Sommaire. 2. Séries réelles ou complexes. Méthodes : L essentiel ; mise en œuvre

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1 1. Espaces vectoriels ormés A. Normes et distaces B. Étude locale des applicatios Cotiuité C. Cotiuité des applicatios liéaires D. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie Méthodes : L essetiel ; mise e œuvre Séries réelles ou complexes A. Gééralités B. Séries à termes réels positifs C. Séries absolumet covergetes D. Séries alterées Méthodes : L essetiel ; mise e œuvre Éocés des exercices Solutios des exercices Suites et séries de foctios A. Covergece d ue suite ou d ue série de foctios. 94 B. Cotiuité Limite C. Itégratio Dérivatio D. Approximatio des foctios d ue variable réelle. 105 Méthodes : L essetiel ; mise e œuvre Éocés des exercices Solutios des exercices Dérivatio Itégratio sur u segmet A. Dérivatio des foctios vectorielles B. Itégratio sur u segmet C. Dérivatio et itégratio Méthodes : L essetiel ; mise e œuvre Éocés des exercices Solutios des exercices Séries etières A. Défiitio Rayo de covergece B. Séries etières d ue variable réelle Itégratio Dérivatio C. Développemet e série etière D. La foctio expoetielle complexe Méthodes : L essetiel ; mise e œuvre Éocés des exercices Solutios des exercices Sommaire 5

2 Sommaire 6. Itégratio sur u itervalle quelcoque A. Itégrale impropre, covergece B. Itégrales de foctios positives C. Absolue covergece Itégrabilité Semi-covergece. 251 D. Chagemet de variable E. Itégratio par parties F. Covergece e moyee, e moyee quadratique G. Covergece domiée H. Foctios de la forme x f (x, t)dt I Méthodes : L essetiel ; mise e œuvre Éocés des exercices Solutios des exercices Séries de Fourier A. Foctios régularisées. Polyômes trigoométriques B. Coefficiets et séries de Fourier C. Covergece des séries de Fourier Méthodes : L essetiel ; mise e œuvre Éocés des exercices Solutios des exercices Équatios différetielles A. Équatios liéaires B. Équatios o liéaires Méthodes : L essetiel ; mise e œuvre Éocés des exercices Solutios des exercices Foctios de plusieurs variables réelles Calcul différetiel A. Foctios cotiûmet différetiables B. Dérivées partielles d ordre supérieur C. Chagemet de variables D. Extremum relatif Méthodes : L essetiel ; mise e œuvre Éocés des exercices Solutios des exercices Courbes et surfaces A. Courbes d équatio F(x, y) = B. Courbes paramétrées C. Surfaces et appes paramétrées Éocés des exercices Solutios des exercices Foctios de plusieurs variables Calcul itégral A. Formes différetielles de degré u B. Itégrale curvilige C. Itégrale double Calcul d aires plaes D. Itégrale triple Calcul de volumes INDEX Notatios usuelles

3 CHAPITRE 1 Espaces vectoriels ormés A. Normes et distaces Normes et distaces Topologie d u e-v- E Suites d u e-v- E B. Étude locale des appplicatios Cotiuité Limite Cotiuité Relatios de comparaiso au voisiage d u poit Parties compactes d u espace vectoriel ormé C. Cotiuité des applicatios liéaires D. Espaces vectoriels ormés de dimesio fiie Équivalece des ormes Cotiuité des applicatios liéaires et multiliéaires Méthodes : L essetiel ; mise e œuvre

