régulation et régulation Maher CHAABENE (Maître assistant GEII) Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII)

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1 K t LP e ( K )! at = ( a ) k ds( t τ dt ) + s( t ) = K.e( t ) H( ) = S( E( ) ) = K +τ. t s( t ) = K e τ u( t ) Automatique Ste Resonse G db wo f.f.8 z=..logk Pulsation W z=. -3 db.6 - z= z= z=.3 z= z=.5-4 db/dec z=.5-6. z= t y( t ) = Ka. ( t τ ) + τ.ex -3.u( t ). τ et - - régulation Dehasage wo Pulsation W z= -5 z= z=.7 z=.5 z=. l.8 z=.6 z= Re( H(jw)) = K Time (sec) jkτ H(j.w) = K + + τ²w² + ( τ.w ) ² + ( τ.w ) ² Im( H(jw)) = Kτ + τ²w² H( ) = S( ) = E( ) Automatique a K.w K = +.z.w. + w.z + + w.e zwt s( t ) = K.sin z et régulation Cours, Travaux dirigés et et Travaux ratiques Maher CHAABENE (Maître assistant GEII) Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII) n m a dy dy dy dx dx dx n a + a + a.y = bm b + b + b n m dt dt dt dt dt dt Cours, Travaux dirigés et Travaux ratiques w ( w z.t ) + ϕ Pour le technicien suérieur. Maher CHAABENE (Maître assistant GEII) Mohamed DAMMAK (Assistant technologue GEII) Institut Suérieur des études technologiques de Sfax Amlitude.x

2 Plan du cours Nomenclature Chaitre : Notion de systèmes lineaires asservis. Notion de systèmes..... Définition..... Classification des systèmes Les systèmes linéaires Les systèmes invariants Les systèmes à modèle déterministe Les systèmes asservis Performances des systèmes asservis Notion de stabilité Notion de raidité Notion de récision Notion de signal Définition Signaux canoniques Réonses articulières d un système scalaire Réonse imulsionnelle Réonse indicielle Réonse à un signal quelconque... 7 Chaitre : Les systèmes linéaires continus. Présentation..... Définition..... Princie de roortionnalité Princie d'additivité ou de suerosition.... Mise en équation d un système linéaire Transformée de Lalace Formulation mathématique Proriétés et théorèmes Table des transformées de Lalace Exemle Série de TD N... 9 Cours d automatique et régulation - I -

3 Chaitre 3 : Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus. Fonction de transfert.... Diagramme fonctionnel..... Définition..... Exemle de schéma bloc d un système en boucle fermée Règles de simlification Mise en série Mise en arallèle Structure en boucle fermée Délacement des nœuds d informations Permutation de deux nœuds successifs Délacement de sommateurs Permutation de deux sommateurs successifs Princiales transmittances électriques et mécaniques Alications Système électronique Moteur à courant continu Lieux de transfert Introduction Interrétation dans le lan comlexe Les lieux de transfert Lieu de Bode Lieu de Nyquist Lieu de Black Abaque de Black Série de TD N... 3 Chaitre 4 : Etudes des systèmes élémentaires. Etude d'un système de remier ordre Etude temorelle Définition Réonse imulsionnelle Réonse indicielle Alication Relation tems fréquence Etude harmonique Rerésentation de Bode Rerésentation denyquist Rerésentation de Black Etude d'un système de second ordre Définition Etude temorelle Réonse imulsionnelle Réonse indicielle Cours d automatique et régulation - II -

4 .3. Etude harmonique Diagrammes de Bode Rerésentation dans le lan de Nyquist Rerésentation dans le lan de Black Exemle Série de TD N... 5 Chaitre 5 : Performances des systèmes linéaires asservis. Introduction Stabilité Définition Condition de stabilité Critère de Routh Alications Critère de Nyquist Critère de Nyquist simlifié Marge de gain Marge de hase Critère de Black Critère de Black Abaque de Black Nichol s Critère de Bode Critère de Rivers Critère de Bode Précision Définition Classe d un système Raidité Rael et définition Critère de Naslin Série de TD N Série de TD N Chaitre 6 : Les régulateurs. Généralités Tâches du régulateur Inventaire Rôles des régulateurs ou correcteurs Réglage roortionnel Princie Statisme Correcteur à action Proortionnelle Correcteur à action Dérivée Correcteur à action Intégrale Cours d automatique et régulation - III -

5 4. Tyes de correcteurs Correcteur à action Proortionnelle Dérivée Correcteur à action Proortionnelle Intégrale Correcteur à action Proortionnelle Intégrale Dérivée Série de TD N Problèmes. Problème n Problème n Problème n Problème n Problème n Problème n Problème n Travaux Pratiques TP d'initiation : Equiement du laboratoire TP : Étude d un système de remier ordre TP : Étude d un système de second ordre... TP3 : Simulation d un système de remier et de second ordre... 9 TP4 : Simulation de la régulation de vitesse d un moteur... 4 Annexe Bibliograhie Cours d automatique et régulation - IV -

6 Nomenclature Arg Argument. C Caacité. α Classe d'un système. z Coefficient d amortissement d'un système de second ordre. τ Constante du tems ou tems de réonse d'un système de remier ordre. D k Déassement relatif d ordre k. ϕ Déhasage en degrés. u () t Échelon de osition unitaire. e(t) Entrée d'un système. ε Erreur ou écart. f.e.m Force électromotrice. f c Fréquence de couure d'un système de remier ordre. G db Gain en décibels. τ d Gain statique du régulateur Dérivée. τ i Gain statique du régulateur Intégral. K P Gain statique du régulateur Proortionnel. K Gain statique d'un système de remier ordre ou de second ordre. δ (t) Imulsion de Dirac. L Inductance. A m Marge de gain. ϕ m Marge de hase. J Moment d'inertie. C ch Moment du coule de charge. k Ordre du déassement relatif. Im Partie imaginaire. Re Partie réelle. m Pôles de l équation caractéristique d'un système. Ta Pseudo ériode. wa Pulsation amortie. w c Pulsation de couure d'un système de remier ordre. w R Pulsation de résonance. w Pulsation rore non amortie d'un système de second ordre. w Pulsation. Cours d automatique et régulation - V -

7 D Régulateur Dérivée. I Régulateur Intégral. PD Régulateur Proortionnel Dérivée. PID Régulateur Proortionnel Intégral Dérivée. PI Régulateur Proortionnel Intégral. P Régulateur Proortionnel. R ch Résistance de charge. R Résistance. s(t) Sortie d'un système. t m Tems de montée. T ic Tems de ic. t % Tems de réonse à %. t 5% Tems de réonse à 5%. t 9% Tems de réonse à 9%. Ts Tems de stabilisation t k Tems du déassement relatif d ordre k. LP - LP Ω n Transformée Lalace inverse. Transformée Lalace. Variable de Lalace Vitesse de rotation angulaire. Zéros de l équation caractéristique d'un système. Cours d automatique et régulation - VI -

8 Notion de systèmes linéaires asservis Chaitre Cours d automatique et régulation - A -

9 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis Chaitre : Notion de systèmes lineaires asservis. Notion de systèmes.. Définition Un système eut être défini comme un ensemble d éléments exerçant collectivement une fonction déterminée. Un système communique avec l extérieur ar l intermédiaire de grandeurs, fonctions du tems, aelés signaux. Dans la suite, on essaiera de garder les notations suivantes : x (t) x N (t) our les signaux d entrée de commande. y (t) y M (t) our les signaux de sortie. Les signaux de sortie d un système sont aussi aelés réonse du système. x (t) y (t) SYSTEME x N (t) y M (t) Remarque Les systèmes à une entrée et à une sortie sont aelés systèmes monovariables ou systèmes scalaires. Un système est connu ar son action sur le milieu extérieur. Lorsqu on alique certains signaux d entrée, le système se manifeste en émettant des signaux de sortie articuliers. Le système est arfaitement connu ar la connaissance des relations liant les entées avec les sorties. Exemle Soit le circuit électrique suivant : R x() t = R.i() t + i()dt t. C i( t) x( t) C y () t avec y() t = i()dt t. C. dy( t) On a donc l équation du système : R.C. + y() t = x() t. dt.. Classification des systèmes... Les systèmes linéaires Un système est linéaire si la réonse de ce système à une combinaison linéaire de signaux d entrée est égale à la combinaison linéaire des réonses. x (t) SYSTEME y (t) x (t) SYSTEME y (t) Si on alique à l entrée : x() t a.x ( t) + b.x ( t) On obtient en sortie : () t = a.y ( t) b.y ( t). =. y + Cette roriété des systèmes linéaires est aussi aelée rincie de suerosition. Cours d automatique et régulation

10 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis... Les systèmes invariants Un système est dit invariant (stationnaire) si la réonse du système à un signal x(t) différé d un tems τ est la même que la réonse y(t) du système mais différée deτ. Entrée x ( t) Entrée x ( t τ ) t t t-τ Sortie y ( t) Sortie y ( t τ ) t τ t τ t-τ Un système invariant est aussi aelé système à aramètres constants localisés ou à constantes localisées. Cette roriété des systèmes invariants est aussi aelée rincie de ermanence. Exemle: Moteur Courant MOTEUR Coule Si on néglige l usure, le moteur n évolue as dans le tems : le système est invariant...3. Les systèmes à modèle déterministe Un modèle déterministe ( stochastique) ossède des entrées et des aramètres non bruités de telle façon que son comortement soit arfaitement révisible en avance...4. Les systèmes asservis L étude des systèmes est destinée à commander au mieux les différents rocessus rencontrés. Il existe deux solutions our commander un système :. Commande en boucle ouverte Dans ce cas, la commande est envoyée en entrée sans contrôle sur les sorties. Exemle : Rhéostat Résistance chauffante Four Pour utiliser ce tye de commande, il est nécessaire de connaître le système et les réonses aux commandes envoyées. Malgré tout, de multiles erturbations euvent modifier l action de ces commandes : si la orte du four reste ouverte, les graduations du rhéostat ne corresondent lus à la temérature intérieure.. Commande en boucle fermée Pour améliorer les erformances d une commande, il est indisensable d observer les sorties du système our les comarer à ce que l on désire obtenir. Dans ce deuxième tye de commande, les sorties du système sont contrôlées. C est à ce niveau que l on rencontre la notion de système asservi. Cours d automatique et régulation 3

11 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis Un système asservi est un système dont le rôle consiste essentiellement à établir une corresondance définie entre une ou lusieurs grandeurs d entrée, de faibles niveaux énergétiques, et une ou lusieurs grandeurs de sortie de niveaux énergétiques lus élevés. Un système asservi est caractérisé ar la résence de : Chaînes directes: Elles comrennent des éléments amlificateurs et éventuellement, des convertisseurs de uissance, en liaison avec la source d énergie. Chaînes de retour : Elle sont constituées d éléments de récision généralement assifs. Ce ne sont as des chaînes de uissance ; elles transmettent à l entrée des informations sur les grandeurs de sortie. Ces informations sont comarées aux signaux d entrée au moyen de comarateurs. Ces derniers élaborent les différences ou écarts entre les signaux d entrée et les informations images des signaux de sortie. Exemle : Chauffage d un immeuble θ e T Système θ Figure A θ e θ e θ + - a T Système θ Figure B θ e θ e θ C + - a T Système θ - + P Figure C La figure A rerésente le système. La temérature θ à l intérieur de l immeuble est fonction de la temérature T de l eau chaude envoyé dans les radiateurs et de la temérature extérieureθ e. Nous rerésentons cette descrition, volontairement simlifiée ar une boite munie d une sortieθ, d une entrée de commande T à la disosition de l oérateur et d une erturbationθ e. Le rayonnement solaire dans l immeuble, le vent ou d autres grandeurs agissant aussi sur la temératureθ. C est volontairement que ces grandeurs ne sont as rises en comte ar notre modèle qui doit, avant tout, être simle. C est l utilisateur qui règle T, en Cours d automatique et régulation 4

12 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis vue d obtenir θ = 9 C ar exemle (en régime ermanent). Il sait, ar exérience, qu il obtient un bon résultat en réglant T. La figure B rerésente alors une remière tentative de réglage automatique de T, tel que T = a. ( θ θe ). Dans cette configuration, l oérateur n aura lus besoins de retoucher T en fonction de la temérature extérieure. En effet, T va varier automatiquement en sens inverse deθ e. Quand θ = θe on a T=, ce qui signifie qu on doit bien entendue, couer le chauffage. Cette commande en boucle ouverte donne de bons résultats. La figure C rerésente une amélioration du réglage automatique de T. Suosons que ar tems froide le soleil énètre à l intérieur de l immeuble. La temératureθ va s élever sans our autant que la temérature T de l eau des radiateurs ne soit réduite uisqu il ne déend queθ e. Il se roduira une surchauffe et on doit modifier T, c est à dire our diminuerθ. Il est clair que cette oération eut s effectuer de façon automatique en rendantθ déendant de la temératureθ effectivement atteinte dans l immeuble. Pour cela θ est comarée à une consigneθ C, réglable ar l utilisateur à l aide d une boucle d asservissement..3. Performances des systèmes asservis.3.. Notion de stabilité On dit qu un système est stable, lorsque celui-ci tend à revenir à son état d équilibre lorsqu on lui alique une erturbation de courte durée..3.. Notion de raidité La raidité quantifie le tems de réonse du système. Le tems mis ar la réonse our ne lus déasser ±5% de la valeur finale. Ce tems est retenu comme critère de raidité : t 5% Cours d automatique et régulation 5

13 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis.3.3. Notion de récision La récision quantifie l erreur lorsque l équilibre est atteint. e () ( t) Avec t et comarateur. s de même nature. Autrement, l erreur est mesurée à la sortie du. Notion de signal.. Définition Un signal dans un système de commande automatique rerésente une grandeur hysique qui eut être une temérature, une force, une ression, une vitesse, une tension, un débit. Ce signal eut être sous forme logique (binaire), analogique, numérique (codé), selon la nature de commande : analogique ou numérique. Dans notre cas, nous étudions les signaux analogiques relatif à la commande linéaire continue des rocessus. En ratique, un signal est une tension entre et 5V ou un courant entre et ma, cas de rocessus industriels. Un signal () t Un signal () t Un signal () t.. Signaux canoniques s est causal si s ( t) = t <. s est déterministe si ( t) s est aléatoire si t tel que ( t) s est connu. s est inconnu. Imulsion de Dirac Si ε alors. ε Si ε alors. ε e est une imulsion de Dirac idéale. () t ε e(t)=δ(t) ε t Echelon de osition Si t > : e () t = e. Si t < : e () t =. Si e = : e() t est un échelon de osition unitaire noté u t. () e e(t) t Echelon de vitesse e() t = tgα.t.u () t. Si tg α = : e () t = t.u () t e () t est aelée échelon de vitesse unitaire. e(t) α t Cours d automatique et régulation 6

14 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis Echelon d accélération e() t = a.t.u () t. Si a= : e() t aelée échelon d accélération unitaire. Sinusoïde e t = Em.sin ω t.u t. () m ( ) () e() t aelée Si E m = : sinusoïde unitaire. e(t) e(t) t t 3. Réonses articulières d un système scalaire On considère ici un système scalaire, c est à dire à une entrée et à une sortie. x(t) Système y(t) Pour connaître le comortement du système et le comarer à d autres systèmes, on étudie les réonses à quelques signaux articuliers. 3.. Réonse imulsionnelle On aelle réonse imulsionnelle, la réonse notée h ( t), obtenue ar l alication d une imulsion de Dirac δ (t) à l entrée du système, celui- ci étant initialement au reos. y(t)=h(t) δ(t) t t 3.. Réonse indicielle échelon unité On aelle réonse indicielle, la réonse notée ω ( t), obtenue ar l alication d un u() t u() t à l entrée du système, celui-ci étant initialement au reos. y ( t) = ω( t) t t 4. Réonse à un signal quelconque Définition de la convolution temorelle On considère un système scalaire linéaire invariant de réonse imulsionnelle ( t) Pour un système scalaire, linéaire et invariant, initialement au reos, la réonse y() t h. à un Cours d automatique et régulation 7

15 Chaitre Notion de systèmes linéaires asservis x () () signal d entrée quelconque t est donnée ar le roduit de convolution entre x t et la réonse imulsionnelle du système : y + () t = x( v).h( t v).dv = x() t h() t Cette exression est fondamentale. Elle ermet, en connaissant le système ar sa réonse imulsionnelle h () t et l entrée x ( t), de déterminer y ( t). Elle eut donc remlacer totalement l équation différentielle régissant le système. Cette exression se note de façon condensée : y( t) = x( t) h( t). est l'oérateur de convolution ; y() t est la convolution du signal d'entrée avec la réonse imulsionnelle du système. Remarques Le roduit de convolution est commutatif : y ( t) = x( t) h( t) = h( t) x(t ). L imulsion de Dirac et la réonse imulsionnelle (si x et y ont la même dimension) sont homogènes à l inverse d un tems. Ce sont des éléments mathématiques qui ermettent de formaliser les comortements des systèmes mais qui n ont as de réalité hysique. Si l imulsion de Dirac est aliquée à l instant zéro, la réonse imulsionnelle est forcément nulle our t < v car h ( t v) =, le système étant suosé causal (cas des systèmes hysiquement réalisables). De lus, si le signal est lui-même causal (aliqué au tems t = ), alors x () v = si v <. Les bornes de l intégrale de convolution se simlifient et le roduit de convolution s écrit : y + () t = x( v).h( t v) Exemle: Calcul de la réonse indicielle d un circuit RC à artir de sa réonse imulsionnelle. t τ La réonse imulsionnelle d un circuit RC s écrit : h( t ) =.ex avecτ = R. C. τ On se roose d utiliser la convolution our déterminer la réonse indicielle ω () t du circuit RC à un échelon d amlitude E à artir de sa réonse imulsionnelle h t. w( t ) = h( t ) E.u( t ) = Soit.dv + + h( t ν ).E.u( ν ).dν = E t ν E t ν w( t ) = E..ex( ).dν = τ.ex( ) τ τ τ τ () h( t ν ). dν + +. t = E. ex( τ ) Cours d automatique et régulation 8

