Clamaths.fr - Les Roc en Terminale S

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1 Clmths.fr - Les Roc en Terminle S CONTENTS ROC - exigibles... 2 Roc 1 Théorème de comprison pour les suites... 2 Roc 2 Limite de qn lorsque q > Roc 3 Unicité de l fonction exponentielle... 3 Roc 4 Limites de l fonction exponentielle... 4 Roc 5 Eqution crtésienne d un pln... 5 Roc 6 Orthogonlité d une droite et d un pln... 6 Roc 7 Probbilités - Indépendnce de 2 évènements... 6 Roc 8 Espérnce de l loi exponentielle... 7 Roc 9 Seuil de précision α pour l loi normle centrée réduite... 9 Roc 10 Intervlle de fluctution symptotique Autres démonstrtions citées dns le progrmme Théorème de mjortion d une suite croissnte et convergente Théorème de divergence d une suite croissnte non mjorée Théorème fondmentle du clcul intégrl Toute fonction continue sur un intervlle dmet des primitives Théorème du toit Loi exponentielle - Durée de vie sns vieillissement Sttistiques Intervlle de confince Pge 1 of 13

2 ROC - EXIGIBLES ROC 1 THEOREME DE COMPARAISON POUR LES SUITES Démontrer que si (u n ) et (v n ) sont deux suites telles que : u n est inférieur ou égl à v n à prtir d un certin rng ( n 0 N tel que, n n 0, u n v n ) Et si lim u n = +, Alors : lim v n = + u n est inférieur ou égl à v n à prtir d un certin rng donc il existe un entier n 0 N tel que pour tout n n 0, u n v n. On sit de plus que lim u n = +, donc pour tout réel A, il existe un entier n 1 N tel que pour tout n n 1, u n A Ainsi quel que soit A R, pour tout n mx (n 0, n 1 ), A u n et u n v n donc A v n Donc lim v n = + ROC 2 LIMITE DE q n LORSQUE q > 1 Démontrer que lim q n = + lorsque q > 1 Pré-requis : 1) Inéglité de Bernouilli : (1 + ) n 1 + n 2) Théorème de comprison Soit q > 1, posons q = 1 + où > 0 D près l inéglité de Bernouilli on : q n = (1 + ) n 1 + n Or lim 1 + n = + cr > 0, donc d près le théorème de comprison (ROC 1) : lim q n = + Pge 2 of 13

3 ROC 3 UNICITE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE Démontrer l unicité d une fonction dérivble sur R, égle à s dérivée (f = f ) et qui vut 1 en 0 (f(0) = 1) Série de questions possibles : 1) Montrer que l fonction h(x) = f(x) f( x) est une constnte et que cette constnte est 1 2) Supposez qu il existe 2 fonctions f et g vérifint ces conditions, montrer lors que ces fonctions sont les mêmes en étudint les vritions de φ(x) = f(x) g(x) Soit f une fonction définie telle que f = f et f(0) = 1. Etpe 1 : On montre que l fonction f ne s nnule ps sur R : Notons h(x) = f(x) f( x) h est dérivble en tnt que produit de 2 fonctions dérivbles sur R h (x) = f (x) f( x) + f(x) [ f ( x)] h (x) = f(x) f( x) f(x) f( x) cr f = f D où : h (x) = 0 h est donc une fonction constnte. De plus h(0) = f(0) f(0) = 1 cr f(0) = 1 Pour tout x R on donc h(x) = f(x) f( x) = 1. Le produit de f(x) pr f( x) étnt toujours égl à 1, f(x) 0 pour tout x R. Etpe 2 : Prouvons l unicité Supposons qu il existe f et g telles que : f = f, g = g et f(0) = g(0) = 1 On montré précédemment qu une telle fonction ne s nnule ps, donc on peut définir l fonction φ(x) = f(x) g(x) φ est dérivble en tnt que quotient de 2 fonctions dérivbles sur R vec g 0 : Or f (x) = f(x) et g (x) = g(x) φ (x) = f (x)g(x) f(x)g (x) g 2 (x) Pge 3 of 13

