Dénombrement. Chapitre 1. Objectifs du chapitre. 1.1 Entiers naturels et raisonnement par récurrence

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1 Chapitre 1 Déombremet Objectifs du chapitre 1. A travers l axiomatisatio de Peao de N, rappeller les pricipes de récurrece forte et faible. 2. Défiir la otio de cardial et les opératios sur les cardiaux. Formule du crible. 3. Notio de déombrabilité. 4. Arragemets, permutatios et combiaisos. Formule du biôme de Newto. 1.1 Etiers aturels et raisoemet par récurrece O admet l existece d u esemble N appelé esemble des etiers aturels, o vide, totalemet ordoé et vérifiat les axiomes de Peao 1 : 1. Toute partie o vide de N a u plus petit élémet. 2. Toute partie o vide de N majorée admet u plus grad élémet. 3. L esemble N admet pas de plus grad élémet. Propositio De maière immédiate o déduit les propriétés suivates : 1. L esemble N admet u plus petit élémet oté L esemble N \ {0} admet u plus petit élémet oté 1, etc... O peut aisi ommer les etiers successifs : 3. Pour tout N, la partie {p N, p > } a u plus petit élémet appelé successeur de et oté + 1. O a aisi l amorce de l additio de N. 4. Pour tout N, la partie {p N, p < } a u plus grad élémet appelé prédécesseur de et oté 1. L existece d u miimum iduit le pricipe de récurrece. Théorème (Récurrece faible). Soit P() ue propositio dépedat d u etier aturel. S il existe u etier 0 tel que la propositio P( 0 ) est vraie, pour tout etier 0, la propositio P() P( + 1) est vraie alors, pour tout etier 0, la propositio P() est vraie. Démostratio. O cosidère l esemble { N 0 et P() faux}. O souhaite motrer que cet esemble est vide. Supposos qu il soit o vide. Il admet doc u plus petit élémet oté 1 = 0 + k avec k 1 par hypothèse sur 0. La propositio P( 1 ) est fausse mais par défiitio de 1, la propositio P( 1 1) est vraie. Or par hypothèse, l implicatio P( 1 1) P( 1 ) est vraie doc la propositio P( 1 ) est vraie ce qui etraîe ue cotradictio. 1. Giuseppe Peao ( ), mathématicie italie. 1

2 Le même procédé de preuve permet de motrer le résultat Théorème (Récurrece forte). Soit P() ue propositio dépedat d u etier aturel. S il existe u etier 0 tel que la propositio P( 0 ) est vraie, pour tout etier 0, la propositio ( p { 0,...,} P(p)) P( + 1) est vraie alors, pour tout etier 0, la propositio P() est vraie. Pour démotrer qu ue propriété dépedat d u etier est vraie pour tous les etiers supérieurs à u etier 0 o effectue le raisoemet suivat : 1. (iitialisatio de la récurece) o vérifie la propriété pour = 0 2. (hypothèse de récurece) o suppose que pour > 0, la propriété est vraie pour tout k { 0,..., 1}. 3. O prouve la propriété au rag e utilisat l hypothèse de récurece. 4. (coclusio) O coclue que la propriété est vraie pour tout 0 par le pricipe de récurece. 1.2 Esembles fiis, ifiis, otio de cardial Esembles fiis O ote [[1,]] l esemble des etiers aturels compris etre 1 et. O rappelle les résultats : Théorème Soit p et deux etiers. 1. Il existe ue ijectio de [[1, p]] das [[1,]] si et seulemet si p. 2. Il existe ue surjectio de [[1, p]] das [[1,]] si et seulemet si p. 3. Il existe ue bijectio de [[1, p]] das [[1,]] si et seulemet si p =. 4. Si > 0 toute ijectio de [[1,]] est bijective. 