Équations générales des milieux continus. Jean Garrigues. (version du 4 septembre 2014)

Transcription

1 Équaions générales des milieux coninus Jean Garrigues (version du 4 sepembre 2014

2

3 Avan-propos L objecif de ce cours es d éablir les équaions générales régissan ous les milieux coninus, qu ils soien solides ou fluides. Les développemens qui suiven se placen dans le cadre de la physique classique (non relaivise e non quanique. Les équaions générales des milieux coninus son donc les conséquences des quare principes fondamenaux de la physique classique (1 : 1. le principe de la conservaion de la masse ; 2. le principe fondamenal de la mécanique ; 3. le premier principe de la hermodynamique ou principe de la conservaion de l énergie ; 4. le second principe de la hermodynamique. En ce qui concerne le principe fondamenal de la mécanique, l aueur a résolumen choisi de se baser sur le principe fondamenal de Newon, c es-à-dire celui qui es généralemen enseigné dans les cours élémenaires de mécanique générale. Ce choix es un choix pédagogique : pluô que de commencer la mécanique des milieux coninus par l énoncé d un nouveau principe fondamenal de la mécanique (le principe des ravaux viruels ou des puissances viruelles (2, il semble préférable à l aueur de se baser sur les connaissances classiques préalablemen acquises par les éudians en mécanique générale. Les connaissances préalables de mécanique générale nécessaires e suffisanes à la lecure de ce cours se limien aux rois héorèmes généraux pour des ensembles de poins maériels (finis ou infinis : 1. le héorème de la résulane dynamique ; 2. le héorème du momen dynamique ; 3. le héorème de la puissance cinéique (dérivée emporelle de l énergie cinéique. En ce qui concerne la hermodynamique, aucune connaissance préalable n es requise ; le cours en rappelle les conceps fondamenaux e ne s appuie que sur l énoncé primal des deux principes. En première lecure, le leceur pourra ignorer les remarques ou commenaires qui apparaissen en rerai e en peis caracères sans nuire à la compréhension de l ensemble du cours. La lecure de ce cours suppose une maîrise suffisane de l algèbre e de l analyse ensorielles (3 ainsi que de la cinémaique des milieux coninus (4. Dans la mesure du possible, on respecera les convenions ypographiques suivanes : les nombres réels son en minuscules ialiques (exemple : a, µ ; (1 On démonre que si le principe de la conservaion de l énergie es universel e si les grandeurs calorifiques scalaires ou vecorielles son objecives, les deux premiers principes (masse e mécanique en son des conséquences. Voir l aricle hp://hal.archives-ouveres.fr/hal (2 Dans ce cours, ils apparaîron donc comme des héorèmes. (3 L aueur propose un aure cours iniulé Algèbre e analyse ensorielles pour l éude des milieux coninus : hp://cel.archives-ouveres.fr/cel ou bien hp://jgarrigues.perso.cenrale-marseille.fr/enseurs.hml (4 L aueur propose un aure cours iniulé Cinémaique des milieux coninus : hp://cel.archives-ouveres.fr/cel ou bien hp://jgarrigues.perso.cenrale-marseille.fr/cinemaique.hml.

4 4 les veceurs son en minuscules ialiques grasses (exemple : v ; les enseurs son en majuscules ialiques grasses (exemple : T ; les ermes d une marice son rangés dans un ableau enre croches, à deux indices, l indice de gauche es l indice de ligne, e l indice de droie es l indice de colonne : m 11 m 12 m 13 m 21 m 22 m 23 = [ ] m i j m 31 m 32 m 33 la ransposiion es noée avec un en exposan (exemple : T ; les ensembles d eniés mahémaiques son en majuscules doublées, en pariculier : R es l espace des réels, V 3 es un espace vecoriel de dimension 3, V p 3 es l espace vecoriel des enseurs d ordre p consruis sur V 3 (de dimension 3 p, Q 3+ es le groupe des roaions (Q 3+ V 2 3 ; le produi vecoriel de deux veceurs de V 3 es noé ; le enseur mérique es noé G ; le enseur d orienaion es noé H ; la descripion de Lagrange d un champ maériel es noée avec un indice L ; la descripion d Euler d un champ maériel es noée avec un indice E ; la dérivée pariculaire d une grandeur physique Ψ es noée Ψ. Remerciemen Je iens à remercier rès vivemen Mahias LEGRAND (5, ce grand magicien de LATEX, sans qui la mise en page de ce exe ne serai que celle par défau de la classe book (6 e qui m a aussi donné de précieux conseils sur la ypographie française. Bonne lecure. Informaion Ce exe es rédigé en vue d une lecure dynamique à l écran : oues les références inernes e exernes son acives e conduisen à la cible référencée (dans la plupar des visualisaeurs de fichiers au forma pdf, on revien à l éa précéden avec la combinaison de ouches <al><page arrière>. Néanmoins, les références des pages on éé conservées pour la lecure du documen imprimé. (5 De l universié McGill, de Monréal. (6 Ceux qui écriven en LATEX me comprendron.

5 Table des maières 1 Conceps fondamenaux Les domaines de milieux coninus Domaine maériel, 9 Domaine géomérique, 10 Comparaison, Grandeurs physiques exensives Applicaion à un domaine maériel, 11 Applicaion à un domaine géomérique, Dérivées emporelle d inégrales à bord mobile Cas d un domaine maériel, 12 Cas d un domaine géomérique, Lemme fondamenal En bref Conservaion de la masse Concep de masse Principe de la conservaion de la masse Forme locale du principe de la conservaion de la masse Bilan de masse dans un domaine géomérique Densiés massiques de grandeurs exensives Changemens d observaeur En bref Principe fondamenal de la mécanique Rappels de mécanique générale Loi de Newon e observaeurs galiléens, 25 Théorèmes généraux, Effors exérieurs sur un domaine maériel Acions à disance, 28 Acions de conac, Effors inérieurs dans un milieu coninu Exisence du enseur des conraines, 30 Condiions aux limies en conraine, 31 Décomposiion des conraines, Théorèmes généraux pour un domaine maériel Théorème de la résulane dynamique, 33 Théorème du momen dynamique, 34 Théorème de la puissance cinéique, Conséquences locales des héorèmes généraux Équaion de mouvemen, 36 Symérie du enseur des conraines, 37 Puissance des effors inérieurs, 39 Synhèse, 39.

6 6 3.6 Théorèmes généraux pour un domaine géomérique Bilan de quanié de mouvemen, 41 Bilan de momen cinéique, 42 Bilan d énergie cinéique, Formulaion inégrale des équaions de mouvemen Changemens d observaeur En bref Conservaion de l énergie Conceps de base en hermodynamique Sysème, 49 Variables d éa, 50 Foncion d éa, 53 Isoropie des foncions d éa, 54 Espace des éas, 55 Évoluion hermodynamique, Principe de la conservaion de l énergie Énoncé classique pour une évoluion finie enre deux insans, 57 Énoncé global insanané, Conservaion de l énergie pour un domaine maériel Forme locale de la conservaion de l énergie Conservaion de l énergie pour un domaine géomérique Changemens d observaeur En bref Second principe de la hermodynamique Inroducion Énoncé radiionnel Second principe pour un domaine maériel Forme locale du second principe Second principe pour un domaine géomérique Changemens d observaeur Nécessié de l exisence d une loi de comporemen hermique Capaciés calorifiques locales dans une évoluion En bref Le modèle fluide simple Définiion d un fluide simple Conséquences du second principe de la hermodynamique Relaion de Helmholz, 81 Loi de comporemen mécanique, 82 Loi de comporemen hermique, 82 Synhèse, Fluides simples newoniens Gaz parfais Liquides idéaux

7 Table des maières Fluides simples compressibles e dilaables Compressibilié e dilaabilié, 87 Fluide simple à compressibilié e dilaabilié consanes, En bref Synhèse Le problème de mécanique des milieux coninus La résoluion Conclusion A Démonsraions A.1 Lemme fondamenal pour les inégrales de volume A.2 Démonsraion de l «hypohèse de Cauchy» A.3 Exisence du champ ensoriel des conraines de Cauchy A.4 Exisence du champ vecoriel couran de chaleur

8

9 1 Conceps fondamenaux Avan d aborder l écriure des principes fondamenaux e de leurs conséquences pour les milieux coninus, il es nécessaire d inroduire des conceps indispensables à la bonne compréhension des chapires suivans. 1.1 Les domaines de milieux coninus En mécanique des milieux coninus, on raisonne sur deux ypes de domaines : les domaines maériels e les domaines géomériques. Dans cee secion on en donne les définiions. Remarque Dans la liéraure spécialisée, les aueurs ne précisen pas oujours clairemen le ype de domaine qu ils considèren, e cee imprécision es à l origine de nombreux malenendus Domaine maériel Définiion 1.1 Domaine maériel. Un domaine maériel es défini par l ensemble des paricules (a priori en mouvemen qui le consiuen. Si une paricule apparien au domaine maériel à un insan, elle lui apparien donc à ou insan. Un domaine maériel se déplace e se déforme en raison du mouvemen de ses paricules (1. Quand on considère un domaine maériel, on di souven que «l on sui le domaine dans son mouvemen». Il n y a donc pas de maière qui raverse la fronière en mouvemen. Le domaine maériel éan en mouvemen, l ensemble des posiions acuelles de ses paricules défini une région de l espace qui change à chaque insan. Remarque Chaque observaeur aribue aux paricules du domaine maériel une posiion e un mouvemen différen. La forme d un domaine maériel évolue avec le emps, mais sa forme acuelle es la même pour ous les observaeurs (objecivié des disances acuelles enre paricules. Noaion 1.2 Dans la suie, on uilisera les convenions suivanes : un domaine maériel sera noé D m (c es un ensemble de paricules ; le domaine de l espace occupé par ses paricules à l insan acuel sera noé m ; sa fronière à l insan acuel sera noée m ; le domaine de l espace occupé par ses paricules à un insan de référence 0 sera noé D0 m ; sa fronière à l insan de référence 0 sera noée D0 m. Vocabulaire En hermodynamique, les domaines maériels son appelés sysèmes fermés (2. (1 Ce mouvemen es différen pour chaque observaeur. (2 Avec parfois une peie nuance : les hermodynamiciens supposen parfois impliciemen que la fronière éanche à la maière es fixe (pour un cerain observaeur. Nous ne ferons évidemmen pas cee resricion.

10 10 Chapire 1. Conceps fondamenaux Domaine géomérique Définiion 1.3 Domaine géomérique. Un domaine géomérique es défini par l ensemble des poins géomériques qui le consiuen. Comme pour ou domaine, la fronière d un domaine géomérique es une surface fermée. Quand un milieu coninu es en mouvemen, les paricules qui son dans le domaine géomérique à un insan ne son pas les mêmes que celles qui s y rouven à un aure insan. On di que le domaine géomérique es «raversé par le milieu coninu en mouvemen». Il y a donc des paricules qui raversen la fronière (ou une parie de fronière, en enran ou en soran du domaine géomérique. Dans ce cours, les fronières des domaines géomériques seron considérées a priori comme mobiles pour l observaeur uilisé pour décrire le mouvemen, mais le mouvemen des poins de la fronière du domaine géomérique es différen du mouvemen des paricules qui s y rouven. Remarque Chaque observaeur aribue à la fronière du domaine géomérique une posiion e un mouvemen différen. La forme du domaine géomérique peu êre variable avec le emps, mais sa forme acuelle es la même pour ous les observaeurs (objecivié des disances acuelles enre poins. Noaion 1.4 Dans la suie, on uilisera les convenions suivanes : un domaine géomérique sera noé D g (région de l espace délimiée par une fronière fermée ; le domaine de l espace qu il occupe à l insan sera noé g ; sa fronière (a priori mobile à l insan sera noée g. Vocabulaire En hermodynamique, les domaines géomériques son appelés sysèmes ouvers. En mécanique des fluides, ils son souven aussi appelés volumes de conrôle ( Comparaison enre les deux ypes de domaines Les deux ypes de domaines on chacun leur inérê : Les domaines maériels son les préférés des mécaniciens des solides déformables. En effe, leur suje d éude es le comporemen d un obje déformable oujours consiué des mêmes paricules : les paricules de l obje déformable. Les domaines géomériques son les préférés des mécaniciens des fluides. En effe, en mécanique des fluides (liquides ou gaz, on ne se préoccupe que de l évoluion des grandeurs physiques des paricules qui son acuellemen à l inérieur du domaine géomérique, sans se préoccuper de leur évoluion lorsqu elles se siuen à l exérieur. Remarque Les mécaniciens des fluides qui n envisagen que des domaines géomériques supposen souven impliciemen (e parfois un peu rop vie que les domaines géomériques on des fronières fixes. Il n es pas oujours possible de rouver un observaeur pour lequel le domaine géomérique es à fronières fixes. Par exemple, si on considère le domaine géomérique défini comme l espace à l inérieur d une urbomachine, il exise des paries de fronières qui son mobiles (les aubages qui ournen par rappor à d aures paries de fronières (les parois e les secions d enrée e de sorie ; dans ce cas, il n es pas possible de rouver un observaeur pour lequel oues les fronières du domaine géomérique son fixes. C es pourquoi dans la suie, pour ne pas resreindre la généralié des équaions, les fronières d un domaine géomériques seron a priori considérées comme mobiles. (3 En hermodynamique comme en mécanique des fluides, il es parfois sous-enendu que les fronières d un domaine géomérique son fixes (pour un cerain observaeur.

11 1.2 Grandeurs physiques exensives Grandeurs physiques exensives Définiion 1.5 Grandeur exensive. On di qu une grandeur physique Ψ(D (scalaire, vecorielle ou ensorielle définie pour un domaine D (maériel ou géomérique es exensive si, pour oue pariion du domaine D, sa valeur es la somme de ses valeurs pour chaque parie D i de la pariion : Ψ grandeur exensive Ψ(D = n i=1 Ψ(D i, la pariion {D i } Rappel Une pariion d un domaine D es un ensemble de n paries {D i } el que : D = n i=1 D i e D i D j = /0, i j Théorème 1.6 Densié volumique. Si une grandeur Ψ(D es exensive, alors il exise dans le domaine D un champ, noé Ψ v (M, e appelé densié volumique de Ψ el que : Ψ(D = Ψ v (M dv (1.1 D Démonsraion Cee propriéé es l applicaion du héorème de Radon-Nikodym-Lebesgue à l ensemble des paries de D. Ceraines grandeurs physiques son exensives d aures ne le son pas. Pour le déerminer, il suffi de vérifier si les condiions de la définiion 1.5 son remplies ou non. Exemple 1.7 Le volume (scalaire, la masse (scalaire, l énergie cinéique (scalaire, la quanié de mouvemen (veceur son des grandeurs exensives. En revanche, la empéraure (scalaire, la pression (scalaire, la déformaion (enseur d ordre 2 son des grandeurs non exensives. Grandeurs inensives Les grandeurs physiques non exensives son souven dies inensives Applicaion à un domaine maériel Puisque dans un domaine maériel, les paricules qu il conien son oujours les mêmes, on peu idenifier ses paricules indifféremmen par la méhode de Lagrange (par leur posiion de référence ou par la méhode d Euler (par leur posiion acuelle. Pour désigner les domaines, on uilise les noaions 1.2 [p. 9] e 1.4 [p. 10]. Soi Ψ es une grandeur exensive e soi Ψ v sa densié volumique [h. 1.6], sa valeur acuelle pour le domaine maériel D m peu s écrire de deux manières : Ψ(D m, = Ψ v E(x, dv = Ψ v L(x 0,K vl (x 0, dv 0 (1.2 D m 0 où K v es la dilaaion volumique acuelle en une paricule dans une déformaion don le domaine de référence es D m 0. Le erme K vl(x 0, es la descripion de Lagrange de ce champ maériel. Précisions Dans l équaion (1.2, pour passer de l inégrale sur le domaine acuel m à l inégrale sur le domaine de référence D0 m, on effecue le changemen de variable x = f (x 0,, où f es la descripion de Lagrange du mouvemen. On a donc : Ψ v E(x, = Ψ v E( f (x0,, = Ψ v ( L(x 0, = Ψ v (P, e dv = K v dv 0

12 12 Chapire 1. Conceps fondamenaux Applicaion à un domaine géomérique Conrairemen aux domaines maériels, on ne peu idenifier les paricules qui son acuellemen à l inérieur du domaine géomérique que par la méhode d Euler, car ce son les valeurs de la densié volumique Ψ v pour les paricules qui son acuellemen à l inérieur du domaine géomérique qui son l obje de l inégraion (ceraines paricules ne son peu-êre plus dans le domaine D g à un aure insan car des paricules raversen la fronière. Par conséquen, la valeur acuelle de la grandeur exensive Ψ(D g, ne s écri qu avec une descripion d Euler du champ Ψ v : Ψ(D g, = D g Ψ v E(x, dv ( Rappel : dérivées emporelles d inégrales à bord mobile Que les domaines envisagés soien maériels ou géomériques, on aura besoin, dans les chapires qui suiven, d écrire la dérivée emporelle d inégrales sur des domaines don les fronières son a priori variables avec le emps. La variaion emporelle d une inégrale de volume don le domaine d inégraion varie avec le emps es due à la fois à la variaion emporelle de son inégrande e à la variaion emporelle du domaine d inégraion dû au mouvemen des fronières. On rappelle le résula mahémaique suivan (4 : Théorème 1.8 Dérivée d une inégrale à bords mobiles. Soi la posiion acuelle d un domaine (maériel ou géomérique e soi Ψ v un champ défini dans D. On noe n la normale uniaire sorane à la fronière acuelle e on noe v f la viesse acuelle d un poin de la fronière. La dérivée emporelle de l inégrale du champ Ψ v sur le domaine D es : d d Ψ v Ψ (x, dv = D v (x, dv + Ψ v (x,(v f n ds (1.4 D Dérivée emporelle d une grandeur exensive sur un domaine maériel Soi Ψ une grandeur exensive don la densié volumique es le champ maériel Ψ v (P, e soi D m un domaine maériel. On peu décrire le champ maériel Ψ v (P, par la méhode de Lagrange ou celle d Euler [éq. (1.2 p. 11]. la valeur acuelle de la grandeur exen- Si le champ Ψ v es décri par la méhode d Euler, sive Ψ pour le domaine maériel D m es : Ψ(D m, = Ψ v E(x, dv [éq.(1.2 p. 11] Le domaine d inégraion m es variable avec le emps. Le domaine éan maériel, la viesse d un poin de la fronière du domaine d inégraion es la viesse de la paricule qui s y rouve, on a donc : v f = v(p,. En veru du héorème 1.8, la dérivée emporelle de Ψ(D m, s écri : d d Ψ(D m, = m Ψ v E (x, dv + Ψ v E(x, ( v E (x, n ds (1.5 (4 La démonsraion es donnée dans le cours Algèbre e analyse ensorielles pour l éude des milieux coninus, du même aueur [noe 3 p. 3].

13 1.3 Dérivées emporelle d inégrales à bord mobile 13 Le champ des viesses v E (x, éan défini dans ou le domaine d inégraion, on peu uiliser le héorème de la divergence pour ransformer l inégrale de fronière en une inégrale de volume. En uilisan l idenié ensorielle algébrique : T (v n = (T v n, T V p, v V, n V (1.6 le héorème de la divergence perme d écrire l égalié : Ψ v E(x, ( v E (x, n ds = ( div Ψ v E(x, v E (x, dv Remarque Si la grandeur exensive Ψ es une grandeur scalaire (enseur d ordre 0, le produi ensoriel se rédui à un produi simple d un scalaire par un veceur. On obien ainsi une seconde expression de la dérivée emporelle de Ψ(D m, : d ( d Ψ(D m, = m Ψ v E(x, + div ( Ψ v E(x, v E (x, dv (1.7 En développan la divergence (5 dans l équaion (1.7, on obien une roisième expression de la dérivée emporelle de Ψ(D m, : d d Ψ(D m, = d d Ψ(D m, = m ( Ψ v E(x, + grad E Ψ v (x, v E (x, + div E v(x,ψ v (x, dv ( Ψ v E(x, + d ve (x,ψ v (x, dv (déf. de la dérivée pariculaire (1.8 où : Ψ v es la dérivée pariculaire de la densié volumique Ψ v ; d v = rd = div E v es le aux de dilaaion volumique acuel. Les rois expressions (1.5, (1.7 e (1.8 de d d Ψ(D m, son complèemen équivalenes. Seule la première expression fai apparaire une inégrale de fronière qui es le flux soran du enseur Ψ v E (x, v E (x, à ravers la fronière. Les deux aures expressions son des inégrales de volume. La dernière fai apparaire la dérivée pariculaire de la densié volumique. Si le champ Ψ v es décri par la méhode de Lagrange, exensive Ψ pour le domaine maériel D m es : Ψ(D m, = Ψ v L(x 0,K vl (x 0,dv 0 [éq. (1.2 p. 11] D0 m la valeur acuelle de la grandeur où K vl es la descripion de Lagrange du champ de dilaaion volumique acuelle dans une déformaion don le domaine de référence es D m 0. Le domaine d inégraion D0 m es, par définiion, indépendan du emps. La viesse des poins de la fronière du domaine d inégraion es donc nulle (v f = 0. En veru du héorème 1.8 [p. 12], (5 On rappelle l idenié ensorielle : div(t v = gradt v + T divv.

14 14 Chapire 1. Conceps fondamenaux la dérivée emporelle de Ψ(D m, s écri : d d Ψ(D m, = = = d d Ψ(D m, = D m 0 D m 0 D m 0 D m 0 ( Ψ v L(x 0,K vl (x 0, dv 0 [éq. (1.4 p. 12] (1.9 d ( Ψ v d L(x 0,K vl (x 0, dv 0 (x 0 ne dépend pas de ( Ψ v L(x 0, +Ψ v d d L(x 0, K vl(x 0, K vl (x 0,dv 0 K vl (x 0, ( Ψ v L(x 0, +Ψ v L(x 0,d vl (x 0, K vl (x 0,dv 0 (1.10 où : Ψ v es la dérivée pariculaire de la densié volumique Ψ v ; K v es la dilaaion volumique acuelle dans une déformaion don le domaine de référence es D0 m ; d v = K v K v = rd = div E v = grad L v : F es le aux de dilaaion volumique acuel. Les rois équaions (1.5 [p. 12], (1.7 [p. 13] e (1.8 [p. 13] (avec des descripions d Euler, ainsi que les deux équaions (1.9 e (1.10 (avec des descripions de Lagrange son oues des expressions équivalenes de la dérivée emporelle de Ψ(D m, sur un domaine maériel où Ψ es une grandeur exensive. On peu les uiliser indifféremmen, selon les ermes que l on a envie de faire apparaîre Dérivée emporelle d une grandeur exensive sur un domaine géomérique Soi Ψ une grandeur exensive don la densié volumique es Ψ v (P, e soi D g un domaine géomérique. Dans un domaine géomérique (de fronière a priori variable avec le emps, la seule manière de décrire les grandeurs associées aux paricules qui s y rouven es la méhode d Euler : Ψ(D g, = D g Ψ v E(x, dv [éq. (1.3 p. 12] Le domaine d inégraion g es a priori variable avec le emps, mais conrairemen au domaines maériels, la viesse des poins de la fronière es différene de la viesse des paricules qui s y rouven (v f v E (P,. En veru du héorème 1.8 [p. 12], la dérivée emporelle de Ψ(D g, es : d d Ψ(D g, = g Ψ v E(x, dv + D g Ψ v E(x,(v f n ds [éq.(1.4 p. 12] (1.11 Remarque Si pour l observaeur uilisé oue la fronière du domaine géomérique es fixe, alors v f = 0 e l inégrale de bord disparaî. En uilisan l idenié ensorielle algébrique rappelée dans l équaion (1.6 [p. 13], le héorème de la divergence perme d écrire l égalié : D g ( div Ψ v E(x, v E (x, dv = D g Ψ v E(x, ( v E (x, n ds (1.12

15 1.3 Dérivées emporelle d inégrales à bord mobile 15 En ajouan le erme de gauche e en reranchan le erme de droie de l égalié (1.12 à l équaion (1.11, on obien une seconde expression de d d Ψ(D g, : d d Ψ(D g (, = g Ψ v E(x, + div Ψ v E(x, v E (x, dv + }{{} τ ( (v Ψ v E(x, f v E (x, n ds } g {{} Φ (1.13 où : le erme τ es appelé aux (6 de producion volumique de Ψ (unié : [Ψ].m 3.s 1 ; son inégrale g τ dv es appelé aux de producion inerne de Ψ (unié : [Ψ].s 1 ; le erme Φ es appelé flux convecif enran de Ψ à ravers la fronière (unié : [Ψ].s 1. En développan la divergence (7 dans l expression de τ, on obien une roisième expression de la dérivée emporelle de Ψ(D g, : τ = Ψ v E(x, + grad E Ψ v (x, v E (x, + div E v(x,ψ v E(x, d ( d Ψ(D g, = Ψ v E(x, + d ve (x,ψ v E(x, dv }{{} + D g τ ( (v Ψ v E(x, f v E (x, n ds } g {{} Φ (1.14 Définiion 1.9 Flux convecif. On appelle flux convecif enran de la grandeur ψ dans un domaine D, le flux enran du enseur Ψ v E (v E v f à ravers la fronière : ( Φ ψ = Ψ v E (v E v f n ds D Vocabulaire Les équaions (1.13 e (1.14 son souven appelées équaions de bilan de la grandeur exensive Ψ pour le domaine géomérique D g. On di que la dérivée emporelle de Ψ(D g, es due au aux de producion inerne g τ dv à l inérieur du domaine géomérique e au flux convecif enran Φ. En uilisan l idenié ensorielle algébrique (1.6 [p. 13] le erme Φ s écri : Φ = Ψ v ( E (v f ( v E n ds = Ψ v E (v f v E n ds D g D g Cerains aueurs appellen «flux» l inégrande de Φ. Son unié es alors : [Ψ].m 2.s 1. Les rois équaions (1.11, (1.13 e (1.14 son oues des expressions équivalenes de la dérivée emporelle de Ψ(D g, sur un domaine géomérique où Ψ es une grandeur exensive. On peu les uiliser indifféremmen, selon les ermes que l on a envie de faire apparaîre. Noaion 1.10 Pour alléger les écriures, on convien de ne plus faire figurer dans la suie du cours les argumens des descripions d Euler e de Lagrange : il es sous-enendu que la descripion de Lagrange d un champ maériel pour un cerain observaeur R a pour argumens (x 0, e que sa descripion d Euler a pour argumens (x,. (6 Aenion, ici le mo «aux» signifie ici une dérivée emporelle simple e non une dérivée emporelle logarihmique comme pour les aux de déformaion (d l, d s, d v, D définis en en cinémaique. Ces dénominaions, malheureusemen consacrées par l usage, peuven induire en erreur. (7 On rappelle l idenié ensorielle : div(t v = gradt v + T divv.

16 16 Chapire 1. Conceps fondamenaux 1.4 Lemme fondamenal Théorème 1.11 Lemme fondamenal. Soi Ψ v (M un champ (scalaire, vecoriel ou ensoriel défini dans E 3 e soi un domaine D E 3. On a l équivalence suivane : D Ψ v (M dv = 0, D Ψ v (M = 0, M (1.15 Ce lemme don la démonsraion es donnée en annexe A.1 [p. 97] sera sysémaiquemen uilisé dans les chapires qui suiven pour déduire les expressions locales des principes fondamenaux. Aenion La démonsraion de ce héorème monre qu il n es applicable que si le champ de densié volumique Ψ v es défini indépendammen des domaines d inégraion D ( En bref... Pour appliquer les principes fondamenaux de la physique classique en mécanique des milieux coninus, on raisonne sur deux sores de domaines : les domaines maériels e les domaines géomériques. Ces domaines on en général des fronières (ou des paries de fronières variables avec le emps. Les grandeurs physiques exensives permeen de définir des champs de densiés volumiques de ces grandeurs, qui peuven êre décris par la méhode de Lagrange (seulemen pour les domaines maériels ou par la méhode d Euler (pour les domaines maériels ou géomériques. Suivan le ype de domaine (maériel ou géomérique e suivan le mode de descripion du champ de densié volumique Ψ v (Lagrange ou Euler, la dérivée emporelle d une grandeur exensive Ψ(D, définie sur un domaine s écri sous différenes formes : sur un domaine maériel D m avec la descripion d Euler de Ψ v : d d Ψ v E dv = = = m Ψ v E dv + m ( Ψ v E + div(ψ v E v E }{{} τ E Ψ v E (v E n ds (1.16 dv (1.17 ( Ψ v E + d ve Ψ v E }{{} τ E dv (1.18 sur un domaine maériel D m avec la descripion de Lagrange de Ψ v : d Ψ v d D0 m L K vl dv 0 = ( Ψ v D0 m L + d vl Ψ v LK }{{} vl dv 0 (1.19 τ L (8 L aueur reconnais humblemen avoir uilisé abusivemen ce héorème dans les versions anérieures de ce cours dans la démonsraion de l équaion de mouvemen [secion p. 36]. Cee erreur a éé signalée à l aueur par Jean COUSTEIX (ONERA, Toulouse, France e je l en remercie vivemen.

17 1.5 En bref sur un domaine géomérique D g avec la descripion d Euler de Ψ v : d d D g Ψ v E dv = = = g D g D g Ψ v E dv + g ( Ψ v E + div(ψ v E v E }{{} τ E ( Ψ v E + d ve Ψ v E }{{} Ψ v E (v f n ds (1.20 dv + Ψ v ( g E (v f v E n ds }{{} Φ ψ dv + Ψ v ( g E (v f v E n ds τ E }{{} Φ ψ (1.21 (1.22 où : v f es la viesse d un poin de la fronière ; K v es la dilaaion volumique acuelle dans une déformaion don l éa de référence es D m 0 ; d v es le aux de dilaaion volumique acuel ; τ es le aux de producion volumique de Ψ à l inérieur du domaine (maériel ou géomérique ; Φ ψ es le flux convecif de Ψ [déf. 1.9 p. 15] enran dans le domaine géomérique à ravers la fonière. Les équaions (1.21 e (1.22 son souven appelées équaions de bilan de la grandeur Ψ pour un domaine géomérique. Remarques Les équaions de bilan (1.21 e (1.22 on éé éablies pour les domaines géomériques. Si les fronières mobiles du domaine géomérique son éanches à la maière, alors ce domaine géomérique conien oujours les mêmes paricules, il es donc aussi un domaine maériel e on a l égalié v f = v E. Le flux convecif Φ ψ es alors nul e on rerouve les équaions (1.17 e (1.18 éablies pour un domaine maériel. Par ailleurs, si des paries de fronière du domaine géomérique son fixes pour l observaeur uilisé pour décrire le mouvemen, on a v f = 0 sur ces paries de fronière.

18

19 2 Conservaion de la masse 2.1 Concep de masse en mécanique des milieux coninus La masse es une mesure de la quanié de maière. En physique classique, la masse d un domaine es une grandeur scalaire (un enseur d ordre 0, exensive (la masse d un domaine es la somme des masses d une de ses pariions e objecive (la masse acuelle d un domaine es la même pour ous les observaeurs. L exensivié de la masse perme d affirmer l exisence dans ce domaine d un champ maériel de densié volumique de masse appelé masse volumique acuelle [h. 1.6 p. 11], radiionnellemen noée ρ(p, (1 (unié : kg.m 3. La masse d un domaine maériel D m, de posiion de référence D0 m e de posiion acuelle D m, peu s écrire avec une descripion de Lagrange ou une descripion d Euler de la masse volumique [éq. (1.2 p. 11, avec Ψ = m e Ψ v = ρ scalaires] : m(d m, = = m D m 0 ρ E (x, dv = ρ E dv [noaions 1.10 p. 15] m ρ L (x 0,K vl (x 0, dv 0 = ρ L K vl dv 0 [noaions 1.10 p. 15] où K v es la dilaaion volumique acuelle dans une déformaion don l éa de référence es D m 0. D m 0 La masse d un domaine géomérique D g, de posiion acuelle D g, ne s écri qu avec la descripion d Euler de la masse volumique [éq. (1.3 p. 12, avec Ψ = m e Ψ v = ρ scalaires] : m(d g, = D g ρ E (x, dv = D g ρ E dv [noaions 1.10 p. 15] 2.2 Principe de la conservaion de la masse Une des manières d exprimer le principe de la conservaion de la masse es la suivane (2 : Principe 2.1 Conservaion de la masse. La masse de ou domaine maériel es invariane dans le emps. (1 On pourrai la noer m v (P, (2 On peu exprimer le principe de la conservaion de la masse de différenes manières. Celle choisie ici, exprimée pour un domaine maériel, semble la plus inuiive à l aueur. D aures aueurs préfèren l exprimer avec un domaine géomérique, en disan que le aux de producion inerne de masse y es nul [éq.(1.21 ou (1.22 p. 17]. Dans ce cours, l expression du principe sur un domaine géomérique devien un héorème.

