Estimation composite par régression pour l Enquête sur la population active du Canada avec plan de sondage à renouvellement de panel

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1 Techniques d enquêe, juin Vol. 7, N o, pp Saisique Canada, N o 00 au caalogue Esimaion composie par régression pour l Enquêe sur la populaion acive du Canada avec plan de sondage à renouvellemen de panel Avinash C. Singh, Brian Kennedy e Shiying Wu Résumé Nous considérons l esimaion composie par régression inroduie par Singh (994, 996), qui a éé appelée au débu «esimaion composie par régression modifiée» e don une version (proposée par Fuller 999) es appliquée à l Enquêe sur la populaion acive du Canada (EPAC) depuis janvier 000. L esimaeur par régression composie (rc) compore plusieurs amélioraions comparaivemen à l esimaeur par régression généralisée (gr) e l esimaeur composie ak bien connu de Gurney Daly. Les caracérisiques principales de l esimaeur rc son les suivanes : a) il augmene considérablemen l efficacié de l esimaion du niveau e de la variaion pour les variables éudiées imporanes, ce qui produi des séries d esimaions moins insables; b) comme l esimaeur gr, il es calculé de la même façon qu un esimaeur par calage, de sore que soien saisfaies les valeurs de conrôle uilisées habiuellemen pour la sraificaion a poseriori dans gr, ainsi que les nouvelles valeurs de conrôle qui corresponden aux variables corrélées provenan de la période d observaion précédene; c) il mainien la cohérence inerne des esimaeurs sans qu il soi nécessaire de calculer les esimaions parielles par différence. Les innovaions les plus imporanes qui caracérisen la classe des esimaeurs rc consise à : a) uiliser des marices de covariances de ravail pour esimer les foncions au lieu de recourir à la modélisaion d une superpopulaion pour définir les coefficiens de régression des prédiceurs inclus dans l esimaeur gr, b) raier les conrôles aléaoires (ceux fondés sur les variables corrélées imporanes des périodes anérieures) comme éan des consanes, ou en calculan les coefficiens de régression de la même façon que pour l esimaion à deux phases e comme éan jusifiés par le concep de la marice de covariances de ravail e c) se fonder sur le micro appariemen pour obenir des données auxiliaires de même niveau que les esimaions anérieures pour obenir une plus fore corrélaion avec les variables éudiées à la période courane. Secondairemen, nous recommandons d uiliser une nouvelle version de l esimaeur ak qui s appuie sur le macro appariemen basé sur les prédiceurs des périodes anérieures pluô que sur les microdonnées classiques afin d augmener les gains d efficacié. L aricle présene aussi une jusificaion heurisique inéressane de la caracérisique de lissage des esimaions composies fondées sur le concep de l amorissemen. Enfin, nous présenons les résulas empiriques de la comparaison de divers esimaeurs basée sur les données de l EPAC de 996 pour l Onario. Mos clés : Régression généralisée; régression modifiée; foncions d esimaion; calage par régression.. Inroducion Dans le cas des enquêes répéées avec chevauchemen pariel des échanillons, il es bien connu (voir, par exemple Cochran 977, chapîre ) que l on peu améliorer les esimaions poncuelles du niveau pour une période e de la variaion enre deux périodes par régression de l esimaeur ransversal ordinaire (habiuellemen, esimaeur de régression ou simplemen esimaeur d Horviz Thompson) sur les nouveaux prédiceurs fournis par les observaions corrélées faies sur le sous échanillon chevauchan de la période précédene. Ces méhodes d esimaion renren dans la caégorie de l esimaion composie don une version simple, appelée esimaeur composie k, a éé proposée il y a quelque emps par Hansen, Hurwiz e Madow (953) e éudiée plus en déail par Rao e Graham (964), Binder e Hidiroglou (988), quan à eux, fon une excellene revue des aricles qui raien de l esimaion dans le cas d enquêes répéées. Il convien de souligner que l agrégaion des esimaions sur plusieurs périodes cause une pere d efficacié, à cause de la plus fore corrélaion posiive enre les esimaions composies poncuelles successives. Néanmoins, il s agi probablemen d un faible prix à payer, car ce n es pas la précision de l agréga, mais celle des esimaions du niveau e de la variaion qu il fau améliorer. L esimaeur composie ak de Gurney e Daly (965) es une version améliorée de l esimaeur composie k obenue grâce à une réducion supplémenaire de la variance e pour laquelle une aure jusificaion plus simple a éé fournie par Woler (979). L esimaeur composie considéré ici a éé développé dans le conexe de l Enquêe sur la populaion acive du Canada (EPAC). Cee dernière es une enquêe mensuelle fondée sur un plan de sondage avec renouvellemen de panel e compan six panels. Pendan deux mois consécuifs, cinq sixième des ménages sélecionnés formen l échanillon chevauchan. C es en janvier 000 que l on a commencé à appliquer aux données de l EPAC une version (proposée par Fuller 999) des esimaeurs composies inroduis par Singh (994, 996) e appelés au dépar esimaeurs «composies par régression modifiée», que nous dénommerons ici simplemen esimaeurs «composies par régression» ou esimaeurs rc. Avan janvier 000, on uilisai pour l EPAC les esimaeurs par régression. Avinash C. Singh e Shiying Wu, Saisical Research Division, Research Triangle Insiue, Research Triangle Park, N.C , Éas Unis; Brian Kennedy, Saisique Canada, Oawa (Onario), Canada, KA 0T6.

2 36 Singh, Kennedy e Wu : Esimaion composie par régression pour l Enquêe sur la populaion acive du Canada généralisée (gr) de Cassel, Särndal e Wreman (976) e de Särndal (980), qui se fondaien uniquemen sur des données ransversales (c es à dire, du mois couran). On pensai depuis longemps qu il serai possible d améliorer l esimaeur de l EPAC en exploian le concep de l esimaion composie, en ce sens que les esimaions du niveau e de la variaion seraien plus efficaces e, par conséquen, que les séries résulanes seraien plus sables, auremen di, moins volailes ou insables. Les quare objecifs de la ransformaion de l esimaeur gr pour passer à l esimaeur rc son les suivans : i) le nouvel esimaeur devrai augmener considérablemen l efficacié de l esimaion du niveau e de la variaion, de sore que la série d esimaions devienne plus lisse e moins insable; ii) on devrai pouvoir le calculer comme un esimaeur par calage comparable à l esimaeur gr, de sore qu on puisse se servir des logiciels d esimaion exisans en n y apporan que peu de modificaions; iii) les poids calés finals devraien coninuer de saisfaire les valeurs des variables démographiques e géographiques de conrôle uilisées habiuellemen dans l esimaeur gr e saisfaire aussi les nouveaux conrôles fondés sur les variables du mois précéden; iv) l esimaeur devrai avoir la propriéé de cohérence inerne voulan que la somme des esimaions composies parielles soi égale à l ensemble; par exemple, la somme des esimaions du nombre de personnes occupées (E), de chômeurs (U) e de personnes ne faisan pas parie de la populaion acive (N) devrai êre égale au oal de la populaion admissible dans le domaine observé. Kumar e Lee (983) on éudié l esimaeur ak dans le conexe de l EPAC e consaé qu il ne produisai pas les gains d efficacié prévus par l objecif (i). Ils savaien naurellemen que les esimaeurs ak ne saisfaisaien pas l objecif (iv) car les coefficiens «opimaux» a e k uilisés pour combiner plusieurs esimaeurs du mois couran (en fai rois d enre eux, à savoir l esimaeur ordinaire fondé sur le mois couran e deux aures basés sur des prédiceurs provenan du mois précéden) s avèren pariculiers à la variable, comme E. Une soluion (quoiqu insaisfaisane) consise à désigner l une des composanes comme éan moins imporane (disons N), puis de l esimer par différence. Par conre, les objecifs (ii) e (iii) peuven êre aeins par la pondéraion composie ak proposée par Fuller (990) e éudiée dans le conexe de la Curren Populaion Survey des Éas Unis par Len, Miller, e Canwell (994, 996). L objecif (ii) es imporan, surou pour des variables éudiées non prévues pour lesquelles les coefficiens (a, k) ne son pas connus d avance. L esimaeur rc perme d aeindre les quare objecifs, en pariculier les objecifs (i) e (iv), grâce aux rois innovaions qui suiven. i) On peu inégrer l esimaion basée sur le plan de sondage en présence de variables prédicives corrélées dans un cadre de foncions d esimaion el que celui défini par Godambe e Thompson (989), puis exploier l idée d une marice de covariances de ravail, comme celle avancée par Liang e Zeger (986), pour obenir une aure soluion que la modélisaion de la superpopulaion pour calculer les coefficiens de régression. Comme dans le cas de la régression généralisée gr, les esimaions par régression résulanes ne son sousopimales que dans le cas de la randomisaion du plan de sondage. ii) On peu raier les esimaions composies calculées d après l échanillon comple du mois précéden e uilisées comme conrôles de la régression pour obenir l esimaion du mois couran comme des consanes en se servan du concep de la covariance de ravail pour simplifier les calculs ou en respecan la propriéé de cohérence du plan de sondage. Pour esimer la variance, il fau évidemmen pouvoir enir compe de la variaion supplémenaire due aux conrôles aléaoires. iii) Par micro appariemen du sous échanillon chevauchan du mois couran avec l échanillon du mois précéden, à parir des données provenan du mois précéden on augmene l informaion sur les variables éudiées imporanes le mois couran. Ces variables serven alors de covariables supplémenaires qui devraien êre foremen corrélées à la variable éudiée du mois couran. Ces innovaions permeen de calculer oues les esimaions en se servan du sysème de régression généralisée gr, donc de ne pas devoir calculer cerains élémens des esimaions par différence afin d assurer la cohérence inerne. Le micro appariemen perme de réaliser les gains d efficacié souhaiés. En praique, il arrive souven que cerains répondans du mois couran compris dans l échanillon chevauchan aien éé des non répondans le mois précéden e qu une impuaion soi donc nécessaire. Dans le cas de l EPAC, ces cas ne représenen qu une faible fracion de l échanillon e l on recour pour remplacer les valeurs manquanes à la méhode ho deck avec des caégories de donneurs définies selon les caracérisiques démographiques e géographiques (régions économiques infraprovinciales), le ype de région (rurale/urbaine), la siuaion d emploi duran le mois couran e le groupe de branches d acivié. Il convien de souligner que, parfois, l impuaion es nécessaire non pas parce qu il n y a pas eu de réponse à la période précédene, mais parce que le ménage a déménagé. Si l on suppose que le nombre moyen de ménages qui déménagen pour s insaller dans des logemens échanillonnés à la période courane es comparable Saisique Canada, N o 00 au caalogue

3 Techniques d enquêe, juin au nombre moyen de ménages qui déménagen hors de ces logemens à la période, alors, même si les personnes qui on déménagé on d aures caracérisiques d emploi que celles qui n on pas déménagé, l impuaion de données pour les personnes qui on déménagé ne devrai, en principe, inroduire aucun nouveau biais, puisque l on ien compe de la siuaion d emploi duran le mois couran pour les aures covariables. Dans nos conclusions, à la secion 6, nous proposons une méhode pour diagnosiquer l effe de cee impuaion. Ce effe peu êre imporan dans le cas d enquêes où la fracion de valeurs qui manquaien à la période précédene es imporane pour les répondans du mois couran qui fon parie de l échanillon chevauchan. Un moyen simple de résoudre ce problème consiserai à remanier le quesionnaire de sore que l applicaion informaique d ITAO (inerview éléphonique assisée par ordinaeur, uilisée courammen de nos jours) indique à l inervieweur, lorsqu il procède à l inerview le deuxième mois ou les mois suivans, si le répondan avai répondu ou non le mois précéden. Dans la négaive, l inervieweur poserai alors quelques quesions supplémenaires afin de déerminer la siuaion d emploi du répondan le mois précéden. Cee soluion es comparable à la méhode proposée par Hansen Hurwiz Madow pour des enquêes répéées avec échanillons enièremen non chevauchans, où des quesions son posées à chaque répondan concernan la période courane e la période précédene (voir Cochran 977, page 355). Le plan de l aricle es le suivan. À la secion, nous présenons une jusificaion heurisique de l uilisaion du concep d amorissemen pour expliquer pourquoi on s aend en général à ce que l esimaion composie produise le lissage souhaié de la série d esimaions. À la secion 3, nous définissons divers esimaeurs e décrivons leur calcul au moyen du sysème de répression généralisée gr. Nous proposons aussi une nouvelle version de l esimaeur ak, représenée par ak. Ce esimaeur comprend des prédiceurs provenan du mois précéden obenus par micro appariemen e devrai, en principe, permere de réaliser des gains d efficacié imporans. À la secion 4, nous considérons l esimaion de la variance selon la méhode du jackknife uilisée à l heure acuelle. À la secion 5, nous présenons une comparaison empirique des esimaeurs fondée sur des données de l EPAC de 996 pour l Onario. Enfin, nous présenons nos conclusions à la secion 6.. Lissage des séries par esimaion composie : Jusificaion heurisique Nous présenons ici une jusificaion heurisique inéressane (fondée sur le concep d amorissemen pluô que sur le concep de réducion) du fai que l on s aende à ce que l esimaion composie produise un lissage de la série d esimaions. (Si l on s appuie uniquemen sur le concep de réducion, la série sera lissée, mais ne recoupera pas assez souven la série originale. Par conre, en appliquan le concep d amorissemen, on rend compe graduellemen au cours du emps de la parie resane après la réducion, ce qui perme le recoupemen plus fréquen de la série lissée e de la série originale.) Considérons un plan de sondage avec renouvellemen de panel comparable à celui de l EPAC e représenons par γ la fracion des panels reirée de l échanillon; dans le cas de l EPAC, γ es égal à /6. Représenons l esimaeur ransversal (classiquemen, gr) à la période fondé sur ous les panels (c es à dire l échanillon comple) par F, l esimaeur fondé sur le nouveau panel uniquemen (c es à dire le panel ajoué à l échanillon) par B, e celui fondé sur les panels déjà exisans (c es à dire le sous échanillon qui, à la période chevauche l échanillon de la période précédene ) B. Pareillemen, représenons l esimaeur fondé uniquemen sur le panel supprimé (c es à dire reiré de l échanillon) par D, e celui fondé sur les panels non supprimés (c es à dire le sous échanillon qui, à la période, chevauche l échanillon de la période courane ) par D. Nous obenons F = γ B + ( γ ) B (.a) F = γ D + ( γ ) D. (.b) { F Supposons que la série } es rop insable e que nous voulons la lisser. Dans la suie, nous supposons qu aucun biais n es inrodui par le groupe de renouvellemen (Bailar 975), c es à dire que la valeur prévue es la même pour divers groupes de renouvel lemen. Donc, F es non biaisé, mais peu êre insable. Il s agi là des condiions classiques de l esimaion composie pour laquelle diverses esimaions non biaisés son combinées de façon opimale pour obenir une esimaion plus efficace. Pour une aure perspecive sur l esimaion composie en cas de biais dû au groupe de renouvellemen, consuler la discussion à la fin de la présene secion. Mainenan, représenons la série lissée par { }, C e considérons l idenié : F = C + ( F F ) + ( F C ). (.) Nous pouvons inerpréer la relaion qui précède comme sui. L esimaion C à la période es corrigée en enan compe de la flucuaion ( F F ) à la période dans la série F e de l écar exisan ( F C ) à la période. Si nous définissons C après les rajusemens comples pour ces deux différences, C sera idenique à F e il n y aura aucun lissage de la série F. Ces résulas laissen enendre qu on ne devrai expliquer que pariellemen les rajusemens pour les différences ( F F ) e ( F C ) lorsque la série C passe de C à C. Les paries resanes des différences devraien êre amories graduellemen sur les périodes fuures. Tous ces rajusemens devraien êre effecués en s assuran que Saisique Canada, N o 00 au caalogue