16 . Les systèmes linéaires continus Chaitre Cours d automatique et régulation 9

17 Chaitre Les systèmes linéaires continus Chaitre : Les systèmes linéaires continus. Présentation On aelle système dynamique un système dont l'étude ne eut être réalisée qu en renant en comte les valeurs assées du hénomène. Les grandeurs de sortie déendent des valeurs résentes et assées des grandeurs d'entrées. Les hénomènes d'inertie (inertie mécanique, inertie thermique...) influent sur le comortement du système. Nous limiterons notre étude aux seuls systèmes linéaires continus et invariants... Définition Un système linéaire est un système our lequel les relations entre les grandeurs d'entrée et de sortie euvent se mettre sous la forme d'un ensemble d'équations différentielles à coefficients constants. Les systèmes linéaires se caractérisent rincialement ar deux roriétés, la roortionnalité et l additivité... Princie de roortionnalité L effet est roortionnel à la cause Remarque L'effet de roortionnalité n'est effectif que lorsque le système a atteint sa osition d'équilibre ou que le régime ermanent s'est établi. La caractéristique Entrée/Sortie d'un système linéaire est une droite dont la ente Y est aelée gain du système. X Cours d automatique et régulation

18 Chaitre Les systèmes linéaires continus La réonse, en régime définitif, d un système linéaire à une entrée donnée est un signal de même nature que l entrée..3. Princie d'additivité ou de suerosition Le rincie de suerosition est imortant car il va nous ermettre, connaissant la réonse d'un système à des sollicitations simles de déterminer ar additivité et roortionnalité la réonse à des sollicitations lus comlexes.. Mise en équation d un système linéaire Un système dynamique linéaire eut être rerésenté ar une équation différentielle à coefficients constants liant les grandeurs d entrée et de sortie. Entrée x Système linéaire L équation générale d un système linéaire est de la forme : n n Sortie y dy dy dy dy dx dx dx dx an + a... a a a.y b b... b b b.x n n = m + m m + + n m + + dt dt dt dt dt dt dt dt Nous ne savons résoudre dans le cas général que les équations différentielles du remier et du second ordre et dans quelques cas articuliers des équations d ordre suérieur. Le roblème de l automatisation est lus comlexe que la résolution uisqu il s agit de déterminer la loi d entrée x qui ermet d obtenir la sortie désirée y. La rerésentation ar l'équation différentielle nécessite our connaître la réonse à une entrée de résoudre l'équation. Princie de la résolution La solution d une équation différentielle est la somme d une solution générale et de la solution articulière. La solution générale rerésente la comosante transitoire, la solution articulière rerésente la comosante ermanente. La solution générale est m m Cours d automatique et régulation

19 Chaitre Les systèmes linéaires continus déterminée ar la résolution de l'équation sans second membre. La solution articulière est x t. déterminée en fonction de la forme de ( ) Exemle circuit RC R u e C u s En utilisant la loi des mailles on obtient : ue( t ) us( t ) = R.i( t ) dus i = C. dt D où l équation différentielle en substituant i dans la remière équation : dus ue ( t ) us( t ) = R.C. dt dus ue ( t ) = R.C. + us( t ) dt La solution générale est solution de l équation suivante : dus R.C. + us( t ) = dt at La solution est de la forme s g ( t ) = K. e Par identification, on détermine le coefficient «a». a = = RC τ Le coefficient K sera déterminer en fonction des conditions initiales. La solution comlète est la somme des deux solutions : t RC La solution articulière dans le cas où u e( t ) = U est solution de l équation cidessous : dus R.C. + us( t ) = U dt La solution articulière est de la même forme que l entrée. Ici s ( t ) = U u s( t ) = sg ( t ) + s ( t ) = K.e + U La dernière constante est déterminée en fonction des conditions initiales (on suose ici que le condensateur est comlètement déchargé). u ( t = ) = K = s U t D oùu = RC s( t ) U e. 3. Transformée de Lalace L'étude des systèmes s'accomagne inévitablement de la maniulation d'équations différentielles. Or les oérations liées à cette maniulation sont souvent délicates et la résolution des équations n'est as toujours simle. Pour faciliter les calculs, on utilise un outil mathématique uissant: la transformée de Lalace. Cours d automatique et régulation

20 Chaitre Les systèmes linéaires continus 3.. Formulation mathématique () Soit f t une fonction réelle de la variable réellet, définie our toute valeur det, sauf éventuellement our certaines valeurs, en nombre fini dans tout intervalle fini, et nulle our t <. La transformée Lalace de f t est définie ar l'égalité : () étant une variable comlexe. On note : ( ) [ ( )] F + t ( ) = e.f ( t) [ ] F = LP f t et f ( t) = LP F( ). On dit que est la transformée de t f t est l'original de F. Pour résoudre les équations différentielles grâce à la transformée de Lalace, il est t F mais aussi de à f t..dt F ( ) f ( ) et que ( ) nécessaire de savoir effectuer le assage de f ( ) à ( ) ( ) F ( ) () 3.. Proriétés et théorèmes Les roriétés de la transformée de Lalace sont réunies dans le tableau ci-arès : Proriété Originale f(t) Transformée de Lalace F() Linéarité a.f ( t ) + b.f ( t ) a.f ( t ) + b.f ( t ) Dérivation () t Dérivation d ordre n f +.F( ) f ( ) f n () t (n>) Intégration f ( t ). dt n n + n + n +.F( ). f ( ).... f F( ) Retard f ( t θ ) e θ.f( ) ( ) f ( ) Changement d échelle f ( a.t ).F a a A ces roriétés, on doit joindre les théorèmes suivants : Théorème de la valeur finale : Théorème de la valeur initiale : Théorème de Borel : Si ( t) Lalace F ( ) et ( ) ( ) F( ) H = lim.f( ) = lim f ( t ) lim t.f( ) = lim f ( t ) t f et ( t) G, alors h( t) f ( t) g( t) ( ).G. g ont resectivement our transformée de = a our transformée : Cours d automatique et régulation 3

21 Chaitre Les systèmes linéaires continus Théorème du déveloement de Heaviside : Pour trouver l originale d une fraction F( ) rationnelle, où le degré de F ( ) est inférieur au degré de G ( ), on la G( ) décomose en éléments simles de remière esèce, et l on alique la formule: K t LP e ( K )! at = ( a ) k 3.3. Table des transformées de Lalace Il est souvent lus simle de calculer la transformée de Lalace d une fonction à artir de la transformée connue d une autre fonction en utilisant les roriétés et théorèmes énoncés. A artir de quelques résultats de base, on eut ainsi retrouver raidement les Transformées de Lalace de la luart des fonctions utilisées en électronique ou en automatique dans les asservissements. Afin d éviter le calcul systématique de ces fonctions de base, on les regroue dans des tables de Transformées de Lalace. Une table résumée des Transformées de Lalace les lus usuelles en électronique est la suivante : t T n t ( n )! T f () t F ( ) δ ( t ) ( n ) δ ( t ) n n > T A A.t n entier n.e e t T t T t T t T + Te T T e T.e t t T T e t t T T T.e ( ) T T + T T.e T. e T T t T t A A ² A n + T ( + T ) ²( + T ) ( + T ).( +.( + T ).( + ².( + T ).( T + T T ) ) ) Cours d automatique et régulation 4

22 Chaitre Les systèmes linéaires continus f () t F ( ) t (T t ).e T 3 T T t. e T t + t T.e t T t T + ( t + T ).e w zwt.e z².sin θ = π Arc cos z t T ( w z²t + θ ) ( w z²t) < z w zw.e t.sin z² < w z.w.t.e.sin w z²t + Ψ z² Ψ = Arc cos z z z.w.t t +.e.sin w w z² Si b : (( b ( ) ( w z²t Ψ ) + ( + T ) ( + T ).( + T ) ( + T ) z w + w z w + w z w + w z. + + w w + b at a )t + ).e ( + a ) n t n+ cos wt + w cos( wt.cosϕ wsinϕ + ϕ ) + w w sin wt + w sin( wt t t a > ( e e ) avec = a + = a Si a = b : t.e at a a at b b Si a < b :.e.sin wt avec w = w.sinϕ + wcosϕ + ϕ ) + w b a n! + a + b Cours d automatique et régulation 5

23 Chaitre Les systèmes linéaires continus f () t F ( ) Si a > b : + t t b e e = a + a b = a a b at at a = ( e a.t.e ) avec Si b : a Si a < b : b avec = b e w at b.e w w = b a et ( a.sin wt at w tg ϕ = a.sin( wt + w.cos wt ) + ϕ ) ( + a + b ) at e + ( b a )( c a ).e at.sin( wt ) w ( a) + w a e at.cos( wt ) ( a) + w.sh( wt w ) w ch ( wt ) w.e at.sh( wt ) w ( a) w a e at.ch( wt ) ( a) w bt e e b a bt at b.e a.e b a bt at ( c a ).e ( c b ).e b a ( a sin( wt bt e + b )( c b ) ) w.t.cos( wt 3.w at ( a ) ct e c )( b c ) ( a) ( b ) ( a) ( b ) + c ( a) ( b ) ( + a )( + b )( + c ) ( + w ) Cours d automatique et régulation 6

24 Chaitre Les systèmes linéaires continus e wt 3.w wt e cos 3.w sin( wt cos( wt ) f () t F ( ).t.sin( wt w ) ) w.t.cos( wt ).w t.cos( w.t.sin( wt wt ) sin( ix ) = + i.sh( x ) avec cos(ix ) = ch( x ) 3 sin wt 3 3.wt cos 3.wt + 3 sin ) 3.wt + e wt 3 e 3 wt wt +.e bt.cos at ( b a ). π.t e a e πt e a² 4t π.t 3. 3.wt e 3.wt 3 a² e 4t bt at ( e e ) t ( ( ( ( + w + w 3 + w + w w Formules en ) ) ) ) w changer w en iw w + w w + a + e a e a b + a Ln + b 3.4. Exemle i(t) R u e C u s Cours d automatique et régulation 7

25 Chaitre Les systèmes linéaires continus Le comortement de chaque constituant est décrit ar les équations suivantes : ue( t ) u du i = C. dt s s ( t ) = R.i( t ) Passons dans le domaine symbolique On ose : L[us ( t )] = U s ( ), L[ue ( t )] = U e( ), L [ i( t )] = I( ). Nous savons que la dérivée remière d une fonction temorelle est : df ( t ) + L =.F( ) f ( ) dt, si L [ f ( t )] = F( ) de même our la dérivée seconde : df ( t ) + L =.F( ).f ( ) dt + f ( ) Nous suosons que les conditions initiales sont nulles : ue ( t ) us( t ) = R.i( t ) U e( ) U s( ) = R.I( ) dus i = C. dt I( ) = C.U. s ( ) En substituant I(), on obtient : U e( ) U s( ) = R.C U. s( ) U s( ) = U. e( ) +τ. U On rend our l entrée u e( t ) = U, donc dans le domaine symboliqueu e ( ) =. U U s( ) =. +τ. Décomosition en éléments simles : U A B s( ) =. = U + + τ. + τ. On déduit donc B = A = τ U ( ) = U U s τ La décomosition s écritu s( ) = U + + τ.. A. + B.( + τ. ) ( + τ. ) D où la solution : u ( t ) s e t = U RC Cours d automatique et régulation 8

26 Chaitre Les systèmes linéaires continus 4. Série de TD N Exercice n. s ( t ) =.ex(,5. t). s ( t ) = 4. ( ex(,.t )) 3. s 3 ( t ) = 3t² Calculer la transformée de Lalace des signaux causaux, on vérifiera les théorèmes des valeurs finale et initiale. Donner la réonse indicielle de ces trois fonctions. Exercice n Donner les transformées de Lalace des fonctions suivantes :. y ( t ) = t.ex( a.t ).u ( t).. y ( t ) = ex( a.t ).sin( w.t ).u ( t). 3. y3 ( t ) = sin ( w.t ).u ( t). 4. y ( t ) = sin. t.sin wt.u () t. 4 Ω Exercice n 3 Inverser la transformation de Lalace ( est la variable de Lalace) en utilisant la table de Lalace. 4. F () =., F () = ,5.ex( ) 3. F 3 () =. + 4( + ) 4. F 4 () =. ( + ) Si f 4 ( t ) est la réonse indicielle d un rocessus P, donner la réonse imulsionnelle. Exercice n 4 Calculer la transformée de Lalace inverse de chacune des fonctions suivantes :. F ( ) =. ² ² ² +. F ( ) =. ( + ) 3.( + + ) 3. F3 () = 4.( + 4). ex( 3 ) 4. F4 () =. (+ ) ( + + ) Cours d automatique et régulation 9

27 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus Chaitre 3 Cours d automatique et régulation

28 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus Chaitre 3 : Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus. Fonction de transfert Un système linéaire d entrée x ( t) et de sortie ( t) différentielle à coefficients constants du tye : n n y est régi ar une équation dy dy dy dy dx dx dx dx an + a... a a a.y b b... b b b.x n n = m + m m + + n m + + dt dt dt dt dt dt dt dt Si on écrit la transformation de la Lalace de l équation différentielle à conditions initiales nulles on trouve : Y( ) H ( ) = aelée fonction de transfert ou transmittance du système : X( ) H ( ) est aelée fonction de transfert du système. sortie x() t Le but de cette rerésentation est de ouvoir déterminer les caractéristiques de la t connaissant la fonction de transfert x t. y () H ( ) du système et le signal d entrée ( ) On eut mettre H ( ) sous la forme : H( ) H ( ) eut s écrire sous la forme : H LP ( ) LP( x( t) ) X = ( ) = H ( ) Y( ) bm. = X( ) a. n m n + b + a m n m.. m n m b a ( z ).( z )...( zm ) = k ; ( ).( )...( ) z ( ) L ensemble des i forme les zéros de H, l ensemble des i forme les ôles de H n est l ordre de système. y ( t) = LP ( Y ( ) ) LP ( ) H ( ).X ( ) Y = n ( ), et Exemle Le circuit intégrateur : circuit RC : R x () t = R.i() t + i( t ). dt. C dy(t) x () t = RC. + y() t. dt x(t) C y(t) avec y(t) = y () t = i( t ). dt C Cours d automatique et régulation

29 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus On aliquant la transformée de Lalace on trouve : ( ) + Y ( ) X ( ) ( RC. + ) Y. ( ) = X ( ) RC..Y = D où la fonction de transfert de ce système H ( ). Diagramme fonctionnel Y() = =. X() + RC... Définition Le diagramme fonctionnel ou schéma bloc, constitue une rerésentation grahique d un système asservi ou d une artie du système. Chaque diagramme fonctionnel est constitué d un certains nombre de symbole grahique qui sont : Elément ou groue d élément : X ( ) G ( ) Y ( ) * Comarateur algébrique * Branchement d un signal X ( ) ε ( ) + _ Y ( ) Y ( ) Y ( ).. Exemle de schéma bloc d un système en boucle fermée X ( ) + _ ε ( ) G ( ) Y ( ) Deux signaux de même nature G ( ).3. Règles de simlification.3.. Mise en série Soit un système formé ar la mise en série de deux sous systèmes de fonction de transfert et. La fonction de transfert de l ensemble est = G.G. Equivalent à : G ( ) G ( ) ( ) ( ) ( ) X ( ) ( ).G ( ) Y ( ) G Cateur X ( ) G ( ) ( ) Y ( ) G G Cours d automatique et régulation

30 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus.3.. Mise en arallèle Soit un système formé ar la mise en arallèle de deux sous systèmes de fonction de transfert G ( ) et G ( ). La fonction de transfert de l ensemble est : = G G. ( ) ( ) ( ) G + Equivalent à : X ( ) G ( ) G ( ) X ( ) ( ) G ( ) Y ( ) G Y ( ).3.3. Structure en boucle fermée X ( ) + _ ε ( ) G ( ) Y ( ) ( ) G Equivalent à : X ( ) F ( ) Y ( ) On a ( ) = ε ( ).G ( ) et ( ) = X ( ) Y ( ).G ( ) Y ε. Y( ) = ( X( ) Y( ).G ( )). G ( ). ( ).( + G ( ).G ( )) G ( ).X( ). Y = D où F( ) T ( ) ( ).G ( ) Y( ) G = = : Formule de Black. X ( ) + G ( ) = G ( ) : Fonction de transfert en boucle ouverte. F ( ): Fonction de transfert en boucle fermée. Remarques : * Dans le cas où ( ) G = F( ) F () a une chaîne de retour de transmittance. ( ) ( ) Y( ) G = =. X ( ) + G * Il est toujours ossible de ramener un système à retour non unitaire à un système à retour unitaire. Cours d automatique et régulation 3

