Loi binomiale. Loi de Bernoulli

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1 Loi biomiale Loi de Beroulli O s itéresse ici à la réalisatio ou o d u évéemet. Autremet dit, o étudie les expérieces aléatoires qui ot que deux issues possibles : Obteir Pile ou Face Doer aissace à u garço ou ue fille Réussir à u exame ou échouer Siger u cotrat ou o O appelle ue expériece aléatoire de ce type ue épreuve de Beroulli. Défiitio Epreuve de Beroulli Ue épreuve de Beroulli est ue expériece aléatoire à deux issues appelées «Succès» et «Échec». O dit que l épreuve de Beroulli est de paramètre p si la probabilité de l issue «Succès» est p. O associe à cette épreuve ue variable aléatoire X qui pred la valeur 1 si l évéemet est réalisé et la valeur 0 sio. Cette v.a. e pred doc que deux valeurs (0 et 1) et sa loi est doée par : k 0 1 P(X = k) 1 p p Exemple O cosidère u groupe de persoes dot o sait que 2 sur 5 parlet chiois. O s itéresse à l expériece aléatoire suivate : O choisit au hasard ue persoe de ce groupe et o regarde si elle parle chiois ou pas. Justifier que cette expériece aléatoire est u schéma de Beroulli dot o détermiera le paramètre p... O associe maiteat à cette épreuve ue variable aléatoire X qui pred la valeur 1 si la persoe parle chiois et 0 si ce est pas le cas. Compléter le tableau suivat qui doe la loi de probabilité de X : k P(X = k) N. Duceux LFIB 1S Page 1

2 Défiitio Loi de Beroulli et variable de Beroulli Lorsqu ue variable aléatoire X e pred que les deux valeurs 0 ou 1 et que P(X = 1) = p, o dit qu elle suit la loi de Beroulli de paramètre p. O dit aussi que X est ue variable de Beroulli. O associe la valeur 1 à u succès et la valeur 0 à u échec de l expériece aléatoire. Propriétés Espérace et écart- type L espérace mathématique de X est E X = p E effet E X = 0 1 p + 1p = p L écart- type de X est σ(x) = p(1 p) E effet E X = 0 1 p + 1p = p et E[X ] = 0 1 p + 1 p = p V X = E[X ] E X = p p = p(1 p) Schéma de Beroulli Activité Ue ure cotiet 4 boules : 1 boule rouge et 3 boules bleues. O tire au hasard ue boule o ote sa couleur puis o la remet das l ure. O cosidère que lorsqu o tire ue boule rouge c est u succès (oté S) alors que le tirage d ue boule bleue est u échec (oté E). O effectue trois tirages avec remise. Partie A 1) Costruire l arbre détaillé représetat la situatio N. Duceux LFIB 1S Page 2

3 2) Calculer pour u tirage la probabilité d u succès? 3) Le résultat d u tirage ifluece- t- il le résultat du tirage suivat? 4) Décrire la loi de probabilité associée à u tirage. Partie B O ote Y la variable aléatoire qui compte le ombre de succès lors des trois tirages. 1) Quelles sot les valeurs prises par Y? 2) a) Quelle est la probabilité d obteir le triplet (S ; E ; E)? b) Combie y a- t- il de triplet comptat u succès et deux échecs? c) E déduire la probabilité d obteir «1 succès», c est- à- dire P(Y = 1). 3) a) Calculer la probabilité d obteir «0 succès», c est- à- dire P(Y = 0). b) Calculer la probabilité d obteir «2 succès», c est- à- dire P(Y = 2). c) Calculer la probabilité d obteir «3 succès», c est- à- dire P(Y = 3). d) Compléter le tableau ci- dessous précisat la loi de probabilité de Y : k P(X = k) Défiitio Schéma de Beroulli U schéma de Beroulli est ue expériece cosistat à répéter fois la même expériece de Beroulli de faço idépedate c est- à- dire que l issue d ue épreuve e déped pas des issues des épreuves précédetes. Le schéma a deux paramètres : le ombre de répétitios et la probabilité p du succès de l expériece, c est- à- dire la valeur de P(X = 1) (loi de Beroulli). N. Duceux LFIB 1S Page 3

