Livret de Trigonométrie. Christian CYRILLE
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1 Livret de Trigonométrie Christian CYRILLE 11 mars 015
2 "Il s agit, non seulement d avoir des idées sur les suites, mais d avoir de la suite dans les idées" Anonyme
3 Table des matières 1 Maîtriser le cercle trigonométrique Lemme Cercle trigonométrique De l angle géométrique à l angle orienté notions équivalentes Mesures d un angle orienté de vecteurs Rapports trigonométriques 9.1 Définition Propriétés Conditions d existence Formule Fondamentale de la Trigonométrie Valeurs prises par les fonctions circulaires Périodicité Angles opposés de mesures x et x Angles complémentaires de mesures x et π x Angles de mesures x et π + x Angles supplémentaires de mesures x et π x Angles de mesures x et π + x Formules de multiplication des arcs Formules de transformations de sommes en produits équations trigonométriques fondamentales Exemples Les fonctions trigonométriques Tableaux de variations Tableaux de valeurs Courbes Forme trigonométriques des nombres complexes Affixe d un point, affixe d un vecteur Théorème Théorème Démonstration Module d un nombre complexe Définition Interprétation géométrique de la notion de module Exemples Propriétés
4 4 TABLE DES MATIÈRES 3..5 Démonstrations C est un espace vectoriel euclidien réel Argument d un nombre complexe non nul Rappels sur les angles de vecteurs Argument d un nombre complexe de module Argument d un nombre complexe non nul Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique Propriétés Module et argument de z B z C z A z C Racines n-ièmes complexes d un nombre complexe non nul Applications trigonométriques Résolution de l équation du second degré az + bz + c = 0 d inconnue z C Exercices Equations trigonométriques Linéarisation de polynômes trigonométriques Intégration et trigonométrie - bac Rennes C
5 Chapitre 1 Maîtriser le cercle trigonométrique 1.1 Lemme Soit un cercle de centre O et de rayon R. On admet qu un arc de ce cercle d angle α a pour longueur R α. Donc le périmètre d un cercle de rayon R est P = π R. 1. Cercle trigonométrique 1. On appelle cercle trigonométrique un cercle de rayon 1.. Le périmètre d un cercle mesure donc π 3. Un tour de cercle trigonométrique mesure π radians. 4. Un demi-tour de cercle trigonométrique mesure π radians. 5. Un quart de tour de cercle trigonométrique mesure π radians. Le sens de parcours direct ou positif sur ce cercle trigonométrique est le sens inverse des aiguilles d une montre. L autre sens est dit indirect ou rétrograde. 5
6 6 CHAPITRE 1. MAÎTRISER LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE 1.3 De l angle géométrique à l angle orienté Comment passe-t-on d un angle géométrique de demi-droites à un angle orienté de demi-droites? A partir de deux demi-droites de même origine O, on peut créer un angle géométrique de demi-droites. Dorénavant, nous orienterons un angle de demi-droites : de façon positive ou directe si on parcourt dans le sens inverse des aiguilles d une montre. de façon négative ou indirecte ou rétrograde sinon notions équivalentes L angle orienté des demi-droites [DD 1 ) et [DD ) est l angle orienté des vecteurs non nuls OU et OV. C est aussi l angle orienté des vecteurs unitaires(c est-à-dire de norme 1) : vecteur OA = 1 OU et vecteur OM = 1 OV. OU OV On écrira (DD 1, DD ) = ( OU, OV ) = ( OA, OM)
