LES SUITES 3. II Utilisation de la calculatrice Représentation Graphique Représentation graphique (n ;u n ) 4

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1 LES SUITES 3 I Généralités Définitions 3 Exemple : 3 1. Différentes façons de définir une suite 3 a ) Par une formule explicite b ) Par récurrence 4 ex 4 II Utilisation de la calculatrice Représentation Graphique 4.1 Représentation graphique (n ;u n ) 4 III Sens de variation d une suite 4 IV Les types classiques de suites La suite arithmétique 5 Exemple 5 A) Définition par la formule récurrente 5 B) Définition par la formule explicite 5 5 C) Représentation graphique d une suite arithmétique 6 D) Somme des termes consécutifs 6 Ex 6 4. La suite géométriques 7 Exemple 7 A) Définition par la formule récurrente : 7 7 B) Définition par la formule explicite 7 8 C) Représentation graphique d une suite géométrique 8 D) Somme des termes consécutifs Les suites quelconques 8 8

2 LES SUITES Activité préparatoire Dans une ferme au 01/01/010 ; on comptait lapins et 600 poules. On sait que la population des lapins double chaque mois et que celle des poulets augmente de 00 chaque mois. On note p 0 la population des poulets au 01/01/10 (donc l indice 0 représente janvier) ; p 1 la population des poulets au 01/0/10 (donc l indice 1 représente février) ; p la population des poulets au 01/03/10. De même l 0 la population des lapins au 01/01/10 (donc l indice 0 représente janvier) ; l 1 la population des lapins au 01/0/10 (donc l indice 1 représente février) ; l la population des lapins au 01/03/10 1) Compléter le tableau suivant Indice n l p ) Quelle opération mathématique fait on pour passer de l 0 à l 1 ; de l 1 à l ; de l à l 3 ;..l n à l n+1 Conclure en donnant l expression de l n+1 en fonction de l n. Cette expression permet un calcul de proche en proche. 3) Quelle opération mathématique fait on pour passer de p 0 à p 1 ; de p 1 à p ; de p à p 3 ;..p n à p n+1 Conclure en donnant l expression de p n+1 en fonction de p n Cette expression permet un calcul de proche en proche. 4) A) Que vaut l1 l l3 l4 ln+ 1,,,,...,, l l l l l B) Compléter les formules suivantes : l l l1 = = l0 l1... l3 l3 = = l0 l l4 = l n C) en vous inspirant de B) Donner une méthode pour calculer directement l 1 5) A) Que vaut p 1 -p 0, p -p 1, p 3 -p, p 4 -p 3,., p n+1 -p n, B) en vous inspirant de A) et de ce qui a été fait précédemment ; compléter p -p 0 = p 3 -p 0 = p 4 -p 0 = C) en vous inspirant de B) Donner une méthode pour calculer directement p 1

3 Les Suites I Généralités 1.1 Définitions Définition Une suite u est une fonction définie sur IN (respectivement à partir d un certain entier naturel n 0 ) qui à tout entier naturel IN (respectivement à partir d un certain entier naturel n 0 ) associe un réel u(n), noté u n L image d un entier naturel par la suite u est appelé un terme de la suite u. Le réel u n est le terme d indice (ou de rang) n de la suite u. On dit que u n est le terme général de la suite (u n ) Exemple : Soit ( u n ) la suite définie par u n = 3 n + 10 Le terme d indice est u = 16, le terme d indice 10 est u 10 = 40 La suite de terme général u n = 1 n, n est définie que pour n 1, on la note ( u n ) n 1 Remarque : Le premier terme d une suite est aussi appelé terme initial. Exercice -3 p Différentes façons de définir une suite a ) Par une formule explicite On peut définir une suite par une formule explicite, qui permet de calculer directement à partir de n le terme d indice n. La suite ( u n ) définie par u n = 5 n La suite ( v n ) définie par v n = 3 n ² + 5 y CAS PARTICULIER IMPORTANT : Cf Soit f une fonction définie sur [ 0 ; + [. ( au moins ). On définit une suite ( u n ) en posant, pour tout entier naturel n, u n = f ( n ). u u x

