GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilation réalisée à partir d exercices de BAC TES

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1 GRAPHES - EXERCICES CORRIGES Compilatio réalisée à partir d exercices de BAC TES Exercice. U groupe d amis orgaise ue radoée das les Alpes. O a représeté par le graphe ci-dessous les sommets B, C, D, F, T, N par lesquels ils peuvet choisir de passer. Ue arête etre deux sommets coïcide avec l existece d u chemi etre les deux sommets. ) a) Recopier et compléter le tableau suivat : Sommets B C D F N T Degré des sommets du graphe b) Justifier que le graphe est coexe. 2) Le groupe souhaite passer par les six sommets e passat ue fois et ue seule par chaque chemi. Démotrer que leur souhait est réalisable. Doer u exemple de trajet possible. ) Le groupe souhaite associer chaque sommet à ue couleur de sorte que les sommets reliés par u chemi ot pas la même couleur. O ote le ombre chromatique du graphe. a) Motrer que 4 6 b) Proposer u coloriage du graphe permettat de détermier so ombre chromatique. 4) Le groupe se trouve au sommet B et souhaite se redre au sommet N. Les distaces e kilomètres etre chaque sommet ot été ajoutées sur le graphe. Idiquer ue chaîe qui miimise la distace du trajet. Justifier la répose. Exercice 2. Ue agece de voyages orgaise différetes excursios das ue régio du mode et propose la visite de sites icotourables, ommés A, B, C, D, E et F. Ces excursios sot résumées sur le graphe ci-dessous dot les sommets désiget les sites, les arêtes représetet les routes pouvat être emprutées pour relier deux sites et le poids des arêtes désige le temps de trasport (e heures) etre chaque site. ) Justifier que ce graphe est coexe. 2) U touriste désire aller du site A au site F e limitat au maximum les temps de trasport. a) E utilisat u algorithme, détermier la plus courte chaîe reliat le sommet A au sommet F. b) E déduire le temps de trasport miimal pour aller du site A au site F. Page /

2 ) U touriste désirat apprécier u maximum de paysages souhaite suivre u parcours emprutat toutes les routes proposées ue et ue seule fois. Si ce parcours existe, le décrire sas justifier ; das le cas cotraire justifier qu u tel parcours existe pas. Exercice. Première partie : Etude d u graphe O cosidère le graphe ci-dessus. ) a) Ce graphe est-il coexe? b) Détermier le degré de chacu des sommets. O pourra doer le résultat sous forme d u tableau c) Justifier l existece d ue chaîe eulériee. 2) a) Détermier u ecadremet du ombre chromatique de ce graphe. b) Motrer que ce ombre chromatique est égal à Deuxième partie : Visite d musée Voici le pla d u musée : les parties grisées matérialiset les portes et les visiteurs partet de l accueil, visitet le musée et doivet termier leur visite à la boutique. ) Représeter la situatio à l aide d u graphe e précisat ce que représetet arêtes et sommets. 2) a) Pourquoi est-il possible de trouver u circuit où les visiteurs passet ue fois et ue seule par toutes les portes? b) Doer u exemple d u tel circuit. ) Commet colorier les salles y compris l accueil et la boutique, e utilisat u miimum de couleurs, pour que 2 salles qui commuiquet par ue porte aiet des couleurs différetes? Exercice 4. Ue grade ville a créé u jardi pédagogique sur le thème de l écologie, jardi qui doit être visité par la suite par la majorité des classes de cette ville. Ce jardi comporte six zoes distictes correspodat aux thèmes : A. Eau B. Ecoomie d éergie C. Platatios et cultures locales D. Développemet durable E. Biotechologies F. Cotes d ici (et d ailleurs) Ces zoes sot reliées par des passages (portes) où sot proposées des questioaires. Le jardi et les portes sot représetés par le graphe ci-dessous (chaque porte et doc chaque questioaire est représeté par ue arête) Questio prélimiaire : Si u visiteur répod à tous les questioaires, à combie de questioaires aura-t-il répodu? Partie A : ) Doer la matrice G associée à ce graphe 2) Le graphe est-il complet? Est-il coexe? Justifier ) Peut-o parcourir le jardi e répodat à tous les questioaires et sas repasser deux fois devat le même questioaire : a) E commeçat la visite par importe quelle zoe? b) E commeçat la visite par la zoe C (platatios et cultures)? Das ce cas, si la répose est positive, quelle sera la derière zoe visité. (Das les deux cas, a et b, justifiez votre répose.) Page 2/