31 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus X ( ) + _ ε ( ) G ( ) Y ( ) G ( ) Equivalent à : X ( ) G ( ) ε ( ) + _ ( ).G( ) G Y ( ).3.4. Délacement des nœuds d informations De l amant à l aval X() G() Y() = X() G() Y() De l aval à l amant X() G( ) X() X() G() Y() = X() G() Y() Y() G() Y().3.5. Permutation de deux nœuds successifs N N = N N.3.6. Délacement de sommateurs De l amant à l aval X () + + G() Y() = X () G() + + Y() X () X () G() Cours d automatique et régulation 4

32 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus De l aval à l amant X () G() + + Y() = X () + + G() Y() X () X () G( ).3.7. Permutation de deux sommateurs successifs X() Y() = X() Y() X () X () X () X ().4. Princiales transmittances électriques et mécaniques Résistance I() i R u=ri U() u R /R U() I() Inductance Condensateur L C u u i i u di u = L dt = idt C I() U() I() U() L /L /C C U() I() U() I() F=Kx X() K F() Ressort F F F() /K X() Frottement visqueux (amortisseur) F F = dx fv dt F X() fv. F() Masse m F d ² x F = m dt ² X() m.² F() Inertie en rotation w C = J dw dt Ω() J. C() Cours d automatique et régulation 5

33 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus.5. Alications.5.. Système électronique i (t) C R i (t) R 3 e(t) v(t) R u(t) C s(t) Les équations régissant ce système sont : I I ( ) ( ) = = E U ( ) V ( ) R ( ) S( ) R 3 V U ( ) = I C ( ). + ( ) ( ) = R ( I( ) I ( ) ) I ( ) ( ) S = C. U Le diagramme fonctionnel relatif à ces systèmes d équations : E() + _ R I () _ + R U() + _ R 3 I () C S() C V() + + C E() + _ R I () C _ + R U() + _ B R.C 3 S() V() + + Avec : B = R3.C. + R.C. 3 = + R.C 3. Cours d automatique et régulation 6

34 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus C E() + _ I () _ + R U() B S() R C B V() + + Avec : B = R.B + B.R.C. B E() I () + _ B R C S() V() + + B E() + _ R.B B.C S() V() + + B E() + _ B R S() V() B + B.C B 3 Avec : B 3 = + R R B R + B B.C. Cours d automatique et régulation 7

35 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus.5.. Moteur à courant continu Vu de l extérieur, la machine eut être rerésentée ar la mise en série d une résistance R, d'une inductance L et d une f.e.m à vide Ev donnée ar la relation Ev = K.Ω, si Ω est la vitesse de rotation. Nous suoserons que l'ensemble fixé à l'arbre de la machine est de moment d'inertie J et que le moment du coule de frottement est C = f.ω (frottement visqueux). Ve() di( t ) Equation électrique : V e( t ) = R.i( t ) + L. + K. Ω( t ) dt Soit en variable de Lalace ( ) = R.I( ) + L..I( ) + K. Ω( ) V e dω( t ) Equation mécanique : J. = K.i( t ) f. Ω( t ) Cch( t ) dt Soit en variable de Lalace J.. Ω ( ) = K.I( ) f. Ω( ) C ( ) C ch ( t ) est le moment du coule de charge. Si l on suose que la charge mécanique de notre moteur est une génératrice à courant continu débitant sur une charge R ch, alors on eut dire que : E K² K² Cch = K.I ch = K. =.Ω soit Cch =. Ω = K'. Ω. Rch Rch Rch Le système eut être rerésenté ar : C ch () ch V e () Système Ω ( ) On eut écrire alors : Ω ( ) = K Cch ( ) Ve( ) K.I( ) et I( ) =. Ω( ) f + J. f + J. R + L. R + L. Le digramme fonctionnel de ce système est le suivant : C ch () f + J. V e () I() K _ + _ + R + L. f + J. Ω( ) K R + L. Cours d automatique et régulation 8

36 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus 3. Lieux de transfert 3.. Introduction On alique au système une entrée harmonique : u( t ) = uo.sin( wt ). En régime ermanent ; on admet que la sortie est également un signal sinusoïdal déhasé ; on a donc : y( t ) = A.u o.sin( wt + φ ). On eut dire la même chose de l entrée u( t ) = u.cos( wt ). Donc également de l entrée u ( t ) = uo.cos( wt ) + j.u o.sin( wt ) = u théorème de suerosition nous donne la sortie : y( t ) = A( w ).u.cos( wt + φ ) + j.a( w ).u.sin( wt + φ ) = A( w ).u.e o Plus généralement ; on eut donc considérer une entrée de la forme donnera une sortie de la forme : A( w).u o.e. Aliquons cette entrée à l équation différentielle ; n n m dy dy dy du + a... a a.y bm b n n = + n m dt dt dt dt o jwt+φ o du dt o o. e jwt jwt+ φ dx dt. uo. e m an m b m + b On obtient : n a.( jw ) + a n j( wt+ φ ) [ n n.( jw ) a.( jw ) ].A.u o.e m m jwt = [ b.( jw ) + b.( jw ) b.( jw ) ].u.e m m o. qui ; d arès le.x jwt ; qui nous Ou bien : y( jw ) = u( jw ) A.e jφ = m m [ bm.( jw ) + bm.( jw ) b.( jw ) ] n n [ a.( jw ) + a.( jw ) a.( jw ) ] n n. Il aaraît dans cette exression que le terme de droite n est rien d autre que la fonction de transfert dans la quelle on a remlacé les "" ar des "jw". jφ On a donc : A( w ).e = H( = jw ) ; où A est le gain en amlitude du signal et φ le déhasage de ce signal. 3.. Interrétation dans le lan comlexe [ sin( wt + )] A( w ).u o φ Im φ [ cos( wt + φ ) + j.sin( wt + )] A( w ).u o φ [ cos( wt + )] A( w ).u o φ [ cos( wt ) j.sin( wt )] u o + Re A.u o. e j( wt+φ ) d origine : u.. est le vecteur d amlitude A et de déhasage φ ar raort au vecteur jwt o e Cours d automatique et régulation 9

37 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus On obtient donc le gain A ( w ) en renant le module du nombre comlexe H( jw ) et le sinφ déhasage φ en recherchant l angle φ ( tgφ = ) donc : cosφ * A = H( jw ).H ( jw ); Im( H( jw )) φ = arctg Re( H( jw )) Remarque : Attention à la définition de l arctg : on doit en considérer deux définitions différentes our les demi-lans réels ositifs et négatifs. Pour les arties réels ositifs : La définition récédente est bonne. Im( H( jw )) φ = arctg Re( H( jw )) Im( H( jw )) Pour les arties réels négatifs : φ = π + arctg. Re( H( jw )) Lorsque la artie réelle est nulle, on n a as besoin de cette définition, on considère directement l affixe (le vecteur est sur l axe des imaginaires). n m bm.( jw ) H( jw ) = n a.( jw ) + b + a m n.( jw ).( jw ) m n b a Pour un système hysique; le gain tend vers quand la fréquence tend vers ; on a donc : m<n; sauf si le modèle choisi est sécifique our une zone de fréquences donnée Les lieux de transfert On aelle lieux de transfert la rerésentation des évolutions de la sortie (tems fréquence) our toutes les ulsations de w = à w +. On a les évolutions de deux grandeurs à figurer dans un lan; aramétrées ar la troisième; lusieurs solutions sont donc ossibles. Trois rerésentations sont roosées ici; ortant chacune le nom de leur auteur : Black; Nyquist; et Bode. Ces rerésentations; utiles our connaître les évolutions des systèmes; ont chacune leur intérêt. L'équation du lieu à tracer s'obtient en se laçant en régime harmonique et en remlaçant les ar des ϕ dans la fonction de transfert. On est donc bien en train de rerésenter ce qui se asse dans l'esace de Lalace Lieu de Bode Rerésentation comortant deux grahiques ossédant les mêmes abscisses : les fréquences ou ulsations en échelle logarithmique. Le remier grahique orte le gain en échelle linéaire; mais exrimé en décibel ( G db =.log( H( jw ) ). Sur le second; on a en ordonnée le déhasage en échelle linéaire Lieu de Nyquist Le lieu de Nyquist est une rerésentation; aramétrée ar la ulsation; exrimée en coordonnées olaires : en rayon : le gain en échelle linéaire ; en angle : la hase en degrés. Cours d automatique et régulation 3

38 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus Dans le lan comlexe, le lieu de Nyquist rerésente our chaque oint (fréquence donnée); la artie réelle en l'abscisse; la artie imaginaire en l'ordonnée Lieu de Black Le lieu de Black est une rerésentation comortant en abscisse; la hase en échelle linéaire; et en ordonnée le gain; en échelle linéaire; mais exrimé en décibels Abaque de Black Le diagramme de Black est une rerésentation de la réonse harmonique du système, c'est à dire une rerésentation de H ( jw) quand w arcourt R, où H ( ) est la fonction de transfert du système. o o en abscisse: hase (en degrés) en ordonnée: gain (en décibels) Cours d automatique et régulation 3

39 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus 4. Série de TD N Exercice n : Déduire les diagrammes fonctionnels suivants afin de se ramener dans les deux cas à la structure suivante : E() + _ D() S() R() et donner les exressions de D() et de R(). Cas : H E() _ + _ + + G + _ G G S() H H 3 Cas : E() + _ + _ C R + _ C R S() Cours d automatique et régulation 3

40 Chaitre 3 Rerésentation grahique des systèmes linéaires continus Exercice n : Simlifier le schéma fonctionnel suivant et déterminer sa fonction de transfert. G E() + _ G G S() H _ + H G 4 Exercice n 3 : Déterminer la transmittance des circuits suivants : - I R R I I R 3 I 4 C e(t) V V I 3 C s(t) - R R e(t) C C s(t) Cours d automatique et régulation 33

41 Etudes des systèmes élémentaires Chaitre 4 Cours d automatique et régulation 34

42 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Chaitre 4 : Etudes des systèmes élémentaires. Etude d'un système de remier ordre.. Etude temorelle... Définition Un système hysique d entrée e(t) et de sortie s(t) est du remier ordre, s il est régi ar une équation différentielle du remier ordre à coefficients constants : ds(t ) τ + s(t ) = K.e(t ) dt où K est le gain du système et τ est la constante du tems. Si les conditions initiales sont nulles (s()=), la fonction de transfert dans le domaine de Lalace s écrit : ( τ. + ).S( ) = K.E( ) Soit H( ) = S( ) K = E( ) +τ.... Réonse imulsionnelle L entrée est définie ar e( t ) = δ( t ), soit dans le domaine de Lalace E()=. K K La sortie a donc our exression dans le domaine de Lalace : S( ) = = τ. + τ. + τ t K La réonse temorelle a donc our exression : s( t ) =.e τ.u( t ). τ La rerésentation grahique de la réonse imulsionnelle d un système de remier ordre est donnée ar la figure ci-dessous : Cours d automatique et régulation 35

43 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires..3. Réonse indicielle L entrée est définie ar e(t)=u(t), soit dans le domaine de Lalace E ( ) =. K La sortie a donc our exression dans le domaine de Lalace : S( ) =. ( +τ. ) A B K K. τ Une décomosition en éléments simles nous donne : S( ) = + =. + τ. + τ. t La réonse temorelle a donc our exression : s( t ) = K e τ u( t ). La rerésentation grahique de la réonse indicielle d un système de remier ordre est donnée ar la figure ci-dessous : K Pente à l origine : tg ( α ) = = s' ( ) τ α Particularités : Pente à l origine. t K s' ( t ).e τ K = d où lim s' ( t ) =. + τ t τ Tems de réonse à 5%. On cherche t 5% tel que s(t 5% )=.95.K. t 5%.5 = e τ soit Ln.5 t 5% = t 5% 3τ.. τ Détermination exérimentale des aramètres du modèle d ordre. Utiliser la valeur finale our déterminer le gain K. Utiliser la ente à l origine our déterminer la constante de tems τ. Utiliser 63% de la valeur finale our déterminer la constante de tems τ...4. Alication Réonse à un échelon de vitesse (rame) K a x(t) = a.t, on obtient alors : Y( ) =.. +τ. Ka K.a. τ K.a K.a. τ Y( ) =.. = +. τ + τ. + τ t D où y( t ) = Ka. ( t τ ) + τ.ex.u( t ). τ Cours d automatique et régulation 36

44 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires..5. Relation tems fréquence Le comortement dynamique d un système est entièrement décrit ar sa constante de temsτ. Cette dynamique est aussi aelé esace fréquentiel. On définie ulsation de couure w c =, donc la fréquence de couure est f c =. τ π.τ On aelle tems de montée du système : c est le tems nécessaire our asser de% de la valeur finale de la sortie à 9 % de la valeur finale our un échelon d entrée. t w( t ) = K( ex( ).u( t ). τ On a w ( t % ) =,.K et ( t ),9. k t = t t w 9 % = Or m 9% % Arès tout calcul fait on obtient t m =,τ..35 Donc t m =. f.. Etude harmonique K H ( ) +τ. c = et en osant =jw H ( jw) = + jτw. H ( H(j.w) j.w ) = = K.ex( jarctg + ( τw )² K jk τ + + ( τ.w ) ² + ( τ.w ) ² K ( τw )) = H.ex( Re ( H(jw) ) = K + τ²w² Im ( H(jw) ) = Kτ + τ²w² Dans la ratique trois méthodes de rerésentations sont utilisées. jϕ ). Cours d automatique et régulation 37

45 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires... Rerésentation de Bode On trace les deux courbes suivantes : H ( j. w) de la fonction H( j.w ) en fonction de la ulsation w. db ϕ = Arg( H( j.w )) de la fonction H( j.w ) en fonction de la ulsation w. Rerésentation du module en db K H( j.w ) =.log db + τ.w ( ) =.log [ ] ( K ).log + ( τ.w) Etude des asymtotes w Pour wc << H( j.w ) log K : Asymtote d équation K db db Pour w = H( j.w ) =.log K 3dB. db τ w Pour >> H( j.w ).log ( τ.w). db wc H( j..w ) H( j.w ) =.log ( τ..w ) (.log ( τ. w )) db db =. ( log ( τ..w ) log ( τ. w )) τ..w =.log =.log τ.w = C est une droite de ente db/décade. ou H( j..w = ( ) db ( τ..w ) (.log ( τ. )) ( log ( τ..w ) log (. )) ) H( j.w db ).log w db =. τ w τ..w =.log =.log τ.w C est une droite de ente 6dB/octave. ( ) = 6dB Rerésentation de la hase ϕ = Arg( H( j.w )) = arctgτ. w. Etude des asymtotes Pour w ϕ = : asymtote horizontale. π Pour w = ϕ = Arctg =. τ 4 π π Pour w ϕ = Arg( H( j.w )) = arctg = : asymtote horizontaleϕ =. Cours d automatique et régulation 38

46 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires -3 db w = τ Bode Diagram w.w Magnitude (db) db dec Phase (deg) Frequency (rad/sec)... Rerésentation de Nyquist On trace la courbe Im ( H( j. ω )) = f ( Re( H ( jw) ) Soient x = Re( H ( jw) ) et y = Im( H ( jw) ). K D où x = () ; + τ.w ( ) K. τ.w y = () + ( τ.w) (y < demi cercle négatif) K K () + ( τ.w )² = et( τ.w )² = x x K ( ) y = τ.w.x y² = ( τ.w )².x² = ( )x² = Kx x². x K K² Donc x² Kx + y² = x + y² = : 4 K K C est une équation d un cercle de centre (, ) et de rayon. Cours d automatique et régulation 39

47 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Im K/ K w w Re K/ wc Rerésentation de Black G db = f ϕ : C est un diagramme contracté obtenu en éliminant w. On rerésente ( ) Etude des asymtotes : Pour w H( j.w ).log K ; ϕ =. db π Pour w = H( j.w ) =.log K 3dB ; ϕ =. db τ 4 Pour w -3dB H( j.w ) db Nichols Chart wc et ϕ π.c est une asymtote. GdB Phase - - ( ) Cours d automatique et régulation 4

48 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Exemle Le circuit intégrateur : circuit RC : R x () t = R.i () t + x(t) i(t).dt C avec y () t = i(t).dt C dy () () t x t = RC. + y() t dt On conclue que τ = RC et K=. dy () () t x t = τ. + y() t dt A.N. : R=kΩ ; C=μF ; τ =, et K=. C y(t) W(rd/s) H H db ϕ R e( H( jw ) Im( H( jw ) Remlir le tableau. Faire l étude temorelle et dégager les différents aramètres (f c, t m, ). Effectuer l étude harmonique ar les trois méthodes.. Etude d'un système de second ordre.. Définition Un système hysique d entrée e(t) et de sortie s(t) est du deuxième ordre, s il est régi ar une équation différentielle du second ordre à coefficients constants : où w d s( t ).z ds( t ) s( t ) = K.e( t ) dt w dt K est le gain du système. w est la ulsation rore non amortie ositif. z est le coefficient d amortissement ositif. Cours d automatique et régulation 4