20 20 Chapire 2. Conservaion de la masse Si le champ de masse volumique es décri par la méhode d Euler, le principe de la conservaion de la masse pour un domaine maériel D m s écri : 0 = d d m(d m, = d d ( ρe 0 = m 0 = ρ E dv [éq. (1.2 p. 11] + div E (ρ v dv [éq. (1.17 p. 16] (2.1 ( ρ E + ρ E d ve dv [éq. (1.18 p. 16] (2.2 Si le champ des masses volumiques es décri par la méhode de Lagrange, le principe de la conservaion de la masse pour un domaine maériel D m s écri : 0 = d d m(d m, = d ρ L K vl dv 0 [éq. (1.2 p. 11] d D0 m 0 = ( ρ L + ρ L d vl K vl dv 0 [éq. (1.19 p. 16] (2.3 D0 m 2.3 Forme locale du principe de la conservaion de la masse Théorème 2.2 Conservaion locale de la masse. Le principe de la conservaion de la masse sur ou domaine maériel es équivalen à l équaion différenielle suivane : ρ ρ = d v en oue paricule e à ou insan. (2.4 où d v es le aux de dilaaion volumique acuel. Démonsraion La conservaion de la masse 2.1 [p. 19] pour un domaine maériel D m s écri : 0 = ( ρ E + ρ E d ve dv [éq. (2.2 p. 20] Ce principe es vrai quel que soi le domaine maériel considéré. Avec le lemme fondamenal 1.11 [p. 16], on dédui le résula : ρ E + ρ E d ve = 0. La réciproque es évidene. Dans l équaion (2.4 on a supprimé les indices E inuiles car par définiion ρ E (x, = ρ L (x 0, = ρ(p,. On laisse le soin au leceur de vérifier, par la même méhode, que l on aboui à la même équaion (2.4 à parir de l expression du principe de conservaion de la masse (2.3 où le champ de masse volumique es décri par la méhode de Lagrange (la dilaaion volumique K v n es jamais nulle. Le principe de la conservaion de la masse inrodui donc une relaion enre la dérivée emporelle logarihmique de la masse volumique e le aux de dilaaion volumique acuel. Rappels de cinémaique Le aux de dilaaion volumique d v peu s exprimer de différenes manières selon de poin de vue : d v = K d v d = rgrad K E v = rd = div E v = lim v (2.5 v v 0 v Les relaions enre opéraeurs différeniels eulériens e lagrangiens son : grad E ψ = grad L ψ F 1 ; div E Ψ = grad L Ψ : F (2.6

21 2.3 Forme locale du principe de la conservaion de la masse 21 Expression eulérienne Si on exprime la dérivée pariculaire ρ par son expression eulérienne : ρ = ρ E + grad E ρ v E l expression locale du principe de la conservaion de la masse (2.4 [p. 20] s écri (3 : 1 ( ρe + grad ρ E E ρ v E = div E v ρ E + div E (ρ v = 0 (2.7 Sous cee forme, l équaion (2.7 es radiionnellemen appelée équaion de coninuié (4. Expression lagrangienne Si on exprime la dérivée pariculaire ρ par son expression lagrangienne : ρ = ρ L l expression locale du principe de la conservaion de la masse [éq. (2.4 p. 20] s écri : 1 ρ L = div E v = grad ρ L L v : F ρ L + ρ L grad L v : F = 0 Principe alernaif Le aux de producion volumique de masse en une paricule es : τ m = ρ + ρ d v [éq. (1.22 p. 17, avec Ψ = m e Ψ v = ρ] Le héorème 2.2 [p. 20] affirme donc que le aux de producion volumique de masse es nul en chaque paricule. Il es possible de prendre ce énoncé comme principe fondamenal de la conservaion de la masse, e d en déduire les expressions globales du principe de la conservaion de la masse sur un domaine maériel ou géomérique. L équaion différenielle (2.4 [p. 20] peu s inégrer emporellemen enre les insans 0 e : ρ ρ = d v = K v ρ = C C ρ L (x 0, = K v K v K vl (x 0, où C es une consane déerminée par les condiions iniiales. Pour = 0, on a : K vl (x 0, 0 = 1 e ρ L (x 0, 0 = ρ 0 (x 0 où ρ 0 (x 0 es la masse volumique de la paricule x 0 à l insan de référence 0 (masse volumique iniiale. On en dédui la consane C = ρ 0 (x 0. On a donc : K vl = ρ 0(x 0 ρ L (x 0, = ρ 0(P ρ(p, K v = ρ 0 ρ (2.8 Le principe de la conservaion de la masse implique l égalié enre la dilaaion volumique acuelle K v (concep cinémaique e le rappor des masses volumiques iniiale e acuelle. Remarque Conrairemen à ce qui es parfois affirmé en mécanique des solides, dans une déformaion enre les insans 0 e, la masse volumique n es donc pas consane en général sauf dans une déformaion isovolume (5. (3 On rappelle l idenié ensorielle : div( f v = grad f v + f divv, f R v V. (4 La «coninuié» évoquée ici n a aucun rappor avec celle uilisée en mahémaiques pour qualifier les foncions. (5 Une déformaion isovolume (K v = 1 se radui par deu = dev = dec = deb = 1 ou encore dans le cas des «peies perurbaions» par : r ε = 0. Pour les aures enseurs de déformaion, c es une relaion enre les invarians. Voir le cours Cinémaique des milieux coninus, du même aueur [noe 4 p. 3].

22 22 Chapire 2. Conservaion de la masse 2.4 Bilan de masse dans un domaine géomérique Théorème 2.3 Bilan de masse. La dérivée emporelle de la masse conenue dans un domaine géomérique es égale au débi massique enran à ravers la fronière. Démonsraion Dans un domaine géomérique D g, la masse du milieu coninu conenu dans le domaine ne se conserve pas au cours du emps. En effe : d d m(d g, = ρ E + d ve ρ E dv + ρ E (v f v E n ds [éq. (1.22 p. 17 où Ψ = m] g }{{} g τ m }{{} d d m(d g, = D g Φ m ρ E (v f v E n ds = Φ m (h. 2.2 [p. 20] τ m = 0 (2.9 où v f es la viesse des poins de la fronière du domaine géomérique e Φ m es le débi massique enran à ravers la fronière du domaine géomérique. Principe alernaif Le héorème 2.3 peu aussi bien êre pris comme principe de la conservaion de la masse, e on peu en déduire la forme locale e la forme globale pour un domaine maériel comme éan des héorèmes. 2.5 Densiés massiques de grandeurs exensives La disribuion d une grandeur physique exensive Ψ dans un domaine D (géomérique ou maériel peu aussi se décrire par des densiés massiques Ψ m (unié : [Ψ].kg 1 pluô que par des densiés volumiques Ψ v (unié : [Ψ].m 3. La relaion enre ces deux densiés es : Ψ v = ρψ m (2.10 Pour un domaine maériel, la valeur acuelle d une grandeur exensive Ψ es : Ψ(D m, = Ψ v m E dv = ρ E Ψ m m E dv = Ψ m m E dm (2.11 = Ψ v D0 m L K vl dv 0 = ρ L Ψ m D0 m L K vl dv 0 = Ψ m D0 m L ρ 0 dv 0 = Ψ m D0 m L dm (2.12 Pour un domaine géomérique, la valeur acuelle d une grandeur exensive Ψ es : Ψ(D g, = Ψ v E dv = ρ E Ψ m E dv = Ψ m E dm (2.13 D g D g On en dédui de nouvelles expressions de la dérivée emporelle d une grandeur exensive sur un domaine qui seron uiles dans la suie quand on uilise des densiés massiques : D g Domaine maériel en descripion d Euler d d Ψ(D m, = ( Ψ v m E + d ve Ψ v E dv [éq. (1.18 p. 16] ( = (ρ E Ψ m m E + d ve ρ E Ψ m E dv [éq. (2.10] = (ρ E Ψ m E + ( ρ E + d ve ρ E Ψ m E dv d d Ψ(D m, = m Ψ m E dm [éq. (2.4 p. 20] (2.14

23 2.6 Changemens d observaeur 23 Domaine maériel en descripion de Lagrange d d Ψ(D m, = = = d d Ψ(D m, = D m 0 D m 0 D m 0 D m 0 ( Ψ v L + d vl Ψ v LK vl dv 0 [éq. (1.19 p. 16] ( (ρ L Ψ m L + d vl ρ L Ψ m L K vl dv 0 [éq. (2.10] ( ρ L Ψ m L + ( ρ L + d vl ρ L Ψ m L K vl dv 0 Ψ m L dm [éq. (2.4 p. 20] (2.15 Domaine géomérique en descripion d Euler d d Ψ(D g, = = d d Ψ(D g, = g g D g ( Ψ v E + d ve Ψ v E dv + ( (ρ E Ψ m E + d ve ρ E Ψ m E Ψ m E dm + Ψ v E (v f v E n ds [éq. (1.22 p. 17] dv + ρ E Ψ m ( E (v f v E n ds g D g ρ E Ψ m ( g E (v f v E n ds }{{} Φ ψ (2.16 Φ ψ (unié : [Ψ].s 1 es le flux convecif de Ψ enran à ravers la fronière ; Ψ m es la dérivée pariculaire de la densié massique Ψ m ; c es aussi le aux de producion massique de Ψ à l inérieur du domaine. 2.6 Changemens d observaeur Théorème 2.4 La masse volumique es un champ scalaire objecif. Démonsraion La masse M e le volume V d un domaine maériel son des grandeurs objecives par principe (physique classique. La masse volumique moyenne M/V es donc objecive pour ou domaine maériel. En passan à la limie on en dédui que le champ des masses volumiques es un champ scalaire objecif. Théorème 2.5 La dérivée pariculaire de la masse volumique es un champ scalaire objecif. Démonsraion On monre en cinémaique que la dérivée pariculaire de oue grandeur scalaire objecive es objecive. Théorème 2.6 La divergence eulérienne du champ des viesses es un champ scalaire objecif. Démonsraion On dédui des deux héorèmes précédens que la dérivée emporelle logarihmique ρ ρ es une grandeur objecive. On dédui immédiaemen de l équaion (2.4 [p. 20] : ρ ρ = d v que aux de dilaaion volumique d v = div E v [éq. (2.5 p. 20] es objecif. Bien que le champ des viesses soi un champ vecoriel non objecif, sa divergence eulérienne es un champ scalaire objecif (ce résula es éabli en cinémaique, indépendammen de la conservaion de la masse.

24 24 Chapire 2. Conservaion de la masse 2.7 En bref... La masse d un domaine maériel es une grandeur scalaire, exensive, objecive e invariane dans le emps, qui mesure la quanié de maière conenue dans le domaine maériel. L expression locale du principe de la conservaion de la masse pour un milieu coninu es une équaion différenielle que l on peu inégrer emporellemen. La masse d un domaine géomérique es variable dans le emps car de la maière raverse les fronières. On peu calculer la dérivée emporelle d une grandeur exensive Ψ sur un domaine maériel ou géomérique, non seulemen avec des inégrales de volume de densiés volumiques Ψ v [secion 1.5 p. 16], mais aussi avec des inégrales de masse de densiés massiques Ψ m [secion 2.5 p. 22]. La diversié des formules es due à : 1. l uilisaion de domaines géomériques ou maériels, 2. l uilisaion de densiés volumiques ou massiques, 3. l uilisaion de la descripion de Lagrange ou de celle d Euler pour décrire les densiés, 4. la mise en évidence ou non des flux convecifs à ravers la fronière (équaions de bilan. Les expressions les plus simples de la dérivée emporelle d une grandeur exensive son celles écries avec les densiés massiques Ψ m e leur dérivée pariculaire.

25 3 Principe fondamenal de la mécanique 3.1 Rappels de mécanique générale Loi de Newon e observaeurs galiléens Définiion 3.1 Observaeur galiléen. Un observaeur galiléen es un observaeur pour lequel le mouvemen des poins maériels obéi à la loi de Newon : f = m γ (égalié vecorielle où m es la masse d un poin maériel, γ es son accéléraion pour un observaeur galiléen e f es la résulane des forces que l exérieur exerce sur le poin maériel. Hypohèse 3.2 Ineracions de Newon. On suppose que l acion d un poin maériel sur un aure es une force elle que : F Pi /P j = F Pj /P i e F Pi /P j (x P i x P j = 0 i j (3.1 où x P i e x P j son les posiions acuelles des paricules P i e P j pour l observaeur uilisé pour observer le mouvemen. Commenaire sur les ineracions L hypohèse 3.2 es souven appelée seconde loi de Newon ou encore loi de l acion e de la réacion. Elle précise que l acion d un poin maériel sur un aure es une force colinéaire aux deux poins maériels. La direcion de la force es précisée, mais la valeur e le sens de la force d ineracion ne son pas précisées. Ces ineracions son en général dûes à la graviaion, à l élecrosaique, à la cohésion ou oue aure ineracion mécanique se raduisan par une force sans momen (1. Touefois, les propriéés des ineracions qui son posulées dans l équaion (3.1 son suffisanes (2 pour démonrer en mécanique générale les rois héorèmes généraux rappelés plus bas en secion [p. 26]. Pour déerminer si un observaeur es galiléen ou non, on doi faire des expériences pour vérifier si les prédicions de la loi de Newon son correces ou non pour ce observaeur (3. Exemples d expériences La loi de Newon prédi qu un poin maériel lâché sans viesse iniiale e soumis à une force consane se déplace en ligne droie. Elle prédi aussi qu un pendule lâché sans viesse iniiale oscille dans un plan fixe. (1 De ce fai, on élimine la possibilié d envisager des ineracions magnéiques qui son des momens exercés à disance sur les poins maériels munis d une direcion qui leur es propre (limies de dipôles magnéiques. Cerains effes mécaniques de l élecromagnéisme ne peuven donc pas êre envisagés dans ce cadre. (2 Il n es pas nécessaire de préciser la naure physique de ces ineracions, c es-à-dire leur sens e leur valeur. (3 On rappelle que la valeur de l accéléraion d un poin maériel dépend de l observaeur uilisé pour observer le mouvemen.

26 26 Chapire 3. Principe fondamenal de la mécanique Si pour un observaeur, les prédicions de la loi de Newon son considérées comme suffisammen exaces, on peu déclarer galiléen ce observaeur. Déclarer galiléen un observaeur, c es donc acceper une ceraine approximaion dans la confronaion avec des expériences. Exemples Si on assimile un obje pesan à un poin maériel, e si on uilise un observaeur lié à la erre pour analyser son mouvemen, ce obje es soumis à une force consane unique (4 : son poids. Lâché sans viesse iniiale, la loi de Newon prédi que sa rajecoire es une droie colinéaire au poids. En première approximaion, on peu consaer que c es vrai, cependan des mesures fines meen en évidence une peie déviaion vers l es. De même, si on observe le mouvemen d un pendule simple, on consae que, pour un observaeur erresre, son plan d oscillaion es sensiblemen fixe. Mais une observaion plus fine (expérience du pendule de Foucaul monre que ce plan ourne à une faible viesse. Selon que l on considère que la déviaion vers l es de la chûe des corps ou que la viesse de roaion du plan d oscillaion d un pendule son négligeables ou non, on décide si un observaeur erresre es considéré comme galiléen ou non. Tous les observaeurs don le mouvemen par rappor à un observaeur galiléen es une ranslaion à viesse consane son aussi des observaeurs galiléens car pour ous ces observaeurs l accéléraion d un poin maériel es la même. On ne peu donc pas disinguer un observaeur galiléen pariculier qui serai qualifié d absolu. Tou observaeur qui n es pas en ranslaion à viesse consane par rappor à un observaeur galiléen n es pas galiléen. N éan pas valable pour ous les observaeurs, la loi de Newon f = mγ n es pas une loi universelle (5. On peu la rendre arificiellemen universelle en ajouan aux forces exérieures f des forces exérieures ficives appelées forces d inerie (d enraînemen e de Coriolis. La loi de Newon es alors vraie pour ous les observaeurs, mais les forces exérieures agissan sur un poin maériel son la somme des forces réelles (6 e de forces ficives qui son pariculières à chaque observaeur non galiléen Rappel des héorèmes généraux L obje de la mécanique (des milieux coninus ou non es de rouver les relaions enre le mouvemen d un sysème maériel, c es-à-dire d un ensemble de poins maériels liés enre eux ou non, e les acions mécaniques exercées sur le sysème maériel par son exérieur. En mécanique des milieux coninus, un sysème maériel es un domaine maériel [déf. 1.1 p. 9]. Définiion 3.3 Acions exérieures. On appelle acion mécanique exérieure d un sysème maériel l acion mécanique exercée par l exérieur (le rese de l univers sur ce sysème maériel. En appliquan à chaque poin maériel d un sysème maériel les deux lois fondamenales énoncées par Newon [déf. 3.1 e hyp. 3.2 p. 25] pour les poins maériels (l observaeur uilisé es donc galiléen, e en disinguan dans les effors exérieurs à chaque poin maériel ceux qui son d origine inérieure au sysème (7 e ceux qui d origine exérieure au sysème, on démonre en mécanique générale les rois héorèmes suivans, valables pour ou sysème maériel : Théorème 3.4 Résulane dynamique. La résulane dynamique acuelle (somme des quaniés d accéléraion es égale à la résulane des acions mécaniques exérieures acuelles. (4 On néglige l acion des asres e il fau faire l expérience dans le vide pour éliminer l acion de l air. (5 C es-à-dire qu elle n es pas valable pour ous les observaeurs. La seule mécanique don les lois son universelles es la héorie de la relaivié générale due à Alber EINSTEIN. (6 C es-à-dire les forces don la source es idenifiée. (7 L acion des aures poins maériels du sysème

27 3.2 Effors exérieurs sur un domaine maériel 27 Théorème 3.5 Momen dynamique. Le momen dynamique acuel en un poin (somme des momens en ce poin des quaniés d accéléraion es égale au momen en ce poin des acions mécaniques exérieures acuelles. Convenion 3.6 Le choix du poin pour évaluer les momens es indifféren. Dans oue la suie, ce poin sera l origine O de l observaeur uilisé pour décrire le mouvemen. Le veceur momen en O d un veceur w(p s écrira donc : M O (w(p = x (P w(p où x (P es le veceur posiion acuelle du poin maériel P. Corollaire 3.7 La résulane e le momen résulan en un poin O des acions inérieures à un sysème de poins maériels son des veceurs nuls. Démonsraion Ce corollaire découle direcemen de la définiion des ineracions [éq. (3.1 p. 25] : soi un couple de poins maériels P i e P j ; la somme des deux forces inérieures es : F Pi /P j + F Pj /P i = 0 [éq. (3.1 p. 25] La somme des deux momens en O inérieurs es : x P i F Pi /P j + x P j F Pj /P i = (x P i x P j F Pi /P j = 0 [éq. (3.1 p. 25] En faisan la somme (ou l inégrale de oues les ineracions de ous les couples de poins maériels, on aboui au résula. Théorème 3.8 Puissance cinéique. La puissance cinéique acuelle (dérivée emporelle de l énergie cinéique es égale à la somme de la puissance acuelle des effors exérieurs e de la puissance acuelle des effors inérieurs. Remarque Bien que la résulane e le momen résulan des effors inérieurs soien nuls [corollaire 3.7], la puissance des effors inérieurs es a priori non nulle. Pour ou couple de poins maériels, la puissance des effors inérieurs enre ces deux poins maériels es : P i j = v(p i F Pj /P i + v(p j F Pi /P j ( 0 en général e la puissance des effors inérieurs dans le sysème maériel es : P i j. i> j Pour les solides indéformables, la puissance des effors inérieurs es nulle car le champ des viesses d un solide es équiprojecif, ce qui condui à P i j = 0 i j. Les rois héorèmes généraux 3.4, 3.5 e 3.8 ainsi que le corollaire 3.7 consiuen les seules connaissances mécaniques préalables qui son nécessaires e suffisanes pour comprendre les développemens qui suiven. On peu les considérer comme des axiomes pour la mécanique des milieux coninus. Remarque Les rois héorèmes généraux précédens son encore vrais pour un observaeur non galiléen si l on ajoue aux forces exérieures des forces d inerie ficives d enraînemen e de Coriolis propres à chaque observaeur non galiléen. 3.2 Effors exérieurs sur un domaine maériel Les acions mécaniques exérieures sur un domaine maériel de milieu coninu peuven se classer en deux caégories : les acions mécaniques à disance e les acions mécaniques de conac. Chacune de ces acions exérieures es modélisée par un champ.

28 28 Chapire 3. Principe fondamenal de la mécanique Modélisaion des acions mécaniques exérieures à disance Les acions mécaniques exérieures à disance son les acions à disance de l exérieur du domaine d éude sur oues les paricules du domaine. On les modélise par un champ maériel de densié volumique de force (8, que l on noera f v (P, (unié : N.m 3 ou bien par un champ maériel de densié massique de force que l on noera f m (P, (unié : N.kg 1 = m.s 2. Le veceur f v (P, représene la force volumique à disance (9 acuelle exercée par la oalié de l exérieur du domaine maériel sur la paricule P. La valeur de cee densié volumique de force dépend a priori du domaine maériel choisi pour l éude, car pour chaque domaine maériel, la définiion de son exérieur es a priori différene (10. Remarques Si l observaeur uilisé pour décrire le mouvemen ne peu pas êre considéré comme galiléen, le veceur f v (ou bien f m = f v ρ 1 conien en oure des champs de forces d inerie volumiques (ou massiques ficives d enraînemen e de Coriolis. Dans la plupar des éudes, les seules forces à disance noables exercées par l exérieur sur les paricules du domaine maériel se réduisen à la graviaion erresre (11, les aures masses exérieures ayan une acion graviaionnelle négligeable devan celle de la erre, soi parce qu elles son rop éloignées (12, soi parce que leur masse es rop faible (13. On peu donc souven affirmer que le champ de forces graviaionnelles d origine exérieure es indépendan du choix du domaine. Lorsque les dimensions du domaine son peies devan celles de la erre, on simplifie souven le champ de graviaion erresre (qui es approximaivemen un champ vecoriel cenral convergean vers le cenre de gravié de la erre en disan que le champ de forces graviaionnel erresre es un champ de forces massique uniforme g, oriené vers la erre, appelé accéléraion de la pesaneur, e don la norme au voisinage de la surface de la erre es g = g 9.81 m.s 2. On peu représener les forces à disance exérieures par un champ de forces volumiques ou un champ de forces massiques ( f v = ρ f m. Dans les applicaions où seule la pesaneur es prise en compe, on affirme parfois que le champ des forces volumiques es uniforme. Les lois de la graviaion monren que c es le champ des forces massiques f m (l accéléraion de la pesaneur qui es uniforme. Le champ des forces volumiques f v n es uniforme que si l on peu considérer que la masse volumique ρ es aussi un champ uniforme, ce qui es raremen le cas en mécanique des milieux coninus [éq. (2.4 p. 20]. Cee approximaion es accepable pour des liquides (variaions de volume négligeables, elle es assez grossière pour cerains solides déformables (14 e elle es difficilemen admissible pour les gaz (8 Noer que l on n envisage pas de densié volumique de momen. De ce fai, on élimine la possibilié de prendre en compe ceraines acions mécaniques d origine magnéique. Le comporemen (mécano-élecromagnéique des milieux coninus n es pas envisagé dans ce cours. Il demanderai une refone de oue la cinémaique des milieux coninus : en élecromagnéisme, la posiion à un insan d un milieu coninu n es pas suffisammen décrie par la seule posiion acuelle de ses paricules, il fau y ajouer leur orienaion acuelle (en élecromagnéisme, une paricule es la limie d un dipôle magnéique ; il demanderai aussi l inroducion d un principe de conservaion suppémenaire don l expression locale es donnée par les équaions de Maxwell. (9 Forces graviaionnelles, élecrosaiques, de cohésion... (10 Dans la praique, on simplifie souven l exérieur en le réduisan à quelques sources de champs graviaionnnels ou élecriques. Les champs de forces à disance exérieurs ne changen donc pas pour bon nombre de domaines maériels, an qu ils n incluen pas l une de ces sources. (11 À condiion que la erre ne fasse pas parie du domaine éudié, auquel cas la graviaion erresre ne serai pas un effor exérieur. (12 Les asres par exemple. Touefois, si l on veu prévoir un phénomène comme la marée, il fau prendre en compe la graviaion due à la lune e celle due au soleil. (13 La maière voisine du domaine, par exemple des parois ou l immeuble d à coé. (14 Touefois, en mécanique des milieux coninus solides, il arrive que les effes de la pesaneur soien négligeables devan les effes des forces de conac ; dans ce cas, on pose f m 0. Le champ des forces volumiques à disance f v es alors uniforme car il es considéré comme nul.

29 3.3 Effors inérieurs dans un milieu coninu 29 sauf pour des mouvemens de gaz rès pariculiers (d v = rd = 0 parou. Quoi qu il en soi, aucune des approximaions évoquées dans ces remarques n es nécessaire pour éablir les équaions générales qui suiven Modélisaion des acions mécaniques exérieures de conac Pour un domaine maériel de milieu coninu, les forces exérieures de conac ne peuven exiser que sur la fronière du domaine. Elles son modélisées par une densié surfacique de force s appliquan sur la fronière D m, qui sera noée f s (unié : Pa = N.m 2. Remarque Si la densié surfacique de force exérieure sur une fronière a bien la dimension d une pression (N.m 2, l orienaion e le sens du champ vecoriel f s peuven êre quelconques par rappor à la normale exérieure de la fronière. 3.3 Effors inérieurs dans un milieu coninu Soi D m un domaine maériel don la posiion acuelle es D m. On a défini dans la secion précédene les acions de l exérieur sur ce domaine maériel. On se propose mainenan de définir des effors inérieurs à ce domaine maériel. En mécanique générale élémenaire, on considère des domaines maériels consiués d un ensemble dénombrable de poins maériels. Dans ce cas, il es aisé de définir les effors inérieurs en considéran individuellemen les ineracions de Newon [hypohèse 3.2 p. 25] de ous les couples de poins maériels. Dans un milieu coninu, cee méhode es inapplicable. Afin d envisager les effors inérieurs dans un domaine de milieu coninu, on considère les effors exérieurs à des sous-domaines du domaine maériel éudié. Soi un sous-domaine maériel D1 m D m. L exérieur du sous-domaine D1 m de la manière suivane : peu êre pariionné ex(d1 m = (D m D1 m ex(d m Les acions du sous-domaine D m D1 m sur le sous-domaine D 1 m son des acions exérieures au sous-domaine D1 m mais inérieures au domaine D m. Comme pour ou domaine maériel, les acions exérieures au sous-domaine D1 m son de deux sores : 1. Des acions exérieures à disance provenan de (D m D1 m e de ex(d m : f v D m 1 = f v (D m D m 1 /Dm 1 + f v ex(d m /D m 1 L acion à disance f v (D m D es une acion à disance exérieure au sous-domaine D 1 m/dm 1 m 1 mais c es une acion à disance inérieure au domaine D m. 2. Des acions exérieures de conac sur la fronière D1 m : on noe c la densié de force surfacique acuelle exercée par le sous-domaine D m D1 m sur le sous-domaine D 1 m, disribuée sur la fronière D1 m. La densié surfacique de force c es une acion de conac exérieure au sous-domaine D1 m mais inérieure au domaine D m. Définiion 3.9 Conraine. On appelle conraine acuelle, la densié surfacique de force de conac acuelle qui s exerce sur la fronière d un sous-domaine de domaine maériel.

30 30 Chapire 3. Principe fondamenal de la mécanique La valeur du champ vecoriel de conraines c (unié : Pa = N.m 2, défini sur la fronière D m 1 du sous-domaine, dépend a priori à la fois du choix du sous-domaine D m 1 D m e du choix de la paricule P sur sa fronière. Théorème 3.10 Tous les sous-domaines D1 don la fronière conien la paricule P e qui on la même normale exérieure, on la même conraine en P. Démonsraion Le résula de ce héorème es le plus souven énoncé sous le nom d «hypohèse de Cauchy». La démonsraion es donnée en annexe A.2 [p. 98]. Le principe de cee démonsraion a éé communiqué à l aueur par Jean COUSTEIX (15 qui s es inspiré d une démonsraion due à Waler NOLL (16. La valeur de la conraine c ne dépend donc que de la paricule P e de la normale exérieure n, c es-à-dire que la conraine c es foncion du choix d une facee maérielle (17 en la paricule P. Il exise donc une foncion à valeur vecorielle f σ elle que : (P,n, f σ c = f σ (P,n, où n es la direcion acuelle d une facee maérielle. (3.2 En revanche, pour la même paricule P, le veceur conraine c(p,n, es a priori différen pour une aure normale exérieure n (c es une aure famille de sous-domaines angens en P. Compe enu du héorème 3.10, on pose une nouvelle définiion pour la conraine : Définiion 3.11 Conraine (redéfiniion. On appelle conraine acuelle en une paricule P sur une facee maérielle de normale acuelle n, la force surfacique acuelle c(p,n, qui s exerce en P sur la fronière de ou sous-domaine passan par P e de normale uniaire exérieure n Exisence du enseur des conraines Théorème 3.12 Tenseur des conraines de Cauchy. En chaque paricule d un milieu coninu e à chaque insan, il exise un enseur du second ordre appelé enseur des conraines de Cauchy acuel, noé σ, el que la conraine acuelle s exerçan sur une facee maérielle de normale acuelle n es donnée par : c(p,n, = σ(p, n (P, (3.3 Démonsraion En appliquan le héorème de la résulane dynamique à un domaine maériel éraédrique que l on fai endre d une ceraine manière vers un volume nul, on monre que l applicaion f σ définie dans l équaion (3.2 es nécessairemen un opéraeur linéaire sur son argumen vecoriel n. En une paricule P e à un insan, l opéraeur linéaire f σ es donc un endomorphisme linéaire de V 3 : n c, c es-à-dire un enseur du second ordre (18. La démonsraion déaillée es donnée en annexe secion A.3 [p. 100]. Ce héorème ne prouve que l exisence du champ ensoriel des conraines de Cauchy σ(p, sans en préciser la valeur en oue paricule e à ou insan. Le champ ensoriel σ(p, es soluion d équaions différenielles qui seron éablies plus loin. (15 de l ONERA, Toulouse, France. (16 Inroducion à la mécanique raionnelle des milieux coninus, Clifford TRUESDELL, Masson e Cie, Paris, (17 Une facee maérielle en une paricule P es idenifiée par sa normale uniaire. La définiion précise d une facee maérielle es donnée dans le cours Cinémaique des milieux coninus, du même aueur [noe 4 p. 3]. (18 Les endomorphismes linéaires de V 3 son isomorphes aux enseurs du second ordre. Voir le cours Algèbre e analyse ensorielles pour l éude des milieux coninus, du même aueur [noe 3 p. 3].

31 3.3 Effors inérieurs dans un milieu coninu 31 Comme ous les champs maériels, le champ enseur des conraines acuel peu aussi bien êre décri par la méhode de Lagrange que par la méhode d Euler : σ(p, = σ L (x 0, = σ E (x,. Touefois, quel que soi le mode de descripion du champ, c es l applicaion de la valeur acuelle du enseur des conraines σ(p, à la normale acuelle n (P, d une facee maérielle qui condui à la valeur acuelle de la conraine pour cee facee maérielle Condiions aux limies en conraine Théorème 3.13 Condiion aux limies en conraines. Soi D m la fronière acuelle d un domaine maériel, soi P une paricule générique de cee fronière e soi n (P, la normale exérieure acuelle à la fronière en P. On noe f s (P, la densié de force surfacique exérieure de conac acuelle en P. Le champ de enseurs des conraines σ(p, doi saisfaire la condiion à la fronière suivane : P D m, σ(p, n (P, = f s (P, (3.4 Démonsraion Considérons la famille de sous-domaines D1 m don la fronière es angene en P à la fronière m du domaine maériel. En cee paricule fronière, la conraine exérieure c(p,n, sur un sous-domaine D1 m [déf p. 30] es égale à la force surfacique de conac f s (P, exérieure au domaine D m car en P, les fronières D1 m e D m on la même normale exérieure [h p. 30]. On a donc c(p,n, = f s (P,. Le héorème d exisence 3.12 [p. 30] du champ ensoriel σ enraîne l égalié (3.4. Bord libre On appelle bord libre une parie de fronière sur laquelle il n y a pas de forces exérieures de conac (rien n agi sur la fronière. Sur un bord libre, le champ de enseur des conraines doi donc saisfaire la condiion aux limies : P sur un bord libre σ(p, n (P, = 0 En mécanique des solides déformables on considère comme bord libre les fronières sur lesquelles aucun effor n es exercé par un milieu coninu exérieur en conac. En mécanique des fluides, ce son souven des surfaces libres (limies de jes, surface libre d un liquide. Dans les deux cas, on n a un bord libre que si l on néglige la pression amosphérique. La condiion aux limies (3.4 es rès imporane : elle conribue à déerminer la soluion pariculière du problème parmi l infinié de soluions des équaions différenielles (19 de la mécanique des milieux coninus Décomposiion des conraines Soi P une paricule à l inérieur d un milieu coninu, e soi n la normale uniaire acuelle d une facee maérielle en P. On noe c(p,n, la conraine acuelle en P pour cee facee maérielle. La conraine c es la force surfacique de conac acuelle exercée par la maière qui se rouve du côé de n (l exérieur d un sous-domaine maériel D1 m sur la maière qui se rouve de l aure côé de la facee maérielle (l inérieur d un sous-domaine maériel D1 m. Définiion 3.14 Conraine normale. On appelle conraine normale acuelle en la paricule P pour la facee maérielle de normale acuelle n, le scalaire défini par : c N = n c(p,n, = n σ(p, n = σ(p, : (n n = σ(p, : N (19 On rappelle que la soluion générale d un sysème d équaions différenielles aux dérivées parielles conien des foncions e des consanes indéerminées, qui son résolues par les condiions aux limies e les condiions iniiales.