4 D où : φ (x) = 0. L fonction φ est donc constnte, de plus φ(0) = f(0) g(0) = 1. Donc pour tout x R, φ(x) = f(x) g(x) = 1. D où : f = g ROC 4 LIMITES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE Démontrer que lim e x = + et lim e x = 0 x + Principe de l démonstrtion (pour l limite en + ) : On étudie les vritions de l fonction f(x) = e x x fin de montrer qu elle est positive, puis on utilise le théorème de comprison des limites de fonctions. Remrque : Pour l limite en il suffit de se servir du résultt de l limite en + 1 er Série de questions possibles (pour l limite en + ) : 1) Etudier les vritions de f(x) = e x x 2) En déduire le signe de f(x) puis l limite de e x lorsque x + en utilisnt le théorème de comprison 3) En déduire l limite de e x lorsque x 2 ème Série de questions possibles (pour l limite en + ) : 1) Montrer que f(x) x + 1 en étudint les vritions de f(x) = e x x 1 2) En déduire l limite de e x lorsque x + en utilisnt le théorème de comprison 3) En déduire l limite de e x lorsque x Montrons que lim e x = + x + Notons, pour tout x R : f(x) = e x x f est dérivble sur R en tnt que somme de 2 fonctions qui le sont : f (x) = e x 1 e x 1 0 e x 1 e x e 0 x 0 Pge 4 of 13

5 D où : Ainsi pour tout x R, on f(x) 1, donc e x x + 1 Or lim x + 1 = +, donc d près le théorème de comprison : x + lim e x = + x + Montrons que lim e x = 0 lim x = + et Ainsi : lim e x = lim e X = + donc pr composition : lim e x = + X + lim 1 e x = 0 ROC 5 EQUATION CARTESIENNE D UN PLAN Crctériser les droites d un pln de l espce pr une reltion x + by + cz + d = 0 vec, b, c trois nombres réels non tous nuls Théorème : 1) Si n (; b; c) est un vecteur norml à P et A(x A ; y A ; z A ) P, lors P une éqution crtésienne de l forme x + by + cz + d = 0 2) Réciproquement, si, b, c sont trois nombres donnés non tous nul, l ensemble des points M tel que x + by + cz + d = 0 est un pln de vecteur norml n (; b; c) 1) Soit M(x; y; z) un point du pln P, les vecteurs AM et n sont orthogonux donc : AM. n = 0 (x x A ) + (y y A ) b + (z z A ) c = 0 x + by + cz x A by A cz A = 0 Pge 5 of 13

6 En posnt d = x A by A cz A on bien une éqution de l forme : x + by + cz + d = 0 2) Considérons l éqution x + by + cz + d = 0. On peut fcilement trouver un point vérifint l éqution ; schnt qu u moins, b, ou c est différent de 0, si pr exemple 0, le point A( d ; 0; 0) vérifie l éqution. Considérons insi un point B(x 0; y 0 ; z 0 ) vérifint l éqution. On donc : x 0 + by 0 + cz 0 + d = 0 et insi : d = (x 0 + by 0 + cz 0 ) Soit M(x; y; z) un point quelconque vérifint l éqution, on : Où : n (; b; c) x + by + cz + d = 0 x + by + cz (x 0 + by 0 + cz 0 ) = 0 (x x 0 ) + b(y y 0 ) + c(z z 0 ) = 0 BM. n = 0 Ce qui prouve bien que l ensemble des points M pprtient à un pln pssnt pr le point B et de vecteur norml n (; b; c) ROC 6 ORTHOGONALITE D UNE DROITE ET D UN PLAN Démontrer qu une droite Δ est orthogonle à toute droite d un pln (sous-entendu «orthogonle à un pln») si et seulement si elle est orthogonle à deux droites sécntes de ce pln. => : Supposons qu une droite Δ soit orthogonle à un pln P, lors elle est orthogonle à toute droite de P. Donc elle est bien orthogonle à deux droites sécntes de P <= : Supposons mintennt qu une droite Δ soit orthogonle à deux droites sécntes d un pln P. Soit n un vecteur directeur de Δ, ROC 7 PROBABILITES - INDEPENDANCE DE 2 EVENEMENTS Démontrer que si deux événements A et B sont indépendnts, lors il en est de même pour A et B Si A et B sont indépendnts lors p(a B) = p(a) p(b) B et B forment une prtition de l univers, on donc : p(a) = p(a B) + p(a B ) Pge 6 of 13