49 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Si les conditions initiales sont nulles (s()=s ()=), la fonction de transfert dans le z domaine de Lalace s écrit : + +.S( ) = K.E( ) w w Soit H( ) = S( ) = E( ) K.w +.z.w. + w = w + K.z w +.. Etude temorelle... Réonse imulsionnelle L entrée est définie ar e( t ) = δ( t ), soit dans le domaine de Lalace E()=. La sortie a donc our exression dans le domaine de Lalace : K.w S( ) =. +.z.w. + w z Discriminant : = 4w ( ) Δ. Cas : z> Δ >, le système est amorti est le dénominateur ossède deux racines réelles : ( z ± z ). = w < S() se décomose en eux éléments simle : K.w A B S( ) = = +. Arès identification, on trouve : ( )( ) K.w A = B =. z K.w t t La réonse temorelle a donc our exression : s( t ) ( e e ) =. z Cas : z= Δ =, amortissement critique. La sortie dans le domaine de Lalace s écrit : K.w S( ) =. + w ( ) w.t La réonse temorelle a donc our exression : s(t ) = K.w.e.t. Cours d automatique et régulation 4

50 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Cas 3 : z< Δ <, le système est sous amorti et le dénominateur ossède deux racines comlexes conjuguées : ( z ± j. ) = w z K.w t t La réonse temorelle a donc our exression : s( t ) ( e e ) =. z Soit, arès déveloement des exonentielles comlexes : K.w w zt s( t ) =.e.sin( w z t). z Rerésentation grahique :... Réonse indicielle L entrée est définie ar e(t)=u(t), soit dans le domaine de Lalace E ( ) =. La sortie a donc our exression dans le domaine de Lalace : K.w S( ) =. +.z.w. + w. ( ) Cas : z>, le système est amorti et la réonse est aériodique. S() se décomose en trois éléments simles : Kw A B C S( ) = = + + ( )( ).. Avec a=k ; K.w K.w K.w K.w B = = et C = =. ( )..w. z. ( )..w. z. t t w e e La réonse temorelle a donc our exression : s ( t ) = K. z Si on ose = et = où τ et τ sont les constantes du tems, la réonse τ τ temorelle s écrit : t t τ τ s( t ) = K τ e τ e. τ τ Cours d automatique et régulation 43

51 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Rerésentation grahique : s( )=K.E t % t m t 9% t 5% Particularités : Pente à l origine : Kw t t s' ( t ) = ( e e ) d où lim s' ( t ) = + z t Tems de réonse à 5% : Il n y as de formule simle. Tems de montée : t m =t 9% t % Cas : z=, amortissement critique. La sortie dans le domaine de Lalace s écrit : K.w K.w K K S( ) = = + +. ( + w ). ( + w ) + w La réonse temorelle a our exression : s( t ) K ( + w t) wt ( e ) =. Particularités : Pente à l origine. w t e w s' ( t ) = K.e w + w t w = K.w. d où lim s' ( t ) = Tems de réonse à 5%. Il n y as de formule simle. t ( ( ) ) + t Cas 3 : z<, le système est sous amorti et la réonse est seudo ériodique. La réonse a toujours our exression dans le domaine de Lalace : K.w S( ) =. ( +.z.w. + w ). A B + C On décomose cette exression sous la forme : S( ) = +. +.z.w. + w K K. +.K.z.w Arès identification des constantes, on trouve : S( ) =. +.z.w. + w Cours d automatique et régulation 44

52 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires On modifie le dénominateur d ordre our faire aaraître un carré arfait : K K. +.K.z.w K K. +.K.z.w S( ) = = +.z.w. + z.w z.w + w + z.w + w z ( ) ( ) Une nouvelle transformation ermet d identifier les transformées de Lalace des cosinus et sinus amortis : + z.w z w z S( ) = K ( + ) + ( ) ( + ) + ( ). z.w z w z z.w w z La réonse dans le domaine temorel s écrit donc : z zwt zwt s( t ) = K e.cos( w z.t ).e.sin( w z.t ). z On ose cos ϕ = z et sinϕ = z. La réonse temorelle s écrit : s( t ) = K.e.sin( w z.t + ϕ ). Rerésentation grahique : z zw t. Particularités : Pseudo ériode. La réonse résente des oscillations amorties dont la ériode, aelée seudo ériode, est : π π Ta = = où wa = w z est la ulsation amortie. w z wa Pente à l origine. K.w zw t s' ( t ) =.e.sin w z (. z.t ) donc lim s' ( t ) = et la ente est nulle. t Déassements relatifs. Les déassements relatifs sont donnés our les instants t k tels que s (t k )=. π Donc tk = k avec k entier. w z On définit le déassement relatif d ordre k ar : D rk = s( ) s( t s( ) k ) = e zw t k z.sin + z.k. z ( k ) w z.t + = e π ϕ. Cours d automatique et régulation 45

53 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Les déassements relatifs ne déendent donc que du coefficient d amortissement z : D rk = e z.k. π z. On utilise cette articularité our identifier z à artir d un tracé exérimental modélisable ar une fonction de transfert de second ordre. Le remier déassement est retenu et on a : ( ln Dr ) D z = avec D π r =. (Voir annexe) + ln D s( ) ( ) r Tems de réonse. Il n y a as d exression simle. Un abaque donne la valeur du tems de réonse réduit, t 5%.w, en fonction du coefficient d amortissement. Le tems de réonse minimum est obtenu our un déassement relatif de 5% ce qui corresond à un coefficient d amortissement de valeur z=,7. On a alors : t 5% : w =3. Pulsation de résonance Pour z<,7 Alors la réonse résente une résonance our la ulsation : = w z² wr Tems de stabilisation Le tems de stabilisation est définit ar : Ts 3/z.w à ±5% our z<,7. Ts 4/z.w à ±% our z<,7..8 Ste Resonse.6.4. z=. z=.3 z=.5 z=.7 Amlitude z= z= Time (sec) Cours d automatique et régulation 46

54 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires.3. Etude harmonique On a = jw, ce qui donne : H( j.w ) = w w K.w +. j.z.w.w = w w K +. j.z. 4 4 On a alors : H( j.w ) =.log ( K.w )-.log ( w + w + ( 4.z ).w.w ) H ( j.w ) db db =.log ( K ) -.log w w w w +.z. w w.3.. Diagrammes de Bode A/ Rerésentation du module H ( j.w ) db =.log Etude des asymtotes : ( K ) -.log w w w Pour << H( j.w ).log K db w On a asymtote d équation H( j.w ).log K db = +.z. Pour w = w H( j.w ) =.log K 3dB. db ( ) ( ) ( ) Si z = H( j.w ) =.log K -.log =.log K - 3dB db w w Pour >> w H ( j.w ) 4log. db w.w w H( j..w ) H( j.w ) = 4.log 4.log db db w w.w.w w w = 4.log 4.log = 4.log 4.log 4 = = w w w w C est une droite de ente 4dB/décade. w w ( ) db Cours d automatique et régulation 47

55 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires ou.w w H( j..w ) H( j.w ) = 4log 4log db db w w.w.w w w = 4.log 4.log =.log = 4.log w w w w C est une droite de ente db/octave. ( ) = db 4 B/ Rerésentation de la hase ϕ = Arg( H( j.w )) = arctgτ. ω H( j.w ) = arctg Etude des asymtotes :.z. Pour w ϕ : asymtote horizontale. Pour w = w π ϕ = Arctg( + ) = Pour ϕ = Arg( H( j.w )) arctg On a asymtote horizontale de ϕ= π. w w w w w ( ) = π Cours d automatique et régulation 48

56 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires -3 db G db.logk z= z= z=.7 z=.5 wo z=. -4 db/dec f.f Pulsation W Dehasage wo Pulsation W z= z= z=.7 z=.5 z= Cours d automatique et régulation 49

57 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires.3.. Rerésentation dans le lan de Nyquist H( j.w ) = K.w.( w w ) K.w.w j ( w w ) + (.z.w.w) ( w w ) + (.z.w.w) Im Re - - z= z= z=.7 z=.5 z= Rerésentation dans le lan de Black.log H( j.w ) = f ϕ C est un diagramme contracté obtenu en éliminant w. log ( ) Etude des asymtotes : Pour w H( j. w) logk ; ϕ =. db Pour w = w H( j. w) = logk 3dB ; ϕ = db π z = Pour w H( j.w ) et ϕ y = π.c est une asymtote. - z= z= z=. z=.7 db Nichols Chart GdB Dehasage Cours d automatique et régulation 5

58 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires.3.4. Exemle Le circuit Oscillateur amorti : di( t ) R L C x(t) = L + R i(t) + i( t )dt dt C x(t) y(t) avec y( t ) = i( t ) dt C d² y( t ) dy( t ) x(t) = LC + RC + y( t ) dt² dt H() = LC² + RC + Identifions les aramètres : w = est la ulsation rore d un circuit oscillant LC. LC R z = est le facteur d amortissement. L. C A.N. : R=Ω ; C=μF et L=H. W(rd/s) H H db ϕ R e( H( jw ) W(rd/s) Remlir le tableau. Faire l étude temorelle et dégager les différents aramètres (f c, t m, ). Effectuer l étude harmonique ar les trois méthodes. Cours d automatique et régulation 5

59 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires 3. Série de TD N Exercice n : + Un système hysique a our fonction de transfert : H( ) = ( + ).( ). Décomoser H() en éléments simles.. En déduire la réonse imulsionnelle du système. Exercice n : Soit un rocessus linéaire défini ar la fonction de transfert suivante : F( ) = transformée de f(t). ( + ).( ). Calculer f() et f ( + ) à artir de F().. Décomoser F() en éléments simles et en déduire la réonse imulsionnelle f(t). 3. En déduire la réonse indicielle s(t), vérifier en calculant directement s() et s ( + ) à artir de F(). Exercice n 3 : On considère le réseau suivant : R = KΩ ; R = KΩ ; = μf ; = 5μF. C Vs( ). Déterminer la fonction de transfert et en déduire la nature de ce correcteur. Ve( ). Tracer dans le lieu de Bode la réonse harmonique réelle. Exercice n 4 : Soit le réseau suivant C Avec R = KΩ ; L = H et C = μf. Cours d automatique et régulation 5

60 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires. Montrer que la fonction de transfert du réseau eut se mettre sous la forme : K F( ) = en récisant les valeurs de K, A et B. + A + B. En déduire le gain statique, la fréquence rore non amortie et le coefficient d amortissement du réseau. 3. En déduire que la fonction de transfert récédente est équivalente à deux éléments du remier ordre en série. Exercice n 5 : On souhaite identifier un système ar une analyse harmonique. Pour ceci on enregistre la réonse du rocédé à des sinusoïdes A.sin(wt) our différentes valeurs de w. on relève la hase ϕ (en degrés) et le gain G (en db). W(rd.s - ) ϕ (degrés) G(db) Dessiner ces courbes dans le lan de Bode.. Dire en le justifiant s il s agit d un système du remier ou du deuxième ordre. 3. donner la fonction de transfert du récédé. Exercice n 6 : Rerésenter dans le lan de Nyquist, Bode et Black le lieu des fonctions de transfert suivantes :. Intégrateur ur : H ( ) =.. Dérivateur ur : H ( ) =. 3. Double intégrateur ur : H ( ) =. Exercice n 7 : On considère un système du second ordre ayant comme fonction de transfert : K H( ) = avec z=, ; K= et w =. z + + w w Ce système est inséré dans une boucle à retour unitaire afin d effectuer un asservissement. E() S() + - H(). Le système en boucle ouverte ossède-t-il des résonances?. Tracer H() dans le diagramme de Bode en boucle ouverte uis en boucle fermée. Cours d automatique et régulation 53

61 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Exercice n 8 :. Tracer H() dans l abaque de Black en renant les oints suivants our la ulsation w : w (rd/s) Déterminer à l aide de l abaque de Black le facteur de surtension Mw et la ulsation de résonance w RW en boucle fermée. Tracer la fonction de transfert en boucle fermée dans le lieu de Bode. 3. Peut-on régler K afin de diminuer le facteur de surtension our obtenir M Wdb =db? Justifier votre réonse à l aide de l abaque de Black uis ar un calcul direct. S() Pour cela, exrimer la fonction de transfert en boucle fermée W() = sous la forme : E() K W( ) =.z + w W + W w W Et donner les exressions de z W, K W et w W. En déduire w RW et M W. Comarer avec les résultats obtenus à l aide de l abaque de Black. Exercice n 9 : On considère un système du second ordre ayant comme fonction de transfert : 3 H( ) = Déduire z ; K et w.. Tracer la réonse indicielle. 3. Tracer la réonse du système dans le lieu de Bode, le lieu de Nyquist et le lieu de Black. W Corrigé exercice n 9 :. K =,5. z =,56. w =,447.. Réonse indicielle (,k) D k% =.ex. D = %, D =,44%. T ic = k. π.,7. T = 8,5s, T = 7s. Ta = 7s. T r5% = s, T r% = 6s. Cours d automatique et régulation 54

62 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires.8.6 System: sys Time (sec): 8.5 Amlitude:.68 Ste Resonse System: sys Time (sec): Amlitude:.57 System: sys Time (sec): 7 Amlitude: Amlitude Time (sec) 3. Etude Harmonique. Lieu de Bode Bode Diagram Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Cours d automatique et régulation 55

63 Chaitre 4 Etude des systèmes élémentaires Lieu de Nyquist.5 Nyquist Diagram.5 Imaginary Axis Real Axis Lieu de Black Nichols Chart - Oen-Loo Gain (db) Oen-Loo Phase (deg) Cours d automatique et régulation 56

64 Performances des systèmes asservis linéaires Chaitre 5 Cours d automatique et régulation 57

65 Chaitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires Chaitre 5 : Performances des systèmes linéaires asservis. Introduction On s intéresse à l étude des systèmes asservis à retour unitaire, uisque tout système ouvant être transformé en système à retour unitaire. E() + _ ε() T() S() T ( ) : Fonction de transfert en boucle ouverte. T ( ) F( ) = : fonction de transfert en boucle fermée. + T ( ) m b + b + b bm N ( ) ( ) F = =, où n m. n a a a... a D( ) n Analyser le système asservi linéaire revient à étudier la fonction de transfert en boucle ouverte ( + T( )). L étude des erformances consiste à étudier : La stabilité et la raidité qui sont deux critères dynamiques. La récision qui est un critère statique. n D ( ) = a + a + a +...a : s aelle équation caractéristique. Les racines de N() s aellent les zéros de F(). Les racines de D() s aellent les ôles de F().. Stabilité.. Définition Un système initialement au reos est stable si our une entrée imulsion de Dirac, le système rejoint une osition d équilibre arès un certain tems... Condition de stabilité L étude de la stabilité revient à résoudre l équation caractéristique D()=. Soit : = σ ± jω une racine de D(). i i i La condition nécessaire et suffisante our que le système soit stable est : toutes les racines de D() sont à artie réelle strictement négative. σ i Remarque Cette condition nécessaire est suffisante exige un calcul des racines ce qui rend cette condition inexloitable lorsque l ordre du système devient imortant, our cela on roose le critère algébrique suivant. Cours d automatique et régulation 58

66 Chaitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires... Critère de Routh Pour cette section, l'aroche est urement algébrique et ne requiert as de rerésentation grahique. Le olynôme dénominateur du système en boucle fermée est écrit sous sa forme déveloée et on utilise les roriétés des olynômes our tirer des conclusions concernant les racines, mais sans les calculer exlicitement. Les racines de ce olynôme sont les ôles du système : n n D ( ) = a + a +... a + a n n On construit d'abord un tableau de n lignes et (n+)/ colonnes, arrondi à l'entier suérieur. Les éléments des deux remières lignes sont les coefficients du olynôme D(). Pour le reste du tableau, on définit le terme de la ligne i et la colonne j. b c A i, j = A i,.a i, j+ A A i, i,.a i, j+ n a n a n- a n-4 a n- a n- a n-3 a n-5 n- b b b 3 n-3 c c y y z an.a n an.a an b.a n 3 b.a n b n 3 = ; = ; b c a = b = n.a n.a n 4 a an 5 b3.a b La condition nécessaire est suffisante de stabilité s exrime ar un tableau de Routh ar : Tous les a i doivent être résents et sont strictement ositifs. Tous les coefficients de la remière colonne du tableau doivent être strictement ositifs. Remarques Si un seul coefficient est nul alors le système est dit marginalement instable. Le nombre de changement de signe dans la remière colonne du tableau est égal au nombre de ôles à artie réelle ositive.... Alications 4 / D( ) = Etudier la stabilité de ce système. 3 n.a n n ε > 3 Cours d automatique et régulation 59

67 Chaitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires 3 9 b = = 3 ; b = = 3 ; b 3 =. 3 3 Le coefficient de la deuxième colonne, quatrième ligne est nul donc le système est marginalement instable. D où on eut écrire le olynôme auxiliaire = = j. / D() = 3 +a. +b.+c. Etudier la stabilité de ce système en fonction de a, b, et c. 3 b a c ab c a c Condition de stabilité a, b, c > et ab>c. K 3 / SoitT( ) = ( + )( + 3 ). Étudier la stabilité de ce système en boucle fermée en fonction de K. D () = K k K 4 K K > K > 4 K< Le système est stable lorsque < K <. Remarque L étude de la stabilité ar la détermination des ôles n est alicable que si on connaît la fonction de transfert ou l équation différentielle du système. Souvent on ne disose as de T() analytiquement ar contre des essais exérimentaux sont ossibles. Et on disose alors du tracé de Nyquist, Bode et Black, il s agit d étudier la stabilité du système à artir de ces tracés : on dit qu on étudie la stabilité en boucle fermée à artir de la transmittance en boucle ouverte..3. Critère de Nyquist.3.. Critère de Nyquist simlifié Pour l'étude de la stabilité du système en boucle fermée, on va tracer dans le lan comlexe la réonse harmonique en boucle ouverte et examiner son tracé ar raort au oint critique " ". Si T(j ωπ) >, le système est instable, si T(j ωπ) <, le système est stable. Cours d automatique et régulation 6

