I. Relations métriques

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1 1 sur 8 LEÇON 37 : RELATIONS MÉTRIQUES DANS UN TRIANGLE RECTANGLE. TRIGONOMÉTRIE. APPLICATIONS Niveau : Collège (4 ème - 3 ème ) (En 4 ème, on se limite à la définition du cosinus) (mais alors les preuves doivent s'effecteur sans le produit scalaire (niveau 1 ère ) Prérequis : i) Notion de distances notion d'orthogonalité (à l'équerre) ii) Notion d'angles géométriques (en particulier angles aigus, obtus complémentaires) iii) Triangles : Droites remarquables : hauteurs (médianes, médiatrices bissectrices) Cercle circonscrit à un triangle Somme des angles (les angles considérés étant géométriques i.e. appartenant à [0, ] ou [0, 180 ]) Cas particulier du triangle équilatéral iv) Caractérisation d'un parallélogramme par ses diagonales (sécantes en leur milieu) : carré rectangle v) (Aire d'un rectangle) On se place dans plan affine (associé au plan vectoriel ) muni d'une distance. On considérera, dans toute la leçon, un triangle ABC non aplati (i.e. A, B C non alignés). I. Relations métriques Définition : Un triangle ABC est rectangle en A si les droites (AB) (AC) sont perpendiculaires. Si c'est le cas, le côté [BC] sera appelé l'hypoténuse du triangle ABC. Proposition 1 : L'aire d'un triangle rectangle en A est S = AB AC (c'est la moitié de l'aire d'un rectangle). Soit A' le symétrique de A par rapport à I. Par construction, BACA' est un parallélogramme (car les diagonales se coupent en leur milieu). Ainsi, ABC est rectangle en A ssi BACA' est un rectangle (un rectangle étant un parallélogramme ayant un angle droit) donc ABC est rectangle en A ssi 2AI = BC (un rectangle étant un parallélogramme dont les diagonales ont même longueur) Proposition 2 : Caractérisation : Le triangle ABC est rectangle en A 2AI = BC où I est le milieu de [BC] A est sur le cercle de diamètre [BC] (c'est le Théorème de l'angle droit (cas particulier du Theorème de l'angle inscrit)) On a, avec I milieu de [BC], BC = BI + IC = 2BI. Ainsi, ABC est rectangle en A ssi AI = BI i.e. ssi A (I, BI), cercle de diamètre [BC]. Remarque : Via le produit scalaire, la démonstration est immédiate avec : Théorème : Théorème de Pythagore sa réciproque ABC est rectangle en A ssi BC² = AB² + AC² (i.e. le carré de l'hypoténuse est la somme des carrés des 2 autres côtés)

