MATHÉMATIQUES II. Nota : les trois parties du problème peuvent être abordées indépendamment. Partie I - Propriétés de la transformée de Legendre

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1 MATHÉMATIQUES II Noa : les rois paries du problème peuve êre abordées idépedamme Parie I - Propriéés de la rasformée de Legedre Das oue la parie I -, I désige u iervalle de IR e f ue focio à valeurs réelles, défiie sur I O oe J( f) l esemble des réels p els que la focio défiie sur I par xa ( px f( x) ) soi majorée ; si J( f), o défii la focio g sur J( f) par : p J( f), g( p) = sup ( px f ( x) ) I La focio g es appelée la rasformée de Legedre de f ; o oe g = L( f ) IA - Exemples Calculer la rasformée de Legedre g = L( f ) (e précisa l esemble J( f) ) e racer le graphe de g, das les cas suivas : IA1) f( x) kx 2 * = ( k IR + ) ; I = IR IA2) f( x) = e x ; I = IR IA3) f( x) = arca( x) ; I = IR IB - Eude géérale Soi f ue focio réelle défiie sur u iervalle I O suppose que J( f) es o vide IB1) Morer que J( f) es u iervalle : o morera que, si a e b so das J( f), alors pour ou [ 01, ], a + ( 1 )b apparie à J( f) IB2) Morer que g = L( f ) es covexe sur J( f), c es-à-dire : ( ab, ) J( f) J( f), [ 01, ], ga ( + ( 1 )b) g( a) + ( 1 )gb ( ) IB3) Que peu-o dire de la moooie de g = L( f ) das les cas suivas : a) b) I IR + I IR - IC - Éude d u cas pariculier Soi f ue focio de classe C 2 sur l iervalle I, elle que : I, f ( x) > 0 Cocours Cerale-Supélec /5

2 O sai que f ( I) es u iervalle ; o oe α e β ses exrémiés e l o suppose α< β (o peu avoir α = - ou β = + ) IC1) Morer que J( f) coie l iervalle ouver ]α, β [ e doer l expressio de g sur ]α, β [ e focio de f e f (focio réciproque de la focio f ) Pour p ]α, β [, o oe x( p) l uique poi de I el que : g( p) = px( p) f( x( p) ) IC2) Pour p ]α, β [, calculer g ( p) au moye de x( p) IC3) Morer que, p ]α, β [, la droie D p d équaio y = px g( p) es agee au graphe de la focio f IC4) Soi H = { h C 2 ( IR, IR) ( x IR h ( x) > 0) e h ( IR) = IR} Morer que: a) L ( H ) H b) h H, L ( L( h) ) = h c) es ue bijecio de sur L H H Parie II - Gééralisaio aux focios de plusieurs variables Soi IN * E désige l espace vecoriel euclidie IR mui du produi scalaire caoique x, y = x i y i ; x 1 x si x = ( x 1,, x ) E, o oe X le veceur coloe associé X 2 = M Aisi, si Y es le veceur coloe associé à y E, x, y = X Y Soi f ue applicaio de E das IR, elle que, pour ou p E, l applicaio de E das IR défiie par xa p, x f( x), soi majorée ; o défii alors la rasformée de Legedre de f, oée L( f ), comme éa l applicaio de E das IR défiie par L( f ) : p a sup ( p, x f( x) ) E Cocours Cerale-Supélec /5 x