4 38 Singh, Kennedy e Wu : Esimaion composie par régression pour l Enquêe sur la populaion acive du Canada l esimaeur C. demeure non biaisé. L espérance de la différence ( F C ) es nulle si l on suppose que C e F ne son pas biaisés (ce qui es le cas si l on suppose qu il n exise aucun biais dû au groupe de renouvellemen) e, par conséquen, leur amorissemen pariel n aura pas d influence sur l absence de biais des fuures esimaions C. Cependan, en réalié, l espérance de la différence F F n es pas nulle e il convien d êre pruden lors de l amorissemen d une de ses paries. Noons que F F = ( B D ) + γ ( B B ) + γ ( D D ). (.3) Le premier erme du deuxième membre de l équaion es l esimaion de la variaion fondée sur les panels communs, andis que les deuxième e roisième représenen l effe du panel ajoué e du panel reiré aux périodes e, respecivemen. Les deux derniers ermes son des foncions nulles (c es à dire que leur espérance es nulle), mais le premier ne l es pas (heureusemen, ce premier erme devrai êre sable, car il s agi de la différence enre deux esimaions foremen corrélées). Par conséquen, ce son les deuxième e roisième ermes qui doiven êre amoris. Mainenan, écrivons l équaion (.) sous la forme F = C + ( B D ) + γ( B B ) + [ γ( D D ) + ( F C )] = C + ( B D ) + γ( B B ) + [( D F ) + ( F C )] = C + ( B D ) + γ( B B ) + ( D C ) (.4) e définissons deux faceurs d amorissemen δ, δ don la valeur es comprise enre 0 e, puis définissons la série lissée { C } comme éan C = C + ( B D ) + δ γ ( B B ) + δ ( D C ). (.5) Le erme qui conien δ dans l équaion (.5) représene la réducion de l effe du nouveau panel à la période don C essaye de rendre compe, andis que le erme qui conien δ se rappore approximaivemen à la réducion de l effe du panel de la période précédene ( ) que C essaye de compenser à la période. En oure, il serai souhaiable de poser δ < δ pour que la série { C } suive mieux la série { F }, de sore qu elles soien caracérisées oues deux par une même endance au cours du emps, ce qui revien à accorder plus d imporance à l effe du nouveau panel à la période courane qu à celui du panel de la période précédene qui a éé supprimé. (En fai, une jusificaion rigoureuse, dans des condiions assez générales, de la conraine δ < δ provien de considéraions d opimalié en veru desquelles la variance de C es réduie au minimum pour obenir la meilleure combinaison linéaire possible des rois esimaeurs non biaisés, F, C + B D, e F + C D du oal de populaion du mois couran; voir l équaion (.8) à la fin de la présene secion pour l expression réelle). Mainenan, pour monrer le lien avec l esimaion composie bien connue définie à la secion suivane, posons 0 < a, b <, de sore que δ = b, δ = b a. Nous avons C = C + ( B D ) + ( b ) γ ( B B ) + ( b a )( D C ). (.6) Il es inéressan de noer que si b = 0, il n y aura aucun amenuisemen de l effe dû au nouveau panel e la série C se rapprochera, en principe, de la série F, c es à dire que le lissage sera moins imporan e que les deux séries se recouperon plus souven. Si a = 0, l effe dû au panel de la période précédene qui a éé supprimé, représené par ( D C ), es moins amori. Auremen di, la série F sera lissée plus foremen e, en principe, les deux séries se recouperon moins fréquemmen. Enfin, si a, b < 0, le comporemen de la série C par rappor à la série F sera compris enre les deux comporemens susmenionnés. Qui plus es, si la valeur de b es grande (proche de ), le lissage de la série F sera assez prononcé, car les effes du nouveau panel e du panel supprimé seron ous deux foremen amoris. Dans ces siuaions, on s aendrai à observer des écars prolongés enre les séries F e C au cours du emps avan qu elles ne se recoupen. On noera que les paries du erme γ ( B B ) qui son amories sur les périodes, +,... diminuen à mesure que augmene. Elles son données par b γ ( B B ), ( b + + a+ ) b γ ( B B ),.... Pareillemen, les paries amories de ( D son C ) ( b + a ) ( D C ), ( b + a ) ( b a ) ( D C ), De oue évidence, si b es grand, l amorissemen comple prend plusieurs périodes. Cependan, comme on l a expliqué plus hau, cee siuaion n inroduira pas de biais, car les effes amoris son des foncions nulles si l on suppose qu il n y a pas de biais dû au groupe de renouvellemen. L expression (.6) peu êre écrie sous une forme plus connue de l esimaeur composie, comme sui : C = C + ( B D ) + ( b ) ( F B ) + ( b ) ( D C ) + a ( C D ) (.7a) = C + ( B D ) + ( b ) ( F B + D C ) + a ( C D ) (.7b) = F + b [ C ( F + D B )] + a ( C D ) (.7c) = F + ( b + a ) ( C D + B F ) + a ( F B ). (.7d) L expression (.7d) correspond à l esimaeur ak (voir la secion suivane) si a = a e b + a = k. En praique, on Saisique Canada, N o 00 au caalogue

5 Techniques d enquêe, juin peu déerminer les valeurs de a e b de façon opimale ou sous opimale par régression (voir la secion suivane). En général, les coefficiens de régression parielle a, b saisfon 0 < a < b <, car l esimaeur direc F devrai, en principe, êre plus posiivemen corrélé au prédiceur F + ( D B ), c es à dire D + γ( B B ) qu au prédiceur D ; les deux prédiceurs son des esimaions non biaisées du oal de populaion C à la période précédene. Il découle de (.7c) que l esimaeur C peu êre écri sous forme de combinaison linéaire des rois esimaeurs non biaisés menionnés plus hau e donnés par C = ( b a ) F + b ( C + B D ) + a ( F + C D ). (.8) La jusificaion heurisique qui précède s appuie sur des considéraions de réducion de la variance si l on suppose qu il n y a aucun biais dû au groupe de renouvellemen lorsque l on combine rois esimaeurs non biaisés du oal de populaion à la période. Par conre, l exisence d un biais dû au groupe de renouvellemen inrodui dans les rois esimaeurs un biais don la grandeur e le signe peuven différer selon l esimaeur e, dans ce cas, l esimaion composie rajuse chacun des esimaeurs de sore que la valeur corrigée pour chacun soi égale à une valeur commune donnée par l esimaeur composie (par exemple, dans le cas de deux esimaeurs θ ˆ e θ ˆ de θ, la combinaison linéaire λ θ ˆ ˆ + ( λ) θ peu s écrire sous la forme θ ˆ + λ ( θˆ ˆ θ ) ou θ ˆ + ( λ)( θˆ ˆ θ ), ce qui sousenend que les deux esimaeurs originaux son corrigés de façon appropriée pour qu ils convergen vers une valeur commune). Le poids relaif appliqué lorsque l on combine les rois esimaeurs dépend du crière de variance minimale. Idéalemen, il devrai se fonder sur le crière de l EQM minimale, mais il es difficile de maîriser le biais, car on ne peu l esimer. L esimaeur composie n es manifesemen pas dépourvu de biais e l on peu simplemen spéculer que le biais global de l esimaeur es rédui par le recours à un esimaeur composie. Selon le même raisonnemen si, inversemen, on uilise une régression sous opimale pour créer l esimaeur composie (comme dans l esimaion rc, voir la secion suivane), l effe de l esimaion composie es de rajuser les poids d échanillonnage dans l échanillon comple (qui son généralemen des poids gr) de sore que F ( B D ) e D avec les poids rajusés, devien égal à C ; les valeurs de C serven de nouvelles valeurs de conrôle à l éape du calage. Il s agi là d un aure moyen de rajuser les rois esimaeurs sur une valeur commune, mais, de nouveau, le biais inrodui par l esimaeur composie es inconnu. L exposé des deux perspecives sous lesquelles on peu examiner l esimaion composie présene des poins communs avec l effe double de la sraificaion a poseriori qui rédui à la fois la variance e le biais (de couverure); à ce suje, consuler Singh e Folsom (000). 