Fonction logarithme exercices corrigés

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1 Trminal S Fonctions Logarithms Vrai-Fau Fonction ln, EPF 6 Equation, Franc 4 4 Dérivés t ln 4 5 Primitivs t ln 6 Calcul d limits Résolution (in)équations 7 8 Avc ROC 8 9 Dérivation t ncadrmnt 9 Fonction+équation, Am Nord 6/8, 6 pts Ln t p+intégral Polynési 9/8 6 pts 4 Ercics corrigés Somms partills séri harmoniqu, N Calédoni 7 Fonction+air+suit, Liban Logarithm+ po+ acc finis 5 Logarithm+primitiv 6 Logarithm 5 7 Logarithm+ asymptot+primitivs 8 8 Fonction inconnu 9 9 Un fonction assz simpl Logarithms Ln+scond dgré+intégral, Antills 6 Ln t calculatric, N Caldoni 5 8 Vrai-Fau Fsic, rcic Soit f la fonction défini par a On a D = ], + [ b La courb C admt un droit asymptot n + c Pour tout D, on a : f( ) < d Pour tout D, on a : Corrction Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés f( ) =, D son nsmbl d définition t C sa courb rprésntativ ln( ) f '( ) = + (ln ) a Fau : On doit avoir t > donc D= ], [ ], + [ b Vrai : lim f( ) =+ =+ t lim f( ) = donc y= st asymptot d C c Fau : f( ) < si <, soit ln( ) > donc quand > > ln( ) u' d Vrai : Rapplons qu = t rmarquons qu u u Fonction ln, EPF 6 On considèr la fonction fonction dérivé f d f On considèr la fonction ' f( ) = ; nous avons donc ln / f '( ) = = + (ln ) (ln ) f : Montrr qu f st défini t dérivabl sur R t détrminr la + + g : t on désign par Γ sa courb rprésntativ dans un ln + ln+ ln ( ) rpèr orthonormal d unités graphiqus cm a Eprimr g n fonction d f t précisr l nsmbl d définition d g b Détrminr la fonction dérivé g d g (on pourra utilisr la qustion )

2 c Etudir l sign d g d Détrminr ls limits d g n t + Drssr l tablau ds variations d g f Construir la courb Γ n précisant la tangnt au poiint d absciss Corrction f st un quotint d fonctions dérivabls t l dénominatur n s annul pas, ll st donc continu t dérivabl sur R ( ) f ' ( ) = = ( + + ) ( + + ) a g( ) = = f ( ln) ln ln + ln+ b ( fg) ' = g' ( f ' g) g' ( ) f '( ln) donc, comm f st défini sur R, g st défini sur ] ;+ [ ln + = = ( ln + ln + ) c L sign d g dépnd d clui d ln ( ln)( ln) = + / + ln ln + + g () + g() d En + g s comport comm ls trms d plus haut dgré n ln, soit paril car ln tnd vrs, donc ncor comm limit f Tangnt au point d absciss : y= ln ln = ln + = ; n c st Equation, Franc 4 6 points L rcic comport un ann à rndr avc la copi L but d c problèm st d étudir, pour t y élémnts distincts d l intrvall ] ; + [, ls coupls solutions d l équation Montrr qu l équation (E) st équivalnt à y = y (E) t, n particulir, ls coupls constitués d ntirs ln lny = y ln Soit h la fonction défini sur l intrvall ] ; + [ par h( ) = La courb (C) rprésntativ d la fonction h st donné n ann ; st l absciss du maimum d la fonction h sur l intrvall ] ; + [ a Rapplr la limit d la fonction h n + t détrminr la limit d la fonction h n b Calculr h'( ), où h désign la fonction dérivé d h ; rtrouvr ls variations d h Détrminr ls valurs acts d t h( ) c Détrminr l intrsction d la courb (C) avc l a ds abscisss Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