68 Chaitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires Enoncé : Le critère de Nyquist simlifié ou critère du Rivers s'énonce ainsi: Si, en arcourant la courbe de réonse harmonique en boucle ouverte T( jω ) dans les sens des ulsations croissantes, on laisse le oint " " à gauche, le système en boucle fermée est stable. A m w 3 w - ϕ m ϕ( w ) Re w w Système stable Système en limite de stabilité 3 Système instable G ( jw) On est souvent intéressé à une réonse lus nuancée que stable ou instable. Les notions de marge de gain Am ou de hase ϕ ermettent d'aorter cette nuance. m.3.. Marge de gain La marge de gain ermet d'indiquer la qualité de la stabilité en exrimant la distance sur l'axe réel ar raort au oint critique " ". L'intersection de la réonse harmonique avec l'axe réel a lieu our une ulsation notée w π, car la hase our cette ulsation vaut π. A m = avec arg( T( jwπ )) = π T( jw ) π.3.3. Marge de hase La marge de hase ermet d'indiquer la qualité de la stabilité en exrimant la distance angulaire ar raort au oint critique " ". L'intersection de la réonse harmonique avec le cercle unité a lieu our une ulsation notée w, car le module our cette ulsation vaut "". ϕ m = arg( T( jw )) + π avec T( jw ) = Cours d automatique et régulation 6

69 Chaitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires.4. Critère de Black.4.. Critère de Black Le critère du Rivers eut aussi être exrimé dans le lan de BLACK. Ici le oint " " devient le oint ( db; 8 ). Pour ouvoir aliquer le critère, les conditions sont les mêmes que our le critère de Nyquist : le système en boucle ouverte ne doit comter aucun ôle à artie réelle ositive. Énoncé : Un système linéaire F() en boucle fermée est stable si, en arcourant le lieu de BLACK de sa réonse harmonique en boucle ouverte dans le sens des ulsations croissantes, on laisse le oint critique ( db; 8 ) à droite w A m w π w c ϕ m Système stable Système en limite de stabilité 3 Système instable Sur la figure récédente, les marges de hase et de gain euvent être lues directement sur les deux axes. La ulsation est celle qui détermine le oint de la réonse harmonique à l'intersection avec l'axe horizontal à [db]. La ulsation w est celle qui détermine le oint de la réonse harmonique à l'intersection avec l'axe vertical à 8 et avec l'axe vertical à 35. w c w π Cours d automatique et régulation 6

70 Chaitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires.4.. Abaque de Black Nichol s L'abaque de Black Nichol s est formé d'un système de coordonnées curvilignes, suerosé au lan de BLACK, sur lesquelles on eut directement lire les valeurs de module et d'argument du système en boucle fermée F( jw ). Pour aliquer l'abaque, le système bouclé doit être à retour unitaire. On rocède de la manière suivante: On trace le lieu de BLACK de la réonse harmonique en boucle ouverte T ( jw ) d'arès le système de coordonnées rectilignes. Par exemle, our la ulsation w x, on a calculé module et argument : T( jwx ) = [ db] et arg( T( jwx )) = 5. On eut alors lire sur la même courbe our une valeur de ulsation donnée les valeurs de module et d'argument du système en boucle fermée F ( jw ) sur les coordonnées curvilignes. Pour cette même ulsation, et le même oint, on lit en coordonnée curviligne : F( jwx ) [ db] et arg( F( jwx )) = 5. La ulsation de résonance est déterminée our le oint où le module de la réonse harmonique en boucle ouverte a la valeur la lus élevée (ici ~,3 [db]). On eut encore déterminer la ulsation, au-delà de laquelle le module de la réonse harmonique en boucle fermée est toujours lus faible que 6 [db]. w 6 w r Cours d automatique et régulation 63

71 Chaitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires.5. Critère de Bode.5.. Critère de Rivers Le critère du Rivers s'énonce comme suit dans le lan de Bode, ou dans l'esace fréquentiel : Un système asservi (en boucle fermée) est stable si la courbe du module de sa réonse harmonique en boucle ouverte T(jw) coue l'axe de module unité our une hase arg(t(jw)) suérieure à Critère de Bode Le critère du Rivers eut être simlifié en aliquant la relation ci-dessus. Un système asservi (en boucle fermée) est stable si la courbe du module de sa réonse harmonique en boucle ouverte T(jw) coue l'axe de module unité our une ente suérieure à. Si l'intersection de la réonse harmonique en boucle ouverte et de l'axe à a lieu avec une ente de, le système en boucle fermée est stable, avec, il est en limite de stabilité. Il est judicieux d'affiner le critère en exrimant la qualité de la stabilité: "à quelle distance de la ente " doit-on lacer l'intersection de l'axe avec la ente? 3. Précision 3.. Définition L étude de la récision d un système à retour unitaire revient à étudier la valeur de la différence (écart), notée ε ( ) = E( ) S( ). En régime transitoire cette différence s aelle erreur dynamique. En régime ermanent cette différence s aelle erreur statique. E() + _ ε() T() S() ε( ) = lim. ε( ) = lim ε( t ) ε t ( ) = E( ) S( ) = E( ) T( ). ε ( ) ( ).E( ) ε ( ) = lim : C est la récision. + T( ) E( ) ε =. + T( ) Cours d automatique et régulation 64

72 Chaitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires 3.. Classe d un système La classe d un système est déterminée à artir de sa fonction de transfert en boucle ouverte, our cela il faut mettre T() sous la forme suivante : m K ( + b' b' m' ) T ( ) =. n α. ( + a' a'. ) Avec : n' α : Classe du système (nombre d intégrateurs). K : Gain statique du système en boucle ouverte..e( ) ε ( ) = lim + T( ) ε ( ) = lim ε( ) = lim + K α.e( ) K + α E( ) ( + b' b'. ( + a' a' ε( ) déend de la classe du système, du gain statique et de E(). m' n' m' n' ) ) Entrée E() Classe E E K + E E K E 3 E K E : échelon de osition. E : échelon de vitesse. E 3 : échelon d accélération. Plus on augmente la classe, lus qu on améliore la récision. E Si E ( ) = : ε ( ) s aelle erreur statique de osition. E Si E ( ) = : ε ( ) s aelle erreur statique de traînage ou de vitesse. Cours d automatique et régulation 65

73 Chaitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires Exemle K Soit T ( ) =. ( + )( + 3 ) Calculer K our avoir une erreur statique de traînage unitaire inférieur à %. K K T ( ) = =. ( + )( + 3 ) 3. 4 ; K K = ; α = E 3 ε ( ) = ε ( ) = = =, K 3 k' K K 3 4. Raidité 4.. Rael et définition Les aramètres tems de réonse, tems de stabilisation et déassement caractérisent la raidité d un système. Pour un système de second ordre, la raidité est étroitement liée au coefficient d amortissement z. Kw b F( ) = =. ² +.z.w. + w a ² + a + a a (.z.w )² On désigne le raort d amortissement α : α = = = 4.z². a.a w α : caractérise la raidité du système : déend de z et du tems réonse. 4.. Critère de Naslin Soit : F( ) = a n n + a n b n On définit n- raorts : ai ai = avec <i<n-. a.a i i a. + a. Quelques soit i, α i = α avec α donnée ar la remière loi de la courbe moyenne, qui a deux lois : log ( D% ) = 4,8 α. a T ic =,. a Dans le cas générale, on choisis les α i α Quelque soit i, our garantir une raidité otimale. Cours d automatique et régulation 66

74 Chaitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires Exemle : E() + _ ε() 3.k ( + ).(+, ).(+ ) S() Calculer k a fin de garantir un déassement D %, Fonction de transfert en boucle fermée : 3.k F( ) =. 3 +, + + 3k log % ( D ) 4,8 α =. α =. Cours d automatique et régulation 67

75 Chaitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires 5. Série de TD N 3 Exercice n : A l aide de critère de Routh étudier la stabilité des systèmes dont les équations caractéristiques sont les suivantes : = = = =. Exercice n : A l aide du critère de Nyquist comlet, étudier la stabilité du système asservi à retour unitaire dont la fonction de transfert en boucle ouverte est K.G(), dans les cas suivant : K K K K.G() = ; K.G() = et K.G() =. 3 ( + ). Aliquer le critère de Rivers our déduire la stabilité. Exercice n 3 : K Soit k.g() = ( +. )( +. ), la fonction de transfert de la boucle d un système asservi. Déterminer les valeurs de K our lesquelles le système est stable en boucle fermée. Et ce en utilisant le critère de Nyquist, uis le critère de Rivers. K( + ) Même question our K.G() =. ²( +, )( +, ) Exercice n 4 : Soit le système de la figure suivante : + _ K.G() + 5 G() = ( +,8 + 4 ²) a- En utilisant le critère de Routh déterminer les valeurs de K our lesquelles le système est stable. b- Retrouver le résultat ar le critère de Nyquist. Cours d automatique et régulation 68

76 Chaitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires 6. Série de TD N 4 Exercice : Étudier la stabilité des systèmes définis ar les équations suivantes :. d y dy,, y =,5. e(t). dt dt. d y dy α + y =,5. e(t) étudier la stabilité du système en fonction deα. dt dt 3. d y dy α β y =,5. e(t) étudier la stabilité du système en fonction de α et β. dt dt 4. d y dy λ α β y =,5. e(t) étudier la stabilité du système en fonction deα, β et λ. dt dt Exercice : Étudier la stabilité, en Boucle Ouverte et Boucle Fermée, du système suivant : E( ) + A + α S ( ) En Boucle Fermée, faire l étude dans le lan α, A. Exercice 3 : Étude d un système de troisième ordre On se roose d étudier le système défini ar la fonction de transfert : K s ( ) = avec : τ =,5s ; w z (. ). + τ + + w w H = rd / s; z =,.. Rerésentation On rend K s =. Diagramme de Bode Éffectuer le tracé asymtotique du module et de la hase de H ( ) dans le diagramme de Bode fourni. Lieu de BLACK Donner les exressions du module H et de la hase φ de H ( ). Comléter le tableau ci-dessous et tracer le lieu de BLACK de H ( ). Donner la ulsation de résonance du système. Cours d automatique et régulation 69

77 Chaitre 5 Performances des systèmes asservis linéaires w(rd/s) H Φ db. Étude de la stabilité Le système est-il stable our K s =. Donner K s maimum our que le système soit juste stable. 3. Effet d une intégration H ( ) On étudie à résent H ( ) =. Quelle est l oération mathématique effectuée? Quelle est la conséquence sur la stabilité? Cours d automatique et régulation 7

78 Les Régulateurs Chaitre 6 Cours d automatique et régulation 7

79 Chaitre 6 Les régulateurs Chaitre 6 : Les régulateurs. Généralités.. Tâches du régulateur Le résent chaitre a our but d'étudier le seul élément de la boucle sur lequel l'automaticien est habilité à agir : le régulateur (G R ). Les autres éléments de la boucle sont regroués dans ce qu'on aelle le système à régler (G S ). V Bloc correcteur G cf W E C + R U cm _ G S Y La fonction du régulateur est d'agir sur le système à régler ar un signal de commande u cm en fonction de l'écart de réglage : différence entre la valeur de consigne w et la valeur actuelle y de la grandeur réglée. On eut attendre du régulateur différentes tâches : Maintien dans un intervalle rescrit de la grandeur y en résence d'une consigne w constante, malgré la résence de erturbations v : régulation de maintien. Suivi dans un intervalle rescrit de la consigne w ar la grandeur y : régulation de corresondance. Suivi dynamique de la consigne en résence de erturbations. Le choix et le dimensionnement du régulateur dans une boucle déend de ce qu'on attend de lui, on commence donc ar examiner quels sont les régulateurs dont on disose, en relevant leur oints forts et leur oints faibles... Inventaire On eut distinguer les régulateurs selon deux critères : relation entre entrée et sortie : linéaire ou non linéaire. entrée unique, l'écart de réglage ou lusieurs entrées. Les régulateurs classiques sont caractérisés ar une entrée unique: l'écart de réglage. Les régulateurs tout ou rien ont une sortie u cm qui ne eut rendre que deux ou trois valeurs rédéterminées, choisies en fonction de l'écart de réglage. Exemle : régulateur de temérature our un four électrique de cuisine. Les autres sont formés d'une combinaison de trois modules : Le module P (roortionnel) assure la fonction de réglage de base. Le module I (intégrateur) annule l'écart statique, assure la récision. Le module D (dérivateur) améliore la stabilité et accélère le réglage. On décrira les rinciaux régulateurs: Le régulateur P fournit un signal de commande roortionnel à l'écart de réglage. Exemle : réglage de fréquence d'un groue turbine alternateur. Le régulateur PI fournit un signal de commande roortionnel à l'écart de réglage et à son intégrale. Cours d automatique et régulation 7

80 Chaitre 6 Les régulateurs Exemle : réglage de vitesse d'une voiture récente. Le régulateur PID fournit un signal de commande roortionnel à l'écart de réglage, à son intégrale et à sa dérivée. Exemle : réglage standard industriel. Le régulateur PD fournit un signal de commande roortionnel à l'écart de réglage et à sa dérivée.. Rôles des régulateurs ou correcteurs Pour obtenir une bonne récision il faut avoir une ou lusieurs intégrations en chaîne directe. Pour avoir un bon degré de stabilité il faut que : - Le gain soit le lus faible ossible en boucle ouverte d où une faible bande assante. - Le déhasage soit faible d où un minimum d intégration ossible (régulateurs roortionnels). - Les régulateurs ou correcteurs ont our but de délivrer un signal de commande U() de manière à réserver les exigences de récision et de stabilité, à riori incomatible. On distingue deux tyes de correcteurs : Correcteurs série et correcteurs arallèle. 3. Réglage roortionnel 3.. Princie Parmi les régulateurs linéaires le lus immédiat est le régulateur roortionnel : son signal de commande est roortionnel à l'écart de réglage. u cm (t)=k e(t)=k (w(t) - y(t)) Dans un schéma fonctionnel, on rerésente un régulateur linéaire ar un bloc dans lequel on dessine sa réonse indicielle. La fonction de transfert se réduit our ce régulateur à un simle nombre réel. G R ( ) = K 3.. Statisme On est intéressé à savoir si la grandeur réglée y suit correctement la consigne w. En articulier, our une consigne constante, la sortie s'établit-elle our la même valeur? Traitons tout d'abord d'un système à régler comme cellule du remier ordre. Gs = + T. Cours d automatique et régulation 73

81 Chaitre 6 Les régulateurs La fonction de transfert en boucle ouverte s'obtient ar le roduit des fonctions de transfert des deux blocs. G = K. + T. Ce qui nous intéresse est le comortement du système en boucle fermée : K. + T. K G CF = = K + + T. + K. + T. Plutôt que de calculer dans l'esace tems à quelle valeur s'établit y(t), on alique le théorème de la valeur finale. K lim y( t ) = lim Y. ( ) = lim..g f ( ) = lim G f ( ) =. t + K On constate que, quelle que soit la valeur du gain statique K P, la valeur finale de y(t) sera différente de. Il aaraît un écart statique e. K e = lim e( t ) = lim( w( t ) y( t )) = = t t + K + K 3.3.Correcteur à action Proortionnelle L action roortionnelle rerésente l action minimale indisensable du réseau correcteur, elle corresond à un gain constante ositif k : c ( ) = k c est à dire u() t = k. ε( t ) ; ou U ( ) = k. ε( ). U( ) C ( ) = = k. ε ( ) R R _ ε() + U() En statique, le régulateur améliore la récision du système si k augmente. En dynamique, il augmente la raidité du système et déstabilise le système s il résente des oscillateurs (en augmentant tro k on risque de toucher à la stabilité du système). 3.4.Correcteur à action Dérivée dε( t ) u() t = τ d.. dt U ( ) = τ d.. ε( ) C( ) = τ d.. En statique elle eut diminuer la récision du système et en dynamique elle augmente la raidité et renforce la stabilité du système. Cours d automatique et régulation 74

82 Chaitre 6 Les régulateurs R dε( t ) u() t = RC.. dt U ( ) = RC.. ε( ). τ d = RC C( ) = τ d. ε() C _ + U() 3.5.Correcteur à action Intégrale C est un correcteur utilisé lors d une étude en régime harmonique, il ermet d augmenter la marge de hase de ce système (la stabilité). u() t = ε( t ). dt U ( ) =. ε ( ) C( ) = τ i τ i. τ i. C R _ ε() + U() Elle élimine l écart entre la consigne et la sortie même du système en dynamique, elle ralentit est déstabilise le système. 4. Tyes de correcteurs 4.. Correcteur à action Proortionnelle Dérivée dε( t ) u( t ) = k. ε ( t ) + k. τd. dt U( ) = k( + τd. ). ε( t ) C( ) = k( + τd. ) Le régulateur à action Proortionnelle Dérivée (PD) rovoque un accroissement du gain et de la hase our les fréquences élevées. 4.. Correcteur à action Proortionnelle Intégrale k u( t ) = k. ε( t ) +. ε( t ). dt τi U( ) = k. +. ε( t ) τi. C( ) = k. + τi. Le régulateur à action Proortionnelle Intégrale (PI) agit sur la stabilité du système. Cours d automatique et régulation 75

