Physique - électricité : TC1

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1 Miistère de l Eseigemet Supérieur, de la echerche Scietifique et de la Techologie Uiversité Virtuelle de Tuis électricité : TC Cocepteur du cours: Jilai LAMLOUM & Mogia EN AÏEK Attetio! Ce produit pédagogique umérisé est la propriété exclusive de l'uvt. l est strictemet iterdit de la reproduire à des fis commerciales. Seul le téléchargemet ou impressio pour u usage persoel ( copie par utilisateur est permis.

2 électricité : TC. DEFNTON Soit u circuit (C parcouru par u courat d'itesité et soit so flux propre. O appelle éergie magétique, le travail miimal qu'il faut fourir au circuit pour faire passer l'itesité et le flux propre de la valeur zéro aux valeurs fiales et.. ENEGE MAGNETQUE DANS LE CAS DE CCUTS GDES FLFOMES. Circuit uique filiforme Soit u circuit (C de résistace, d'iductace propre L, motés aux bores d'u géérateur de force électromotrice E. Le circuit peut être schématisé comme l'idique la figure. A l'istat t =, o ferme l'iterrupteur K. Le K i(t phéomèe d'auto-iductio das la bobie se traduit par l'apparitio d'ue f.é.m iduite aux bores de la bobie, doée par : E L Fig. d i(t e (t - L dt L'applicatio de la loi d'ohm permet d'écrire : d i(t E L i(t dt Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

3 Soit : Uiversité Virtuelle de Tuis d i(t L i(t E dt électricité : TC Multiplios par i(t dt et itégros etre les istats et t : t E i(t dt i (t dt t L i(t d i(t t E i(t dt représete le travail fouri par le géérateur; t i (t dt représete l'éergie dissipée par effet Joule das le circuit. Le terme L i(t d i(t est égale à das la bobie. L, il représete l'éergie magétique emmagasiée O défiit l'éergie magétique emmagasiée par le circuit par : W L (4 Comme, L, o peut aussi écrire : W (5 Cette gradeur est positive. Elle est stockée das la bobie. Elle peut être récupérée : e effet si o aule la f.é.m du géérateur, l'itesité du courat va décroître et s'auler. d i(t L'équatio différetielle qui régit l'évolutio est : L i(t, dot la solutio dt correspodat aux coditios iitiales ( i( = est : t L i(t e... Cas de deux circuits couplés Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

4 epreos l expériece précédete das le cas de deux circuits (C et (C d'iductaces propres L et L, de résistaces et, de forces électromotrices E et E et d'iductace mutuelle M (M =M. Soiet i (t et i (t les itesités du courat das les deux circuits à l'istat t. i (t i (t E E L L Fig. électricité : TC Supposos, qu'à t =, i ( = i ( =. Les équatios différetielles permettat de calculer i (t et i (t, e régime letemet variable, sot : E E i (t L i (t L di(t di (t M dt dt di (t di(t M dt dt Multiplios la première équatio par i (t dt, la secode par i (t dt, ajoutos et itégros etre les istats et t : t ( E i (t dt E i (t dt i, i L i(t di(t L i (t di (t t i (t dt magétique emmagasiée par les circuits par : t i (t dt M d ( i (ti (t O défiira l'éergie W m L L M Comme le flux, traversat ( C, peut s'écrire : L M Le flux, traversat ( C, peut s'écrire: L M O voit que W m peut s'écrire : 4 Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

5 ( (6 Wm électricité : TC.. Cas de plusieurs courats Das le cas où o a circuits filiformes, parcourus par des courats,...,, l'éergie magétostatique totale, doée par la gééralisatio de l'expressio (6, est : W m i i (7 i. ENEGE MAGNETQUE D'UNE DSTUTON VOLUMQUE DE COUANTS Soit ue distributio volumique de courats qui crée e tout poit de l'espace u champ magétique. O décompose cette distributio e tubes de courats d'itesité d traversés par des flux. D'après la relatio (7, L'éergie magétostatique du tube de courat s'écrit : Avec D'où : dw m d d j. ds et S. ds S rot A. ds C A.d W m j (M.A(M d (8 L'itégrale état étedue au volume total parcouru par les courats, mais puisqu'à l'extérieur de la distributio o a j, cette itégrale peut être étedue à tout l'espace. emarque Cette expressio est aalogue à celle de l'éergie électrostatique d'ue distributio volumique de charges : W e V d V. LOCALSATON DE L'ENEGE 5 Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