7 1.5. MESURES D UN ANGLE ORIENTÉ DE VECTEURS Mesures d un angle orienté de vecteurs Voici le cercle trigonométrique et un fil représentant l axe des réels : Colorions ce fil avec couleurs : l une pour R + et l autre pour R. Posons le zéro du fil en A et enroulons ce fil qui représente R autour du cercle trigonométrique : les réels positifs dans le sens direct les réels négatifs dans l autre sens Alors en A vont se poser les points du fil correspondants aux réels :, 4 π; π; 0; π; 4 π; en M vont se poser les les points du fil correspondants aux réels :,, x 4 π; x π; x; x + π; x + 4 π;
8 8 CHAPITRE 1. MAÎTRISER LE CERCLE TRIGONOMÉTRIQUE
9 Chapitre Rapports trigonométriques.1 Définition Si l angle ( OA, OM) mesure x, si C est le projeté orthogonal de M sur la droite (OA) et si S est le projeté orthogonal de M sur la droite (OB) alors cosinus(x) = cos(x) = OC sinus(x) = sin(x) = OS tangente(x) = tan(x) = sin(x) cos(x) = AT 1 cotangente(x) = cotan(x) = tan(x) = cos(x) sin(x) = BT 9
10 10 CHAPITRE. RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES. Propriétés..1 Conditions d existence 1. sin(x) existe pour tout réel x donc D sin = R.. cos(x) existe pour tout réel x donc D cos = R. 3. tan(x) existe pour tout réel x π + kπ où k Z donc D tan = R { π + kπ / k Z}. 4. cotan(x) existe pour tout réel x kπ où k Z donc D cotan = R {kπ / k Z}... Formule Fondamentale de la Trigonométrie 3 formes équivalentes : x R sin (x) + cos (x) = 1 sin (x) = 1 cos (x) cos (x) = 1 sin (x)..3 Valeurs prises par les fonctions circulaires x R 1 sin(x) 1 x R 1 cos(x) 1 x D tan < tan(x) < + x D cotan < cotan(x) < +..4 Périodicité 1. x R sin(x + kπ) = sin(x) donc sin est périodique de période T = π. x R cos(x + kπ) = cos(x) donc cos est périodique de période T = π 3. x R { π +kπ/k Z} tan(x+kπ) = tan(x) donc tan est périodique de période T = π 4. x R {kπ/k Z} cotan(x + kπ) = cotan(x) donc cotan est périodique de période T = π
11 .. PROPRIÉTÉS Angles opposés de mesures x et x 1. x R l on a : x R et sin( x) = sin(x) donc sin est impaire. Par conséquent, C sin admet O comme centre de symétrie.. x R l on a : x R et cos( x) = cos(x) donc cos est paire. Par conséquent, C cos admet l axe des ordonnées (Oy) comme axe de symétrie. 3. x D tan l on a : x D tan et tan( x) = tan(x) donc tan est impaire. Par conséquent, C tan admet O comme centre de symétrie. 4. x D cotan l on a : x D cotan et cotan( x) = cotan(x) donc cotan est impaire. Par conséquent, C cotan admet O comme centre de symétrie...6 Angles complémentaires de mesures x et π x
12 1 CHAPITRE. RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES x R sin( π x) = cos(x) x R cos( π x) = sin(x) x D tan tan( π x) = cotan(x) x D cotan cotan( π x) = tan(x) Les angles de mesure x et π x sont dits complémentaires. Des angles complémentaires échangent donc leurs sinus et cosinus, leurs tangente et leur cotangente...7 Angles de mesures x et π + x x R sin( π + x) = cos(x) x R cos( π + x) = sin(x) x D tan tan( π + x) = cotan(x) x D cotan cotan( π + x) = tan(x)
13 .. PROPRIÉTÉS Angles supplémentaires de mesures x et π x x R x R sin(π x) = sin(x) cos(π x) = cos(x) x D tan tan(π x) = tan(x) x D cotan cotan(π x) = cotan(x) Les angles de mesure x et π x sont dits supplémentaires...9 Angles de mesures x et π + x x R x R x D tan x D cotan sin(π + x) = sin(x) cos(π + x) = cos(x) tan(π + x) = tan(x) cotan(π + x) = cotan(x)