3 Soit λ un élémnt d l intrvall ; Prouvr l istnc d un uniqu nombr rél a d l intrvall ] ; [ t d un uniqu nombr rél b d l intrvall ] ; + [ tl qu h( a) = hb ( ) = λ Ainsi l coupl ( a, b ) st solution d (E) 4 On considèr la fonction s qui, à tout nombr rél a d l intrvall ] ; [, associ l uniqu nombr rél b d l intrvall ] ; + [ tl qu h( a) = hb ( ) (on n chrchra pas à primr s( a ) n fonction d a) Par lctur graphiqu uniqumnt t sans justification, répondr au qustions suivants : a Qull st la limit d s quand a tnd vrs par valurs supériurs? b Qull st la limit d s quand a tnd vrs par valurs infériurs? c Détrminr ls variations d la fonction s Drssr l tablau d variations d s 5 Détrminr ls coupls d ntirs distincts solutions d (E) A rndr avc la copi Corrction (E) : y y ln lny = y ln( ) = ln( y ) yln = lny = y : pour la prmièr égalité, ln st bijctiv, t y sont strictmnt positifs ; la duièm st un propriété d ln, l rst st du calcul a b ln lim = ; + + Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés ln lim = lim ln=+ = ln ln '( ) h = = ; ln ln = ; c h( ) = ln= = ln h ( ) = =

4 h st continu, monoton strictmnt croissant d ] ; [ vrs ist donc un uniqu rél a tl qu h( a) λ ; (voir ls variations d h) ; il = ; d mêm h st continu, monoton strictmnt décroissant d ] ; + [ vrs ; (voir ls variations d h) ; il ist donc un uniqu rél b tl qu hb ( ) = λ (sur chacun ds intrvalls considérés h st bijctiv, mêm si ll n l st pas globalmnt) 4 s(a) = b a Quand a tnd vrs, λ tnd vrs, donc b tnd vrs + b Quand a tnd vrs infériurmnt, λ tnd vrs /, donc b tnd vrs supériurmnt c Lorsqu a vari d à, b vari d + à, donc s st décroissant 5 Entr t il n y a qu du ntirs : t ; pour a =, b =+ pour a =, b smbl valoir 4 4 Vérifions n rmplaçant dans (E) : = 6, 4 = 6 ok!,5 y,45,4,5, λ,5,,5,,5 a 4 6 b 8 4 Dérivés t ln Calculr la dérivé ds fonctions suivants : ( ) f( ) = ln 6 ln+ 5 f( ) ln + = + + ln f( ) = ² Corrction ln 6 f '( ) = ln 6 = Trminal S 4 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

5 + f( ) = + ln = + ln( + ) ln ( + ) + ² + f '( ) = + = = = + = + ( + ) + ln ln f( ) = = +, ² ² ² ln ln ln ln '( ) f = + = + = + = 4 4 ² ² ² 5 Primitivs t ln + Calculr la dérivé d la fonction f défini par f( ) = ln sur ] ; [ a Détrminr touts ls primitivs d la fonction h défini par : 4 h( ) = ( ² + ) b Détrminr la primitiv d h qui s annul n 4 Détrminr un primitiv F d chacun ds fonctions suivants qui répond à la condition posé : a b +,5 f( ) = t F() = + + cos f( ) = sin cos t F() = 4 Calculr la dérivé d la fonction défini par 5 Trouvr un primitiv d la fonction défini par : 6 a Montrr qu'un primitiv d ln f( ) = ln + st b Détrminr la primitiv d f qui s'annul pour = Corrction u'( ) f( ) = ln( u( )) f '( ) = u'( )ln'( u( )) = u( ) f( ) = + ( ² + ) (ln ) + ( ) ( ) ( + ) avc u( ) = u'( ) = = = ( )² ( )² ( )² d où a 6 u'( ) ( )² 6 6 f '( ) = = = = u( ) + ( )² + ( )( + ) u'( ) h( ) = = = = u'( ) u( ) ( ² + ) 6 ( ² + ) u( ) u( ) H( ) = + K= + K= + K (K rél) u( ) ( ² + ) b H() = + K= K= = d où ( ² + ) ² 76 En déduir l'nsmbl ds primitivs F d f avc u( ) = + t n = n= H( ) = + ( ² + ) 76 Trminal S 5 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