3 Partie B : Pour illustrer chaque zoe et préseter légedes et commetaires, les efats ot décidé d utiliser des supports de couleurs différetes. Pour limiter le ombre de couleurs, o utilise des couleurs différetes seulemet si les zoes sot limitrophes (avec u passage etre les deux). ) Doer et justifier u ecadremet du ombre chromatique de ce graphe. 2) Détermier alors e utilisat u algorithme adapté le ombre chromatique de ce graphe et proposer ue répartitio des couleurs. Exercice 5. O cosidère ue populatio doée d ue île de Bretage se redat régulièremet sur le cotiet. Deux compagies maritimes A et B effectuet la traversée. E 28, 6 % de la populatio voyage avec la compagie A. Les campages publicitaires fot évoluer cette répartitio. Ue equête idique alors que chaque aée 2 % des cliets de la compagie A l abadoet au profit de la compagie B et que % des cliets de la compagie B choisisset la compagie A. Pour tout etier aturel, l état probabiliste de l aée 28+ est défii par la matrice lige (x y ) où x désige la proportio de la populatio qui voyage avec la compagie A et y la proportio de la populatio qui voyage avec la compagie B.. Représeter la situatio par u graphe probabiliste de sommets A et B. 2. Écrire la matrice de trasitio M de ce graphe e preat les sommets A et B das cet ordre.. Préciser l état iitial P puis motrer que P (,52,48). 4. Détermier la répartitio prévisible du trafic etre les compagies A et B e Détermier l état stable et l iterpréter. 6. Motrer que, pour tout etier aturel, x +,7x +, O admet que, pour tout etier aturel, x +,7 + 5 Détermier la limite de la suite (x ) et l iterpréter. Exercice 6. Deux fabricats de parfum lacet simultaémet leur ouveau produit qu ils ommet respectivemet Aurore et Boréale. Afi de promouvoir celui-ci, chacu orgaise ue campage de publicité. L u d eux cotrôle l efficacité de sa campage par des sodages hebdomadaires. Chaque semaie, il iterroge les mêmes persoes qui toutes se proocet e faveur de l u de ces deux produits. Au début de la campage, 2 % des persoes iterrogées préfèret Aurore et les autres préfèret Boréale. Les argumets publicitaires fot évoluer cette répartitio : % des persoes préférat Aurore et 5 % des persoes préférat Boréale chaget d avis d ue semaie sur l autre. La semaie du début de la campage est otée semaie. a b, où a désige la Pour tout etier aturel, l état probabiliste de la semaie est défii par la matrice lige ( ) P probabilité qu ue persoe iterrogée au hasard préfère Aurore la semaie et b la probabilité que cette persoe préfère Boréale la semaie.. Détermier la matrice lige P de l état probabiliste iitial. 2. Représeter la situatio par u graphe probabiliste de sommets A et B, A pour Aurore et B pour Boréale.. a. Écrire la matrice de trasitio M de ce graphe e respectat l ordre alphabétique des sommets. b. Motrer que la matrice lige P est égale à (,,7). 4. a. Exprimer, pour tout etier aturel, P e foctio de P et de. b. E déduire la matrice lige P. Iterpréter ce résultat. Das la questio suivate, toute trace de recherche même icomplète ou d iitiative même o fructueuse sera prise e compte das l évaluatio. 5. Soit P (a b) la matrice lige de l état probabiliste stable. a. Détermier a et b. b. Le parfum Aurore fiira-t-il par être préféré au parfum Boréale? Justifier. Exercice 7. Deux joueurs A et B, amateurs de teis, décidet de jouer ue partie toutes les semaies. - La probabilité que A gage la partie de la première semaie est,7. - Si A gage la partie de la semaie, il garde la même stratégie de jeu la semaie suivate, et la probabilité qu il gage alors la partie de la semaie (+) est seulemet de,4. Page /