6 MAGNETOSTATQUE E teat compte de l'expressio rot j, l'expressio (8 peut s'écrire : électricité : TC Wm rot.a d o Or,div( A. rota - A. rot O reporte das W m : W W m m o o.rot A div( A d d (p uisquerot A La deuxième itégrale est ulle e effet : div (A d S o div ( A d (A.dS Le choix de S 'est pas essetiel du momet que cette surface eglobe tous les courats, choisissos pour S ue sphère de rayo. Si o fait tedre le rayo de la sphère vers l'ifii : A varie e, e et ds e r²; il s'esuit que le produit r ( A. ds varie e et ted vers r r zéro lorsqu r ted vers l ifii. La deuxième itégrale s aule doc et l'expressio de l'éergie magétostatique se réduit doc à : W m ² d (9 espace Cette expressio de l'éergie motre que l'éergie magétostatique d'u système de courats est localisée e tout poit de l espace où le champ magétique existe. O défiit aisi ue desité d'éergie e tout poit de l'espace par : emarque w m dwm ² ( d 6 Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

7 électricité : TC O peut obteir l'expressio du coefficiet d'auto-iductace L d'u circuit quelcoque parcouru par u courat, e utilisat les deux formes d'expressios de l'éergie magétostatique doées par les formules (4 et (9. Soiet : W m L² D'où : ² d espace L ² d ² ( Applicatio Calcul de l'éergie magétostatique, par uité de logueur, d'u soléoïde ifii, de rayo, parcouru par u courat. Les expressios du champ magétique créé par le soléoïde sot : N (r et (r. L'éergie magétostatique est doée par : N² Wm ²d ² ² ² Soit l'éergie, par uité de espace ² Wm logueur : N² ² EXECCES DES CHAPTES,4 et 5 Exercice z U câble coaxial est formé de deux coducteurs cylidriques 7 Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

8 coaxiaux C et C. C est plei de rayo et d'axe z'z et C creux de rayos et ( < <. électricité : TC Le coducteur C est parcouru par u courat électrique d'itesité de desité uiforme j et C j k est parcouru par u courat de même itesité mais circulat e ses iverse.. Calculer le champ magétique créé e tout poit M par ce câble supposé ifii..a. Calculer l'éergie magétique emmagasiée par uité de logueur du câble. b. E déduire le coefficiet d'auto-iductio L par uité de logueur c. Etudier le cas où =.. epredre toutes les questios das le cas où les courats sot répartis sur les surfaces des coducteurs. Solutio ( r. Le pla M, u, k est u pla de symétrie pour la distributio de courat, le champ magétique (M est alors porté par u. La distributio du courat présete ue symétrie cylidrique, (M e déped que de la distace r du poit M à l'axe z'z : (M (r u. O applique alors le théorème d'ampère e calculat la circulatio de (M le log d'u cercle (C d'axe z'z et de rayo r : 8 Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

9 .d (C r (r électricité : TC er cas : r r.d r (r ( C j.ds S j r j état uiforme et so expressio est doée par : S j.ds j j D'où : (M ( r r u ème cas : r (C.d r (r D'où : (M ( r u r ème cas : r Avec: ' (C.d r (r j'.ds j' (r O a: j' ( Soit : S (M ( et - r (r ' ( ( ' et r S j'.ds j' ( r ( u 4 éme cas : r.d r ( 4(M (r C.a. L'éergie magétique emmagasiée das u volume est doée par : W espace d espace L'éergie par uité de logueur est égale à : r drddz 9 Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