5. Toute surjectio de [[1,]] est bijective. Défiitio (Esemble fii et cardial). U esemble E est dit fii s il existe u etier et ue bijectio de [[1,]] das E. Par le théorème précédet cet etier est uique et o l appelle cardial de E. O le ote Card E. Le cardial de l esemble vide est 0. Le théorème précédet a pour corollaire Corollaire Soit E et F deux esembles fiis. 1. Il existe ue ijectio de E das F si et seulemet si Card E Card F. 2. Il existe ue surjectio de E das F si et seulemet si Card E Card F. 3. Il existe ue bijectio de E das F si et seulemet si Card E = Card F. 4. Si Card E = Card F 0 alors toute ijectio de E das F est bijective. 5. Si Card E = Card F alors toute surjectio de E das F est bijective Esemble ifii Défiitio (Esemble ifii, cardial). U esemble est ifii s il est pas fii. O éted aux esembles ifiis la otio de cardial : Deux esembles E et F ot le même cardial si et seulemet si il existe ue bijectio de E sur F. La otio de cardial est dûe à Cator 2. Remarque La relatio il existe ue bijectio de E sur F est ue relatio d équivalece. Ituitivemet o peut cosidérer les cardiaux comme les classes d équivalece pour cette relatio. 2. Georg Cator ( ), mathématicie allemad. 2

3 Défiitio (Opératios et relatios sur les cardiaux). O cosidère les opératios suivates : Card A + Card B = Card (A {0} B {1}). Card A.Card B = Card A B. O pose Card A Card B s il existe ue ijectio de A das B. Remarque Afi de vérifier que cette défiitio a u ses il faut motrer que si Card A = Card A et Card B = Card B alors Card (A {0} B {1}) = Card ( A {0} B {1} ) et Card A B = Card A B. O vérifie cela e costruisat les bijectios adéquates, exercice! O admet que la relatio est ue relatio d ordre total sur les cardiaux 3 Exemple Notos I l esemble des ombres etiers impairs. Le cardial de I est égal au cardial de N. E effet o peut cosidérer l applicatio Φ : N I Cette applicatio est surjective par défiitio de I et l o vérifie immédiatemet l ijectivité. Elle est doc bijective. Exemple Les esembles N, Z, Q ot le même cardial. Exemple Les esembles R, C, R pour tout 1 ot le même cardial. O dit qu ils ot la puissace du cotiu. Les esembles N et R ot pas le même cardial (diagoale de Cator). L hypothèse du cotiu formulée par Cator, spécifie qu il existe pas d esemble ayat u cardial à la fois strictemet plus grad que celui des etiers et strictemet plus petit que celui des réels. Si E et F sot deux esembles ifiis ayat même cardial toute ijectio ou toute surjectio est pas ue bijectio! L applicatio Φ ci-dessus est ijective mais pas surjective. Défiitio (Esemble déombrable). U esemble est dit déombrable s il est e bijectio avec ue partie de N. o déduit de la défiitio : Propositio U esemble déombrable est fii ou ifii. Das ce derier cas so cardial est celui de N. 1.3 Déombremet Das tout ce qui suit les esembles cosidérés sot fiis et l o cosidèrera la défiitio de cardial éocé e Opératio sur les cardiaux d esembles fiis Propositio (Partie d u esemble fii). Soit E u esemble fii et A ue partie de E. Nécessairemet A est fiie et so cardial vérifie Card A Card E. Démostratio. L esemble E est fii doc par défiitio il existe ue bijectio Φ de E vers l esemble [[1,]] où est le cardial de E. L image Φ(A) est ue partie de [[1,]]. Elle est ordoée ce qui permet de costruire ue bijectio de Φ(A) vers ue partie [[1, p]] coteue das [[1,]] : le plus petit élémet m 0 de Φ(A) est evoyé sur 1, si Φ(A) \ {m 1 } est o vide alors le plus petit élémet m 1 de Φ(A) \ {m 0 } est evoyé sur 2 etc... Le procédé termie car le Φ(A) a au plus élémet. La partie A est e bijectio avec l esemble Φ(A), elle est doc fii avec Card A Card E. 3. L atisymétrie costitue le théorème de Cator-Berstei : s il existe ue ijectio de E das F et ue ijectio de F das E alors il existe ue bijectio de E das F. Le fait que l ordre soit total résulte de l axiome du choix. 3