4 - Si A perd la partie de la semaie, il chage de stratégie de jeu pour la semaie suivate, et alors, la probabilité qu il gage la partie de la semaie ( +) est de,9. Pour tout etier supérieur ou égal à, o désige par A l évèemet : «A gage la partie de la ème semaie», par B l évèemet : «B gage la partie de la ème semaie», et o ote a p(a ). Le but de cet exercice est de rechercher la limite de la suite (a ), e utilisat deux méthodes différetes. Première méthode : graphe probabiliste Pour tout etier aturel o ul, o désige par P (a -a ) la matrice des probabilités associée à la ème semaie.. Décrire cette situatio à l aide d u graphe probabiliste, et doer la matrice M de trasitio associée à ce graphe. 2,7, 2. O doe M,55,45 et M,45,55,675,25 Quelle est la probabilité pour que A gage la partie de la 4 ème semaie?. Détermier la matrice lige P (x -x) telle que P M P 4. E déduire la limite de la suite (a ) et iterpréter le résultat obteu. Deuxième méthode : probabilité et suites Das cette deuxième partie, o e tiet pas compte de résultats démotrés das la partie précédete.. a. Recopier sur votre copie l arbre ci-dessous, et compléter l arbre avec les 5 probabilités maquates. b. Justifier que a +,9-,5a pour tout etier supérieur ou égal à. 2. O cosidère la suite (u ) défiie pour tout etier par : u a -,6. a. Démotrer que (u ) est ue suite géométrique de raiso (-,5). b. E déduire l expressio de a e foctio de, puis la limite de la suite (a ). Page 4/

5 GRAPHES - EXERCICES CORRIGES CORRECTION Exercice ) a) Recopier et compléter le tableau suivat : Sommets B C D F N T Degré des sommets du graphe (Rappel : le degré d u sommet est égal au ombre d arêtes dot ce sommet est l extrêmité) b) Justifier que le graphe est coexe. Ce graphe est coexe car tous les sommets peuvet être reliés etre eux par (au mois) ue chaie. Par exemple, la chaîe BCDNTF cotiet tous les sommets. 2) L existece d u parcours permettat au groupe de passer par les six sommets e passat ue fois et ue seule par chaque chemi est liée à l existece d ue chaîe eulériee. Puisque deux sommets exactemet sot de degré impair et que les autres sot de degré pair, le théorème d euler ous permet d affirmer l existece d ue telle chaîe eulériee, doc d u tel parcours. Par exemple, le trajet F-B-C-F-N-T-F-D-C-T-D-N répod au problème. ) a) Le sommet ayat le plus grad degré est le sommet F, de degré 5. Le cours ous affirme qu alors 5 +, c est-à-dire 6. De plus, le sous-graphe FCTD, d ordre 4, état complet, o aura 4 (il faudra au mois 4 couleurs pour le colorier). b) O utilise l algorithme de coloratio dit «algorithme glouto» pour colorier le graphe : Sommet Degré Couleur F 5 Couleur C 4 Couleur 2 D 4 Couleur T 4 Couleur 4 N Couleur 2 B 2 Couleur 4 Le ombre chromatique de ce graphe est doc égal à 4 4) O utilise l algorithme du plus court chemi de Dijkstra pour détermier ue chaîe qui miimise la distace du trajet eter B et N : B C F D T N Sommet sélectioé B() +22(B) +55(B) C(2) 2+5(C) 2+24(C) 2+46(C) D(4) 4+59(D) 4+7(D) 4+226(D) T(7) T(6) 7+825(T) 6+72(T) N(2) La plus courte chaîe reliat le sommet B au sommet N est doc B-C-T-N, de logueur égale à 2 km. Exercice 2 ) Ce graphe est coexe car tous les sommets peuvet être reliés etre eux par (au mois) ue chaie. Par exemple, la chaîe ABCDEF cotiet tous les sommets. 2) a) E utilisat u algorithme, détermier la plus courte chaîe reliat le sommet A au sommet F. O utilise l algorithme de Dijkstra pour détermier la plus courte chaîe reliat le sommet A au sommet F : A B C D E F Sommet sélectioé A() +77(A) +55(A) B(7) 7+29(B) 7+4(B) 7+62(B) E() +425(E) +2(E) D() +58(D) C(8) 8+2(C) F(2) La plus courte chaîe reliat le sommet A au sommet F est doc A-B-E-D-C-F b) Le poids de la plus courte chaîe A-B-E-D-C-F reliat le sommet A au sommet F est 2. Le temps de trasport miimal pour aller du site A au site F est doc de 2 heures. Page 5/

