Tradition, la culture, les obstacles en mathématiques de la Roumanie

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1 Traditio, la culture, les obstacles e mathématiques de la Roumaie Prof. Aleadru Marcel Florescu Docteur e scieces mathématiques Lycée C.F.R. Craiova / Romaia La Roumaie, fodatrice e 959 de l Olympiade Iteratioale de Mathématiques, a créé et développé à la logue u système complee de cocours auels pour chaque iveau d étude, cocours orgaisés par étapes (locale, départemetale, atioale) et basés sur des programmes spécifiques. E Roumaie, il y a trois cocours de mathématiques au iveau atioal: - u cocours atioal réservé au collégies (3 à 5 as) - u cocours atioal réservé au lycées (5 à 8 as). - le cocours iteratioal Kagourou des mathématiques Il y a pas obligatio de cocourir. A côté, il y a de ombreu cocours de mathématiques au iveau régioal et aussi des cocours de mathématiques orgaisés par diverses fodatios et particuliers (souvet payats), mais la participatio est laissée au libre choi de chaque élève. Déroulemet de l eseigemet : -les élèves ot le même professeur pedat toute leur scolarité (4 as pour les collégies et 4 as égalemet au lycée) -les groupes d études (d ue même classe) sot immuables pedat les cursus de 4 as.??? Pourquoi ce dispositif: - le professeur coaît bie so élève, ses possibilités réelles et peut mieu l aider das le choi d ue orietatio et pour so isertio das ue filière professioelle - les élèves peuvet mieu coaître leur iveau par rapport au autres élèves tout au log des 4 aées - les élèves peuvet bééficier d ue orietatio à log terme (de simple à complee) pour leur formatio professioelle. Le déroulemet des cocours: - Septembre au début de chaque cycle de scolarité (collège et lycée), les professeurs établisset u test d évaluatio pour coaître la rapidité de calcul et de sythèse de chaque élève. - Octobre - ovembre : travau idividuels semi-dirigés, par le professeur de math e première aée de cycle; puis dirigés d ue maière plus approfodie par le prof de math pour les 3 aées suivates. - Fi décembre première partie de javier: cocours au iveau de chaque classe les sujets sot élaborés par les professeurs de chaque école. De ce premier cocours o garde u groupe de 0 élèves maimum. Ils suivet ue préparatio (formatio dirigée avec le professeur de la classe) avec épisodiquemet la participatio de tous les professeurs de l école - Des recotres etre les élèves sélectioés des classes de même aée, des cocours iteres etre les élèves de même aée, suivis d aalyses collectives des résultats des cocours et des solutios doées au épreuves des cocours - Fi mars début avril : cocours au iveau du départemet. Les sujets sot élaborés par ue commissio départemetale (professeurs des lycées et de l Uiversité). Après le cocours o sélectioe le groupe qui doit représeter le départemet au cocours atioal. Groupe de 7 à 0 élèves (ombre établi par la commissio atioale suivat le budget alloué chaque aée pour la prise e charge du trajet et de l hébergemet) - Avril -mai. Le groupe sélectioé reçoit ue préparatio à la fois das so école et aussi à l Uiversité du départemet - Vacaces de Pâques avril- mai : cocours atioal.

