Résumé du cours d analyse de Sup et Spé

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1 Résumé du cours d nlyse de Sup et Spé 1 Topologie 1.1 Normes, normes équivlentes Une norme sur le K-espce vectoriel E est une ppliction N de E dns R vérifint : x E, N(x) 0 (positivité) x E, (N(x) = 0 x = 0) (xiome de séprtion) x E, λ K, N(λx) = λ N(x) (homogénéité) (x,y) E 2, N(x+y) N(x)+N(y) (inéglité tringulire). Normes équivlentes. Les normes N et N sont équivlentes si et seulement si il existe deux réels strictement positifs α et β tel que x E, αn(x) N (x) βn(x). l revient u même de dire que l fonction N est bornée sur E\{0}. N Théorème. Si E est de dimension finie sur K, toutes les normes sont équivlentes. 1.2 Voisinge Soit x E. Un voisinge de x est une prtie de l espce vectoriel normé (E,N) qui contient une boule ouverte non vide de centre x. L ensemble des voisinges de x se note V (x). Si V est une prtie de E, (V V (X) r > 0/ B o (x,r) V). Théorème.Une réunion quelconque de voisinge de x est un voisinge de x. Une intersection finie de voisinge de x est un voisinge de x. 1.3 Ouverts, intérieur. Ouvert. Un ouvert de l espce vectoriel normé (E,N) est soit, soit une prtie non vide de E voisinge de chcun de ses points. Si O est une prtie non vide de E, (O est ouvert x O, r > 0/ B o (x,r) O). Théorème. Une réunion quelconque d ouverts est un ouvert. Une intersection finie d ouverts est un ouvert. ntérieur. Un élément x de A est intérieur à A si et seulement si A est voisinge de x. ( x E, (x A A V (x)). L intérieur d une prtie non vide A est l ensemble des points de A dont A est voisinge. Théorème. A est le plus grnd ouvert contenu dns A. Théorème. A est ouvert si et seulement si A = A. 1.4 Fermés, dhérence Fermé. A est fermé si et seulement si le complémentire de A est ouvert. Théorème. Une intersection quelconque de fermés est un fermé. Une réunion finie de fermés est un fermé. Théorème (crctéristion séquentielle des fermés). Une prtie non vide A est fermée si et seulement si toute suite convergente d éléments de A converge dns A. Adhérence. Un élément x de E est dhérent à A si et seulement si tout voisinge de x rencontre A x E, (x A V V(x), V A ). L dhérence de A est l ensemble des points dhérents à A. Théorème. A est le plus petit fermé contennt A. Théorème. A est fermé si et seulement si A = A. Théorème. x est dhérent à A si et seulement si il existe une suite d éléments de A convergente de limite x. et E sont des prties à l fois ouvertes et fermées. 1.5 Compcts Une prtie non vide K de E est compcte si et seulement si de toute suite d éléments de K, on peut extrire une sous-suite qui converge vers un élément de K. est compct pr convention. Théorème. Si K est compcte, K est fermée et bornée. 1

2 Théorème (de Borel-Lebesgue). Si (E, N) est un evn de dimension finie, les compcts sont les prties fermées et bornées. Théorème (de Bolzno-Weierstrss). Si (E, N) est un evn de dimension finie, de toute suite bornée, on peut extrire une sous-suite convergente. 