4 Propriété O peut représeter u schéma de Beroulli (, p) par u arbre de probabilité à 2 chemis. Ci- dessous u schéma de Beroulli pour = 3 (soit 2 = 8 chemis). La probabilité d ue issue d u schéma de Beroulli s obtiet e faisat le produit des probabilités des issues obteues à chaque épreuve de Beroulli. Par exemple, la probabilité de (S, E, E) (e bleu sur l arbre) est p (1 p) O cherche maiteat à établir la loi de probabilité de Y qui, à u schéma de Beroulli, associe le ombre de succès obteus. Lorsque le ombre de tirages est limité (par exemple 3), il est pas trop difficile d établir la loi de Y, c est à- dire de calculer la probabilité de chaque chemi et de détermier le ombre de chemis coteat k succès et k échec. Mais si le ombre de tirage augmete, les calculs devieet plus compliqués. O doit doc détermier ue méthode de calcul du ombre de chemis comportat le même ombre de succès. N. Duceux LFIB 1S Page 4

5 Défiitio Coefficiets biomiaux Soit et k deux etiers aturels, avec 0 k. Coefficiets biomiaux O dispose d u arbre podéré associé à u schéma de Beroulli de paramètres et p. O appelle coefficiet biomial, oté chemis correspodat à k succès sur les épreuves de Beroulli., ou combiaiso de k élémets parmi, le ombre de Remarque détermie le ombre de - uplet (S, S, E,, S, E) coteat k succès S et k échecs E Plus gééralemet, représete le tirage de k élémets parmi sas ordre. Exemple O cosidère le schéma de Beroulli (3, p). Les possibilités d obteir exactemet deux succès sot (SSE) ou (SES) ou (ESS). Leur ombre est = 3 Il y a 1 chemi correspodat à 3 succès et u chemi correspodat à 3 échecs. 3 chemis correspodet à 2 succès et u échec et trois chemis correspodet à 1 succès et deux échecs. Propriétés Soit et k deux etiers aturels, avec 0 k. Alors : k = k Cette relatio proviet de la symétrie etre les succès et les échecs. E particulier, = 1 = 1 = = E pratique pour calculer Meu Calculs Probabilités (5) o utilise la calculatrice : TIspire TI 89 Casio 35+ Combiaiso : Cr() (3) Retrer das les parethèses,p Taper Appuyer sur la touche MATH Choisir le meu PROB Choisir Cr Taper k Taper ENTER Meu RUN Appuyer sur la touche OPTN Choisir le meu PROB Taper Choisir Cr Taper k Taper EXE N. Duceux LFIB 1S Page 5

6 Exemple Calculer ". Vérifier que " = " Théorème Soit et k deux etiers aturels, avec 0 k. Alors : k + k + 1 = + 1 k + 1 Preuve Les chemis comportat k + 1 succès parmi + 1 tirages sot de deux types : Ceux pour lesquels la derière épreuve doe u succès et sur pour lesquels la derière épreuve doe u échec. Si la derière épreuve doe u succès, alors pour avoir k + 1 succès au total, il faut avoir k succès parmi les premiers chemis soit k. Si la derière épreuve doe u échec, alors pour avoir k + 1 succès au total, il faut avoir k + 1 succès parmi les premiers chemis soit Propositio k+1. Soit et k deux etiers aturels, avec 0 k. k = k k se lit «factorielle» et représete le produit de tous les etiers iférieurs ou égaux à. = Applicatio - Triagle de Pascal Soit et k deux etiers aturels, avec 0 k. Alors e utilisat la relatio peut détermier de proche e proche toutes les combiaisos Pascal ci- dessous : k + k+1 =, o e costruisat le triagle de k N. Duceux LFIB 1S Page 6