32 32 Chapire 3. Principe fondamenal de la mécanique Si c N > 0 on di que c es une racion (l exérieur de D1 m exerce sur D 1 m Si c N < 0 on di que c es une compression. une force vers lui. Remarque Noer que le signe de la conraine normale c N ne change pas avec sens de n. Définiion 3.15 Conraine angenielle. On appelle conraine angenielle acuelle en la paricule P pour la facee maérielle de normale acuelle n, le veceur défini par : c T = c c N n = σ(p, n ( n σ(p, n n La conraine angenielle acuelle c T pour la facee maérielle de normale acuelle n es un donc veceur orhogonal à n (on vérifie aisémen que n c T = 0. Pour une facee maérielle en une paricule P e de normale acuelle n, on peu donc décomposer le veceur conraine acuelle c(p,n, en une parie normale e une parie angenielle : c = c N n + c T avec c 2 = c 2 N + c T 2 Les rois réels c, c N e c T son des scalaires (leur valeur ne dépend pas d une base. Remarques Conrairemen au scalaire c N, le veceur c T es sensible au sens de n. Par ailleurs, dans le plan de la facee maérielle, on peu choisir arbirairemen deux direcions uniaires orhogonales 1 e 2 e poser c T = c T c T 2 2. On a alors : c T 1 = 1 c T = 1 c = 1 σ n ; c T 2 = 2 c T = 2 c = 2 σ n Les nombres c T 1 e c T 2 son parfois appelés conraines angenielles pour les direcions 1 e 2, en P pour la facee maérielle n. Ces définiions son de peu d inérê : les nombres c T 1 e c T 2 ne son pas des scalaires, car leur valeur dépend du choix arbiraire des direcions 1 e 2. Ils son donc dénués de significaion physique. Seule la norme c T es un scalaire (la valeur ne dépend pas d une base. 3.4 Théorèmes généraux pour un domaine maériel Par définiion, la résulane dynamique, le momen dynamique en un poin e l énergie cinéique son des grandeurs exensives. On peu donc définir des densiés volumiques de ces grandeurs [h. 1.6 p. 11] : R dyn = ρ E γ E dv ; M dyno = ρ E x γ E dv ; E cin = ρ E v 2 E 2 dv Par ailleurs, les effors exérieurs sur un domaine maériel (forces exérieures à disance e forces exérieures de conac son décris avec des densiés respecivemen volumiques e surfaciques. La résulane, le momen résulan en O e la puissance des effors exérieurs s écriven : R ex = m M ex O = Pex mec = f v E dv + m f s E ds (3.5 x f v E dv + x f s E ds [convenion 3.6 p. 27] (3.6 m v E f v E dv + v E f s E ds (3.7

33 3.4 Théorèmes généraux pour un domaine maériel 33 Les rois héorèmes généraux de la mécanique appliqués à un domaine maériel s écriven donc [secion p. 26] : R dyn = R ex ; M dyno = M ex O ; d d E cin = Pex mec + P mec in Suivan la manière don on ransforme l écriure de oues ces inégrales, on obien différenes versions des rois héorèmes généraux pour un domaine maériel de milieu coninu Théorème de la résulane dynamique sur un domaine maériel Expressions de la résulane des effors exérieurs sur un domaine maériel : Si les champs son décris par la méhode d Euler : R ex = f v m E dv + f s m E ds [éq. (3.5 p. 32] (3.8 = f v m E dv + σ E n ds [éq. (3.4 p. 31] m R ex = ( f v E + div E σ dv (héorème de la divergence (3.9 Si les champs son décris par la méhode de Lagrange : R ex = f v L K vl dv 0 + f s L K sl ds 0 (ch. var. de éq. (3.8 = = R ex = D m 0 D m 0 D m 0 D m 0 f v L K vl dv 0 + f v L K vl dv 0 + D m 0 D m 0 D m 0 σ L F T n 0 F T n 0 K sl ds 0 (cinémaique : n = F T n 0 F T n 0 σ L F T n 0 K vl ds 0 ( fl v K vl + div L (K vl σ L F T Expressions de la résulane dynamique d un domaine maériel : (cinémaique : K s = K v F T n 0 dv 0 (héorème de la divergence (3.10 Si les champs son décris par la méhode d Euler : R dyn = γ E dm = v E dm (définiion de l accéléraion (3.11 m = d v E dm [éq. (2.14 p. 22] d m = d ρ E v E dv (dm = ρ E dv d m R dyn = m (ρ E v E dv + ρ E v E (v E n ds [éq. (1.4 p. 12] (3.12 m Si les champs son décris par la méhode de Lagrange : R dyn = γ L dm = ρ L γ L K vl dv 0 = ρ 0 γ L dv 0 [éq. (2.12 p. 22] (3.13 D m 0 D m 0 D m 0 En écrivan l égalié : R dyn = R ex e en choisissan l une des expressions précédenes pour chacun des ermes, on écri le héorème de la résulane dynamique pour un domaine maériel sous les différenes formes que l on peu rouver dans la liéraure.

34 34 Chapire 3. Principe fondamenal de la mécanique Théorème du momen dynamique sur un domaine maériel Expressions du momen résulan des effors exérieurs sur un domaine maériel : Si les champs son décris par la méhode d Euler : M ex O = x f v m E dv + x f s m E ds [éq. (3.6 p. 32] (3.14 = x f v m E dv + x (σ E n ds [éq. (3.4 p. 31] m M ex O = x f v m E dv + H : (x σ E n ds (produi vecoriel écri avec H (3.15 ( m = x f v ( m E + div E H : (x σ E dv (héorème de la divergence M ex O = (x ( f v E + div E σ + H : σ E dv (développemen de la divergence (3.16 Si les champs son décris par la méhode de Lagrange (x = f (x 0, où f es la descripion de Lagrange du mouvemen : M ex O = = = M ex O = D m 0 D m 0 D m 0 D m 0 f f v L K vl dv 0 + f f v L K vl dv 0 + D m 0 D m 0 H : ( f σ L F T n 0 F T n 0 K sl ds 0 (ch. var. de éq. (3.15 H : ( f σ L F T n 0 K vl ds 0 (K s = K v F T n 0 ( f f v ( L K vl + div L KvL H : ( f σ L F T dv 0 (h. de la divergence ( f ( f v L + div L (K vl σ L F T + H : σ L K vl dv 0 (3.17 Expressions du momen dynamique d un domaine maériel : Si les champs son décris par la méhode d Euler : M dyno = x γ E dm = m = d d = M dyno = m x v E dm = d d ((x v E v E v E dm (3.18 (ρ E x v E dv + x (ρ E v E dv + m m ρ E x v E dv [éq. (2.14 p. 22] ρ E x v E (v E n ds [éq. (1.16 p. 16] ρ E x v E (v E n ds ( x = v E (3.19 Si les champs son décris par la méhode de Lagrange (x = f (x 0, où f es la descripion de Lagrange du mouvemen : M dyno = f γ L dm = ρ L f γ L K vl dv 0 = ρ 0 f γ L dv 0 [éq. (2.12 p. 22] (3.20 D0 m D0 m D0 m En écrivan l égalié : M dyno = M ex O e en choisissan l une des expressions précédenes pour chacun des ermes, on écri le héorème du momen dynamique pour un domaine maériel sous les différenes formes que l on peu rouver dans la liéraure.

35 3.4 Théorèmes généraux pour un domaine maériel Théorème de la puissance cinéique sur un domaine maériel Expressions de la puissance des effors exérieurs sur un domaine maériel : Si les champs son décris par la méhode d Euler : Pex mec = v E f v m E dv + v E f s m E ds [éq. (3.7 p. 32] Pex mec = v E f v m E dv + v E σ E n ds [éq. (3.4 p. 31] (3.21 ( m = v E f v E + div E (v E σ E dv (héorème de la divergence m ( Pex mec = v E ( f v E + div E σ + σ E : grad E v dv (développemen de la divergence (3.22 Si les champs son décris par la méhode de Lagrange : Pex mec = = = = = P mec ex = D m 0 D m 0 D m 0 D m 0 D m 0 D m 0 v L f v L K vl dv 0 + v L f v L K vl dv 0 + D m 0 D m 0 v L σ L F T n 0 F T n 0 K sl ds 0 (ch. var. de (3.21 v L σ L F T n 0 K vl ds 0 ( v L f v L K vl + div L (K v v L σ L F T (K s = K v F T n 0 dv 0 (héorème de la divergence (3.23 (v L ( f v L K vl + div L (K vl σ L F T + K vl (σ L F T : grad T L v L dv 0 ( v L ( f v L K vl + div L (K vl σ L F T + K vl (σ L F T : ḞF dv 0 ( v L ( f v L K vl + div L (K vl σ L F T + K vl σ L : (ḞF F 1 dv 0 (3.24 Expressions de la puissance cinéique d un domaine maériel : Si les champs son décris par la méhode d Euler : P mec cin P mec cin = = de cin = d v 2 E ρ E d d m 2 dv = d v 2 E d m 2 D dm = (v 2 E dm [éq. (2.14 p. 22] m 2 v E γ E dm = ρ E v E γ E dv (3.25 Si les champs son décris par la méhode de Lagrange : Pcin mec = v L γ L dm = ρ L v L γ L K vl dv 0 = D m 0 D m 0 D m 0 ρ 0 v L γ L dv 0 (3.26 Le héorème de la puissance cinéique perme d évaluer la puissance mécanique des effors inérieurs dans un domaine maériel de milieu coninu : P mec in = Pcin mec Pex mec (3.27 En choisissan l une des expressions précédenes pour chacun des ermes Pcin mec e Pmec ex, on écri les différenes expressions de la puissance mécanique des effors inérieurs Pin mec pour un domaine maériel que l on peu rouver dans la liéraure.

36 36 Chapire 3. Principe fondamenal de la mécanique 3.5 Conséquences locales des héorèmes généraux Les résulas qui suiven son les conséquences locales des rois héorèmes généraux énoncés pour un domaine maériel dans la secion précédene Équaion de mouvemen Théorème 3.16 Équaion de mouvemen. Le héorème de la résulane dynamique es équivalen à l équaion différenielle suivane : ρ γ = div E σ + f v 0 = div E σ + ρ f m 0 (3.28 où f v 0 e f m 0 son respecivemen les densiés volumiques e massiques d acions à disance dues à ou l univers (20. Démonsraion En prenan l expression (3.9 [p. 33] pour la résulane des effors exérieurs e l expression (3.11 [p. 33] pour la résulane dynamique (on choisi les expressions sans inégrale de fronière, le héorème de la résulane dynamique s écri : ρ E γ E dv = (div E σ + f v E dv (3.29 où f v es le champ des forces volumiques à disance exercé sur les paricules du domaine par l exérieur acuel du domaine maériel m. La valeur de ce champ dépend donc du domaine acuel car la définiion de l exérieur du domaine dépend évidemmen du domaine. Pour rappeler cee dépendance, on devrai le noer (lourdemen fd v m. Le lemme fondamenal 1.11 [p. 16] n es donc pas uilisable pour obenir une équaion locale à parir de l équaion (3.29. D après le corollaire 3.7 [p. 27] on peu écrire que : f v in E dv = 0 où f v in es la densié volumique des acions à disance acuelles des paricules inérieures au domaine maériel sur la paricule P. En addiionnan cee inégrale nulle à l équaion (3.29, il vien : ρ E γ E dv = (div E σ + f v m m E + f v in E dv }{{} f v 0E où le erme f v 0 = f v + f v in es la somme des acions volumiques à disance sur une paricule dues à l exérieur de m e à l inérieur de m, c es-à-dire de ou l univers. Conrairemen au champ f v, la valeur du champ f v 0, es indépendane du domaine d inégraion. Le lemme fondamenal 1.11 [p. 16] es alors applicable e on en dédui le résula. Dans l équaion (3.28, on a supprimé les indices E inuiles car, par définiion, Ψ E (x, = Ψ L (x 0, = Ψ(P,. La démonsraion de la réciproque se fai ainsi : ρ γ = div E σ + f v 0 ρ E γ E dv = m = = m m (div E σ + f v 0E dv (div E σ + f v E + f v in E dv (div E σ + f v E dv [corollaire 3.7 p. 27] Remarques Dans bien des cours (21, on fai la confusion enre la densié volumique de force à disance due à l exérieur du domaine f v e la densié volumique de force à disance f v 0 due à l univers (20 On peu dire que ou l univers es l «exérieur de la paricule P». (21 Y compris dans les versions précédenes, du même aueur, de ce cours!

37 3.5 Conséquences locales des héorèmes généraux 37 enier (inérieur e exérieur du domaine d éude. L argumen habiuellemen avancé es que leur différence f v in es négligeable. Cependan, si l on néglige f v in, le lemme fondamenal 1.11 [p. 16] n es pas applicable car conrairemen au champ de forces à disance f v 0, le champ f v es foncion du domaine d inégraion. Pour éablir une équaion locale, il es donc indispensable ne pas négliger les acions à disance inérieures. Dans la praique, la confusion f v f v 0 n es généralemen pas grave car dans la plupar des problèmes courans, le champ f v in dû à l auograviaion, aux forces de cohésion e aux évenuelles forces élecrosaiques es généralemen négligeable. Cependan il n es pas inerdi de considérer des domaines qui coniennen la erre (22 dans lesquels négliger la graviaion inerne ( f v in = 0 serai une faue grave. Écriures lagrangiennes En prenan l expression (3.10 [p. 33] pour la résulane des effors exérieurs e l expression (3.13 [p. 33] pour la résulane dynamique, le héorème de la résulane dynamique s écri : D m 0 ( ρ L K vl γ L dv 0 = f v D0 m L K vl + div L (K vl σ L F T dv 0 En suivan le même raisonnemen que précédemmen, on en dédui l équaion différenielle (23 : ρ K v γ = f v 0 K v + div L (K v σ F T (3.30 ρ 0 γ = ρ 0 f m 0 + div L(K v σ F T (K v = ρ 0 ρ e f v = ρ f m (3.31 où K v = def es la dilaaion volumique acuelle dans une déformaion don le domaine de référence es D0 m e où ρ 0 es la masse volumique iniiale (ρ 0 (P = ρ(p, 0. Une aure expression, sans «enseurs des conraines» arificiel [remarque 3.1 ci-après], es déduie direcemen de l équaion (3.28 : ρ γ = grad L σ : F + ρ f m 0 [éq. (2.6 p. 20] (3.32 Remarque 3.1 Aures «enseurs des conraines» Pour forcer une ressemblance enre l équaion (3.31 e l équaion de mouvemen (3.28, le groupemen de ermes Π = K v σ F T qui apparaî dans la divergence lagrangienne de l équaion (3.31 es parfois appelé premier «enseur des conraines» de Piola-Kirchhoff (ou encore de Boussinesq. On peu rouver une «inerpréaion» à ce enseur : le veceur Π n 0 es la force de conac acuelle par unié de surface de référence sur une facee maérielle don la direcion de référence es n 0. Conrairemen au enseur des conraines de Cauchy σ, le enseur Π n es pas symérique [h p. 37]. Dans la liéraure scienifique on rouve encore d aures «enseurs des conraines» : le enseur de Kirchhoff : τ = K v σ e le second enseur de Piola-Kirchhoff : S = F 1 Π qui son symériques. Ces groupemens de ermes ne son nommés que parce qu ils apparaissen dans cerains calculs. Ils n on pas d inerpréaion physique Symérie du enseur des conraines de Cauchy Théorème 3.17 Le héorème du momen dynamique implique la symérie du enseur des conraines de Cauchy. Démonsraion En prenan l expression (3.16 [p. 34] pour le momen en O des forces exérieures e l expression (3.18 [p. 34] pour le momen dynamique en O (on choisi les expressions sans (22 e pourquoi pas d aures asres (23 On a enlevé les indices L inuiles car par définiion Ψ E (x, = Ψ L (x 0, = Ψ(P,.

38 38 Chapire 3. Principe fondamenal de la mécanique inégrales de fronière, le héorème du momen dynamique s écri : ρ E x γ E dv = (x ( f v E + div E σ + H : σ E dv = = m m (x ( f v E + f v in E + div E σ + H : σ E dv [corollaire 3.7 p. 27] (x ( f v 0E + div E σ + H : σ E dv En enan compe de l équaion de mouvemen (3.28 [p. 36], il rese : 0 = H : σ E dv En uilisan le lemme 1.11 page 16, on en dédui : H : σ = 0. Le enseur d orienaion H éan complèemen anisymérique, cee égalié implique la symérie du enseur des conraines de Cauchy σ. Remarques Cee conclusion n es valable que si les acions mécaniques exérieures e inérieures son modélisables par des densiés de forces sans densiés de momens [noe 8 p. 28] (milieux coninus dis «non polarisés». On laisse le soin au leceur de vérifier que dans le cas conraire, le héorème du momen dynamique conien des ermes supplémenaires qui invaliden la symérie du enseur des conraines σ. D aure par, on laisse le soin au leceur de vérifier que l on pouvai aussi bien déduire la symérie du enseur des conraines de Cauchy à parir de l expression (3.17 [p. 34] pour le momen en O des forces exérieures e l expression (3.20 [p. 34] pour le momen dynamique en O (expressions avec les descripions de Lagrange des champs. Le enseur des conraines de Cauchy acuel σ éan symérique, il a donc 3 valeurs propres réelles σ 1 (P,, σ 2 (P, e σ 3 (P, (évenuellemen confondues e des espaces propres associés à ces valeurs propres. Définiion 3.18 Conraines principales. Les valeurs propres acuelles du enseur des conraines de Cauchy acuel son appelées conraines principales acuelles. Définiion 3.19 Direcions principales des conraines. Les direcions propres du enseur des conraines de Cauchy acuel son appelées direcions principales acuelles des conraines. Propriéé 3.20 En une paricule P, les facees maérielles don la direcion acuelle de la normale coïncide avec une direcion principale des conraines acuelle on une conraine angenielle nulle e la conraine normale es égale à la conraine principale acuelle. Démonsraion Si la direcion acuelle de la normale à une facee n coincide avec une direcion propre associée à la valeur propre σ i, alors la conraine pour cee facee maérielle es : c = σ n = σ i n La conraine normale pour cee facee maérielle [déf p. 31] es donc : c N = c n = σ i e la conraine angenielle [déf p. 32] es c T = c c N n = 0. Si les rois conraines principales acuelles son disinces, il n exise en une paricule que rois facees maérielles, acuellemen orhogonales, don les conraines son puremen normales, oues les aures facees on une conraines normale e une conraine anganielle ; si deux conraines principales son confondues, il en exise une infinié : leurs normales acuelles son dans un plan propre du enseur des conraines de Cauchy acuel ; si les rois conraines principales acuelles son égales, alors oues les facees maérielles on une conraine angenielle nulle.

39 3.5 Conséquences locales des héorèmes généraux 39 Représenaion de Mohr du enseur des conraines de Cauchy Le enseur des conraines de Cauchy éan symérique, il es suscepible d êre représené graphiquemen avec la représenaion de Mohr (24. Cee représenaion graphique monre que la conraine normale acuelle e la norme de la conraine angenielle acuelle pour une facee maérielle de normale acuelle n quelconque ne peuven prendre des valeurs quelconques : le poin de coordonnées (c N, c T es nécessairemen à l inérieur du ricercle de Mohr. En pariculier, si on ordonne les conraines principales σ 1 σ 2 σ 3, la norme de la conraine angenielle e la conraine normale de oues les facees maérielles auour d une paricule saisfon les inégaliés suivanes : 0 c T 1 2 (σ 1 σ 3 e σ 3 c N σ Puissance volumique des effors inérieurs Théorème 3.21 Densié volumique de puissance des effors inérieurs. La puissance des effors inérieurs dans un milieu coninu es une grandeur exensive. La densié volumique de puissance des effors inérieurs (unié : W.m 3 es : P v mec in (P, = σ(p, : D(P, où D es le enseur des aux de déformaion (3.33 Démonsraion En uilisan l expression de la puissance cinéique (3.25 [p.35] e l expression de la puissance des effors exérieurs (3.22 [p. 35] (on choisi les expressions sans inégrale de fronière, la puissance des effors inérieurs dans un domaine maériel es donnée par le héorème de la puissance cinéique [éq. (3.27 p. 35] : P mec in = = m ρ E v E γ E dv ρ E v E γ E dv m ( v E ( f v E + div E σ + σ E : grad E v Compe enu de l équaion de mouvemen (3.28 [p. 36], il rese : = σ E : grad E v dv P mec in dv ( v E ( f v 0E + div E σ + σ E : grad E v dv [corol. 3.7 p. 27] Enfin, compe enu de la symérie du enseur des conraines de Cauchy : = σ E : symgrad E v dv = ( σ E : D E dv P v mec in La puissance des effors inérieurs dans un milieu coninu es donc une grandeur exensive don la densié volumique es : P v mec in = σ E : D E = σ : D. On laisse le soin au leceur de vérifier qu on aboui au même résula en uilisan les expressions lagrangiennes (3.24 e (3.26 [p. 35] Synhèse Les rois héorèmes généraux, énoncés pour un domaine maériel quelconque, on permis d abouir aux résulas suivans : 1. le héorème de la résulane dynamique es équivalen à l équaion de mouvemen ; 2. le héorème du momen dynamique implique la symérie du enseur des conraines ; 3. le héorème de la puissance cinéique condui à l évaluaion de la puissance des effors inérieurs dans un domaine maériel de milieu coninu, e à sa densié volumique. (24 Cee représenaion graphique des enseurs symériques es présenée dans le cours Algèbre e analyse ensorielle pour l éude des milieux coninus, du même aueur [noe 3 p. 3].

40 40 Chapire 3. Principe fondamenal de la mécanique 3.6 Théorèmes généraux pour un domaine géomérique En mécanique générale, les héorèmes généraux rappelés en secion [p. 26] son éablis pour des sysèmes maériels, c es-à-dire consiués oujours de la même maière. En mécanique des milieux coninus, ce son des domaines maériels [déf. 1.1 p. 9]. Dans cee secion, on va les éablir pour des domaines géomériques [déf. 1.3 p. 10]. Soi un domaine géomérique D g don le domaine acuel (25 es D g. L équaion de mouvemen (3.28 [p. 36] perme d écrire : ρ E γ E dv = div E σ E dv + f v g g g 0E dv = div E σ E dv + f v g g E dv [corollaire 3.7 p. 27] (3.34 ρ E γ E dv = σ E n dv + f v } g {{} g g E dv (héorème de la divergence (3.35 }{{} R dyn R ex De même, l équaion de mouvemen (3.28 [p. 36] perme d écrire : ρ E x γ E dv = x div E σ E dv + x f v g g g 0E dv (3.36 ρ E x γ E dv = x div E σ E dv + x f v } g {{}} g {{} g E dv [corollaire 3.7 p. 27] (3.37 }{{} M dyno A M dis ex O L inégrande de l inégrale A peu s écrire sous la forme d une divergence : x div E σ E = H : (x div E σ = H : (div E (x σ grad E x σ E = div E ( H : (x σ H : (G σ E x div E σ E = div E ( H : (x σ (symérie de σ L inégrale A s écri donc : A = = g D g ( div E H : (x σ ( dv = H : (x σ n ds = g x f s ds = M con ex O D g x (σ E n ds L inégrale A de l équaion (3.37 es donc le momen en O des acions exérieures de conac acuelles. Finalemen, le héorème de la résulane dynamique [éq. (3.35 ] e le héorème du momen dynamique [éq. (3.37 ] pour un domaine géomérique raversé par un milieu coninu s exprimen exacemen de la même manière que pour un domaine maériel, à la différence près que les inégrales poren sur le domaine géomérique acuel. (25 Les fronières son évenuellemen en mouvemen, mais ce mouvemen es a priori différen des paricules qui s y rouven.

41 3.6 Théorèmes généraux pour un domaine géomérique Bilan de quanié de mouvemen sur un domaine géomérique On peu présener le héorème de la résulane dynamique appliqué à un domaine géomérique D g comme une équaion de bilan de quanié de mouvemen (26 sur ce domaine géomérique, de la manière suivane : R dyn = γ E dm = v E dm g g = d v E dm ρ E v E (v f v E n ds [éq. (2.16 p. 23 avec Ψ d m g g E = v E ] = d ρ E v E dv + ρ E v E (v E v f n ds d g g Le erme d d g ρ E v E dv es la dérivée emporelle de la quanié de mouvemen dans le domaine géomérique. Le héorème de la résulane dynamique R dyn = R ex s écri alors : d ρ E v E dv = ρ E v E (v E v f n ds + f v dv + f s ds d g g g }{{ g } En noan que f s = σ E n, e en uilisan le héorème de la divergence, le héorème de la résulane dynamique peu encore s écrire : d ρ E v E dv = ρ E v E (v E v f n ds + ( f v + div E σ dv (3.38 d } g {{}} g {{}} g {{} Q mv Φ Q mv où Φ Qmv es le flux convecif [déf. 1.9 p. 15] de quanié de mouvemen enran à ravers la fronière. En comparan l équaion (3.38 avec l équaion de bilan d une grandeur exensive (1.22 [p. 17], le veceur ( f v + div E σ peu êre inerpréé comme un aux de producion volumique de quanié de mouvemen dans le domaine géomérique D g e son inégrale R ex comme le aux de producion inerne de quanié de mouvemen. Ainsi, le héorème de la résulane dynamique peu êre inerpréé comme un héorème de «conservaion de la quanié de mouvemen», si l on considère la résulane des forces exérieures R ex (ou la résulane dynamique R dyn qui lui es égale comme une source de quanié de mouvemen. Remarques Dans cerains ouvrages de mécanique, cee inerpréaion du héorème de la résulane dynamique es érigée en principe. Le héorème de la résulane dynamique devien alors une inerpréaion. L équaion (3.38 es rès uile en mécanique des fluides lorque le mouvemen es saionnaire. Le erme de gauche es alors nul e il suffi de connaire les viesses seulemen à la fronière d un domaine géomérique pour en déduire la résulane des effors exérieurs (à disance e de conac sur le domaine géomérique. Les acions à disance se réduisen la plupar du emps à la pesaneur don la résulane es facile à évaluer (le poids du fluide dans le domaine géomérique. En revanche, la résulane des acions exérieures de conac es l opposé de la résulane de l acion du fluide sur les fronières du domaine géomérique. On peu donc, en ne connaissan que les viesses à la fronière du domaine géomérique, calculer la résulane des acions du fluide sur ses fronières, sans ouefois connaîre sa disribuion sur la fronière. (26 On rappelle que la quanié de mouvemen d un poin maériel de masse m se déplaçan à la viesse v es le produi mv. Le veceur v E peu donc êre vu comme une densié massique de quanié de mouvemen e le veceur ρ E v E es une densié volumique de quanié de mouvemen. La quanié de mouvemen es aussi parfois appelée impulsion. R ex R ex

42 42 Chapire 3. Principe fondamenal de la mécanique Bilan de momen cinéique sur un domaine géomérique On peu suivre la même démarche que précédemmen pour inerpréer le héorème du momen dynamique. M dyno = D g = d d = d d x γ E dm = g D g D g x v E dm ρ E x v E dv + ( x v E dm = g g (x v E ẋx v E }{{} 0 dm ρ E (x v E (v f v E n ds [éq. (2.16 p. 23 ; Ψ m E = x v E ] D g ρ E (x v E (v E v f n ds Le erme d d g ρ E x v E dv es la dérivée emporelle du momen cinéique (27 dans le domaine géomérique. Le héorème du momen dynamique M dyno = M ex O s écri alors : d d D g ρ E x v E dv = D g où x f s = H : (x f s = H : (x σ E n. ρ E (x v E (v E v f n ds + En uilisan le héorème de la divergence, il vien : d d D g Finalemen, d d ρ E x v E dv = ρ E x v E dv } g {{} M cino = = D g D g ρ E (x v E (v E v f n ds + D g ρ E (x v E (v E v f n ds + ( D g ρ E (x v E (v E v f n ds } g {{} Φ McinO x f v dv + x f s ds } g {{ g } M ex O ( x f v + div E ( H : (x σ E dv x ( f v + div E σ + H : (G σ }{{} 0 + dv x ( f v + div E σ dv } g {{ } M ex O (3.39 En comparan l équaion (3.39 avec l équaion de bilan d une grandeur exensive (1.22 [p. 17], le veceur x ( f v + div E σ peu êre inerpréé comme le aux de producion volumique de momen cinéique dans le domaine géomérique e son inégrale M ex O comme le aux de producion inerne de momen cinéique. Ainsi, le héorème du momen dynamique peu êre inerpréé comme un héorème de «conservaion du momen cinéique», si l on considère le momen résulan en O des forces exérieures M ex O (ou le momen dynamique en O M dyno qui lui es égal comme une source de momen cinéique. (27 On rappelle que le momen cinéique en un poin A d un poin maériel de masse m se déplaçan à la viesse v es le produi vecoriel map v(p, c es-à-dire le momen en A de la quanié de mouvemen.

43 3.6 Théorèmes généraux pour un domaine géomérique 43 Remarques Dans cerains ouvrages de mécanique, cee inerpréaion du héorème du momen dynamique es érigée en principe. Le héorème du momen dynamique devien alors une inerpréaion. L équaion (3.39 es rès uile en mécanique des fluides lorque le mouvemen es saionnaire. Le erme de gauche es alors nul e il suffi de connaire les viesses seulemen à la fronière d un domaine géomérique pour en déduire le momen résulan en O des effors exérieurs (à disance e de conac sur le domaine géomérique. Les acions à disance se réduisen la plupar du emps à la pesaneur, don le momen résulan en O es facile à évaluer (c es le momen en O du poids du fluide dans le domaine géomérique. En revanche, le momen résulan en O des acions exérieures de conac es l opposé du momen résulan en O de l acion du fluide sur les fronières du domaine géomérique. On peu donc, en ne connaissan que les viesses à la fronière du domaine géomérique, calculer le momen résulan en O des acions du fluide sur ses fronières, sans ouefois connaîre sa disribuion sur la fronière Bilan d énergie cinéique sur un domaine géomérique On peu inerpréer le héorème de la puissance cinéique comme un bilan d énergie cinéique sur le domaine géomérique : la puissance cinéique s écri : P cin = d d D g 2 D dm = (v 2 E g 2 D dm + v 2 E ρ E g 2 (v f v E n ds [éq. (2.16 p. 23 ; Ψ m E = v2 E 2 ] v 2 E = ρ E v E γ E dv + ρ E 2 (v f v E n ds (3.40 v 2 E D g La puissance des effors exérieurs s écri : Pex mec = v E f v dv + v E f s ds = v E f v dv + v E σ n ds g g g g ( = v E f v + div E (v σ dv = (v E ( f v + div E σ + σ E : D E dv g g = (ρ E v E γ E + σ E : D E dv [éq. (3.28 p. 36] g = ρ E v E γ E dv Pin mec [éq. (3.33 p. 39] (3.41 D g Avec les équaions (3.40 e (3.41, il vien : d d v 2 E g 2 dm }{{} E cin = v 2 E ρ E g 2 (v E v f n ds }{{} Φ Ecin D g +Pex mec + Pin mec (3.42 où Φ Ecin es le flux convecif [déf. 1.9 p. 15] d énergie cinéique enran à ravers la fronière. En comparan l équaion (3.42 avec l équaion de bilan d une grandeur exensive [éq. (1.22 p. 17], la quanié Pex mec + Pin mec = (ρ E v E γ E + σ E : D E dv = (v E ( f v g g E + div E σ + σ E : D E dv peu êre inerpréée comme un aux de producion inerne d énergie cinéique, e l inégrande τ ec = ρ v γ + σ : D = ρ ( f v + div E σ + σ : D

44 44 Chapire 3. Principe fondamenal de la mécanique peu êre inerpréé comme un aux de producion volumique d énergie cinéique. Ainsi, le héorème de la puissance cinéique peu êre inerpréé comme un héorème de «conservaion de l énergie cinéique», si l on considère la puissance des effors exérieurs e l opposé de la puissance des effors inérieurs comme des sources d énergie cinéique par unié de emps (sources de puissance cinéique. 3.7 Formulaion inégrale des équaions de mouvemen En première lecure, on peu ignorer cee secion e coninuer en secion 3.8 [p. 45] sans nuire à la compréhension de la suie. Dans cee secion, on éabli une formulaion inégrale équivalene à l équaion différenielle de mouvemen locale (3.28 [p. 36]. Cee formulaion n es uile que pour éablir ceraines méhodes numériques courammen employées dans la résoluion numérique des sysèmes d équaions différenielles. Soi w(m un champ vecoriel quelconque défini sur la posiion acuelle D d un domaine de milieu coninu maériel ou géomérique (28. L équaion de mouvemen (3.28 [p. 36] (équaion vecorielle es évidemmen équivalene à la proposiion scalaire suivane : ρ w γ = w div E σ + ρ w f v 0, w V 3 En inégran cee égalié sur le domaine acuel D, il vien : ρ E w γ E dv = w div E σ dv + ρ E w f m 0 E dv, w (3.43 D D D = w div E σ dv + ρ E w f m E dv, w [corollaire 3.7 p. 27] D D = div E (w σdv σ E : grad E wdv + ρ E w f m E dv, w D D D = w σ E nds + ρ E w f m E dv σ E : grad E wdv, w D D D ρ E w γ E dv = w f s E ds + ρ E w f m E dv σ E : sym grad E wdv, w (3.44 D D D D On démonre en analyse foncionnelle que si cee égalié scalaire d inégrales es vraie pour ou champ w défini sur D, alors elle es équivalene à l équaion différenielle vecorielle de mouvemen (3.28 [p. 36]. Aperçu de la démonsraion L implicaion es riviale, on n aborde que la réciproque. Soi H(D l espace vecoriel des foncions définies sur D e de carré inégrable sur D ; l espace H(D es un espace de Hilber de dimension infinie. On monre en analyse foncionnelle que l inégrale D g(x h(xdv où g H(D e h H(D, es un produi scalaire de ce espace, souven noé g,h. L équaion (3.43 s écri donc : D (ρ E γ E div E σ ρ E f m 0 E w dv = 0 ρ E γ E div E σ ρ E f m 0 E, w = 0, w H(D Le champ (ρ E γ E div E σ ρ E f m 0 E H(D éan orhogonal (dans l espace H(D à ou champ arbiraire w H(D, il es donc nécessairemen nul. (28 Dans le calcul qui sui, on n uilise pas de dérivées emporelles d inégrales, les résulas son donc valables pour ou ype de domaine.

