Compléments sur la dérivation

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1 Chapitr Complémnts sur la dérivation I- Rappls sur la dérivation ) Nombr dérivé Définition Soit f un fonction défini sur un intrvall I, t a un nombr d I. ( a + h) f ( a) f On dit qu f st dérivabl n a si l tau d accroissmnt d f ntr a t a + h : admt h f ', t applé l nombr dérivé d f n a. un limit fini quand h tnd vrs 0. Ctt limit st alors noté ( a) f ( a + h) f ( a) f ' ( a) = lim h 0 h Si f st dérivabl n a, alors la courb rprésntativ d f admt un tangnt ( T ) au point d absciss a, d cofficint dirctur f '( a). Equation d la tangnt : y f ( a) = f '( a) ( a) C f ) Fonction dérivé a) Définition Définition Soit f un fonction défini sur un intrvall I. Si f st dérivabl n a pour tout rél a d I, on dit qu f st dérivabl sur I. La fonction qui, à tout nombr rél d I fait corrspondr l nombr dérivé d f n st applé la fonction dérivé d f. On la not Rmarqu : La courb d un fonction dérivabl st «liss», régulièr, «sans angl». f '. Fonction dérivabl sur son nsmbl d définition Fonction dérivabl partout sauf n 3 t n 6 Fonction dérivabl null part (mais continu partout) b) Dérivé ds fonctions d référnc Fonction défini par Fonction dérivé défini par Ensmbl d dérivabilité f() = f () = k (constant) 0 n ( n ) n n si n 0, * si n 0 * 0;+ sin cos cos sin

2 c) Opérations sur ls fonctions dérivabls 3) Sign d la dérivé t sns d variation Fonction Fonction dérivé u + v u ' + v' ku ( k ) ku ' uv u ' v + uv' v' v v u u' v uv' v v u u u ' ln ( u ) u ' u Théorèm Soit f un fonction dérivabl sur un intrvall I. Si pour tout rél d I, '( ) 0 Si pour tout rél d I, '( ) 0 Si pour tout rél d I, '( ) = 0 f, alors f st croissant sur I. f, alors f st décroissant sur I. f, alors f st constant sur I. Rmarqu : L théorèm st fau si l nsmbl d définition d f n st pas un intrvall. Par mpl, la fonction invrs st défini t dérivabl sur négativ sur Théorèm réciproqu Soit f un fonction dérivabl sur un intrvall I. Théorèm *. Sa dérivé st strictmnt *. Pourtant, la fonction invrs n st pas décroissant sur *. = 0; t ( ) = ; st défini t dérivabl t d dérivé La fonction défini par f ( ) si f si null sur 0; ;. Pourtant, f n st pas constant sur ; ; 0. Si f st croissant sur I, alors pour tout rél d I, '( ) 0 f. Si f st décroissant sur I, alors pour tout rél d I, '( ) 0 f. Si f st constant sur I, alors pour tout rél d I, '( ) = 0 Soit f un fonction dérivabl sur un intrvall I. Si pour tout rél d I, '( ) 0 f. f, alors f st strictmnt croissant sur I. Si pour tout rél d I, '( ) 0 Cci rst vrai si f '( ) s annul n ds valurs isolés d. f, alors f st strictmnt décroissant sur I. Empl : La fonction cub 3 st dérivabl sur t sa dérivé 3 st strictmnt positiv sur, sauf un valur isolé où ll s annul : n 0. On put n conclur qu la fonction cub st strictmnt croissant sur.

3 Théorèm Soit f un fonction dérivabl sur un intrvall I. Si f st strictmnt croissant sur I, alors '( ) 0 ds valurs isolés d. Si f st strictmnt décroissant sur I, alors '( ) 0 pour ds valurs isolés d. 4) Dérivabilité t continuité f pour tout rél d I, sauf évntullmnt pour f pour tout rél d I, sauf évntullmnt Théorèm Tout fonction dérivabl n a st continu n a. Tout fonction dérivabl sur un intrvall I st continu sur I. C théorèm st admis. Rmarqu : La réciproqu d c théorèm st fauss : un fonction put êtr continu n un point sans êtr dérivabl n c point (voir mpls d la pag ). 5) La notation différntill Ls physicins désignnt un variation (ou un différnc) à l aid du symbol : = t y = f t f y = f : variation d ( ) ( ) : variation d y ( ) f ( ) ( + h) f ( ) f ( t) f ( ) y f ' = lim = lim = lim h t h 0 t 0 Pour primr l fait qu t dy d y tndnt vrs 0 t dvinnnt infinimnt ptits, on ls not d t dy. Ainsi, on écrira : f '( ) = : c st la notation différntill. On not aussi : '( ) Ctt notation prmt d écrir : D où l approimation affin : df = f '( )d (pour d infinimnt ptit) ( ) f f ' (pour ptit) f = L accroissmnt d f st proportionnl à l accroissmnt d la variabl (lorsqu ct accroissmnt st ptit), l cofficint d proportionnalité étant égal au nombr dérivé f '( ). df d Empl : Un boul métalliqu a pour rayon 0 cm. C rayon augmnt d mm sous l fft d la tmpératur (phénomèn d dilatation). Calculr un approimation d l augmntation du volum t d l air d la boul. Solution : Soit r l rayon n cm, V ( r) l volum (n cm 3 ) t ( r) 4 V 3 L volum d la boul a augmnté d nviron A A l air (n cm ). 3 ( r) = r V' ( r) = V '( 0) = V V' ( 0) r ( r) = 4 r A' ( r) = A '( 0) = A A' ( 0) r L air d la boul a augmnté d nviron