4 Propositio (Cardial d ue réuio disjoite). Soit E et F deux esembles fiis disjoits. La réuio E F est fii et so cardial vérifie Card E F = Card E + Card F. Démostratio. L esemble E est fii doc e bijectio avec l esemble [[1,CardE]]. Notos Φ E cette bijectio. L esemble F est fii doc e bijectio avec l esemble [[1,Card F]]. Notos Φ F cette bijectio. O cosidère l applicatio Φ E F : E F [[1,Card E + Card F]] e E Φ E (e) f F Φ F ( f ) + Card E. Remarquos que cette applicatio est bie défiie car E et F sot disjoits. E effet si E et F e sot pas disjoits alors il existe a E F et e ce cas o a la cotradictio suivate Card E < Φ F (a) = Φ E F (a) = Φ E (a) Card E. Motros que cette applicatio est ijective. Soit g et h deux élémets de E F tels que Φ E F (g) = Φ E F (h). Si g et h appartieet à E alors Φ E (g) = Φ E F (g) = Φ E F (h) = Φ E (h) or Φ E est ue bijectio doc g = h. O fait le même raisoemet si g et h appartieet à F. Supposos que g appartiet à E et h à F alors ous avos Φ E (g) Card E < Φ F ( f ). Ce cas est doc à exclure car Φ E F (g) Φ E F (h). Cela prouve doc l ijectivité. Motros que cette applicatio est surjective. Soit k [[1,Card E + Card F]]. Si k Card E alors par surjectivité de Φ E il existe e E tel que Φ E (e) = k. De même si Card E < k alors il existe f F tel que Φ F ( f ) + Card E = k. Ceci motre la surjectivité. Propositio (Cardial d ue réuio quelcoque). Soit E et F deux esembles fiis. La réuio E F est fiie et so cardial vérifie Card E F = Card E + Card F Card E F. Démostratio. Par la propositio précédete o obtiet les égalités grâce aux décompositios Par la décompositio et l usage de la propositio précédete o a Card E = Card (E \ E F) + Card E F, Card F = Card (F \ E F) + Card E F, E = E \ (E F) (E F) et F = F \ (E F) (E F). E F = (E \ (E F)) (F \ (E F)) (E F), Card E F = (Card E Card E F) + (Card F Card E F) + Card E F = Card E + Card F Card E F. Plus gééralemet : Propositio (Formule du crible). Soit E u esemble fii, I l esemble {1,...,} et (A i ) i I ue famille de parties de E. Le cardial de l uio se décompose alors comme suit : ( ) ( Card A i = ( 1) i+1 Card A j ). i I J I,Card (J)=i j J 4

5 Exemple Soit A, B et C trois parties de E o a alors Card (A B C) = Card (A) + Card (B) + Card (C) Card (A B) Card (A C) Card (B C) + Card (A B C). Démostratio. O fait la preuve par récurece sur. Das le cas = 2, ous avos déjà démotré la formule du crible. Supposos le résultat vrai pour parties et motros le pour + 1 parties A 0,...,A de E. Cosidéros les deux parties A 0 et A i ous obteos ( ) ( ) ( Card A 0 A i = Card A 0 + Card A i Card A 0 Remarquos que A 0 A i = (A 0 A i ). E appliquat l hypothèse de récurrece, e otat I = {1,...,} ous obteos ( ) ( ) Card A 0 A i = Card A 0 + ( 1) i+1 Card A j ( 1) i+1 J I,Card (J)=i j J A i ). J I,Card (J)=i Card ( A 0 A j ), j J c est à dire