7 D où : p(a B ) = p(a) p(a B) = p(a) p(a) p(b) = p(a)(1 p(b)) = p(a) p(b ) A et B sont bien indépendnts. ROC 8 ESPERANCE DE LA LOI EXPONENTIELLE Démontrer que l espérnce d une vrible létoire X suivnt une loi exponentielle de prmètre λ est : E(X) = 1 λ Pré-requis : L densité de probbilité de l loi exponentielle de prmètre λ est f(x) = λe λx L espérnce est : E(X) = lim 0 xf(x)dx 1 er Série de Questions possibles : 1) Déterminer les réels et b tels que G(x) = (x + b)e λx soit une primitive de l fonction g(x) = xf(x) 2) Clculer xf(x)dx en fonction de et λ 0 3) En déduire l vleur de l espérnce de X en utilisnt le théorème des croissnces comprées 1) G (x) = e λx + (x + b) ( λe λx ) = e λx λ(x + b)e λx = e λx ( λ(x + b)) = e λx ( λx + bλ) Si G (x) = xf(x) = λxe λx, lors pr identifiction : = 1 λ = λ { bλ = 0 { = 1 1 bλ = 0 { b = 1 λ D où G(x) = ( x 1 λ ) e λx 2) On lors : xf(x)dx 0 = [G(x)] 0 = G() G(0) = ( 1 λ ) e λ ( 0 1 λ ) e λ 0 = ( 1 λ ) e λ + 1 λ Pge 7 of 13

8 3) On : E(X) = lim 0 xf(x)dx E(X) = lim ( 1 λ ) e λ + 1 λ = lim e λ 1 λ e λ + 1 λ λ > 0 donc lim e λ = lim 1 λ ( λ)e λ Or : lim ( λ) = et lim xe x = 0 (théorème des croissnces comprées). Pr composition on donc : lim ( λ)e λ = 0 et donc lim e λ 1 = lim λ ( λ)e λ = 0 On ensuite : lim 1 λ e λ = 0 ( cr lim ( λ) = et lim e x = 0 ) D où pr somme : E(X) = lim e λ 1 λ e λ + 1 λ = 1 λ 2 ème Série de Questions possibles (première prtie de l démo différente et questions 2 et 3 rssemblées en une seule question) : 1) Considérons l fonction g(x) = xf(x). Clculer g et en déduire une primitive de g 2) En déduire l vleur de E(X) 1) g(x) = xf(x) = λxe λx g (x) = λe λx + λx ( λe λx ) = λe λx λ 2 xe λx On constte que : g (x) = λe λx λg(x) λg(x) = λe λx g (x) g(x) = e λx 1 λ g (x) On en déduite donc une primitive G de g : G(x) = e λx λ 1 e λx g(x) = λ λ 1 λ λxe λx Soit : G(x) = e λx λ xe λx = ( x 1 λ ) e λx 2) On : E(X) = lim 0 xf(x)dx Il suffit de clculer xf(x)dx 0 précédente) puis de psser à l limite (voir questions 2 et 3 de l série de questions Pge 8 of 13

9 ROC 9 SEUIL DE PRECISION α POUR LA LOI NORMALE CENTREE REDUITE Démontrer que pour α ] 0,1[, il existe un unique réel positif u α tel que p( u α X u α ) = 1 α lorsque X suit l loi normle N(0,1). Soit α ]0; 1[, cherchons t > 0 tel que : p( t X t) = 1 α p( t X t) = 1 α 2p(X t) 1 = 1 α p(x t) = 1 α 2 Ф(t) = 1 α 2 Ф représente l ire du domine sous courbe, à guche de l droite d éqution y = t. Ф est donc une fonction strictement croissnte et continue sur ]0; + [, vec : lim Ф(t) = 1 et lim Ф(t) = 1 t 0 2 t + Or : 0 < α < 1 0 < α 2 < < α 2 < < 1 α 2 < 1 Ainsi d près le corollire du TVI, l éqution Ф(t) = 1 α 2 dmet une unique solution u α sur l intervlle ]0; + [ Pge 9 of 13