83 Chaitre 6 Les régulateurs 4.3. Correcteur à action Proortionnelle Intégrale Dérivée Le régulateur à action Proortionnelle Intégrale Dérivée (PID) ermet d améliorer les erformances globales du système, et on trouve deux structures de PID. a. Structure Série (cascade) : ε () K +τ d. + τi. U ( ) C () b. Structure arallèle (roduit) : K ε ( ) + τ i U ( ) + τ d C ( ) Cours d automatique et régulation 76

84 Chaitre 6 Les régulateurs 5. Série de TD N 5 Exercice n : Un système asservi réond au schéma fonctionnel suivant : ε() U() E() + R() _ G() S() R() est la fonction de transfert du régulateur. G() est un rocessus à commander dont le lieu de transfert est donné ar le tableau suivant : w(rd/s) G(db) φ Le correcteur R() est un gain roortionnel K (K>).. Déterminer la valeur de K de telle sorte que l écart ermanent à la réonse indicielle soit de 5%.. Pour cette valeur de K l asservissement est-il suffisamment stable? Exercice n : Un correcteur est régi ar l équation intégro différentielle suivante : t dx( t ) u ( t ) = K. x( t ) ,5. x( t ).dt. dt u ( t ) : Signal de sortie du correcteur. x ( t ) : Signal d entrée du correcteur.. Quel est le tye de correcteur et son intérêt.. Tracer dans le lieu de Bode la réonse harmonique du correcteur our K=5. 3. En déduire une nouvelle valeur de K telle que le correcteur résente un oint invariant our une certaine ulsation w que l on récisera. Exercice n 3 : Dans le système bouclé suivant, le gain k reste à déterminer. Pour cela, on demande de s( ) ε( ) calculer la fonction de transfert F ( ) = et, uis de tracer le lieu des ôles c( ) c( ) de F( ) quand k varie de à +. Où sont les ôles our k =? Pour k =? Choisir la valeur de k qui assure un ôle double. ( ) C ( ) ε E ( ) 5 s() + k + - Cours d automatique et régulation 77

85 Chaitre 6 Les régulateurs Exercice n 4 : Dans l asservissement suivant de COBAYE, il y a un retour tachymétrique. Exliquer. Les gains a etb étant aramétrables, calculer la fonction de transfert en fonction de a et b. Déduire le gain statique et donc l erreur statique de l asservissement. Déterminer a et b our imoser un ôle double =, uis = à l asservissement. En ratique, quel cateur sulémentaire cet asservissement nécessite t il ar raort au récédent? + - a + - 5, + b Exercice n 5 : Calculer la fonction de transfert du système bouclé suivant où un rocessus du second ordre est asservi à l aide d un filtre correcteur Proortionnel Intégral Dérivé (P.I.D) à retrouver sur le schéma bloc. Quelle est la relation entre e ( t ) et u( t )? Qu obtient-on our les valeurs g =, Ti = et Td =? C ( ) + - E( ) g T d Ti + U ( + + ) ( + )( + ) S ( ) Exercice n 6 : S( ) E( ) S( ) Pour le schéma bloc ci-arès (à gauche), calculer, et. C( ) C( ) E( ) Que valent le gain statique et le tems de réonse à 5% de ce système bouclé? C ( ) E ( ), S ( ) C( ) E ( ) + a, λ. + b S ( ) + a On ajoute (à droite) un filtre correcteur de fonction de transfert D( ) = λ. en série + b dans la chaîne d action de l asservissement, entre la sortie du comarateur et l entrée du rocessus. Calculer la fonction de transfert du système bouclé ainsi corrigé. Montrer que our a= et b=, on divise ar le tems de réonse à 5% du système bouclé sans correcteur our une certaine valeur de λ. Le gain statique est il conservé? Comment diviserait-on ar 3 le tems de réonse en conservant le gain statique? Cours d automatique et régulation 78

86 Les roblèmes Cours d automatique et régulation 79

87 Problèmes Problèmes. Problème n On considère le circuit suivant : R Ve C Vs Vs ( ). Etablir la fonction de transfert = H ( ) en fonction de R et C. Ve ( ) Calculer H() our les valeurs suivantes : R = 3 kω et C = µf.. Relever exérimentalement la réonse indicielle et en déduire H(). 3. Relever la réonse harmonique et la orter dans Bode, Nyquist et Black. En déduire H().. Problème n On considère le circuit suivant : R C Ve R Vs Vs( ). Etablir la fonction de transfert H ( ) = en fonction de en fonction de R, R et C. Ve( ) Calculer H() our les valeurs suivantes : R = KΩ, R = KΩ et C = µf.. Relever exérimentalement la réonse indicielle et en déduire H(). 3. Relever la réonse harmonique et la orter dans Bode, Nyquist et Black. En déduire H(). Cours d automatique et régulation 8

88 Problèmes 3. Problème n 3 On considère le circuit suivant : C Ve R R Vs Vs( ). Etablir la fonction de transfert = H( ) en fonction de en fonction de R, R et C. Ve( ). Calculer H() our les valeurs suivantes : R =3KΩ, R =.5KΩ et C=µF. 3. Relever exérimentalement la réonse indicielle et en déduire H(). 4. Relever la réonse harmonique et la orter dans Bode, Nyquist et Black. En déduire H(). 4. Problème n 4 On considère le circuit suivant : R r, L Ve C Vs Vs( ). Etablir la fonction de transfert = H( ) en fonction de R, L, r et C. Ve( ) En déduire la valeur du coefficient d'amortissement z et la ulsation rore non amortie w en fonction de R, r, L et C. Suivant les valeurs de z donner l'exression de la seudo ulsation w et la ulsation de résonance w r.. Déterminer H() our R=Ω, C=µF, L=H et r=35ω. En déduire la valeur de z, w, w et w r. 3. Mêmes questions our les valeurs R=kΩ et R=,8kΩ. 4. Tracer dans les diagrammes de Bode et Black les trois réonses harmoniques H(jw). Cours d automatique et régulation 8

89 Problèmes 5. Problème n 5 On désire réguler un rocessus de fonction de transfert G() ar un correcteur C(). Le schéma fonctionnel est rerésenté ar la figure ci-dessous. E X U S + - C() G(). Identifier le rocessus grâce à la réonse à un échelon en boucle ouverte. En déduire l'exression de G().. Tracer G(jw) dans le diagramme de Black. En déduire la valeur du gain K o et la ériode T o du omage limite. 3. On choisit C()=K (K>), déterminer exérimentalement la valeur du gain K o et la ériode T o du omage limite. 4. En déduire d'arès le tableau de Ziegler et Nichol's la valeur de K, T i et T d du régulateur PID. 5. Visualiser la réonse à un échelon en boucle fermée, conclure. On raelle que la sortie biolaire de la carte est comrise entre + V et - V et que les entrées doivent être comrises entre +5 V et -5 V. 6. Problème n 6 Etude d'un asservissement de osition Princie de fonctionnement Il s'agit d'un asservissement de osition otentiomètrique dont l'organe d'action est un moteur à courant continu à excitation constante. Le mouvement de rotation du moteur est transformé, ar un réducteur et une oulie, en mouvement rectiligne d'un index devant une règle graduée. L'ensemble est schématisé ar la figure ci-dessous : e(t) x(t) s(t) + - K A Moteur Réducteur Poulie r(t) v(t) Vitesse Cateur K est un atténuateur comris entre et. A est un réamlificateur de gain ou. Le moteur est alimenté ar un amlificateur de uissance de gain en tension unitaire. La fonction de transfert arochée de l'ensemble moteur et amlificateur de uissance a our exression : Kv G( ) = avec Kv gain en vitesse et T constante de tems. ( + T) Cours d automatique et régulation 8

90 Problèmes Dans ces conditions le schéma fonctionnel de l'asservissement eut être rerésenté ar la figure ci-dessous : + - X() U() E() K A + G() S() + Décalage Etude qualitative Réaliser le montage de l'asservissement en boucle fermée et observer la réonse indicielle avec «hyscoe» en mode synchronisation sur l'entrée. On rendra le générateur de fonction en mode signaux carrés de fréquence Hz. Faire varier le roduit KA et exliquer qualitativement les modifications du signal de sortie. 3 Réonse harmonique en boucle ouverte Le but de l'oération est de tracer G(jw) réelle dans Black et d'en déduire la valeur de KA qui ermet d'avoir une stabilité satisfaisante our un tems de réonse le meilleur ossible. On oère de la façon suivante : Ouvrir la boucle d'asservissement. Régler KA = et vérifier que l'off set du générateur est à. Sélectionner signaux sinusoïdaux et régler l'amlitude de telle sorte que le signal ne soit as écrêté ar «hyscoe». Agir simultanément sur le décalage de manière à centrer le signal de sortie. Pour chaque valeur de la fréquence relever le gain en amlitude et le déhasage. Faire varier f de Hz à Hz (, 8, 5, 3,.5,,.5, ) ar exemle. Tracer la réonse dans Black. En déduire la valeur de Kv et T (déhasage de -35 ) et la valeur de KA qui assure une stabilité suffisante. 4 Réonse en boucle fermée Pour KA = effectuer l'analyse harmonique et comarer aux valeurs issues de l'abaque de Black. 5 Correcteur à avance de hase Le but de la maniulation est de vérifier qualitativement l'efficacité d'un réseau correcteur à avance de hase rerésenté ar le schéma ci-dessous : C R x(t) R x (t) Cours d automatique et régulation 83

91 Problèmes R =7kΩ, R =8,kΩ et C=µF. Le schéma fonctionnel devient alors : E() + - X() X'() U() S() C() KA G() Comarer les réonses en boucle fermée avec et sans correcteur our diverses valeurs de KA et conclure sur l'intérêt d'un tel correcteur. 7. Problème n 7 Etude d'un asservissement de vitesse Princie de fonctionnement Il s'agit de faire tourner une charge mécanique à une vitesse donnée (sortie) conformément à la loi d'évolution d'une grandeur d'entrée (consigne). L'écart entre la consigne et la vitesse du moteur est ré amlifié et éventuellement écrêté avant d'attaquer l'amlificateur de uissance du moteur à courant continu et excitation constante. La mesure de la vitesse est transformée en tension ar une dynamo tachéométrique. La mesure du courant absorbé ar le moteur est transformée en tension ar un transformateur d'intensité. La boucle secondaire de courant ermet de limiter le courant dans le moteur endant les hases transitoires et a un effet stabilisateur (le courant est l'image du coule absorbé et ar conséquent la variation de courant est l'image de la variation de vitesse Cm - Cr = Jθ''). K est un atténuateur comris entre et. M est un réamlificateur de gain ou avec éventuellement écrêtage. G est un amlificateur de uissance qui alimente le moteur. Une commande ermet de débrayer ou d'embrayer la charge. Cours d automatique et régulation 84

92 Problèmes Etude qualitative Réaliser le montage de l'asservissement en boucle fermée et observer la réonse indicielle avec «hyscoe» en mode synchronisation sur l'entrée. On rendra le générateur de fonction en mode signaux carrés de fréquence Hz. Faire varier le roduit KM en gardant G = et exliquer qualitativement les modifications du signal de sortie avec et sans bouclage de courant du oint de vue stabilité et récision. 3 Réonse harmonique en boucle ouverte a) Sans bouclage de courant à vide Le but de l'oération est de tracer G(jw) réelle dans Black et d'en déduire la valeur de KM qui ermet d'avoir une stabilité satisfaisante our un tems de réonse le meilleur ossible. On oère de la façon suivante : Ouvrir la boucle d'asservissement. Régler KM =, as d'écrêtage et G = de lus vérifier que l'off set du générateur est à. Sélectionner signaux sinusoïdaux et régler l'amlitude de telle sorte que le signal ne soit as écrêté ar hyscoe. Pour chaque valeur de la fréquence relever le gain en amlitude et le déhasage. Faire varier f de, Hz à 8Hz (., 5,,, 3, 4, 5, 8) ar exemle. Tracer la réonse dans Black. En déduire une modélisation de G(), le rocessus est-il naturellement intégrateur. b) Même étude avec bouclage de courant à vide Exliquer quel tye de correction effectue ce bouclage de courant. 4 Réonse indicielle en boucle fermée Comte tenu des résultats récédents et des critères de stabilité choisir K de telle sorte que la réonse indicielle soit satisfaisante du oint de vue de la stabilité avec et sans bouclage de courant à vide. Quel correcteur faut-il envisager our régler le roblème de l'écart statique. Déterminer les aramètres d'un régulateur PID (K, Ti, Td) ar la méthode du omage limite et ar la méthode du ivot. Relever la réonse dans ces conditions. Exliquer qualitativement quelle eut-être l'influence de la charge sur le comortement de l'asservissement. 6 Réonse harmonique en boucle fermée Pour KM = effectuer l'analyse harmonique et comarer aux valeurs issues de l'abaque de Black Nichol's. Cours d automatique et régulation 85

93 Les travaux ratiques Cours d automatique et régulation 86

94 INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE SFAX Laboratoire d'automatique et régulation Travaux Pratiques TP d'initiation : Equiement du laboratoire TP Initiation Equiement du laboratoire Cours d automatique et régulation 87

95 TP Initiation Equiement du laboratoire Annexe NOTICE D UTILISATION DE L OSCILLOSCOPE NUMERIQUE «TEKTRONIX TDS» Fig. : Panneau avant du TDS Fig. : Zone d affichage autour de l écran - Mode d acquisition (normal, détection crêtes, moyenne). - Etat de déclenchement. 3- Marqueur de osition horizontale du déclenchement. 4- Indique la différence de tems entre le centre du réticule et la osition de déclenchement horizontale. 5- Marqueur de niveau de déclenchement. 6- Cet indicateur donne la valeur numérique du niveau de déclenchement. 7- Icône indiquant le tye de déclenchement (front montant, front descendant, vidéo ligne, vidéo trame) 8- Signal sur lequel est synchronisé le déclenchement. 9- Cet indicateur montre le aramètre de base de tems de la fenêtre si il est utilisé. - Base de tems. - Sensibilités verticales. - L écran affiche momentanément les messages en ligne. 3- Vdes voies si et. Cours d automatique et régulation 88

96 TP Initiation Equiement du laboratoire L exloitation du TDS A- Mise en service de l oscilloscoe : bouton Marche / Arrêt (Power) situé sur le haut de l aareil. B- Mise en service des voies : L oscilloscoe ossède voies : CH et CH. Pour les mettre en service, il suffit d auyer sur les boutons : CH MENU et CH MENU. Pour mettre les voies hors service, auyez sur ces mêmes boutons. Remarque : Le fait d auyer sur ces boutons ermet d afficher un menu dans la artie droite de l écran. C- Réglage du coulage CC de la voie Dans le menu CH ou C, il faut faire aaraître dans la case coulage, le terme CC (coulage continu). Pour cela auyez autant de fois que nécessaire sur le bouton situé en face la case coulage. Vous verrez aaraître successivement : Masse ; CC (Coulage Continu) ; CA (Coulage Alternatif). Remarque : Dans le cas du coulage CC, la tension aliquée est visualisée telle qu elle est réellement. Si l on utilise le coulage CA, la tension est visualisée sans comosante continue. D- Réglage du zéro Régler le V à votre convenance grâce au otentiomètre POSITION au-dessus de CH MENU our la voie ou CH MENU our la voie. Le zéro est reéré à gauche de l écran ar une flèche récédée d un chiffre indiquant le numéro de la voie (fig marqueurs 3). E- Utilisation sans sonde Les mesures étant effectuées sans sonde, vérifiez que le menu sonde de chaque voie affiche X. F- Tye de Base de tems Vérifier que la base de tems sélectionnée est : Base de tems rinciale. Pour cela, faire aaraître le menu de la base de tems en auyant sur le bouton HORIZONTAL MENU. G- Réglage de la base de tems La base de tems se règle avec le commutateur : SEC/DIV. Le réglage ermet d aller de 5s/div à 5ns/div. Remarque : Au milieu et en bas de l écran est affichée la valeur de la base de tems. (Exemle : M.ms). H- Réglage des sensibilités verticales Le réglage des sensibilités verticales, s effectue à l aide des commutateurs : VOLTS/DIV. Le réglage ermet d aller de 5 V/div à mv/div. Remarque : En bas de l écran, on eut visualiser en ermanence la sensibilité des voies. (Exemle CH5.V). I- Déclenchement. Choix de la voie et du tye de déclenchement L oscilloscoe doit être synchronisé sur un signal. C est généralement le signal injecté sur la voie qui sert à la synchronisation. Pour cela, auyez sur le bouton : «TRIGGER MENU». En auyant sur le bouton situé en face la case Source, vous sélectionnerez CH. Cours d automatique et régulation 89

97 TP Initiation Equiement du laboratoire Remarque : La synchronisation eut aussi se faire sur «CH», sur l entrée de synchronisation révue à cet effet «EXT TRIG» ou sur la tension délivrée ar le secteur. Vous devez également indiquer le style de déclenchement souhaité : exemle : FRONT ; PENTE ; MONTANTE.. Réglage du seuil de déclenchement Sur le côté droit de l écran, se trouve une flèche (fig. marqueur 5). Elle indique le niveau (ou seuil) de déclenchement de l oscilloscoe. Il faut que la flèche soit située entre le minimum et le maximum de la tension de la voie de synchronisation. Si ce n est as le cas, l oscillogramme n est as stable. Pour le rendre stable, c est à dire déclencher correctement l oscilloscoe, il faut régler le bouton rotatif NIVEAU dans la colonne TRIGGER Remarque : En bas à droite de l écran, est affichée la voie de synchronisation (fig : marqueur 8) ainsi que la valeur du seuil de déclenchement de l oscilloscoe (fig marqueur 6). 3. Réglage de la osition horizontale de déclenchement En haut de l écran, se trouve une flèche (fig. marqueur 3). Elle indique la osition horizontale du déclenchement de l oscilloscoe. Le réglage de cette osition horizontale de déclenchement se fait en agissant sur le bouton rotatif POSITION dans la colonne HORIZONTAL. Ce réglage est articulièrement imortant dans le cas d un déclenchement monocou. Cours d automatique et régulation 9