6 4 f( ) = ln + : f( ) = ln ( u( ) ) avc u( ) = t + ( + ) ( ) + u'( ) = = = ( + )² ( + )² ( + )² u'( ) ( + )² + f '( ) = = = = = = u( ) ( + )² ( + )( ) ( + )( ) ² + 5 f( ) = + ( ² + ) Soit u() = ² +, on a : u'() = + = ( + ) t + ( + ) u'( ) f( ) = = = = u'( ) u ( ) ( ² + ) u ( ) ( ² + ) ; qui st d la form '( ) n u u ( ) avc n =, ou n = Ls primitivs d tlls fonctions sont d la form : 6 a Dérivons n u ( ) ( ² + ) F( ) = = = n 4 ( ² + ) (+ constant ) (ln ) ln u( ) =, u'( ) ln = = donc u st bin un primitiv d ln Touts ls primitivs sont alors d la form u()+k (ln) b u() + K= K= u() = = 6 Calcul d limits π cos( π² ) + Soit f( ) = ; calculr lim f( ) f( ) = ln ; calculr lim f( ) ² + f( ) = ln ; calculr lim f( ) + ln+ lim + lim ln + + Corrction π π cos( π² ) + f( ) = cos( π² ) ( ) () lim f f = lim = f '() avc π π f() = cos( π ) = cos( ) = π π π π On calcul donc f '( ) = π sin( π² ) d'où f '() = π sin( π ) = π sin = = π + + lim = lim ln = ln= Trminal S 6 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

7 ² + lim ln lim ln( ² ) ln lim ln( ² ) lim ln ² ln + = + + = + = ² + ², or lim ln + = ln= t + ² 4 5 ln lim (ln ² ) = lim (ln ) = lim = car ln+ ln ln lim = lim + lim = car lim = t X + lim = + ln + ln( X) lim ln lim + + = = lim = d après l cours X 7 Résolution (in)équations Résoudr l équation : ln( ) = ln( 6) Résoudr l inéquation : ln + > ln lny= Résoudr dans R l systèm : + y= 4 Résoudr l inéquation : ln( + ) ln( ) > ln ln( + ) 5 Résoudr : + ln( + ) = ln(² + ) 6 Résoudr : ln(² 4²) < + ln() Corrction ln lim = Domain d définition : D = ; + ; +, par aillurs 6 > si t sulmnt + 7 si > On a donc Df = D ] ; + [ = ; + car + 7,56 Pour la résolution : ln a = ln b équivaut à a = b donc, l équation dvint : 5+ 4= d où ls solutions t 4 ; mais sul 4 st valabl = 6 ou ncor Domain d définition : il faut qu >, soit D f = ] ; + [ ln ln + ln ln + > > ln+ > ln( ) ln> ln + ln ln< < On ln ln put simplifir un pu : ( ) = = = t finalmnt S= ; ln ln ln ln y= y= = = y y + Ls du solutions sont positivs donc c st + y= y+ y= ² + y = = + bon 4 Attntion à l nsmbl d définition :,,,, ] ; [ + > > > > < > On a alors ln > ln > > > + + ( )( + ) ( )( + ) L numératur t l dénominatur sont positifs sur ] ; [, la solution st donc l intrvall ] ; [ Trminal S 7 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

8 5 + ln( + ) = ln(² + ) : il faut qu > t qu ² + = ( )( + ) > (à l tériur ds racins) donc D = ] ; + [ + ln( + ) = ln(² + ) ln + ln( + ) = ln(² + ) ln ( + ) = ln(² + ) ( + ) = ² + ln st un bijction : ² + ( ) ( + ) =, = ( )² + ( + ) = ² + + = ² = ( + 4)² ( ) ± ( + 4) =, = D ou = + D S = { + } 6 ln(² 4²) < + ln() Il faut qu ² 4² > t qu > i > t ² > 4² c'st-à-dir ( > ) t ( > ou < ) D = ] ; + [ ln(² 4²) < + ln() ln(² 4²) < ln + ln() ln(² 4²) < ln() ² 4² < (E) ² 4² < = 9² + 6² = 5² = (5)², 8 Avc ROC Trminal S 8 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés ± 5 = ; (E) < < 4 S = ] ; 4[ La fonction g st défini sur ] ; + [ par g( ) = ln+ 6 En utilisant ls variations d g, détrminr son sign suivant ls valurs d La fonction numériqu f st défini sur ],+ [ par a Démonstration d cours : au choi - démontrr qu ou bin - démontrr qu lim ln lim = t n déduir qu lim + + =+ t n déduir qu ln f( ) = + + =+ ln lim = + b Détrminr ls limits d f n t + (n +, on pourra posr X = ) c Utilisr la prmièr parti pour détrminr l sns d variation d f Soit la droit d'équation y = t C la rprésntation graphiqu d f dans un rpèr orthonormé du plan Montrr qu st asymptot d C t étudir lurs positions rlativs construir C t Corrction 4+ g'( ) = + = = = On a alors 4 ( ) car st positif Conclusion g st décroissant avant, croissant après ; on a un minimum n qui vaut g()=++6=8 t st positif Finalmnt g() st toujours positiv ln f( ) = + a No commnt b Comm ln lim =, si on pos X =, cla nous donn + En, ln tnd vrs t tnd vrs + donc ln ln lnx lnx lim = lim = lim = + + X + X X X tnd vrs ainsi qu f