Card ( A 0 ) +1 A i = ( ( 1) i+1 Card A j ). J {0} I,Card (J)=i j J Propositio (Cardial d u produit). Si E et F sot deux esembles fiis alors E F est fii et Card E F = Card E.Card F. Démostratio. Ituitivemet o peut cosidérer l esemble E F comme u tableau ayat Card E liges et Card F coloes. O costate doc que le ombre d élémets de E F est le produit des cardiaux. Numérotat les élémets du tableau de gauche à droite et de haut e bas, la lecture du tableau fourit alors ue bijectio explicite : Φ E F : E F [[1,Card E.Card F]] (e, f ) (Φ E (e) 1)Card F + Φ F ( f ). où Φ E : E [[1,Card E]] et Φ F : F [[1,Card F[] sot des bijectios. Propositio (Cardial esembles des applicatios). Si E et F sot deux esembles fiis alors l esemble des applicatios de E das F, oté F E, est fii et Card (F E ) = (Card F) Card E. Démostratio. Soit E u esemble fii. O fixe ue bijectio de E sur [[1,]] avec Card E =. Cette bijectio fixée o peut supposer E = [[1,]]. Ue applicatio ψ : E F est la doée d u Card E-uplets d élémets de F. De même se doer u Card E-uplets ( f 1,..., f Card E ) d élémets de F iduit l applicatio ψ : E F k f k. Par coséquet l esemble des applicatios de E das F est e bijectio avec le produit F Card E. La formule se déduit par la propositio précédete. 5

6 Exemple Calculer le ombre de répartitios de objets tous différets das p boîtes. Cela reviet à calculer le ombre d applicatios etre l esemble O des objets et l esemble B des boîtes. Il y a doc CardB CardO = p répartitios possibles. Propositio Soit E u esemble à élémets, l esemble des parties de E, oté P (E) a pour cardial Card (P (E)) = 2. Démostratio. Ue partie F de E est caractérisée par sa foctio idicatrice : χ F : E { {0,1} 0 si x / F x 1 si x F. Réciproquemet toute foctio Φ : E {0, 1} est l idicatrice de l esemble {x E Φ(x) = 1}. Par coséquet l esemble des parties de E est e bijectio avec l esemble des foctios de E vers {0, 1}. L assertio sur les cardiaux suit doc de la propositio précédete Arragemets, permutatios et combiaisos Notatio Pour tout etier, o ote avec pour covetio 0! = 1.! = k=1 k, Défiitio (Arragemets). Soit E et F deux esembles fiis. O appelle arragemet de E das F toute ijectio de E das F. Remarque Ue ijectio de [[1, p]] das F est u arragemet de p élémets de F. C est ue p-liste d élémets de F disticts deux à deux. O utilise les arragemets das tous les problèmes de choix successifs de p élémets parmis sas répétitio. Propositio Le ombre d arragemets d u esemble à p élémets E das u esemble à élémets F, avec p, est égal à A p p 1 = ( k) = ( 1)...( p + 2)( p + 1) =! ( p)!. Démostratio. Ituitivemet, quitte à travailler modulo ue bijectio o peut supposer E = [[1, p]]. O costruit ue ijectio de E das F, e choisissat l image de 1 parmis élémets, puis l image de 2 parmis 1 choix etc... o e déduit la formule. Rigoureusemet, la preuve se fait par récurrece sur p. Naturellemet p est iférieur ou égal à, sio l esemble des ijectios de E das F est vide. Si p = 1 il y a alors applicatios qui sot toutes ijectives. Supposos le résultat acquis pour p. Motros le résultat pour p + 1. Ue ijectio est costruite e assigat à l élémet p + 1 l u des -élémets de F. Notos cet élémet f. Il reste alors à costruire ue ijectio de [[1, p]] das F \ { f }. Par hypothèse de récurrece il y a A p 1 choix. O e déduit doc que l esemble des ijectios de E vers F est A p 1 soit Ap. O cocut par le théorème de récurrece. Exemple Combie y a t il de tiercés das l ordre pour dix chevaux au départ? Ce tiercé est u exemple d arragemet à trois élémets das u esemble à dix élémets. Il y a 10 choix pour le premier, 9 pour le secod et 8 pour le troisième. Ceci doe A 3 10 = 720 tiercés. Défiitio (Permutatio). O appelle permutatio d u esemble E, toute bijectio de E sur lui même. 6

