Mathématiques I Section Architecture, EPFL

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1 Instructions: Examen, semestre d hiver 20 Mathématiques I Section Architecture, EPFL G. Favi le 22 janvier 205 Durée: 0 Mettez votre nom et votre numéro Sciper sur chaque page de l examen. Faites de même avec les feuilles de brouillon supplémentaires, que vous glisserez à la fin de l épreuve entre les pages de ce cahier. Pour chaque question, expliquez clairement votre démarche et mettez le résultat final en évidence. Le raisonnement et les détails de calculs sont au moins aussi important que la solution dans l attribution des points. Simplifiez vos réponses et donnez des valeurs exactes (à l aide de fractions, de racines, et de constantes mathématiques). Si votre réponse ne tient pas dans l espace attribué à la suite de chaque Problème, indiquez clairement où se situe la suite (sur quelle feuille de brouillon, ou au dos de quelle page). Matériel autorisé: Tout support écrit. Pas de machine à calculer graphique. Pr.. Pr. 2. Pr. 3. Pr.. Total le 22 janvier 205

2 Problème. (0 points) (a) Trouver un polynôme p(x) qui donne les mêmes valeurs que la fonction 2 x en x = 0,, 2, 3. (b) Calculer π 5. En déduire la valeur exacte de cos( 5 ). (c) Donner une formule pour la fonction ln( x2 ) en termes de série infinie. (d) Montrer par le calcul la formule a 3 b 3 = (a b)(a 2 + ab + b 2 ). (e) Montrer que ln(a 3 b 3 ) ln(a b) = ln(a 2 + ab + b 2 ) pour tout a > b 0. (a) On utilise la formule du polynôme d interpolation: Le polynôme d interpolation passant par les points (0, y 0 ), (, y ), (2, y 2 ),..., (n, y n ) est p(x) = y 0 + x y 0 + x(x ) 2 y x(x )... (x n + ) n y n On rappelle que les coefficients sont calculés grâce au schéma suivant y 0 y 0 y 2 y 0 y 3 y 0 y 2 2 y y 2 y 3 où y i = y i+ y i 2 y i = y i+ y i 3 y i = 2 y i+ 2 y i Dans notre cas, nous avons y 0 =, y = 2, y 2 =, y 3 = on trouve donc 2 2 Le polynôme cherché est donc p(x) = x 2 + x(x ) x(x )(x 2). (3 points en tout) (- point par faute commise) 2 le 22 janvier 205

3 (b) Un simple calcul de fractions donne = 5 et donc 2π 3 2π 5 = π 5. On calcule alors le cosinus de π 5 grâce à la formule cos(θ θ 2 ) = cos θ cos θ 2 + sin θ sin θ 2. On obtient ainsi cos( π 5 ) = cos(2π 3 2π 5 ) = cos(2π 3 ) cos(2π 5 ) + sin(2π 3 ) sin(2π 5 ) or cos( 2π 3 ) = 2 et sin( 2π 3 ) = 3 2, d après l exercice 3 de la série 7, nous savons que cos( 2π 5 ) = 5 et sin( 2π 5 ) = 5+ 5 = On trouve ainsi cos( π 5 ) = (3 points en tout) (- point par faute commise) (c) Nous avons vu la formule de Mercator ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x + pour x <. De là on tire une formule pour ln( x) = x x2 2 x3 3 x x2 et on remplace x par pour trouver ln( x2 ) = x2 x 32 x6 92 x 02 (2 points en tout) (- point par faute commise) (d) Un simple calcul donne (a b)(a 2 + ab + b 2 ) = a 3 + a 2 b + ab 2 ba 2 ab 2 b 3 = a 3 b 3. ( point en tout) (e) D après le calcul fait ci-dessus on a ln(a 3 b 3 ) = ln((a b)(a 2 +ab+b 2 )) = ln(a b)+ln(a 2 +ab+b 2 ). En enlevant ln(a b) de part et d autre on obtient l égalité cherchée. Notons que la condition a > b 0 est nécessaire pour assurer que a b > 0, a 3 b 3 > 0 et que a 2 + ab + b 2 > 0 (autrement le logarithme ne serait pas défini). ( point en tout) 3 le 22 janvier 205