9 ( ln ) ln ln + 6 ln ( ) c '( ) + g f = + = + = = = Donc f st du sign d g t donc toujours positiv, f st donc croissant ln On a f( ) ( ) = qui tnd vrs à l infini t qui st positif (C au-dssus d ) lorsqu >, négatif lorsqu < (C n dssous d ) 9 Dérivation t ncadrmnt L plan P st muni d un rpèr orthonormé ( O ; i, j) (unité graphiqu cm) On considèr la fonction défini sur [, + [ par : Montrr qu f st continu n ln( + ) f( ) = si > f() = a Etudir l sns d variation d la fonction g défini sur [, + [ par Calculr g() t n déduir qu sur R + : ln( + ) + b Par un étud analogu, montrr qu si, alors ln( + ) ln( + ) c Établir qu pour tout strictmnt positif on a + En déduir qu f st dérivabl n zéro t qu f '() = g( ) = ln( + ) + Trminal S 9 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

10 a Soit h la fonction défini sur [, + [ par h( ) = ln( + ) + Étudir son sns d variation t n déduir l sign d h sur [, + [ b Montrr qu sur [, + [, h( ) f '( ) = c Drssr l tablau d variation d f n précisant la limit d f n + d On désign par C la rprésntation graphiqu d f Construir la tangnt T à C au point d'absciss Montrr qu C admt un asymptot Tracr la courb C Corrction ln( + ) f( ) = si > ; f st continu n ssi lim f( ) = f(), or l cours donn justmnt la limit f() = ln( + ) lim = a g ( ) + + '( ) = + = = Donc g st décroissant t comm g()=, on a égalmnt g( ), soit ln( + ) + b On prnd k( ), soit c + + k( ) = ln( + ) + k'( ) = + = = ln( + ) ln( ) ln( ) ln( ) t k () = donc ln( + ) f( ) f() ln( ) f dérivabl n zéro : on calcul lim lim + = = lim ; or l résultat précédnt montr qu ctt limit st précisémnt qui st donc f () a h( ) = ln( + ), + donc h( ) b c ln( + ) h( ) f '( ) = + = ln( + ) ln lim f( ) = lim lim = h'( ) = = = ( + ) + ( + ) ( + ) ; on a h () = t h décroissant Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

11 Fonction+équation, Am Nord 6/8, 6 pts Soit f la fonction défini sur l intrvall ] ;+ [ par f ( ) = ln ln On nomm (C) la courb rprésntativ d f t ( Γ ) la courb d équation orthogonal ( O ; i, j) y= ln dans un rpèr Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

12 Étudir ls variations d la fonction f t précisr ls limits n t n + a Détrminr lim f( ) + b Précisr ls positions rlativs d (C ) t d (Γ ) ln Intrprétr graphiqumnt ctt limit On s propos d chrchr ls tangnts à la courb (C ) passant par l point O a Soit a un rél appartnant à l intrvall ] ;+ [ Démontrr qu la tangnt T a à (C) au point d absciss a pass par l origin du rpèr si t sulmnt si f ( a) af '( a) = Soit g la fonction défini sur l intrvall ] ;+ [ par g( ) f ( ) f '( ) = b Montrr qu sur ] ;+ [, ls équations g( ) = t ( ) ( ) solutions c Après avoir étudié ls variations d la fonction u défini sur R par ( ) fonction u s annul un fois t un sul sur R ln ln ln = ont ls mêms d En déduir l istnc d un tangnt uniqu à la courb (C) passant par l point O u t = t t t, montrr qu la La courb (C) t la courb (Γ ) sont donnés ci-dssus Tracr ctt tangnt l plus précisémnt possibl sur ctt figur 4 On considèr un rél m t l équation f ( ) = m d inconnu Par lctur graphiqu t sans justification, donnr, suivant ls valurs du rél m, l nombr d solutions d ctt équation appartnant à l intrvall ] ; ] Corrction On a f u u =, avc u( ) = ln, dérivabl t qui n s annul pas sur ] [ ] ; + [ n tant qu différnc d du fonctions dérivabls sur ] ; + [ u u f = u u u u = = + u u Comm >, + lim( ln) = d où lim ln > lim + ( ln) avc u ( ) = Donc f ( ) = + = + ; + Donc f st dérivabl sur ( ln) ( ln) > t + >, c st-à-dir f ( ) > f st strictmnt croissant sur ] [ ( ) =+ d où > a ( f( ) ) ln =+, donc limf ( ) ( ) lim + > =, donc lim f( ) ( ln) + = (par somm ds limits) =+ (par somm ds limits) ;+ lim ln = lim = + + ln Ls courbs ( C ) t ( Γ ) sont asymptots n + f ln= ; or, pour >, ln> ; donc f ( ) ln<, ( C ) st n dssous d ( Γ ) ln y= f a a + f a = f a + f a af a ; T a pass par l origin du b ( ) a T a a pour équation ( )( ) ( ) ( ) ( ( ) ( )) rpèr si = f '( a) + f ( a) af ( a) f ( a) af ( a) = b g( ) = équivaut à f ( ) f ( ) = ; or f ( ) = + ( ln) t f ( ) = ln, soit : ln ( ) ( ) ( ) ln ln ln ln + = ln = = ln ( ln) ln ( ln) ln Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