2 - Il se déroule e gééral das ue statio baléaire ou touristique, mais aussi quelquefois das les villes uiversitaires. Les sujets sot élaborés par ue commissio atioale (prof. d Uiversités majoritairemet). Au vu des résultats et après ue épreuve par équipe o costitue le groupe atioal élargi pour la participatio au olympiades iteratioales réservées au élèves des lycées. - Mai jui: La Commissio Natioale du Cocours prépare e commu le groupe atioal élargi. La préparatio se fait das ue statio baléaire ou das ue grade Uiversité. Pedat cette préparatio les élèves de termiale subisset les épreuves d u BAC spécial, parce que les épreuves du BAC atioal se déroulet e juillet lors des olympiades iteratioales. De fi jui à début juillet sot orgaisées des épreuves de barrage pour établir le groupe restreit qui représetera la Roumaie au olympiades iteratioales auquelles participerot 4 titulaires et 2 suppléats. U autre cocours, très cou à l heure actuelle e Roumaie, est le cocours iteratioal Kagourou des mathématiques A partir de l aée 992, la Roumaie à côté de la Pologe a préparé des épreuves partielles e fraçais pour le cocours Kagourou, souteue par l associatio Maths pour tous et aussi par le mathématicie fraçais Adré Deledicq. La passio pour les mathématiques et pour la lague fraçaise a accru le ombre des participats au cocours au fil des di-huit aées de déroulemet e Roumaie. D ailleurs, l u des buts des programmes commuautaires de l Uio Européee est que les jeues coaisset au mois deu lagues européees. La Roumaie occupe, après la Frace, la troisième place et l aée passée elle a eu u ombre de participats au cocours Kagourou des mathématiques. Les lauréats du cocours Kagourou des mathématiques bééficiet de voyages e Europe, et, pour d autres (200) participats au cocours Kagourou de Roumaie, o a orgaisé u camp iteratioal de vacaces das les motages roumaies. D autres élèves des pays de l Europe participat eu -aussi au cocours Kagourou y ot été ivités. Le camp de vacaces a été orgaisé par la Fodatio pour l itégratio européee SIGMA-, l orgaisatrice du cocours Kagourou e Roumaie, dot le membre fodateur est aussi le soussigé. E parallèle avec u décalage de quelques jours - se déroulerot par groupes départemetau des cocours régioau avec des épreuves idividuelles et par équipe. Les associatios de professeurs et les resposables des écoles collectet toute l aée des fods pour les frais de déplacemet et de ourriture garatissat le bo déroulemet du cocours. L'hébergemet est assuré souvet das les iterats des écoles ou das des salles de classe améagées e dortoirs pour 2-3 jours (vedredi à dimache). Outre leur voloté de réussite, les participats au cocours sot tous motivés par l attrait du voyage et du séjour, car beaucoup de jeues, mais aussi des professeurs, ot pas la possibilité fiacière de se déplacer das ou e dehors de leur pays. La présetatio des sujets de ces derières aées avec les barèmes et leurs commetaires redra possible u échage itéressat d epérieces et doera ue image des coaissaces mathématiques e Roumaie. Adresse : Aleadru Marcel Florescu Str. Nicolae Titulescu, Bloc H, Apt CRAIOVA - Romaia. ale26950@yahoo.fr Tél. / Fa. :

3 LOlympiade de Mathématiques Cocours au iveau du départemet -202 La IX e classe ( Troisième-Fr. ) P.. a. Motrer que, pour tout ombre aturel, liégalité suivate est vraie : < ( 3 + ) 3( + )4 3 b. Préciser si le ombre est ratioel. quelcoque. c. Soit E( ) m , où est u ombre réel, strictemet positif, Détermier les paires de ombres aturels (m, ) de sorte que E () = 3 P.2. Soit >, u ombre réel. a. Motrer quil eiste u seul ombre aturel, o ul, de sorte que : < (+) b. Pour quelles valeurs de le ombre détermier ci-dessus est u carré parfait? P.3. Détermier le plus petit et le plus grad élémet de lesemble : 2003 A = + { }, 3,2,,..., 2003 (Par [] o a oté la partie etière du ombre réel ). P.4. Soit les esembles : { a Z ( ) Zt.. q 2( 2 ) 3 ( ) 0} 2 a + + a + = b Z ( ) Zt q 2. b 2 + ( 8b 3) = 0 A = a B { } = b Combie de triagles ot les poites das les poits de lesemble AB? Note : tous les sujets sot obligatoires Temps affecté au travail : 3 heures

4 LOlympiade de Mathématiques Cocours au iveau du départemet -202 La X e classe ( Secode Fr. ) a. Soit ( a ) ue progressio géométrique de sorte que a > 0, 2 > 0 a arithmétique de sorte que b 2 -b >0. et ( b ) ue progressio Motrer quil eiste u ombre réel de sorte que log a b e déped pas de. α 2. Détermier lesemble des valeurs de la foctio f : R R, * Où a, b R. 2 ( ) 3. Soit A.! = + (! ) ( f ) = ( asi + cos )( si + b cos ), R Motrer que * A N et lecrire sous la forme du produit de combiaisos. 4. Résoudre liéquatio a a >, si + si Où a >,0 a Note : tous les sujets sot obligatoires Temps affecté: 3 heures.