2 2 sur 8 i) Si ABC est rectangle en A : On considère un carré de côté AB + AC tel que A, B, C Puis le carré CBC'B' inscrit dans Le calcul de l'aire de par 2 méthodes différentes nous donne : (somme des aires du carré inscrit des 4 triangles rectangles) Ainsi, en développant le membre de droite, il vient par identification AB² +AC² = BC² le résultat. ii) Réciproquement, si BC² = AB² +AC² Soit H le pied de la hauteur issue de A A' le point d'intersection de [HA) du cercle de diamètre [BC]. Le triangle A'BC est rectangle en A' d'après la proposition 1, donc on a BC² = A'B² + A'C². Or ABH, ACH A'BH, A'CH sont rectangles en H, ainsi en appliquant le théorème de Pythagore, l'égalité AB² + AC² = A'B² +A'C² se résume à 2AH² = 2A'H². D'où AH = A'H, i.e. A = A' ABC rectangle en A (Proposition 2). Remarque : Ici encore, la démonstration est plus simple via le produit scalaire. En eff, on a (par symétrie du produit scalaire) Ainsi, i.e. ABC rectangle en A. Remarque : i) Le théorème de Pythagore nous perm en connaissant deux longueurs des côtés d'en déterminer la troisième. ii) De plus, l'hypothénuse est le plus grand côté d'un triangle rectangle Proposition 3 : Relations métriques : On note H le pied de la hauteur issue de A. On suppose de plus H ]BC[, alors : i) ABC est rectangle en A BC AH = AB AC (Formules des aires) ii) ABC est rectangle en A BA² = BH BC CA² = CH CB iii) ABC est rectangle en A AH² = BH HC i) L'aire de ABC est S = Base hauteur = BC AH (c'est la moitié de l'aire d'un rectangle) Et si ABC est rectangle en A, S = AB AC (car (AB) est la hauteur issue de B ou (AC) celle issue de C) Ainsi, par identification, on a bien BC AH = AB AC (Formules des aires). Réciproquement, si BC AH = AB AC, l'aire du triangle ABC est donc S = BC AH = AB AC Mais on a également, S = AB CH' où H' est le pied de la hauteur issue de C. D'où nécessairement, AC = H'C i.e. H' = A avec A, B, H' alignés donc (AC) (AB) ABC est rectangle en A. ii) Si ABC est rectangle en A, on a : BA² = BC² - AC² par le théorème de Pythagore BA² = BC² - (AH² + HC²) avec ACH rectangle en H Pythagore BA² = BC² - (AB² - BH² + HC²) avec ABH rectangle en H D'où 2AB² = BC² + BH² - CH² Or B,C H étant alignés, on a BC² = (BH + HC)² où H ]BC[ donc, il vient 2AB² = 2BH² + 2BH HC = 2BH(BH + HC) = 2BH HC > 0 (Les mesures algébriques nous assurant que H ]BC[) La réciproque s'obtient alors en remontant les calculs (avec H ]BC[) De plus, B C jouant des rôles arbitraires, on obtient par permutation la seconde équivalence. iii) Semblable à ii) Si ABC est rectangle en A, on a BC² = AB² + AC² par le théorème de Pythagore avec ABH ACH rectangles en H De même, on a BC² =(BH + HC)² = BH² + HC² + 2BH HC (avec B, C H alignés)

3 D'où par identification AH² = BH HC Et réciproquement, en remontant les calculs. Remarque : Les propriétés sont encore vraies avec des mesures algébriques (Hors-programme Collège). Démonstration identique par le produit scalaire en remplaçant les mesures algébriques par des vecteurs avec ssi sont colinéaires. II. Trigonométrie Proposition 4 : (Egalité de trois rapports) (Proportionnalité - Thalès dans un cas particulier) Soit ABC un triangle rectangle en A Soit A' [AB], C' [BC] tel que (A'C') //(AC) Alors En particulier, les rapports sont indépendants de la longueur des côtés. Posons BC = xbc' AB = yba' Par Pythagore, on a BC² = AB² + AC² d'où x²bc'² = y²ba'² + AC² BC'² = A'B² + A'C'² d'où x²bc'² = x²ba'² + x²a'c'² l'égalité y²ba'² + AC² = x²ba'² + x²a'c'² (*) D'autre part, en calculant l'aire du triangle ABC de deux manières, on a : d'où A'C' AB = AC A'B i.e. A'C' yba' = AC A'B AC = ya'c' Enfin, avec (*), on obtient y²ba'² + y²a'c'² = x²ba'² + x²a'c'², i.e. x = y Ainsi,. D'où le résultat. En particulier, ce qui prouve que le rapport est indépendant de la longueur des côtés. Donc les rapports sont indépendants de la longueur des côtés ne dépendent que de l'angle. (l'angle étant lui-même fonction de l'angle, avec = 180 i.e. = 90 puisque par hypothèse l'angle est droit). Définition : On définit, dans un triangle rectangle en A, le cosinus, le sinus la tangente d'un angle les formules suivantes : aigu par Remarques : i) La définition est légitimée par la proposition 4 (les rapports sont indépendants de la longueur des côtés ne dépendent que de l'angle) ii) Ainsi, dans un triangle rectangle la connaissance d'une longueur d'un angle ou de deux longueurs nous perm de déterminer les trois longueurs les trois angles, i.e. de déterminer complètement un (unique) triangle. Proposition 5 : Pour tout angle (géométrique) aigu, on a les propriétés suivantes : 3 sur 8

