La fonction exponentielle f de base q > 0 transforme... Pour tous réels x et y : f (x+y)= f (x) f (y) Autrement dit, pour tous réels x et y :...

Transcription

1 I FONCTIONS EXPONENTIELLES DE BASE q (VIDÉO ) FONCTIONS EXPONENTIELLES x q x, AVEC q > 0 Soit q un nombr strictmnt positif. La suit (u n ) défini pour tout ntir n par u n = q n st un suit géométriqu d raison q. La fonction d bas q st l prolongmnt d ctt suit géométriqu. DÉFINITION Soit q un rél strictmnt positif La fonction f défini pour tout rél x par f (x)=q x s appll la fonction On admt qu ctt fonction st dérivabl surr. EXEMPLE La fonction f défini pour tout rél x par f (x)=0,8 x st la fonction xponntill d bas 0,8. Un valur approché d l imag d 5,3 st obtnu à la calculatric n tapant la séqunc : RELATION FONCTIONNELLE La fonction xponntill f d bas q > 0 transform Pour tous réls x t : f (x+)= f (x) f () Autrmnt dit, pour tous réls x t : EXEMPLE : 2,3 3+4 = C qui st découl ds propriétés ds puissancs abordés n collèg. Pour tous réls x t, t En fft, D plus, Pour tout rél x, En fft, Pour tout rél x t tout ntir rlatif m, Propriété usull ds xposants ntirs rlatifs. Pour tout ntir naturl n> 0, q n st «la racin n-ièm» d q Pour tout ntir naturl n> 0, comm n n=, alors q n st l nombr tl qu ( q n ) n = q EXEMPLE(vidéo 2) Énoncé : Un ntrpris s st fixé comm objctif d réduir d 30 % ss émissions d gaz à fft d srr d ici quinz ans. D combin doit-ll réduir n monn ss émissions d gaz chaqu anné pour Pag sur 5

2 attindr son objctif? Corrction : Soit t % l pourcntag d évolution annul mon ds émissions d gaz à fft d srr. On a : ( + t ) 5 = 0,7 + t = 0,7 5 t 00 = 0,7 5 Soit t 00 0,0235 Pour attindr son objctif, ctt ntrpris doit réduir chaqu anné, ss émissions d gaz à fft d srr d nviron 2,35 %. 2 SENS DE VARIATION : VIDÉO 3 En continuité avc ls suits numériqus, on admt qu l sns d variation d la fonction xponntill d bas q avc q > 0 st l mêm qu clui d la suit géométriqu associé : Si 0< q <, la fonction x q x st Si q =, la fonction x q x st Si q >, la fonction x q x st PROPRIÉTÉS 0< q < q > La fonction xponntill d bas q st strictmnt lim q x =.... t lim q x =. x x + La fonction xponntill d bas q st strictmnt lim q x =. t lim q x =.... x x + q 0 x q 0 x La fonction fonction xponntill d bas q st sur R CONSÉQUENCE Si q > 0 t q, alors pour tous nombrs réls a t b : q a = q b si, t sulmnt si, Pag 2 sur 5

3 II LA FONCTION EXPONENTIELLE : VIDÉO 4 On admt qu parmi touts ls fonctions xponntills 4 d bas q il xist un sul fonction dont l nombr dérivé n 0 soit égal à.. 3 Autrmnt dit, il xist un sul valur du rél q = x+ tll qu la tangnt au point A(0; ) d la courb rprésntativ d la fonction x q x 2 a pour cofficint dirctur. Ctt valur particulièr du rél q st noté. A L nombr st un irrationnl un valur approché st : x - = x DÉFINITION La fonction x x s appll la fonction xponntill d bas ou plus simplmnt xponntill. On la not xp xp: x x La fonction xponntill st défini pour tout rél x par xp(0)= 0 =., xp()=......, xp( )= =., xp(0,5)= 0,5 =... La fonction xponntill st strictmnt surr:pour tout nombr rél x, La fonction xponntill st dérivabl sur R t son nombr dérivé n 0 st : Pour tous réls x t, t pour tout ntir rlatif m x+ = , x =.., x =..., ( x ) m = DÉRIVÉE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE : VIDÉO 5 La dérivé d la fonction xponntill st la fonction xponntill. Pour tout nombr rél x, xp (x)=.. Pour tout rél x t pour tout rél h 0, Or xp (0)= signifi qu soit Donc pour tout rél x, VARIATION : VIDÉO 6 La fonction xponntill st strictmnt sur R Pag 3 sur 5

4 La fonction xponntill st dérivabl surrt st égal à sa dérivé. Or pour tout rél x, On n déduit qu la fonction xponntill st strictmnt croissant surr. Pour tout rél x 0, Pour tout rél x 0, Pour tous réls x t, x =..... t x < EXEMPLES. Résoudr dansrl inéquation 3x < 2x 3 3x < 2x D où l nsmbl solution S = Résoudr dansrl inéquation x2 x D où l nsmbl solution S = COURBE REPRÉSENTATIVE : VIDÉO 7 CONVEXITÉ La fonction xponntill st surr La fonction xponntill st dérivabl surrt st égal à sa dérivé. Par conséqunt, la dérivé scond st LIMITES lim x x =. t lim x + x =.... > alors lim n + n =..... Par prolongmnt, lim x + x =.... n = ( ) n ( ) n n = d où lim n n = lim.... n + Par prolongmnt, lim x x =. PROPRIÉTÉS. Équation d la tangnt au point d absciss 0 : Équation d la tangnt au point d absciss : = xp () (x )+xp() Soit La courb rprésntativ d la fonction xponntill st situé d la droit d équation Pag 4 sur 5

5 C xp 7 6 = x = x x - III EXPONENTIELLE D UNE FONCTION : xp(u) : VIDÉO 9 On considèr un fonction u défini sur un intrvall I t la fonction f noté f = u. EXEMPLES La fonction f défini pour tout rél x par f (x)= 0,5x 3. On a u(x)=0,5x 3 avc f = u. DÉRIVÉE Soit u un fonction défini t dérivabl sur un intrvall I. La fonction u st dérivabl sur I t ( u ) = EXEMPLES. Soit f la fonction défini pour tout rél x par f (x)= x. Pour tout rél x, on pos u(x) = x. u st dérivabl surrt u (x) =... Donc f st dérivabl surrt f (x)= Soit f la fonction défini pour tout rél x par f (x)= 0,5x2 2x+. Pour tout rél x, posons u(x)=0,5x 2 2x+. u st dérivabl surrt u (x)=..... Donc f st dérivabl surrt f (x)= Pag 5 sur 5