2 Fonctions 2.1 Connexité pr rcs Définition. Soit A une prtie non vide de E. A est connexe pr rcs si et seulement si, pour tout (x,y) A 2, il existe γ : t γ(t) définir et continue sur [0,1] à vleurs dns E telle que γ(0) = x et γ(1) = y; t [0,1], γ(t) A. Théorème. Un convexe non vide est connexe pr rcs. 2.2 Continuité Théorème des vleurs intermédiires. Soit f une ppliction d un evn (E,N) dns un evn (E,N ). Si f est continue sur E, l imge d un connexe pr rcs de E est un connexe pr rcs de E. En prticulier, si f v de R dns R et est continue sur R, l imge d un intervlle de R pr f est un intervlle de R. Théorème (imges réciproques d ouverts ou de fermé). f v d une prtie D d un evn (E,N) dns un evn (E,N ). f est continue sur D si et seulement si l imge réciproque de tout ouvert de (E,N ) est un ouvert de D, c est-à-dire l intersection d un ouvert de E vec D. f est continue sur D si et seulement si l imge réciproque de tout fermé de (E,N ) est un fermé de D, c est-à-dire l intersection d un fermé de E vec D. Théorème (imge continue d un compct). f v d une prtie D d un evn (E,N) dns un evn (E,N ). Si f est continue sur D, l imge directe d un compct de D est un compct de (E,N ). En prticulier, si f v de R dns R et est continue sur R, l imge d un segment de R pr f est un segment de R. Théorème de Heine. Si f est continue sur un compct, lors f est uniformément continue sur ce compct. Théorème (continuité de l norme). L ppliction N : (E, N) (R, ) x N(x) est continue. Théorème (continuité d une ppliction linéire). f est une ppliction linéire de (E, E ) dns (F, F ). f est continue sur E si et seulement si k R + / x E, f(x) F k x E. Si E est de dimension finie, toute ppliction linéire, forme linéire, ppliction multilinéire... est continue sur E. Conséquence. Les sev d un evn de dimension finie sont fermés. 2.3 Dérivtion Théorème de Rolle. f est une ppliction définie sur un segment [,b] de R à vleurs dns R. Si f est continue sur [,b], dérivble sur ],b[ et vérifie f() = f(b), lors il existe c ],b[ tel que f (c) = 0. Théorème des ccroissements finis. f est une ppliction définie sur un segment [,b] de R à vleurs dns R. Si f est continue sur [,b], dérivble sur ],b[ lors il existe c ],b[ tel que f(b) f() = f (c). b Le théorème de Rolle et le théorème des ccroissements finis sont fux pour les pplictions derdnscou les pplictions de R dns R n, n 2. Théorème. f est une ppliction définie sur un segment [,b] de R à vleurs dns R ou C. Si f est continue sur [,b], de clsse C 1 sur ],b] et si f une limite réelle ou complexe en, lors f est de clsse C 1 sur [,b]. Formule de Tylor-Lplce. Soit f une ppliction définie sur un intervlle de R à vleurs dns R ou C de clsse C n+1 sur. Alors, pour tout (,b) 2, f(b) = f (k) () b (b ) k + k! (b t) n f (n+1) (t) dt. n! néglité des ccroissements finis. Soit f une ppliction définie sur un intervlle de R à vleurs dns R ou C, dérivble sur. On suppose que f est mjorée pr le réel M sur. Alors, pour tout (,b) 2, f(b) f() M b. 2

3 néglité de Tylor-Lgrnge. Soit f une ppliction définie sur un intervlle de R à vleurs dns R ou C, n + 1 fois dérivble sur. On suppose que f (n+1) est mjorée pr le réel M n+1 sur. Alors, pour tout (,b) 2, 2.4 ntégrtion n f(b) f (k) () k! (b ) k M n+1(b ) (n+1). (n+1)! Soit f une fonction continue sur un intervlle de R à vleurs dns R ou C. Alors, pour tout x 0 de, l fonction F : x x x 0 f(t) dt est de clsse C 1 sur et x, F (x) = f(x). 