14 14 CHAPITRE. RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES.3 Formules de multiplication des arcs Si a R, b R cos(a + b) = cos(a)cos(b) sin(a)sin(b) cos(a b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b) sin(a + b) = sin(a)cos(b) + sin(b)cos(a) sin(a b) = sin(a)cos(b) sin(b)cos(a) Si a D tan, b D tan, a + b D tan tan(a) + tan(b) tan(a + b) = 1 tan(a)tan(b) Si a D tan, b D tan, a b D tan tan(a) tan(b) tan(a b) = 1 + tan(a)tan(b) Si a R, cos(a) = cos (a) sin (a) = cos (a) 1 = 1 sin (a) sin(a) = sin(a)cos(a) cos (a) = 1 + cos(a) sin (a) = 1 cos(a) cos ( a ) = 1 + cos(a) sin ( a ) = 1 cos(a) cos ( a 4 ) = 1 + cos( a ) sin ( a 4 ) = 1 cos( a ).4 Formules de transformations de sommes en produits.5 3 équations trigonométriques fondamentales 1. cos(x) = cos(x 0 ) k Z x = x 0 + kπ ou x = x 0 + kπ. sin(x) = sin(x 0 ) k Z x = x 0 + kπ ou x = π x 0 + kπ 3. tan(x) = tan(x 0 ) k Z x = x 0 + kπ
15 .6. LES FONCTIONS TRIGONOMÉTRIQUES Exemples 1. cos(x) = 0 cos(x) = cos( π ) k Z x = π + kπ ou x = π + kπ k Z x = π + kπ ou x = π π + kπ = π + (k 1)π k Z x = π + kπ. sin(x) = sin(x 0 ) k Z x = x 0 + kπ ou x = π x 0 + kπ 3. tan(x) = tan(x 0 ) k Z x = x 0 + kπ.6 Les fonctions trigonométriques.6.1 Tableaux de variations.6. Tableaux de valeurs.6.3 Courbes
16 16 CHAPITRE. RAPPORTS TRIGONOMÉTRIQUES
17 Chapitre 3 Forme trigonométriques des nombres complexes 3.1 Affixe d un point, affixe d un vecteur Théorème Soit P le plan affine euclidien associé au plan vectoriel P. P est muni du repère orthonormé (O, e 1, e ) Alors l application f de C dans P qui à tout nombre complexe z = a + ib associe le vecteur v = a e 1 + b e est une bijection. On dit alors que le vecteur v est le vecteur-image de z ou encore que z est l affixe de v. Ceci se note v (z) l application g de C dans P qui à tout nombre complexe z = a + ib associe le point M de coordonnées (a, b) dans la base ( e 1, e ) est une bijection. On dit alors que le point M est le point-image de z ou encore que z est l affixe de M. Ceci se note M(z) b M(z) v(z) e O e1 a 17
18 18CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES 3.1. Théorème Soient z = a + ib et z = a + ib. Soit M(z) et M (z ) alors z z est l affixe du vecteur MM Démonstration MM = MO + OM = OM OM = a e 1 + b e a e 1 b e = (a a) e 1 + (b b) e Or z z = (a a) + i(b b) donc MM (z - z). CQFD M (z ) MM (z z ) M(z) O 3. Module d un nombre complexe 3..1 Définition Si z = a + ib, on appelle module de z nombre réel positif suivant noté z = zz = a + b 3.. Interprétation géométrique de la notion de module z = OM ; z = OM ;
19 3.. MODULE D UN NOMBRE COMPLEXE 19 ir M(z) i OM = z O 1 R z A z B = z AB = AB = AB y B y A B(z B ) AB A(z A ) e O e1 x B x A 3..3 Exemples 0 = 0 i = 1 i = 1 = 1+i 3 = 1+i =
20 0CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES 3..4 Propriétés Soient les nombres complexes z et z 1. z = z = z = z. z 0 3. z = 0 z = 0 4. zz = z z 5. si z 0 alors ( 1 z ) = 1 z 6. si z 0 alors ( z z ) = z z 7. Re(z) z 8. Im(z) z 9. z + z z + z (Inégalité triangulaire de Minkowski) 10. z z z z z + z 3..5 Démonstrations 1. évident. évident 3. évident 4. zz = zz zz = zz zz = zz z z = z z 5. 1 z = 1 z ( 1 z ) = 1 z 1 z = 1 z z = 1 z 6. évident en utilisant les propriétés précédentes. 7. Re(z) = a a = a a + b = z 8. Im(z) = b b = b a + b = z 9. Comme les membres de l inégalité sont tous deux positifs, il suffit de comparer leurs carrés ( z + z ) = (z + z )(z + z ) = (z + z )(z + z ) = zz + zz + z z + z z = z + zz + z z + }{{} z = z +Re(zz )+ z zz +zz z + zz + z car Re(z) z ( z + z ) CQFD 10. l inégalité de droite z z z + z est l expression de l inégalité triangulaire de Minkowski car z = z Reste à démontrer l inégalité de gauche : z = z + (z z) z + z z donc α = z z z z = β De même, en permutant les rôles de z et de z, l on a : α = z z z z = β De ces deux inégalités, α β et α β on en déduit que α β c est-à dire que z z z z
