Formulaire des fonctions usuelles

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1 Université d Orléans Formulaire des fonctions usuelles Licence 1 de Mathématiques Groupe 2 Baptiste Morelle 29/09/2008 Page 1 sur 28

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3 Table des matières Fonctions particulières... 4 Fonction valeur absolue... 4 Fonction partie entière... 5 Fonction partie fractionnaire... 6 Fonctions polynômes et racines... 7 Fonction constante... 7 Fonction linéaire... 8 Fonction affine... 9 Fonction carrée Fonction racine carrée Fonction cube Fonction racine cubique Fonction polynôme du second degré Fonction inverse Fonctions trigonométriques Fonction cosinus Fonction arc cosinus Fonction sinus Fonction arc sinus Fonction tangente Fonction arc tangente Fonctions logarithmes et exponentielles Fonction logarithme népérien Fonction exponentielle de base e Fonction exponentielle de base a Fonctions puissances Page 3 sur 28

4 Fonctions particulières Fonction valeur absolue Définition : La fonction valeur absolue de x, notée x, est définie sur par : x est strictement décroissante sur ]- ;0], et strictement croissante sur [0 ;+ [ x est une fonction positive x est paire Tout nombre réel strictement positif admet deux antécédents par cette fonction Un nombre strictement négatif n admet pas d antécédent par cette fonction 0 = 0 Page 4 sur 28

5 Fonctions particulières Fonction partie entière Définition : La partie entière du réel x, notée E(x), est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x. La fonction partie entière est discontinue en tout p de Page 5 sur 28

6 Fonctions particulières Fonction partie fractionnaire Définition : La fonction partie fractionnaire du réel x, notée {x}, est définie par la relation : {x} = x E(x). La fonction partie fractionnaire est discontinue en tout p de {x} est 1-périodique Page 6 sur 28

7 Fonctions polynômes et racines Définition : La fonction constante est la fonction qui à tout réel x, associe le réel C. Fonction constante La fonction constante est paire C est le seul réel admettant des antécédents par la fonction constante, est l ensemble des antécédents de C Dérivée : f (x) = 0 Primitive : F(x) = Cx Page 7 sur 28

8 Fonctions polynômes et racines Fonction linéaire Définition : La fonction linéaire est la fonction qui à tout réel x associe le réel ax, où a est un coefficient réel. La fonction linéaire est monotone (croissante si a est positif et décroissante si a est négatif) La fonction linéaire est impaire Si a 0, tout réel admet un unique antécédent par f Dérivée : la fonction constante a. Primitive : Page 8 sur 28

9 Fonctions polynômes et racines Fonction affine Définition : La fonction affine associe à tout réel x, le réel ax+b, où a est le coefficient directeur, et b l ordonnée à l origine. Si a est nul, alors f est constante Si b est nul, alors f est une fonction linéaire Le coefficient directeur est égal à la pente : où Dérivée : la fonction constante a. Primitive : Page 9 sur 28

10 Fonctions polynômes et racines Fonction carrée Définition : La fonction carrée est la fonction qui à tout réel x, associe le réel noté x², soit x multiplié par lui-même. La fonction carrée est strictement décroissante sur et strictement croissante sur x² est positive x² est paire Tout nombre réel strictement positif admet deux antécédents par cette fonction Un nombre strictement négatif n admet pas d antécédent par cette fonction Dérivée : Primitive : Page 10 sur 28

11 Fonctions polynômes et racines Fonction racine carrée Définition : La fonction racine carrée, notée, associe à tout réel x positif, le nombre dont le carré vaut x. Son domaine de définition est :. La fonction racine carrée est strictement croissante sur La fonction racine carrée est positive La fonction racine carrée n est ni paire, ni impaire Tout nombre réel strictement positif admet un unique antécédent par f : son carré Dérivée : Primitive : est définie sur Page 11 sur 28

12 Fonctions polynômes et racines Fonction cube Définition : La fonction cube est la fonction définie par la relation : définition est.. Son domaine de La fonction est strictement croissante sur La fonction est impaire La fonction est bijective de Dérivée : Primitive : Page 12 sur 28

13 Fonctions polynômes et racines Fonction racine cubique Définition : La fonction racine cubique, notée vaut x. Son domaine de définition est., associe à tout réel x, le nombre dont le cube La fonction racine cubique est strictement croissante sur La fonction racine cubique est impaire La fonction racine cubique est bijective de Dérivée : Primitive : Page 13 sur 28

14 Fonctions polynômes et racines Fonction polynôme du second degré Définition : La fonction polynôme du second degré est définie par : où a, b et c sont des constantes réelles. (On suppose en général Forme canonique : o On appelle forme canonique de f, l expression : Discriminant : o Le discriminant de f est : Racines : o Si est positif, alors f admet deux zéros donnés par : o Si est négatif, alors f ne s annule jamais sur. f possède deux zéros complexes : o Si est nul, alors f possède un zéro double Signe : Le signe du trinôme coïncide avec celui de a, sauf entre ses racines. Sens de variation : Si, alors f est décroissante sur et croissante sur. Si, alors f est croissante sur et décroissante sur. Dérivée : Primitive : Page 14 sur 28