4 4 sur 8 iii) Lorsque les angles sont complémentaires, i.e. = 90 (ce qui est le cas ici), on a i.e. i) Par définition, dans un triangle rectangle en A, on ii) Dans ABC rectangle en A, on a avec BC² = AB² + AC² d'après le théorème de Pythagore iii) Dans ABC rectangle en A, on a en échangeant les rôles de B C, on a d'où le résultat. Proposition 6 : Valeurs remarquables i) On se place dans un triangle équilatéral de côté 1, puis on considère le triangle ABH rectangle en H où H est le pied de la hauteur issue de A. On a Ce qui nous donne la 1 ère la 3 ème colonne (par complémentarité). ii) On se place dans un carré ABCD de côté 1, puis on considère le triangle isocèle ABC rectangle en B. On a = 45 Ce qui prouve la seconde colonne. III. Applications 1. Spirale des racines des entiers Le Théorème de Pythagore perm de construire à la règle au compas la racine d'un entier donné (de proche en proche). 2. Construction de (à la règle au compas) pour une longueur x donnée (en utilisant la proposition 3-iii), i.e. AH² = BH HC) On considère trois points B, H, C alignés dans c ordre tel que BH = 1 HC = x. Soit le point A tel que ABC est un triangle rectangle H est le projé de A sur [BC], i.e. A est situé à l'intersection du cercle de diamètre [BC] de la perpendiculaire à (BC) passant par H. On a alors AH² = BH HC (d'après la proposition 3-iii)), d'où AH = Remarque : Ce résultat se démontre également, en appliquant trois fois le théorème de Pythagore dans ABH, ACH

5 5 sur 8 ABC avec la même configuration. Application : Construction d'un carré de même aire qu'un rectangle donné. On considère les mêmes données avec BH = L HC = l. D'où AH² = L l c = AH est la longueur du côté du carré cherché. 3. Topographie Déterminer la hauteur d'un immeuble (ou d'un phare) par des mesures de longueurs d'angles. On considère la figure ci-contre avec, AB connus. Par définition de la tangente, on a (dans AIH) Or A,B H étant alignés dans c ordre, on a AH = AB + BH, donc d'où i.e. 4. Construction d'une tangente à un cercle passant par un point donné extérieur au cercle On se donne un cercle de centre O un point M extérieur au cercle. On construit le cercle de diamètre [OM] on considère les points T T' intersection de ces deux cercles (non vide). La proposition 2 nous assure alors que les triangles OMT OMT' sont rectangles en T T' car inscrits dans le cercle de diamètre [OM]. Ainsi, (OT) (TM) (OT') (T'M) i.e. (TM) (T'M) sont les deux tangentes au cercle passant par M. IV. Compléments Remarque : On a défini dans la partie II, le cosinus, le sinus la tangente d'un angle aigu (0 < < 90 ). On va étendre maintenant la notion de sinus pour un angle nul, droit (90 ), obtus ( 90 < < 180 ) plat. Définition : On pose : si est l'angle nul. si est l'angle droit si est un angle obtus (90 < < 180 ). Remarques : i) On a immédiatement sin(180 ) = sin 0 = 0, i.e. le sinus d'un angle plat est nul. ii) On peut également définir le cosinus d'un angle obtus par ou encore le cosinus le sinus d'un angle obtus avec Proposition 7 : Soit ABC un triangle quelconque. On note a = BC, b = AC c = AB. i) où S est l'aire du triangle ABC