21 3.3. ARGUMENT D UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL C est un espace vectoriel euclidien réel Théorème L application f de C dans R + qui à tout nombre complexe z associe z est un homomorphisme non injectif de (C, ) dans (R +, ) Théorème L application φ de C C dans R qui à tout couple de nombres complexes (z,z ) associe le nombre réel φ(z,z ) = 1 (zz + zz ) est un produit scalaire sur C c est-à-dire une forme bilinéaire définie positive. De plus, z = φ(z, z) = 1 (zz + zz) = zz = z Proposition (1, i) est une base orthonormée de C ir M(z) i OM = z O 1 R 3.3 Argument d un nombre complexe non nul Rappels sur les angles de vecteurs 1. ( u, v ) existe lorsque u 0 et v 0. ( MA, MB) existe lorsque M A et M B 3. si α est une mesure en radians de l angle ( u, v ) alors k Z α + kπ est aussi une mesure de ( u, v )
22 CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES 4. ( u, v ) + ( v, w ) = ( u, w ). C est la relation de Michel CHASLES pour les angles de vecteurs 3.3. Argument d un nombre complexe de module 1 On appelle U = { z C/ z = 1}. Alors (U, ) est un sous-groupe du groupe ((C*, ) Démonstration : U C soit z U soit z U alors zz = z z = 1 1 = 1 donc z z U soit z U alors 1 z = 1 z = 1 1 = 1 donc 1 z U remarque : soit z U alors 1 z = zz z = z Argument d un nombre complexe non nul M(z = re iθ ) e OM = z = r ( e 1, OM) = arg(z) = θ O e1 Si z 0 alors on peut considérer l angle ( e 1, OM) de mesure θ en radians Si l on note r le module de z, on obtient : z = x + i y = r cos(θ) + i r sin(θ) = r (cos(θ) + i sin(θ)) = r exp(iθ) = r e iθ (Notation d Euler) Cette écriture s appelle la forme trigonométrique de z. θ = une mesure de l angle( e 1, OM)s appelle un petit argument de z et se note arg(z) z a une infinité d arguments qui diffèrent de k π L angle ( e 1, OM) s appelle grand argument de z et se note Arg(z) est le seul nombre complexe qui a un module 0 mais qui n a pas d argument!
23 3.3. ARGUMENT D UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL Relations entre forme trigonométrique et forme algébrique 3 démarches pour trouver cette forme trigonométrique : 1. utiliser la position géométrique de z lorsqu elle est évidente : Par exemple : 1 = 1[cos(0) + sin(0)] = e i0 = e iπ 1 = 1[cos(π) + sin(π)] = e iπ d où la formule divine d Euler : e iπ + 1 = 0 i = 1[cos( π ) + i sin( π ] = ei π i = 1[cos( 3π ) + i sin( 3π ] = ei 3π. Bien observer l écriture de z et la mettre sous la forme z = nombre positif [ cos(mesure d un angle) + i sin(cette même mesure d angle] : Exemples : 1 + i = ( 1 + i 1 ) = (cos( π 4 ) + i sin( π 4 )) = e i π 4 sin(θ) + i cos(θ) = cos( π θ) + i sin( π θ) = ei π θ (1 )e i π 4 n a pas pour module (1 ) qui est un réel négatif! En réalité,(1 )e i π 4 = ( 1)( 1)e i π 4 = ( 1)e iπ e i π 4 = ( 1)e 5i π 4 donc a pour module et pour argument 5π 4 3. utiliser les formules de passage de la forme algébrique à la forme trigonométrique (ou vice-versa) : si z = x + iy alors x = r cos(θ) y = r sin(θ) r = x + y cos(θ) = x r sin(θ) = y r Propriétés 1. r e iθ r e iθ = r r e i(θ+θ ) 1. = 1 r e iθ 3. re iθ re iθ = r r ei(θ θ ) r e iθ 4. Formule d Abraham Moivre (Vitry le François 1667-Londres 1754) : k Z (cos(θ) + i sin(θ)) k = cos(kθ) + i sin(kθ) Démonstration : Par récurrence sur N puis extension à Z