3 Séries numériques Règle de d Alembert. (u n ) est une suite complexe, ne s nnulnt ps à prtir d un certin rng telle que une limite l [0,+ ]. Si 0 l < 1, l série de terme générl u n converge bsolument. Si l > 1, l série de terme générl u n diverge grossièrement. Produit de Cuchy de deux séries bsolument convergentes. Si les séries de termes généruxu( n etv n sont bsolument convergentes, lors l série de terme générlw n = u k v n k converge et dns ce cs, w n = u n v n + )( + ). Critère spécil ux séries lternées (ou théorème de Leibniz). Soit (u n ) une suite réelle lternée en signe, dont l vleur bsolue tend vers 0 en décroissnt. Alors, l série de terme générl u n converge. De plus, S, S n et R n sont du signe de leur premier terme et leur vleur bsolue est mjorée pr l vleur bsolue de leur premier terme. Théorème (séries télescopiques). Soit ( n ) une suite complexe. L suite ( n ) et l série de terme générl n+1 n sont de même nture. Comprison séries-intégrles. Si f est une fonction continue pr morceux sur [0, + [, à vleurs réelles positives décroissnte, l série de terme générl n n 1 f(t) dt f(n) converge. En prticulier, l série de terme générl f(n) converge si et seulement si f est intégrble sur [0,+ [. Théorème (sommtion des reltions de comprison). Soient ( n ) et (b n ) deux suites réelles strictement positives telles que n b n. Si l série de terme générl n converge, lors l série de terme générl b n converge et k=n+1 k k=n+1 (règle de l équivlence des restes de séries à termes positifs convergentes). Si l série de terme générl n diverge, lors l série de terme générl b n diverge et k (règle de l équivlence des sommes prtielles de séries à termes positifs divergentes). Théorème de Fubini. Soit (u i,j ) une suite complexe double. Si Pour tout i, l série de terme générlu i,j est bsolument ( + convergente et que u i,j < +, lors l suite (u i,j ) est sommble et de plus, = u i,j ). i=0 j=0 b k b k i=0 j=0 u i,j j=0 u n+1 u n i=0 3

4 4 Suites et séries de fonctions 4.1 Suites de fonctions 1) Convergence simple, uniforme (f n ) converge simplement sur D vers f si et seulement si, pour chque x de D, l suite (f n (x)) converge vers f(x). (f n ) converge uniformément vers f sur D si et seulement si l suite ( f f n ) est définie à prtir d un certin rng et tend vers 0 qund n tend vers +. 2) nterversion des limites Théorème d interversion des limites. est dhérent à D ( réel, infini...). Si chque f n une limite l n (réelle, complexe) qund x tend vers et si (f n ) converge uniformément vers f sur D, lors : f une limite qund x tend vers ; l suite (l n ) converge ; lim f(x) = lim l n (c est-à-dire lim( lim f x x n(x)) = lim ( lim f n(x)).) x Ce théorème mrche ussi si les l n sont + ( infty) à prtir d un certin rng. 3) Continuité. Théorème. Si (f n ) converge uniformément vers f sur D et si chque f n est continue sur D, lors f est continue sur D (une limite uniforme de fonctions continues est continue) 4) Dérivtion. Théorème. Si (f n ) converge simplement vers f sur D ; chque f n est dérivble sur D ; l suite des dérivées (f n ) converge uniformément sur D (vers s limite). Alors, f est dérivble sur D et f = lim f n (c est-à-dire d dx ( lim f n) = lim ( ) d dx f n.) Théorème (générlistion). Si (f n ) converge simplement vers f sur D ; chque f n est de clsse C p, 1 p + sur D ; les suites des dérivées (f (k) n ), 1 k p, convergent toutes uniformément sur D (vers leur limite). Alors, f est de clsse C p sur D et k 1,p, f (k) = lim f(k) n. 5) ntégrtion Théorème (convergence uniforme sur un segment). Si chque f n est continue pr morceux sur le segment [,b] et si l suite (f n ) converge uniformément vers f sur [,b], lors : f est continue pr morceux ) sur D ; l suite ( b f n (x) dx b f(x) dx = lim b converge ; f n (x) dx (c est-à-dire b lim f n(x) dx = lim b f n (x) dx). Théorème de convergence dominée. (f n ) est une suite de fonctions continues pr morceux sur un intervlle quelconque de R à vleurs dns R ou C. Si l suite (f n ) converge simplement vers une fonction f continue pr morceux sur et s il existe une fonction ϕ continue pr morceux, positive et intégrble sur telle que n N, f n ϕ (hypothèse de domintion), lors f est intégrble sur et f(x) dx = lim f n (x) dx. 4.2 Séries de fonctions 1) Convergence simple, uniforme, bsolue, normle L série de fonctions de terme générl f n converge simplement sur D vers S si et seulement si, pour chque x de D, l série numérique de terme générl f n (x) converge vers S(x). L série de fonctions de terme générl f n converge uniformément sur D vers S si et seulement si l suite ( R n ) est définie à prtir d un certin rng et tend vers 0 qund n tend vers +. L série de fonctions de terme générl f n converge bsolument sur D si et seulement si, pour chque x de D, l série numérique de terme générl f n (x) converge bsolument. 4

5 L série de fonctions de terme générl f n converge normlement sur D (vers S) si et seulement si l série numérique de terme générl f n converge. 2) nterversion des limites Théorème d interversion des limites. est dhérent à D ( réel, infini...). Si chque f n une limite l n qund x tend vers et si l série de fonction de terme générl f n converge uniformément vers S sur D, lors : S une limite qund x tend vers ; l série numérique de terme générl l n converge ; lim x S(x) = l n. 3) Continuité Théorème. Si l série de fonctions de terme générl f n converge uniformément vers S sur D et si chque f n est continue sur D, lors S est continue sur D. 4) Dérivtion terme à terme Théorème de dérivtion terme à terme. Si l série de fonctions de terme générl f n converge simplement vers S sur D, chque f n est dérivble sur D, l série de fonctions de terme générl f n converge uniformément sur D, lors, S est dérivble sur D et S = f n Théorème (générlistion). Si l série de fonctions de terme générl f n converge simplement vers S sur D, chque f n est de clsse C p, 1 p + sur D, les séries de termes générux (f (k) n ), 1 k p, convergent toutes uniformément sur D, lors, S est de clsse C p sur D et k 1,p, S (k) = Revoir l étude de l fonction ζ de Riemnn. f (k) n. 5) ntégrtion terme à terme Théorème d intégrtion terme à terme sur un segment). Si chque f n est continue pr morceux sur le segment [,b] et si l série de terme générl f n converge uniformément vers S sur [,b], lors : S est continue pr morceux sur [, b] ;) l série de terme générl b S(x) dx = b ( b f n (x) dx. f n (x) dx converge ; Théorème d intégrtion terme à terme. Si chque f n est continue pr morceux et intégrble sur, si l série de terme générl f n converge simplement vers une fonction S continue pr morceux sur et si f n < +, lors S est intégrble sur et S(x) dx = 5 Séries entières 1) Ryon de convergence R = sup{r [0,+ [/ ( n r n ) bornée}. 2) Convergence normle f n. Théorème. n r n converge normlement sur tout [ r,r] (resp. tout disque fermé de ryon r) où r < R. 5

6 Théorème. L somme d une série entière est de clsse C sur son intervlle ouvert de convergence et les dérivées successives s obtiennent pr dérivtion terme à terme. dem pour primitive pr intégrtion terme à terme. Les différents ryons de convergence considérés sont égux. Théorème. Si pour tout x ] R,R [, f(x) = 6 ntégrles dépendnt d un prmètre n x n, lors n N, n = f(n) (0). n! est une prtie de R et est un intervlle quelconque de R. f : K est une fonction de deux vribles, définie sur, à vleurs dns K = R ou K = C. (x,t) f(x,t) Pour x, on pose F(x) = f(x,t) dt. Théorème de pssge à