10 électricité : TC Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM Uiversité Virtuelle de Tuis 4( ( 4 4 r dr r dr rdr rdr rdr rdr W 4 4 b. O a par défiitio: L W.Soit : 4( ( 4 L 4 c. Si = ( le coducteur C est d'épaisseur égligeable 4 L. Si les courats se répartisset à la surface ( les coducteurs C et C sot creux et d'épaisseurs égligeables, les expressios du champ magétique e sot plus les mêmes. er cas : r : r = (M ème cas : r : r = u r (M ème cas : r : (M 4 ème cas : r : r = ( - = (M 4 r dr r 4 ( W D'où : L emarque

11 électricité : TC O sait que la capacité par uité de logueur d'u codesateur cylidrique est C, o peut remarquer alors que LC. Soit LCc =. c est la vitesse de c propagatio des odes das le vide, elle est égale à 8 m/s Exercice z O cosidère ue bobie torique de sectio rectagulaire, de hauteur h et de rayo et, comportat N spires joitives parcourues par u courat d itesité de même ses. z. Détermier l'expressio du champ magétique, créé e tout poit M.. E déduire le coefficiet d'auto-iductio L. Solutio. Calcul du champ magétique La bobie torique est caractérisée par ue symétrie de révolutio autour de l'axe Oz. U poit M est repéré par ses coordoées cylidriques ( r,,z : le module du champ e déped que de r et z. ( r z Le pla M, u, u est u pla de symétrie : (M (r, z u. Pour appliquer le théorème d'ampère o choisit pour cotour fermé u cercle de rayo r et d'axe Oz. Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

12 électricité : TC * Si r < où si r > +, l'expressio du théorème d'ampère doe :.d (C Le champ magétique est ul pour tout poit M extérieur de la bobie, comme das le cas d'u soléoïde. * Si < r <, l'applicatio du théorème d'ampère à u cercle de rayo r, qui est traversé par N fils portat chacu le courat, doe : (C.d r N N u r emarque les expressios du champ magétique établies sot valables même pour ue bobie torique de sectio o rectagulaire.. Pour détermier le coefficiet d'auto-iductio L, o doit calculer le flux propre du tore : = L, si l'o désige par l'itesité costate du courat qui circule das la bobie torique. Le flux propre de à travers ue spire de l'eroulemet est : S.dS N h r dr h dr h dr r N h Le flux total à travers l'esemble des spires est : N N h D'où l'expressio du coefficiet d'iductace : Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

13 L N h électricité : TC Exercice O place à l'itérieur d'u soléoïde (S de logueur, de rayo et possédat N spires parcourues par u courat d itesité, u deuxième soléoïde (S de logueur de rayo ( > et possédat N spires parcourues par u courat ( d itesité ( Fig. Les logueurs des soléoïdes sot supposées très supérieures aux rayos ( et z z.a. Calculer le flux du champ magétique créé par le soléoïde (S à travers le soléoïde (S. b. Calculer le flux du champ magétique créé par le soléoïde (S à travers le soléoïde (S. Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

14 c. E déduire l'iductace mutuelle M des deux soléoïdes. électricité : TC. Détermier l'expressio de l'éergie magétique W m du système..a. Le courat d'itesité est variable das le temps. Doer l'expressio de la force électromotrice iduite e das le soléoïde (S. b. E utilisat l'expressio du potetiel vecteur l'expressio de e. A créé par u soléoïde, retrouver Solutio.a. ( N S. ds N k, S ds dsk, N N b. N ( Seules N S.dS N spires sot traversées par le flux créé par c. L'iductace mutuelle M des deux soléoïdes est défiie par : M emarque N Si les courats et 'étaiet pas de même ses, l'iductace mutuelle M serait égative.. L'éergie W m du système des deux soléoïdes est doée par : W m L ( L M N.a. Si l'itesité du courat das le soléoïde (S varie, il y aura variatio du flux das le d N N d soléoïde (S, doc apparitio d'ue f.é.m d'iductio : e dt dt 4 Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

15 b. Le potetiel vecteur A(M poit M distat de r de l'axe est doé par : A (M r u électricité : TC créé par le soléoïde (S parcouru par le courat e u Si l'itesité du courat varie das le temps, il e est de même pour A(M. l apparaît e tout poit de l'espace u champ électrique d'iductio : La force électromotrice d'iductio est : E i A(r t e C Soit : e E.d Exercice 4 i N d dt d d. dt U fil coducteur rectilige de logueur ifiie, parcouru par u courat, et ue spire rectagulaire ACD idéformable, de côtés a et b parcourue par u courat, placés das le même pla à ue distace l u de l autre. z A b O D a C y Détermier les expressios : 5 Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

