ISET Jerba wwww.isetjb.rnu.tn Département Génie Électrique. Cours d algèbre2. Haj Dahmane DHAFER

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1 ISET Jerba wwwwisetjbrnutn Département Génie Électrique Cours d algèbre2 Haj Dahmane DHAFER 19 février 2015

2 Chapitre I Généralités sur les matrices Sommaire I Définitions et notations 1 II Opérations sur les matrices 4 II1 Somme de deux matrices 4 II2 Multiplication d une matrice par un scalaire 9 II3 Produit de deux matrices 13 III Transposée d une matrice 25 IV Série d exercices 28 Dans tout ce chapitre, n et p sont des entiers naturels non nuls et K désigne l ensemble R des réels ou l ensemble C des nombres complexes I Définitions et notations Définition 1 Une matrice de dimension n, p est un tableau rectangulaire de nombres comportant n lignes et p colonnes Ces nombres sont appelés coefficients de la matrice Lorsque n p, on dit que la matrice et une matrice carrée d ordre n Remarque Une matrice sera représentée par une lettre majuscule, la même lettre en miniscule sera utilisée pour désigner les coefficients de cette matrice Exemple 1 Si A est une matrice de n lignes et p colonnes alors pour tout 1 i, j n on désigne par a ij la même lettre en miniscule l élément de la i ième ligne et j ième colonne de A Notations :

3 I Définitions et notations 2 1 L ensemble des matrices de dimension n, p à coefficient dans K est noté M n,p K 2 L ensemble des matrices carrées d ordre n est noté M n K Exemple 2 1 Soit M π M est une matrice de 3 lignes et 2 colonnes à coefficients réels donc M est un élément de M 3,2 R M est une matrice de 3 lignes et 2 colonnes alors on dit que M est une matrice de dimension 3, 2 m 12 est l élément de la 1 ère ligne et 2 ième colonne de M donc m 12 2 m 21 est l élément de la 2 ième ligne et 1 ière colonne de M alors m m 32 est l élément de la 3 ième ligne et 2 ième colonne de M d où m M est une matrice de 3 lignes et de 2 colonnes donc M 23 n existe pas i Soient A et N 0 2 6i A est une matrice carrée d ordre 2 à coefficients complexes alors A M 2 C a i, a , a 21 0 et a i N est une matrice carrée d ordre 3 3 Soit B B est une matrice d une seule ligne et 4 colonnes On dit que B est une matrice ligne ou "vecteur ligne" B est de dimension 1, 4 et ses coefficients sont réels donc B M 1,4 R 1 4 Soit C 2 + 5i C est une matrice de 2 lignes et 1 colonne C M 2,1 C On dit que C est une matrice colonne ou "vecteur colonne" C est une matrice de dimension 2, 1 Remarques Toute matrice A de n lignes et p colonnes s écrit

4 I Définitions et notations 3 A a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a ij a n1 a n2 a np Pour i, j indices "génériques", on appelle a ij le terme général de A et on note A a ij 1 i n 1 j n Le premier indice désigne, toujours, le numéro de la ligne et le second celui de la colonne S il y a un risque de confondre les numéros, on les sépare par un "," et on écrit a i,j au lieu de a ij On écrit, par exemple a 3,12 et non pas a 312 Définition 2 Deux matrices A et B sont égales si i elles ont la même dimension n, p ii a ij b ij pour tout 1 i n et pour tout 1 j p On note dans ce cas A B Exemple 3 1 Soient A π 6 5 a b c et B d e f a 1 b 0 c 24 A B d 5 e π f Soient M et B A et B n ont pas la même dimension donc A B

5 II Opérations sur les matrices 4 II II1 Opérations sur les matrices Somme de deux matrices Définition 3 Soient A et B deux matrices de même dimension n, p On appelle matrice somme de A et B, et on note A + B, la matrice C de M n,p K qui vérifie c i,j a ij + b ij ; 1 i n et 1 j p A a ij 1 i n 1 j p B b ij 1 i n 1 j p A + B a ij + b ij 1 i n 1 j p Exemple Soient A et B 2 1 A + B M et N M + N E et F E et F n ont pas la même dimension donc E + F n est pas définie ie la matrice somme E + F n existe pas Attention : L addition de deux matrices n est possible qu à condition que les deux matrices appartiennent toutes deux au même ensemble Sinon, la somme n existe pas!