15 Fonctions polynômes et racines Fonction polynôme du second degré La courbe représentative d un polynôme du second degré est une parabole de sommet : qui admet pour axe de symétrie la droite d équation. Page 15 sur 28

16 Fonctions polynômes et racines Fonction inverse Définition : La fonction inverse est la fonction pour tout réel. f est une fonction strictement décroissante sur et sur f est impaire La fonction inverse n admet, ni zéro, ni maximum, ni minimum Limites : Dérivée : Primitive : Page 16 sur 28

17 Fonctions trigonométriques Quelques définitions Mise-en-place : On se place dans le repère orthonormé. Soit le cercle trigonométrique de centre O, et de rayon 1. A tout réel x, on associe un unique point M de tel que la mesure de soit égale à x. Page 17 sur 28

18 Fonctions trigonométriques Fonction cosinus Définition : On appelle fonction cosinus, notée cos(x), la fonction qui à tout réel x associe l abscisse du point M dans le repère orthonormé. Son domaine de définition est. La fonction cosinus est -Périodique La fonction cosinus est paire La fonction cosinus est croissante sur et décroissante sur La fonction cosinus est positive sur et négative sur La fonction cosinus est bijective de Dérivée : Primitive : Page 18 sur 28

19 Fonctions trigonométriques Fonction arc cosinus Définition : La fonction arc cosinus, notée arccos(y), est la fonction réciproque de la fonction cos : Si et, on a :. La fonction arc cosinus est strictement décroissante sur La fonction arc cosinus est positive sur Dérivée : pour tout Page 19 sur 28

20 Fonctions trigonométriques Fonction sinus Définition : On appelle fonction sinus, notée sin(x), la fonction qui à tout réel x associe l ordonnée du point M dans le repère orthonormé. Son domaine de définition est. La fonction sinus est -Périodique La fonction sinus est impaire La fonction sinus est croissante sur et décroissante sur La fonction sinus est négative sur et positive sur La fonction sinus est bijective de Dérivée : Primitive : Page 20 sur 28

21 Fonctions trigonométriques Fonction arc sinus Définition : La fonction arc sinus, notée arcsin(y), est la fonction réciproque de la fonction sin : Si et, on a :. La fonction arc sinus est strictement croissante sur La fonction arc sinus est négative sur et positive sur Dérivée : pour tout Page 21 sur 28

22 Fonctions trigonométriques Fonction tangente Définition : On appelle fonction tangente, notée tan(x), la fonction définie sur. La fonction tangente est -Périodique La fonction tangente est impaire La fonction tangente est strictement croissante sur La fonction tangente est négative sur et positive sur La fonction tangente est bijective de Dérivée : ou Page 22 sur 28

23 Fonctions trigonométriques Fonction arc tangente Définition : La fonction arc tangente, notée arctan(y), est la fonction réciproque de la fonction tan : Si et, on a :. La fonction arc tangente est strictement croissante sur La fonction arc tangente est négative sur et positive sur Dérivée : pour tout Page 23 sur 28

24 Fonctions logarithmes et exponentielles Fonction logarithme népérien Définition : La fonction logarithme népérien, notée ln(x), est la fonction définie sur la dérivée est égale à., dont La fonction logarithme népérien est strictement croissante sur On a : ln(x) est négative sur et positive sur La fonction réciproque de ln est l exponentielle, avec et Limites : et Primitive : Page 24 sur 28

25 Fonctions logarithmes et exponentielles Fonction exponentielle de base e Définition : Il existe une unique fonction f, dérivable sur, telle que et. Cette fonction est appelée fonction exponentielle et est notée. exp(x) est strictement croissante sur exp(x) est strictement positive sur On a : et Limites : et Dérivée : Primitive : Page 25 sur 28

26 Fonctions logarithmes et exponentielles Fonction exponentielle de base a Définition : La fonction exponentielle de base a, notée, est la fonction définie sur par la relation, où. Si, alors f est strictement décroissante sur Si, alors f est constante Si, alors f est strictement croissante sur f est positive sur Comportements asymptotiques : Si, alors et Dérivée : Si, alors et Primitive : Graphes : Page 26 sur 28

27 Fonctions logarithmes et exponentielles Fonctions puissances Définition : La fonction puissance, notée, est la fonction définie par. Si, son domaine de définition est. Si, son domaine de définition est. Si : o Si a est pair, alors est paire, strictement décroissante sur, strictement croissante sur et positive sur o Si a est impair, alors est impaire, strictement croissante sur et négative sur, positive sur Si : o Si a est pair, alors est paire, strictement croissante sur, strictement décroissante sur et positive sur o Si a est impair, alors est impaire, strictement décroissante sur et négative sur, positive sur Comportements asymptotiques : Si : o Si a est pair, alors et o Si a est impair, alors et Si : o Si a est pair, alors,, et o Si a est impair, alors,, et Si : Si : Dérivée : Dérivée : Primitive : Primitive : Page 27 sur 28

28 Fonctions logarithmes et exponentielles Graphes : Si : Fonctions puissances Si : Page 28 sur 28