7 Ue utilisatio très utile du triagle de Pascal: le calcul des idetités remarquables Quelques soiet les réels 𝑥 et 𝑦 et quelque soit l etier aturel 𝑛, o a : 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑦 + + 𝑥𝑦 + 𝑥 𝑦 𝑛 1 𝑛 Au rag 𝑛 = 0 : (𝑥 + 𝑦) = 1 Au rag 𝑛 = 1 : (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 𝑦 Au rag 𝑛 = 2 : (𝑥 + 𝑦) = 𝑥 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 Calculer (𝑥 + 𝑦) Calculer (𝑥 𝑦) (détermier le sige e foctio de la parité de la puissace de 𝑦) Loi biomiale Défiitio Loi biomiale Lorsqu ue variable aléatoire 𝑋 compte le ombre de succès lors de 𝑛 épreuves de Beroulli idépedates de paramètres 𝑝, o dit qu elle suit la loi biomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝. Cette loi est otée 𝐵(𝑛 ; 𝑝). Les coditios à remplir pour se trouver das le cadre d ue loi biomiale sot les suivates : L expériece cosiste à répéter la même épreuve 𝒏 fois de suite ; Le but de l expériece aléatoire est de compter le ombre d épreuves coformes à ue certaie propriété ; Quelque soit le rag de l épreuve, la probabilité d avoir u succès est toujours égale à 𝑝, autremet dit les épreuves sot idépedates. Cette derière coditio est réalisée otammet lorsque l expériece aléatoire est ue successio de tirage avec remise. Exemple O pred l exemple d u groupe de persoes dot o sait que 2 sur 5 parlet chiois. O s itéresse à l expériece aléatoire suivate : O choisit au hasard trois persoes du groupe et o cosidère la variable aléatoire 𝑋 qui, à chaque groupe de trois persoes, associe le ombre de persoes qui parlet chiois. O peut lister tous les résultats possibles : 3 persoes parlet chiois : 𝑃 𝑆; 𝑆; 𝑆 = N. Duceux LFIB 1S 0 persoe parle chiois 𝑃 𝐸; 𝐸; 𝐸 = Page 7

8 2 persoes parlet chiois : 1 persoe parle chiois : 𝑃 𝑆; 𝐸; 𝐸 = 𝑃 𝐸; 𝑆; 𝐸 = 𝑃 𝐸; 𝐸; 𝑆 = 𝑃 𝑆; 𝑆; 𝐸 = 𝑃 𝑆; 𝐸; 𝑆 = 𝑃 𝐸; 𝑆; 𝑆 = Il y a doc u chemi représetat trois succès et symétriquemet u chemi représetat trois échecs. Il y a trois chemis représetat deux succès et u échec et symétriquemet trois chemis représetat deux échecs et u succès. Propriété Loi de probabilité Si ue variable aléatoire 𝑋 suit la loi biomiale de paramètres 𝑛 et 𝑝 alors : Pour chaque etier 𝑘 tel que 0 𝑘 𝑛 la probabilité d obteir 𝑘 succès et 𝑛 𝑘 échecs est 𝑛 𝑃 𝑋=𝑘 = 𝑝 (1 𝑝) 𝑘 Preuve O cosidère ue expériece avec 𝑛 tirages idetiques et idépedats. La probabilité d obteir 𝑘 succès et 𝑛 𝑘 échecs est 𝑝 (1 𝑝). Le ombre de chemis meat à 𝑘 succès parmi 𝑛 tirages est. 𝑋 pred toutes valeurs etre 0 et 𝑛 et l o a : 𝑘 𝑃(𝑋 = 𝑘) 𝑛 1 𝑛 1 𝑝 𝑛𝑝(1 𝑝) 𝑛 𝑝 (1 𝑝) 2 𝑛𝑝 (1 𝑝) 𝑝 Théorème Espérace et écart- type Soit 𝑋 ue variable aléatoire suivat ue loi biomiale. Alors 𝐸 𝑋 = 𝑛𝑝 et 𝜎 𝑋 = 𝑛𝑝(1 𝑝) Exercice Soit 𝑋 suivat ue loi biomiale de paramètre 15 et 0,35. Détermier la valeur exacte, puis la valeur arrodie au millième des probabilités suivates : 𝑃(𝑋 = 5) 𝑃 𝑋 = 7 𝑃(𝑋 = 9) N. Duceux LFIB 1S Page 8

9 Exercice U joueur dispose d u dé cubique équilibré dot les faces sot umérotées de 1 à 6. A chaque lacer, il gage s il obtiet 2, 3, 4, 5 ou 6; il perd s il obtiet 1. Ue partie est costituée de 5 lacers du dé successifs et idépedats. Détermier la probabilité exacte pour que le joueur perde trois fois au cours d ue partie, puis sa valeur arrodie au dixième. Représetatio graphique O cosidère la loi biomiale B 50 ; 0,5 dot o a doé les probabilités ci- dessous : O a représeté la loi biomiale de paramètres 50 ; 0,5 par le diagramme e bâtos ci- dessous : Sur l axe des abscisses, o a porté les valeurs prises par la loi biomiale (tous les etiers k compris etre 0 et 50). Pour chaque etier k e abscisse, o a tracé u bâto dot la hauteur est égale (ou proportioelle) à la probabilité P(X = k). La loi est cetrée autour de l espérace égale à 25. N. Duceux LFIB 1S Page 9