5 Le cocours de Mathématiques Cocours au iveau du départemet -202 La XI e classe ( Première fr. ). Soit la foctio (,0: ) (,0 ) f défiie par f 2 )( = +. Pour tout ombre aturel o ul o défiit Calculer ( ) lim pour tout >0. f f = f f... f ( fois). 2. Soit a u ombre réel, a. Motrer que 3. Soit M ( R) lim 2a = A 2 ue matrice au propriétés Motrer que deta = Tr 2 (A) a 2 * 3 * A A et ( A ) 3 A =. Où Tr (A) représete la somme des élémets sur la diagoale de la matrice A. 4. Détermier tous les polyômes P e coefficiets réels qui ot la propriété que pour toute matrice A, B M 2 (R) avec A B, o a P(A) P(B). Tous les sujets sot obligatoires

6 LOlympiade de Mathématiques Cocours au iveau du départemet -202 La XII e classe ( Termiale Fr. ) P.. Soit 2 u ombre aturel fié et f,g : (C *, ) (C *, ) deu morphismes de groupes multiplicatifs de sorte que f(z) = g(z) pour tout z C * et z. Démotrer que f = g. P.2. Soit M u esemble o vide, P(M) lesemble de tous les sous-esembles de Met 2 M lesemble de toutes les foctios, défiies sur M avec des valeurs e {0,}. Pour f, g2 M o défiit f g = f g. Motrer que * est ue loi de compositio das 2 M et (2 M, *) est ue groupe abélie. 2. Pour, o ote A = M ( f ) et o dé fiit 2: M P( M ) M f 2 { } = ψ par la formule ψ ( f ) = A. Motrer que ψ établit ue bijectio etre esembles 2 M et P (M) et, pour M tout f, g 2 : ψ ( f * g ) = ψ ( f ) Δ ψ ( g) où Δ ote la différece symétrique das P(M) (A Δ B = (A\B) (B\A), pour A,B P(M)). 3. Employat les propriétés de 2, motrer que (P (M), Δ ) est u groupe abélie isomorphe au groupe (2 M,*). P.3. Trouver les primitives de la foctio π f : o, R défiie par ( f ) = e ( 2 tg + tg + tg ) P.4. O cosidère la foctio f : R R, ( f ) = + cosπ 2 (où [a ] désige la partie etière du ombre a ). Motrer que la foctio f est cotiue sur R et détermier esuite les primitives de cette foctio sur R. Si F est ue primitive de la foctio f sur R, fiée arbitrairemet, calculer : lim F2 + F 2 2 Tous les sujets sot obligatoires

7 Le Miistère de l'educatio et de la Recherche Le Service Natioal d'evaluatio et Eamiatio Olympiade Natioale de Mathématique L'Etape atioale 202 La XII e classe ( Termiale Fr. ) Sujet Soit (G, ) u groupe fii avec l'élémet eutre e. Le plus petit ombre aturel o ul avec la propriété que = e, pour tout l'eposat du groupe G. G, s'appelle a) Pour tout ombre prime p, p3, motrer que le groupe multiplicatif G p des matrices ayat la ˆ aˆ bˆ forme 0ˆ ˆ cˆ avec aˆ, ˆ, cb ˆ Z P est o commuicatif et a l'eposat p. 0ˆ 0ˆ ˆ b) Motrer que si (G,o) et (H, ) sot des groupes fiis avec les eposats respectivemet m et, alors le groupe (G H,*) avec l'opératio doée par (g,h)*(g ',h ' )=(gog ', hh ' ), pour tout (g,h), (g ',h ' ) G H, a pour eposat le plus petit commu multiple des ombres m et. c) Déduire que tout ombre aturel 3 est l'eposat d'u groupe fii o commutatif. Sujet 2 = Soit les foctios cotiues f,g : [0,] (0, ), différetes, de sorte que f ( ) d g( )d Soit la série ( ) 0 défiit par a) Motrer que lim = b) Démotrer que la série ( ) 0 = 0 ( ( )) ( g( ) ) est mootoe. + f d 0 0 Sujet 3 Soit K u corps fii de sorte que le polyôme X 2 5 este irréductible das K[X]. Motrer que : a) + 0 ; b) pour tout a K, le polyôme X 5 +a est réductible das / e K[X] (Note : o admet pour comme le fait que tout corps fii est commutatif). Sujet 4 O cosidère les foctios cotiues f [,0: ) R et g [ ] R,0:. Si lim ( f ) = L R, motrer que : lim ( ) gf d L g( )d = 0 0