45 3.8 Changemens d observaeur 45 Terminologie L égalié (3.44 es appelée formulaion inégrale ou encore formulaion variaionnelle (29 ou encore formulaion faible (30 des équaions de mouvemen. Les champs arbiraires w son appelés foncions es ou encore foncions de pondéraion. Si l on inerprèe le champ vecoriel arbiraire w comme un champ de viesses arbiraire, il es appelé champ de viesses viruelles. Les ermes de l égalié (3.44 son alors de la dimension d une puissance, e le héorème prend le nom de héorème des puissances viruelles. Si l on inerprèe le champ vecoriel arbiraire w comme un champ de déplacemens arbiraire, il es appelé champ de déplacemens viruels (31. Les ermes de l égalié (3.44 son alors de la dimension d un ravail, e le héorème prend le nom de héorème des ravaux viruels. Remarques Du fai de son équivalence à l équaion de mouvemen (3.28 page 36, la formulaion inégrale (3.43 ou (3.44 [p. 44] es présenée dans beaucoup de cours de mécanique des milieux coninus comme le principe fondamenal (peu inuiif de la mécanique. Cee formulaion es à la base d une méhode numérique de résoluion approchée de sysèmes d équaions différenielles : la méhode des élémens finis. L approximaion provien de ce que l on cherche des soluions, non pas dans l espace H(D de oues les foncions définies sur D, mais seulemen dans un sous-espace de dimension finie de foncions définies sur D (le plus souven polynomiales par morceaux, de carré inégrable sur D e dense dans H(D. Dans le cas de domaines maériels, on peu décrire les champs par la méhode de Lagrange [éq. (1.2 p. 11]. On laisse le soin au leceur, en suivan la même démarche que précédemmen mais en paran de l expression lagrangienne de l équaion de mouvemen (3.30 [p. 37], de vérifier que l expression lagrangienne de ce héorème es : ρ 0 w γ L dv 0 = ρ 0 w f m L dv 0 + w f s L dv 0 K vl (σ L F T : grad L w dv 0, w D m 0 D m 0 D m 0 où F = grad L x es le gradien de la ransformaion enre les insans 0 e, où K v = def es la dilaaion volumique acuelle dans une déformaion don l éa de référence es D0 m e où ρ 0 es la masse volumique à l insan de référence 0. Les aueurs qui inerprèen le champ arbiraire w comme un champ de viesses viruelles ransformen parfois le dernier erme : K vl (σ L F T : grad }{{} L w = K vl σ L : sym(grad }{{} L w F 1 = τ L : symgrad E w }{{} Π L τ L D w où D w serai inerpréable comme un «aux de déformaion viruel» par «analogie» avec les viesses réelles. Les groupemens de ermes Π e τ on déjà éé évoqués dans la remarque 3.1 [p. 37]. D m Changemens d observaeur Noaion 3.22 Dans cee secion, on considère deux observaeurs quelconques R e R en mouvemen relaif quelconque. A priori ils ne son donc pas galiléens. On convien de surmoner d un les grandeurs relaives à l observaeur R. Le enseur (orhogonal de changemen d observaeur acuel de R à R sera noé Q. (29 Ce nom es uilisé par les aueurs qui uilisen un aure principe fondamenal de la mécanique : la soluion d un problème de mécanique es le champ défini sur D qui minimise une ceraine inégrale appelée «énergie poenielle». Pour chercher ce minimum, on uilise le calcul variaionnel. (30 Ce nom es pluô uilisé par les numériciens : cee formulaion n es pas plus faible que l équaion de mouvemen, elle lui es équivalene. Elle ne devien «faible» que lorsqu on limie la recherche du champ soluion dans un sousespace de H(D (on obien alors une soluion approchée. (31 Parfois noé δu

46 46 Chapire 3. Principe fondamenal de la mécanique On rappelle (32 que les formules de changemen d observaeur de la direcion acuelle u d une direcion maérielle, de la direcion acuelle n de la normale d une facee maérielle e de oue grandeur acuelle vecorielle w( objecive son : ũu = Q u ; ñn = Q n ; w( = Q w( (3.45 Principe 3.23 Objecivié des forces de conac. Les forces exérieures surfaciques acuelles de conac sur la fronière de ou domaine maériel son des grandeurs vecorielles objecives. Commenaire La significaion physique de l objecivié d une grandeur vecorielle es que la valeur vecorielle acuelle de cee grandeur a «la même posiion par rappor à la posiion acuelle de la maière» pour ous les observaeurs, ce qui se radui par l une de ces deux égaliés équivalenes (33 : f s (P, = Q f s (P,, R R f s (P, (x x = f s (P, ( x x, P P R R Ainsi, le principe de l objecivié des forces de conac affirme que si un observaeur consae que l exérieur d un domaine exerce acuellemen sur une facee maérielle de la fronière une conraine normale à la fronière acuelle, alors ous les observaeurs fon la même consaaion. De même une conraine acuelle angenielle es angenielle e a la même norme pour ous les observaeurs. Le veceur f s acuel fai donc le même angle avec la facee maérielle acuelle pour ous les observaeurs. L orhogonalié du enseur de changemen d observaeur acuel Q garani que ous les observaeurs observen aussi la même norme acuelle de la conraine f s. En revanche, il n es pas possible de posuler une objecivié pour les forces massiques ou volumiques car les observaeurs son a priori en mouvemen relaif quelconque. Même si l observaeur R es galiléen, l observaeur R ne l es pas a priori e les forces massiques qu il doi prendre en compe coniennen des forces d inerie d enraînemen e de Coriolis. La suie monre que seule l objecivié des forces de conac es nécessaire. Théorème 3.24 Objecivié du enseur des conraines de Cauchy. Le champ de enseur des conraines de Cauchy es un champ ensoriel du second ordre objecif. Démonsraion Les forces exérieures de conac éan objecives [principe 3.23 p. 46], la formule de changemen d observaeur des veceurs conraines (34 es : c = Q c [éq. (3.45] (3.46 En appliquan la définiion de la conraine (3.3 [p. 30] pour chaque observaeur, l égalié (3.46 s écri : σ ñn = Q (σ n, n σ Q n = Q σ n, n [éq. (3.45] σ Q = Q σ σ = Q σ Q (3.47 ce qui es la formule de changemen d observaeur d une grandeur ensorielle du second ordre objecive. Remarque On laisse le soin au leceur d éablir les formules de changemen d observaeur des aures «enseurs des conraines» Π, τ e S évoqués dans la remarque 3.1 [p. 37]. Il en déduira (35 que seul le enseur τ = K v σ es objecif. (32 Voir le cours Cinémaique des milieux coninus, du même aueur [noe 4 p. 3]. (33 Voir le cours Cinémaique des milieux coninus, du même aueur [noe 4 p. 3]. (34 On rappelle que la conraine es une force de conac exérieure à un sous-domaine D1 m [déf p. 30]. (35 On rappelle que la formule de changemen d observaeur du gradien lagrangien des posiions acuelles F es : F = Q F Q 0.

47 3.9 En bref On en dédui aisémen qu une conraine normale acuelle c N (P,n, = n σ(p, n es un scalaire objecif quelle que soi la facee maérielle de normale acuelle n considérée. De même, le veceur conraine angenielle acuelle en une paricule pour une facee maérielle de normale acuelle n, ainsi que sa norme son des grandeurs respecivemen vecorielle e scalaire objecives car c T ũu = c T u u. L objecivié du enseur des conraines de Cauchy implique l objecivié de ses valeurs propres acuelles, de ses invarians acuels e de ses direcions propres acuelles. Théorème 3.25 Objecivié de la puissance des effors inérieurs. La densié volumique de puissance des effors inérieurs es une grandeur scalaire objecive. Démonsraion La formule de changemen d observaeur du enseur des conraines de Cauchy es donnée dans l équaion (3.47 [p. 46]. On rappelle que le enseur des aux de déformaion acuel D es objecif. Sa formule de changemen d observaeur es donc : D = Q D Q. Le leceur monera sans difficulé que l on a alors l égalié : P v mec in = σ : D = σ : D = P v mec in ce qui es la formule de changemen d observaeur d une grandeur scalaire objecive. En revanche, la puissance des effors exérieurs (à disance e de conac Pex mec e la puissance cinéique P cin ne son pas des grandeurs scalaires objecives, car la viesse e l accéléraion ne son pas des grandeurs vecorielles objecives. Touefois, le héorème de la puissance cinéique = P cin Pex mec monre que leur différence es objecive. (P mec in 3.9 En bref... Dans ce chapire, on a dédui les équaions de la mécanique des milieux coninus à parir des héorèmes généraux éablis en mécanique générale en applicaion des lois de Newon. Les résulas esseniels son : 1. Les effors exérieurs agissan sur un domaine de milieu coninu son : des forces à disance qui agissen sur oues les paricules du domaine de milieu coninu, décries par un champ de forces volumiques f v ou massiques f m ; des forces de conac agissan sur la fronière, décries par un champ de forces surfaciques f s. 2. Les effors inérieurs son décris par le champ de enseurs des conraines de Cauchy σ(p, : en une paricule P, la conraine s exerçan sur une facee maérielle de normale acuelle n es donnée par : c(p,n, = σ(p, n En pariculier, en oue paricule P de la fronière d un domaine, de normale exérieure acuelle n (P,, le enseur des conraines de Cauchy doi saisfaire la condiion aux limies : σ(p, n (P, = f s (P, 3. Les lois de la mécanique impliquen que : en oue paricule e à ou insan, l équaion de mouvemen doi êre saisfaie : div E σ = ρ (γ f m 0 (équaion différenielle vecorielle

48 48 Chapire 3. Principe fondamenal de la mécanique où f m 0 (P, es le champ de force à disance massique exercé par ou l univers (exérieur e inérieur du domaine d éude sur la paricule. Le champ des forces à disance sur une paricule f m in (P,, dû à l inérieur du domaine d éude, es souven négligé ( f m 0 confondu avec f m. le enseur des conraines de Cauchy es symérique ; la puissance des effors inérieurs es une grandeur exensive don la densié volumique es : P v in mec (P, = σ(p, : D(P, Il exise une formulaion inégrale équivalene à l équaion de mouvemen, uile pour sa résoluion numérique. On a donné différenes manières d écrire e d inerpréer les héorèmes généraux de la mécanique pour des domaines maériels ou géomériques. Le enseur des conraines de Cauchy es une grandeur ensorielle du second ordre objecive, e la puissance des effors inérieurs ainsi que sa densié volumique son des grandeurs scalaires objecives.

49 Conservaion de l énergie 4 Le principe de la conservaion de l énergie es aussi appelé premier principe de la hermodynamique. Avan d aborder l expression du principe de la conservaion de l énergie pour un domaine de milieu coninu, il es uile de clarifier un cerain nombre de conceps de base uilisés en hermodynamique. 4.1 Conceps de base en hermodynamique Sysème La hermodynamique a pour ambiion d éudier l évoluion de sysèmes maériels don la consiuion inerne es a priori quelconque (machines, objes maériels solides ou non, poncuels ou non, agencés de manière quelconque e suscepibles d échanger de la maière e de l énergie avec l exérieur du sysème. L échange d énergie se fai sous la forme d énergie mécanique, le ravail, e sous la forme d aures énergies non mécaniques, principalemen la chaleur. Dans ce cours, les sysèmes don on éudie l évoluion son soi des domaines maériels (ou sysèmes fermés [déf. 1.1 p. 9], soi des domaines géomériques (ou sysèmes ouvers [déf. 1.3 p. 10] remplis d un milieu presque parou (1 coninu. Remarques La modélisaion d un disposiif maériel réel au moyen d un modèle de milieu coninu par morceaux, séparés par des surfaces es rès générale. On peu praiquemen modéliser n impore quel disposiif macroscopique de cee manière : les objes solides (déformables ou non son des milieux coninus séparés des aures consiuans du sysème par leur surface fronière ; les aures consiuans peuven êre des fluides (liquides ou gaz qui eux aussi son délimiés par des fronières de solides (parois, aubages ou des surfaces limies du sysème. Chaque morceau es un milieu coninu avec son propre comporemen, soumis à des condiions aux limies aux inerfaces enre les morceaux ou à ses fronières avec l exérieur du sysème. Dans les cours élémenaires de hermodynamique, les consiuans d un sysème son foremen simplifiés (solides indéformables, fluides non visqueux, gaz parfais, ressors sans masse, liaisons sans froemen, pressions e empéraures uniformes dans l espace, conraines uniquemen normales, enseur des conraines sphérique, ec.. Ces simplificaions son sous la responsabilié de l ingénieur qui fai l éude. Dans la suie, on n en fera aucune. Définiion 4.1 Sysème hermodynamique. Un sysème hermodynamique es un domaine maériel (sysème fermé ou un domaine géomérique (sysème ouver don le conenu es modélisé par un milieu (presque parou coninu. Ce sysème échange de l énergie avec son exérieur sous forme de ravail e de chaleur. (1 Le sens de la locuion «presque parou» es celui qu on lui donne dans la héorie de la mesure e des disribuions : l ensemble des poins où le milieu n es pas coninu es de volume nul (poins, lignes, surfaces. En pariculier, un milieu coninu par morceaux es un milieu presque parou coninu.

50 50 Chapire 4. Conservaion de l énergie Variables d éa Comme on va le voir dans la suie, le principe de la conservaion de l énergie évoque «l éa d un sysème». Il convien de préciser ce concep. Dans les cours de hermodynamique élémenaire, les sysèmes envisagés son des sysèmes suffisammen simplifiés pour que le nombre de paramères qui évoluen lorsque le sysème évolue soi limié à quelques uniés. Ces paramères évoluifs son appelés «variables d éa». Il exise aussi d aures paramères non évoluifs qui définissen le sysème (dimensions, raideurs, caracérisiques de fluides, ec. qui ne son pas des variables d éa. L éa d un sysème es défini par un ensemble de valeurs données aux variables d éa. Exemple 4.2 Quelques sysèmes simplifiés classiques : 1. le sysème es un domaine (maériel ou géomérique de fluide don les caracérisiques son des champs supposés uniformes (oues les paricules son dans le même éa. Dans ce cas, les grandeurs en une paricule du domaine caracérisen l éa du domaine comple. 2. le sysème es composé d un nombre fini de consiuans simplifiés agencés enre eux (solides indéformables, ressors élasiques sans masse, liaisons sans froemen, ec.. Dans ce cas, l éa du sysème es défini par un nombre fini de paramères géomériques définissan la posiion des élémens du sysème. 3. un mélange des deux cas précédens : ypiquemen un cylindre indéformable e un pison indéformable avec un glissemen éanche e sans froemen, enferman un gaz en éa uniforme ; e plus généralemen une machine hermodynamique idéalisée. En hermodynamique élémenaire, ces simplificaions n on pour objecif que de pouvoir décrire l évoluion du sysème par l évoluion d un pei nombre de variables. Par ailleurs, on qualifie souven de «variables d éa» des grandeurs physiques évoluives, sans se soucier si ces variables son indépendanes ou non (2. Si les variables d éa ne son pas indépendanes, la définiion d un éa (ensemble de valeurs données aux variables d éa doi êre compaible avec les relaions d inerdépendance enre les variables. Dans ce cours, la lise des variables d éa sera un ensemble de paramères évoluifs nécessaire e suffisan pour la descripion de l éa du sysème modélisé. Les variables d éa seron donc des grandeurs indépendanes, c es-à-dire que l on peu donner à chacune d elles une valeur arbiraire (dans son domaine de définiion pour définir un éa. L ensemble de variables d éa indépendanes es la définiion de l éa du sysème, e oues les valeurs possibles des variables d éa engendren ous les éas envisageables par ce modèle du sysème. Enfin, en hermodynamique élémenaire, on se soucie raremen de l universalié de la définiion de l éa du sysème : un même ensemble de valeurs pour les variables d éa devrai définir le même éa du sysème pour ous les observaeurs. En d aures ermes, les variables d éa devraien êre des grandeurs scalaires objecives, afin que ous les observaeurs décriven un éa du sysème avec les mêmes valeurs de variables d éa ; les évoluions de l éa d un sysème (c es-à-dire celle de ses variables d éa son alors les mêmes pour ous les observaeurs. Commenaire Le veceur posiion ou le veceur viesse d une paricule par rappor à un observaeur son des veceurs différens d un observaeur à l aure. Ces paramères peuven effecivemen servir à décrire l éa d un sysème pour un cerain observaeur, mais un aure observaeur décrira le même éa du sysème avec d aures valeurs. En revanche, des grandeurs elles que des disances acuelles (2 Il n es pas rare de lire que pour un gaz parfai en éa uniforme, la pression, le volume massique (ou son inverse la masse volumique e la empéraure absolue son des variables d éa alors qu elles son liées par la loi de Marioe.

51 4.1 Conceps de base en hermodynamique 51 ou des viesses relaives acuelles enre élémens du sysème son des paramères communs à ous les observaeurs qui peuven définir un éa de sysème avec les mêmes valeurs pour ous les observaeurs. En pariculier, quand les variables d éa coniennen des paramères géomériques ou cinémaiques relaifs enre élémens du sysème, ces paramères permeen de reconsiuer la géomérie acuelle e le mouvemen acuel du sysème à un mouvemen de solide près, ce qui es suffisan pour définir l éa d un sysème. Un sysème e son éa on une significaion physique indépendammen de ou observaeur e ils doiven pouvoir êre décris inrinsèquemen, c es-à-dire indépendammen de l observaeur uilisé pour analyser son évoluion. Par exemple, la longueur acuelle d un ressor es une variable d éa objecive alors que les posiions de ses exrémiés ne son pas des variables d éa objecives. Compe enu des considéraions précédenes, e afin de développer une hermodynamique rigoureuse e générale, on pose la définiion suivane : Définiion 4.3 Variables d éa. Les variables d éa décrivan l éa d un sysème hermodynamique [déf. 4.1 p. 49] son choisies el que : 1. Les variables d éa son des champs maériels objecifs (3 de grandeurs physiques (scalaires vecorielles ou ensorielles presque parou (4 différeniables : les milieux coninus considérés ne son donc pas a priori en éa uniforme ; les champs maériels choisis comme variables d éa décriven l éa acuel de chaque paricule. 2. La lise des variables d éa es la lise nécessaire e suffisane pour définir un éa du sysème, c es-à-dire celui de ses paricules : on peu donc donner une valeur arbiraire (dans son domaine de définiion à chacune des variables d éa pour définir un éa du sysème. Remarque On verra plus loin [déf. 4.9 p. 55] que oue lise de variables d éa ensorielles objecives e indépendanes peu se ramener à une lise de variables d éa scalaires objecives indépendanes. Le choix d une lise de variables d éa indépendanes es la première éape de la modélisaion du comporemen d un sysème hermodynamique. En faisan ce choix, on décide que ous les éas envisageables par ce modèle du sysème son obenus en donnan indépendammen une valeur arbiraire à chacune des variables d éa (dans leur domaine de valeurs admissibles. Remarques Le choix d un ensemble de variables d éa indépendanes es normalemen suggéré par des consaaions expérimenales sur le milieu coninu que l on veu modéliser : on doi pouvoir donner indépendammen à chacune des variables d éa une valeur arbiraire. Elles ne doiven donc pas êre liées par une relaion issue d une définiion, de la cinémaique, d un principe fondamenal ou d une loi de comporemen. Par exemple, on ne peu pas prendre simulanémen la masse volumique acuelle ρ e un enseur de déformaion acuel X comme variables d éa indépendanes, car la dilaaion volumique acuelle K v en une paricule, déerminée par le enseur de déformaion acuelle X, es liée à la masse volumique acuelle par le principe de la conservaion de la masse : K v = ρ 0 ρ 1 [éq. (2.8 p. 21]. Les deux grandeurs X e ρ ne son donc pas indépendanes. Si l on ien à conserver la variable ρ comme variable d éa pour un solide déformable, alors il fau l associer au enseur de déformaion isov(x qui es le enseur de déformaion isovolume issu de la décomposiion de la déformaion X (5. (3 C es-à-dire des champs Ψ(P, définis (évenuellemen par morceaux sur le sysème (domaine maériel ou géomérique ; leur objecivié implique que la formule de changemen dobservaeur es : ψ = R Q (ψ. (4 Voir la noe 1 [p. 49]. (5 L expression de la décomposiiion unique e commuaive de oue déformaion en déformaion sphérique e déformaion isovolume dépend du enseur de déformaion uilisé. Voir le cours Cinémaique des milieux coninus, du même aueur [noe 4 p. 3].

52 52 Chapire 4. Conservaion de l énergie Aure exemple : si le milieu coninu es modélisé par un gaz parfai, on ne peu pas prendre comme variables d éa indépendanes à la fois la empéraure acuelle T, la masse volumique acuelle ρ e la pression acuelle p d une paricule car ces rois grandeurs son liées par la définiion d un gaz parfai p = r ρ T où r es une consane caracérisique du gaz parfai. Si on choisi la empéraure e la masse volumique comme variables d éa d un gaz parfai, la pression en une paricule de gaz parfai es par définiion une foncion d éa [déf. 4.6 p. 53]. En revanche, si on consae expérimenalemen qu il fau disinguer des éas qui auraien les mêmes valeurs de variables d éa, alors il es nécessaire d ajouer à la lise de ces variables d éa une ou plusieurs variables d éa qui permeen de disinguer ces éas [exemple 4.5 p. 53]. Plus l ensemble de variables d éa indépendanes es grand, plus le modèle es compliqué, mais il sera d auan plus ape à rendre compe correcemen du comporemen réel du sysème modélisé. Noaion 4.4 Tan que les modèles de milieu coninu ne son pas précisés (fluide, solide déformable ec., les variables d éa seron noées {χ 1 (P,,, χ n (P,}, chacun de ces champs maériels pouvan êre scalaire, vecoriel ou ensoriel. Exemples de lises de variables d éa indépendanes pour un milieu coninu : On verra dans le chapire suivan qu une variable d éa scalaire e objecive obligaoire es la empéraure absolue T. Elle figure donc oujours dans la lise des variables d éa des exemples qui suiven. 1. La variable d éa masse volumique acuelle (un scalaire radui la présence d une ceraine quanié de maière par unié de volume (6. Cee descripion macroscopique locale de la répariion acuelle de la maière es la plupar du emps jugée suffisane pour les modèles de fluides. Une lise de variables d éa indépendanes e objecives pour décrire l éa d une paricule de fluide simple es donc {T,ρ}. 2. Un enseur de déformaion acuelle (un enseur du second ordre radui plus finemen la disposiion acuelle de la maière en comparan les disances acuelles enre paricules voisines avec celles d une forme de référence. Un enseur de déformaion doi donc obligaoiremen figurer dans la lise des variables d éa d une paricule de milieu coninu solide déformable. La forme de référence uilisée pour définir les déformaions serai, par exemple, la forme du solide déformable lorsqu il n a encore jamais éé sollicié. Une lise de variables d éa objecives pour décrire l éa d une paricule de solide déformable isorope es donc {T,X} où X es un enseur de déformaion acuelle objecif (7. 3. Pour les solides déformables anisoropes, un enseur de déformaion acuelle es insuffisan pour définir un éa acuel : il fau compléer la descripion de l éa acuel d une paricule en précisan l orienaion du enseur des déformaions acuel par rappor aux direcions acuelles d anisoropie. En plus de la empéraure, les variables d éa doiven donc comporer à la fois un enseur de déformaion acuelle e les direcions maérielles acuelles d anisoropie. Une lise de variables d éa objecives (8 pour décrire l éa d une paricule de solide déformable anisorope es donc {T,X,N 1,,N p } où X es un enseur de déformaion acuelle objecif e où les N i son des enseurs uniaxiaux uniaires représenan les direcions acuelles d anisoropie. (6 Microscopiquemen, c es un nombre moyen de corpuscules par unié de volume (7 Il en exise plusieurs, voir le cours Cinémaique des milieux coninus, du même aueur [noe 4 p. 3]. (8 Lorsqu il y a plusieurs direcions d anisoropie en une paricule, la lise de variables d éas ensorielles proposée ici n es pas ou à fai indépendane car les angles acuels enre les direcions d anisoropie ne son pas indépendans de la déformaion acuelle X. Lors de l éude des milieux coninus solides anisoropes, on la ramènera à une lise de variables d éa scalaires indépendanes.

53 4.1 Conceps de base en hermodynamique Pour cerains milieux coninus, on peu consaer que l hisoire de l évoluion des variables d éa pour parvenir à un éa donné es imporane. Dans ce cas, il fau ajouer des variables d éa (scalaires, vecorielles ou ensorielles qui son le résumé acuel de l hisoire de l évoluion de cee paricule (9. Ces variables d éa son souven appelées variables d éa inernes. Ce résumé de l hisoire peu êre plus ou moins riche selon les élémens de l hisoire que l on a sélecionnés comme imporans. Exemple 4.5 Allongemen isoherme d une barre : à l aide d une machine de racion, on allonge de 1% une éprouvee par un chargemen progressif à la empéraure consane T 0, ou bien on l allonge de 10% puis on la ramène à un allongemen final de 1%, oujours à la empéraure consane T 0. Si l on consae que l effor exercé par la machine à l allongemen final de 1% diffère dans les deux expériences, cela signifie que la seule déformaion par rappor à l éa iniial es une variable d éa insuffisane pour caracériser l éa final à la empéraure T 0 : il fau disinguer les éas finaux par le fai que l hisoire de la déformaion n es pas la même dans les deux expériences. Terminologie Le qualificaif d «inerne» pour les variables d éa qui représenen l hisoire de l évoluion semble plus ou moins consacré par l usage, bien que oues les variables d éa puissen êre vues comme «inernes» puisqu elles raduisen l éa local des paricules du domaine. Cerains aueurs les appellen «non observables» ou «cachées» ou encore «non mesurables». Ces variables d éa son pouran observables (donc mesurables puisque ce son des observaions expérimenales qui permeen d en déceler la nécessié. Dans l exemple 4.5, on observe une différence dans l effor final des deux chemins (10. Dans la suie, on les appellera variables d éa mnésiques pour rappeler qu elles son le résumé (la mémoire parielle de l hisoire de l évoluion de la paricule Foncion d éa L énoncé du principe de la conservaion de l énergie évoque la noion de «foncion d éa». Il convien de préciser ce concep. Définiion 4.6 Foncion d éa. On appelle foncion d éa, oue grandeur physique scalaire, vecorielle ou ensorielle don la valeur es déerminée par la seule connaissance des valeurs des variables d éa indépendanes. Les foncions d éa son donc des applicaions f χ : {χ 1,, χ n } V q 3 où q es l ordre de ensorialié de la foncion d éa. Une foncion d éa défini une nouvelle grandeur χ en foncion des valeurs des variables d éa : χ (P, = f χ (χ 1 (P,,, χ n (P, Lors de l évoluion d un sysème, l éa {χ 1,, χ n } des paricules évolue avec le emps, la valeur de la foncion d éa χ j évolue donc aussi avec le emps. Sa dérivée pariculaire (11 es : χ = n i=1 i f χ pi χ i (rappel : i f χ = f χ χ i es un enseur d ordre p i + q où p i es l ordre de ensorialié de la variable d éa χ i e où p i es un produi ensoriel p i -conracé. (9 Ces variables d éa raduisen macroscopiquemen des phénomènes microscopiques els que des réarrangemens ou des rupures de liaisons inercorpusculaires qui se son produis dans l évoluion qui a aboui à l éa acuel. Les phénomènes macroscopiques s appellen : plasificaion, endommagemen, ec. (10 On observe aussi une différence de déformaion permanene après décharge de la barre (11 C es-à-dire la dérivée emporelle à paricule consane («on sui la paricule dans son mouvemen».

54 54 Chapire 4. Conservaion de l énergie La plupar des foncions d éa envisagées dans la suie seron scalaires (q = 0, V q 3 = R. Dans ce cas, la dérivée pariculaire s écri : χ = n i=1 i f χ pi χ i (rappel : i f χ = f χ χ i es un enseur d ordre p i Si la foncion d éa es scalaire e si de plus oues les variables d éa son scalaires, la dérivée pariculaire s écri : χ = n i=1 i f χ χ i Vocabulaire Les foncions d éa scalaires (ou seulemen ceraines d enre-elles son parfois appelées poeniels hermodynamiques. Remarques On peu définir un grand nombre de grandeurs foncions d éa χ j : oue foncion de foncions d éa e de variables d éa es une foncion d éa. Parmi un ensemble de grandeurs {χ 1,, χ n, χ 1,, χ q}, on peu choisir n grandeurs {χ 1,, χ n} elles que les q grandeurs resanes s exprimen en foncion des χ i. Il suffi que l applicaion {χ 1,, χ n } {χ 1,, χ n} (changemen de variables d éas soi inversible. Cee possibilié de changer de lise de variables d éas indépendanes explique la profusion de formules (expriman la même chose que l on peu rouver dans beaucoup de cours de hermodynamique. Dans ce cours, par souci de claré, on éviera de faire de els changemens de variables d éa. Par ailleurs, on verra dans la suie que les seules foncions d éa réellemen fondamenales son les deux foncions d éa scalaires inroduies par les deux principes fondamenaux de la hermodynamique : l énergie inerne inroduie par le premier principe de la hermodynamique [secion p. 57] e l enropie inroduie par le second principe de la hermodynamique [chapire 5 p. 67]. Les aures foncions d éa évoquées classiquemen en hermodynamique (enhalpie libre ou non, énergies libres de Helmholz ou de Gibbs, ec. ne son que des combinaisons de ces deux foncions d éa e de variables d éa, combinaisons qui apparaissen dans l éude de ceraines évoluions pariculières de cerains milieux coninus pariculiers ; elles n on rien de fondamenal Isoropie des foncions d éa Théorème 4.7 Toue foncion d éa scalaire e objecive, foncion de variables d éa ensorielles objecives, es nécessairemen une foncion isorope de ses argumens. Démonsraion Les variables d éa éan objecives, leur formule de changemen d observaeur es connue a priori : χ i (P, = R Q (χ i (P, où R Q (χ i es la roaion du enseur χ i par le enseur de changemen d observaeur acuel Q (12. Soi une foncion d éa scalaire définie par χ = f χ (χ 1,, χ n. L universalié de sa définiion signifie que l applicaion f χ es la même pour ous les observaeurs. Son objecivié implique l égalié : f χ ( χ1,, χ n = fχ ( χ 1,, χ n = fχ ( RQ (χ 1,,R Q (χ n, Q ce qui es la définiion d une foncion scalaire isorope de ses argumens. (12 On rappelle que pour une grandeur vecorielle objecive v, la formule de changemen d observaeur es : ṽv = R Q (v = Q v, e pour une grandeur ensorielle d ordre 2 objecive T elle s écri : T = R Q (T = Q T Q.