6 II Opérations sur les matrices 5 Définition 4 On appelle matrice nulle de M n,p K l élément de M n,p K dont tous les coefficients sont nuls Remarque La matrice nulle sera représentée par 0 et on doit distinguer, à partir des expressions, entre la matrice nulle et le nombre zéro Exemple La matrice nulle de M 2 K est La matrice nulle de M 2,3 K est p colonnes { }} { La matrice nulle de M n,p K est 0 n lignes 0 0 Définition 5 Soit A M n,p K On appelle matrice opposée de A la matrice A a ij 1 i n 1 j p Exemple 6 a b Soit A c d a b A c d Propriétés Soient A, B et C trois matrices de M n,p K 1 A + B M n,p K 2 A + B + C A + B + C l addition dans l ensemble M n,p K est associative 3 A + B B + A l addition dans l ensemble M n,p K est commutative 4 A + A A + A 0 ici 0 matrice nulle 5 A A A La matrice nulle est un élément neutre de l addition dans M n,p K On démontre que 0 est l unique élément neutre de l addition dans M n K Preuve A, B et C sont trois matrices de M n,p K donc elles peuvent être représenter de la façon

7 II Opérations sur les matrices 6 suivante : a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p A, B b 11 b 12 b 1p b 21 b 22 b 2p et C c 11 c 12 c 1p c 21 c 22 c 2p a n1 a n2 a np b n1 b n2 b np c n1 c n2 c np 1 Par définition même 2 Soit M A + B + C et N A + B + C D après 1 on a M, N M n,p K donc M et N ont la même dimension De plus a 11 a 12 a 1p b 11 b 12 b 1p a 21 a 22 a 2p b 21 b 22 b 2p A + B + C + a n1 a n2 a np b n1 b n2 b np c 11 c 12 c 1p c 21 c 22 c 2p + c n1 c n2 c np a 11 + b 11 + c 11 a 12 + b 12 + c 12 a 1p + b 1p + c 1p a 21 + b 21 + c 21 a 22 + b 22 + c 22 a 2n + b 2n + c 2p a n1 + b n1 + c n1 a n2 + b n2 + c n2 a np + b np + c np a 11 a 12 a 1p b 11 b 12 b 1p a 21 a 22 a 2p b 21 b 22 b 2p + a n1 a n2 a np b n1 b n2 b np c 11 c 12 c 1p c 21 c 22 c 2p + c n1 c n2 c np A + B + C autrement on peut écrire :

8 II Opérations sur les matrices 7 1 i n et 1 j p on a : m ij a ij + b ij + c ij a ij + b ij + c ij car l addition dans K est associative n ij Par conséquent, M N 3 Soit E A + B et F B + A Il est claire que E et F ont la même dimension 1 i n et 1 j p e ij a ij + b ij b ij + a ij car l addition dans K est commutative f ij d où E F autrement on peut écrire : a 11 a 12 a 1p b 11 b 12 b 1p a 21 a 22 a 2p b 21 b 22 b 2p A + B + a n1 a n2 a np b n1 b n2 b np a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1p + b 1p a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n a n1 + b n1 a n2 + b n2 a np + b np b 11 b 12 b 1p a 11 a 12 a 1p b 21 b 22 b 2p a 21 a 22 a 2p + b n1 b n2 b np a n1 a n2 a np B + A 4 Soit P A + A 1 i n et 1 j p on a : p ij a ij + a ij 0 donc P est la matrice nulle De même on démontre que A + A 0

9 II Opérations sur les matrices 8 autrement on peut écrire : A + A a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p + a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np a n1 a n2 a np a 11 a 11 a 12 a 12 a 1p a 1p a 21 a 21 a 22 a 22 a 2p a 2p a n1 a n1 a n2 a n2 a np a np Soit Q A i n et 1 j p q ij a ij + 0 a ij donc Q A et de même on démontre que 0 + A A ou autrement : A + 0 a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np A Remarque On définit la soustraction dans l ensemble M n,p K par : A B A + B

