3 Equations de Laplace et de Poisson

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1 3 Equations de Laplace et de Poisson 3. Formule d intégration par parties Soit un domaine borné à bord régulier de classe C. On note ν = ν(x) le vecteur normal extérieur au point x. Pour toutes fonctions u, v C () on a u v dx = u v ν j dσ v dx, (3.) x j x j où ν j désigne la j-ième composante du vecteur ν. Dans le cas d = 2, la démonstration de (3.) est donnée au paragraphe 6.2. Soit l opérateur de Laplace : = d 2 x 2 j= j En utilisant (3.) on obtient facilement les formules de Green pour toutes fonctions u, v C 2 () : u v dx = ( u v u v ) dx = d j= où = j x j ν j désigne la dérivée normale de u. Exercice 3.. Démontrer les relations (3.2) et (3.3). 3.2 Relations pour les valeurs moyennes. v dx + v dσ, (3.2) x j x j ( v v u ) dσ, (3.3) Théorème 3.2. Soit un ouvert et u C 2 () une fonction vérifiant l équation u = 0 dans. Alors pour toute boule B R = B R (y) on a u(y) = dω d u dσ = ω d u dx, (3.4) B R où ω d désigne le volume de la boule unité dans. Démonstration. Soit ρ ]0, R[. On applique la formule de Green (3.2) avec v et = B R : 0 = u dx = dσ. (3.5) B ρ B ρ 5

2 Pour simplifier, on suppose que y = 0. En passant aux coordonnées polaires, on obtient (voir (6.2)) B ρ dσ = B (ρω)ρd dω = ρ d u(ρω)dω ρ B = ρ d ) (ρ d u dσ. ρ B ρ On reporte cette égalité dans (3.5) et on intègre en ρ ]ε, R[ : R d u dσ = ε d u dσ = ε d ( ) u(0)+o(ε) dσ = dωd u(0)+o(ε), d où la première égalité de (3.4). Pour obtenir la deuxième égalité, il suffit d écrire dω d ρ d u(y) = u dσ, 0 < ρ < R, B ρ et d intégrer cette relation par rapport à ρ ]0, R[. Exercice 3.3. Montrer que si u C 2 () et u 0, alors u(y) dω d u dσ = ω d u dx. B De même, si u 0, on a l inégalité inverse. 3.3 Principe du maximum et unicité pour le problème de Dirichlet Soit un ouvert connexe et u C 2 (). On dit u est harmonique si u(x) = 0 pour tout x. Théorème 3.4. Soit u C 2 () une fonction harmonique. Supposons qu il existe y tel que u(y) = sup u(x). x Alors u const. Corollaire 3.5. Soit un domaine borné et u C 2 () C() une fonction harmonique. Alors inf u u(x) supu pour tout x. (3.6) Corollaire 3.6. Soient u, v C 2 () C() deux fonctions telles que u = v dans et u = v sur. Alors u v. B 6

3 Démonstration du théorème. Soit M = sup u et M = {x, u(x) = M}. Alors M est fermé dans et non vide. Montrons que M est ouvert. Soit z M et B = B R (z) une boule. On applique la relation (3.4) à la fonction harmonique u M : 0 = u(z) M = ω d B (u M)dx 0, d où on conclut que u = M dans B R (z), et donc B R (z) M. Comme M est connexe et à la fois ouvert et fermé, on voit que M = et u M dans. 3.4 Inégalité de Harnack Théorème 3.7. Soit u C 2 () une fonction harmonique non négative. Alors pour tout domaine connexe borné tel que il existe une constante C = C(d,,) > 0 telle que supu C inf u. (3.7) Démonstration. Soit y et B 4R (y). Alors pour x, x 2 B R (y) on a u(x ) = ω d u dx ω d u dx, u(x 2 ) = d où on conclut que ω d (3R) d B R (x ) B 3R (x 2) u dx = B 2R (y) ω d (3R) d B 2R (y) u dx, u(x ) 3 d u(x 2 ) pour tous x, x 2 B R (y). Cette inégalité entraîne que sup B R (y) u 3 d inf B R (y) u. (3.8) Un argument de compacité permet d obtenir (3.7) à l aide de l inégalite (3.8). 3.5 Représentation de Green On utilise maintenant les formules de Green pour obtenir une représentation d une fonction u C 2 () à l aide de u et des valeurs de u et sur. Soit Γ(x) = d(2 d)ω d x 2 d pour d 3, ln x pour d = 2. 2π 7