98 TP Initiation Equiement du laboratoire J- Cature d un signal monocou Utilisez le mode monocou our saisir une acquisition unique d un signal. Procédure à suivre : Réglez les boutons VOLTS/DIV et SEC/DIV à des valeurs adatées au signal à visualiser. Auyez sur le bouton ACQUISITION et sélectionnez NORMALE. Auyez sur le bouton TRIGGER MENU et choisissez le MODE MONOCOUP. Sélectionnez PENTE MONTANTE s il s agit d une tension croissante ou PENTE DESCENDANTE s il s agit d une tension décroissante. Utilisez le bouton rotatif NIVEAU our régler le seuil de déclenchement entre les deux niveaux extrêmes de la tension. Utilisez le bouton rotatif POSITION dans la colonne HORIZONTAL our régler la osition horizontale de déclenchement (l ou division en artant de la gauche de l écran ar exemle). Si la mention «Armed» (armé) ou «Ready» (rêt) n aaraît as en haut de l écran, auyez sur RUN/STOP. Lorsque l acquisition est terminée, «Sto» s affiche. Auyez de nouveau sur RUN/STOP our lancer une nouvelle acquisition en mode monocou. K- Autoset La touche AUTOSET en haut à gauche, ermet de ne faire aucun réglage réliminaire avant de visualiser un signal. En auyant sur ce bouton, l oscilloscoe se débrouille tout seul our afficher le signal, choisir le bon calibre, la bonne base de tems... C est ratique mais attention, cela modifie tous les réglages réalables. L- Faire des mesures L oscilloscoe ermet de faire de nombreuses mesures. Auyer sur la touche : MESURES. La case ermet de choisir la Source ou le Tye de mesure à effectuer. Auyez sur le bouton en face our choisir Source ou Tye. Sur les 4 autres cases, on eut afficher des mesures relatives à la voie et/ou à la voie. Exemles de mesures : Fréquence, Période, Moyenne, Tension crête-crête ( C C ), Tension efficace. M- Curseurs On eut faire des mesures de tension et de durée en auyant sur la touche : CURSEURS. Sur la case, on choisit le tye de curseur que l on veut : Aucun, Tension ou Tems. Les curseurs aaraissent sur l écran : horizontaux our des mesures de tension et verticaux our des mesures de tems. Sur la case, on choisit la source : CH ou CH. Sur la 3 case, aaraît l écart (Delta) entre les deux curseurs. Sur la 4 case, aaraît la valeur de la tension ou du tems, où se trouve le curseur. Sur la 5 case, aaraît la valeur de la tension ou du tems, où se trouve le curseur. Les curseurs se délacent en agissant sur les otentiomètres : POSITION dans la colonne VERTICAL. N- Langage Pour choisir le mode «français», auyez sur UTILITAIRE et sélectionnez le langage à l aide du bouton en face la dernière case. Cours d automatique et régulation 9

99 TP Initiation Equiement du laboratoire O- Affichage Pour augmenter ou diminuer le contraste de l affichage, auyez sur AFFICHAGE et réglez à l aide des deux derniers boutons. P- ModeXY Pour le tracé de courbes en mode XY (c est à dire CH en fonction de CH) auyez sur le bouton AFFICHAGE et sélectionnez le mode XY à la 3 case. Q- Signal bruité Si le signal que vous visualisez est bruité, l oscilloscoe eut faire l acquisition de lusieurs signaux et en faire la moyenne avant de l afficher. Pour cela auyer sur le bouton ACQUISITION et sélectionner Moyenne. Sinon restez dans le mode Normal. R- Menu mathématiques Auyez sur la touche MATH MENU afin d afficher les oérations mathématiques sur les signaux. Auyez à nouveau sur cette touche our effacer l affichage d un signal mathématique. Oérations ossibles : CH-CH ; CH-CH ; CH+CH ; CH inversée ou CH inversée. Remarque imortante : Les oérations effectuées tiennent comte des réglages effectifs de chaque voie : en articulier des sensibilités verticales et des zéros. Il est donc imératif de choisir le même zéro et le même calibre sur les deux voies our additionner ou soustraire deux tensions. Cours d automatique et régulation 9

100 TP Initiation Equiement du laboratoire Annexe Agilent 33A - 5 MHz Function/Arbitrary Waveform Generator Fig. : Panneau avant de l Agilent 33A - Function / Modulation keys - Menu oeration keys 3- Waveform modify keys 4- Single / Internal Trigger key (Burst and Swee only) 5- Recall / Store instrument state key 6- Enter Number key 7- Shift / Local key 8- Enter Number units Cours d automatique et régulation 93

101 TP n Etude d un système de remier ordre INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE SFAX Laboratoire d'automatique et régulation TP : Étude d un système de remier ordre TP Étude d un système de remier ordre Objectif : Identifier les aramètres d un système du remier ordre ar la méthode indicielle et la méthode harmonique. Contenu : Partie : Analyse temorelle d un système du remier ordre : Étude en boucle ouverte. Étude en boucle fermée. Partie : Analyse temorelle d un système du remier ordre : Lieu de Bode. Lieu de Nyquist. Lieu de Black. Cours d automatique et régulation 94

102 TP n Etude d un système de remier ordre Partie : Analyse temorelle d un système du remier ordre. Etude en boucle ouverte ) Visualiser à l aide de l oscilloscoe une tension V e carrée (U max =6V, U min =V) de fréquence f=hz issue d un générateur basse fréquence (G.B.F). ) Aliquer cette tension (sortie du G.B.F) à l entrée d un montage RC donner ar la figure suivante : R V e C V s 3) Visualiser sur l oscilloscoe les tensions V e et V s (sortie du système). 4) Relever sur aier millimétrique ces deux courbes. (noter les échelles de tems et de tension) 5) Déterminer grahiquement les valeurs de K et τ.. ETUDE THEORIQUE Refaire l étude du montage RC théoriquement (R=KΩ et C=nF) et tracer sur le même aier millimétrique la réonse théorique du système. 3. CONCLUSION Cours d automatique et régulation 95

103 TP n Etude d un système de remier ordre Partie : Analyse harmonique d un système du remier ordre. MODE OPERATOIRE ) Visualiser à l aide de l oscilloscoe une tension V e sinusoïdale (U max =6V, U min =V) de issue d un générateur basse fréquence (G.B.F). ) Aliquer cette tension (sortie du G.B.F) à l entrée d un montage RC récédent. 3) Visualiser sur l oscilloscoe les tensions V e et V s (sortie du système). 4) Remlir le tableau suivant : F(Hz) K K 3K 4K 5K w(rd/s) V s (v) V e (v) G G db Δt ϕ 6K 7K 8K 9K K K 3K 4K 5K 6K 7K 8K 9K K K 3K. LIEU DE Bode ) Tracer sur aier semi-logarithmique le lieu du gain et le lieu des hases. ) Retrouver les valeurs de K et τ. 3. LIEU DE Nyquist ) Tracer dans le lan comlexe le lieu de Nyquist du système. ) Retrouver les valeurs de K et τ. 4. LIEU DE BLACK ) Tracer le lieu de transfert du système sur l abaque de Black. ) Retrouver les valeurs de K et τ. 5. ETUDE THEORIQUE Refaire l étude du montage RC théoriquement (R=KΩ et C=nF) et tracer sur les mêmes abaques le lieu de Bode, le lieu de Nyquist et le lieu de Black. 6. CONCLUSION Cours d automatique et régulation 96

104 TP n Etude d un système de remier ordre Annexe Réonse à un échelon de osition (réonse indicielle) d un système de remier ordre. E e ( t ) = E.u( t ) E ( ) = E K S( ) =. s( t ) = K.E.( e τ ) + τ. Pour t = s() = Pour t = τ s(τ) = K.E.(-e - ) =.63.K.E Pour t = 3.τ s(3.τ) = K.E.(-e -3 ) =.95.K.E Pour t s( ) = K.E t s( t ) t = s' ( t K.E ) =.e τ t τ On définie : Le tems de réonse à 5%, obtenu lorsque la courbe s(t) atteint 95% de sa valeur finale. t r à 5% = 3.τ t r : détermine la raidité du système. ε( ) = -K : détermine la récision du système (la meilleur récision est obtenue lorsque K=). Cours d automatique et régulation 97

105 TP n Etude d un système de remier ordre Annexe Détermination du gain : Le gain en décibel est : G db = *log (Vs/Ve) Détermination de l argument :.5.5 Vs Vs Ve Ve Volt/Div Sec/Div..Volt/Div Sec/Div Arg( ) = - 36*t/T Arg( ) = +36*t/T Cours d automatique et régulation 98

106 TP n Etude d un système de remier ordre Annexe 3 H K +τ. ( ) = et en osant =jw H ( jw) H ( H(j.w) j.w ) = = = K + jτw. K.ex( jarctg ( τw )) + ( τw )² K jk τ + + ( τ.w ) ² + ( τ.w ) ² Rerésentation du lieu de Bode = H.ex( Re ( H(jw) ) = K + τ²w² Im ( H(jw) ) = Kτ + τ²w² On trace les deux courbes suivantes : H ( j. w) de la fonction H( j. ω) en fonction de la ulsation w. db ϕ = Arg ( H( j. w)) de la fonction H( j. ω) en fonction de la ulsation w. Rerésentation du module en db K H( j.w ) = log db ( + ( τ. ω ) ) = log K log[ + (τ.ω ) ] jϕ ) Etude des asymtotes Pour w H( j.w ) log K : Asymtote d équation H ( j.w ) =log K db db Pour w = H( j.w ) = log K 3dB. db τ Pour w H( j.w ) logτ. w. C est une droite de ente db/décade ou 6dB/octave. Rerésentation de la hase ϕ = Arg( H( j. w)) = arctgτ. ω. db Etude des asymtotes Pour w ϕ = : asymtote horizontale. Pour w = ϕ = Arctg = π. τ 4 π π Pour w ϕ = Arg( H( j.w )) = arctg = : asymtote horizontaleϕ =.. Cours d automatique et régulation 99

107 TP n Etude d un système de remier ordre Rerésentation du lieu de Nyquist On trace la courbe Im ( H( j. ω )) = f ( Re( H ( jw) ) Soient x = Re( H ( jw) ) et y = Im( H ( jw) ). D où K x = () ; + ( τ.w) K. τ.w y = () (y < demi cercle négatif) + ( τ.w) K K () + ( τ.w )² = et( τ.w )² = x x K ( ) y = τ.w.x y² = ( τ.w )².x² = ( )x² = Kx x². x Donc K K² x² Kx + y² = x + y² = : 4 K K C est une équation d un cercle de centre (, ) et de rayon. Etude des asymtotes Pour w x = K ; y =. K K Pour w = x = ; y = τ Pour w x : asymtote verticale x=. Rerésentation du lieu de Black On rerésente log H ( j.w ) =f(ϕ) : C est un diagramme contracté obtenu en éliminant w. Etude des asymtotes Pour w H( j.w ) log k ; ϕ = : asymtote horizontale db H( j.w ) = log K db Pour w = H( j.w ) = log K 3dB ; ϕ = π db. τ 4 π π Pour w H ( j.w ) et ϕ : asymtote. verticaleϕ =. db Cours d automatique et régulation

108 TP n Etude d un système de second ordre INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE SFAX Travaux ratiques Laboratoire d'automatique et régulation TP : Étude d un système de second ordre TP Étude d un système de second ordre Objectif : Identifier les aramètres d un système de second ordre ar la méthode indicielle et la méthode harmonique. Contenu : Partie : Analyse temorelle d un système de second ordre : Système amorti. Système oscillant amorti. Partie : Analyse temorelle d un système de second ordre : Lieu de Bode. Lieu de Nyquist. Lieu de Black. Cours d automatique et régulation

109 TP n Etude d un système de second ordre Partie : Analyse temorelle d un système de second ordre. SYSTEME AMORTI ) Visualiser à l aide de l oscilloscoe une tension V e carrée (U max =8V, U min =V) de fréquence f=hz issue d un générateur basse fréquence (G.B.F). ) Aliquer cette tension (sortie du G.B.F) à l entrée d un montage RLC donner ar la figure suivante : V e P L C V s R= L= C= 3) Visualiser sur l oscilloscoe les tensions V e et V s (sortie du système). 4) Relever sur aier millimétrique ces deux courbes. (noter les échelles de tems et de tension) 5) Déterminer grahiquement les aramètres du système.. SYSTEME CRITIQUE ) Diminuer la valeur de la résistance du otentiomètre et visualiser sur l oscilloscoe les tensions V e et V s (sortie du système). ) Relever sur le même aier millimétrique la courbe de V s. 3) Déterminer grahiquement les aramètres du système. 3. SYSTEME OSCILLANT ) Diminuer la valeur de la résistance du otentiomètre et visualiser sur l oscilloscoe les tensions V e et V s (sortie du système). ) Relever sur le même aier millimétrique la courbe de V s. 3) Déterminer grahiquement les aramètres du système. 4. CONCLUSION Cours d automatique et régulation

110 TP n Etude d un système de second ordre Partie : Analyse harmonique d un système de second ordre. MODE OPERATOIRE ) Visualiser à l aide de l oscilloscoe une tension V e sinusoïdale (U max =8V, U min =V) de issue d un générateur basse fréquence (G.B.F). ) Aliquer cette tension (sortie du G.B.F) à l entrée d un montage RLC récédent our un cœfficient d amortissement inférieur à (z<). 3) Visualiser sur l oscilloscoe les tensions V e et V s (sortie du système). 4) Remlir le tableau suivant : F(Hz) K K 3K 4K 5K w(rd/s) V s (v) V e (v) G G db Δt ϕ 6K 7K 8K 9K K K 3K 4K 5K 6K 7K 8K 9K K K 3K. LIEU DE Bode ) Tracer sur aier semi-logarithmique le lieu du gain et le lieu des hases. ) Retrouver les aramètres du système. 3. LIEU DE Nyquist ) Tracer dans le lan comlexe le lieu de Nyquist du système. ) Retrouver les aramètres du système. 4. LIEU DE BLACK ) Tracer le lieu de transfert du système sur l abaque de Black. ) Retrouver les aramètres du système. 5. ETUDE THEORIQUE Refaire l étude du montage RLC théoriquement et tracer sur les mêmes abaques le lieu de Bode, le lieu de Nyquist et le lieu de Black. 6. CONCLUSION Cours d automatique et régulation 3

111 TP n Etude d un système de second ordre Annexe : Etude temorelle L entrée est définie ar e(t)=u(t), soit dans le domaine de Lalace E ( ) =. La sortie a donc our exression dans le domaine de Lalace : K.w S( ) =. +.z.w. + w. ( ) Cas : z>, système amorti (réonse aériodique) On ose = et = où τ et τ sont les constantes du tems. τ τ La réonse temorelle s écrit : Rerésentation grahique : s( t ) = K τ e τ τ t τ τ e t τ. Cas : z=, amortissement critique La réonse temorelle a our exression : s(t ) K. ( + w t) wt (.e ) =. Cas 3 : z<, système sous-amorti (réonse est seudo-ériodique) La réonse temorelle s écrit : s( t ) = K z.e zw t.sin ( w z.t + ϕ ). Cours d automatique et régulation 4

112 TP n Etude d un système de second ordre Rerésentation grahique : tm t Ta Pseudo ériode. La réonse résente des oscillations amorties dont la ériode, aelée seudo ériode, est : π π Ta = = où wa = w z est la ulsation amortie. w z wa Déassements relatifs. Les déassements relatifs sont donnés our les instants t k. Donc t k = k w π z avec k entier. On définit le déassement relatif d ordre k ar : z.k. π D k = ex. z Tems de réonse. Le tems de réonse minimum est obtenu our un déassement relatif de 5% ce qui corresond à un coefficient d amortissement de valeur z=,7. On a alors : t 5%. w =3. Pulsation de résonance Pour z<,7 la réonse résente une résonance our la ulsation : = w.z² wr Tems de stabilisation Le tems de stabilisation est définit ar : Ts 3/z.w à ±5% our z<,7. Ts 4/z.w à ±% our z<,7. Cours d automatique et régulation 5

113 TP n Etude d un système de second ordre Identification de z = % z z.π.ex D = z z. ex D π z z. ) D Ln( = π A z z ) D Ln( = = π z z² A² = z z² A² = A A² z² + = A A z + = Identification de w. z w t = π z. t w = π A². t A² A. t w + = + = π π t A². w + = π Cours d automatique et régulation 6