24 4CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES Module et argument de z B z C z A z C B A e C e1 O e1 Soit A(z A ) et B(z B ) alors AB a pour affixe zb z A z A z B = z AB = AB = AB ( e 1, AB) = arg(z AB ) = arg(z B z A ) donc pour tout C(z C ) on a : CB CA = z B z C z A z C = z B z C z A z C ( CA, CB) = ( e1, CB) ( e1, CA) = arg(z ) arg(z CB CA ) = arg( z CB ) = arg( z B z C ) z CA z A z C Théorème Dans un repère orthonormé direct. Soit A, B et C d affixes respectives z A, z B et z C. Soit un réel r > 0 et un réel θ alors on a l équivalence logique suivante : CB = r et ( CA, z B z C CB) = θ = re iθ CA z A z C Conditions nécessaires et suffisantes d appartenance à R, R +, R z R Im(z) = 0 z = z z = 0 ou k Z arg(z) = kπ z R + Im(z) = 0 et Re(z) 0 z = 0 ou k Z arg(z) = kπ z R Im(z) = 0 et Re(z) 0 z = 0 ou k Z arg(z) = π + kπ
25 3.3. ARGUMENT D UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL 5 Conditions nécessaires et suffisantes d appartenance à ir,ir +,ir z ir Re(z) = 0 z = z z = 0 ou k Z arg(z) = π + kπ z ir + Re(z) = 0 et Im(z) 0 z = 0 ou k Z arg(z) = π + kπ z ir Re(z) = 0 et Im(z) 0 z = 0 ou k Z arg(z) = π + π + kπ Applications géométriques Dans un repère orthonormé direct. Soit A,B et M d affixes respectives z A, z B et z. Soit un réel r > 0 et un réel θ alors on a l équivalence logique suivante : Si r = 1 z B z z A z = reiθ MB = r et ( MA, MB) = θ (moduloπ) MA MB MA Si r 1 = 1 M la médiatrice de [AB] MB = r M au cercle d APPOLONIUS associe à A, B et r. MA Ce cercle est le cercle de diamètre [IJ] où I est le barycentre de {(A, 1), (B, r)} et J est le barycentre de {(A, 1), (B, r)} Si θ = 0 + kπ alors : ( MA, M B) = 0 (modulo π) M la droite (AB) privée du segment [AB] Si θ = π + kπ alors : ( MA, MB) = π (modulo π) M le segment ouvert ]AB[ Si θ kπ alors : ( MA, M B) = θ (modulo π) M l arc de cercle capable associé à A,B et θ Racines n-ièmes complexes d un nombre complexe non nul 1. Lemme : x > 0 y > 0 n N {0; 1} y = x n x = n y
26 6CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES. Etude Soit Z 0. Posons Z = Re iα. Soit n N {0; 1}. z n = Z (re iθ ) n = Re iα r n e inθ = Re iα r n = R et k Z nθ = α + kπ r = n R et k Z θ = α n + kπ n. Lorsque k décrit Z, les kπ n ne prennent que n valeurs distinctes : ce sont celles qui correspondent aux n cas suivants : k = 0, k = 1,..., k = n-1 3. Théorème Soit n N {0; 1}. Soit Z 0 L équation z n = Z d inconnue complexe z admet n solutions complexes : Ce sont les nombres z k = n R e i( α n + kπ n ) où k {0, 1,,..., n 1}. Ces n solutions s appellent les racines-nièmes complexes de Z. 4. Corollaire : Racines n-ièmes de l unité Soit n N {0; 1}. Soit Z 0 L équation z n = 1 d inconnue complexe z admet n solutions complexes : Ce sont les nombres z k = e i kπ n où k {0, 1,,..., n 1}. Ces n solutions s appellent les racines-nièmes complexes de l Unité. Leur ensemble s appelle U n 5. Racines carrées complexes de 1 L équation z = 1 d inconnue complexe z admet solutions complexes : Ce sont les nombres z k = e i kπ où k {0, 1} c est-à-dire 1 et Racines carrées cubiques complexes de 1 L équation z 3 = 1 d inconnue complexe z admet 3 solutions complexes : Ce sont les nombres z k = e i kπ 3 où k {0, 1, } c est-à-dire 1, j = cos( π 3 ) + i sin( π 3 ) et j = cos( 4π 3 ) + i sin( 4π 3 ) 7. Racines carrées quatrièmes complexes de 1 L équation z 4 = 1 d inconnue complexe z admet 4 solutions complexes : Ce sont les nombres z k = e i kπ 4 où k {0, 1,, 3} c et-à-dire 1, i, -1, -i 8. Images des racines carrées n-ièmes complexes de 1 Les racines n-ièmes de l unité ont des images sur le cercle trigonométrique qui forment un polygône régulier convexe dont un des sommets est 1.