4 6) Dérivés succssivs Soit f un fonction dérivabl sur un intrvall I. Si f ' st ll-mêm dérivabl sur I, on not f '' sa dérivé : c st la dérivé scond d f. Empl (hors programm) : f '' 0, car la dérivé f ' st croissant f '' 0 car la dérivé f ' st décroissant Rmarqu : En physiqu, la dérivé du vctur position par rapport au tmps st l vctur vitss. La dérivé scond du vctur position (dérivé du vctur vitss) st l vctur accélération. L princip fondamntal d la dynamiqu (duièm loi d Nwton) dit qu la somm ds forcs appliqués sur un solid st égal à l accélération d c solid multiplié par sa mass. position position tmps tmps Mouvmnt accéléré Accélération positiv Mouvmnt décéléré ou ralnti Accélération négativ On définit d mêm la dérivé troisièm d f, noté ièm d f, noté ( n) f. d f Avc la notation différntill, on not d * Empl : Soit f la fonction défini sur par f ( ) ( 3) f, t pour tout ntir naturl n, la dérivé n - n d f au liu d f '', au liu d n d = f '( ) = f ''( ) = f ''' ( ) = ( n) f. Rmarqu : A chaqu fois qu on dériv un fonction polynôm, l dgré diminu d. Si on dériv n + fois un fonction polynôm d dgré n, on obtint la fonction null.

5 II- Application du nombr dérivé à ds calculs d limits ) sin lim 0 On calcul d du façons différnts sin' ( 0 ) : Avc la fonction dérivé d sin : La fonction st dérivabl sur t sin' =. On n déduit qu sin' ( 0 ) = En rvnant à la définition avc l tau d accroissmnt : L tau d accroissmnt d la fonction sin ntr 0 t st : On n déduit qu sin' ( 0 ) = On n déduit qu sin lim =. Résultat t démonstration à connaîtr. 0 ) lim 0 On calcul d du façons différnts p' ( 0 ) : On n déduit qu lim 0 =. Résultat t démonstration à connaîtr. 3) ( + ) ln lim 0 Voir l chapitr «Fonction Logarithm népérin» (ln)

6 III- Dérivé d un fonction composé Théorèm u ( ) g u : u( ) g u( ) = g u g Si u st un fonction dérivabl sur un intrvall I, t si g st un fonction dérivabl sur un intrvall contnant u(i), alors la composé f = gou st dérivabl sur I, t on a pour tout rél d I : f () = (gou) () = u () g [u()] En abrégé : (gou) = u g ou Démonstration : En rvnant à la définition du nombr dérivé. Démonstration : En utilisant la notation différntill. Empls : a) Soit f la fonction défini par f() =. f() = g[u()] n posant u() = t g() = Un intrvall I tl qu u soit dérivabl sur I t g soit dérivabl sur u(i) st I = u () = g () = g (u()) = f st dérivabl sur I t f () = b) Soit f la fonction défini par f() = (3 5 + ) 4. f() = g[u()] n posant u() = t g() = Cas particulirs : a) Dérivé d u n Soit u un fonction dérivabl sur un intrvall I, t n un ntir naturl. Alors la fonction u n : [u()] n st dérivabl sur I t (u n ) = nu n. u Cci rst vrai si n st un ntir infériur ou égal à -, à condition qu u n s annul pas sur I. b) Dérivé d u Soit u un fonction dérivabl sur un intrvall I t strictmnt positiv sur I. Alors la fonction u: u st dérivabl sur I t ( u) = u u c) Dérivé d g(a + b)