114 TP n Etude d un système de second ordre Annexe : Etude harmonique On a : = j. w, ce qui donne H ( j.w ) = w w K.w +. j.z.w.w Rerésentation du lieu de Bode Rerésentation du module en db 4 4 H( j.w ) = log(k. w db )-log[ w + w + ( 4.z ).w. w ] Etude des asymtotes Pour w H( j.w ) log K : db On a asymtote d équation H ( j. w) =log k db Pour w = w H( j.w ) = log K 3dB. db Pour w H( j.w ) 4.logτ. w : C est une droite de ente 4dB/déc db ou db/oct. Rerésentation de la hase ϕ = Arg( H( j.w )) = arctgτ. w Etude des asymtotes Pour w ϕ : asymtote horizontale. Pour w = w π ϕ = Arctg = Pour w ϕ = Arg ( H( j. w)) arctg = π : On a asymtote horizontale deϕ= π. Rerésentation du lieu de Nyquist On trace la courbe Im( H ( j. ω) )=f(re( H ( j. ω) )) H( j.w ) = w H( j.w ) = ( w w w K.w K.w.( w ) +. j.z.w.w w + (.z.w Soient x=re(( H ( j. ω) ) et y=im(( H ( j. ω) )). ).w ) j ( w w D où : x = () ; y ( w ( w K.w.( w w ) w w + (.z.w K.w ).w ).w ) = (). + (.z.w.w ) K.w ).w + (.z.w.w ) Cours d automatique et régulation 7

115 TP n Etude d un système de second ordre Etude des asymtotes Pour w K x = ; y = w Pour w = ; w K x = y =..z².w y y =. Pour w : asymtote horizontale de Rerésentation du lieu de Black log H ( j. w) =f(ϕ) C est un diagramme contracté obtenu en éliminant w. Etude des asymtotes Pour w H( j. w) logk ; ϕ = : C est une asymtote. db Pour w = w H( j.w ) = log K 3dB ; ϕ = Pour w ( j.w ) db H et ϕ π db π y = : C est une asymtote. Cours d automatique et régulation 8

116 TP n 3 Simulation d un système de remier et de second ordre INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE SFAX Laboratoire d'automatique et régulation TP3 : Simulation d un système de remier et de second ordre TP 3 Simulation sous Matlab d un système de remier et de second ordre Objectif : Simulation d un système du remier ordre et d un système de second ordre. Etude de la réonse de chaque système our différents tyes d entrées. Contenu : Partie : Système du remier ordre : Réonse à un échelon. Réonse à une rame. Etude fréquentielle. Etude en boucle fermée. Partie : Système de second ordre : Réonse à un échelon. Réonse à une rame. Etude fréquentielle. Lieu des racines Cours d automatique et régulation 9

117 TP n 3 Simulation d un système de remier et de second ordre Partie : Etude d'un système du remier ordre H() = I. Ecriture de la fonction de transfert num=; den=[.5 ]; rintsys(num,den) II. Etude de la réonse à un échelon ste(num,den) Pour voir la réonse à un échelon endant s t=:.: ; le ; évite d'afficher le résultat y=ste(num,den,t); lot(t,y) Commentaires sur la courbe : title('réonse à un échelon'); xlabel('tems'); ylabel('y'); Pour lire des valeurs sur la courbe : ginut(3) Pour tracer un quadrillage ou une ligne : grid line([ ],[ ],'color','g') +,5 et cliquer avec la souris sur le oint à mesurer Exercice : Donner le gain statique K=H() =... Donner la constante de tems T=. Mesurer le tems de réonse à 5% =... III. Réonse à une rame t=:.:4; ram=t; y=lsim(num,den,ram,t); lot(t,y) IV. Etude fréquentielle bode(num,den) Pour avoir un diagramme de Bode ersonnalisé uls=logsace(-,3,); [amli,hase,uls]=bode(num,den,uls); sublot(),semilogx(uls,*log(amli)), grid sublot(),semilogx(uls,hase) grid nichols(num,den) Cours d automatique et régulation

118 TP n 3 Simulation d un système de remier et de second ordre ngrid figure nyquist(num,den) Mesure de la marge de hase et de la marge de gain ainsi que des ulsations corresondantes margin(num,den) [Gm,Pm] = margin(num,den) Pour construire un système en boucle fermée : t=:.:.5; [numf,denf]=cloo(num,den,-); t=:.:.5; z=ste(numf,denf,t); lot(t,z) Cours d automatique et régulation

119 TP n 3 Simulation d un système de remier et de second ordre Partie : Etude d'un système du second ordre H() = +.z. + I. Ecriture de la fonction de transfert Saisir la fonction de transfert récédente dans les cas suivants : z=,. z=,7. z=. z=. Utiliser la commande hold on our faire la suerosition des courbes. II. Etude de la réonse à un échelon Déterminer la réonse à un échelon endant s Ecrire les commentaires sur la courbe : Exercice : Donner le gain statique K= Donner l amortissement réduit z=. Donner la ulsation rore non amortie w n =.. Mesurer le tems de réonse à 5% =. Mesurer le déassement D%=... Mesurer le tems de montée au remier ic t ic =... III. Réonse à une rame Tracer la réonse du système our une rame IV. Etude fréquentielle Tracer le lieu de Bode ersonnalisé. Tracer le lieu de Black. Tracer le lieu de Nyquist. Mesurer la marge de hase et de la marge de gain ainsi que des ulsations corresondantes margin(num,den) [Gm,Pm,Wcg,Wc] = margin(num,den) Etudier le système en boucle fermée. V. Lieu des racines La méthode consiste à regarder où se trouvent les ôles du système bouclé lorsque l'on fait varier le gain du correcteur roortionnel. Cours d automatique et régulation

120 TP n 3 Simulation d un système de remier et de second ordre Pour afficher le lieu des ôles : rlocus(num,den); Pour réciser une zone sur le lieu des ôles : zeta=.; wo=5; sgrid(zeta,wo) Pour chercher la valeur du gain k ermettant d'obtenir les ôles désirés en boucle fermée [k,oles]=rlocfind(num,den); k oles VI. Exercice Regarder le lieu des ôles our les fonctions de transfert suivantes ( +,5) H ( )= H ( )= H 3( )= + (+ )( +,) (+ )( +,) ( + ) H 4( )= H 5( )= H 6 ( )= (+ )( +,) (+ )( +,) ( ) H7 ( )= ( ) Choisir la valeur à donner au gain our que le système H 7 ait un amortissement de,7 en boucle fermée. Simuler alors la réonse à un échelon du système bouclé. Cours d automatique et régulation 3

121 TP n 4 Simulation de la régulation de vitesse d un moteur INSTITUT SUPERIEUR DES ETUDES TECHNOLOGIQUES DE SFAX Laboratoire d'automatique et régulation TP 4 : Simulation de la régulation de vitesse d un moteur TP 4 Simulation sous Simulink de la régulation de vitesse d un moteur à courant continu Objectif : Etudier la régulation de vitesse d un moteur à courant continu. Etudier la régulation de vitesse d un moteur à courant continu avec un retard. Contenu : Partie : Régulation de vitesse d un moteur à courant continu : Partie : Régulation de vitesse d un moteur à courant continu avec un retard : Système non corrigé. Correction P du système bouclé. Correction du système ar PID classique. Correction avec CTM. Cours d automatique et régulation 4

122 TP n 4 Simulation de la régulation de vitesse d un moteur Partie : Premier exemle Lors de cette remière artie, vous allez étudier la régulation de vitesse d un moteur à courant continu dont la fonction de transfert est : H(,6 ) =,5 + Pour cela, sur la fenêtre SIMULINK, choisissez file et cliquez sur new. Une nouvelle fenêtre aaraît intitulé «untitled». Pour construire votre système, il faut revenir à la fenêtre de base et double cliquez sur le bloc «linear». A l aide de la souris, tirez le bloc «transfer Fcn» et transortez le sur la fenêtre «untitled». Refaites la même oération our les blocs sum et gain. Ensuite reliez les différents blocs entre eux, de référence à l aide du bouton droit de la souris. En fin, vous obtenez la figure suivante : Fermez la fenêtre «linear» et double cliquez sur le bloc «sources» situés dans la fenêtre SIMULINK afin de rendre une entrée de tye échelon (Ste Inut). Par la famille «sinks», renez le bloc «Grah» our visualiser la sortie du système. Pensez à sauvegarder régulièrement votre schéma (File / Save as). Le fichier sera enregistré sous simoteur.m. En fin, vous obtenez la figure suivante : Cours d automatique et régulation 5

123 TP n 4 Simulation de la régulation de vitesse d un moteur Il ne vous reste lus qu à configurer les différents blocs. Ainsi, double cliquez sur le bloc «Transfert Fcn» de votre simulation. La fenêtre suivante aaraît : Vous indiquons au «Numerator» [,6] et our le «Denominator» [,5 ] et validez ar OK. De la même manière, déterminez le gain à et modifiez «sum» en indiquant + -. Ensuite, configurez l échelon en mettant l instant de déart à, la valeur initiale à et la valeur finale à. Enfin, our le bloc «grah», réglez les aramètres de tems de simulation à,5, l amlitude minimale à et l amlitude maximale à. Le schéma aaraît de la manière suivante : Arès avoir réglé les aramètres de simulation, vous démarrez la simulation en auyant sur «start». Relever la courbe et déterminer le gain statique ainsi que l erreur de osition our ce système. Comarer les résultats aux valeurs théoriques. Cours d automatique et régulation 6

124 TP n 4 Simulation de la régulation de vitesse d un moteur Partie Deuxième exemle De nombreux systèmes ossèdent ar nature un retard ur. Il est donc logique d introduire dans leur descrition un retard sous la forme d un terme e -T au numérateur de leur fonction de transfert. I. Système non corrigé Vous allez étudier avec SIMULINK un système à retard ur en boucle ouverte T de la forme : L( ) = gs. e + τ avec T = s, τ = s et gs =.5. Pour faciliter les études suivantes, il est conseillé de lacer la fonction de remier ordre en tête de schéma et le retard ur à la suite. Observer sa réonse en boucle ouverte. Relever la courbe, le gain statique théorique ainsi que l erreur de osition. Cours d automatique et régulation 7

125 TP n 4 Simulation de la régulation de vitesse d un moteur II. Correction P du système bouclé Parmi les différentes méthodologies de régulation direct, Broïda a roosé une solution s auyant directement sur les aramètres de l identification de Strejc. Le tableau suivant résume les valeurs adotées our les différents tyes de régulateurs : Tye de correction P PI PID gr π.τ π. τ 8. τ 4T.gs 4T. gs Tgs. Ti τ τ Td.4 T Mettre en lace une structure de correction roortionnel P. Boucler le système. Relever la courbe ainsi que le gain statique. Insérer ensuite le gain de réglage gr défini ar Broïda. Observer la réonse à l échelon corresondante et indiquer la récision statique du système. Relever ensuite la réonse à une rame et donner l erreur de traînage. Cours d automatique et régulation 8

126 TP n 4 Simulation de la régulation de vitesse d un moteur III. Correction du système ar PID classique Mettre en lace une structure de correction PI classique uis PID. Dans chaque cas, régler les coefficients suivant Broïda. Dans chacun des cas, observer la réonse à l échelon, déterminer l erreur de osition ainsi que la valeur du déassement. Conclure sur les différentes corrections aortées. IV. Correction avec CTM Dans un système résentant un retard ur, la réaction de la sortie se fait toujours avec retard ar raort à l établissement de l entrée. L asservissement se faisant ar comaraison entre la sortie et la consigne, il aaraît donc un écart «systématique» lors des transitoires de l entrée. Pour ne as envoyer de commande directe au système, on utilise un Comensateur de Tems Mort (CTM) dont le rôle est d emêcher la réaction instantanée du comarateur lors d un changement de consigne. Une des structures ossibles est celle du rédicteur de Smith qui conduit à l exression our le comensateur : T e CTM( ) = gs. + τ Avec cette technique, il est ossible de faire intervenir un correcteur PI ou PID classique de façon satisfaisante. C est comme si le retard était rejeté en dehors de la boucle de régulation. Mettre en lace la structure de comensation de tye CTM comme le montre la figure ci-dessous. La correction étant ramenée à celle d un système du remier ordre, seuls les correcteurs P et PI sont à envisager. Cours d automatique et régulation 9

127 TP n 4 Simulation de la régulation de vitesse d un moteur Utiliser une correction P seule. Observer la réonse et la comarer lorsqu il n y a as la correction CTM. Pour le régulateur PI, observer les réonses du système our différentes valeurs de gr. Comarer avec la correction PID du aragrahe récédent. Conclusions Cours d automatique et régulation

128 TP n 4 Simulation de la régulation de vitesse d un moteur Cours d automatique et régulation

129 TP n 4 Simulation de la régulation de vitesse d un moteur Cours d automatique et régulation

130 Annexe Cours d automatique et régulation 3

131 Annexe Annexe Lieu de Bode Cours d automatique et régulation 4

132 Annexe Lieu de Nyquist Cours d automatique et régulation 5

133 Annexe Lieu de Black Nichol's Cours d automatique et régulation 6

134 Annexe Déassement D m en fonction du coefficient d'amortissement z Cours d automatique et régulation 7

135 Annexe Tems de réonse réduit en fonction du facteur d'amortissement Cours d automatique et régulation 8

136 Bibliograhie Cours d automatique et régulation 9

137 Bibliograhie Bibliograhie [] B. Bergeon, AUTOMATIQUE : Systèmes linéaires analogiques, IUT Bordeaux, GEII, setembre 7. [] Frédéric Gouaisbaut, Automatique des systèmes linéaires, Université Paul Sabatier, Laboratoire d Analyse et d Architecture des Systèmes, 7. [3] Anne Johannet et Daniel Die, Cours d Automatique de remière année, Ecole des mines d Alès, 5. [4] Michel ETIQUE, Régulation automatique (REG), Haute Ecole d Ingénierie et de Gestion du canton de Vaud (HEIG-Vd), Déartement d électricité et d informatique Filière Génie Electrique, octobre 5. [5] Eric Magarotto, Cours de Régulation, Université de Caen, Déartement Génie Chimique et Procédés, Version setembre 4. [6] Jean-Marc Allenbach, Systèmes asservis, Volume : Asservissements linéaires classiques, Ecole d Ingénieurs de Genève, Laboratoire d Automatique, N 3, Edition 4. [7] Eric Ostertag, Systèmes et asservissements continus : Modélisation, analyse, synthèse des lois de commande, Ellises / Editions marketing S.A. 4, ISBN [8] Jean Yves Fabert, Automatismes et automatique, Ellises / Editions marketing S.A. 3, ISBN [9] Yves Granjon, Automatique : Systèmes linéaires, non linéaires, à tems continu, à tems discret, rerésentation d'état, Dunod, Paris 3, ISBN 78. [] Dominique Jacob, Régulation PID en génie électrique, Ellises / Editions marketing S.A., ISBN [] M. Ksouri et P. Borne, Systèmes asservis linéaires continus : Cours et exercices résolus, Centre de ublication universitaire,. [] Jean Pierre Caron, Jean Paul Hautier et Pierre Jean Barre, Systèmes automatiques, Tome 3, Ellises / Editions marketing S.A. 997, ISBN [3] Philie de Larminat, Automatique : Commande des systèmes linéaires, Editions Hermès 996, ISBN [4] El Kébir Boukas, Systèmes asservis, Editions de l'école olytechnique de Montréal, 995, ISBN Cours d automatique et régulation 3

138 Bibliograhie [5] Gérard Blanchet et Jacques Prado, Eléments d'automatiques, Ellises / Editions marketing S.A. 995, ISBN [6] Maurice Rivoire, Jean Louis Ferrier et Jean Groleau, Exercices d'automatiques : Signaux et systèmes, Edition Chihab Eyrolles 994. [7] C. Sermondade et A, Toussaint, Régulation : Identifications, stabilité, réglage, Tome, Editions Nathan, Paris 994, ISBN [8] P. Borne, G. Dauhin Tanguy, J. P. Richard, F. Rotella et I. Zambettakis, Analyse et régulation des rocessus industriels, Editions Techni, Paris 993, ISBN [9] Marek Zelazny, Fouad Giri et Taїeb Bennani, Systèmes asservis : Commande et régulation, Tome, Editions Eyrolles 993, ISBN [] Jean Charles Gille, Théorie et calcul des asservissements linéaires, Dunod, Paris 99, ISBN [] J. J. stefano, A. R. Stubberud et I. J. Williams, Systèmes asservis : Cours et Problèmes, Mc Graw-Hille, Paris 99, ISBN [] Joseh J. Distefano, Allen R. Stubberud et Ivan J. Williams, Systèmes asservis : Cours et roblèmes, Série Schaum, McGraw Hill Inc, ISBN : , ème édition, Paris 99. [3] Michel Gondran, Informatique et asservissement, Editions Gasteilla, Paris 989. [4] Patrick Siarry, Automatique de Base, Ellises / Editions marketing S.A. 989, ISBN [5] Pierre Faurre et Maurice Allègre, Eléments d'automatiques, Dunod, Paris 984, ISBN Cours d automatique et régulation 3

139 Ce cours d'automatique et de régulation traite les systèmes asservis, linéaires, invariants, continus et monovariables. Il s'articule autour de trois grands thèmes : les ré requis mathématiques, l étude des systèmes et l'analyse de leurs erformances et, enfin, la synthèse de correcteurs our améliorer ces erformances. Chaque chaitre est enrichi ar une série d exercices. De lus, des roblèmes traitant l asservissement et la régulation des systèmes industriels sont roosés à la fin du cours. Enfin, Cette note englobe des travaux ratiques à câbler sur simulateurs réels et logiciels (Matlab/Simulink). Ce manuel est destiné en riorité aux étudiants de er cycle qui abordent l'automatique (des instituts d enseignement suérieur et des classes réaratoires), aux enseignants qui veulent disoser d'un suort de cours et aux ingénieurs désireux de mettre à jour leurs connaissances.