27 3.3. ARGUMENT D UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL 7 j i -1 1 j -i De plus leur somme est nulle. en posant w = e iπ n S = 1 + w 1 + w w n 1 1 = 1 wn 1 1 w 1 = 0 Par exemple, pour n = 3, on a 1 + j + j = 0 Autre propriété : w n k 1 a pour conjugué et pour inverse w k 1 9. Relations entre les racines carrées n-ièmes complexes de Z et celles de 1 Soit n N {0; 1}. Soit Z 0. Soit v une racine n-ième de Z z n = Z z n = v n ( z v )n = 1 z est une racine n-ième del unité v Théorème : Si on connaît une racine n-ième v de Z 0, pour trouver toutes les racines n-ièmes de Z, il suffit de multiplier v par toutes les racines n-ièmes de l unité. Par exemple, si l on cherche les solutions de Z 3 = 7, on peut vérifier que 3 3 = 7 donc 3 est une racine-troisième de 7 donc toutes les racines troisièmes de 7 sont 3, 3j et 3j 10. U n est un groupe cyclique d ordre n 11. Résolution de l équation az + bz + c = 0 où a, b, c C
28 8CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES Applications trigonométriques Formules de multiplication des arcs Il s agit de calculer cos(nθ) et sin(nθ) pour n =, 3, 4 à l aide des formules du binôme de Newton et de Moivre. 1. soit θ R alors (cos(θ) + i sin(θ)) = cos (θ) sin (θ) + i cos(θ) sin(θ) Or (cos(θ) + i sin(θ)) = cos(θ) + i sin(θ) donc cos(θ) = cos (θ) sin (θ) et sin(θ) = cos(θ) sin(θ). soit θ R alors (cos(θ) + i sin(θ)) 3 = cos 3 (θ) + 3 cos (θ)i sin(θ) + 3 cos(θ)(i sin(θ)) + (i sin(θ)) 3 = cos 3 (θ) + 3 cos (θ)i sin(θ) 3 cos(θ)(sin(θ)) i(sin(θ)) 3 Or (cos(θ) + i sin(θ)) = cos(3θ) + i sin(3θ) donc cos(3θ) = cos 3 (θ) 3 cos(θ) sin (θ) = 4 cos 3 (θ) 3 cos(θ) sin(3θ) = 3 cos (θ) sin(θ) sin 3 (θ) = 3 sin(θ) 4 sin 3 (θ) 3. De même, cos(4θ) = cos 4 (θ) 6 cos (θ) sin (θ) + sin 4 (θ) sin(4θ) = 4 cos 3 (θ) sin(θ) 4 cos(θ) sin 3 (θ) Linéarisation d un polynôme trigonométrique Il s agit de transformer un polynôme en sin(x) et en cos(x) en une somme de cosinus et de sinus d un multiple de x. Procédé : Si z = e iθ = cos(θ) + i sin(θ) U alors 1 z U. Comme z U alors z = e iθ = cos(θ) + i sin(θ) alors z = cos(θ) i sin(θ) et zz = z = 1 donc { z = cos(θ) + i sin(θ) z = cos(θ) i sin(θ) d où cos(θ) = 1 (z + z) sin(θ) = 1 (z z) i D après la formule de Moivre { z n = cos(nθ) + i sin(nθ) z n = cos(nθ) i sin(nθ) d où cos(nθ) = 1 (zn + z n ) sin(nθ) = 1 i (z zn ) Exemples :
29 3.3. ARGUMENT D UN NOMBRE COMPLEXE NON NUL 9 1. Linéariser cos 3 (θ). cos 3 (θ) = [ 1 (z3 z 3 )] = 1 8 (z3 +3z z +3zz +z 3 ) = 1 8 (z3 +z 3 +3zz(z +z)) = 1 8 ( cos(3θ) + 3. cos(θ)) = 1 4 cos(3θ) cos(θ)). Linéariser sin 3 (θ). sin 3 (θ) = [ 1 i (z3 +z 3 )] = i 8 (z3 3z z +3zz z 3 ) = i 8 (z3 z 3 3zz(z z)) = i 1 (i sin(3θ) 3.i sin(θ)) = 8 4 sin(3θ) sin(θ)) 3. Linéariser cos 4 (θ). On démontrera en exercice que : cos 4 (θ) = 1 8 cos(4θ) + 1 cos(θ) Linéariser sin 4 (θ). On démontrera