3. Esimaeurs composies : Nouveaux e anciens Nous commençons par l esimaeur ransversal du oal τ y ( ) à la période défini comme éan l esimaeur par régression généralisée gr, qui es donné par w gr (, k ) τ ( ) = y ( ) w (, k ), (3.) ˆ y (gr) k s( ) = d (, k)[ + x ( ) ( X ( ) ( ) X ( )) ( τ ( ) τ ( ))], (3.) k k x ˆ x où les d(, k ) son les poids de sondage iniiaux corrigés pour la non réponse, xk ( ) es un veceur p de covariables uilisées pour le calage (ou la sraificaion a poseriori), X ( ) es la marice n( ) x p des observaions de x, n( ) es la aille de l échanillon, ( ) es diag ( d(, k)), τ x ( ) es le veceur p connu des conrôles uilisés pour le calage e τ ˆ x ( ) es le veceur correspondan des esimaions avec faceur d exension fondées sur les poids d. Si l on reprend la noaion F, B, e B de la secion précédene, F peu êre considéré comme l esimaeur gr (3.) e B, comme l esimaeur gr fondé sur les panels déjà exisans donnés par B = γ y w k (3.3) ( ) ( ) ( ) k gr (, ), k s où s ( ) es le sous échanillon de la période apparié à l échanillon de la période. L esimaeur B es égalemen un esimaeur gr qui peu êre représené par B y w k k s s k gr gr = γ ( ) (, ), (3.4) ( ) ( ) où la somme es faie sur le sous échanillon défini par le nouveau panel ajoué à la période. L esimaeur composie ak, qui uilise des données de niveau macro de la période précédene pour les nouveaux prédiceurs, peu s écrire C = F + k( C D + B F ) ( ak ) ( ak ) + a ( F B ) = F + ( k a)( C D + B F ) ( ak) + a ( C D ). (3.5) ( ak ) Ici, on obien les coefficiens a, k pour l esimaion du niveau par régression opimale de F sur les deux foncions prédicives nulles, basées sur les données anérieures, à savoir C ( ak) ( F + D B ) e C ( ak ) D. Donc, a e k dépenden du plan d échanillonnage, ainsi que de la variable éudiée y; plus précisémen, ils ne son même pas ideniques pour les esimaions du niveau e de la variaion pour une même variable y. Pour l esimaion de la variaion, c es la régression de F C ( ak ) e non de F que l on calcule de façon opimale sur les prédiceurs. En praique, on esime a, k en exploran par comparimen l inervalle (0, ) afin de rouver les valeurs pour lesquelles la variance Saisique Canada, N o 00 au caalogue

6 40 Singh, Kennedy e Wu : Esimaion composie par régression pour l Enquêe sur la populaion acive du Canada de C es réduie au minimum. Comme nous l avons menionné plus hau, habiuellemen a es plus pei que k. Pour définir les deux nouvelles foncions prédicives nulles susmenionnées en se fondan sur les données anérieures, on commence par former deux esimaeurs de τy ( ) : l un es D, fondé sur les panels de la période conservés (c es à dire le sous échanillon de la période apparié à l échanillon de la période ) e l aure es F + ( D B ) qui es l esimaeur gr à la période, corrigé pour la variaion de à esimée d après l échanillon commun. De oue évidence, si le plan de sondage ne prévoi aucun chevauchemen de panel, les foncions prédicives nulles perden leur significaion e l esimaion composie ne modifie pas F. Pareillemen, si le chevauchemen es comple, B = F e, de nouveau, l esimaion composie n a aucun effe sur F. À première vue, cela paraî conraire à l inuiion, puisque les données de la période précédene ( y ) son corrélées à celles de la période courane ( y ) à cause du chevauchemen de l échanillon. Cependan, le chevauchemen comple se résume, en principe, à recueillir sur y, auprès d un échanillon unique, des données mulidimensionnelles don les élémens corresponden à y à diverses périodes. Selon cee analogie, il n y a aucune possibilié d amélioraion (dans le cadre de référence axée sur le plan de sondage), puisqu il n exise aucun échanillon plus grand pouvan fournir des données supplémenaires. Dans le cas où il n y a aucun chevauchemen, l informaion supplémenaire exise, mais elle n es pas uile, car elle n es pas corrélée. On noera, cependan, qu au premier degré, les UPE (uniés primaires d échanillonnage) de l EPAC resen communes pendan plusieurs années avan d êre supprimées de l échanillon. Par conséquen, les gains d efficacié dus au chevauchemen pariel son réalisés principalemen grâce à la réducion de la composane de la variance liée à l échanillonnage de deuxième degré. De surcroî, soulignons que l esimaeur C ( ak ) se fonde sur des données anérieures de façon unidimensionnelle, puisque, pour la variable éudiée y, on se ser uniquemen de l informaion y provenan de la période précédene. Si l on se ser pour la variable éudiée y de prédiceurs fondés sur plusieurs variables des périodes précédenes, comme y, z,..., alors l esimaion composie devien mulidimensionnelle. Cependan, le choix opimal des coefficiens ( a, k ) pour le cas mulidimensionnel peu êre assez fasidieux. La caégorie d esimaeurs par régression composie (rc) es donnée par C F b ( C D B F ) (rc) = + (rc) (rc) + + a ( C D ) (3.6) (rc) (rc) où C représene l esimaeur (rc) pour la variable éudiée y après que les poids calés à la période ( ) soien de nouveau calés sur les conrôles uilisés pour la sraificaion a poseriori dans le cas de la régression généralisée (gr) à la période. Donc, C (rc) es une esimaion du oal de la populaion à la période pour la variable y à la période. Dans D, l asérisque signifie que ce erme es fondé sur le sous échanillon de la période apparié à l échanillon de la période, mais que l on a uilisé les poids gr à la période, puisque les valeurs de y provenan de la période son augmenées par micro appariemen de façon à ce qu elles corresponden aux valeurs de l échanillon à la période. (À noer que l esimaeur D conien, en général, des valeurs impuées e qu il peu êre enaché d un biais dû à l impuaion. Pour le diagnosic e le rajusemen de ce biais, voir la secion 6.) Les coefficiens b (rc) e a (rc) son calculés de la même façon que pour l esimaeur gr donné par l équaion (3.); des précisions supplémenaires son données plus loin. Ces coefficiens son sous opimaux, conrairemen à ( a, k ). Cependan, comme ( a, k ), ils son pariculiers à y, e, dans le cas de l esimaion mulidimensionnelle, dépenden de l ensemble clé de variables éudiées provenan de la période précédene pour servir de nouveaux conrôles, mais ils peuven êre calculés facilemen puisqu ils son sousopimaux. Donc, dans le cas de l esimaion rc, il es assez facile d inroduire un plus grand nombre de prédiceurs. Les prédiceurs ( C D ) e ( C D + B F ) peuven êre qualifiés, respecivemen, de prédiceur axé sur le niveau e de prédiceur axé sur la variaion comme dans Singh, Kennedy, Wu e Brisebois (997). Il en es ainsi non seulemen parce que le premier es la différence de deux esimaions de niveau e le second, la différence de deux esimaions de la variaion, ( C F ) e ( D B ), mais aussi parce que le premier a endance à augmener foremen l efficacié de l esimaion du niveau comparaivemen au gain que l on peu obenir en présence du second e, pareillemen, que le second augmene considérablemen l efficacié de l esimaion de la variaion comparaivemen à celle que l on peu obenir en présence du premier. Nous pouvons appliquer l uilisaion des microdonnées de la période précédene pour obenir les nouveaux prédiceurs pour l esimaion rc à l esimaeur ak e proposer ainsi un nouvel esimaeur ak * donné par C F ( k a )( C D B F ) = ( ) + ak ( ak ) + + a ( C D ). (3.7) ( ak ) La variable de conrôle C * représene l esimaeur ( ak ) par calage à la période ( ) pour y après que les poids composies ak * soien de nouveau calés sur les variables de conrôle uilisées pour la sraificaion a poseriori par régression généralisée à la période. (Ici les poids Saisique Canada, N o 00 au caalogue