4 Problème 2. (0 points) Calculer les dérivées des fonctions suivantes: (a) a(x) = ln( + x + x 2 ); (b) b(x) = ( + sin(x)) 3 ; (c) c(x) = e arctan(x) ; (d) d(x) = 5 x ; (e) e(x) = cos(x 2 ) sin 2 (x). (a) Comme ln (x) = x, on a a (x) = 2x + x 2 + x +. (b) Comme sin (x) = cos(x) et (x 3 ) = 3x 2, on a par la formule de la dérivée des fonctions composées b (x) = 3( + sin(x)) 2 cos(x). (c) Comme arctan (x) = +x 2, on a c (x) = earctan(x) + x 2. (d) Comme 5 x = e ln(5x) = e x ln(5) on a d (x) = e x ln(5) ln(5) = 5 x ln(5). (e) Comme (cos(x 2 )) = sin(x 2 )2x et (sin 2 (x)) = 2 sin(x) cos(x) on a e (x) = 2 sin(x) (cos(x) cos(x 2 ) x sin(x) sin(x 2 )) (2 points par dérivée) le 22 janvier 205

5 Problème 3. (5 points) On considère 3 cercles comme dans la figure ci-contre. Les centres des trois cercles sont alignés sur le diamètre [AC] et les deux cercles intérieurs sont tangents en un point B. On note x et y les diamètres des cercles intérieurs. La perpendiculaire au diamètre [AC] passant par B coupe le grand cercle en un point H. On note h la longueur du segment [BH], s la longueur de [AH] et t celle de [CH]. Pour finir notons S l aire de la surface grisée. H s h t A B C x y S a) Montrer que S = π ((x + y)2 x 2 y 2 ) = π 2 xy. b) Montrer que x 2 + h 2 = s 2 et que y 2 + h 2 = t 2. c) Montrer que (x + y) 2 = s 2 + t 2. d) Déduire de b) et de c) que h = xy. e) Conclure que S ne dépend que de h et donner une formule pour S en termes de h uniquement. f) A-t-on un résultat analogue avec des sphères et des volumes? a) On rappelle que l aire A d un disque de rayon r est donnée par la formule A = πr 2. Si d = 2r désigne le diamètre on a donc la formule A = π d2. L aire grisée est égale à l aire du grand cercle (de diamètre x + y), moins l aire des deux cercles intérieurs. Donc S = π (x + y)2 π x2 π y2. En développant cette expression on trouve S = π 2xy = π 2 xy. (3 points) b) D après la donnée, les triangles ABH et CBH sont rectangles en B. Ainsi, par le Théorème de Pythagore appliqué à ces triangles, on trouve x 2 + h 2 = s 2 et y 2 + h 2 = t 2. (2 points) c) D après le Théorème de Thalès, le triangle AHC est rectangle en H. Ainsi, une dernière application du Théorème de Pythagore donne (x + y) 2 = s 2 + t 2. (2 points) d) En développant la formule trouvée en c) on trouve s 2 +t 2 = (x+y) 2 = x 2 +2xy+y 2. On remplace par les expressions de s 2 et t 2 trouvées en b) et on obtient x 2 + h 2 + y 2 + h 2 = x 2 + 2xy + y 2. Une dernière simplification donne h 2 = xy ou encore h = xy. (3 points) e) D après la partie a) on a que S = π 2 xy et d après d) ci-dessus xy = h2 donc S = π 2 h2 qui est une expression ne dépendant que de h. (2 points) f) Non, il n y a pas de résultat analogue avec des sphères et des volumes. En effet, le volume V d une sphère de rayon r (et de diamètre d = 2r) est donné par la formule V = π 3 r3 = π 6 d3. Ainsi, l analogue de la surface grisée est un volume T donné par la formule T = π 6 ((x + y)3 x 3 y 3 ). Cette dernière expression se simplifie en T = π 2 (x2 y + xy 2 ). On voit dans cette formule que l on ne peut pas isoler xy = h 2 et donc on ne peut pas exprimer ce volume en termes de h uniquement. (3 points) 5 le 22 janvier 205