6 ) Détermier u parcours emprutat toutes les routes proposées ue et ue seule fois reviet à chercher ue chaîe eulériee das ce graphe. Or ce graphe cotiet quatre sommets de degré impair, à savoir les sommets C, D, E et F qui sot de degré. D après le théorème d Euler, il 'existe pas de chaîe eulériee issue de ce graphe. Il 'existe doc pas de parcours emprutat toutes les routes proposées ue et ue seule fois. Exercice Première partie : Etude d u graphe ) a) Le graphe est coexe car etre tout couple de sommets, il existe au mois ue chaîe. b) Le tableau doat les degrés de chaque sommet est : Sommet A B C D E F G H Y Z Degré c) Puisque seuls les deux sommets Y et Z sot de degré impair, le théorème d Euler affirme l existece d ue chaîe eulériee 2) a) Notos χ le ombre chromatique de ce graphe Le degré maximal atteit par les sommets du graphe est 4. Aisi χ 4 +, c est-à-dire χ 5 L ordre du plus grad sous graphe complet état de (par exemple le sous-graphe BDE), o aura doc χ. Fialemet, u ecadremet du ombre chromatique de ce graphe est χ 5 b) O procède à ue coloratio duc graphe selo l algorithme de Welch et Powell (ou «Algorithme Glouto») : Sommet (ordre décroissat des degrés) Degré Couleur A 4 Couleur B 4 Couleur 2 C 4 Couleur 2 D 4 Couleur E 4 Couleur G 4 Couleur Y Couleur F 2 Couleur H 2 Couleur Z Couleur Ce qui motre que le ombre chromatique est égal à Deuxième partie : Visite du musée ) Si o représete le musée à l aide d u graphe dot les sommets sot les pièces et les arêtes sot les portes permettat de commuiquer etre les pièces, o retombe sur le graphe de la partie, à coditio de désiger par Y l accueil et par Z la boutique 2) a) Trouver u tel circuit reviet à trouver ue chaîe eulériee parcourat ce graphe. D après la partie, ue telle chaîe existe. b) u exemple de tel circuit est la chaîe Y(accueil)-G-C-Y-A-C-D-G-H-E-D-B-E-F-B-A-Z(boutique), qui parcourt ue et ue seule fois toutes les arêtes du graphe. ) E repreat la coloratio établie das la partie, si o choisit de colorier : - d ue première couleur les salles A,E et G - d ue deuxième couleur les salles B et C - d ue troisième couleur les salles D,F,H, l accueil et la boutique, deux salles commuiquat par ue porte serot toujours coloriées à l aide de deux couleurs distictes. Page 6/