10 II Opérations sur les matrices 9 II2 Multiplication d une matrice par un scalaire Définition 6 Soient A M n,p K et λ K On appelle matrice produit de A par λ la matrice B de M n,p K qui vérifie b ij λa ij 1 i n et 1 j p On note cette matrice par λ A ou simplement λa λ K A a ij 1 i n 1 j p λa λa ij 1 i n 1 j p Exemple7 1 2 Soit A A 1 3 A Remarque Le scalaire s écrit toujours à gauche de la matrice Ainsi on écrit 5A mais surtout pas A5! De même on écrit 1 3 A mais jamais A 3 Propriétés Soient deux matrices A et B de M n,p K et deux ombres λ et µ réels ou complexes 1 λa + B λa + λb 2 λ + µa λa + µa 3 λµa λµa 4 1A A 5 0 A 0 0 de K matrice nulle

11 II Opérations sur les matrices 10 Preuve Soient A a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p et B b 11 b 12 b 1p b 21 b 22 b 2p a n1 a n2 a np b n1 b n2 b np 1 a 11 a 12 a 1p b 11 b 12 b 1p a 21 a 22 a 2p b 21 b 22 b 2p λa + B λ + a n1 a n2 a np b n1 b n2 b np a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1p + b 1p a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n λ a n1 + b n1 a n2 + b n2 a np + b np λa 11 + λb 11 λa 12 + λb 12 λa 1p + λb 1p λa 21 + λb 21 λa 22 + λb 22 λa 2n + λb 2n λa n1 + λb n1 λa n2 + λb n2 λa np + λb np λa + λb On peut aussi démontrer cette propriété de la façon suivante : λa + B λa ij + b ij λa ij + λb ij λa + λb

12 II Opérations sur les matrices 11 2 a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p λ + µa λ + µ a n1 a n2 a np λa 11 + µa 11 λa 12 + µa 12 λa 1p + µa 1p λa 21 + µa 21 λa 22 + µa 22 λa 2n + µa 2n λa n1 + µa n1 λa n2 + µa n2 λa np + µa np λa + µa 3 µa 11 µa 12 µa 1p µa 21 µa 22 µa 2p λµa λ µa n1 µa n2 µa np λµa 11 λa 12 λµa 1p λµa 21 λµa 22 λµa 2n λµa n1 λµa n2 λµa np λµa 4 a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p 1A 1 a n1 a n2 a np a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p a n1 a n2 a np A

13 II Opérations sur les matrices 12 5 a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2p 0A 0 a n1 a n2 a np Exercice Soient A et B Calculer 3A 2B 2 Trouver la matrice C tel que 2A + C B Solution : A 2B A + C B C B 2A

14 II Opérations sur les matrices 13 II3 Produit de deux matrices Définition 7 Soient A M n,m K et B M m,p K On appelle produit AB la matrice C de M n,p K qui vérifie c ij Le produit AB se note aussi A B Remarques m a ik b kj 11 k1 1 Dans le calcule de c ij interviennent les coefficients de la i ème ligne de A et les coefficients de la j ème colonne de B ce que l on peut visualiser de la façon suivante : b 11 b 1j b 1m b k1 b kj b km b m1 b mj b mp a 11 a 1k a 1m c 11 c 1p a i1 a ik a im c ij a n1 a nk a nm c n1 c nm c ij a i1 b 1j +a i2 b 2j +a i3 b 3j + +a im b mj 2 La matrice produit AB n est définie que si le nombre de colonnes de A soit égale au nombre de lignes de B Exemple A et B a Soit C AB D après l équation 11 de la définition 7 on a :

15 II Opérations sur les matrices 14 Pour i j 1 2 c 11 a 1k b k1 k1 a 11 b 11 + a 12 b On remarque, a partir de l équation 12, que pour calculer c 11 il suffit de considérer la première ligne de A première matrice et la première colonne de B deuxième matrice 2 3 et 5-7 et de calculer Pour i 1 et j 2 2 c 12 a 1k b k2 k1 a 11 b 12 + a 12 b Donc, à partir de l équation 13 on remarque que pour calculer c 12 il suffit de considérer la première ligne de A première matrice et la deuxième colonne de B deuxième matrice 2 3 et 6 9 et de calculer Pour calculer c 21 on considère la deuxième linge de A et la première colonne de B et -7 c Pour calculer c 22 on considère la deuxième linge de A et la deuxième colonne