6 Problème. (20 points) Soit h(x) = sin(x)e x. (a) Trouver tous les points où la fonction h s annule. (b) Calculer h (x), h (x), h (x) et h () (x). (c) Montrer par récurrence que h (n) (x) = ( ) n h(x) pour tout n 0. (d) Donner les coordonnées des maxima et des minima locaux de h(x) compris entre π et π. (Indiquer clairement lesquels sont des maxima et lesquels sont des minima). (e) Vérifier que sin(x)e x dx = 2 (sin(x) cos(x))ex + C, où C est une constante. (f) Calculer l aire comprise entre la courbe y = h(x) et l axe des abscisses, entre 0 et π. (a) On cherche tous les x R tels que h(x) = 0 i.e. tels que sin(x)e x = 0. Or on sait que e x > 0 pour tout x. La question revient donc à trouver les x tels que sin(x) = 0. Ainsi on trouve h(x) = 0 x = kπ avec k Z. ( point pour e x > 0, 2 points pour la bonne réponse, total 3 points) (b) On utilise la règle de dérivation (fg) = f g + fg. On trouve h (x) = cos(x)e x + sin(x)e x = (cos(x) + sin(x))e x h (x) = sin(x)e x + cos(x)e x + cos(x)e x + sin(x)e x = 2 cos(x)e x h (x) = 2(cos(x) sin(x))e x h () (x) = 2( sin(x) + cos(x) cos(x) sin(x))e x = sin(x)e x ( point par dérivée correcte, total points) (c) La formule est vraie pour n = 0 (banalement) et pour n = d après le calcul ci-dessus. Supposons l assertion vérifiée pour un n et montrons-la pour n + : h ((n+)) (x) = h (n+) (x) = (h (n) (x)) () = (( ) n () (b) h(x)) = ( ) n ( h(x)) = ( ) (n+) h(x). ( point pour n = 0 ou n =, 3 points pour bonne déduction, total points) 6 le 22 janvier 205

7 (d) Les extrema de h se trouvent parmi les zéros de la dérivée première. Ainsi on cherche les x [ π, π] tels que h (x) = 0. D après le calcul fait en (b) on doit avoir cos(x) + sin(x) = 0, autrement dit cos(x) = sin(x). Les solutions de cette dernière équation qui sont comprises entre π et π sont x = 3π et x 2 = 7π. Pour savoir la nature de ces points (minimum, maximum) on peut faire appel à la dérivée seconde. Comme h (x ) < 0 on a que x est un maximum local, tandis que x 2 est un minimum local car h (x 2 ) > 0. ( point pour h (x) = 0, point pour chaque solution, pour pour chaque justification, total 5 points) (e) Pour vérifier cette assertion il suffit de dériver le terme de droite. On calcule ainsi que ( 2 (sin(x) cos(x))ex + C) = 2 ((cos(x) + sin(x))ex (cos(x) sin(x))e x ) = sin(x)e x ( point pour l idée de la dérivée, point si calcul juste, total 2 points) (f) L aire cherchée se trouve en calculant l intégrale I = 0 une primitive de h au point (e) ci-dessus on trouve que I = π 2 (sin(x) cos(x))ex ) = 0 2 (eπ + ) ( point pour bonne formule, point pour calcul, total 2 points) π h(x) dx. Comme nous avons trouvé 7 le 22 janvier 205