3 Das la suie de cee parie II, f es défiie par f( x) = XAX, où A es ue marice carrée réelle d ordre, symérique e do oues les valeurs propres so sriceme posiives II1) Soi p E fixé O pose F( x) = p, x f( x) Démorer qu il exise ue base B e i i de elle que : si x = y i e i, o a F( x) = F 1 ( y 1,, y ) = 2 ( q i y i λ i y i ) où les q i e les λ i so des réels à déermier Morer que la focio F es majorée sur E e aei sa bore supérieure O e dédui e pariculier que la rasformée de Legedre de f es bie défiie II2) Calculer g = L( f ), la rasformée de Legedre de f e morer qu il exise ue marice carrée réelle symérique B, d ordre, qu o exprimera e focio de A elle que p E, g( p) = PBP, où P es le veceur coloe associé à p Calculer la focio h = L ( L( f )) II3) * a) Morer que p E, IR +, f( p) = 2 f( p), b) Morer que : f p E, p i ( p) = 2 f( p) p 1 = 1 i Idicaio : o pourra calculer la dérivée de la focio a f( p) II4) E uilisa la quesio II3-b), déermier pour ou p E, u veceur x( p) E el que g( p) = f( x( p) ) Idicaio : o pourra uiliser ξ E el que ( grad F) ( ξ) = 0 Parie III - Problème d opimisaio E désige l espace vecoriel euclidie IR ( IN* ) mui du produi scalaire caoique, oé, e de la orme associée, oée Si E, o oe X le veceur coloe associé e par exesio X = x = XX Soi p u veceur doé de E, A ue marice carrée réelle d ordre, symérique e aya oues ses valeurs propres posiives ou ulles Cocours Cerale-Supélec /5

4 O oe F l applicaio de E das IR défiie par : F( x) = p, x X AX = P X XAX Ue parie C de E es die covexe si : ( x, y) C 2, [ 01, ], x + ( 1 )y C Soi C ue parie fermée, o vide, covexe, de E Lorsque F es majorée sur C, o s iéresse à M, esemble éveuelleme vide des pois de C où l applicaio F resreie à C aei sa bore supérieure : M = { C F( x) = sup F( y)} y C IIIA - Covexié de M IIIA1) Soi x 1 e x 2 deux pois de C e pour [ 01, ], x = x 1 + ( 1 )x 2 Morer que : F( x) = ( 1 )F( x 2 ) + F( x 1 ) + ( 1 ) ( X 1 X 2 ) A( X 1 X 2 ) IIIA2) O suppose M o vide Morer que M es covexe IIIB - Cas pariculier Das cee seule quesio IIIB, o suppose de plus que oues les valeurs propres de A so sriceme posiives IIIB1) Démorer qu il exise u ombre k > 0 el que : E XAX k X X IIIB2) Morer que M es o vide IIIB3) Morer que M e coie qu u éléme IIIC - Ue caracérisaio des pois de M IIIC1) Avec les mêmes oaios qu au IIIA1, morer que : F( x) F( x 2 ) 2 = ( X 1 X 2 ) A( X 1 X 2 ) + ( P 2 AX 2 )( X 1 X 2 ) IIIC2) Morer l équivalece : M C e y C, ( P 2 AX) ( Y X) 0 Doer l ierpréaio de la caracérisaio rouvée au moye du gradie de F au poi x IIID - Cas où C es boré Das cee quesio IIID, o suppose de plus que l esemble C es boré, coeu das la boule fermée de cere O e rayo R Cocours Cerale-Supélec /5

5 IIID1) Démorer que M es o vide Trouver u exemple avec F o ideiqueme ulle où M a ue ifiié d élémes IIID2) Démorer qu il exise u réel α el que : E, AX α X IIID3) Soi r u ombre réel sriceme posiif el que : r > sup{ 6αR 2, 2R( p + 2αR) } (où α es défii au IIID2) O se propose de cosruire par récurrece des suies ( u m ), ( v m ) de pois de C e ue suie réelle ( m ) elles que si U m (resp V m ) es le veceur coloe associé à u m (resp v m ), o a pour ou m IN : i) C, ( 2 AU m P)V m ( 2 AU m P)X ; 1 ii) m = -- ( P 2 AU ; r m )( V m U m ) iii) u m + 1 = u m + m ( v m u m ) O suppose doé m IN e u m C a) Morer l exisece de v m C vérifia la relaio i) b) Morer que m défii par la relaio ii) es das l iervalle [ 01, ] c) Morer que défii par la relaio iii) es das u m + 1 C Déduire des quesios a), b) e c) que pour ou u 0 C, les relaios i), ii) e iii) permee de défiir les suies ( u m ), ( v m ) e ( m ) IIID4) Morer que, si ( u m ) es la suie défiie à la quesio IIID3), la suie ( Fu ( m )) es croissae e covergee Morer qu il exise ue suie exraie de la suie ( u m ) qui coverge vers u éléme de M FIN Cocours Cerale-Supélec /5