φ(y) = 2ε α(ψ(y), ε) = ψ(y) + 2ε + ψ(y) 2 + 4ε 2 ( ) 2ε u(y, ε) = S, ψ(y) + 2ε + ψ(y) 2 + 4ε 2 La figure A.4 représene, lorsque φ(y) la foncion α en foncion de ψ pour différenes valeurs de ε..8.6 α ψ Fig. A.4 Crière J 5 ε ; foncions α(ψ, ε) pour ε =.5,.,..

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72 64 BIBLIOGRAPHIE

73 Résumé. Le problème considéré es celui du conrôle opimal des ransfers orbiaux (problème proposé par le Cenre Naional d Éudes Spaiales). Le modèle reenu es l équaion de Kepler conrôlée, la loi de commande éan la poussée d un saellie en orbie auour de la Terre. Les conribuions concernen la résoluion numérique du problème à consommaion minimale. À cause de la convexié, mais de la non srice convexié, du hamilonien par rappor au conrôle, le conrôle opimal es bang-bang. Les difficulés pour la résoluion numérique par la méhode de ir son résolues par une approche homoopique. L idée principale es de définir une famille de problèmes qui dépend d un paramère λ [, ]. Ainsi, nous connecons, pour λ =, le problème simple de la minimisaion de l énergie (le carré de la norme L 2 du conrôle) à nore problème de minimisaion de la consommaion (norme L du conrôle) pour λ =. Les foncions de ir associées à cee famille de problèmes nous définissen alors une homoopie S(z, λ). Pour suivre le chemin de zéros de cee homoopie nous avons éudié les algorihmes de prédicion correcion e les algorihmes simpliciaux. Ces méhodes homoopiques nous fournissen un excellen poin de dépar pour résoudre le problème en λ = via un algorihme de ype Newon. Mais, pour résoudre précisémen nore problème de minimisaion de la consommaion, il es nécessaire de déecer finemen les commuaions e la dérivée de la foncion de ir. Un nouveau schéma pour calculer ces commuaions es proposé qui perme d améliorer la conservaion du hamilonien, la précision de l évaluaion de la foncion de ir, ainsi que que la convergence de la méhode de ir. Enfin, des premiers résulas numériques son présenés sur les condiions du deuxième ordre basées sur la noion de poins conjugués. Mos-clés. Conrôle opimal, conrôle bang-bang, ransfer orbial, minimisaion de la consommaion, méhode de ir, méhodes homoopiques, commuaions, poins conjugués Classificaion MSC2. 49M5, 65P, 7Q5 Absrac. The opimal conrol of orbial ransfers is considered (problem proposed by he French Space Agency). The model is he conrolled Kepler equaion where he command law is he hrus of he saellie in orbi around he Earh. The conribuions deal wih he numerical resoluion of he minimum consumpion problem. Because of he convexiy, bu he non-sric convexiy, of he Hamilonian wih respec o he conrol, he opimal conrol is bang-bang. So his problem is very difficul o solve by shooing mehod and a homoopic approach is proposed for solving hese difficulies. The main idea is o define a family of problems which depends on a parameer λ [, ]. So we connec, for λ = he simpler problem wih he minimizaion of he energy (square of he L 2 norm of he conrol), o our minimum consumpion problem (L norm of he conrol) for λ =. The shooing funcions associaed o his family of opimal conrol problems define a homoopy S(z, λ). We hen invesigae he wo classes of algorihms for pah following he homoopy zeros : Predicor Correcor and Piecewice Linear algorihms. These homoopy mehods give us an excellen saring poin for he Newon s mehod a λ =. For solving precisely our minimum consumpion problem, i is necessary o deec accuraely he swiching imes and he derivaive of he shooing funcion. A new scheme for compuing he swiching imes is proposed which improves he conservaion of he Hamilonian, he evaluaion of he shooing funcion and he convergence of he shooing mehod. Finally, we presen firs numerical resuls on second order condiions based on conjugae poins. Keywords. Opimal conrol, bang-bang conrol, orbial ransfer, minimizaion of he consumpion, shooing mehod, homoopic mehod, swiching imes, conjugae poins MSC2 classificaion. 49M5, 65P, 7Q5 Universié de Toulouse, INP-ENSEEIHT-IRIT, 2 rue Camichel, 37 Toulouse, France