Baccalauréat S Nouvelle-Calédonie 7 mars 2014

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1 Durée : 4 heures Baccalauréat S Nouvelle-Calédoie 7 mars 2014 A. P. M. E. P. EXERCICE 1 Commu à tous les cadidats 4 poits Cet exercice est u QCM questioaire à choix multiple. Pour chaque questio, ue seule des quatre réposes proposées est exacte. Le cadidat idiquera SUR la copie le uméro de la questio et la répose choisie. Chaque répose exacte rapporte u poit. Aucue justificatio est demadée. Aucu poit est elevé e l absece de répose ou e cas de répose fausse. Le pla complexe est rapporté au repère orthoormal direct ombre complexe de la forme x iy, où x et y sot des réels. O, u, v. Soit z u 1. Soit z le ombre complexe d affixe 1i 4. L écriture expoetielle de z est : a. 2e iπ b. 4e iπ c. 2e i π 4 d. 4e i π 4 2. L esemble des poits M du pla d affixe z = xiy tels que z 1i = 3 i a pour équatio : a. x 1 2 y 1 2 = 2 b. x 1 2 y 1 2 = 2 c. x 1 2 y 1 2 = 4 d. y = x O cosidère la suite de ombres complexes Z défiie pour tout etier aturel par Z 0 = 1i et Z 1 = 1i 2 Z. O ote M le poit du pla d affixe Z. a. Pour tout etier aturel, le poit M appartiet au cercle de cetre O et de rayo 2. b. Pour tout etier aturel, le triagle OM M 1 est équilatéral. c. La suite U défiie par U = Z est covergete. d. Pour tout etier aturel, u argumet de Z 1 Z Z est π Soit A, B, C trois poits du pla complexe d affixes respectives : O pose Z = Z C Z A Z B Z A. a. Z est u ombre réel. Z A = 1 i ; Z B = 2 2i et Z C = 15i. b. Le triagle ABC est isocèle e A. c. Le triagle ABC est rectagle e A. d. Le poit M d affixe Z appartiet à la médiatrice du segmet [BC].

2 EXERCICE 2 Commu à tous les cadidats Les parties A, B et C sot idépedates Partie A Restitutio orgaisée des coaissaces 6 poits L objectif de cette partie est de démotrer le théorème suivat : Si X est ue variable aléatoire suivat la loi ormale cetrée réduite, alors pour tout réel α apparteat à l itervalle ]0 ; 1[, il existe u uique réel strictemet positif χ α tel que P χ α X χ α = 1 α. Soit f la foctio défiie sur l esemble des ombres réels R par f t= 1 2π e t2 2. Soit H la foctio défiie et dérivable sur [0 ; [ par x Hx=P x X x= f t dt. x 1. Que représete la foctio f pour la loi ormale cetrée réduite? 2. Préciser H0 et la limite de Hx quad x ted vers. 3. À l aide de cosidératios graphiques, motrer que pour tout ombre réel positif x, Hx=2 x 0 f t dt. 4. E déduire que la dérivée H de la foctio H sur [0 ; [ est la foctio 2f et dresser le tableau de variatios de H sur [0 ; [. 5. Démotrer alors le théorème éocé. Partie B U laboratoire se fourit e pipettes auprès de deux etreprises, otées A et B. 60 % des pipettes vieet de l etreprise A et 4,6 % des pipettes de cette etreprise possèdet u défaut. Das le stock total du laboratoire, 5 % des pièces présetet u défaut. O choisit au hasard ue pipette das le stock du laboratoire et o ote : A l évèemet : «La pipette est fourie par l etreprise A» ; B l évèemet : «La pipette est fourie par l etreprise B» ; D l évèemet : «La pipette a u défaut». 1. La pipette choisie au hasard présete u défaut ; quelle est la probabilité qu elle viee de l etreprise A? 2. Motrer que pb D = 0, Parmi les pipettes veat de l etreprise B, quel pourcetage de pipettes présete u défaut? Partie C Ue pipette est dite coforme si sa coteace est comprise, au ses large etre 98 millilitres ml et 102 ml. Soit X la variable aléatoire qui à chaque pipette prise au hasard das le stock d u laboratoire associe sa coteace e millilitres. O admet que X suit ue loi ormale de moyee µ et écart type σ tels que µ=100 et σ 2 = 1,0424. Nouvelle-Calédoie 2 7 mars 2014