55 4.1 Conceps de base en hermodynamique 55 Théorème 4.8 Théorème des foncions isoropes. Si une foncion scalaire fχ es isorope pour ses argumens ensoriels (d ordre 0 ou plus, il exise alors une foncion f χ elle que : f χ ( χ1,, χ n = f χ (I 1, I m (4.1 où {I 1, I m } es une lise minimale d invarians calculés à parir des argumens ensoriels {χ 1,, χ n } de la foncion f χ. Démonsraion La démonsraion de ce héorème es donnée en annexe du cours Algèbre e analyse ensorielle pour l éude des milieux coninus, du même aueur [noe 3 p. 3]. Les deux héorèmes 4.7 e 4.8 permeen d affirmer que : oue foncion d éa scalaire objecive d argumens ensoriels objecifs peu êre ramenée à une foncion scalaire d argumens scalaires objecifs. La longueur m de la lise d argumens scalaires de la foncion f χ es oujours inférieure ou égale au nombre de composanes nécessaires pour donner une valeur aux n variables d éa ensorielles {χ 1,, χ n }. Puisque les variables d éa ensorielles {χ 1,, χ n } son objecives, les invarians calculés à parir de ces variables son des grandeurs scalaires objecives. Les lises minimales {I 1, I m } de scalaires objecifs dépenden du nombre e de l ordre de ensorialié des variables d éa ensorielles χ i ; ces lises ne son pas uniques, mais pour un cerain ensemble de variables d éa ensorielles elles son oues de même longueur. La descripion de l éa d une paricule de milieu coninu avec des variables d éa ensorielles objecives {χ 1,, χ n } peu donc oujours se ramener à un ensemble de m variables d éa scalaires objecives{i 1, I m }. On ne pourra préciser cee lise que lorsque les variables d éa ensorielles indépendanes {χ 1,, χ n } auron éé choisies. Définiion 4.9 Variables d éa réduies. La lise des m champs scalaires objecifs {I1, I m } es appelée lise de variables d éa réduies. Inerpréaion La significaion physique du héorème mahémaique sur les foncions isoropes es que les seules valeurs réelles, communes à ous les observaeurs, nécessaires e suffisanes pour décrire un éa de paricule défini par des variables d éa vecorielles ou ensorielles, son les invarians de chacune des variables d éa e des invarians croisés (13 qui définissen les orienaions relaives de ces enseurs les uns par rappor aux aures (14, en excluan oue orienaion absolue par rappor à un observaeur pariculier. Les m variables scalaires {I 1,,I m } ne permeen donc pas de reconsruire complèemen les variables d éa ensorielles pour un observaeur donné, elles permeen seulemen de reconsruire l ensemble des variables d éa ensorielles à une roaion d ensemble quelconque près, c es-à-dire à un changemen d observaeur quelconque près. Le héorème des foncions isoropes perme donc de rouver sysémaiquemen une descripion de l éa d une paricule par une suie de scalaires objecifs Espace des éas Chaque éa de paricule éan défini par un nombre fini m de scalaires objecifs [déf. 4.9], on peu donc représener ous les éas envisageables d une paricule de ce modèle de milieu coninu avec un poin de R m (ou d un cerain domaine de R m. (13 C es-à-dire ceux qui son calculés à parir de plusieurs argumens ensoriels. (14 Voir la démonsraion du héorème sur les foncions isoropes, en annexe du cours Algèbre e analyse ensorielles pour l éude des milieux coninus, du même aueur [noe 3 p. 3].

56 56 Chapire 4. Conservaion de l énergie Définiion 4.10 Espace des éas. Soi m le nombre de variables d éa réduies. On appelle espace des éas, la région (15 d un espace de poins de dimension m el que chaque poin représene un éa de paricule. Dans l espace des éas de dimension m, une foncion d éa scalaire peu se représener par ses isovaleurs : ce son des hypersurfaces de dimension m 1. Remarque En hermodynamique des gaz, les variables d éa indépendanes se réduisen à deux scalaires objecifs (m = 2, on di que les gaz son «divalens». Les isovaleurs des foncions d éa d un gaz son donc des courbes racées dans un espace des éas de dimension 2. On peu donc les représener graphiquemen sur des diagrammes plans. Du fai que les hermodynamiciens changen souven d ensemble de variables d éa indépendanes [remarque p. 54], il exise plusieurs versions de ces diagrammes, qui exprimen néanmoins oues la même chose. On peu ener de jusifier l exisence de ces différenes versions de diagrammes hermodynamiques par le fai que l on souhaie représener des chemins d évoluions pariculières (isohermes, isobares, isochores, isenropes... par des vericales ou des horizonales pour facilier des calculs graphiques Évoluion hermodynamique L évoluion hermodynamique d un domaine (maériel ou géomérique es la descripion des changemens d éa de chaque paricule du domaine, c es-à-dire la donnée des m champs maériels scalaires {I 1 (P,,,I m (P,}. Dans l évoluion hermodynamique d un domaine, chaque paricule sui donc son propre chemin dans l espace des éas, paraméré par le emps. Définiion 4.11 Évoluion. On appelle évoluion hermodynamique d une paricule, la courbe (le chemin décrie par le poin représenaif de l éa de la paricule au cours du emps dans l espace des éas. Définiion 4.12 Viesse d évoluion. On appelle viesse d évoluion hermodynamique acuelle de la paricule P, la dérivée emporelle dans l espace des éas du poin représenaif de l éa au cours d une évoluion. Les m composanes de la viesse d évoluion hermodynamique d une paricule dans l espace des éas son donc les m dérivées pariculaires objecives (16 {İ 1 (P,,,İ m (P,}. Il fau bien noer que si l ensemble des variables d éa d un modèle de milieu coninu es bien un ensemble de valeurs indépendanes (17, l ensemble de ses dérivées pariculaires dans une évoluion ne l es pas nécessairemen : il se peu que la cinémaique, des lois physiques ou des principes fondamenaux imposen des relaions enre les dérivées pariculaires des variables d éa. Toues les direcions de viesse d évoluion hermodynamique auour d un poin de l espace des éas ne son donc pas oujours possibles. Exemple 4.13 Pour un milieu coninu solide anisorope à une seule direcion d anisoropie, la déformaion acuelle e la direcion d anisoropie acuelle son des variables d éa indépendanes : ou enseur de déformaion acuel associé à oue direcion d anisoropie acuelle es un éa possible. Néanmoins, les direcions d anisoropie éan des direcions maérielles, la cinémaique implique des (15 Chaque variable d éa réduie a un domaine de définiion qui peu êre limié à une parie de R. (16 On rappelle que la dérivée pariculaire d une grandeur scalaire objecive es une grandeur scalaire objecive [noe 4 p. 3]. (17 On peu donner une valeur arbiraire à chacune des variables d éa pour définir un éa ; ou poin de l espace des éas représene un éa possible du modèle.

57 4.2 Principe de la conservaion de l énergie 57 relaions enre la dérivée pariculaire des déformaions ẊX e la dérivée pariculaire de la direcion d anisoropie ṅn car la direcion d anisoropie es, comme oue direcion maérielle, enraînée par le mouvemen. 4.2 Principe de la conservaion de l énergie La démarche suivie dans ce chapire es similaire à celle suivie dans les deux chapires précédens : on pose le principe pour un domaine maériel, on en dédui une expression locale e on exprime les conséquences pour un domaine géomérique. Le principe de la conservaion de l énergie es aussi appelé premier principe de la hermodynamique. Il fai inervenir une nouvelle forme d énergie : la chaleur, qui es une forme d énergie non mécanique, mais qui peu aussi êre échangée avec l exérieur du sysème éudié Énoncé classique pour une évoluion finie enre deux insans On considère un domaine maériel (18 quelconque en évoluion enre deux insans 1 e 2. Principe 4.14 Premier principe de la hermodynamique. Le premier principe de la hermodynamique posule que : 1. L énergie se conserve : il exise une grandeur scalaire, exensive (19 e objecive, appelée énergie inerne du domaine maériel, elle que l énergie (ravail e chaleur reçue (20 de l exérieur du domaine maériel enre deux insans ser à modifier son énergie cinéique (modificaion du mouvemen, le rese servan à modifier son énergie inerne. Remarque Il es imporan de préciser qu il n y a pas de spécialisaion : on peu modifier l énergie cinéique d un sysème aussi bien avec du ravail qu avec de la chaleur. Il en es de même pour l énergie inerne. 2. L énergie inerne du domaine maériel es une foncion d éa : à chaque éa du domaine maériel correspond une valeur de son énergie inerne. Des variaions de l énergie inerne du domaine maériel se raduisen donc nécessairemen par des variaions de variables d éa du domaine maériel. L énergie reçue de l exérieur es à la fois de l énergie mécanique (du ravail e de l énergie non mécanique (de la chaleur. Le premier principe s écri donc classiquemen : ( Ecin ( 2 E cin ( 1 + ( E in ( 2 E in ( 1 = W Q 2 1 (4.2 où : la variaion d énergie inerne E in ( 2 E in ( 1 du domaine maériel implique des modificaions des variables d éa c es-à-dire des changemens d éa dans le domaine maériel ; le erme W 2 1 désigne le ravail mécanique (évenuellemen négaif reçu de l exérieur par le sysème pendan l évoluion enre les insans 1 e 2 ; le erme Q 2 1 désigne la chaleur (évenuellemen négaive reçue de l exérieur par le sysème pendan l évoluion enre les insans 1 e 2. (18 Les hermodynamiciens disen sysème fermé. Pour l insan, le domaine maériel n es pas nécessairemen un domaine de milieu (presque parou coninu, mais il es néanmoins oujours consiué de la même maière. (19 L exensivié posulée de l énergie inerne es parfois appelée en hermodynamique : «principe de l éa local». (20 Par convenion, on parle oujours de l énergie reçue de l exérieur par le domaine maériel. Si l énergie «reçue» es négaive, elle es cédée au milieu exérieur.

58 58 Chapire 4. Conservaion de l énergie L expression de la foncion d éa énergie inerne en foncion des variables d éa n es pas précisée par le principe. Cee foncion d éa es pariculière à chaque sysème éudié. Dans le cas d un domaine maériel de milieu coninu, elle es pariculière à chaque milieu coninu (acier, eau, air ec.. C es en précisan d une par la lise nécessaire e suffisane des variables d éa e d aure par l expression de l énergie inerne en foncion de ces variables d éa, que l on consrui un modèle de comporemen du milieu coninu conenu dans le domaine. Remarque Dans la plupar des ouvrages de hermodynamique, le premier e le second principes de la hermodynamique son énoncés avec des sysèmes supposés «à l équilibre» aux insan 1 e 2, sans définiion claire de ce que signifie ce «équilibre» : anô les viesses son supposées nulles (21 (il n y a donc pas de variaion d énergie cinéique ou supposées consanes dans le emps (accéléraion nulle, «équilibre mécanique» e/ou uniformes dans l espace (mouvemen de ranslaion du sysème, anô les champs de variables d éa dans le domaine son supposés uniformes («équilibre hermique» e aures (22, e bien souven les deux à la fois. Comme on va le voir par la suie, cee condiion floue d «équilibre» (mécanique ou hermodynamique ou aure (23 es inuile, voire néfase, e ne sera jamais uilisée dans la suie. Ces condiions soi-disan simplificarices ne son évoquées que parce que c es dans ces condiions pariculières que les vérificaions expérimenales son les plus faciles à faire. Pendan l évoluion sysème maériel (coninu ou non, les viesses ou les accéléraions de ses paricules se son en général pas nulles, les champs de variables d éa ne son en général ni uniformes ni saionnaires e le principe de la conservaion de l énergie n en rese pas moins vrai. Pour appliquer le principe de la conservaion de l énergie exprimé avec avec de elles resricions, ces aueurs son amenés à considérer les évoluions du sysème éudié comme une «succession d éas d équilibre», évenuellemen «infinimen lene» qui n on aucun sens physique Énoncé global insanané L énoncé classique (4.2 [p. 57] es affirmé pour oues les ransformaions, c es-à-dire 1 e 2, e donc en pariculier pour oue sous-ransformaion enre deux insans e + d aussi proches que l on veu (24. On va donc en donner une formulaion insananée qui garani le respec du principe de la conservaion de l énergie pour oue sous-évoluion d une évoluion : où : d d E cin + d d E in = Pex mec + P cal ex (4.3 Pex mec es la puissance mécanique acuelle des effors exérieurs (à disance e de conac ; Pex cal es la puissance calorifique acuelle reçue de l exérieur (à disance e de conac. Il fau mainenan raduire ce énoncé global valable pour un sysème maériel a priori quelconque, dans le cas où la maière du sysème maériel es modélisée par un milieu (presque parou coninu. (21 Pour quel observaeur? (22 Par exemple la empéraure ou la pression son supposés uniformes dans l espace, ce qui évie de parler de champs maériels pour les variables d éa. (23 Cerains aueurs définissen un «équilibre» par une saionnarié de ceraines variables d éa. (24 Naurellemen, ous les éas inermédiaires [ 1, 2 ] d une évoluion ne son pas «à l équilibre» quel que soi le sens qu on donne à ce mo.

59 4.3 Conservaion de l énergie pour un domaine maériel Conservaion de l énergie pour un domaine maériel Soi D m un domaine maériel, on noe D m sa posiion acuelle (si nécessaire on noe D m 0 sa posiion de référence à un insan de référence 0. L énergie inerne es, par principe, une grandeur exensive [déf. 1.5 p. 11], on peu donc définir une densié massique d énergie inerne, noée e m e appelée énergie inerne massique (25 (J.kg 1. L énergie inerne acuelle d un domaine maériel s écri donc [éq.(2.11 e (2.12 p. 22] : E in (D m, = e m E dm = ρ E e m ( E dv = e m D0 m L dm = ρ L e m D0 m L K v dv 0 = ρ 0 e m D0 m L dv 0 L énergie inerne massique es, par principe, une foncion d éa. Il exise donc une applicaion réelle f e elle que : e m ( (P, = f e χ1 (P,,, χ n (P, où {χ 1,, χ n } son les variables d éa. L applicaion universelle (26 f e es caracérisique de chaque ype de milieu coninu, par la lise des variables d éa χ i e par l applicaion f e elle-même (expression de l énergie inerne massique en foncion des variables d éa. L énergie inerne es, par principe, une grandeur scalaire objecive. Puisque les variables d éa son objecives, l applicaion f e es donc une foncion isorope de ses argumens ensoriels [h. 4.7 p. 54] e peu donc êre ramenée à une foncion f e d argumens scalaires [h. 4.8 p. 55] : e m (P, = f e (I 1 (P,,,I m (P, où les variables d éa réduies scalaires {I 1,,I m } son connues quand on connaî la lise des variables d éa ensorielles objecives. La dérivée pariculaire s écri : ė m (P, = m j f e İ j (4.4 j=1 On es mainenan en mesure de déailler les différens ermes du principe de la conservaion de l énergie insanané (4.3 [p. 58]. La dérivée emporelle de l énergie cinéique es : d d E cin = Pcin mec = ρ E v E γ E dv [éq. (3.25 p. 35] La dérivée emporelle de l énergie inerne es : d d E in(d m, = d d e m E dm = ė m E dm [éq. (2.14 p. 22 avec Ψ = e m ] La puissance mécanique des effors exérieurs es : P (v mec E ( f v E + div E σ + σ E : D E dv [éq. (3.22 p. 35] ex = m = (v E ( f v 0E + div E σ + σ E : D E dv [corollaire 3.7 p. 27] (25 Voir la noe 19 [p. 57]. Les hermodynamiciens disen aussi : énergie inerne spécifique. (26 C es-à-dire idenique pour ous les observaeurs.

60 60 Chapire 4. Conservaion de l énergie La puissance calorifique reçue de l exérieur es la somme de deux ermes : P cal ex = P cal con ex cal dis + Pex = q s ex E ds + r v ex E dv Le erme Pcal con ex es la puissance calorifique reçue de l exérieur par conac à la fronière (conducion hermique à la fronière e le erme Pcal dis ex es la puissance calorifique reçue à disance de l exérieur. Définiion 4.15 Le champ scalaire q s ex es appelé puissance calorifique surfacique reçue à la fronière (unié légale W.m 2. Rappel On considère ici des domaines maériels. Aucune maière ne raverse la fronière, il n y a donc pas d appor de chaleur à ravers la fronière par convecion. Définiion 4.16 Le champ scalaire r v ex es appelé puissance calorifique volumique reçue à disance de l exérieur (unié légale : W.m 3. Remarque On peu uiliser le erme r v ex pour modéliser une producion de chaleur à l inérieur du domaine due à un rayonnemen d origine exérieure qui cède une parie de son énergie sous forme de chaleur en raversan le domaine maériel par ineracion avec la maière (par exemple un rayonnemen micro-ondes agissan sur un milieu coninu conenan des molécules d eau. Dans beaucoup d applicaions, ce erme es nul soi parce que le milieu coninu es ransparen pour ce rayonnemen (pas d ineracion, soi parce qu il es opaque e que la chaleur n es reçue qu à l inerface maérielle qui reçoi le rayonnemen (si cee inerface maérielle fai parie de la fronière du domaine, la chaleur reçue es alors modélisée dans le erme q s ex [déf. 4.15]. Le champ r v ex(p, n exise que dans les milieux coninus semi-ransparens au rayonnemen considéré ; la valeur de ce champ dépend de l inensié e de la direcion du rayonnemen sur l inerface irradiée ainsi que des caracérisiques de semi-ransparence de la maière pour ce rayonnemen. Il es décroissan avec la pénéraion du rayonnemen dans la maière depuis l inerface irradiée. La valeur acuelle du champ (27 r v ex(p, es donc oujours la même quel que soi le sous-domaine du domaine maériel acuel considéré. Il es donc possible d uiliser le lemme fondamenal [h p. 16] pour éablir des équaions locales [h p. 62 e h. 5.2 p. 71]. Le principe de la conservaion de l énergie (4.3 [p. 58] pour un domaine maériel s écri donc : ρ E v E γ E dv + ė m } m D {{} m E dm = }{{} d d E cin(d m d, d E in(d m, (v E ( f v 0E + div E σ + σ E : D E dv } m {{ } P mec ex + Compe enu de l équaion de mouvemen [éq. (3.28 p. 36], il rese : ρ E ė m E dv = σ E : D E dv + rex v E dv + rex v E dv + q s ex E ds } m {{ m } P cal ex q s ex E ds (4.5 (27 La déerminaion de la valeur de ce champ sor du cadre de ce cours. On peu considérer le champ r v ex(p, comme une donnée issue d un calcul en héorie du rayonnemen.

61 4.3 Conservaion de l énergie pour un domaine maériel 61 Théorème 4.17 Tous les sous-domaines D1 m don la fronière conien la paricule P e qui on la même normale exérieure n, reçoiven la même puissance calorifique surfacique en P. Démonsraion La démonsraion de ce héoreme es analogue à celle du héorème 3.10 [p. 30] pour les conraines : on applique le principe de la conservaion de l énergie (4.5 à un domaine compris enre les fronières de sous-domaines D 1, leur plan angen commun e un cylindre de rayon r qui end vers 0. Le déail de la démonsraion es donné en annexe [h. A.2 p. 103]. On en dédui l exisence d une foncion f q elle que q s = f q (P,n. Théorème 4.18 Exisence du couran de chaleur. En chaque paricule d un milieu coninu e à chaque insan, il exise un veceur appelé couran de chaleur acuel, noé q, el que la puissance calorifique reçue par conducion sur une facee maérielle de normale acuelle n es donnée par : q s (P,n, = q(p, n (4.6 Démonsraion La démonsraion de l exisence du champ vecoriel couran de chaleur q es analogue à celle de l exisence du champ ensoriel des conraines σ : on applique le principe de la conservaion de l énergie [éq. (4.5 p. 60] à un sous-domaine éraédrique que l on fai endre vers un volume nul d une ceraine manière. Le déail de la démonsraion es donné en annexe [h. A.3 p. 103]. Théorème 4.19 Condiion aux limies hermique. Soi D m la fronière acuelle d un domaine maériel, soi P une paricule générique de cee fronière e soi n (P, la normale exérieure acuelle à la fronière en P. On noe q s ex(p, la puissance calorifique surfacique acuelle reçue de l exérieur en P. Le champ vecoriel couran de chaleur q(p, doi saisfaire la condiion à la fronière suivane : q(p, n (P, = q s ex(p,, P D m (4.7 Démonsraion Considérons la famille de sous-domaines D1 m don la fronière es angene en P à la fronière m du domaine maériel. En cee paricule fronière, la puissance calorifique surfacique q s (P,n, sur un sous-domaine D1 m es égale à la puisssance calorifique surfacique qs ex(p, reçue de l exérieur du domaine m car en P, les fronières D1 m e D m on la même normale exérieure. On a donc q s (P,n, = q s ex(p,. Le héorème d exisence du champ vecoriel q [h p. 61] enraîne l égalié (4.7. Vocabulaire Une porion de fronière où on impose la condiion q s ex = 0 es die adiabaique. Une dernière expression de la conservaion de l énergie sur un domaine maériel es donc : ρ E ė m E dv = = ρ E ė m E dv = m m σ E : D E dv + σ E : D E dv + σ E : D E dv + m m rex v E dv + r v ex E dv m q s ex E ds [éq. (4.5 p. 60] q E n ds [éq. (4.7 p. 61] (r v ex E div E q dv (4.8 Écriure lagrangienne On laisse le soin au leceur de vérifier que si on uilise les descripions de Lagrange dans le domaine maériel, le principe de la conservaion de l énergie pour un domaine

62 62 Chapire 4. Conservaion de l énergie maériel s écri : ρ L ė m L K vl dv 0 = D m 0 D m 0 D m 0 ρ 0 ė m L dv 0 = D m 0 σ L : D L K vl dv 0 + D m 0 σ L : D L K vl dv 0 + D m 0 rex v L K vl dv 0 rex v L K vl dv 0 D m 0 D m 0 q L F T n 0 K vl ds 0 div L (K v F 1 q dv 0 (4.9 où K v es la dilaaion volumique acuelle dans une déformaion don la référence es D0 m. On peu encore ransformer cee expression en développan la divergence. En uilisan l idenié div E Ψ = grad L Ψ : F, on obien une aure expression lagrangienne direcemen à parir de l équaion (4.8 : D m 0 ρ 0 ė m L dv 0 = σ L : D L K vl dv 0 + (r v D0 m D0 m ex L grad L q : F K vl dv Forme locale de la conservaion de l énergie Théorème 4.20 Équaion de la chaleur. Le principe de la conservaion de l énergie es équivalen à l équaion différenielle suivane : ρ ė m = σ : D + r v ex div E q (4.10 Démonsraion On obien cee équaion diffférenielle par le même procédé que pour les deux principes précédens (conservaion de la masse e principe fondamenal de la mécanique : en uilisan le lemme fondamenal [h p. 16] à parir de l expression globale du principe de la conservaion de l énergie pour un domaine maériel (4.8 [p. 61], on obien la forme locale de la conservaion de l énergie (4.10. On a enlevé les indices E inuiles car par définiion Ψ E (x, = Ψ L (x 0, = Ψ(P,. La réciproque es évidene. Rappel : inerpréaion de la divergence d un champ vecoriel Si div E q < 0, la paricule es un puis de chaleur ; si div E q > 0, la paricule es une source de chaleur ; si div E q = 0, le champ q es localemen conservaif : la paricule reçoi auan de chaleur qu elle en cède. Pour un cerain milieu coninu (la foncion f e e la lise des variables d éa son connues, l équaion de la chaleur [éq. (4.10 p. 62] s écri donc : ρ m j f e İ j = σ : D + rex v div E q [éq. (4.4 p. 59] (4.11 j=1 Écriures lagrangiennes En appliquan le lemme fondamenal à l équaion (4.9 [p. 62], il vien : K v ρ ė m = K v σ }{{}}{{} ρ 0 τ : D + K v rex v div L (K v F 1 q }{{} q 0 où ρ 0 = ρ(p, 0 (masse volumique iniiale e où τ es le «enseur des conraines» de Kirchhoff évoqué dans la remarque 3.1 [p. 37]. Le groupemen de ermes K v F 1 q, parfois noé q 0 pour une ressemblance avec l équaion (4.10, es difficilemen inerpréable. On peu aussi, si on le souhaie, développer la divergence. Une aure expression, sans inroducion de «enseur des conraines» arificiel ni de «q 0», es déduie direcemen de l équaion (4.10 : ρ ė m = σ : D + r v ex grad L q : F (car div E Ψ = grad L Ψ : F, Ψ (4.12

63 4.5 Conservaion de l énergie pour un domaine géomérique Conservaion de l énergie pour un domaine géomérique Soi un domaine géomérique don la posiion acuelle es g. En inégran les ermes de l équaion locale (4.10 [p. 62] sur la posiion acuelle g du domaine géomérique, on obien l égalié : D g ρ E ė m E dv = D g σ E : D E dv + D g r v ex E dv D g div E q dv Avec la dérivaion des inégrales de masse sur un domaine géomérique [éq. (2.16 p. 23], il vien : d e m dm d }{{ g } d d E in(d g, = σ E : D E dv } g {{} P mec in + r v g ex E dv div E q dv }{{ g } P cal ex + ρ E e m g E (v f v E n ds }{{} Φ e (4.13 où Φ e es le flux convecif [déf. 1.9 p. 15] d énergie inerne enran à ravers la fronière e où v f es la viesse de la fronière du domaine géomérique. En comparan l équaion (4.13 avec l équaion de bilan d une grandeur exensive [éq. (1.22 p. 17], la quanié P cal ex P mec in = D g (r v ex E div E q + σ E : D E dv peu s inerpréer comme un aux de producion inerne d énergie inerne, e son inégrande τ in = r v ex div E q + σ : D es le aux de producion volumique d énergie inerne. Ainsi, on peu inerpréer le principe de la conservaion de l énergie, comme un principe de «conservaion de l énergie inerne», à condiion de considérer la puissance calorifique exérieure e l opposé de la puissance mécanique des effors inérieurs comme des sources d énergie inerne. Bilan d énergie oale En uilisan le héorème de la puissance cinéique sous forme de bilan d énergie cinéique pour un domaine géomérique (3.42 page 37 : d d E cin(d g, = Pex mec + Pin mec + Φ Ecin e en addiionnan erme à erme avec (4.13 il vien : d d E in(d g, + d d E cin(d g, = Pex mec + Pex cal + Φ e + Φ Ecin Ainsi, si on appelle «énergie oale» le erme E o = E cin + E in, en comparan avec l équaion de bilan d une grandeur exensive [éq. (1.22 p. 17], le principe de la conservaion de l énergie peu êre présené comme un principe de conservaion de l énergie oale, à condiion de considérer la puissance mécanique des effors exérieurs e la puissance calorifique exérieure comme des sources d énergie oale. Le aux de producion volumique d énergie oale es : τ Eo = v (div E σ + f v + r v ex div E q. 4.6 Changemens d observaeur Principe 4.21 Objecivié de la chaleur ransmise par conducion. La puissance calorifique surfacique acuelle q s ex(p, reçue en une paricule P de la fronière acuelle m d un domaine maériel es, par principe, un scalaire objecif : q s ex(p, = q s ex(p,, R R

64 64 Chapire 4. Conservaion de l énergie Commenaire Quand un domaine maériel reçoi de la chaleur à sa fronière, il es naurel de poser que cee quanié de chaleur reçue es la même pour ous les observaeurs. Ce principe minimal es suffisan pour déduire les héorèmes d objecivié qui suiven. Théorème 4.22 La quanié de chaleur reçue par une facee maérielle en une paricule P de normale acuelle n es une grandeur scalaire objecive. q s (P,n = q s (P,n, R R Démonsraion Il suffi d appliquer le principe 4.21 à ou sous-domaine du domaine maériel considéré e d uiliser le héorème 4.17 [p. 61] pour abouir au résula. Théorème 4.23 Le champ vecoriel couran de chaleur acuel q es un champ vecoriel objecif. Démonsraion Le héorème 4.22 [p. 64] (objecivié de la chaleur reçue par une facee maérielle e le héorème 4.18 [p. 61] (exisence du couran de chaleur impliquen l égalié : q ñn = q n, R R n [principe 4.21 p. 63] q Q n = q n, R R n [éq. (3.45 p. 46] q Q = q, R R q = q Q = Q q, R R (q es un veceur (4.14 ce qui es la formule de changemen d observaeur d une grandeur vecorielle objecive. Théorème 4.24 Le champ acuel dive q es un champ scalaire objecif. Démonsraion On sai de la cinémaique que la divergence eulérienne d un champ vecoriel objecif es un champ scalaire objecif. Le couran de chaleur acuel éan un champ vecoriel objecif [h p. 64], sa divergence eulérienne es donc un scalaire objecif. Théorème 4.25 La puissance calorifique volumique exérieure acuelle r v ex es une grandeur scalaire objecive. Démonsraion L équaion de la chaleur (4.10 [p. 62] es : ρ ė m = σ : D + r v ex div E q La masse volumique ρ es une grandeur objecive [h. 2.4 p. 23], l énergie inerne massique e m es une grandeur scalaire objecive (par principe, sa dérivée pariculaire ė m es donc aussi une grandeur scalaire objecive. La puissance volumique des effors inérieurs σ : D es une grandeur objecive [h p. 47] e la divergence eulérienne div E q es objecive [h p. 64]. On en dédui que r v ex es la somme de grandeurs scalaires objecives. En revanche, l énergie cinéique acuelle, sa dérivée emporelle (la puissance cinéique e la puissance acuelle des effors exérieurs ne son pas des grandeurs objecives, car la viesse n es pas une grandeur objecive. Si l on récri le principe de la conservaion de l énergie global pour un domaine maériel sous la forme : d d E in P cal ex = P mec ex d d E cin [éq. (4.3 p. 58] Le erme de gauche éan objecif, le erme de droie P mec ex d d E cin l es aussi. Bien que chacun des ermes de cee différence soi non objecif, leur différence es objecive.

65 4.7 En bref En bref... Lorsqu un domaine de milieu coninu évolue, le poin représenaif de l éa de chaque paricule sui son propre chemin dans l espace des éas. Le premier principe de la hermodynamique posule la conservaion de l énergie d un domaine maériel (sysème fermé via l exisence d une énergie inerne qui es une foncion d éa scalaire objecive exensive. On en dédui une équaion différenielle locale de la conservaion de l énergie appelée équaion de la chaleur. La foncion d éa objecive énergie inerne massique es caracérisique de chaque modèle de milieu coninu par la lise des variables d éa objecives e par son expression en foncion de ces variables. Elle peu êre idenifiée par des mesures expérimenales (un abaque ou bien cee foncion peu êre définie a priori par une relaion mahémaique physiquemen raisonnable avec des coefficiens à ajuser aux mesures (procédure d idenificaion. Pour un domaine géomérique (sysème ouver, l expression globale du principe s écri en enan compe du flux convecif d énergie inerne enran par la fronière. L énergie inerne acuelle, sa densié massique, le champ vecoriel couran de chaleur acuel e les puissances calorifiques acuelles reçues son des grandeurs objecives. En revanche, l énergie cinéique acuelle, la puissance cinéique acuelle, la puissance acuelle des forces exérieures ne le son pas.

66

67 5 Second principe de la hermodynamique 5.1 Inroducion Le second principe de la hermodynamique n es pas oujours présené dans les cours de mécanique des milieux coninus pour deux raisons : 1. Il es surou uile lorsque l on cherche à consruire des nouveaux modèles de comporemen de milieux coninus hermodynamiquemen admissibles (ous devraien l êre!. 2. Conrairemen aux rois principes fondamenaux précédens, il ne condui pas à une équaion différenielle mais à une inéquaion don on n a pas à se soucier dans la résoluion d un problème de mécanique des milieux coninus dès lors que l on a choisi un modèle de comporemen du milieu hermodynamiquemen admissible. La lecure de ce chapire n es donc indispensable qu aux leceurs qui on en vue la consrucion de nouveaux modèles de comporemens. Les lois de comporemen (mécaniques e hermiques classiques des solides e des fluides, proposées sans jusificaion dans les cours élémenaires, saisfon (approximaivemen parfois auomaiquemen l inégalié du second principe de la hermodynamique dans oue évoluion. Remarques Cependan, il n es pas inuile de vérifier que les modèles de comporemen classiquemen proposés saisfon bien le principe. Il es aussi pédagogiquemen uile de reconsruire les modèles de comporemen classiques à parir du second principe de la hermodynamique, pour les jusifier (1. Par ailleurs, en mécanique des fluides compressibles l uilisaion du second principe perme de prouver l impossibilié d exisence d ondes de choc de déene. Le second principe de la hermodynamique inrodui une nouvelle variable d éa : la empéraure absolue, ainsi qu une nouvelle foncion d éa : l enropie. Il sor du cadre de ce cours de ener de jusifier l énoncé de ce principe par un exposé de l évoluion hisorique des idées en hermodynamique ou par des expériences de pensée sur les machines hermiques idéales de Carno, comme il es courammen fai dans les cours de hermodynamique. L aueur a résolumen choisi de présener ce principe comme les précédens, c es-à-dire en l énonçan comme un axiome sans le jusifier. (1 Hisoriquemen, les lois de comporemen classiques des fluides e des solides déformables on éé proposées sans le souci de respecer le second principe. On les présene habiuellemen comme des équaions de fermeure. C es donc un peu par chance qu ils se rouven êre hermodynamiquemen admissibles (ou presque. L oubli de ce principe a noammen pu conduire, à la fin du XX e siècle, à la proposiion de ceraines lois de comporemen hermodynamiquemen inadmissibles comme le comporemen di «hypoélasique», don on peu encore rouver la race dans cerains codes de calcul.