10 ROC 10 INTERVALLE DE FLUCTUATION ASYMPTOTIQUE Démontrer que si l vrible létoire X n suit l loi binomile B(n, p), lors pour tout α ]0; 1[, on : Où : I n = [p u α p(1 p) p(1 p), p + u α ] lim p ( X n n I n) = 1 α Pré-requis : Si X n suit l loi binomile B(n; p), lors pour tout α ]0; 1[, d près le théorème de Moivre-Lplce : lim p ( u α X n np p(1 p) u α) = 1 α (Où u α est l unique solution de p( u α X u α ) = 1 α, vec X vrible létoire qui suit l loi normle centrée réduite) D près le théorème de Moivre-Lplce : lim p ( u α X n np p(1 p) u α) = 1 α lim p ( u α p(1 p) X n np u α p(1 p)) = 1 α lim p ( u α p(1 p) + np X n u α p(1 p) + np) = 1 α lim p ( u αp(1 p) + np n lim lim p(1 p) p ( u α n p(1 p) p ( u α X n n u αp(1 p) + np ) = 1 α n + p X n n u α + p X n n u α p(1 p) + p) = 1 α n p(1 p) + p) = 1 α C est à dire : lim p ( X n n I n) = 1 α Où : I n = [p u α p(1 p) p(1 p), p + u α ] Pge 10 of 13

11 AUTRES DEMONSTRATIONS CITEES DANS LE PROGRAMME 1 THEOREME DE MAJORATION D UNE SUITE CROISSANTE ET CONVERGENTE Démontrer que si une suite est croissnte et dmet pour limite l, lors tous les termes de l suite sont inférieurs ou égux à l (Si (u n ) est croissnte et dmet une limite finie l, lors pour tout n N, u n l) 2 THEOREME DE DIVERGENCE D UNE SUITE CROISSANTE NON MAJOREE Démontrer que si une suite est croissnte et non mjorée, lors elle tend vers + 3 THEOREME FONDAMENTALE DU CALCUL INTEGRAL Théorème : «Soit f est une fonction continue et positive sur [ ; b]. L fonction F définie sur x [ ; b] pr f(t)dt est dérivble sur [ ; b] et pour dérivée f.» Démontrer ce théorème dns le cs où f est positive et croissnte. 4 TOUTE FONCTION CONTINUE SUR UN INTERVALLE ADMET DES PRIMITIVES Théorème : «Toute fonction continue sur un intervlle dmet des primitives» Démontrer ce théorème dns le cs d un intervlle fermé borné en dmettnt qu une telle fonction dmet un minimum. Pge 11 of 13

12 5 THEOREME DU TOIT Théorème : Lorsqu un pln P 1 contennt une droite (d 1 ) est sécnt à un pln P 2 contennt une droite (d 2 ) prllèle à (d 1 ) lors l droite d intersection (Δ) de ces deux plns est prllèle à (d 1 ) et (d 2 ) 6 LOI EXPONENTIELLE - DUREE DE VIE SANS VIEILLISSEMENT Théorème : Considérons une vrible létoire T suivnt une loi exponentielle de prmètre λ. Pour tout t R + et h R + : p (X t) (X t + h) = p(x h) 7 STATISTIQUES INTERVALLE DE CONFIANCE Soit X n une vrible létoire qui suit l loi binomile B(n, p), on note F n = X n n Démontrer que l proportion p pprtient à l intervlle [F n 1 ; F n 1 ] vec une probbilité u moins égle à 95%. Prérequis : Pour n ssez grnd, F n [p 1 ; p + 1 ] vec une probbilité supérieur ou égle à 95% On : Pge 12 of 13

13 p 1 F n p F n p 1 1 F n p 1 F n 1 + F n p 1 + F n D où : p [F n 1 ; F n 1 ] vec une probbilité u moins égle à 95%. Pge 13 of 13