4 Soit f la fonction définie sur IR par f : x 3 x ² + x + 5 et ( u n ) la suite définie par u n = f ( n ). Ainsi pour tout entier naturel n, on a : u n = 3 n ² + n + 5. Pour calculer le terme d indice n, il suffit de chercher l image de n par f. On en déduit que : u 0 = 5, u 1 = 10, u =1,, u n+1 = 3 ( n + 1 ) ² + ( n + 1 ) + 5 = 3 n ² + 8 n + 10 ex Exercice 7-8 p164 b ) Par récurrence On donne u 0 = 0 et on considère la relation u n + 1 = 3u n +6 Ceci nous permet de calculer de proche en proche tous les termes de la suite ( u n ). En effet : u 1 = u = u 3 = Si l on considère la fonction f définie sur IR par f ( x ) = 3 x + 6, alors on peut dire que la suite ( u n ) est définie par la donnée de u 0 = 0 et par la relation u n + 1 = f ( u n ). ( cette relation est appelée relation de récurrence ) De manière plus générale on a la définition suivante : Soit f une fonction définie sur un intervalle I, telle que, pour tout réel x appartenant I, f ( x ) appartiennent à I. On peut alors définir une suite ( u n ) par la donnée de u 0 ( u 0 appartenant à I ), et de la relation de récurrence u n+1 = f ( u n ). Remarque : Le fait que f(x) doivent être inclus dans I pour x appartenant à I, est essentiel. Exemple : f(x)= x 3 et u 0 =4. Alors u 1 =1 et on ne peut aller plus loin. En effet D f =]3 ;+ [ et l image d Exercice p164e cet intervalle est :.. II Utilisation de la calculatrice Représentation Graphique Voir fiches correspondantes Ti et Casio. Voir explication site pour TI.1 Représentation graphique (n ;u n ) Exemple : u n+1 =0.5u n et u 0 =16 III Sens de variation d une suite On pourra utiliser pour déterminer la définition, la représentation graphique (n ;u n ) Ainsi que de la définition du sens de variation d une fonction. Définition On dit que la suite (u n ) est strictement croissante lorsque : pour tout entier n,. On dit que la suite (u n ) est strictement décroissante lorsque On dit que la suite (u n ) est constante lorsque Définition monotonie : On dit qu une suite est monotone lorsqu elle est soit uniquement croissante soit uniquement décroissante, soit uniquement constante.

5 Méthode Pour étudier la variation d une suite on étudie généralement le signe de u n+1 -u n. Si le résultat est strictement positif la suite est strictement croissante. Si le résultat est strictement négatif la suite est strictement décroissante. Exercice p164 Une propriété intéressante Si une suite est de la forme u n = f ( n ), on déduit rapidement, à partir des propriétés de la fonction f, des résultats sur la suite. On montre facilement que : Si f est croissante sur [ 0 ; + [, alors ( u n ) est croissante. La réciproque est fausse Si f est décroissante sur [ 0 ; + [, alors ( u n ) est décroissante. IV Les types classiques de suites 4.1 La suite arithmétique Exemple u 0 = ;u 1 =5 ;u =8 ; u 3 =11 ; Que fait on pour passer de proches en proches En déduire que u n+1 =.. A) Définition par la formule récurrente On dit qu une suite ( u n ) est une suite arithmétique, s il existe un réel r tel que pour tout entier naturel n, on ait u n+1 = u n + r. Le réel r est appelé raison de la suite ( u n ). r peut-être positif ou négatif. u 0 u 1 u u 3 u 4 u 5 +r + r + r + r +r On passe d un terme de la suite au terme suivant, en ajoutant r. Remarque : L expression u n+1 =u n +r est l expression récurrente Méthode Pour montrer qu une suite est arithmétique : On montre par calcul que u n+1 -u n vaut une constante indépendante de n. te constante est la raison. Exercice 4 p165 B) Définition par la formule explicite Soit ( u n ) une suite arithmétique de premier terme u 0 et de raison r. Alors, pour tout entier naturel n, on a : Preuve : u n = u 0 + n r Additionnons membre à membre les n égalités ci-contre: u 1 = u 0 + r u = u 1 + r u n-1 = u n- + r u n = u n-1 + r On obtient : ( u 1 + u + + u n-1 ) + u n = u 0 + ( u 1 + u + + u n-1 ) + n r Et après simplification : u n = u 0 + n r Soit u n la suite arithmétique définie par u 0 = 7 et r = 1, alors u 6 = =79

6 Exercice p165 Plus généralement : Soit ( u n ) une suite arithmétique de raison r. Pour tous entiers naturels p et q, on a : u p = u q + ( p q ) r Sens de variation d une suite arithmétique Propriété Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r : La suite (u n ) est strictement croissante si et seulement si r est strictement positif La suite (u n ) est strictement décroissante si et seulement si r est strictement négatif La suite (u n ) est constante si et seulement si r est nu C) Représentation graphique d une suite arithmétique A l aide de la calculatrice représenter la suite u n+1 =u n +3 et u 0 =- Propriétés : La représentation graphique d une suite arithmétique est un ensemble de points.. Exercice p170 Définition : On dit qu une suite arithmétique a une croissance linéaire. l D) Somme des termes consécutifs Etude d un exemple fondamental : On considère la suite ( u n ) définie, pour tout entier naturel n, par u n = n. Calculons la somme S = u 1 + u + + u n = n. SOMME DES N PREMIERS ENTIERS NATURELS On peut écrire : S = ( n ) + ( n 1 ) + n De même en partant de la fin S = n + ( n 1 ) + ( n ) En additionnant membre à membre, on obtient : S = ( n + 1 ) + ( n + 1 ) + + ( n + 1 ) c'est à dire S = n ( n + 1 ) et donc S = n ( n + 1 ) n fois Cas général La somme de terme consécutifs d une suite arithmétique est égale à : ( premier terme + dernier terme) S=(nombre de terme) En particulier si (u n ) est une suite arithmétique de premier terme u 0 : S=u 0 +u 1 +..u n = ( ) ( u ) 0 + u n + 1 n Soit ( u n ) une suite arithmétique de raison r. La somme S = u 7 + u u 15 = 9 u 7 + u 15