7 Techniques d enquêe, juin 00 4 composies ak * son les mêmes que les poids composies ak de Fuller (990) où les esimaeurs composies pour un ensemble de variables y imporanes serven de conrôles supplémenaires lors de la régression généralisée ordinaire pour obenir un ensemble de poids calés finals. Ceci perme de calculer l esimaeur composie ak comme s il s agissai d un esimaeur par calage.) Les différences principales enre les divers esimaeurs décris plus hau iennen à la définiion des coefficiens de régression (opimaux c. sousopimaux) e à celle des prédiceurs (uilisaion de données anérieures de niveau micro c. macro). On peu obenir les cas spéciaux des esimaeurs composies susmenionnés décris dans Singh, e coll. (997) en n uilisan que l un des deux prédiceurs. Pour C ( ak ), si a = 0 (c es à dire si l on se ser uniquemen d un prédiceur axé sur la variaion), nous obenons l esimaeur composie k bien connu que l on peu qualifier d esimaeur ak dans le présen conexe. Si a = k, c es à dire si l on uilise uniquemen un prédiceur axé sur le niveau, nous obenons un nouvel esimaeur composie C ( ak ) que l on peu appeler esimaeur ak. De la même façon, pour C ( ak ), nous obenons deux nouveaux esimaeurs composies supplémenaires, ak e ak. Pour C (rc), si nous uilisons uniquemen un prédiceur axé sur le niveau, nous obenons l esimaeur rc, appelé précédemmen MR dans Singh e Merkouris (995). Si l on se ser uniquemen de prédiceurs axés sur la variaion, nous obenons l esimaeur rc appelé anérieuremen MR dans Singh, e coll. (997). Comme nous l avons menionné plus hau, l esimaeur rc es calculé comme un esimaeur gr de (3.) e, par conséquen, peu êre exprimé sous la forme τ ˆ y (rc) ( ) = k s( ) yk ( ) wrc (, k ). Nous éendons la marice X ( ) à la marice n( ) ( p + q ), soi X ( ), où q représene le nombre de nouveaux prédiceurs, le faceur signifian que l on se ser de deux prédiceurs, l un axé sur le niveau e l aure sur la variaion. Les oaux de conrôle (aléaoires) C (rc) qui corresponden à l ensemble clé de variables y de la période sélecionnés pour l esimaion composie son raiés comme des consanes (duran le calcul du coefficien de régression) au même ire que les aures conrôles gr (non aléaoires). Mainenan, puisque le prédiceur axé sur le niveau peu êre écri sous la forme = ( γ) ( ) k ( ) gr (, ) k s = ( γ) y ( ) ( ) k k s( ) wgr (, k ) (3.8) k s D y w k la colonne de la marice X ( ) qui correspond à ce prédic eur comprend n( ) valeurs de ( γ) yk ( ) k s( ). De la même façon, le prédiceur axé sur la variaion peu s écrire sous la forme F + D B = yk ( ) + ( γ) ( yk ( ) w ( ) gr (, k ) k s (3.9) yk ( ) k s( ) e la colonne correspondane de la marice X ( ) comprend les n( ) valeurs de yk ( ) + ( γ) ( yk ( ) yk ( )) k s( ). Lorsque la marice X ( ) es définie, on peu se servir du sysème de régression généralisée pour calculer les poids wrc (, k ) par calage comme dans (3.). On noera que l on peu uiliser les poids calés w rc (, k ) pour esimer oues les variables éudiées, mais qu ils ne dépenden expliciemen que de l ensemble clé de variables éudiées choisies comme nouveaux prédiceurs d après les données anérieures corrélées. Noons aussi que, même si on a défini l esimaeur rc donné par l équaion (3.6) comme éan l esimaeur gr corrigé par régression pour enir compe des nouveaux prédiceurs, pour facilier le calcul, il es commode de procéder à un calage par régression généralisée sur les poids de sondage lorsque l on considère simulanémen les anciens e les nouveaux conrôles de calage. De cee façon, le calcul de l esimaeur rc mulidimensionnel diffère peu de celui de l esimaeur rc unidimensionnel. Auremen, on pourrai calculer l esimaeur rc sous forme d esimaeur corrigé par régression généralisée comme dans (3.6), mais les coefficiens des nouveaux prédiceurs seraien des coefficiens de régression parielle e, par conséquen, n auraien pas la forme ype des coefficiens de régression généralisée. Enfin, nous consaons que, dans le cas de l esimaion composie, on s aendrai à observer des gains d efficacié plus imporans pour les esimaions de la variaion ( C C vs. F F ) que pour les esimaions du niveau ( C vs. F ). Pour monrer ceci, considérons une idenié simple : V ( F F ) = V ( F ) + V ( F ) Cov( F, F ). Typiquemen, V ( F ) V ( F ) = σ gr (disons), alors l équaion qui précède peu êre réduie à V ( F F ) σgr( ρ gr ). Pareillemen, V ( C C ) σrc ( ρ rc ). Donc, l efficacié de l esimaion de la variaion es approximaivemen égale à l efficacié de l esimaion du niveau mulipliée par ( ρgr ) /( ρ rc ). Il s ensui que si les nouveaux prédiceurs pour l esimaion composie augmenen considérablemen la corrélaion (posiive) enre C e C, alors l efficacié de l esimaion de la variaion sera neemen supérieure à celle de l esimaion du niveau. 4. Esimaion de la variance À l heure acuelle, dans le cas de l EPAC, on applique la méhode du jackknife avec éliminaion d UPE pour calculer la variance de l esimaion par régression généralisée. La méhode du jackknife es valide (pour les enquêes ransversales) si les esimaions au niveau de l UPE on les mêmes moyennes e variances e que l on peu raier la sélecion des UPE comme un irage avec remise. Si la sélecion des UPE se fai sans remise, l esimaion de la variance devien prudene si, comme cela es généralemen le cas, la covariance (commune) enre les esimaions au Saisique Canada, N o 00 au caalogue

8 4 Singh, Kennedy e Wu : Esimaion composie par régression pour l Enquêe sur la populaion acive du Canada niveau de l UPE es négaive. Dans le cas des enquêes répéées, il es nécessaire d imposer une roisième conraine, à savoir que les UPE soien communes (ou liées au cours du emps). Le cas échéan, l enquêe peu êre considérée comme ransversale si l on raie le veceur d observaions (esimaions au niveau de l UPE) faies au cours du emps comme une observaion unique recueillie au poin final concepuel dans le emps. Dans le cas du plan de sondage avec renouvellemen de panel de l EPAC, les UPE ne son pas supprimées de l échanillon pendan plusieurs années, mais les uniés à l inérieur des UPE son remplacées ous les six mois. Dans le cas de l EPAC, chaque UPE correspond à un panel disinc qui es soi un nouveau panel soi un ancien panel. À noer que pour saisfaire les condiions de la méhode du jackknife, il n es pas nécessaire d uiliser le même ensemble d uniés pour obenir les esimaions au niveau de l UPE. La conraine voulan que les esimaions au niveau de l UPE ai une moyenne e une variance commune dans une srae es raisonnable éan donné que les esimaions de panel on une moyenne e une variance communes. Pour l esimaion composie, même si l on raie différemmen les nouveaux panels e les anciens panels, les esimaions composies au niveau du panel devraien avoir une même moyenne e une même variance indépendammen de l aribuion du panel. Cee condiion es vérifiée parce que les panels son aribués au hasard; un panel pourrai êre un nouveau panel auquel es associée la probabilié γ = / 6 e un ancien panel auquel es associée la probabilié γ = 5/ 6. L esimaion incondiionnelle de la variance résulane ne serai pas plus faible que celle obenue en la subordonnan à l aribuion du panel. Donc, la méhode du jackknife devrai produire une esimaion prudene de la variance dans le conexe de l EPAC. On noera que les considéraions qui précèden pour les mesures de l inceriude n engloben pas le biais dû au groupe de renouvellemen qui pourrai exiser. 