16 II Opérations sur les matrices 15 de B -1 4 et 6 9 c Par conséquent AB b Calculons BA! BA Il est bien claire que dans ce cas on a AB BA A et B a A M 2,3 K et B M 3,2 K donc la matrice produit AB existe car le nombre de colonne de A nombre de ligne de B De plus AB M 2,2 K M 2 K AB b B M 3,2 K et A M 2,3 K donc la matrice produit BA existe car B est une matrice de deux colonnes et A est une matrice de deux lignes De plus BA M 3,3 K M 3 K

17 II Opérations sur les matrices 16 BA A et B a A est une matrice de quatre colonnes et B est une matrice de deux lignes donc AB n est pas définie b B M 2,2 K et A M 2,4 K donc la matrice produit BA existe car B est une matrice de deux colonnes et A est une matrice de deux lignes De plus BA M 2,4 K BA si BA existe, AB n existe pas forcément A et B AB Pourtant, A 0 et B 0 on a : AB 0! donc si A et B sont deux matrices qui vérifient AB 0 A 0 où B 0

18 II Opérations sur les matrices 17 Attention : Si A et B sont des matrices alors : 1 On ne peut calculer AB que quand le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B 2 Si AB est définie, BA n est pas toujours définie 3 Si AB et BA sont définies, elled n ont pas en général la même dimension 4 La matrice AB, si elle existe, possède le nombre de lignes de la première matrice ici A et le nombre de colonnes de la deuxième ici B 5 Dans M n K, ensemble des matrices carrées d ordre n, on peut toujours multiplier deux matrices A, B quelconques AB et BA seront encore des matrices carrées d ordre n mais en général AB BA 6 AB 0 n implique pas A 0 ou B 0 Définition 8 Soit A M n K 1 On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si a ij 0 pour tout j > i 2 On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si a ij 0 pour tout j < i 3 On dit que A est une matrice diagonale si a ij 0 pour tout i j Définition 9 Pour A a ij 1 i,j n M n K, on appelle termes diagonaux de A les termes a 11, a 22,, a nn c est à dire a ii avec 1 i n Exemple 9 1 A est une matrice triangulaire inférieure 1, 2 et 11 sont les éléments diagonaux de A B est une matrice triangulaire supérieure

19 II Opérations sur les matrices 18 5, 1, 0 et 7 sont les éléments de la diagonale de B 3 D et C sont deux matrices diagonales 1, 5 sont les éléments de la diagonale de D Les éléments 1, 0 et 4 forment la diagonale de C Remarques On peut aussi donner les définitions suivantes : 1 On dit qu une matrice carrée est diagonale si ses termes non diagonaux sont nuls On dit qu une matrice carrée est triangulaire supérieure si ses termes strictement au-dessous de la diagonale principale sont nuls On dit qu une matrice carrée est triangulaire inférieure si ses termes strictement au-dessus la diagonale principale sont nuls où * représente n importe quel scalaire évidement «*» peut être nul On pose, pour tous 1 i, j n, δ ij Définition 10 { 1 si i j 0 si i j La matrice I n δ ij 1 i n est appelée matrice unité ou matrice identité d ordre n 1 j n

20 II Opérations sur les matrices 19 Exemple 10 1 La matrice unité de d ordre 2 est I 2 2 La matrice identité d ordre 3 est I D une façon plus générale : La matrice unité ou identité d ordre n s écrit I n Exercice Soit A Vérifier que A I 3 I 2 A A Remarque S il n y a pas de risque de confusion, la matrice I n sera notée simplement par I Propriétés 1 Pour toutes matrices A de M n,m K, B de M m,k K et C de M k,p K on a : ABC ABC 2 a Pour toute matrice A M n,p K on a : AI p A b Pour toute matrice A M n,p K on a : I n A A c En particulier si n p on a : AI IA A I est l élément neutre de la multiplication des matrices dans M n K 3 Pour toutes matrices A de M n,m K, B et C de M m,p K on a : AB + C AB + AC