7 Exercice 4 Questio prélimiaire : Il y a dix questioaires car il y a dix arêtes. Partie A ) La matrice G du graphe est : G 2) Ce graphe est coexe car, pour chaque paire de sommets, il existe ue chaîe les reliat. Ce graphe est pas complet car, par exemple, les sommets E et F e sot pas adjacets. ) Les degrés des différets sommets sot doés par le tableau : Sommet A B C D E F Degré Comme le graphe est coexe et qu il y a que deux sommets de degré impair (B et C), le théorème d Euler ous permet d affirmer que ce graphe e possède qu ue chaîe eulériee (de B vers C ou de C vers B). a) O e peut doc pas parcourir le jardi e répodat à tous les questioaires et sas repasser deux fois devat le même questioaire, e commecat la visite par importe quelle zoe. b) O e déduit, d après la questio précédete, que la derière zoe visitée sera la B si o part de la zoe C. Partie B ) Le plus grad degré d u sommet est 5 ; doc le ombre chromatique χ est iférieur ou égal à 6. {A, B, C, D} est u sous-graphe complet. Doc, le ombre chromatique χ est supérieur ou égal à 4. Par coséquet, le ombre chromatique est compris etre 4 et 6. 2) O procède à ue coloratio du graphe e utilisat l algorithme de Welch et Powell (ou algorithme «glouto»), après avoir classé les sommets das l ordre décroissat de leur degré : Sommet Degré Numéro de Couleur B 5 A 4 2 D 4 C 4 E 2 2 F 2 4 Le ombre chromatique de ce graphe est 4. Exercice 5. Etre les deux sommets A et B figuret deux probabilités : D après l éocé, la probabilité de passer de la compagie A à la compagie B est égale à,2, doc celle de rester cliet de la compagie A est de -,2,8. La probabilité de passer de la compagie B à la compagie A est égale à,, doc celle de rester cliet de la compagie B est de -,,9. La situatio se traduit doc par le graphe probabiliste suivat : 2. La matrice de trasitio du graphe probabiliste ci-dessus est :,8, 2 M,,9 Page 7/

8 . L état iitial est la matrice lige P (x y ) D après l éocé, puisque «E 28, 6 % de la populatio voyage avec la compagie A», o e coclut que x,6, doc que y, 6, 4. L état iitial est doc la matrice lige P (,6,4) Puisque P P M, o calcule :,8, 2 ( x y ) (,6,4),,9,6,8 +,4,,6,2 +, 4,9 ( ) (,52, 48) 4. La répartitio prévisible du trafic etre les compagies A et B e 2 sera doée par l état probabiliste P (x y ). Puisque pour tout N, o a P P M, o calcule P P M D après la calculatrice, o obtiet : P P M ( ), 4248, L état stable S (x y) avec x+y est solutio de l équatio matricielle S S M. Les ombres x et y sot doc solutios du système :,8, 2 x,8x +,y, 2x +,y ( x y) ( x y),,9 y, 2x +,9y, 2x,y x y x y + + x + y Les deux premières liges du système état idetiques, o résout : x, 2,, 2,( ) x y x x, 2x +,x,,x,. x + y y x y x y x 2 y 2 L état stable est doc S. Cela sigifie qu au bout d u grad ombre d aées, des habitats utilisera la compagie A, cotre 2 pour la compagie B. P x y l état probabiliste de l aée 28++, 6. Si o ote ( ) + + +,8, 2 L égalité P + P M se traduit par : ( x+ y+ ) ( x y ), doc e particulier :,,9 x,8x + +,y. Puisque pour tout N, o a x + y, o e déduit que : Pour tout N, ( ) x,8x +, x,8x +,y +,, 7x, 7. Puisque <,7 <, o aura lim,7 doc par produit + 4 lim, 7 +, c est-à-dire 5 + lim + x 4 lim, 7 et par somme 5 Cela sigifie qu au bout d u grad ombre d aées, des habitats utilisera la compagie A. + Page 8/