3 1. Quelle est alors la probabilité, à 10 4 près, pour qu ue pipette prise au hasard soit coforme? O pourra s aider de la table ci-dessous ou utiliser ue calculatrice. Coteace x e ml PX x arrodi à , , , , , Coteace x e ml PX x arrodi à ,5 0, , , , Pour la suite, o admet que la probabilité pour qu ue pipette soit o-coforme est p = 0, O prélève das le stock du laboratoire des échatillos de pipettes de taille, où est u etier aturel supérieur ou égal à 100. O suppose que le stock est assez importat pour cosidérer ces tirages comme idépedats. Soit Y la variable aléatoire qui à chaque échatillo de taille associe le ombre de pipettes o-coformes de l échatillo. a. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire Y? b. Vérifier que 30, p 5 et 1 p 5. c. Doer e foctio de l itervalle de fluctuatio asymptotique au seuil de 95 % de la fréquece des pipettes o-coformes das u échatillo. EXERCICE 3 Commu à tous les cadidats 5 poits Partie A Soit f la foctio dérivable, défiie sur l itervalle ]0 ; [ par f x= x lx. 1. Détermier les limites de f e 0 et e. 2. O appelle f la foctio dérivée de f sur ]0 ; [. Motrer que f x=lx1. 3. Détermier les variatios de f sur ]0 ; [. Partie B Soit C la courbe représetative de la foctio f das u repère orthoormal. Soit A l aire, exprimée e uités d aire, de la partie du pla comprise etre l axe des abscisses, la courbe C et les droites d équatios respectives x = 1 et x = 2. O utilise l algorithme suivat pour calculer, par la méthode des rectagles, ue valeur approchée de l aire A. voir la figure ci-après. Nouvelle-Calédoie 3 7 mars 2014

4 1 O C Algorithme : Variables k et sot des etiers aturels U,V sot des ombres réels Iitialisatio U pred la valeur 0 V pred la valeur 0 pred la valeur 4 Traitemet Pour k allat de 0 à 1 Affecter à U la valeur U 1 1 f k Affecter à V la valeur V 1 f Fi pour Affichage Afficher U Afficher V 1 k1 1. a. Que représetet U et V sur le graphique précédet? b. Quelles sot les valeurs U et V affichées e sortie de l algorithme o doera ue valeur approchée de U par défaut à 10 4 près et ue valeur approchée par excès de V à 10 4 près? c. E déduire u ecadremet de A. 2. Soiet les suites U et V défiies pour tout etier o ul par : U V = 1 [ f 1 f 1 1 = 1 [ f 1 1 f f f 1 1 ] ]. f f O admettra que, pour tout etier aturel o ul, U A V. a. Trouver le plus petit etier tel que V U < 0,1. b. Commet modifier l algorithme précédet pour qu il permette d obteir u ecadremet de A d amplitude iférieure à 0,1? Partie C Nouvelle-Calédoie 4 7 mars 2014

5 Soit F la foctio dérivable, défiie sur ]0 ; [ par F x= x2 2 l x x Motrer que F est ue primitive de f sur ]0 ; [. 2. Calculer la valeur exacte de A. EXERCICE 4 Pour les cadidats ayat pas suivi l eseigemet de spécialité 5 poits Soit ABCDEFGH u parallélépipède rectagle tel que AB = 2, AD = 3 et AE = 1. O appelle respectivemet I, J et P les milieux respectifs des segmets [CD], [EF] et [AB]. O ote Q le poit défii par AQ = 1 AD. 3 E H J F P A Q G I D B C O appelle pla médiateur d u segmet le pla perpediculaire à ce segmet et passat par so milieu. L objectif de l exercice est de détermier les coordoées du cetre d ue sphère circoscrite au tétraèdre ABIJ c est-à-dire ue sphère qui passe par les quatre poits A, B, I, J. L espace est rapporté au repère orthoormal A ; AP, AQ, AE. 1. Justifier que les quatre poits A, B, I et J e sot pas coplaaires. 2. Détermier ue équatio cartésiee du pla médiateur P 1 du segmet [AB]. 3. Soit P 2 le pla d équatio cartésiee 3y z 4=0. Motrer que le pla P 2 est le pla médiateur du segmet [IJ]. 4. a. Démotrer que les plas P 1 et P 2 sot sécats. b. Motrer que leur itersectio est ue droite dot ue représetatio paramétrique est x = 1 y = t z = 3t 4 où t décrit l esemble des ombres réels R. c. Détermier les coordoées du poit Ω de la droite tel que ΩA = ΩI. d. Motrer que le poit Ω est cetre de la sphère circoscrite au tétraèdre ABIJ. Nouvelle-Calédoie 5 7 mars 2014