21 II Opérations sur les matrices 20 4 Pour toutes matrices A de M m,p K, B et C de M n,m K on a : B + CA BA + CA 5 Pour toutes matrices A de M n,m K et B de M m,p K et pour tous nombres réels ou complexes α, β on a : αaβb αβab Preuve 1 Il est bien claire que ABC et ABC sont deux matrices de M n,p K Soient α ij l élément de la i ième ligne j ième colonne de ABC et β ij l élément de la i ième ligne j ième colonne de ABC α ij m a il bc lj l1 où bc lj désigne l élément de la l ième ligne j ième colonne de BC or bc lj donc k b lq c qj q1 α ij m a il l1 q1 m l1 q1 k b lq c qj k a il b lq c qj k m a il b lq c qj q1 l1 k ab iq c qj q1 ab iq désigne l élément de la i me ligne q ime colonne de AB β ij

22 II Opérations sur les matrices 21 2 a AI p a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a np a 11 a 12 a 1p a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a np A b Même démonstration que a c Il suffit d appliquer a et b pour n p 3 AB + C et AB + AC sont deux matrices de M n,p K Soient α ij l élément de la i ième ligne j ième colonne de AB + C et β ij l élément de la i ième ligne j ième colonne de AB + AC α ij m a ik b kj + ckj k1 m a ik b kj + a ik ckj k1 m a ik b kj + k1 β ij m a ik ckj k1 4 même démonstration que 3 5 αaβb et αβab sont deux matrices de M n,p K Soient α ij l élément de la i ième ligne j ième colonne de αaβb et β ij l élément de la i ième ligne j ième colonne de αβab m α ij αa ik βb kj k1 αβ β ij m a ik b kj k1

23 II Opérations sur les matrices 22 Attention : Si A, B et C sont des matrices alors : 1 AB + CA AB + C 2 AB + CA B + CA En effet, AB + C AB + AC, comme le produit n est pas commutatif alors AC CA Par conséquent AB + CA AB + C de même B + CA BA + CA AB + CA car AB BA Définition 11 Soit A M n K et p un entier naturel strictement supérieur à 1 On appelle A puissance p où A exposant p la matrice Convention A 1 A Pour toute matrice carrée A Si A 0, A 0 I n Exemple 11 A p A A A }{{} P facteurs Soit A A 0 I A 1 A A 2 AA A 3 A 2 A AA

24 II Opérations sur les matrices Soit B B 0 I B 2 BB Remarque On a déjà remarqué que la multiplication dans l ensemble des matrices carrées d ordre n n est pas une loi commutative, cependant l associativité du produit nous permet de conclure que : A M n K; A 3 AA 2 A 2 A En effet, A 3 A A A comme le produit est aasociatif alors, A A A A A A A A A Il en résulte que A 3 A 2 A A A 2 Définition 12 Soient A et B deux matrices de M n K 1 On dit que les matrices A et B commutent on dit aussi permutent si AB BA 2 On dit que les matrices A et B ne commutent pas ou ne permutent pas si AB BA Exercice I Soient A et B Vérifier que les matrices A et B ne commutent pas 2 Calculer A + B, A B, A 2, AB, B 2, A + B 2, A B 2, A BA + B, A 2 B 2, A 2 + 2AB + B 2 et A 2 2AB + B 2 3 Comparer a A + B 2 et A 2 + 2AB + B 2

25 II Opérations sur les matrices 24 b A B 2 et A 2 2AB + B 2 c A BA + B et A 2 B II Soient A et B Vérifier que les matrices A et B commutent 2 Comparer a A + B 2 et A 2 + 2AB + B 2 b A B 2 et A 2 2AB + B 2 c A BA + B et A 2 B 2 III Expliquer ces résultats Conclusion : A partir de l exercice 3 on peut déduire que pour toutes matrices A, B M n K on a : 1 Si A et B ne commutent pas alors a A + B 2 A 2 + 2AB + B 2 b A B 2 A 2 2AB + B 2 c A BA + B A 2 B 2 2 Si A et B commutent alors a A + B 2 A 2 + 2AB + B 2 b A B 2 A 2 2AB + B 2 c A BA + B A 2 B 2 Attention : On ne peut utiliser les identités remarquables que lorsque les matrices commutent Théorème 1 Binôme de Newton A, B M p K et n N Si A et B commutent alors avec, C k n n! k!n k! A + B n n CnA k n k B k k0