l limite sous le signe somme. Soit dhérent à D. Si pour tout x de, l fonction t f(x,t) est continue pr morceux sur, pour tout t de, l fonction x f(x,t) une limite l(t) qund t tend vers, où l est une fonction continue pr morceux sur, il existe une fonction ϕ continue pr morceux, positive et intégrble sur telle que, pour tout (x,t), f(x,t) ϕ(t). Alors, l fonction F une limite qund x tend vers, l fonction l est intégrble sur, lim x F(x) = l(t) dt (c est-à-dire lim f(x,t) dt = x ( ) lim f(x,t) dt. x Théorème de continuité d une intégrle à prmètres. Si pour tout x de, l fonction t f(x,t) est continue pr morceux sur, pour tout t de, l fonction x f(x,t) est continue sur, il existe une fonction ϕ continue pr morceux, positive et intégrble sur telle que, pour tout (x,t), f(x,t) ϕ(t). Alors, l fonction F est définie et continue sur. Théorème de dérivtion sous le signe somme (ou théorème de Leibniz) Si pour tout x de, l fonction t f(x,t) est continue pr morceux sur et intégrble sur, et si f dmet une dérivée prtielle f vérifint les hypothèses du théorème précédent, c est-à-dire x pour tout x de, l fonction t f (x,t) est continue pr morceux sur, x pour tout t de, l fonction x f f(x,t) est continue sur, x il existe une fonction ϕ continue pr morceux, positive et intégrble sur telle que, pour tout (x,t), f x (x,t) ϕ(t). Alors, l fonction F est de clsse C 1 sur et x, F f (x) = (x,t) dt. x Théorème de dérivtion sous le signe somme générlisé Si pour tout x de, l fonction t f(x,t) est continue pr morceux sur et intégrble sur, et si f dmet des dérivées prtielle k f jusqu à l ordre p, 1 k p +, vérifint les hypothèses du théorème précédent, c est-à-dire xk k 1,p, x, l fonction t k f xk(x,t) est continue pr morceux sur, k 1,p, t, l fonction x k f xkf(x,t) est continue sur, k 1,p, il existe une fonction ϕ k continue pr morceux, positive et intégrble sur telle que, pour tout (x,t), k f x k(x,t) ϕ k(t). Alors, l fonction F est de clsse C 1 sur et x, F f (x) = (x,t) dt. x Revoir l étude de l fonction Γ. 6

7 7 Equtions différentielles Théorème de Cuchy linéire : cs des équtions différentielles sclires du premier ordre. Soient et b deux fonctions continues sur un intervlle de R à vleurs dns K = R ou K = C. Alors, pour tout (x 0,y 0 ) K, il existe une et une seule solution f de l éqution différentielle y +y = b sur vérifint de plus f(x 0 ) = y 0 à svoir : x, f(x) = y 0 e A(x) +e A(x) x x 0 e A(t) b(t) dt où A(x) = x x 0 (t) dt. Théorème de Cuchy linéire : cs des systèmes du premier ordre à coefficients constnts. Soit A M n (K). Soit B une fonction continue sur un intervlle de R à vleurs dns M n,1 (K). Alors, pour tout (t 0,X 0 ) M n,1 (K), il existe une et une seule solution X de l éqution différentielle X = AX+B sur vérifint de plus X(t 0 ) = X 0 à svoir t, X(t) = e ta X 0 +e ta t t 0 e ua B(u) du. Théorème de Cuchy linéire : cs générl. Soient A et B deux fonctions continues sur un intervlle de R à vleurs respectivement dns M n (K) et M n,1 (K). Alors, pour tout (t 0,X 0 ) M n,1 (K), il existe une et une seule solution X de l éqution différentielle X = AX+B sur vérifint de plus X(t 0 ) = X 0. Théorème de Cuchy linéire : cs des équtions différentielles sclires du second ordre. Soient, b et c trois fonctions continues sur un intervlle de R à vleurs dns R ou C. Alors, pour tout (x 0,y 0,z 0 ) K K, il existe une et une seule solution f de l éqution différentielle y +y +by = c sur vérifint de plus f(x 0 ) = y 0 et f (x 0 ) = z 0. 7