68 68 Chapire 5. Second principe de la hermodynamique Dans ce chapire, on sui la même démarche que dans les chapires précédens : le principe es énoncé de manière globale pour un domaine maériel, on en dédui une expression locale e une expression globale pour les domaines géomériques. 5.2 Énoncé radiionnel Dans les cours de hermodynamique élémenaire, le second principe de la hermodynamique es généralemen énoncé ainsi : 1. Il exise une variable d éa scalaire, posiive, non exensive e objecive appelée empéraure absolue (2 (unié légale : le Kelvin de symbole K. 2. Un échange de chaleur par conducion enre deux corps en conac ne peu se faire que du corps à la plus haue empéraure vers le corps à la plus basse empéraure (on di que «la chaleur va du chaud vers le froid». Pour quanifier cee dissymérie dans l échange hermique par conducion, on défini la «variaion élémenaire» (3 d enropie d un corps au cours d une «ransformaion élémenaire», la «quanié de chaleur élémenaire» dq reçue par le corps rapporée à sa empéraure T au momen de ce échange : ds = dq T (unié : J.K 1 3. L enropie es une foncion d éa scalaire exensive e objecive. 4. La variaion d enropie dans une «évoluion infiniésimale» d un sysème es due en parie aux appors d enropie exérieure dq ex T où dq ex es la chaleur reçue de l exérieur enre les insans e + d à la empéraure T du sysème : ds dq ex T ds dq ex T = ds in 0 Le rese de la variaion d enropie ds in, non négaif par principe, es une variaion d enropie due à des processus inernes au sysème non précisés par le principe. Remarque Conrairemen à l énoncé radiionnel du premier principe [éq. (4.2 p. 57] qui es énoncé pour une ransformaion finie enre deux insans 1 e 2, l énoncé radiionnel du second principe de la hermodynamique es donné sous forme insananée, c es-à-dire pour une ransformaion «infiniésimale» enre deux insans e + d. Exemple 5.1 Variaion d enropie due à un échange inerne de chaleur par conducion. Si un corps à la empéraure T reçoi de la chaleur (dq ex > 0, son enropie augmene ; s il cède de la chaleur (dq ex < 0, son enropie diminue. Soi un corps A à la empéraure T A en conac avec un corps B à une empéraure T B < T A, on noe dq B ex > 0 la quanié de chaleur reçue par le corps B. On suppose que les corps A e B n échangen pas d aures énergies mécaniques ou hermiques avec leur (2 L affirmaion de l exisence de la variable d éa empéraure absolue es souven présenée préalablemen («principe zéro» de la hermodynamique, comme ne faisan pas parie du second principe de la hermodynamique. L aueur a choisi de l inégrer au second principe par commodié, puisque c es seulemen dans ce principe que l on fai référence à la empéraure. La seule chose imporane es d affirmer à un momen ou à un aure l exisence de la empéraure absolue. (3 En hermodynamique, les variaions «élémenaires» ou «infiniésimales» son radiionnellemen noées comme des différenielles avec des «d» ou des «δ». Le leceur verra dans la suie du cours que l aueur évie sysémaiquemen ce genre de noaion e qu il n y aura pas à disinguer enre des «différenielles exaces» e «inexaces». À ce propos, l aueur recommande vivemen aux leceurs qui on des difficulés avec les «différenielles hermodynamiques» de lire l annexe C de l ouvrage Méhodes mahémaiques pour les sciences physiques, Jean- Michel BONY, Les édiions de l École Polyechnique, Paris, 2004, ISBN

69 5.2 Énoncé radiionnel 69 exérieur e que leur empéraure n évolue praiquemen pas car l évoluion es «infiniésimale». Dans ces condiions, le principe de la conservaion de l énergie appliqué au sysème A B impose que la chaleur reçue par le corps A es négaive e vau dq A ex = dq B ex < 0. Les variaions «infiniésimales» d enropie des deux corps son donc les suivanes : ds A = dqa ex T A = dqb ex T A < 0 e ds B = dqb ex T B > 0 L enropie éan une grandeur exensive, la variaion d enropie de l ensemble A B es la somme des variaions d enropie : ds A + ds B = dqb ex T A + dqb ex T B = dq B ex ( 1 T B 1 T A > 0 car T A > T B On en dédui que s il se produi un échange de chaleur enre des paries A e B d un sysème isolé mécaniquemen e hermiquemen, l enropie du sysème A B augmene pendan une évoluion «infiniésimale» en raison de l échange inerne de chaleur qui s y es produi. Processus inernes dans un sysème Les causes e la valeur de l augmenaion d enropie ds in due à des processus inernes à un sysème en évoluion ne son pas précisées par le principe. On a donné dans l exemple 5.1 [p. 68] un cas d augmenaion de l enropie d un sysème due à des échanges inernes de chaleur, mais il peu exiser d aures causes : par exemple, une parie de sysème peu produire de la chaleur par froemen inerne. Il peu aussi exiser dans le sysème des producions ou des absorpions de chaleur dues à des changemens de phase ou des réacions chimiques exohermiques ou endohermiques. Les phénomènes inernes exohermiques provoquen une augmenaion d enropie e les phénomènes inernes endohermiques provoquen une diminuion d enropie. Mais quels que soien les phénomènes inernes au sysème, la variaion inerne d enropie ds in dans ou le domaine maériel, due à la créaion ou l absorpion de chaleur e aux échanges hermiques inernes, rese non négaive. Ces considéraions qualiaives sur les processus inernes seron exprimées rigoureusemen lors de la définiion des dissipaions [déf. 5.5 e déf. 5.6 p. 73]. Dans la présenaion radiionnelle qui précède, on peu consaer un cerain nombre de difficulés e même d incohérences : 1. Dans la définiion de la variaion d enropie d un sysème (axiome 4, on évoque la «empéraure d un sysème» ce qui signifierai que le sysème es à empéraure uniforme. On ne pourrai donc pas définir la variaion d enropie d un sysème à empéraure non uniforme. 2. N envisager que des sysèmes à empéraure uniforme («équilibre hermique» (4 pour faire de la hermodynamique n es pas physiquemen sensé. Lorsqu un sysème échange de la chaleur avec son exérieur, il n es jamais à l «équilibre hermique» sauf évenuellemen au bou d un emps infini. 3. Le principe n es présené que pour des évoluions «infiniésimales». Il faudrai donc admere que dans une évoluion finie, les empéraures d un sysème évoluen au cours du emps ou en resan uniformes (physiquemen peu vraisemblable, ou bien qu il fau aendre l «équilibre hermique» à chaque insan inermédiaire (évoluion «infinimen lene» pour parler des enropies inermédiaires ou bien admere que dans une évoluion finie enre deux éas à l «équilibre hermique», l enropie des éas inermédiaires n es pas définissable! (4 Cerains aueurs définissen parfois l «équilibre hermique» par Ṫ = 0 (le champ de empéraures n es pas uniforme mais il n évolue plus e non par grad E T = 0 (le champ de empéraures es uniforme e parfois les deux à la fois. Parfois encore il es défini par T (P, = 0 (saionnarié des empéraures.

70 70 Chapire 5. Second principe de la hermodynamique Sous la forme classique qui vien d êre donnée, le second principe de la hermodynamique es inexploiable, voire incompréhensible, pour éudier des évoluions réelles (5. Lors de l évoluion d un milieu (presque parou coninu, la empéraure n es jamais uniforme dans le sysème e elle évolue avec le emps. Le second principe de la hermodynamique nécessie d êre reformulé de manière plus perinene. 5.3 Second principe de la hermodynamique pour un domaine maériel Soi D m un domaine maériel (6 don la posiion acuelle es D m (si nécessaire, on noe D m 0 la posiion de référence. Le second principe de la hermodynamique affirme que : 1. Il exise une variable d éa de paricule, noée T, scalaire, objecive, posiive e non exensive appelée empéraure absolue. L éa hermique acuel du domaine maériel es décri par un champ maériel T (P, [déf. 4.3 p. 51]. La lise des variables d éa indépendanes e objecives caracérisan l éa d une paricule s écrira donc : {T, χ 2,, χ n } [noaion 4.4 p. 52] e sa lise de variables d éa réduies es {T,I 2,,I m } [déf. 4.9 p. 55]. 2. En oue paricule, on a l inégalié suivane (7 : q(p, grad E T (P, 0 où q es le veceur couran de chaleur [h p. 61] ( Il exise une foncion d éa scalaire e exensive S appelée enropie qui qualifie la chaleur (énergie hermique d un sysème en la rapporan à la empéraure à laquelle cee énergie es déenue (unié : J.K 1. En veru de l axiome 2 [éq. (5.1], cee chaleur ne pourra se ransmere par conducion que vers des régions à empéraure inférieure. L exensivié posulée de l enropie perme de définir une enropie massique (8 [h. 1.6 p. 11], noée s m, qui es une quanié massique de chaleur rapporée à la empéraure locale T (unié : J.kg 1.K 1. L enropie acuelle S(D m, d un domaine maériel D m s écri donc : S(D m, = s m E dm = ρ E s m ( E dv = ρ L s m D0 m L K v L dv 0 = ρ 0 s m D0 m L dv 0 = s m D0 m L dm L enropie massique en une paricule P éan une foncion d éa scalaire objecive, e les variables d éa éan objecives, il exise une foncion f s isorope [h. 4.7 p. 54] e donc une foncion f s elles que : s m = f s (T, χ 2,, χ n = f s (T,I 2,,I m [éq. (4.1 p. 55] où les foncions universelles f s ou f s son caracérisiques de chaque modèle de milieu coninu, par le choix de ses variables (les variables d éa indépendanes e par l applicaion elle-même (valeur de l enropie massique en foncion des variables d éa. La dérivée pariculaire de l enropie massique s écri donc : ṡ m = T f s Ṫ + m i=2 j f s İ j (5.2 (5 Pour donner des valeurs aux enropies inermédiaires d une évoluion, on invene classiquemen des évoluions arificielles dies «polyropiques» de sysèmes à empéraure uniforme. (6 Évenuellemen coninu par morceaux [remarques p. 49]. (7 Traducion mahémaique locale de la phrase «dans une conducion hermique, la chaleur va du chaud vers le froid» (8 Les hermodynamiciens disen aussi : enropie spécificique. Le posula d exensivié de l enropie es parfois appelé «principe de l éa local».

71 5.4 Forme locale du second principe Pendan une évoluion, la dérivée emporelle de l enropie du domaine maériel, appelée aux (9 d enropie du domaine maériel, es supérieure ou égale au aux d enropie d origine exérieure : d d S(D m, D r v ex E T E q s ex E dv D T E ds Le aux d enropie exérieure es dû à la puissance calorifique reçue à disance de l exérieur du domaine, représenée par r v ex [déf p. 60] e à la puissance calorifique reçue à la fronière, représenée par q s ex(p, = q(p, n (P,, P D m [h p. 61]. Rappel Il n y a pas d appor de chaleur par convecion car le principe es posé pour un domaine maériel. Le cas des domaines géomériques es envisagé en secion 5.5 [p. 75]. Au cours d une évoluion, il exise donc à l inérieur du domaine maériel un aux de producion d enropie (unié : W.K 1, non négaif, dû à des processus inernes au domaine maériel, non précisés par le principe : d d S in = d d S(D m, D r v ex E T E dv + D q E n T E ds 0 (5.3 Avec ce énoncé du second principe de la hermodynamique, l enropie acuelle d un domaine maériel (ou d un sous-domaine maériel en cours d évoluion es définie même quand les variables d éa son des champs non uniformes e en évoluion emporelle. Ce énoncé es évidemmen oujours valable dans le cas pariculier où les champs des variables d éa (empéraures ou aures seraien «en équilibre» quel que soi le sens que l on donne à ce mo ( Forme locale du second principe de la hermodynamique Théorème 5.2 L axiome 4 du second principe de la hermodynamique appliqué à un domaine maériel es équivalen à l inégalié différenielle suivane : ρ ṡ m rv ex T + div q E T 0 en oue paricule e à ou insan. (5.4 Démonsraion En uilisan la dérivée emporelle d une inégrale de masse sur un domaine maériel [éq. (2.14 p. 22] e le héorème de la divergence, le second principe de la hermodynamique pour un domaine maériel [éq. (5.3 p. 71] s écri : ρ E ṡ m E dv r v ex E T E dv + div E q T dv 0 Le erme rv ex T div E q T s inerprèe comme le aux de producion volumique d enropie d origine exerne (W.m 3.K 1. En uilisan le lemme fondamenal [h p. 16], on obien le résula. Dans l équaion (5.4, on a supprimé les indices E inuiles car Ψ L (x 0, = Ψ E (x, = Ψ(P,. Écriures lagrangiennes Si on préfère uiliser la descripion de Lagrange des champs dans le domaine maériel D m, le second principe de la hermodynamique [éq. (5.3 p. 71] s écri : ρ L ṡ m r v ex L q L L K vl dv 0 K vl dv 0 + K vl F T n 0 ds 0 0 T L T L D m 0 D m 0 D m 0 (9 Conrairemen aux définiions données en cinémaique à propos des viesses de déformaion, le mo «aux» signifie ici «dérivée emporelle» e non «dérivée emporelle logarihmique». Cee dénominaion malenconreuse semble néanmoins consacrée par l usage. (10 Voir la remarque p. 58

72 72 Chapire 5. Second principe de la hermodynamique Le héorème de la divergence e le lemme fondamenal [h p. 16] conduisen à l équaion différenielle : ρ 0 ṡ m r v ( ex K v T + div L K v F 1 q 0 T où ρ 0 = K v ρ = ρ(p, 0 es la masse volumique iniiale. Une aure écriure lagrangienne locale s obien direcemen à parir de l équaion (5.4 : ρ ṡ m rv ex T + ( q grad L : F 0 (car div E Ψ = grad T L Ψ : F, Ψ En uilisan l idenié : q div E T = div E q 1 + q grad T E T = div E q q grad E T T T 2 (5.5 l expression locale de l axiome 4 du second principe [éq. (5.4 p. 71] s écri encore : ρ ṡ m rv ex T + div E q q grad E T T T 2 0 en oue paricule e à ou insan. Puisque T > 0, on peu muliplier chaque membre par T sans changer le sens de l inégalié. L expression locale de l axiome 4 du second principe de la hermodynamique s écri donc encore : ρ T ṡ m r v ex + div E q q grad E T T 0 en oue paricule e à ou insan. (5.6 Définiion 5.3 Dissipaion. On appelle dissipaion, le champ maériel scalaire, noé Φ, non négaif par principe, défini par : Φ = ρ T ṡ m r v ex + div E q q grad E T T (unié : W.m 3 (5.7 Expressions lagrangiennes On laisse le soin au leceur de vérifier qu une expression lagrangienne de la dissipaion es : Φ = ρ 0 T ṡ m K v r v ex + T div L (K v F 1 q T ou encore direcemen à parir de l équaion (5.7 : Φ = ρ T ṡ m r v ex + grad L q : F q (grad L T F 1 T En uilisan l équaion de la chaleur [éq. (4.10 p.62] dans l équaion (5.7, on obien une aure expression de la dissipaion : Φ = ρ (T ṡ m ė m + σ : D q T grad E T (5.8 Avec la définiion 5.3 de la dissipaion, on peu reformuler le héorème 5.2 [p. 71] : Théorème 5.4 L axiome 4 du second principe de la hermodynamique es équivalen à la non négaivié de la dissipaion en oue paricule e à ou insan : Φ(P, 0, P en oue paricule e à ou insan. (5.9

73 5.4 Forme locale du second principe 73 Le second principe n affirme rien a priori sur la naure des processus inernes qui produisen cee dissipaion, excepé le fai que le dernier erme de la dissipaion q T grad E T, qui radui la dissipaion produie par les échanges hermiques par conducion à l inérieur du domaine maériel, es non négaif par principe [éq. (5.1 p. 70]. Le rese de la dissipaion reflèe donc la producion ou la pere d enropie due à des phénomènes exohermiques ou endohermiques aures que les échanges hermiques inernes par conducion. On sépare donc la dissipaion en deux ermes : Définiion 5.5 Dissipaion hermique. On appelle dissipaion hermique, la puissance volumique non négaive (axiome 2 due aux échanges hermiques par conducion dans le milieu coninu, définie par : Φ h = q T grad E T 0 [éq. (5.1 p. 70] (5.10 Définiion 5.6 Dissipaion inrinsèque. On appelle dissipaion inrinsèque, le rese de la dissipaion. C es la puissance volumique définie par : Φ in = Φ Φ h = ρ T ṡ m r v ex + div E q [éq. (5.7 p. 72] (5.11 = ρ (T ṡ m ė m + σ : D [éq. (5.8 p. 72] (5.12 La dissipaion inrinsèque es due à des producions/absorbsions de chaleur aures que les échanges hermiques par conducion (froemen, changemen de phase, réacion chimique, ec.. Théorème 5.7 Forme locale du second principe de la hermodynamique. Avec les définiions précédenes, la forme locale du second principe comple s exprime avec les deux inégaliés suivanes : Φ = Φ in + Φ h 0 e Φ h 0 (5.13 Comme on peu le consaer, le second principe de la hermodynamique n impose pas que la dissipaion inrinsèque soi non négaive. Il impose seulemen : Φ in Φ h Remarque Lors de la consrucion de modèles de milieux coninus, on peu saisfaire à l inégalié du second principe de la hermodynamique en consruisan des modèles à dissipaion inrinsèque non négaive. Imposer arbirairemen Φ in 0 n es qu une condiion suffisane pour saisfaire au second principe de la hermodynamique. Elle n es nullemen nécessaire. Si on impose Φ in 0, on s inerdi la possibilié d exisence de processus inernes endohermiques. C es le cas pour la plupar des modèles de milieux coninus monoconsiuans (pas de réacion chimique ni changemen de phase. Dans les milieux coninus monoconsiuans, le seul processus inerne généran une dissipaion inrinsèque es le froemen, qui es exohermique. L éude de la hermodynamique des milieux coninus muliconsiuans sor du cadre de ce cours, mais on peu noer que si la dissipaion inrinsèque es négaive, sa norme es limiée par la dissipaion hermique : Φ in = Φ in Φ h Φ in Φ h Auremen di : la chaleur nécessaire à un processus inerne endohermique local (par exemple une fusion ou un changemen de phase ne peu êre fournie que par un échange de chaleur de la paricule avec ses voisines (conducion avec div E q < 0 ou par un évenuel rayonnemen (r v ex [éq. 5.11].

74 74 Chapire 5. Second principe de la hermodynamique L expression de la dissipaion [éq. (5.8 p. 72] monre que, pour un modèle de milieu coninu donné (la lise des variables d éa e les foncions d éa énergie inerne massique e enropie massique son connues, la dissipaion acuelle en une paricule dépend des paramères suivans : 1. L éa acuel de la paricule (au moins par ρ e T, mais aussi par d aures variables d éa évenuelles, 2. La viesse d évoluion hermodynamique acuelle de la paricule (par les dérivées pariculaires des variables d éa, 3. La cinémaique du mouvemen (au moins par le enseur des aux de déformaion acuel D, mais aussi évenuellemen par les dérivées pariculaires de ceraines variables d éa, 4. L environnemen hermique acuel de la paricule (par gradt. Comme on le verra dans la consrucion de modèles de comporemen de milieux coninus, les deux inégaliés Φ 0 e Φ h 0 impliquen l exisence (11 de lois de comporemen, sans ouefois donner leur expression. Il fau évidemmen choisir des lois de comporemen elles que ces deux inégaliés soien respecées en oue paricule e à ou insan, c es-à-dire que ces lois de comporemen soien hermodynamiquemen admissibles. Des exemples de consrucion de modèles classiques (fluides simples son donnés dans le chapire 6 [p. 79]. Inégalié de Clausius-Duhem On défini une nouvelle foncion d éa appelée l énergie libre de Helmholz massique définie par la combinaison de foncions d éa e de variables d éa suivane : ψ m = e m T s m Sa dérivée pariculaire es donc : ψ m = ė m s m Ṫ T ṡ m ė m = ψ m + s m Ṫ + T ṡ m En remplaçan ė m dans l expression de la dissipaion (5.8 [p. 72], on obien une aure expression de la dissipaion, faisan inervenir les deux foncions d éa ψ m e s m. Sous cee forme, l inégalié locale du second principe es appelée inégalié de Clausius-Duhem : Φ = ρ ( ψ m + s m Ṫ + σ : D } {{ } Φ in q T grad E T }{{} Φ h En hermomécanique des solides déformables, le couple de foncions d éa (ψ m,s m es souven préféré au couple (e m,s m naurellemen inrodui par les deux principes de la hermodynamique, car ce groupemen de ermes simplifie l écriure de ceraines formules (12. Réinerpréaion de l équaion de la chaleur L expression locale du premier principe de la hermodynamique (équaion de la chaleur s écri : ρ ė m = σ : D + r v ex div E q [éq. (4.10 p. 62] Le second principe de la hermodynamique inrodui la noion de dissipaion inrinsèque : Φ in = ρ (T ṡ m ė m + σ : D [éq. (5.12 p. 73] σ : D = Φ in ρ (T ṡ m ė m (11 Un exemple de loi don l exisence es impliquée par une inégalié es donné plus loin en secion 5.7 [p. 76]. (12 Touefois, le qualificaif «libre» e l inerpréaion physique du groupemen de ermes e T s resen obscurs pour l aueur, sauf dans ceraines évoluions pariculières. En revanche, les variaions de l énergie inerne e de l enropie on un sens physique bien défini par les deux principes de la hermodynamique quelle que soi l évoluion. 0

75 5.5 Second principe pour un domaine géomérique 75 En reporan la valeur de σ : D dans l équaion de la chaleur, il vien : ṡ m = 1 ρ T (rv ex div E q + Φ in (5.14 Cee équaion illusre bien le fai que le aux d enropie massique en une paricule es dû aux appors de chaleur exérieurs à la paricule (rayonnemen e conducion e à la producion/absorbion de chaleur due aux processus inernes (dissipaion inrinsèque els que le froemen, des changemens de phase, des réacions chimiques, ec. 5.5 Second principe de la hermodynamique pour un domaine géomérique Soi D g un domaine géomérique de posiion acuelle D g. De l inégalié (5.4 [p. 71], il vien : g D g ρ E ṡ m E dv ṡ m E dm g D g dv + T E r v ex E r v ex E T E dv + D g div E ( q T dv 0 q E n dv 0 T E D g En uilisan la dérivée d une inégrale de masse sur un domaine géomérique (2.16 [p. 23], on obien : d s m r v ex E q E n d g E dm dv + dv ρ E s m }{{} g T E g T E }{{} g E (v f v E n ds 0 (5.15 }{{} ds d d s m d g E dm }{{} ds d dsex d ( r v ex E q div E dv g T E T }{{} dsex d + φ s ρ E s m g E (v f v E n ds }{{} φ s (5.16 où φ s es le flux convecif [déf. 1.9 p. 15] d enropie enran à ravers la fronière e où v f es la viesse de la fronière. En comparan les équaions (5.15 ou (5.16 avec l équaion de bilan d une grandeur exensive [éq. (1.22 p. 17], on peu inerpréer ces équaions comme un bilan d enropie : la dérivée emporelle de l enropie d un domaine géomérique es supérieure ou égale à la somme de la producion d enropie d origine exérieure (conducion e rayonnemen ds ex d e convecion φ s. La différence es une producion d enropie due à des processus inernes. Aures écriures On obien d aures équaions équivalenes à (5.15 ou (5.16 en ransforman la dérivée d inégrale ds d avec les formules (1.20 à (1.22 page 17 ou encore (2.16 page 23 ; on peu aussi développer la divergence dans ds ex d avec l idenié (5.5 [p. 72]. 5.6 Changemens d observaeur Théorème 5.8 Le gradien eulérien du champ des empéraures acuelles es un champ vecoriel objecif. Sa formule de changemen d observaeur es donc : (grad E T = Q grad E T (5.17

76 76 Chapire 5. Second principe de la hermodynamique Démonsraion Le champ des empéraures es un champ maériel scalaire objecif par principe. Or, on monre en cinémaique que le gradien eulérien d un champ scalaire objecif es oujours un champ vecoriel objecif. Puisque oues les grandeurs qui inerviennen dans l expression de la dissipaion [éq. (5.8 p. 72], de la dissipaion hermique [éq. (5.10 p. 73] e de la dissipaion inrinsèque [éq. (5.12 p. 73] son des grandeurs objecives, on en dédui que les dissipaions acuelles Φ(P,, Φ h (P, e Φ in (P, son des champs maériels de grandeurs scalaires objecives. 5.7 Nécessié de l exisence d une loi de comporemen hermique L axiome 2 de l énoncé du second principe de la hermodynamique pour un domaine maériel de milieu coninu donné en secion 5.3 [p 70] impose l inégalié : q grad E T 0 (dissipaion hermique non négaive (5.18 Cee inégalié doi êre vraie en oues siuaions, e noammen quel que soi l environnemen hermique acuel d une paricule représené par le veceur grad E T. On en dédui que le veceur couran de chaleur q es nécessairemen au moins foncion du veceur grad E T : q grad E T 0, grad E T f q el que q = f q (grad E T, La foncion f q es appelée loi de comporemen hermique ou loi de conducion hermique. L inégalié (5.18 implique que la foncion f q exise, sans pour auan la préciser. Un large choix rese possible. La loi la plus simple que l on puisse choisir es la rès populaire loi de Fourier : q = α grad E T avec α 0 (5.19 Le leceur vérifiera aisémen qu elle saisfai bien la non négaivié de la dissipaion hermique e qu elle es bien universelle (13. Cee loi linéaire simple n es a priori valable que pour des milieux coninus isoropes, car aucune référence n es faie à des direcions maérielles d anisoropie (la loi de conducion hermique es la même quelle que soi l orienaion de grad E T par rappor aux direcions maérielles. On peu consruire des lois de comporemen hermiques isoropes plus évoluées : le scalaire α peu êre remplacé par oue foncion isorope (au sens mahémaique à valeur non négaive de la forme α(grad E T,T, χ i,d,. On obien ainsi des lois de conducion hermique isoropes plus réalises. Remarques La conducivié hermique α es généralemen foncion de la empéraure. Quand on di que la loi de conducion hermique es «non linéaire», cela signifie généralemen que α es aussi foncion que de grad E T. Par ailleurs, il n es pas déraisonnable de penser que la conducivié hermique d un solide déformable puisse dépendre d une variable d éa comme la déformaion. Enfin, les argumens de la foncion isorope α éan objecifs, il exise une foncion α d argumens scalaires elle que α( = α( [éq. (4.1 p. 55]. (13 En uilisan la formule de changemen d observaeur de q [éq. (4.14 p. 64] e celle de grad E T [éq. (5.17 p. 75], on vérifie aisémen que la loi es la même pour un aure observaeur R : q = α (grad E T.

77 5.8 Capaciés calorifiques locales dans une évoluion 77 On peu aussi consruire des lois de conducion hermique pour des milieux coninus anisoropes (14. Par exemple, pour un milieu coninu à une seule direcion d anisoropie (15 don la direcion acuelle d anisoropie es le veceur uniaire n (ou la direcion non orienée n n, on peu prendre des lois de conducion hermique de la forme suivane : q E = α 1 ( (grad E T n n }{{} grad E T (n n ( α 2 ( grad E T (grad E T n n }{{} grad E T (n n où α 1 es la conducivié hermique dans la direcion d anisoropie, e α 2 es la conducivié hermique ransverse (perpendiculairemen à la direcion d anisoropie. On laisse le soin au leceur de vérifier que : 1. cee loi saisfai le second principe de la hermodynamique si les foncions α 1 e α 2 son à valeur scalaire non négaive ; 2. cee loi de conducivié hermique es universelle si les foncions α 1 e α 2 son des foncions non négaives isoropes de leurs argumens ensoriels objecifs. 5.8 Capaciés calorifiques locales dans une évoluion La capacié calorifique (J.kg 1.K 1 parfois aussi appelée chaleur massique (16 ou encore capacié hermique, es radiionnellemen définie comme la quanié de chaleur nécessaire pour élever de 1 Kelvin l unié de masse de maière dans une ceraine ransformaion finie don les éas iniiaux e finaux son à empéraure uniforme (grad E T 1 = 0 e grad E T 2 = 0 mais différenes (T 2 T 1 = 1 K. On va en donner ici une définiion équivalene mais locale e insananée. Dans un milieu coninu en évoluion, les puissances calorifiques volumiques reçues en une paricule son issues de deux sources : P v cal ex = rex v div E q = ρ ė m σ : D [conservaion de l énergie (4.10 p. 62] (5.20 e Φ in = ρ (T ṡ m ė m + σ : D [dissipaion inrinsèque (5.8 p. 72] (5.21 La première représene la puissance calorifique volumique locale d origine exérieure e la seconde représene la puissance calorifique volumique locale due aux processus inernes de producion/absorbion de chaleur (17. La somme des deux (ρ T ṡ m es la puissance calorifique volumique oale acuelle reçue par une paricule [éq. (5.14 p. 75]. On peu alors définir une capacié calorifique locale acuelle C qui donne la viesse d échauffemen Ṫ due à ces puissances calorifiques volumiques locales : ρ C Ṫ = P v cal ex + Φ in = ρ T ṡ m [éq. (5.20 e éq. (5.21] C = Ṫ m İ j T ṡm = T T f s + T j f s j=2 Ṫ [éq. (5.2 p. 70] (5.22 (14 En général ce son des milieux coninus solides déformables. Mais cerains fluides peuven présener des anisoropies dans ceraines siuaions («crisaux liquides» dans un champ élecrique. (15 On les appelle milieux coninus «isoropes ransverses». Ce son, par exemple, des milieux fibreux ou feuilleés que l on veu modéliser comme des milieux coninus. (16 Cee dénominaion es rompeuse, elle suggère que l unié es en J.kg 1. (17 Pour les milieux coninus monoconsiuans, il s agi seulemen du froemen (exohermique.

78 78 Chapire 5. Second principe de la hermodynamique Définiion 5.9 Capacié calorifique. La capacié calorifique en une paricule dans une évoluion non isoherme es définie par : C = Ṫ T ṡm La valeur de la dérivée pariculaire ṡ m dépend de la dérivée pariculaire des variables d éa [éq. (5.2 p. 70], e donc de la viesse d évoluion [déf p. 56] dans l espace des éas. La capacié calorifique locale C dépend donc a priori à la fois de l éa acuel e de la direcion acuelle de la viesse d évoluion de la paricule dans l espace des éas. On ne peu donc parler de capacié calorifique que pour une ceraine direcion d évoluion dans l espace des éas (18. Pour des viesses d évoluion elles que Ṫ = 0 (évoluion à empéraure consane dans le emps elle n es évidemmen pas définie. La capacié calorifique n es pas une caracérisique du maériau sauf si on précise dans quel ype d évoluion non isoherme elle es mesurée. 5.9 En bref... Le second principe de la hermodynamique es une inégalié qui exprime que, lors de l évoluion d un domaine, le aux d enropie du domaine ds d n es pas dû qu à l enropie reçue de l exérieur (19 mais aussi à un aux de producion inerne d enropie non négaif D Φ T 1 dv 0. La forme locale de ce principe es la non négaivié de la dissipaion : Φ = Φ in + Φ h 0 avec Φ h 0, à respecer en oue paricule e à ou insan de l évoluion de ou milieu coninu (20. La dissipaion hermique acuelle Φ h 0 es due aux échanges hermiques provoqués par la non uniformié acuelle des empéraures (grad E T 0. La dissipaion inrinsèque acuelle Φ in es due à l exisence évenuelle de processus inernes endohermiques ou exohermiques. Dans les modèles de milieux coninus monoconsiuans (donc sans réacion chimique ni changemen de phase, le seul processus inerne es le froemen (exohermique ; dans ce cas, la dissipaion inrinsèque es non négaive. L inégalié Φ h 0 condui à la nécessié d exisence d une loi de comporemen hermique. De même, dans la consrucion de modèles de comporemen de milieux coninus monoconsiuans, l inégalié Φ in 0 conduira à la nécessié d exisence d une loi de comporemen mécanique (21. Non seulemen ces lois de comporemen exisen nécessairemen, mais elles doiven de plus saisfaire les inégaliés du second principe en oue paricule e à ou insan de oue évoluion. Les choix possibles resen néanmoins larges. Les modèles de milieux coninus ainsi consruis son hermodynamiquemen admissibles. Dans la résoluion d un problème de hermomécanique des milieux coninus dans lequel le modèle de milieu coninu es donné, le second principe n apparaî pas dans les équaions car il es normalemen auomaiquemen respecé par le modèle de comporemen donné (il es normalemen hermodynamiquemen admissible. (18 En hermodynamique des gaz, on uilise courammen une capacié calorifique à volume massique (ρ 1 consan C v e une capacié calorifique à pression consane C p. (19 Conducion, convecion e rayonnemen pour les domaines géomériques ; conducion e rayonnemen seulemen pour les domaines maériels. (20 Même sans dissipaion inrinsèque (pas de froemen ni de changemen de phase ni de réacion chimique, la nullié de la dissipaion oale es rarissime : pour que la dissipaion hermique soi aussi nulle, il faudrai que oues les paricules du domaine paren d une empéraure uniforme e évoluen oues à la même viesse. (21 On en verra un exemple pour les fluides dans le chapire suivan, e d aures exemples dans les cours d élasicié (Φ in = 0 e d inélasicié (Φ in 0 des solides déformables monophasiques.