26 III Transposée d une matrice 25 III Transposée d une matrice Définition 13 Soit A M n,p K on appelle matrice transposée de A la matrice B de M p,n K qui vérifie b ij a ji 1 i p et 1 j n La matrice transposée de A est notée t A ou T A Remarques Soit A M n,p K 1 A est une matrice à n lignes et p colonnes t A est une matrice à p lignes et n colonnes 2 Pour tout 1 i n ; la i-ième ligne de A devient la i-ème colonne de t A De même, Pour tout 1 j p ; la j-ième colonne de A devient la j-ème ligne de t A Exemple 12 1 A 2 Soit A i i A M 2,3 R donc t A alors t A 2-i i M 3,2R Propriétés Soient A M n,m K et B M m,p K et soit λ K 1 t A M m,n K 2 t t A A 3 t AB t B t A 4 t A + B t A + t B 5 t λa λ t A Preuve 1 Par définition on a si A M n,m K alors t A M m,pk

27 III Transposée d une matrice 26 2 Soit A a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m alors t A a 11 a 21 a n1 a 12 a 22 a n2 d où a n1 a n2 a nm a 1m a 2m a nm t t A a 11 a 12 a 1m a 21 a 22 a 2m a n1 a n2 a nm A 3 Il est claire que AB M n,p K et que t AB et t B t A sont deux matrices de M p,n K On note : AB α ij 1 i n 1 j p t AB β ij 1 i p 1 j n et t B t A γ ij 1 i p 1 j n AB α ij 1 i n alors 1 j p α ij m a ik b kj k1 t AB β ij 1 i p donc 1 j n m m β ij α ji a jk b ki b ki a jk γ ij k1 k1 d où t AB t B t A Définition 14 Soit une matrice carrée A de M n K 1 On dit que A est une matrice symétrique si t A A 2 dit que A est une matrice antisymétrique si t A A Exemple Soit A t A A donc A est une matrice symétrique Soit B

28 III Transposée d une matrice 27 t B Remarque B donc B est une matrice antisymétrique Soit A M n K Si A est une matrice antisymétrique alors a ii 0 1 i n Exercice 1 Soit A M n,p K 1 Montrer que les produits t A A et A t A sont bien définis 2 Montrer que les matrices t AA et A t A sont des matrices symétriques

29 IV Série d exercices 28 IV Série d exercices Série n 1 Exercice 1 Calculer, si cela est possible, 3A 1 2 B A 1 1 et B i 3 A et B A 5 3i π et B i A 3 π et B Exercice 2 Calculer, si cela est possible, AB et BA A et B A et B A et B i 7 A 1 + i 2 3 et B A 4 A 6 A et B et B et B 1 3i 2 + i 4 2 i i A 2 1 2i et B

30 IV Série d exercices 29 Exercice 3 Calculer, si cela est possible, A 2, AB, BA, t BA et t A t B 1 A et B A et B A et B A et B A 1 + i i 2 i 1 + 2i et B A et B Exercice 4 Soit la matrice A Calculer A 2015 On peut remarquer que A I + 4J ou J Exercice 5 On considère la matrice et A que AB 0? existe-t-il une matrice carrée non nul B tel Exercice 6 Soit A M n R On considère les matrices S A + t A et R A t A 1 Montrer que S est une matrice symétrique 2 Montrer que R est une matrice antisymétrique

31 IV Série d exercices 30 3 Déduire une décomposition de A en une somme d une matrice symétrique et une matrice antisymétrique Exercice 7 a a 1 Soit n N On considère la matrice diagonale A a n a p a p que pour tout p N on a A p a p n 2 Peut-on trouver une matrice carrée non nulle M tel que Montrer a M 2 M b M 2 0

32 Index A p, 22 I n, 18 M n,p K, 2 δ ij, 18 T A, 25 ta, 25 Binôme de Newton, 24 dimension d une matrice, 1 matrice, 1 carrée, 1 opposée, 5 antisymétrique, 26 diagonale, 17 identité, 18 nulle, 5 symétrique, 26 transposée, 25 triangulaire, 17 unité, 18 ordre d une matrice carrée, 1 transposée d une matrice, 25

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