4 Exercice 3.8. Montrer que j Γ(x) = x j x d, dω d (3.9) i j Γ(x) = ( δij dx i x j x 2) x d. dω d (3.0) En déduire que la fonction Γ est harmonique pour x 0 et vérifie les inégalités j Γ(x) dω d x d, (3.) i j Γ(x) ω d x d. (3.2) Théorème 3.9. Soit u C 2 (), où est un domaine borné à bord régulier. Alors ( u(x) = Γ(x y) u(y) dy + u(y) Γ ) (x y) Γ(x y) (y) dσ, x. (3.3) Corollaire 3.0. Soit u C 2 () une fonction harmonique. Alors u C (). Démonstration. Soit x et B ε la boule de centre x et de rayon ε > 0. On applique la formule de Green (3.3) avec v = Γ(x ) et remplacé par \ B ε. Comme Γ(x y) est harmonique en y pour y x, on obtient Γ(x y) u(y) dy = \B ε Il est facile à voir que Γ dσ = Γ(ε) u Γ dσ = ε d dω d ( Γ ) u Γ dσ+ ( Γ ) u Γ dσ. (3.4) dσ dω dε d sup u 0, u dσ u(x) quand ε 0 +. En utilisant ces relations pour passer à la limite dans (3.4) lorsque ε 0 +, on obtient (3.3). Exercice 3.. Montrer que si u C 2 ( ) est une fonction à support compact, alors u(x) = Γ(x y) u(y) dy, x. Soit maintenant h x (y), x, une famille de fonctions harmonique en y telle que h x (y) = Γ(x y) pour x, y. (3.5) 8

5 Alors, d après la formule (3.3) avec v = h x, on a ( h 0 = h u(y) dy + u ) h dσ, x. (3.6) En prenant la somme de (3.3) et (3.6), pour toute fonction u C 2 () on obtient u(x) = G(x, y) u(y) dy + u(y) dσ, x, (3.7) où G(x, y) = Γ(x y) + h x (y), et on a utilisé la condition (3.5). On appelle G = G(x, y) la fonction de Green pour le problème de Dirichlet. 3.6 Existence de solution Théorème 3.2. Soit un domaine borné à bord régulier. Alors pour toute fonction ϕ C() il existe une unique solution u C 2 () C() du problème u = 0 dans, u = ϕ. (3.8) Démonstration. L unicité est démontrée dans le corollaire 3.6. Nous n allons démontrer l existence que dans le cas = B R = {x : x < R}. Pour x 0, on pose ˆx = R2 x 2 x. On vérifie facilement (exercice) que la fonction h x (y) = est solution du problème { ( Γ x R (ˆx y)), x 0, Γ(R), x = 0, y h x = 0 dans B R, h x BR = Γ(x y). Donc, on définit la fonction de Green par { ( Γ(x y) Γ x R G(x, y) = (ˆx y)), x 0, Γ(x y) Γ(R), x = 0, Montrons que la fonction { u(x) = G(x,y) ϕ(y) dσ, x B R, ϕ(x), x, est solution du problème (3.8) avec = B R. En effet, on a x G(x, y) = x G(x, y) = 0 pour x B R, y. 9

6 Ceci entraîne que u = 0 dans B R. Pour montrer que u C(B R ), on applique la formule (3.7) à la fonction u. dσ =. De plus, on vérifie que = R2 x 2 dω d R x y d, x B R, y. Soit x 0 et ε > 0. On choisit des constantes δ > 0 et M > 0 telles que ϕ(x) ϕ(x 0 ) < ε pour x x 0 < δ, ϕ M sur. Alors, pour x x 0 < δ/2, on obtient u(x) ϕ(x 0 ) < (ϕ(y) ϕ(x 0 ) dσ = + ε + 2M (R2 x 2 ) 2 (δ/2) d. y x 0 <δ y x 0 >δ Si x x 0, alors le deuxième terme est majoré par ε. Donc, lim x x 0 u(x) = ϕ(x 0 ) pour tout x. Corollaire 3.3 (Formule de Poisson). La solution du problème (3.8) avec = B R est donnée par u(x) = R2 x 2 ϕ(y) dω d R x y d dσ Théorème 3.4. Soit un domaine borné à bord régulier et f C 2 (), ϕ C(). Alors il existe une unique solution u C 2 () C() du problème u = f dans, u = ϕ. (3.9) Démonstration. Il suffit de montrer l existence de solution. Soit f C 2 ( ) une fonction à support compact telle que f = f. On définit la fonction v(x) = Γ(x y) f(y) dy. (3.20) Supposons que nous avons montré que v C 2 ( ) et v = f sur. On cherche une solution de (3.9) sous la forme u = v + w. La fonction w doit être solution du problème w = 0 dans, w = ϕ v. 20

7 D après le théorème 3.2, ce problème a une unique solution w C 2 () C(). On conclut que la fonction u = v + w appartient à l espace C 2 () C() et vérifie (3.9). On montre maintenant les propriétés énoncées de la fonction v. On a v(x) = Γ(y) f(x y) dy, d où on voit que v C 2 ( ) et v(x) = Γ(y) x f(x y) dy = Comme Γ est intégrable, on a B ε + \B ε = I ε + J ε. (3.2) I ε 0 quand ε 0 +. (3.22) De plus, en utilisant la formule de Green, on obtient J ε = Γ(y) x f(x y) dy \B ε ( f(x y) = Γ(y) Γ(y) ) f(x y) dσ ε 0 f(x). (3.23) En comparant (3.2) (3.23), on voit que v = f. 2