16 . du coefficiet de mutuelle iductio fil-spire. électricité : TC. de l éergie potetielle d iteractio de la spire avec le champ magétique créé par le fil.. de la force résultate qui s exerce sur la spire rectagulaire. Solutio. Le champ magétique (M créé e u poit M, distat de y du fil, est doé par : μ (M i. πy Le flux d du champ (M à travers u élémet de surface rectagulaire ds de la spire, de largeur dy et de hauteur b, est doé par : d (M. ds bdy y Le flux total de (M à travers toute la spire est : b a dy b y a Compte teu de la défiitio de M, M. D où : M b a. L éergie potetielle d iteractio W p est défiie par : W p M b a 6 Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

17 électricité : TC. Les forces agissat sur A et DC sot égales et opposées et leur résultate est ulle : Les forces agissat sur C et DA sot perpediculaires au fil et portées par Oy. La force résultate des actios magétiques sur la spire est doc parallèle à Oy. Soit F y l itesité de cette force. Si o désige par d la variatio du flux due à u déplacemet élémetaire d positif, o a d après le théorème de Maxwell : expressio : dw d F y d, la résultate F y a pour F y d d d d b a b a ( a emarque La force F y est égative, elle est dirigée selo les y égatifs ; il s agit doc d ue force d attractio. Exercice 5 O cosidère deux soléoïdes (S et (S idéformables, coaxiaux, de rayos et ( < et comportat respectivemet et spires par uité de logueur. ls sot parcourus par des courats de même ses, d'itesités costates et. Le soléoïde (S, de logueur, ploge d'ue logueur z à l'itérieur du soléoïde (S fixe. O admettra l'approximatio des soléoïdes ifiis. z z z 7 Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

18 électricité : TC.a. Détermier l'expressio du flux total du champ magétique créé par le soléoïde (S à travers (S. b. E déduire l'expressio de la force magétique F agissat sur le soléoïde (S.. Détermier : a. L'expressio de l'éergie potetielle d'iteractio du soléoïde (S. b. Le coefficiet d'iductace mutuelle des deux circuits.. O lâche le soléoïde (S, (S état fixe. a. Détermier la positio fiale de (S aisi que so éergie potetielle d'iteractio das cet état fial. b. E déduire le travail des forces magétiques au cours de ce déplacemet. Solutio.a. Le champ magétique pour expressio : k créé par le soléoïde (S à l'itérieur est uiforme et a Le flux total du champ magétique à travers le soléoïde (S est égal à : z S z ( Le ombre de spires du soléoïde (S placées das le champ magétique état égal à z. b. L'expressio du flux est foctio de z. La force agissat sur le soléoïde (S est doc portée par l'axe z'z. L'expressio de cette force est doée par : F z d dz 8 Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM

19 électricité : TC Cette force état positive, elle est dirigée das le ses des z croissats. Elle ted à faire péétrer le soléoïde (S das le soléoïde (S. Ceci est coforme à la règle de flux maximal..a. L'éergie potetielle d'iteractio du soléoïde (S est défiie par : W i b. Le coefficiet d'iductace mutuelle est défii par : M z z. Lorsqu'o lâche le soléoïde (S, il a tedace à péétrer à l'itérieur du soléoïde (S. a. D'après la règle du flux maximal, la positio fiale soléoïde (S correspod au maximum de flux à travers ses spires. Le soléoïde (S atteit doc l'équilibre lorsqu'il est etièremet coteu das le soléoïde (S, c'est à dire lorsque z ( état la logueur du soléoïde (S. Das ces coditios, le flux a pour expressio : L'éergie potetielle d'iteractio du soléoïde (S das cet état fial a doc pour expressio : ( W i f b. Le travail W des forces magétiques peut être calculé à l'aide du théorème de Maxwell : W ( fial iitial W Soit : ( z 9 Cocepteur du cours: M. EN AÏEK & J. LAMLOUM