79 6 Le modèle fluide simple L obje de ce chapire es d illusrer commen on peu consruire des modèles de fluides simples hermodynamiquemen admissibles. On verra commen le second principe de la hermodynamique implique l exisence d une loi de comporemen mécanique e d une loi de comporemen hermique, que ces lois ne peuven pas êre choisies arbirairemen e qu enfin le modèle classique fluide newonien es le plus simple d enre eux. Il es ou à fai possible d ignorer ce chapire e de poser de manière auoriaire la loi de comporemen mécanique des fluides newoniens ainsi que la loi de comporemen hermique de Fourier. Nonobsan, la démarche de consrucion de ces lois es pédagogiquemen inéressane : elle monre les racines profondes de ce modèle e elle ouvre la voie à la consrucion de modèles de comporemen hermodynamiquemen admissibles de fluides simples non linéaires. 6.1 Définiion d un fluide simple Définiion 6.1 Fluide simple. On appelle fluide simple, un milieu coninu don les deux variables d éa indépendanes son la empéraure T e la masse volumique ρ. La présence de la empéraure dans les variables d éa es imposée par le second principe de la hermodynamique. Le choix de la masse volumique comme seule aure variable d éa radui l inenion de ne pas disinguer l éa de deux paricules ayan la même empéraure auremen que par la densié volumique de masse acuelle, sans référence à une déformaion par rappor à une forme pariculière ni à une évenuelle direcion d anisoropie. Auremen di, les fluides simples n on pas de forme propre par rappor à laquelle on pourrai donner un sens physique à un enseur de déformaion par rappor à une forme de référence. Avec seulemen deux variables d éa scalaires e objecives, un fluide simple es un des modèles de milieux coninus les plus simples que l on puisse consruire. La foncion d éa énergie inerne massique e m e la foncion d éa enropie massique s m son donc des foncions des deux variables d éa (T,ρ : e m (P, = f e ( T (P,,ρ(P, ; s m (P, = f s ( T (P,,ρ(P, Remarque Les deux variables d éa éan des scalaires, les variables d éa réduies son les mêmes. Leurs dérivées pariculaires s écriven : ė m = T f e Ṫ + ρ f e ρ ; ṡ m = T f s Ṫ + ρ f s ρ

80 80 Chapire 6. Le modèle fluide simple 6.2 Conséquences du second principe de la hermodynamique D une manière générale, le second principe de la hermodynamique s écri [éq. (5.8 p. 72] : Φ = ρ (T ṡ m ė m + σ : D q T grad E T 0 En déaillan les dérivées pariculaires ṡ m e ė m pour un fluide simple, il vien : ρ (T T f s T f e Ṫ + ρ (T ρ f s ρ f e ρ + σ : D q T grad E T 0 (6.1 Cee inégalié doi êre saisfaie en oues siuaions, c es-à-dire pour oue viesse d évoluion ( Ṫ ρ, pour ou mouvemen ( D à parir de ou éa (T,ρ e pour ou environnemen hermique ( grad E T. Cependan, les grandeurs ρ e D ne peuven varier indépendammen : elles son liées par le principe de la conservaion de la masse : ρ = ρ r D [éq. (2.4 p. 20] En décomposan le enseur D en parie sphérique e déviaorique, on isole rd : D = rd 3 rd ρ G + devd σ : D = σ : G + σ : devd = 3 3ρ rσ + devσ : devd Le second principe de la hermodynamique pour un fluide simple [éq. (6.1] s écri donc : ρ (T T f s T f e Ṫ ρ 2 ( T ρ f s ρ f e rσ 3ρ 2 rd + devσ : devd q T grad E T 0 L inégalié (6.2 doi êre vraie dans oues les siuaions, c es-à-dire : Ṫ (viesse acuelle d évoluion de la empéraure de la paricule, D (aux de déformaion, c es-à-dire : rd (parie shérique e devd (parie déviaorique, auremen di : pour ou mouvemen acuel au voisinage de la paricule ; grad E T (environnemen hermique acuel de la paricule, où chacune des quare grandeurs {Ṫ,rD,devD,grad E T } peu prendre indépendammen une valeur arbiraire. En définissan les deux «veceurs généralisés» (1 R R V sd 3 V 3 suivans : { x = ρ (T ( T f s T f e, ρ 2 T ρ f s ρ f e rσ 3ρ 2,devσ, q } T } y = {Ṫ,rD,devD,gradE T le second principe de la hermodynamique (6.2 se résume sous la forme : x y 0 y où es un «produi scalaire généralisé». (6.2 (1 L espace V sd 3 es l espace vecoriel des enseurs du second ordre symériques e de race nulle (déviaeurs. Il es de dimension 5. On rappelle que le produi doublemen conracé es un produi scalaire de ce espace.

81 6.2 Conséquences du second principe de la hermodynamique 81 Le veceur x es donc nécessairemen au moins foncion du veceur y. On en dédui la nécessié de l exisence des quare foncions f 1 R, f 2 R, f 3 V 2sd 3 e f 4 V 3 suivanes : x 1 = f 1 (y, ρ (T T f s T f e = f 1 (Ṫ,rD,devD,grad E T, (6.3 ( x 2 = f 2 (y, ρ 2 T ρ f s ρ f e rσ 3ρ 2 = f 2 (Ṫ,rD,devD,grad E T, (6.4 x 3 = f 3 (y, devσ = f 3 (Ṫ,rD,devD,grad E T, (6.5 x 4 = f 4 (y, q T = f 4 (Ṫ,rD,devD,grad E T, (6.6 où les argumens supplémenaires ( peuven êre oues variables aures que les «composanes» du veceur y (par exemple les variables d éa T ou ρ. L inégalié du second principe de la hermodynamique (6.2 [p. 80] s écri donc : f 1 Ṫ + f 2 rd + f 3 : devd + f 4 grad E T 0, Ṫ rd devd grad E T (6.7 Il rese à choisir les quare foncions f 1, f 2, f 3 e f 4 (lois de comporemen don l exisence es nécessaire, elles que l inégalié (6.7 soi respecée Ṫ, rd, devd e grad E T. Les quare sous-secions qui suiven exposen les conséquences de l exisence des quare foncions inroduies en (6.3, (6.4, (6.5 e ( Relaion de Helmholz Dans l équaion (6.3, le erme de gauche ρ (T T f s T f e es une foncion d éa, c es-à-dire foncion des seules variables d éa. On en dédui que la foncion f 1 es nécessairemen aussi une foncion d éa donc d argumens T e ρ. Elle n es donc pas foncion de ses quare premiers argumens. L équaion (6.3 [p. 81] ne peu êre que de la forme : ρ (T T f s T f e = f 1 (T,ρ Dans l inégalié (6.7, vraie Ṫ, la foncion d éa f 1 ne pouvan êre foncion de Ṫ, elle es nécessairemen nulle. On en dédui le héorème suivan : Théorème 6.2 Relaion de Helmholz. Dans un fluide simple, les foncions d éa énergie inerne massique e enropie massique son liées par l équaion différenielle (2 : T T f s T f e = 0 (6.8 Pour définir le comporemen hermodynamique d un fluide simple, il suffi donc de donner une seule foncion d éa : f e ou f s ; l aure se dédui de la relaion (différenielle de Helmholz. Aure expression de la relaion de Helmholz Si on uilise le couple de foncions d éa (ψ m,s m à la place du couple (e m,s m où ψ m = e m T s m, en dérivan par rappor à T il vien : T f e = T f ψ + f s + T T f s La relaion de Helmholz (6.8 s écri alors : f s = T f ψ (6.9 (2 Cee relaion es parfois appelée «posula» de Helmholz. En fai il es inuile de la posuler : elle es une conséquence du second principe de la hermodynamique.

82 82 Chapire 6. Le modèle fluide simple Loi de comporemen mécanique Les deux équaions (6.4 e (6.5 [p. 81] prouven la nécessié de l exisence de deux lois de comporemen mécanique relian le enseur des conraines aux aures grandeurs : rσ ( 3 = ρ2 T ρ f s ρ f e + f 2 (Ṫ,rD,devD,grad E T, (6.10 }{{} p devσ = f 3 (Ṫ,rD,devD,grad E T, (6.11 L équaion (6.10 défini la parie shérique du enseur des conraines de Cauchy, e l équaion (6.11 défini sa parie de race nulle (déviaorique. Définiion 6.3 Pression hermodynamique. On appelle pression hermodynamique d un fluide simple la foncion d éa définie par : p = ρ 2 (T ρ f s ρ f e = ρ 2 ρ f ψ [éq. (6.10] (6.12 Définiion 6.4 Pression mécanique. On appelle pression mécanique l opposé du iers de la race du enseur des conraines. Pour un fluide simple, elle vau : p m = rσ 3 = p f 2 Théorème 6.5 Comporemen mécanique d un fluide simple. La loi de comporemen mécanique d un fluide simple es de la forme : σ = sphσ + devσ = ( p + f 2 G + f 3 = p m G + f 3 où p es la pression hermodynamique [déf. 6.3] e p m la pression mécanique [déf. 6.4]. Démonsraion La décomposiion en parie sphérique e déviaorique éan unique, on peu rassembler les deux lois (6.10 e (6.11 en une seule loi ensorielle. Il rese à choisir les foncions f 2 (Ṫ,rD,devD,grad E T, e f 3 (Ṫ,rD,devD,grad E T, de elle façon que l inégalié du second principe soi respecée. Quelques choix possibles son présenés plus loin en secion 6.3 [p. 83] Loi de comporemen hermique La dernière équaion (6.6 [p. 81] affirme la nécessié d exisence d une loi de comporemen hermique, encore appelée loi de conducion hermique : q = T f 4 (Ṫ,rD,devD,grad E T, Il rese à choisir la foncion f 4 (Ṫ,rD,devD,grad E T, de elle façon que l inégalié du second principe soi respecée. Des choix possibles son présenés plus loin en secion 6.3 [p. 83]. Remarque La nécessié de l exisence d une loi de conducion hermique a déjà éé déduie de la condiion Φ h 0 imposée par le second principe de la hermodynamique [secion 5.7 p. 76].

83 6.3 Fluides simples newoniens Synhèse Compe-enu de la relaion de Helmholz [éq. (6.8 p. 81], l inégalié du second principe de la hermodynamique pour les fluides simples se rédui à : Φ = f 2 rd + f 3 : devd + f }{{} 4 grad E T 0, rd devd grad }{{} E T (6.13 Φ in Φ h 0 Hormis leur exisence, le second principe ne nous apprend rien sur les foncions f 2, f 3 e f 4 qui précisen la loi de comporemen mécanique e la loi de comporemen hermique (3. Il fau les choisir elles que l inégalié (6.13 soi respecée dans oue évoluion de paricule. 6.3 Fluides simples newoniens Pour coninuer la modélisaion d un fluide simple, il fau choisir les rois foncions dissipaives f 2, f 3 e f 4 de elle manière que le second principe de la hermodynamique pour les fluides simples (6.13 [p. 83] soi saisfai en oues siuaions, c es-à-dire Ṫ D grad E T. Hypohèse 6.6 On choisi les foncions dissipaives f2, f 3 e f 4 suivanes : 1. f 2 = k(t,ρ rd avec k(t,ρ 0 Le coefficien k(t,ρ 0 es appelé viscosié de volume. 2. f 3 = 2 µ(t,ρ devd avec µ(t,ρ 0 Le coefficien µ(t,ρ 0 es appelé viscosié isovolume ou viscosié de cisaillemen (4 ou encore «viscosié dynamique» (5. 3. f 4 = α(t,ρ T grad E T avec α(t,ρ 0 Avec ce choix, on rerouve la loi de Fourier linéaire isorope [éq. (5.19 p. 76]. Le coefficien α(t,ρ es appelé coefficien de conducibilié hermique. Comme on peu le consaer, ces choix simples ne son pas nécessaires mais ils son suffisans pour que l inégalié du second principe de la hermodynamique soi respecée en oues siuaions. En effe, avec ces choix, la dissipaion (6.13 es la somme de rois ermes non négaifs séparémen : Φ = k(t,ρ(rd µ(t,ρ devd 2 +α(t,ρt 1 gradt 2 0 }{{}}{{} Φ in Φ h Remarque Bien souven, les foncions non négaives k, µ e α son choisies consanes, c es-à-dire indépendanes de l éa acuel, ou bien seulemen foncions de la empéraure. Définiion 6.7 Fluide newonien. On appelle fluide newonien un fluide simple don la loi de comporemen mécanique [h. 6.5 p. 82] es : ( σ = ( p + k rd G + 2 µ devd = p + ( k 2µ }{{} 3 p m rd G + 2 µ D (6.14 (3 Ces deux lois de comporemen ne son pas de simples lois de fermeure pour que «le nombre d équaions soi égal au nombre d inconnues», le second principe de la hermodynamique prouve la nécessié de leur exisence. (4 Un mouvemen de cisaillemen es un mouvemen isovolume pariculier. (5 Cee dénominaion curieuse es rès populaire. Le rappor µ/ρ es appelé «viscosié cinémaique».

84 84 Chapire 6. Le modèle fluide simple où la pression hermodynamique p = ρ 2 (T ρ f s ρ f e es une foncion d éa caracérisique du fluide éudié. Remarque Dans un fluide newonien, la pression mécanique p m = rσ 3 = p+k rd e la pression hermodynamique p ne son égales que si la viscosié de volume k es nulle (fluides appelés fluides de Sokes ou dans des mouvemens pariculiers els que le aux de dilaaion volumique es nul (6 (d v = rd = 0. La loi de comporemen hermique généralemen choisie pour les fluides newoniens es celle de Fourier : q = α grad E T. Les choix fais précédemmen pour les foncions f 2, f 3 e f 4 son les plus simples que l on puisse faire pour assurer le respec du second principe de la hermodynamique. Le leceur vérifiera aisémen avec les formules de changemen d observaeur des deux enseurs objecifs D e σ [éq.(3.47 p. 46], que la loi de comporemen mécanique des fluides newoniens es bien une loi universelle, c es-à-dire : σ = ( p + k r DG + 2 µ dev D. Remarque On peu consruire des lois de comporemen non linéaires de fluides simples si les foncions scalaires non négaives k, µ e α on une lise d argumens plus complèe, comprenan noammen le enseur des aux de déformaion D. Les foncions scalaires k, µ e α doiven êre des foncions isoropes de leurs argumens ensoriels pour assurer l universalié de la loi de comporemen mécanique. Ces fluides son dis rhéofluidifians ou bien rhéoépaississans. Pour compléer la modélisaion du fluide simple, il fau préciser l expression de l une des foncions d éa inroduies (p, f e, f s ou f ψ en foncion des variables d éa T e ρ. Les aures foncions d éa son déerminées par leur définiion e par la relaion de Helmholz. Les secions qui suiven donnen quelques exemples de fluides simples. 6.4 Gaz parfais Les gaz parfais son radiionnellemen définis en donnan l expression de la foncion d éa pression hermodynamique p(t,ρ en foncion des variables d éa T e ρ. Cee expression es appelée loi de Marioe (7 : p = r ρ T où r es une consane caracérisique du gaz parfai. La définiion de la pression hermodynamique p [éq. (6.12 p.82] e la relaion de Helmholz [éq. (6.8 p. 81] conduisen au sysème différeniel suivan, qui perme de déerminer les deux foncions d éa f e e f s : ρ 2 ( T ρ f s ρ f e = r ρ T ; T T f s T f e = 0 La soluion générale de ce sysème différeniel es : T f s = r lnρ + f 1 (T ; f e = T f 1(T dt +C T 0 (6 C es noammen le cas en saique des fluides : v(p, = 0 P D = 0 ; ou si le fluide es supposé parfaiemen incompressible : ρ = 0 rd = ρ/ρ = 0 [h. 2.2 p. 20]. (7 Cee loi macroscopique peu aussi bien êre considérée comme d origine expérimenale ou comme suggérée par un modèle issu de la physique saisique.

85 6.5 Liquides idéaux 85 Remarque Noer que l on rerouve ici un résula classique, parfois posulé : l énergie inerne massique d un gaz parfai n es foncion que de la empéraure. Les inconnues f 1 (T e C peuven êre déerminées par des mesures expérimenales, par exemple la mesure de la capacié calorifique C v (T à ρ consan ( ρ = 0, habiuellemen appelée à volume consan. Elle s écri [éq. (5.22 p. 77] : ρ T C v (T = T T f s + T ρ f s Ṫ = T f 1(T C v (T f 1 (T = dt +C T 0 T Finalemen, les deux foncions d éa f e e f s d un gaz parfai son : f s = r ln ρ T C v (T T + dt +C ; f e = C v (T dt +C ρ 0 T 0 T T 0 L énergie inerne massique e l enropie massique d un gaz parfai son chacune définies à une consane près, ce qui es sans imporance car seules leurs dérivées inerviennen dans les lois de comporemen e dans la dissipaion. On peu oujours choisir un éa de référence (T 0,ρ 0 dans lequel elles son déclarées nulles ou égales à une valeur de référence s m 0 e em 0. Remarque L une quelconque de ces foncions d éa peu êre prise comme définiion des gaz parfais, la relaion de Helmholz e la définiion de la pression hermodynamique permeen de rerouver la loi de Marioe. Relaion de Mayer Pour les gaz, il es possible de définir une chaleur massique à pression hermodynamique consane, noée C p. Pour un gaz parfai : p = r ρ T ṗ = r T ρ + r ρ Ṫ Dans une évoluion à pression hermodynamique consane, on a donc : ṗ = 0 ρ Ṫ = ρ T À pression hermodynamique consane, la capacié calorifique [éq. (5.22 p. 77] s écri : C p = T T f s + ρ f s ρ Ṫ = C v + T r ρ ρ T = C v + r Cee relaion es connue sous le nom de relaion de Mayer pour les gaz parfais. En conclusion, les gaz parfais son les fluides simples els que la pression hermodynamique saisfai à la loi de Marioe. Ils son complèemen caracérisés par la mesure de la consane r, la mesure d une capacié calorifique (C p (T ou C v (T e la donnée des rois foncions de dissipaion f 2, f 3 e f 4 (pour les gaz parfais newoniens, ce son la viscosié de volume k, la viscosié de cisaillemen µ e la conducivié hermique α. Il es possible de consruire un modèle de gaz plus proche des gaz réels en suivan la même démarche, mais en remplaçan la loi de Marioe par celle de Van der Waals. 6.5 Liquides idéaux Les liquides idéaux son des fluides simples parfaiemen incompressibles ( ρ = 0 ρ = ρ 0. La variable d éa ρ es donc une consane. On peu consruire un modèle de liquide idéal (visqueux

86 86 Chapire 6. Le modèle fluide simple ou non en posan que la pression hermodynamique de ce fluide es indépendane des variables d éa T e ρ : p(t,ρ = p (6.15 Remarque Un el liquide es à la fois incompressible ( ρ p = 0 e indilaable ( T p = 0, pas de variaion de pression dans une évoluion de empéraure à volume consan. On verra plus loin [remarque 6.1 p. 88] qu un fluide simple à la fois incompressible e dilaable serai hermodynamiquemen inadmissible. La définiion de la pression hermodynamique p [éq. (6.12 p. 82] e la relaion de Helmholz [éq. (6.8 p. 81] conduisen au sysème différeniel : ρ 2 ( T ρ f s ρ f e = p ; T T f s T f e = 0 don la soluion générale es : T g (T f s = dt +C 1 ; f e = p + g(t T 0 T ρ 0 La foncion g(t peu se déerminer par une mesure de capacié calorifique (nécessairemen à volume consan car ρ = 0 : C v (T = T d f T s dt = g (T [éq. (5.22 p. 77] g(t = C v (T dt T 0 On obien les deux foncions d éa f e e f s du liquide idéal : T C v (T f s = dt +C 1 ; f e = p T + C v (T dt +C 2 T 0 T ρ 0 T 0 Remarques Dans un liquide idéal, la foncion d éa pression hermodynamique p en une paricule n es pas foncion des variables d éa par définiion [éq. (6.15 p. 86]. Néanmoins, dans un milieu coninu, la pression es foncion de la paricule e du emps : p(p, es un champ maériel. La conservaion de la masse [h. 2.2 p. 20] pour un liquide idéal s écri : d v = rd = div E v = 0 La loi de comporemen mécanique d un liquide idéal newonien se rédui donc à : σ(p, = p(p,g + 2 µ(t devd(p, [éq. (6.14 p. 83] On laisse le soin au leceur de vérifier, avec un peu de calcul ensoriel, que l équaion de mouvemen (3.28 [p. 36] d un liquide idéal newonien devien : ρ 0 γ = ρ 0 f m grad E p + µ(t E v + 2 devd grad E µ(t (P, ρ 0 v = ρ 0 f m grad E p + µ(t E v + 2 µ (T devsymgrad E v grad E T De même, si on choisi la loi de Fourier (5.19 [p. 76] comme loi de comporemen hermique, on laisse le soin au leceur d éablir que l équaion de la chaleur (4.10 [p. 62] devien : ṗ + T T 0 C v(t Ṫ dt = 2 µ(t devsymgrad E v : devsymgrad E v + r v ex + α E T

87 6.6 Fluides simples compressibles e dilaables 87 Remarques Comme on peu le consaer, l équaion de conservaion de la masse, l équaion de la mécanique e l équaion de conservaion de l énergie son des équaions différenielles couplées don les inconnues son les champs de pression, de viesse e de empéraure. Dans les cours élémenaires de mécanique des fluides incompressibles, pour espérer obenir des soluions analyiques, on simplifie les équaions en supposan que la viscosié, la capacié calorifique à volume consan e la conducivié hermique ne dépenden pas de la empéraure : µ (T = 0, C v(t = 0, α = α 0 e qu il n y a pas de source de chaleur par rayonnemen : r v ex = 0. Dans ce cas, pour un liquide idéal il rese : div E v = 0 ρ 0 v = ρ 0 f m grad E p + µ 0 E v ṗ = 2 µ 0 devsymgrad E v : devsymgrad E v + α 0 E T (conservaion de la masse (principe fondamenal de la mécanique (conservaion de l énergie Comme on peu le consaer, ces hypohèses son insuffisanes pour découpler l équaion de conservaion de l énergie. On arrive néanmoins à rouver quelques soluions analyiques saionnaires (8 pariculières (9 des deux premières équaions don les champs inconnus son la pression p(p, e la viesse v(p,. On ne résou praiquemen jamais la roisième équaion qui donnerai le champ de empéraures. Le bu de ces remarques n es pas de dénigrer les quelques soluions analyiques saionnaires qui son présenées dans les cours de mécanique des fluides incompressibles (ces soluions son d un indéniable inérê pédagogique, mais seulemen de souligner leur coû en hypohèses simplificarices, coû qui n es pas oujours mis suffisammen en évidence pour suscier la circonspecion idoine. 6.6 Fluides simples compressibles e dilaables À ire d illusraion, on se propose de consruire un modèle de fluide simple (les variables d éa indépendanes son uniquemen T e ρ compressible e dilaable assez général Compressibilié e dilaabilié On cherche à consruire un fluide simple el que : d v = χ T (T,ρ ṗ + α p (T,ρṪ (6.16 d v es le aux de dilaaion volumique (rd ; p es la pression hermodynamique ; χ T > 0 es la compressibilié à empéraure consane (10 (unié : Pa 1 ; α p es la dilaabilié à pression hermodynamique consane (unié : K 1. Dans un el fluide, le aux de dilaaion volumique d v dépend de la variaion de pression (compressibilié e de la variaion de empéraure (dilaabilié. Remarque Les noions de compressibilié isoherme χ T e de dilaabilié isobare α p son courammen employées dans les cours de hermodynamique. Avec l écriure différenielle familière aux hermodynamiciens, l équaion (6.16 s écri : dv v = χ T dp + α p dt où v = ρ 1 es le volume massique. (8 C es-à-dire Ψ E (x, = 0. On a donc v = grad E v v E e ṗ = grad E p v E. (9 On cherche des écoulemens pariculiers dans lesquels grad E v v E = 0, ce qui linéarise l équaion de mouvemen. (10 On rappelle qu il fau en général des échanges hermiques avec l exérieur pour mainenir la empéraure consane pendan une compression ou une déene isohermes.

88 88 Chapire 6. Le modèle fluide simple Commenaire On vérifie aisémen que pour χ T = T 1 e α p = p 1, l équaion (6.16 es la dérivée pariculaire de la loi de Marioe ; de même, pour χ T = 0 e α p = 0 (le fluide es incompressible e indilaable, l équaion (6.16 es la dérivée pariculaire de la définiion du liquide idéal : d v = 0 ρ = 0 [éq. (2.4 p. 20]. Touefois, l équaion (6.16 n es pas une définiion d une foncion d éa d un fluide simple : elle ne régi que la dérivée pariculaire de la foncion d éa pression hermodynamique p [déf. 6.3 p. 82] du fluide simple, ce qui ne défini pas la pression hermodynamique elle-même : 1 ( ṗ(t,ρ = dv α p (T,ρṪ 1 ( ρ = χ T (T,ρ χ T (T,ρ ρ + α p(t,ρṫ [éq. (2.4 p. 20] Il n es pas cerain qu il exise une foncion d éa p(t,ρ don la dérivée pariculaire saisfasse cee équaion (11. D une manière générale, il es impruden de ener de définir un comporemen de milieu coninu seulemen par la dérivée pariculaire d une foncion d éa. Remarques La connaissance de la pression hermodynamique n es pas suffisane pour connaîre le enseur des conraines σ [éq. (6.14 p. 83] d un fluide newonien : il fau préciser en plus la viscosié de volume k(t, ρ e la viscosié isovolume µ(t, ρ. Dans leurs développemens, les hermodynamiciens on parfois endance à affirmer que l on ne peu fournir du ravail à un domaine que par l inermédiaire de forces de pression («dw = pdv», conraines uniquemen normales aux fronières, enseur des conraines sphérique ; en oure la pression mécanique [déf. 6.4 p. 82] es le plus souven confondue avec la pression hermodynamique (pas de viscosié de volume. Lorsque les hermodynamiciens veulen enir compe de la viscosié isovolume, ce ravail es appelé «ravail de ransvasemen». La conservaion de la masse [éq. (2.7 p. 21] e la définiion de la pression hermodynamique [éq. (6.12 p.82] s écriven : d v = ρ ρ ; p = ρ 2 (T ρ f s ρ f e = ρ 2 ρ f ψ où pour abréger les écriures on a inrodui dans la seconde égalié l énergie libre massique de Helmholz ψ m = e m T s m. L équaion (6.16 [p. 87] s écri donc : ρ ρ = χ T (ρ 2 ρ f ψ + α p Ṫ = χ T (2ρ ρ ρ f ψ + ρ 2 ρρ f ψ ρ + ρ 2 ρt f ψ Ṫ + α p Ṫ 1 ( 0 = ρ( ρ χ T (2ρ ρ f ψ + ρ 2 ρρ f ψ + Ṫ χ T ρ 2 ρt f ψ + α p Cee loi devan êre vraie pour oue viesse d évoluion à parir de ou éa, c es-à-dire Ṫ e ρ, e les ermes enre parenhèses éan des foncions d éa (c es-à-dire seulemen foncion de T e de ρ, on en dédui les deux équaions différenielles : 0 = 1 ρ χ T (2ρ ρ f ψ + ρ 2 ρρ f ψ ; 0 = χ T ρ 2 ρt f ψ + α p Remarque 6.1 La seconde équaion ci-dessus monre que si un fluide es incompressible (χ T = 0 alors il es nécessairemen indilaable (α p = 0. Un fluide supposé incompressible e dilaable serai hermodynamiquemen inadmissible car la foncion d éa ψ m, e donc oues les aures, n exisen pas. (11 Si la foncion d éa pression hermodynamique p n exise pas, les aures foncions d éa f e e f s qui s en déduisen n exisen pas non plus. Dans la remarque 6.1 [p. 88], on donne un cas où les foncions d éa n exisen pas.

89 6.6 Fluides simples compressibles e dilaables 89 L énergie libre massique de Helmholz es donc soluion des deux équaions différenielles : 2 ρ f ψ + ρ ρρ f ψ = 1 ρ 2 χ T ; ρt f ψ = α p ρ 2 χ T (6.17 où les deux foncions χ T (T,ρ e α p (T,ρ peuven êre idenifiées par des mesures expérimenales de compression à empéraure consane e de dilaaion volumique à pression consane. Remarque En dérivan par rappor à T la première équaion (6.17 e en enan compe la seconde équaion (6.17, on en dédui une équaion différenielle que doi saisfaire la foncion d éa f ψ : 2α p ρ 2 χ T + ρ ρρt f ψ = 1 ρ 2 T χ T χ 2 T don la soluion doi saisfaire les deux condiions (6.17. ρρt f ψ = 1 ρ 3 χ T ( T χ T χ T + 2α p ( Fluide simple à compressibilié e dilaabilié consanes Hypohèse 6.8 Afin d obenir un modèle simple e facile à idenifier, on suppose que la compressibilié à empéraure consane χ T e la dilaaion hermique à pression consane α p son des consanes : χ T (T,ρ = χ 0 e α p (T,ρ = α 0, sous réserve que sous ces hypohèses une foncion f ψ exise. Remarque Dans les liquides e les gaz, la compressibilié à empéraure consane χ T es oujours non négaive (le volume diminue oujours avec la pression. En revanche, la dilaaion hermique à pression consane α p n es pas oujours posiive. Par exemple, on sai que pour l eau à la pression amosphérique e à des empéraures enre 273,15 K e 277,15 K, le coefficien de dilaaion à pression consane es négaif, nul à 277,15 K, puis posiif pour des empéraures supérieures. On ne peu donc pas modéliser le comporemen de l eau avec l approximaion α p = α 0, sauf loin de cee anomalie. Sous les hypohèses 6.8, la soluion générale du sysème d équaions différenielles (6.17 de foncion inconnue f ψ es : f ψ = 1 (lnρ + α 0 T + 1 C + g(t (6.19 ρ χ 0 ρ La pression hermodynamique [éq. (6.12 p. 82] es alors : p = 1 χ 0 (lnρ + α 0 T +C Pour un éa de référence ρ = ρ 0 e T = T 0, on pose p = p 0. La consane C es alors : C = p 0 1 χ 0 (lnρ 0 + α 0 T 0 Finalemen, la foncion d éa pression hermodynamique es : p = 1 (ln ρ + α 0 (T T 0 + p 0 χ 0 ρ 0

90 90 Chapire 6. Le modèle fluide simple Disincion liquide/gaz La disincion enre liquide e gaz es souven exprimée en disan qu «un gaz occupe ou le volume don il dispose», conrairemen aux liquides. Cee définiion es inexploiable mahémaiquemen. L aueur propose de faire la disincion, pour les modèles de comporemen, en observan la limie de la masse volumique quand la pression end vers 0 : pour les gaz, la masse volumique end vers 0 (le vide (12 e pour les liquides elle end vers une limie finie non nulle. Cee disincion es évidemmen héorique car chacun sai qu en dessous de la pression de vapeur saurane ou liquide se vaporise e le modèle du milieu coninu change (noammen ses coefficiens χ T, α p e C v ; le comporemen de la vapeur n es plus représené par les mêmes foncions d éa. La validié de ou modèle de liquide es donc limiée par p > p sa (T. Néanmoins, l éude de cee limie en supposan qu il n y a pas vaporisaion es insrucive. Dans le cas du modèle simple qui a éé développé ici (χ T (T,ρ = χ 0 e α p (T,ρ = α 0, lorsque la pression hermodynamique es nulle (p = 0, il vien : ρ (p=0 = ρ 0 e α 0 (T T 0 χ 0 p 0 où p 0 es la pression à un éa de référence (T 0,ρ 0. La valeur ρ (p=0 n es jamais nulle quelle que soi la empéraure 0 < T <. Du poin de vue du crière proposé dans cee remarque, le modèle consrui ici es donc un modèle de liquide. L énergie libre massique de Helmholz es donc [éq. (6.19 p. 89] : f ψ = 1 ( 1 + ln ρ + α 0 (T T 0 p 0 ρ χ 0 ρ 0 ρ + g(t L enropie massique se dédui de la relaion de Helmholz [éq. (6.9 p. 81] : f s = T f ψ = α 0 ρ χ 0 g (T L énergie inerne massique se dédui de la définiion de l énergie libre de Helmholz : f e = f ψ + T f s = 1 ρ χ 0 (1 + ln ρ ρ 0 α 0 T 0 p 0 ρ + g(t T g (T La foncion g(t se déermine avec une mesure de la capacié calorifique [éq. (5.22 p. 77] C v (T à volume consan ( ρ = 0 : T ( T C v (T = T T f s = T g C v (T (T g(t = dt dt +C 1 T +C 2 T 0 T 0 T Remarque On consae que dans ce modèle simplifié (χ T (T,ρ = χ 0 e α p (T,ρ = α 0, la capacié calorifique à volume consan C v n es foncion que de la empéraure. Si l expérience le conredi, il fau remere en quesion les hypohèses 6.8 [p. 89]. Hypohèse 6.9 Pour simplifier encore le modèle, on suppose de plus que la capacié calorifique à volume consan es indépendane de la empéraure : C v (T = C v0 Sous cee hypohèse, la foncion g(t es soluion de l équaion différenielle : g = C v0 lnt +C 1 don la soluion es : g = C v0 (T lnt T +C 1 T +C 2 (12 Les gaz parfais saisfon à cee condiion.