8 Le Miistère de l'educatio et de la Recherche Le Service Natioal d'evaluatio et Eamiatio Olympiade Natioale de Mathématique L'Etape atioale 202 La IX e Classe ( Troisième-Fr. ) Sujet Détermier les foctios est ue cube parfait au mois égal a 3. * * f : N N avec la propriété que, pour tout ( ) + f ( 2) + ( )f f + Sujet 2 Trouver N, 2 les chiffres a, a, 2, a, de sort que 2 a 2 aa a = a, Sujet 3 Sur u tableau sot dessies les poits A, B, C, D. Vlad costruit les poits A, B, C, D aisi : A est le symétrique de A vis-à-vis de B, B, est le symétrique de B vis-à-vis de C, C, est le symétrique de C vis-à-vis de D et D est le symétrique de D vis-à-vis de A. Marie efface du tableau les poits A, B, C, D. Pourrait Vlad refaire les positios de ces poits? Justifier la répose e utilisat évetuellemet des vecteurs. Sujet 4 O dit qu'u esemble A de vecteurs o ulles du pla a la propriété (S) si elle a au mois trois élémets et pour tout u A il eiste v, w A de sorte que v w et u = v + w a) Démotrer que, pour tout 6 il eiste u esemble avec vecteurs o ulles, qui a la propriété (S) b) Démotrer que tout esemble fii de vecteurs o ulles, qui a la propriété (S), a au mois 6 élémets.

9 Le Miistère de l'educatio et de la Recherche Le Service Natioal d'evaluatio et Eamiatio Olympiade Natioale de Mathématique L'Etape atioale 202 La X e Classe ( Secode Fr. ) Sujet À l'itérieur d'u cube o cosidère 2003 poits. Motrer qu'o peut diviser le cube e plus de cubes de sorte que tout poit de ceu does se trouve a l'itérieur de l'u des petits cubes (et o pas sur ses faces). Sujet 2 a) Détermier toutes les foctios f : N M avec la propriété : + 2 ( ) ( ff + ) = 2 ( ( f + ) * ( ))f, pour tout N das chacue des situatios suivates : a. M=N; b. M=Q Sujet 3 a) Si ABC est u triagle et M u poit das so pla, motrer que AM si A BM si B + CM sic b) soit A, B, C des poits sur les cotes (BC) (AC) et respectivemet (BA) du triagle ABC, de sorte que les agles du triagle A B C sot das cet ordre de mesures α β,, γ Motrer que : AA siα BC siα Sujet 4 O doe les ombres réels a, b, c, d avec a>c>d>b> de sorte que ab>cd. Démotrer que la foctio f [,0: ) R défiie par ( f ) = a + b c d, pour tout 0, est strictemet croissate.

10 Le Miistère de l'educatio et de la Recherche Le Service Natioal d'evaluatio et Eamiatio Olympiade Natioale de Mathématique L'Etape atioale 202 La XI e Classe ( Première fr. ) Sujet Das le repère cartésie Oy o cosidère les poits coliéaires A ( ii, y ), i = 4, eiste des matrices irréversibles Μ ( C) de sorte qu'il M 4 das lesquelles les deu premières liges sot (, 2, 3, 4 ) et (y,y 2,y 3,y 4 ). Motrer que la somme des élémets de la matrice M - e déped pas de la matrice M doée. Sujet 2 Soit f [,0: ] [,0 ] ue foctio cotiue das 0 et, qui a des limites latérales das tout poit et qui vérifie f 0 f f + 0 ( ) ( ) ( ) Pour tout (,0 ) motrer que : a) pour l'esemble A { [,0 ] ( f ) }, b) il eiste 0 [,0 ] de sorte que ( f= ) 0 0 = avos sup A A Sujet 3 a) Motrer que tout matrice A M 4 ( C) B i M ( C), i 4, de rag. 4 = peut être écrite comme la somme de 4 matrices b) Motrer que I 4 Ne peut pas être écrit comme la somme de mois de quatre matrices de rag. Sujet 4 Soit α. > et f :, α, α α α bijective. Si f ( ) =, pour tout ( )f α α,, motrer que : a) f a u mois u poit de discotiuité ; b) si f est cotiue das, alors f a ue ifiité de poits de discotiuité ; c) il eiste ue foctio f qui vérifie les coditios de l'éoce et a u ombre fii de poits de discotiuité.