en exercice que : sin 4 (θ) = 1 1 cos(4θ) + 8 cos(θ) Linéariser sin 3 (θ) cos 4 (θ). cos 4 (θ) sin 3 (θ) = (sin(θ) cos(θ)) 3 cos(θ) = ( sin(θ) ) 3 cos(θ) = 1 8 ( 1 4 sin(6θ) + 3 sin(θ)) cos(θ) Résolution de l équation du second degré az +bz+c = 0 d inconnue z C a,b, c complexes Soit l équation az + bz + c = 0 où a C, b C,c C. Soit le discriminant = b 4ac 1. ou bien = 0 alors l équation a une seule solution z = b a. ou bien 0 alors l équation a solutions z = b δ et z = b + δ a a où δ est une racine carrée complexe de a,b, c réels Soit l équation az + bz + c = 0 où a R, b R,c R. Soit le discriminant = b 4ac 1. ou bien = 0 alors l équation a une seule solution z = b a. ou bien > 0 alors l équation a solutions réelles distinctes : z = b et z = b + a a 3. ou bien < 0 alors l équation a solutions complexes conjuguées z = b i et z = b + i a a
30 30CHAPITRE 3. FORME TRIGONOMÉTRIQUES DES NOMBRES COMPLEXES
31 Chapitre 4 Exercices 4.1 Equations trigonométriques Résoudre dans R l équation (E) : 4 sin(x) sin(3x) cos(x) + 1 = 0 Démonstration L ensemble de définition de cette équation est : R x R, (E) 4 1 [cos(x 3x) cos(x + 3x)] cos(x) + 1 = 0 [cos( x) cos(4x)] cos(x) + 1 = 0 cos(x) cos(4x)] cos(x) + 1 = 0 cos(4x)] + 1 = 0 cos(4x) = 1 = cos(π 3 ) k Z 4x = π 3 + kπ ou k Z 4x = π 3 + kπ k Z x = π 1 + k π ou k Z x = π 1 + k π L ensemble S des solutions est { π 1 + k π ; π 1 + k π /k Z ; k Z} Il est représenté par les 8 points suivants sur le cercle trigonométriques : 4.1. Résoudre dans R l équation suivante : cos(x) + sin(x) = démonstration Méthode 1 : 1 cos(x) 1 et 1 sin(x) 1 donc cos(x) + sin(x) Par conséquent cos(x) + sin(x) = cos(x) = 1 et sin(x) = 1 Donc cos (x) + sin (x) =. Ceci est impossible car cos (x) + sin (x) = 1 Par conséquent, l ensemble des solutions de cette équation est S = 31
32 3 CHAPITRE 4. EXERCICES Méthode : cos(x) + sin(x) = ( cos(x) + cos(x) ) = ( 1 cos(x) + 1 sin(x)) = (cos( π 4 ) cos(x) + sin(π 4 ) sin(x)) = (cos(x π 4 ) = cos(x π 4 ) = Cette équation est impossible à résoudre car 1, 414 et 1 cos(x) 1 4. Linéarisation de polynômes trigonométriques 4..1 Linéariser sin 5 (x) démonstration On utilisera les formules d Euler-Moivre. { e inx = cos(nx) + i sin(nx) e inx = cos(nx) i sin(nx) donc cos(nx) = 1 (einx + e inx ) sin(nx) = 1 i (einx e inx ) Alors sin 5 (x) = (sin(x)) 5 = ( 1 i (eix e ix )) 5 = e5ix 5e 4ix e ix + 10e 3ix e ix 10e ix e 3ix + 5e ix e 4ix e 5ix 5 i 5 = e5ix e 5ix 5(e 3ix e 3ix ) + 10(e ix e ix ) 3i = i sin(5x) 5(i sin(3x)) + 10(i sin(x)) 3i = 1 16 sin(5x) 5 16 sin(3x) sin(x)
33 4.3. INTÉGRATION ET TRIGONOMÉTRIE - BAC RENNES C Intégration et trigonométrie - bac Rennes C 77 π Soit I 1 = 0 1. Calculer I. Calculer I 1 3. En déduire I π cos(x) 1 + sin(x) dx ; I = 0 sin(x) 1 + sin(x) dx et I = I 1 + I
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