5. Résulas de l évaluaion Les résulas numériques se fonden sur les données de l EPAC de 996 pour l Onario (voir Singh, e coll. 997). Les variables auxiliaires pour la régression généralisée son les oaux de populaion correspondans à 6 groupes âge sexe, régions économiques, 0 régions méropoliaines de recensemen e 6 panels. Chaque oal de conrôle de panel défini un sixième de la populaion de 5 ans e plus. Les nouveaux oaux de conrôle (30 en ou) uilisés pour la régression composie correspondan uniquemen aux prédiceurs axés sur la variaion son : les personnes occupées, les chômeurs e les personnes qui ne fon pas parie de la populaion acive selon le groupe âge (jeunes/vieux) sexe (soi, en ou, groupes), l emploi selon le groupe de branches d acivié (soi, en ou, 6) e l emploi selon le ravail à emps plein ou à emps pariel (soi, en ou, ). En fai, ces 30 nouvelles variables de conrôle se réduisen à 8 seulemen, à cause de la dépendance linéaire. L esimaeur de régression composie mulidimensionnelle comprend ces 8 variables de conrôle supplémenaires, andis que l esimaeur de régression composie unidimensionnelle ne comprend qu une seule variable de conrôle supplémenaire. L efficacié moyenne relaive présenée dans divers ableaux es calculée comme éan la variance moyenne de l esimaeur de régression généralisée sur les mois de 996 divisée par la variance moyenne de l esimaeur composie sur ces mois. 5. Prédiceurs de niveau macro c. micro Pour les esimaions du niveau, on calcule la corrélaion enre l esimaion du niveau du mois couran (c es à dire F ) e le prédiceur (c es à dire le prédiceur axé sur le niveau C D au niveau macro), andis que pour l esimaion de la variaion, on calcule la corrélaion enre F C e les prédiceurs. Comme il fau s y aendre, la corrélaion es négaive, car l esimaion poran sur les panels communs es corrélée posiivemen à F, mais exprimée avec un signe négaif dans le prédiceur. Rappelons que l esimaeur composie uilisé es ak pour les prédiceurs de niveau macro e ak * pour les prédiceurs de niveau micro. Le ableau monre que, pour les quare variables imporanes (personnes occupées, chômeurs, personnes occupées dans le seceur du commerce e personne occupée dans le seceur des ranspors e des communicaions (TRCO)), pour chaque prédiceur axé sur le niveau ou axé sur la variaion, le prédiceur de niveau micro donne lieu à une plus fore corrélaion que le prédiceur de niveau macro. Si l on compare les prédiceurs axés sur le niveau e sur la variaion au niveau micro, on consae que ceux axés sur la variaion donnen de meilleurs résulas que ceux axés sur le niveau. Les résulas son comparables pour d aures variables imporanes. Éan donné ces corrélaions, les aures résulas d évaluaion présenés plus loin se rapporen uniquemen aux versions ak, ak * e rc des esimaions composies. En vue d évier un nombre rop élevé de variables de conrôle supplémenaires, nous n avons inclus l esimaeur rc ni pour les prédiceurs axés sur le niveau ni pour ceux axés sur la variaion. 5. ak c. ak * c. rc (efficacié comparaivemen à gr) Le ableau monre les coefficiens opimaux (par exemple, k pour l esimaeur ak) e l efficacié relaive correspondane par rappor à l esimaeur gr. Nous avons obenu les coefficiens opimaux par recherche par comparimen en uilisan les données de 996. (En praique, cee recherche devrai se fonder sur des données anérieures). Nous consaons que les gains d efficacié peuven êre considérables lorsque l on passe de ak à ak *. Les coefficiens opimaux diffèren pour les esimaions du niveau e de la variaion. Les deux dernières colonnes sous les rubriques «niveau» e «variaion» monren la réducion de l efficacié si l on se ser des coefficiens opimaux pour Saisique Canada, N o 00 au caalogue

9 Techniques d enquêe, juin Tableau Corrélaion mensuelle moyenne enre les prédiceurs e les esimaions composies pour le niveau e la variaion (Onario, 996) Niveau Variaion Prédiceurs axés sur le niveau Prédiceurs axés sur la variaion Prédiceurs axés sur le niveau Prédiceurs axés sur la variaion Variable Macro Micro Macro Micro Macro Micro Macro Micro Personnes occupées 0,7 0,35 0,3 0,45 0,35 0,49 0,57 0,84 Chômeurs 0,6 0,35 0,4 0,33 0, 0,40 0,39 0,53 Emploi Commerce 0,58 0,55 0,58 0,65 0,65 0,73 0,9 0,96 Emploi TRCO 0,58 0,55 0,60 0,68 0,63 0,70 0,9 0,96 Tableau Efficacié relaive moyenne des esimaeurs ak e ak* par rappor à l esimaeur gr (Onario, 996) Eff. Eff. Eff. Eff. Coeff. (Niveau) (Variaion) (Niveau) (Variaion) Opimalniveau Opimalvariaion Opimalniveau Opimalvariaion Opimalvariaion Opimalniveau Variable ak ak * ak ak * ak ak * ak ak * ak ak * Personnes occupées 0,4 0,7 0,48 0,95,05,5,8,43 0,7, Chômeurs 0,40 0,50 0,54 0,69,06,,,9,05,6 Emploi Commerce 0,79 0,84 0,95 0,98,43,67,36 4,97 0,88 4, Emploi TRCO 0,84 0,87 0,95 0,98,59,88 3,60 7,59, 6,5 le niveau pour esimer la variaion e inversemen. Les coefficiens opimaux pour le niveau semblen donner d assez bons résulas pour les esimaions de la variaion, andis que l uilisaion des coefficiens opimaux pour la variaion pour esimer le niveau fon baisser l efficacié. Le ableau 3 donne une comparaison de l esimaeur rc (unidimensionnel e mulidimensionnel) à l esimaeur ak *. Les valeurs possibles des coefficiens b (rc) sur la période de mois pour l esimaeur unidimensionnel rc son résumées au moyen de la moyenne, du minimum e du maximum. On peu comparer ces valeurs aux coefficiens opimaux correspondans pour ak *. Les coefficiens rc semblen représener un compromis e se siuer enre les valeurs du coefficien opimal pour le niveau e du coefficien opimal pour la variaion. Les valeurs de l efficacié de rc pour l esimaion de la variaion son pour ainsi dire équivalenes à celles obenues pour ak *, mais son un peu plus faibles pour les esimaions du niveau. Les gains d efficacié son faibles au niveau agrégé pour lequel il exise des variables de conrôle pour l esimaeur gr mais son grands pour les domaines sans conrôle pour gr. Le ableau 4 présene les peres possibles d efficacié pour les esimaions obenues par différences pour mainenir la cohérence inerne dans le cas de l esimaeur ak *. Les résulas indiquen qu en praique, il fau se monrer pruden lors du choix des variables pour l esimaion par différence ou de l uilisaion de valeurs inermédiaires (de compromis) des coefficiens pour l esimaion ak * des composanes d un agréga. 5.3 Esimaion de la variaion c. esimaion du niveau efficacié de rc par rappor à gr Le ableau 5 monre que la relaion approximaive (voir la secion 3) enre l efficacié de l esimaion de la variaion e de l esimaion du niveau es assez bien vérifiée. Le ableau monre que la corrélaion des esimaions rc obenue d un mois à l aure pour les domaines pour lesquels il n exise pas de conrôle de la populaion correspondan dans gr peu êre assez fore comparaivemen à la corrélaion observée pour l esimaion gr. Cee fore corrélaion se radui, à son our, par une efficacié de l esimaion de la variaion neemen plus grande que celle de l esimaion du niveau. 5.4 Esimaion poncuelle e écar ype de la différence enre rc e gr Le ableau 6 monre les esimaions mensuelles (e l é.. des esimaions du niveau e de la variaion) pour la variable (personnes occupées dans le seceur du commerce en Onario) pour les esimaeurs gr e rc. Les valeurs correspondanes pour la différence mensuelle (rc gr) ne son pas présenées. Nous consaons qu en général, la différence enre rc e gr n es pas significaive. Les valeurs de l efficacié (qui ne son pas présenées ici) des esimaions annuelles moyennes e rimesrielles on égalemen éé calculées pour rc e gr. Comme il fallai s y aendre, rc pourrai donner lieu à une pere d efficacié par rappor à gr, à cause de la corrélaion sériale. Cependan, en ce qui concerne le coefficien de variaion, cee pere d efficacié semble n avoir aucune conséquence praique. Saisique Canada, N o 00 au caalogue