6 6 sur 8 ii) iii) ABC est rectangle en A (Formule des sinus) i) Soit H le pied de la hauteur issue de A. On a vu que S ABC = BC AH = a AH Deux cas se présentent alors : Si l'angle est aigu On a par définition du sinus dans le triangle rectangle AHC D'où S ABC = Si l'angle est obtus On a par définition du sinus dans le triangle rectangle AHC. Or par définition du sinus d'un angle obtus, on a D'où S ABC = Enfin, par permutation circulaire, on obtient : S ABC = ii) C'est un corollaire du i), en eff en divisant les égalités précédentes par abc, on obtient directement. D'où le résultat le résultat. iii) Les égalités précédentes élevées au carré nous donnent :. D'où (car ) Donc si le triangle est rectangle en A, d'après le théorème de Pythagore, on a BC² = AB² + AC² d'où Réciproquement, l'égalité entraîne BC² = AB² + AC² d'où ABC rectangle en A par la réciproque du théorème de Pythagore. Remarques : i) Si ABC est rectangle en A, alors sont complémentaires i.e. = 90. (car la somme des angles d'un triangle est égale à 180 ), donc d'après la propostion 3-iii), Ainsi, d'après la propostion 3-ii) avec Ce qui justifie la définition donnée du sinus d'un angle droit. ii) On peut en déduire que ABC est rectangle ssi (cf Application 5) V. Applications (compléments) 5. Caractérisation angulaire d'un triangle rectangle Proposition : Un triangle ABC (non aplati) est rectangle si seulement si i) : Si ABC est rectangle en A (par exemple), on a Puis, par définition du cosinus du sinus dans un triangle rectangle, Ainsi ii) : Si On sait que le rayon du cercle circonscrit vérifie D'où i.e. 8R² = a² + b² + c² On considère le cercle circonscrit au triangle ABC. Soit A' le point diamétralement opposé à A.

7 7 sur 8 Le triangle AA'B est rectangle en B, donc par le théorème de Pythagore, on a AA'² = A'B² + AB² De même, pour AA'C, où l'on a AA'² = A'C² + AC² D'autre part, on a (Al Kashi) d'où Ainsi Et, de même, on a Donc, Enfin, si A', B C sont alignés : Comme A', B C appartiennent au cercle circonscrit que B C (ABC non aplati), on a nécessairement A' = B ou A' = C. Or A' = B [AB] est un diamètre de ABC est rectangle en C A' = C [AC] est un diamètre de ABC est rectangle en B si A',B C ne sont pas alignés : La réciproque du théorème de Pythagore nous donne A'BC rectangle en A' donc [BC] est un diamètre de ABC est rectangle en A. 6. Bissectrices Proposition : Soit A' l'intersection de [BC] de la bissectrice intérieure issue de A. La bissectrice de l'angle divise le côté [BC] en un rapport proportionnel aux côtés [AB] [AC] "adjacents" à l'angle i.e. C'est une application de la formule des sinus. On sait que deux triangles ayant une hauteur commune ont des aires proportionnelles à leur base ; ainsi Or D'où le résultat par identification 7. Rayon du cercle circonscrit Proposition : Dans le triangle ABC (non aplati), on a : Rayon du cercle circonscrit Soit O le centre du cercle circonscrit au triangle ABC (point de concours des médiatrices) On introduit le point D diamétralement opposé à B. Le triangle BCD étant rectangle en C, on a par définition du sinus. Deux cas sont alors à distinguer : i) 1 er cas : l'angle est aigu. Le théorème de l'angle inscrit (i.e. dans un cercle, l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc) nous donne : D'où ii) 2 ème cas : l'angle est obtus. Le théorème de l'angle inscrit nous donne :

8 8 sur 8 D'où Ainsi avec Et le résultat, à l'aide de la formule des sinus. rrouvez cte page sur l'île des mathématiques Tom_Pascal & Océane 2005