7 Soit ( v n ) la suite arithmétique de raison 4 et de premier terme v 0 = 15. On a v 8 = v = = 47 On en déduit que v 0 + v v 8 = 9 v 0 + v 8 = = 79 Exercice p La suite géométriques Exemple u 0 = ;u 1 =6 ;u =18 ; u 3 =54 ; Que fait on pour passer de proches en proches En déduire que u n+1 =.. A) Définition par la formule récurrente : On dit qu une suite ( u n ) est une suite géométrique, s il existe un réel q tel que pour tout entier naturel n, on ait u n+1 = q u n. Le réel q est appelé raison de la suite ( u n ). q est strictement positif u 0 u 1 u u 3 u 4 u 5 q q q q q Soit ( u n ), la suite des puissances de, définie par u n = n Pour tout entier naturel n, on a u n+1 = n+1 = n = u n Cette suite est donc une suite géométrique de raison. On passe d un terme de la suite au terme suivant, en multipliant par q. Remarque :L expression u n+1 =q u n est l expression récurrente Méthode Pour montrer qu une suite est géométrique avec u n 0 pour tout entier naturel n : On montre par calcul que vaut une constante indépendante de n. un+ 1 un Cette constante est la raison. Exercice p166 Propriété Soit (u n ) une suite géométrique de raison r et de premier terme strictement positif : La suite (u n ) est strictement croissante si et seulement si q est strictement supérieur à 1 La suite (u n ) est strictement décroissante si et seulement si q est strictement compris entre 0 et 1. La suite (u n ) est constante si et seulement si q vaut 1 Exercice que se passe il si le premier terme est strictement négatif? B) Définition par la formule explicite Soit ( u n ) une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q. Alors, pour tout entier naturel n, on a : u n = u 0 q n

8 Preuve : ( u n ) est une suite géométrique, donc u 1 = u 0 q. Puis u = u 1 q = ( u 0 q ) q = u 0 q ² Et ainsi de proche en proche, car lorsqu on aura établi que pour l entier naturel p, u p = u 0 q p, on en déduira que u p+1 = u 0 q p+1. En effet u p+1 = u p q = u 0 q p q = u 0 q p+1. Soit u n la suite géométrique définie par u 0 = 7 et r = 1, alors u 3 = = 1096 Plus généralement : Soit ( u n ) une suite géométrique de raison q. Pour tout entier naturel m et n, on a u m = u n q m n Exercice 51-5 p166 C) Représentation graphique d une suite géométrique A l aide de la calculatrice représenter la suite u n+1 =3u n et u 0 =1 Définition : On dit qu une suite géométrique a une croissance exponentielle. Exercice 78 p170 D) Somme des termes consécutifs Etude d un exemple fondamental : SUITE GEOMETRIQUE DE PREMIER TERME u 0 = 1. On considère la suite ( u n ) définie, pour tout entier naturel n, par u n = q n ( q 0 et q 1 ) Calculons la somme S = u 0 + u u n = 1 + q + q + + q n. On peut écrire : S = 1 + q + q + + q n-1 + q n On multiplie par q q S = q + q + q q n + q n + 1 Par soustraction membre à membre, on obtient : S q S = 1 q n+1 c'est à dire ( 1 q ) S = 1 q n+1 et donc S = 1 q n+1 1 q Cas général La somme de terme consécutifs d une suite géométrique est égale à : nombre de terme 1 raison S=( premier terme) 1 raison En particulier si (u n ) est une suite géométrique de premier terme u 0 et de raison q : S=u 0 +u 1 +..u n = ( ) ( n+ 1 1 q ) u0 1 q Soit ( v n ) la suite géométrique définie, pour tout n IN, par v n = n On a n = 1 1 n + 1 = n Exercice p Les suites quelconques Définition : Une suite qui est ni géométrique, ni arithmétique est dite quelconque. Soit ( u n ) la suite définie, pour tout n IN, par u n+1 = u + 1 et u 0 =0 n Méthode : Pour résoudre ce type de suite on essaie de se ramener à un type connu (arithmétique ou géométrique). Si l on poursuit l exemple précédant ;il faut poser v n = u n ² ; on obtient alors : v n+1 =v n +1 et v 0 =0. Donc (v n ) est une suite de raison et de premier terme

9 D où v n = Par conséquent u n =.