10 44 Singh, Kennedy e Wu : Esimaion composie par régression pour l Enquêe sur la populaion acive du Canada Tableau 3 Efficacié relaive moyenne de l esimaeur rc par rappor à l esimaeur gr (Onario, 996) rc unidimensionnel (niveau ou variaion) ak * Variable Moy Min Max Niveau Variaion Coeff. Eff. (Niveau) Eff. (Variaion) rc (unidimensionnel) rc (mulidimensionnel) rc (unidimensionnel) rc (mulidimensionnel) Personnes occupées 0,88 0,8 0,90 0,7 0,95,05,05,39,46 Chômeurs 0,60 0,53 0,65 0,50 0,69,,,3,33 Emploi Commerce 0,96 0,94 0,98 0,84 0,98,7, 4,98 5,07 Emploi TRCO 0,95 0,93 0,97 0,87 0,98,37,4 7,47 7,5 Tableau 4 Efficacié relaive moyenne des esimaeurs ak * e rc par rappor à l esimaeur gr, Onario, 996 (ordinaire c. différence) Niveau Variaion Variable ak * Coeff Eff(ak * ) Eff(rc) ak * Coeff Eff(ak * ) Eff(rc) Agriculure (ordinaire) 0,9,55,3 0,97 4,88 5, Agriculure (différence) NA 0,63,3 NA 3,90 5, NILF (ordinaire) 0,74,6,07 0,95,96,0 NILF (différence) NA,,07 NA,95,0 Tableau 5 Relaion enre les efficaciés des esimaions du niveau e de la variaion pour rc (mulidimensionnel) par rappor à gr (Onario, 996) Variable Eff. Variaion Eff. Niveau Eff. Variaion/Eff. Niveau ( ρgr )( ρ rc ) ρ gr Personnes occupées,46,05,34,65 0,77 0,9 Chômeurs,33,,9, 0,50 0,59 Emploi Commerce 5,07, 4,6 3,80 0,79 0,95 Emploi TRCO 7,54,4 5,3 5,66 0,80 0,97 ρ rc 5.5 Séries chronologiques des esimaions du niveau Les figures (a) e (b) monren les esimaions du niveau de l emploi pour l Onario pour la période allan de 988 à 996 obenues au moyen de gr e rc avec e sans désaisonnalisaion (par la méhode X ARIMA). Les figures (a) e (b) monren l emploi pour le groupe de branches d acivié reprises sous «commerce». Au niveau provincial, pour l agrégaion au niveau du groupe de branches d acivié, les séries (désaisonnalisée ou non) obenues par régression généralisée (gr) e par régression composie (rc) son semblables, parce qu avan ou, les esimaions par régression généralisée son d une haue précision. Par conre, au niveau du domaine «commerce», les séries son assez différenes. (Noons que nous avons choisi cee série pariculière parmi les nombreuses que nous avons examinées afin d illusrer ici le scénario exrême pour ce qui es des écars enre les séries gr e rc. Pour presque oues les aures branches d acivié, les deux séries se recoupen assez fréquemmen.) Puisque la série gr es foremen insable, l uilisaion de l esimaeur rc peu donner lieu à un lissage considérable. Remarquons aussi qu à cause du raio signalbrui élevé prévu, la série rc désaisonnalisée au niveau du domaine «commerce» paraî neemen plus lisse que la série gr; en fai, il y a for peu d écars enre les séries gr désaisonnalisée e non désaisonnalisée. Nous consaons qu on observe, en général, une série de périodes consécuives où l esimaion rc es soi plus grande soi plus faible que l esimaion gr. Cee siuaion es prévisible éan donné les valeurs élevées des coefficiens b (rc) (ableau 3) e la fore corrélaion sériale des deux séries (voir le ableau 5). Curieusemen, les poins de renversemen dans les séries gr e rc on endance à survenir (approximaivemen) au même momen, quoi qu ils paraissen légèremen aénués dans le cas de rc à cause d une corrélaion sériale plus fore pour la série rc. Noons aussi que l écar enre les deux séries serai plus faible si l on incluai aussi les variables de conrôle pour les prédiceurs axés sur le niveau. Saisique Canada, N o 00 au caalogue

11 Techniques d enquêe, juin Tableau 6 Esimaions poncuelles mensuelles au moyen de gr e rc e leurs différences (Onario, 996) (Niveau e variaion pour l emploi dans le seceur du commerce, Onario, 996) Mois Type gr rc rc gr Janvier Niveau 886,5 (,0) 858,9 (7,3) (7,6) (3,0) Variaion 5,8 (3,),0 (5,6) 4,8 (,4) Février Niveau 906,5 (,9) 867,9 (7,6) 38,6 (4,6) Variaion 0 (4,) 9,0 (4,7),0 (,5) Mars Niveau 97, (0,8) 874, (8,3) 5,9 (3,) Variaion 0,6 (3,3) 6, (4,7) 4,4 (,5) Avril Niveau 94,8 (0,3) 87,5 (7,7) 4,3 (,4) Variaion,3 (3,4),6 (5,) 0,7 (,5) Mai Niveau 9,8 (8,9) 887,6 (7,0) 5, (,8) Variaion, (3,0) 5, (5,7) 7, (,6) Juin Niveau 908, (7,8) 888,6 (7,) 9,5 (,5) Variaion 4,7 (,3) 0,9 (4,9) 5,6 (,9) Juille Niveau 899,9 (8,) 88, (7,7) 8,7 (3,0) Variaion 8, (,8) 7,4 (6,7) 0,8 (0,7) Aoû Niveau 93,9 (6,9) 888, (8,3) 5,8 (,6) Variaion 4 (,5) 6,9 (5,3) 7, (0,3) Sepembre Niveau 886,6 (0,4) 876,4 (9,7) 0, (3,) Variaion 7,3 (,6),8 (6,3) 5,6 (,) Ocobre Niveau 898,6 (,9) 889,3 (9,3) 9,3 (6,) Variaion, (3,4),9 (6,6) 0,9 (,8) Novembre Niveau 9, (0,3) 90,3 (9,3) 8,9 (5,9) Variaion,6 (3,9) 3,0 (7,0) 0,4 (,6) Décembre Niveau 97,9 (0,5) 96,3 (9,0),5 (6,0) Variaion 6,7 (,5) 4,0 (6,) 7,4 (0,9) Noa : Les écars ypes son donnés enre parenhèses. 6. Conclusions L esimaeur par régression généralisée (gr) uilisé anérieuremen dans le cadre de l EPAC produisai des séries insables d esimaions de la variaion e de diverses esimaions au niveau de domaines. L esimaeur de régression composie (rc) produi des séries d esimaions plus lisses (qui, à leur our, renden les esimaions de la variaion plus sables). La méhode de régression composie s écare de l esimaion composie ak classique de plusieurs façons, les différences les plus imporanes éan le recours à un micro appariemen pour la collece des données de la période précédene au niveau de l unié pour les panels communs e au calage par régression (comme dans le cas de l esimaeur gr) pour produire un ensemble de poids finals applicables à oues les variables éudiées. Nous avons éudié rois versions de l esimaeur rc. Bien que ce aricle pore principalemen sur l esimaeur rc, c es à dire l esimaeur avec prédiceur axé sur la variaion (à cause du lissage résulan souhaié de la série d esimaion), nous avons consaé (bien que les résulas ne soien pas présenés ici) que les esimaions du niveau de ceraines variables imporanes peuven encore êre améliorées (comparaivemen aux esimaions rc) en incluan les prédiceurs axés sur le niveau correspondan. Donc, en praique, une bonne sraégie consiserai à uiliser un mélange compan principalemen des prédiceurs axés sur la variaion e quelques prédiceurs axés sur le niveau. La version de l esimaeur rc appliquée à l heure acuelle pour l EPAC, qui a éé proposée par Fuller (999), peu êre formulée comme sui C F b [( )( C D B F ) (rc α) = + (rc α) α (rc α) + + α( C )] (6.) (rc α) D où α es fixé (à, disons, /3, mais, de façon générale, pourrai êre pariculier à y) e le coefficien b (rc α ) es calculé au moyen du sysème de régression généralisée comme s il faisai parie de la classe rc d esimaions. On obien une inerpréaion simple de l équaion (6.) en la comparan à l équaion (3.7) de l esimaeur ak *. Commençons par écrire (3.7) sous la forme Saisique Canada, N o 00 au caalogue

12 46 Singh, Kennedy e Wu : Esimaion composie par régression pour l Enquêe sur la populaion acive du Canada C F k [( a / k )( C D B F ) = (a k ) + (a k ) + + ( a / k ) ( C D )]. (6.) ( ak ) Mainenan, dans (6.), α peu êre considéré de façon grossière comme le quoien des deux coefficiens opimaux * * * a, k, e le faceur k à l exérieur des croches de (6.) peu êre remplacé par le coefficien de régression (sous opimal) b (rc α ). Donc, C (rc α ) n es pas l équivalen de l esimaeur ak * opimal, mais on pourrai reenir une ceraine opimalié (si l on faisai en sore que α soi pariculier à y) en fixan la conribuion relaive des prédiceurs axés sur la variaion e sur le niveau. Noons cependan que le problème de l incohérence inerne menionné dans l inroducion pourrai se poser si α es lié à y. D aures caracérisiques inéressanes de cee version son, d une par, que l on peu choisir la valeur de α de façon qu elle soi sricemen non nulle (de façon à évier les écars prolongés enre les séries gr e rc) e, d aure par, que le nombre de variables de conrôle supplémenaires nedouble pas lorsque l on inclu à la fois les prédiceurs axés sur le niveau e ceux axés sur la variaion, ce qui perme d inroduire un plus grand nombre de variables de conrôle ainsi qu un plus grand nombre de degrés de liberé dans l esimaion de la variance. Figure (a) Emploi Onario, non désaisonnalisé Figure (b) Emploi Onario, désaisonnalisé Figure (a) Emploi dans le commerce, Onario non désaisonnalisé Figure (b) Emploi, dans le commerce, Onario désaisonnalisé Saisique Canada, N o 00 au caalogue