7 Propositio Le ombre de permutatios d u esemble à élémets est égal à!. Démostratio. Ue bijectio de E das E est équivalete, par égalité des cardiaux, à la doée d ue ijectio. L assertio suit doc de la propositio sur le ombre d ijectios d u esemble das u autre. Défiitio (Combiaiso). O appelle combiaiso à p élémets d u esemble fii E toute partie à p élémets de l esemble E. Remarque A ue combiaiso doée correspod p! arragemets obteus e permutat les p élémets. O obtiet doc la propositio Propositio Le ombre de combiaisos de p élémets das élémets est égal à C p = Quelques propriétés 1. C p = C p 2. C p = C p 1 1 +Cp 1 (formule du triagle de Pascal) 3. C p = p Cp 1 1 ( 1)... ( p + 2) ( p + 1) p! =! p!( p)! Démostratio. La formule sur le ombre de combiaisos découle de la remarque la première et la troisième assertio. Pour prouver la deuxième o peut raisoer de maière esembliste : fixos u élémet de E et otos le e 0. Il y a alors deux types de parties à p élémets : celles qui e cotieet pas e 0 au ombre de C p 1 et celles qui cotieet e 0 au ombre de C p 1 1, d où la formule. Propositio (Biôme de Newto). Soit a et b deux ombres réels ou complexes et u etier. O a (a + b) = C k a k b k. Démostratio. Ituitivemet, lorsque l o développe le produit (a + b), les termes apparaissat sot de la forme a k b k. Le ombre de termes a k b k correspod au ombre de choix de k a parmis, il y e a doc C k, d où la formule. De maière plus rigoureuse o effectue ue récurece sur. 1. Si = 0, alors (a + b) 0 = 1 = C 0 0 a0 b Si = 1 alors a + b = C 0 1 a0 b +C 1 1 ab0. 3. Supposos la formule vraie pour u etier et prouvos là pour l etier + 1. O écrit alors O applique l hypothèse de récurrece : (a + b) +1 = (a + b) (a + b) +1 = (a + b)(a + b). C k a k b k = C k a k+1 b k + C k a k b +1 k O réidice das la première somme l := k + 1 et o reomme l := k das la deuxième. Par coséquet o obtiet (a + b) = l=1 C l a l b +1 l + l=0 C l a l b +1 l. E isolat le derier terme de la première somme et le premier terme de la deuxième sommme, c est à dire les idices des termes qui e sot pas commus aux deux sommes, puis e regroupat les sommes o obtiet (a + b) +1 = C a +1 +C 0 b l=1 ( C l 1 +C l ) a l b +1 l.

8 E utilisat la formule du triagle de Pascal et les formules usuelles C l 1 +C l = C l +1, C 0 = C +1 = 0 et C = C = 0, o obtiet l écriture cherchée 4. O cocut par le théorème de récurrece. (a + b) = l=0 C l a l b +1 l. Remarque Par applicatio de la formule du biôme de Newto o retrouve que le ombre de parties d u esemble à élémets est 2 : 1.4 Objectifs pédagogiques CardP([[1,]]) = C k = (1 + 1). 1. Opératios esemblistes de base. Comportemet de ces opératios sous l image iverse et l image directe. 2. Déombrabilité 3. Pricipe des tiroirs. 4. Raisoemet combiatoire à l aide de partitios, à l aide de la formule du crible. 5. Raisoemet par récurrece. 8