9 Exercice 6. Puisqu au début de la campage, 2 % des persoes iterrogées préfèret Aurore, o aura a,2 doc b,8. La matrice lige P de l état probabiliste iitial est doc P (, 2,8) 2. Le graphe probabiliste sera costitué de deux sommets A et B origies et extrémités de deux arètes orietées et podérées. L arête reliat A à B das le ses A->B sera podérée par la probabilité qu ue persoe préférat Aurore ue semaie doée, ait chagé pour Boréale la semaie suivate, soit,. O obtiet aisi :. a. La matrice de trasitio M de ce graphe e respectat l ordre alphabétique des sommets est égale à :,9, M,5,85 b. O a :,9, P P M (,2,8),5,85, 2,9 +,8,5, 2,+,8,85 ( ) (,, 7) 4. a. Pour tout etier aturel, P P M,9, b. Aisi, P P M (,2,8),5,85 A l aide d ue calculatrice, après avoir défii das le meu MATRICE, ue matrice [A], de dimesio 2 correspodat à P et ue matrice [B], de dimesio 2 2 correspodat à M, o calcule : Aisi, P (, 425,56875) O peut estimer qu au bout de la ème semaie de campage, plus de 4% de la populatio sera favorable au parfum Aurore.,9, 5. a. L état stable P(a b) est solutio de l équatio matricielle P PM ( a b) ( a b).,5,85 De surcroît, o a a + b b a a,9a +,5b Les ombres a et b sot doc solutios du système que l o résout : a + b b a ( ) a,9a +,5b a,9a +,5 a a,9a +,5,5a a + b b a b a b a,5, 25a,5 a a, 6 a, 6,25 b a b,6 b, 4 b a L état stable est doc P (,6,4) b. O peut doc estimer qu à terme, 6% de la populatio sera favorable au parfum Aurore, qui sera doc préféré au parfum Boréale Page 9/

10 Exercice 7 Première méthode : graphe probabiliste. Si o ote A et B les deux états «le joueur A gage la partie» et «le joueur B gage la partie», la situatio ci-dessus se traduit par le graphie probabiliste de sommet A : où l éocé ous a fouri les probabilités coditioelles pa ( A ),4 doc pa ( B ), 6 et B ( ),9 pb ( B ),. La matrice de trasitio de ce graphe probabiliste est 2. Si o ote P ( a a ) (, 7,) l idicatio ( ),4,6 M,9, p A doc la matrice des probabilités associée à la ère semaie (l éocé ous fourit p A,7 ), alors pour tout etier, o aura P P M La matrice des probabilités associée à la 4 ème semaie sera,55, 45 P4 P M (, 7,),675,25, 7,55 +,, 675, 7, 45 +,,25 ( ) (,5875, 425) Aisi, la probabilité pour que A gage la partie de la 4 ème semaie vaudra p p( A ). Notos P (x -x) la matrice lige (dite «état stable») telle que P M P,4,6 L équatio matricielle P M P x x x x,9, x,4 + ( x),9 x,5 x,9,9 x,6 x, 6 + ( x), x,5 x,9,5 se traduit par ( ) ( ) L état stable du système est doc la matrice lige P (,6,4) 4. Les deux termesde l état stable (, 6, 4) 4 4,5875 +, doc par le système : P représetet successivemet lim a et lim + O viet doc de détermier que lim a,6, ce qui sigifie qu au bout d u grad ombre de parties, la probabilité + que le joueur A gage vaut,6 Deuxième méthode : probabilité et suites. a. L éocé ous fourit les probabilités suivates : A,4 A,6 pb A +,9 p ( A ) + doc p ( B ) + et ( ) doc p B ( B+ ), Efi, p( ) p( ) B A a Ces probabilités figuret sur l arbre podéré ci-cotre : a b. Pour tout etier supérieur ou égal à, o applique la formule des probabilités totales au système complet A ; B, pour écrire que : d évéemet ( ) Page /

11 ( ) ( ) + ( ) ( ) A ( ) ( ) ( ) + B +, 4 ( ),9,5,9 a p A p A A p B A p A p A + p B p A a + a a + 2. a. Pour tout etier, o calcule u a,6,5a +,9,6,5a +, + +, E factorisat par (-,5), o obtiet u+,5 a +,5( a,6),5u, ce qui prouve que la suite (u ),5 est ue suite géométrique de raiso (-,5). b. Puisque la suite (u ) est ue suite géométrique de raiso (-,5) et de premier terme u a,6,7,6,, o écrit : pour tout, u u ( ) ( ) coclut que pour tout etier Puisque,5,5,,5, et puisque pour tout, u a,6 a u +,6, o,,6, (,5) + a < <, o a ( ) lim,5 doc par produit puis somme des limites, lim a,6 + + Page /