91 6.7 En bref Finalemen, sous les hypohèses χ T = χ 0, α p = α 0 e C v = C v0, e en posan f s (T 0,ρ 0 = s 0 e f e (T 0,ρ 0 = e 0 pour déerminer les consanes C 1 e C 2, les foncions d éa de ce modèle de liquide compressible dilaable son : f s = α ( 0 ρ0 ρ 0 χ 0 ρ 1 +C v0 ln T + s 0 T 0 ( f e = 1 ρ χ 0 ln ρ ρ ρ 0 ρ ( p0 + 1 T 0 α 0 +C v0 (T T 0 + e 0 ρ 0 ρ 0 χ 0 ρ 0 χ 0 p = 1 ln ρ + α 0 (T T 0 + p 0 χ 0 ρ 0 χ 0 f ψ = 1 ln ρ ( + 1 ρ ( 0 p α 0 (T T 0 ( +C v0 T T 0 T ln T + e 0 T s 0 ρ χ 0 ρ 0 ρ ρ 0 ρ 0 χ 0 ρ 0 χ 0 T 0 Ce modèle es complèemen idenifié par les mesures de χ 0, α 0 e C v0. Relaion de Mayer pour ce modèle Dans une évoluion à pression consane, le comporemen choisi [éq. (6.16 p. 87] implique : ρ ρ = α 0 Ṫ ρ Ṫ = ρ α 0 La capacié calorifique à pression consane [(5.22 p. 77] es donc : C p = T T f s + T ρ f s ρ Ṫ = C v + T ρ f s ρ Ṫ = C v + α2 0 χ 0 T ρ C p C v = α2 0 χ 0 T ρ On peu appeler cee équaion «relaion de Mayer» pour ce modèle de liquide compressible dilaable. Remarque La capacié calorifique à pression consane C p es plus aisée à mesurer expérimenalemen que C v. Sous les hypohèses de ce modèle (noammen C v (T = C v0, la capacié calorifique à pression consane C p es nécessairemen une foncion de la empéraure acuelle e de la masse volumique acuelle. Si l expérience le conredi, il fau revoir les hypohèses simplificarices 6.8 [p. 89] en donnan des lois χ T (T,ρ e α p (T,ρ plus réalises suggérées par des mesures, puis reprendre l inégraion du sysème différeniel (6.17 [p. 89]. 6.7 En bref... Les fluides simples son les fluides don les deux variables d éa indépendanes son la empéraure absolue T (imposée par le second principe de la hermodynamique e la masse volumique ρ. Le second principe de la hermodynamique appliqué aux fluides simples implique la relaion de Helmholz qui es une relaion enre les deux foncions d éa énergie inerne massique e m e l enropie massique s m don l exisence es posulée par les deux principes de la hermodynamique. Les fluides simples son donc hermodynamiquemen déerminés par un seule foncion d éa (ou oue combinaison de ces deux foncions d éa e de variables d éa, elles que l énergie libre de Helmholz ou la pression hermodynamique. Le second principe de la hermodynamique implique aussi la nécessié d exisence d une loi de comporemen mécanique e d une loi de comporemen hermique. Pour définir complèemen le comporemen mécanique du modèle, il fau choisir les foncions dissipaives e l une des foncion d éa.

92 92 Chapire 6. Le modèle fluide simple Les fluides newoniens son des fluides simples don la loi de comporemen mécanique es : ( σ = ( p + k rdg + 2 µ devd = p + ( k 2µ 3 rd G + 2 µ D où p = ρ 2 (T ρ f s ρ f e es une foncion d éa caracérisique du fluide simple appelée la pression hermodynamique ; k(t, ρ es la viscosié de volume, souven considérée comme une consane ou seulemen foncion de la empéraure ou même parfois nulle (fluides de Sokes ; µ(t, ρ es la viscosié isovolume ou viscosié de cisaillemen ou viscosié dynamique, souven considérée comme une consane ou seulemen foncion de la empéraure ou même parfois nulle (fluides non viqueux ; D es le enseur des aux de déformaion défini en cinémaique. La loi de comporemen hermique (loi de conducion hermique choisie pour les fluides newoniens es généralemen la loi de Fourier. On a consrui quelques modèles de fluides simples hermodynamiquemen admissibles en proposan des foncions d éa mahémaiquemen simples e physiquemen moivées.

93 7 Synhèse Dans les chapires de ce cours, on a exprimé les conséquences des quare principes fondamenaux de la physique classique sur les milieux coninus monoconsiuans e non polarisés (pas d orienaion aachée aux paricules. Ces principes on éé exprimés sous forme globale pour des domaines maériels ou géomériques, ainsi que sous une forme locale. Les formes locales du principe de la conservaion de la masse, du principe fondamenal de la mécanique e du principe de la conservaion de l énergie son des équaions différenielles aux dérivées parielles, qui doiven êre saisfaies en ou poin e à ou insan de l évoluion de ou milieu coninu. En revanche, l inéquaion du second principe de la hermodynamique es auomaiquemen saisfaie dès lors que l on uilise un modèle de milieu coninu don les lois de comporemen mécanique e hermique son hermodynamiquemen admissibles. Cee inéquaion n apparaî donc pas dans la résoluion d un problème de hermomécanique des milieux coninus ; elle n es uile que lorsque l on cherche à consruire des nouveaux modèles de comporemen, pour évier qu ils soien hermodynamiquemen absurdes. 7.1 Le problème de mécanique des milieux coninus Les équaions différenielles locales des rois premiers principes son : ρ = ρ rd div E σ + ρ f m = ρ v ρ ė m = σ : D + r v ex div E q (conservaion de la masse, équaion de coninuié (principe fondamenal de la mécanique, équaion de mouvemen (principe de conservaion de l énergie, équaion de la chaleur où D = symgrad E v es le enseur des aux de déformaion. Ces équaions générales, valables pour ou milieu coninu, son insuffisanes pour déerminer l évoluion d un domaine (maériel ou géomérique donné, rempli d un milieu coninu donné (acier, eau, air... e sous l acion de solliciaions exérieures données. Il fau compléer ces équaions différenielles par : 1. Un modèle de comporemen du milieu coninu qui modélise correcemen le comporemen réel de la maière, c es-à-dire : (a la lise de variables d éa objecives indépendanes (ou la lise des variables d éa réduies ; (b l expression des foncions d éa en foncion des variables d éa modélisan correcemen le comporemen réel de la maière (énergie inerne massique, capaciés calorifiques, dilaaion, ec. ; (c la loi de comporemen mécanique : σ = f (éa acuel, viesse d évoluion ; (d la loi de comporemen hermique : q = f (grad E T, éa acuel, viesse d évoluion.

94 94 Chapire 7. Synhèse 2. Une descripion des solliciaions exérieures sur le domaine éudié : ce son les condiions aux limies (mécaniques e hermiques, les condiions iniiales (mécaniques e hermiques e les acions à disance (mécaniques e hermiques qui apparaissen dans les équaions locales de la mécanique (équaion de mouvemen e de l énergie (équaion de la chaleur. Les condiions aux limies mécaniques son : (a soi des condiions cinémaiques (déplacemens ou viesses imposés sur la fronière : u(p, = u imp (P, ou v(p, = v imp (P, (b soi des condiions shéniques (conraines imposées imposées sur la fronière : σ(p, n (P = f s imp(p, (c soi des condiions mécaniques mixes (relaions enre conraines e déplacemens ou viesses imposés sur la fronière. Les acions mécaniques à disance son représenées par un champ de force massique f m 0 (P, ou volumique f v 0 (P,, défini sur ou le domaine (le plus souven, il se rédui à la graviaion erresre. Les condiions aux limies hermiques son : (a soi des empéraures imposées sur la fronière : T (P, = T imp (P, (b soi des puissances calorifiques surfaciques imposées sur la fronière : q(p, n = q s imp(p, (c soi des condiions hermiques mixes (relaion enre empéraure e puissances calorifiques surfaciques imposées. Les acions hermiques à disance son représenées un champ de puissance calorifique volumique r v ex(p, défini sur ou le domaine (le plus souven, il es nul. Les condiions aux limies e les acions à disance (mécaniques e hermiques doiven modéliser de façon aussi réalise que possible les acions de l exérieur sur le domaine éudié. Elles son essenielles pour la qualié de la soluion. 3. Une descripion des condiions iniiales, c es-à-dire les valeurs iniiales des champs à un insan 0. Ces condiions iniiales ne son uiles que pour la résoluion des problèmes ransioires (c es-à-dire que l on cherche l évoluion emporelle des champs. Lors de la recherche de soluions saionnaires ( ψ E = 0 ψ, on ne pose pas de condiions iniiales. L ensemble de ces équaions éan posé, la descripion du problème es complèe. Les champs maériels à déerminer son : les champs des variables d éa, des foncions d éa, des viesses, des posiions (ou des déplacemens, des conraines, des déformaions, des aux de déformaion, ec. pour oue paricule (e à ou insan pour les problèmes insaionnaires. On peu aussi bien rechercher la descripion de Lagrange ou la descripion d Euler de ces champs maériels. Rappel Les relaions enre opéraeurs différeniels lagrangiens e eulériens de champs maériels on éé éablies en cinémaique. On les rappelle ici pour mémoire : Ψ(P,, div E Ψ = grad L Ψ : F e grad E Ψ = grad L Ψ F 1 où F = grad L x = G + grad L u (u : champ de déplacemen

95 7.2 La résoluion 95 En mécanique des milieux coninus (solides ou fluides, il arrive bien souven que l on ne recherche qu une soluion saionnaire (si elle exise. Dans ce cas, le emps disparaî des équaions différenielles e on ne pose pas de condiions iniiales. Le problème s en rouve quelque peu simplifié. 7.2 La résoluion La résoluion analyique d un sysème d équaions aussi complexe es raremen possible sauf dans quelques problèmes académiques exrêmemen simplifiés (mais pédagogiquemen inéressans. Les causes des difficulés de résoluion son : la complexié du sysème différeniel (équaions couplées, le plus souven non linéaires ; la non unicié évenuelle des soluions, leur insabilié évenuelle, la présence évenuelle de bifurcaions (en nombre fini voire infini ; la complexié de la forme du domaine éudié ; la complexié des condiions aux limies modélisan correcemen les acions mécaniques e hermiques de l exérieur sur le domaine éudié. Pour la plupar des problèmes indusriels, le recours à une méhode de résoluion numérique es inconournable pour la résoluion du problème exposé en secion 7.1 [p. 93]. Ces méhodes numériques son précieuses mais il ne fau jamais perdre de vue que : 1. Un résula numérique es oujours approché pour rois raisons : (a les calculs son nécessairemen approchés car la représenaion des nombres dans les calculaeurs es nécessairemen finie, donc ronquée, e les erreurs de roncaure se propagen en croissan dans les calculs successifs (1 ; (b la méhode numérique es par elle-même approchée car l espace des foncions dans lequel on cherche une soluion approchée es un sous-ensemble de l ensemble de oues les foncions définies sur le domaine éudié (2 ; (c la «convergence numérique» apparene de l implémenaion d un algorihme sur une machine n es jamais une preuve de sa convergence mahémaique. Inversemen l implémenaion d un algorihme héoriquemen convergen ne converge pas nécessairemen numériquemen sur un calculaeur en raison de l imperfecion des calculs. 2. Pour éudier l influence d un paramère, on ne peu que refaire le calcul pour différenes valeurs numériques du paramère en supposan que cee influence es suffisammen régulière enre deux valeurs successives pour faire des inerpolaions. 3. Dans les problèmes non linéaires, dans lesquels on es raremen assuré de l unicié de la soluion ou de l absence de bifurcaions voire de soluions cahoiques, un résula numérique es oujours suje à cauion e doi oujours êre considéré avec circonspecion car on maîrise raremen la (les branche(s suivie(s par l algorihme en cas de soluions muliples. Remarque Dans les problèmes saionnaires, on peu néanmoins obenir analyiquemen des résulas pariels inéressans en uilisan les rois premiers principes, non pas sous leur forme locale, mais sous une forme globale (sur un domaine maériel ou géomérique précis avec quelques hypohèses simplificarices sur les fronières. Par exemple, il es souven possible d évaluer des valeurs inégrées sur des paries de fronière (débis, forces résulanes, momens résulans, quaniés de chaleur échangée, mais sans informaion sur le déail de leur répariion. (1 On connaî pouran bien les méhodes d évaluaion des inceriudes dues aux roncaures e à l inceriude des données, mais force es de consaer que praiquemen aucun logiciel de calcul scienifique ne s en préoccupe, soi en raison du coû du calcul supplémenaire, soi par craine de surprises désagréables. (2 Conrairemen aux erreurs de roncaure, on ne sais pas évaluer quaniaivemen cee erreur.

96 96 Chapire 7. Synhèse 7.3 Conclusion Les applicaions de la mécanique des milieux coninus se divisen radiionnellemen en rois diciplines : la mécanique des fluides, la mécanique des solides déformables e l acousique. La disincion es jusifiée par le fai que les préoccupaions dans les rois spécialiés son différenes : En mécanique des fluides, les variables d éa des fluides simples (T, ρ son généralemen suffisanes. Les lois de comporemen ne fon pas référence à un enseur de déformaion, mais seulemen au enseur des aux de déformaion. La loi de comporemen des fluides simples newoniens es saisfaisane pour bon nombre de fluides réels. On cherche le mouvemen inconnu dans un domaine géomérique décidé a priori. Ce mouvemen es donc décri par la méhode d Euler, c es-à-dire que l on cherche la descripion d Euler des viesses acuelles, des masses volumiques acuelles e des empéraures acuelles. Les difficulés de la mécanique des fluides résiden esseniellemen dans la complexié de l équaion de la mécanique des fluides newoniens (3, don les soluions son fréquemmen insables (phénomène de urbulence. Les simplificaions couranes son la recherche de soluions saionnaires, l incompressiblié, l isohermie e la linéarié du comporemen mécanique (viscosiés e dilaabilié consanes voire nulles. En mécanique des solides, les variables d éa des solides déformables coniennen oujours la empéraure e un enseur de déformaion, mais aussi souven des direcions d anisoropie e parfois aussi des variables d éa mnésiques qui résumen l hisoire de la paricule. Les modèles de comporemen des solides déformables son donc beaucoup plus divers qu en mécanique des fluides (élasicié, viscoélasicié, plasicié, endommagemen, faigue, ec.. On cherche le mouvemen inconnu d un domaine maériel (le solide déformable. Ce mouvemen es plus commodémen décri par la méhode de Lagrange (4 car la forme acuelle du domaine maériel es a priori inconnue (5. On cherche donc la descripion de Lagrange du champ des posiions acuelles (ou du champ des déplacemens acuels e des champs acuels des variables d éa. Les difficulés de la mécanique des solides résiden aussi esseniellemen dans la complexié de l équaion de la mécanique, esseniellemen dûe à la complexié de la loi de comporemen. Les insabiliés des soluions exisen aussi, mais de manière moins cruciale qu en mécanique des fluides. Les simplificaions couranes son la recherche de soluions en équilibre mécanique (pas d accéléraions, l élasicié (pas de dissipaion inrinsèque, l isohermie (pas de dissipaion hermique e les peies déformaions. En acousique, on éudie la propagaion des sons dans les milieux maériels. Son champ d invesigaion concerne donc à la fois les fluides e les solides. Les sons éan de peies perurbaions de conraines auour d un éa moyen, la modélisaion du comporemen des fluides e des solides auour de l éa moyen es le plus souven linéarisée. Le souhai de l aueur es que ce cours ainsi que celui de cinémaique des milieux coninus, au delà des résulas généraux qui y son exposés, favorise la communicaion enre les praiciens de ces rois applicaions de la mécanique des milieux coninus. (3 L equaion de mouvemen des fluides newoniens prend le nom d équaion de Navier-Sokes. (4 On rappelle que les deux descripions du mouvemen son équivalenes. (5 Conrairemen aux domaines géomériques uilisés en mécanique des fluides don la forme es connue a priori.

97 A Démonsraions A.1 Lemme fondamenal pour les inégrales de volume Soi g(m un champ scalaire défini dans E 3 e soi un domaine D E 3. Il fau monrer que : D g(m dv = 0 M, g(m = 0 D L implicaion g(m = 0 D g(m dv = 0 es riviale. Il suffi donc de monrer l implicaion inverse. On représene les poins M D par un veceur x. Pour définir des domaines D arbiraires, on considère un domaine fixe D 0 arbiraire don les poins courans son x 0 e une applicaion f arbiaire mais différeniable elle que : x = f (x 0 Avec une foncion f arbiraire, on génère ous les domaines D. Par changemen de variable, on ramène l inégrale sur D à une inégrale sur D 0 : g(x dv = g( f (x 0 K v (x 0 dv 0 D D 0 où K v = dv dv 0 = degrad f > 0 (analogie avec la cinémaique, la foncion arbiraire f éan comparable à la descripion de Lagrange f d un mouvemen réel. On a donc : D, g(m dv = 0 D K v (x 0 > 0, g( f (x 0 K v (x 0 dv 0 = 0 D 0 On démonre en analyse foncionnelle que l ensemble des foncions définies sur D 0 e de carré inégrable sur D 0, noé L 2 D 0, es un espace vecoriel de Hilber, de dimension infinie, sur lequel on peu définir un produi scalaire : f 1, f 2 = f 1 (x 0 f 2 (x 0 dv 0 D 0 L inégrale D 0 g( f (x 0 K v (x 0 dv 0 es donc le produi scalaire des deux foncions h = g f e K v apparenan à L 2 D 0 : g( f (x 0 K D 0 }{{} v (x 0 dv 0 = h,k v h(x 0 où h = g f

98 98 Annexe A. Démonsraions Si un veceur h de L 2 D 0 es orhogonal à ou veceur de ce espace, alors ce veceur es nul. La foncion f éan arbiraire, la foncion K v = de grad f l es aussi. On en dédui : K v > 0, h,k v = 0 h = 0 g f = 0 f g = 0 On généralise sans difficulé aux champs vecoriels ou ensoriels : il suffi d appliquer le résula précéden aux composanes du champ dans une base. On a donc : D, D Ψ(M dv = 0 M, Ψ(M = 0 A.2 Démonsraion de l «hypohèse de Cauchy» Considérons un sous-domaine D 1 inclus dans un domaine de milieu coninu el que ceux qui son définis dans la secion 3.3 [p. 29] pour définir les conraines [déf. 3.9 p. 29]. Soi P une paricule de sa fronière D 1, soi P le plan angen en P à la fronière D 1 e soi n la normale exérieure en P au sous-domaine D 1. Hypohèse A.1 Régularié minimale de la fronière. On suppose qu à la paricule P de la fronière D 1, la courbure gaussienne de la fronière es finie. Rappels de géomérie des surfaces En ou poin d une surface, il exise deux plans normaux (c es-à-dire conenan le veceur normal n els que l inersecion de ces plans avec la surface son des courbes de courbure minimale e maximale. On noe 1 R 1 > 1 R 2 ces deux courbures normales principales. La courbure gaussienne es le produi de ces deux courbures. Quand la courbure gaussienne es posiive, la surface es localemen siuée d un seul côé du plan angen (poin di ellipique ; quand la courbure gaussienne es négaive, la surface es localemen siuée des deux côés du plan angen (poin di hyperbolique (1. Lorsque la courbure gaussienne es nulle, l une ou les deux courbures principales son nulles. Auremen di, on suppose qu en P, la fronière n es pas «anguleuse». Dans ces condiions, on peu oujours enfermer localemen la surface D 1 enre deux paraboloïdes de révoluion P + e P d axe n e de courbure au somme 1 1 R max( R 1, 1 R 2 [fig. A.1 p. 99] don les équaions dans un sysème de coordonnées cylindriques d axe n son : z = ± r2 2R où M es un poin couran, z = PM n e r = PM zn 0 On considère un cylindre C d axe n e de rayon r. Ce cylindre déermine un domaine V de volume V enre le plan P e la fronière D 1 (en gris sur la figure A.1 [p. 99] e un aure domaine V de volume V enre les deux paraboloïdes de révoluion P + e P [fig. A.1 p. 99]. Par consrucion, on a oujours : r r V > V où V = 2 2π r z dr = 2 2π r r2 π r4 dr = 0 0 2R 2R (1 La surface a localemen la forme d une selle de cheval. Les dénominaions ellipiques e hyperboliques proviennen de l allure de l inersecion de la surface avec un plan parallèle e proche du plan angen.

99 A.2 Démonsraion de l «hypohèse de Cauchy» 99 P + P + n n D 1 S L S 1 S 1 S 0 S 0 SL D 1 P S L S L S 1 S 0 S 1 S 0 P r r P P Courbure gaussienne posiive de D 1 Courbure gaussienne négaive de D 1 FIGURE A.1 Coupes par un plan normal en P de la fronière D 1 e de son plan angen On noe c le champ de conraine [déf. 3.9 p. 29] sur la fronière V e on applique le héorème de la résulane dynamique [h. 3.4 p. 26] au domaine V : ρ E γ E dv = f v E dv + c E ds V V V = f v E dv + c E ds + c E ds + c E ds (A.1 V S 0 S 1 S L où : S 0 P, S 1 D 1 e S L C [fig. A.1]. On défini les valeurs moyennes de ces inégrales : f = 1 V (ρ E γ E f v Edv ; c 0 = 1 S 0 L équaion (A.1 s écri alors : f V = c 0 S 0 + c 1 S 1 + c L S L où V < V = π r4 2R On a donc : c 0 + c 1 S 1 S 0 = f V c L S }{{} 0 < r2 2R S L S 0 }{{} < 2r R S 0 c E ds ; c 1 = 1 S 1 ( car S 0 = π r 2 S 0 c E ds ; c L = 1 S L ; S 0 = πr 2 ; S L < 4π r z = S 0 c E ds 2π r3 R Lorsque r 0, les faceurs posiifs V S 0 e S L S 0 des veceurs f e c L enden vers 0 car ils son inférieurs à des quaniés qui enden vers 0, la conraine moyenne c 0 sur S 0 end vers la conraine en P c 0 (P, la conraine moyenne c 1 sur S 1 D 1 end vers la conraine en P c 1 (P e le rappor S 1 S 0 end vers 1. On a donc : ( S 1 S 1 0 = lim c 0 + lim c 1 = c 0 + c 1 lim = c 0 + c 1 r 0 r 0 S 0 r 0 S 0

100 100 Annexe A. Démonsraions Ainsi, la conraine c 1 en P s exerçan sur la fronière D 1 es opposée à la conraine c 0 s exerçan en P sur la fronière S 0 du domaine V. Tous les sous-domaines D 1 don la fronière D 1 conien P e qui on le même plan angen P on donc la même conraine c 1 = c 0. Remarques La démonsraion précédene ne fourni pas la valeur de la conraine c 1. Par ailleurs, le résula précéden es valable quelle que soi la plus grande courbure max( 1 R 2 <, c es-à-dire aussi grande que l on veu. On pourrai conjecurer qu il es possible de prolonger le résula pour une courbure gaussienne infinie (le poin P es sur une arêe ou un somme de la fronière D 1. R 1, 1 A.3 Exisence du champ ensoriel des conraines de Cauchy Considérons un sous-domaine maériel don la posiion acuelle es le éraédre T D m, défini par les paricules sommes P 0, P 1, P 2 e P 3, e don les faces planes P 0 P 2 P 3, P 0 P 3 P 1 e P 0 P 1 P 2 son orhogonales. Les normales uniaires son noées respecivemen n 1, n 2 e n 3, elles formen un rièdre orhonormé. On noe n la normale uniaire à la face inclinée P 1 P 2 P 3 (non dessinée sur la figure. n 2 P 1 P k1 n 3 P k3 P 0 P k2 P 2 P 3 n 1 FIGURE A.2 Un sous-domaine maériel acuellemen éraédrique T D m On noe S i les aires des faces. La géomérie de ce éraèdre perme d écrire : S i S 0 = n n i i [1,2,3] (A.2 Comme pour ou domaine maériel, les effors exérieurs [secion 3.2 p. 27] qui s appliquen sur le sous-domaine maériel éraédrique T son : 1. un champ de forces massiques à disance f m T (graviaion, forces d inerie, cohésion, ec. agissan sur les paricules du sous domaine éraédrique, 2. un champ de conraines sur chaque face de la fronière : c i sur la face S i. Le héorème de la résulane dynamique [éq. (3.1.2 p. 26] appliqué au domaine maériel T s écri : T ( γe f m T E ρe dv = 3 i=0 S i c ie ds On défini les valeurs moyennes de chacune de ces inégrales : f = 1 V T T ρ E (γ E f m T E dv ; c i = 1 S i S i c ie ds, i [0,1,2,3]

101 A.3 Exisence du champ ensoriel des conraines de Cauchy 101 Le héorème de la résulane dynamique sur le domaine maériel T s écri donc encore : f V T = c 0 S i=1 c i S i On défini mainenan d aures sous-domaines maériels acuels T k par homohéhie de cenre P 0 e de rappor k appliquée au éraèdre T. Les éraèdres T k obenus on le même somme P 0, les aures éan P 1k, P 2k e P 3k [fig. A.2 p. 100]. Dans cee homohéie, les aires son mulipliées par k 2 e les volumes par k 3. Les faces de T k son parallèles à celles de T e leurs normales uniaires n i son donc invarianes dans l homohéie. Le héorème de la résulane dynamique appliqué aux sous-domaines T k s écri comme précédemmen : f k V Tk = c 0k S 0k + 3 i=1 c ik S ik où, comme précédemmen, f k = 1 ρ E (γ E f m T E V dv ; c ik = 1 c ik E ds Tk T k S ik S ik Compe enu de l homohéhie, V Tk = k 3 V T e S ik = k 2 S i. Il vien : f k k 3 V T = c 0k k 2 S i=1 c ik k 2 S i f k kv T = c 0k S 0 + En faisan endre le rappor d homohéie k vers 0, on obien (2 : 0 = S 0 lim c 0k + k 0 3 i=1 S i lim k 0 c ik Dans cee limie, les valeurs des conraines moyennes sur chacune des faces enden (par définiion de la conraine respecivemen vers les conraines en P 0 pour les direcions de ces faces don les normales son de direcion consane : lim c ik = c(p 0,n i,, i [0,1,2,3] k 0 Le passage à la limie condui donc à : 0 = S 0 c(p 0,n, + 3 i=1 S i c(p 0,n i, La conraine en la paricule P 0 pour la facee de normale n es donc : 3 S i }{{} σ(p 0,n 1,n 2,n 3, 3 3 i=1 c ik S i c(p 0,n, = c(p 0,n i, = c(p 0,n i,(n i n [éq. (A.2 p. 100] i=1 S 0 i=1 ( 3 = c(p0,n i, n i n (algèbre ensorielle i=1( (2 Il es remarquable de consaer que dans le passage à la limie, les inégrales de volume (les forces à disance e les accéléraions disparaissen.

102 102 Annexe A. Démonsraions Pour oue direcion n, la conraine acuelle c(p 0,n, es une foncion linéaire de n, car le enseur du second ordre σ(p 0,n 1,n 2,n 3, es indépendan de n. Cependan, le enseur du second ordre σ es encore a priori une foncion des rois direcions uniaires n 1, n 2 e n 3. Pour monrer qu elle en es indépendane, on fai le même raisonnemen avec un aure domaine éraèdrique T, de même somme P 0 don les normales uniaires aux faces son n (idenique au précéden, n 1, n 2 e n 3 (les rois aures direcions orhogonales son différenes. Par passage à la limie, on rouve une aure expression de la conraine acuelle c(p 0,n, : ( 3 c(p 0,n, = i=1 c(p 0,n i, n i }{{} σ(p 0,n 1,n 2 n 3, n On a donc : c(p 0,n, = σ(p 0,n 1,n 2,n 3, n = σ(p 0,n 1,n 2,n 3, n. Cee égalié éan vraie pour oue direcion n, les deux enseurs son égaux : σ(p 0,n 1,n 2,n 3, = σ(p 0,n 1,n 2,n 3, Cee dernière égalié es vraie pour ou ensemble de direcions orhonormées {n 1,n 2,n 3 }. L opéraeur σ n es donc pas foncion du choix des orienaions des faces (n 1,n 2,n 3, e on peu écrire : σ(p 0,n 1,n 2,n 3, = σ(p 0, Il exise donc bien en chaque paricule P 0 d un milieu coninu un enseur du second ordre σ(p 0, el que la conraine acuelle sur une facee maérielle de normale n es donnée par : c(p 0,n, = σ(p 0, n La démonsraion précédene ne prouve que l exisence du champ maériel ensoriel du second ordre appelé enseur des conraines de Cauchy sans préciser sa disribuion dans l espace ni son évoluion dans le emps. Remarque Conrairemen à ce qui es parfois affirmé, pour prouver l exisence du champ de enseurs des conraines dans un milieu coninu, il n es pas nécessaire de négliger les accéléraions e les forces de volume exérieures à disance agissan sur les éraèdres (auograviaion, ineries, cohésion, ec. qui son inérieures au domaine D conenan le éraèdre : elles disparaissen dans le passage à la limie. A.4 Exisence du champ vecoriel couran de chaleur Pour analyser la conducion de la chaleur à l inérieur d un milieu coninu, on procède de la même manière que pour l analyse des effors inérieurs. On considère un domaine maériel D m don la posiion acuelle es m. La puissance calorifique surfacique exérieure acuelle reçue à sa fronière es un champ scalaire noé q s (P, (W.m 2 défini sur la fronière m. Pour éudier les échanges de chaleur à l inérieur du domaine, on procède comme pour la définiion des effors inérieurs à un milieu coninu [secion 3.3 p. 29] : on considère des sous-domaines D 1 e leurs échanges hermiques avec leur exérieur (D D 1 ex(d, don une parie son des échanges hermiques inérieurs à m.

103 A.4 Exisence du champ vecoriel couran de chaleur 103 Théorème A.2 Tous les sous-domaines D1 don la fronière conien la paricule P e don la normale exérieure n es commune reçoiven la même puissance calorifique surfacique q s. Démonsraion La démonsraion es analogue à celle de l hypohèse de Cauchy [secion A.2 p. 98]. Soi un sous-domaine D 1 e soi une paricule P de sa fronière ; le plan P es le plan angen en la paricule P e n es la normale uniaire exérieure en P à la fronière D 1. On noe P + e P deux paraboloïdes de révoluion de courbure au somme suffisane pour encadrer localemen la fronière D 1 e on noe C un cylindre d axe n e de rayon r [fig. A.1 p. 99]. On applique le principe de la conservaion de l énergie [éq. (4.8 p. 61] au domaine délimié par la fronière D 1, le plan angen P e le cylindre C (domaine grisé sur la figure A.1 [p. 99]. En éudian la limie r 0, on rouve (3 que ous les sous-domaines don la fronière conien la paricule P e don P es le plan angen reçoiven la même puissance calorifique surfacique q s. Il exise donc une foncion f q elle que q s = f q (P,n, où P es une paricule e n es la normale acuelle à une facee maérielle. Théorème A.3 Exisence du couran de chaleur. Dans ou milieu coninu, il exise un champ vecoriel q(p, el que la puissance calorifique surfacique reçue par une facee maérielle en une paricule P e de normale acuelle n es donnée par : q s (P,n, = q(p, n Démonsraion Pour démonrer ce héorème, on applique le principe de la conservaion de l énergie [éq. (4.8 p. 61] au sous-domaine maériel éraédrique uilisé dans la démonsraion d exisence du enseur des conraines de Cauchy [fig. A.2 p. 100] : ė m E dm = σ E : D E dv + r v 3 ex E dv q se ds T T T S i i=0 On défini ensuie les valeurs moyennes des inégrales suivanes : I v = 1 ( ρe ė m E σ E : D E r v ex E dv ; I i = 1 q se ds V T T S i S i où V T es le volume du éraèdre T e S i l aire des faces. Le principe de la conservaion de l énergie s écri alors : V T I v + 3 i=0 S i I i = 0 Ce même principe de la conservaion de l énergie appliqué à des éraèdres T k homohéiques de T de cenre P 0 e de rappor k s écri : k 3 V T I vk + k 2 3 i=0 S i I ik = 0 kv T I vk + 3 i=0 S i I ik = 0 où I vk e I ik son les valeurs moyennes des inégrales de volume e de surface sur le éraèdre T k. Lorsqu on fai endre k vers 0, les normales n i son de direcion consane e il rese : où : S 0 q s0 = q s0 = 3 i=1 3 i=1 S i q si S i S 0 q si = 1 q si = lim I ik = lim q si ( ds k 0 k 0 S ik S k 3 q si n i n = q(p 0, n 1, n 2, n 3 n [éq. (A.2 p. 100] i=1 (3 Les inégrales de volume e l inégrale sur la surface laérale S L disparaissen dans le passage à la limie.

104 104 Annexe A. Démonsraions ce qui es la définiion de la puissance calorifique surfacique raversan la facee maérielle en P 0 de normale acuelle n i. On en dédui que pour oue facee maérielle de normale acuelle n, la puissance calorifique surfacique acuelle enran par cee facee es une foncion linéaire de la direcion n : q s0 ( = q(p 0, n 1, n 2, n 3, n On ermine la démonsraion de la même manière que dans la secion précédene : on considère les aures éraèdres, de même somme P 0, de même normale n mais don les aures normales orhogonales son différenes : n 1, n 2 e n 3. En refaisan le calcul précéden, on en dédui que : q s0 ( = q(p 0, n 1, n 2, n 3, n = q(p 0, n 1, n 2, n 3, n n 1 n 2 n 3 orhogonales. Le champ q ne dépend donc pas des direcions n 1, n 2 e n 3 : q s0 ( = q(p 0, n Cee démonsraion ne prouve que l exisence du champ maériel vecoriel couran de chaleur sans préciser sa disribuion dans l espace ni son évoluion dans le emps.