13 Techniques d enquêe, juin La simple vérificaion qui sui peu êre exécuée pour diagnosiquer l effe du biais dû à l impuaion des données sur la siuaion d emploi du mois précéden pour compenser la non réponse de cerains répondans du mois couran. L idée fondamenale es de calculer un faceur muliplicaif * de redressemen du biais applicable à l esimaeur D. qui comprend les valeurs impuées. Le faceur es défini comme éan le quoien des deux esimaions gr de la caracérisique du mois précéden fondées sur le sous échanillon apparié. Le dénominaeur es une esimaion gr pour le mois précéden (comprenan des valeurs impuées), andis que le numéraeur es une esimaion gr pour le mois précéden (ne comprenan pas de valeur impuée) e ils son ous deux calculés selon une méhode qui n es pas ou à fai ypique. Pour le numéraeur, nous uilisons les répondans de la période avec les réponses qu ils on données à la période e, après correcion des poids de sondage pour la non réponse, nous consruisons l esimaeur gr avec les variables de conrôle pour la période. Pour le dénominaeur, nous supposons que les sous ensembles formés par chaque paire de sous échanillons appariés aux périodes e (ici l appariemen des sous échanillons es fai l un en foncion de l aure, l un en avance dans le emps e l aure en reard) n on pas de conreparie à cause de la non réponse, donc son saisiquemen remplaçables l un par l aure. Puis, nous remplaçons les répondans de la période qui n on pas répondu à la période par les non répondans à la période qui on répondu à la période, avec les réponses qui leur on éé impuées à la période, ainsi que les poids de sondage. Ensuie, nous procédons de nouveau à la correcion des poids pour la non réponse e pour la sraificaion a poseriori de gr (au moyen des variables de conrôle pour ) pour ce échanillon comple modifié à la période. Les poids gr ainsi obenus son uilisés pour calculer le dénominaeur menionné plus hau. Nous pouvons mainenan examiner la série chronologique de ce faceur sur plusieurs mois pour diagnosiquer le biais dû à l impuaion. S il n es pas jugé proche de, alors nous pouvons raier la moyenne du faceur sur plusieurs mois comme un redressemen non * aléaoire muliplicaif du biais appliqué à D. En praique, * au lieu de rajuser D, il serai préférable, pour facilier les calculs, de rajuser la nouvelle variable de conrôle C (rc) (de l équaion 3.6) pour la caracérisique correspondane en lui appliquan l inverse du faceur muliplicaif susmenionné. Auremen, on pourrai évier ou bonnemen l impuaion si l on pouvai modifier le quesionnaire pour obenir les données nécessaires sur la période anérieure elle que nous le proposons dans l inroducion. Dans leur éude, Len, Miller e Canwell (994, 996) considèren l esimaeur composie pondéré ak pour la Curren Populaion Survey des Éas Unis comme un remplacemen possible de l esimaeur ak uilisé à l heure acuelle si a = 0, e k = 0,4. Selon nore expérience concernan l esimaeur ak *, l esimaeur composie pondéré ak * pourrai êre une meilleure soluion de rechange si l on considère les gains d efficacié. Remerciemens Le gros de ces ravaux de recherche a éé réalisé pendan que les premier e roisième aueurs ravaillaien à Saisique Canada. Les aueurs remercien M. Sheridan, J.D. Drew, J. Gambino e pariculièremen M.P. Singh pour leurs encouragemens e plusieurs discussions for frucueuses. Ils son reconnaissans à Jon Rao e Wayne Fuller de leurs commenaires e suggesions. Ils remercien aussi J.M. Levesque, P. Lorenz e, ou spécialemen, T. Merkouris (grâce auquel ces ravaux on débué) pour l aide qu ils leur on apporée pour analyser e inerpréer les résulas. Enfin, ils remercien l examinaeur e le rédaceur en chef adjoin Harold Manel pour leurs commenaires consrucifs lors de la révision de l aricle. Les ravaux de recherche du premier aueur on éé financés en parie par une bourse du CRSNG obenue à l Universié Carleon aux ermes d un professora de recherche adjoin. Bibliographie Bailar, B.A. (975). The effec of roaion group bias on esimaes from panel surveys. Journal of he American Saisical Associaion, 70, 3 9. Binder, D.A., e Hidiroglou, M.A. (988). Sampling in ime. Handbook of Saisics, 6 : Sampling, Elsevier Science, NY, 87. Cassel, C.M., Särndal, C. E. e Wreman, J.H. (976). Some resuls on generalized difference esimaion and generalized regression esimaion for finie populaions. Biomerika, 63, Cochran, W.G. (977). Sampling Techniques. 3 e édiion. New York : John Wiley & Sons, Inc. Fuller, W.A. (990). Analyse d enquêe à passages répéés. Techniques d enquêe, 6, Fuller, W.A. (999). The Canadian Regression Composie Esimaion. Manuscrip non publié. Godambe, V.P., e Thompson, M.E. (989). An exension of quasilikelihood esimaion (avec discussion). Journal Saisical Planning and Inference,, Gurney, M., e Daly, J.F. (965). A mulivariae approach o esimaion in periodic sample surveys. Proceedings of he Survey Research Mehods Secion, American Saisical Associaion, Hansen, M.H., Hurwiz, W.N. e Madow, W.G. (953). Sample Survey Mehods and Theory., New York : John Wiley & Sons, Inc. Kumar, S., e Lee, H. (983). Évaluaion de l applicaion d esimaeurs composies à l enquêe sur la populaion acive du Canada. Techniques d enquêe, 9, 96. Saisique Canada, N o 00 au caalogue

14 48 Singh, Kennedy e Wu : Esimaion composie par régression pour l Enquêe sur la populaion acive du Canada Len, J., Miller, S. e Canwell, P. (994). Composie weighs for he curren populaion survey. Proceedings of he Survey Research Mehods Secion, American Saisical Assocaion, Len, J., Miller, S. e Canwell, P. (996). Effecs of composie weighs on some esimaes from he Curren Populaion Survey. Proceedings of he Survey Research Mehods Secion, American Saisical Associaion, I, Liang, K. Y., e Zeger, S.L. (986). Longiudinal daa analysis using generalized linear models. Biomerika, 73, 3. Rao, J.N.K., e Graham, J.E. (964). Roaion designs for sampling on repeaed occasions. Journal of he American Saisical Associaion, 59, Särndal, C. E. (980). On π inverse weighing versus bes linear unbiased weighing in probabiliy sampling. Biomerika, 67, Singh, A.C. (994). Sampling design based esimaing funcions for finie populaion oals. Invied paper, Absracs of he Saisical Sociey of Canada, Annual Meeing, Banff, Albera, 8, page 48. Singh, A.C. (996). Combining informaion in survey sampling by modified regression. Proceedings of he Survey Research Mehods Secion, American Saisical Associaion,, 0 9. Singh, A.C., e Folsom, R.E. Jr. (000). Bias correced esimaing funcions approach for variance esimaion adjused for possraificaion. Proceedings of he Survey Research Mehods Secion, American Saisical Associaion, Singh, A.C., Kennedy, B., Wu, S. e Brisebois, F. (997). Composie esimaion for he Canadian Labour Force Survey. Proceedings of he Survey Research Mehods Secion, American Saisical Associaion, Singh, A.C., e Merkouris, P. (995). Composie Esimaion by modified regression for repeaed surveys. Proceedings of he Survey Research Mehods Secion, American Saisical Associaion, Woler, K.M. (979). Composie esimaion in finie populaions. Journal of he American Saisical Associaion, 74, Saisique Canada, N o 00 au caalogue