Annale de DS donné en avril 2013 (extraits) Calculatrice autorisée

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1 Sur le sujet : construction On laissera les traits de construction Annale de DS donné en avril 0 (extraits) Calculatrice autorisée On considère les vecteurs u, v, w représentés sur la figure ci-dessous et les points A, B,C ) Construire le point D défini par : CD = AB + AC ) Construire le point E défini par AE = BA w + u ) Construire le vecteur s tel que : s = u + v + w Exercice Les questions sont indépendantes Dans un repère orthogonal, on considère les points A ;, B 5;6, C 4; ) Déterminer les coordonnées du vecteur AC. ) Les droites (AC) et (BF) sont-elles parallèles? Justifier. ) Par le calcul, déterminer les coordonnées du point M tel que : MC = AC 4) Soit K( 7 ; 4 ). Les points F, A, K sont-ils alignés?, F(9 ; 4) Exercice Soit f la fonction définie sur R par f(x) = x x On note P sa représentation graphique dans un repère orthogonal. ) Résoudre f(x) = ) Démontrer que pour tout x réel, (x ) = ( x + + )(x + )

2 ) Etudier les positions relatives de C f et de l axe des abscisses 4) Représenter graphiquement P sans justifier mais avec une précision suffisante. Exercice 4 ABC est un triangle isocèle rectangle en A tel que AB=. Le point M est un point quelconque du segment [AB]. La perpendiculaire à (AB) passant par M coupe la droite (BC) en E. On pose AM = x. Soit f la fonction qui a la longueur de AM fait correspondre l aire du triangle AME. ) Démontrer que : EM = x ) Donner l ensemble de définition de f ) Ecrire f(x) en fonction de x. 4) Où place M pour que l aire soit maximale? Justifier. Exercice 5 Soit ABC un triangle. Les points E et H sont définis par : BE BC et BH Montrer que les points C, H, E sont alignés. BA

3 Sur le sujet D est l image de C par la translation de vecteur AB suivie de la translation de vecteur AC Pour corriger le DS 6 E est l image de A par la translation de vecteur BA suivie de la translation de vecteur w puis de la translation de vecteur u Au lieu de faire une translation de vecteur u suivie de la translation de vecteur v puis de la translation de vecteur w Exercice Question AC (x C x A ; y C y A ) donc AC (4 ( ); ) donc AC (6 ; ) Question BF (x F x B ; y F y B ) donc BF (9 5 ; 4 6) donc BF (4 ; ) AC et BF sont colinéaires si et seulement si il existe k réel tels que : k BF = AC si et seulement si { 4 k = 6 k = si et seulement si { k = 6 = 4 k = = donc BF = AC donc AC et BF sont colinéaires donc les droites (AC) et (BF) sont parallèles Question MC (4 x M ; y M ) Or MC = AC Donc { 4 x M = y M = et AC ( 6 ; ) donc AC ( ; ) donc ils ont la même abscisse et la même ordonnée donc { x M = 4 = y M = + = 0 donc {x M = y M = 0 Ainsi M( ; 0)

4 Question 4 AF (9 ( ) ; 4 ) donc AF ( ; ) AK ( 7 ( ) ; 4 ) donc AK ( ; ) Donc AF = AK Donc A, F et K sont alignés. donc AF et AK sont colinéaires Exercice Question f(x) = x x = x x = 0 x(x ) = 0 x = 0 ou x = 0 x = 0 ou x = L équation f(x) = a pour solutions 0 et Question D une part du signe égal : (x ) = (x x + 4 ) = x x + = x x = x x D autre part du signe égal : ( x + + )(x + ) = ( 4x x + x + x + + x + ) = ( 4x + 4x + ) = x x Avec la forme x x, on reconnait f(x). D où l égalité : f(x) = (x ) = x x = ( x + + )(x + ) pour tout réel x Question x + + = 0 x = x = x + = 0 x = + x = + = + = + Valeurs de x Signe de Signe de x Forme mx + p avec m = Signe de x Forme mx + p avec m = Signe de f(x)

5 Pour x ] ; + [ ] + ; + [, f(x) > 0, C f est au-dessus de l axe des abscisses Pour x ] + ; + [, f(x) < 0, C f est en-dessous de l axe des abscisses Pour x = + et x = +, C f coupe l axe des abscisses. Question 4 Exercice 4 Question Comme les droites (AC) et (EM) sont toutes deux perpendiculaires à (AB) : (AC) // (EM) Les points A, M, B sont alignés et les points B, E, C sont alignés EM D après le théorème de Thalès appliqué aux triangles BME et BAC : = BM = BE AC BA BC Or M [AB] donc BM = AB AM = x AC = AB = car le triangle est isocèle en A Donc EM = x en multipliant chaque membre par, donc EM = x Question M [AB] donc 0 AM donc 0 x L ensemble de définition est : [ 0 ; ] Question Le triangle AME est rectangle en M donc son aire est : AM ME = x ( x) Donc f(x) = x ( x) = 6x x

6 Question 4 Conjecture avec le mode trace de ma calculatrice (non demandée sur la copie) Il semblerait que le maximum soit 8 et qu il soit atteint pour x = 6 Preuve f(x) f(6) = x + 6x 8 = (x x + 6) = (x 6) Comme le carré de x 6 soit toujours positif, f(x) f(6) 0 Donc f(x) f(6) f(6) est donc la plus grande image f admet un maximum et il est atteint pour x = α = 6 Dans ce cas, M est le milieu de [AB] Exercice 5 Méthode : sans utiliser un repère Idée : on écrit CH possibles) puis CE en fonction de deux mêmes vecteurs. Ici on a choisi BA et CB (autres choix CH CB BH BC CE CB BE BC Donc les vecteurs CE et CB BC 9 CB 9 CB 9 CH CH sont colinéaires donc les points C, E et H sont alignés. Méthode : Comme B, A, C ne sont pas alignés nous prenons comme repère (B ; BA ; BC ) B(0 ; 0) A( ; 0) C(0 ; ) Comme Comme BE BC, E ; BH 0 BC, H ; 0 Ainsi 0, CE et 0,9 Donc les vecteurs CE et CH donc x y x y 0, ( 0,9) 0 CE CH CH CE CH sont colinéaires donc les points C, E et H sont alignés.