4 Chapitre 1 : Espaces vectoriels ormés A. Normes et distaces Das tout ce chapitre, désige le corps des réels ou le corps des complexes. E est u -espace vectoriel. 1. Normes et distaces (1) Sur ou, la orme usuelle est la valeur absolue. (2) L abréviatio e-v- est courate. Défiitio 1 O appelle orme (1) sur E ue applicatio N : E + vérifiat, pour tous vecteurs x, y de E et tout scalaire de : (1) N(x) = 0 x = 0 E, (2) N( x) = N(x), (3) N(x + y) N(x) + N(y). Le couple (E, N) est appelé u espace vectoriel ormé. (2) Ue orme est souvet otée : : x x. Remarque D après(1) ue orme vérifie : (4) x! E, x " 0 E N(x) > 0. Réciproquemet, si ue applicatio N de E das + vérifie les axiomes (2) et (4), e doat das (2) la valeur 0 à, o obtiet N 0 E = 0 doc N vérifie (1). E coséquece, ue orme peut aussi être défiie comme ue applicatio N : E vérifiat les axiomes (2), (3) et (4). Défiitio 2 Distace associée à ue orme Soit (E, N) u espace vectoriel ormé, l applicatio d défiie par : d : E 2 +, (x, y) d(x, y) = N(x y) est appelée la distace associée à la orme N. (3) NF et d F sot ecore usuellemet otées N et d. Défiitio 3 Norme et distace iduites Soit (E, N) u espace vectoriel ormé et F u sous-espace vectoriel de E. La restrictio N F de N à F est ue orme, appeléeorme sur F iduite par N. La restrictio à F 2 (3) de la distace associée à N est la distace d F associée à N F. O cosidère désormais u espace vectoriel ormé (E, N). (4) Les boule ou sphère de cetre 0 E et de rayo 1 sot appelées boule uité, sphère uité de E. Défiitio 4 (4) Boules et sphères a ) La boule ouverte de cetre a! E et de rayo r! + est : o(a, r) = x! E/N(a x) < r. b ) La boule fermée de cetre a! E et de rayo r! + est : f (a, r) = x! E/N(a x) r. c ) La sphère de cetre a! E et de rayo r! + est : (a, r) = x! E/N(a x) = r. 8

5 Normes et distaces Défiitio 5 Ue partie A o vide de E est dite borée s il existe ue boule fermée de E coteat A. Défiitio 6 Soit A ue partie o vide et borée de E. O appelle diamètre de A le réel : (A) = sup N(x y)/(x, y)! A 2. Défiitio 7 La distace d u poit x de E à ue partie o vide A de E est le réel : d(x, A) = if N(x y)/y! A. La distace de deux parties o vides A et B est le réel : d(a, B) = if N(x y)/x! A, y! B. (5) Remarque. L esemble (A,E) des foctios borées de A das E est u sousespace vectoriel de E A ; il est ormé par f = sup N f (x). x!a Si A=, il s agit de l espace des suites borées de E. Défiitio 8 Soit A u esemble o vide, ue applicatio f : A E est dite borée si so image f (A) est ue partie borée de E, doc s il existe M! + tel que : x! A, N f (x) M. (5) Défiitio 9 Normes équivaletes O dit que deux ormes N 1 et N 2 sur E sot équivaletes si les foctios N 1 et N 2 défiies N 2 N 1 sur E 0 E sot majorées. Remarques 1 ) Cette défiitio peut se traduire par l existece de deux réels et strictemet positifs tels que N 1 N 2 N 1. 2 ) O défiit aisi ue relatio d équivalece sur l esemble des ormes de l espace E. E effet, o vérifie que c est ue relatio : réflexive : pour toute orme N, 1 N N 1 N symétrique : N 1 N 2 N 1 doe 1 N 2 N 1 1 N 2 trasitive : N 1 N 2 N 1 et N 2 N 3 N 2 doet : N 1 N 3 N 1. Exemple 1 Normes usuelles sur O ote x = (x 1,..., x )!. a ) Motrer que l o défiit trois ormes sur par les expressios suivates : (6) Voir Algèbre Géométrie, chap. 5 N 1 (x) = x i, N 2 (x) = x i 2 1 2, N (x) = sup x i. 1 i b ) Das le cas = 2, =, représeter les boules uités fermées 1, 2 et associées à ces ormes. c ) Motrer que N 1, N 2, N sot deux à deux équivaletes. a)n 2 est la orme préhilbertiee caoique de attachée au produit scalaire : x y = x i y i (6) Vérifios que N 1 et N satisfot les axiomes de défiitio (2), (3) et (4) des ormes. Ce sot clairemet des applicatios à valeurs das +. Pour tout x de, o a i! [[ 1, ]], x i N 1 (x) et x i N (x) doc si x est o ul, il existe i! [[ 1, ]] tel que x i > 0 et o a N 1 (x) > 0 et N (x) > 0 : l axiome (4) est vérifié. Pour x! et!, o a x = ( x 1, x 2,..., x ) d où : N 1 ( x) = N 1 (x), N ( x) = N (x) : (2) est vérifié. 9