7 IV- Primitivs Définition : Soit f t F du fonctions dérivabls sur un intrvall I. On dit qu F st un primitiv d f sur I si F st dérivabl sur I t a pour dérivé la fonction f : F ' = f F st un primitiv d f f st la dérivé d F Empl : La fonction f défini sur par ( ) f = sin admt pour primitiv sur la fonction F défini par F ( ) = En fft, on a pour tout rél : F ( ) = f ( ) '. Théorèm (admis) : Tout fonction continu sur un intrvall I admt ds primitivs sur I. Rmarqu : Mêm si ls primitivs d f istnt, il n st pas toujours facil ni mêm possibl d n trouvr un. Par mpl, si f ( ) = sur 0 ;+, alors F ( ) =???. On n put pas trouvr d primitiv d f qui s prim à l aid ds fonctions usulls vus jusqu n Prmièr. Théorèm : Si f st un fonction défini sur un intrvall I qui admt un primitiv F sur I, alors : Ls primitivs d f sur I sont d la form G F( ) + k Pour tout coupl ( 0; y 0 ) avc 0 I t 0 sur I qui prnd la valur y 0 n 0 :. y, il ist un uniqu primitiv F 0 d f, c st-à-dir tll qu ( 0 ) y0 F =. L prmir point put s énoncr ainsi : ls primitivs F d f diffèrnt d un constant. Cla signifi qu lurs courbs rprésntativs s déduisnt l un d l autr par ds translations vrticals d vctur k j, k. L duièm point dit qu pour tout point A ( 0 ; y 0 ) du plan, il ist un primitiv d f t un sul dont la courb pass par A. C G k j C F y 0 A j i 0 Démonstration (à connaîtr) : Soit F t G du primitivs d f sur I : F ' = f t G ' = f. ' Alors ( F ) = G' F' = f f = 0 G. Ainsi, G F st un fonction constant : il ist un rél k tl qu ( G F)( ) = k pour tout rél d I. On a donc G ( ) F( ) = k t on a bin : G ( ) F( ) + k =. Réciproqumnt : Si F st un primitiv d f sur I t k un nombr rél, alors la fonction aussi un primitiv d f sur I car ( F + k) = F' = f Soit F un primitiv d f sur I. Ls autrs primitivs sont d la form G ( ) F( ) + k '. F + k st =, k.

8 G ( 0 ) y = 0 Empl : Soit f la fonction défini sur par f() = Trouvr la primitiv F d f tll qu F() = 5. Rmarqu : L théorèm st fau si I n st pas un intrvall. Considérons la fonction f défini sur [0; ] [3; 5] par f() = (fonction constant) : Propriété d linéarité : Soit f t g du fonctions continus sur un intrvall I, F un primitiv d f, G un primitiv d g, α t β du nombrs réls. Alors la fonction αf + βg st un primitiv d αf + βg sur I. Ctt propriété découl d la propriété d linéarité d la dérivation : (αf + βg) = αf + βg = αf + βg Tablau ds primitivs : Fonction défini par f() = Primitiv F() = Intrvall k (constant) n si n 0 (n, n ) ] ; 0[ ou ]0; + [ si n < ] ; 0[ ou ]0; + [ cos sin

9 Forms particulièrs : Empls d calculs d primitivs :

10 V- Initiation au calcul intégral ) Air t intégral d un fonction positiv Définition : Soit f un fonction continu t positiv sur un intrvall a; b. L intégral d a à b d f, noté ( ) b a f d, st l air, primé n unités d air, du domain D délimité par C, l a ds abscisss t ls droits d équation y C = a t = b. D a O b u.a (unité d air) b a Rmarqus : ( ) f d s lit aussi «somm d a à b d f ( )d». b st un variabl mutt. Ell n intrvint pas dans l résultat : f ( ) d f ( t) a t b sont ls borns d l intégral. a a ( ) d = 0 f (l air d un sgmnt vrtical st null) Dans un rpèr orthogonal ( O i, j) a = b a ;, on définit ls points I, J t K par OI = i, OJ = j t OIKJ rctangl. L unité d air (u.a) st alors l air du rctangl OIKJ. dt Empls : 4 3 d = y = 3 Soit f la fonction défini t continu sur 3;3, dont la courb st rprésnté ci-contr : 33 f ( ) d = y = 9 ) Calcul d un intégral à l aid d un primitiv d f Propriété (admis) : Soit f un fonction continu t positiv sur un intrvall a; b. b f ( ) d = F( b) F( a), où F st un primitiv qulconqu d f sur b a a;.