13 Par conséqunt ls équations g( ) = t ( ) ( ) ln ln ln = ont ls mêms solutions c u ( t) = t t = ( t )( t+ ) u ( t) pour t appartnant à ; [ ; + [ pour t appartnant à ; t u ( t) + u ( t) + + u 7 + Avant l maimum d u st négatif ; après, u pass d à +, on n déduit qu la fonction u s annul un sul fois sur R d T a pass par l origin du rpèr si ( ln) ln ( ln) =, c st-à-dir si ( ) qustion c prouv qu ctt équation n admt qu un solution, qu l on notra a, sur R u ln = Or la À l aid d la calculatric, on trouv a 6, 9 : il n ist qu un sul tangnt à (C) passant par l origin du rpèr 4 Par lctur graphiqu : résoudr f ( ) = m rvint à chrchr l intrsction ntr (C) t ls droits f ( ) passant par l origin t d pnt m ; on a donc pour t - si m m l équation f ( ) m - si m,87 m f ( a ), l équation ( ) - si > ( ) l équation f ( ) m m f a = admt un sul solution ; m = : f = m admt du solutions ; = n admt aucun solution Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

14 Ln t p+intégral Polynési 9/8 6 pts On considèr la fonction f défini sur R par ( ) ln( f ) = + La courb (C) rprésntativ d la fonction f dans un rpèr orthogonal st donné ci-dssous Trminal S 4 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

15 Parti A - Étud d la fonction f Montrr qu, pour tout rél, f( ) ln( ) On admt qu, pour tout rél, f( ) = + ln( + ) Calculr lim f( ) + Étudir la position rlativ d (C) t d (d) Calculr lim f( ) Trminal S 5 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés = + + t montrr qu la droit (d) d'équation y = st asymptot à (C) t montrr qu la droit (d ) d'équation y= + ln st asymptot à (C) 4 Étudir ls variations d la fonction f Montrr qu l minimum d la fonction f st égal à ln 5 Tracr ls droits (d) t (d ) sur la figur Parti B - Encadrmnt d'un intégral f d On pos I ( ) = Donnr un intrprétation géométriqu d I Montrr qu, pour tout X [ ; + [, ln( ) + X X En déduir qu I d t donnr un ncadrmnt d I d'amplitud, Corrction Parti A f ( ) ln( ) ln( ( )) ln ln( ) ln( ) Rmarqu : si on mt n factur à la plac d, on a f ( ) = + ln( + ) = + = + = + + = + + lim f ( ) lim ln( ) ln( ) + = + + =+ + + =+ ; + ( ) ( ) ( ) lim f = lim ln + = ln + = : la droit (d) d'équation y = st asymptot à (C) + +

16 lim f ( ) lim ln( ) ln( ) = + + =+ + + =+ ; ( ) ( ) ( ) ( ) lim f + = lim ln + = ln lim f + ln = : la droit (d ) y= + ln st asymptot à (C) 4 f '( ) = + Trminal S 6 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés ; f ( ) ' ln ln ln ln ln / / ln f = + = ln + = ln + = ln = ln Parti B - Encadrmnt d'un intégral ln ln / / / / ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) I rprésnt l air compris ntr (C), la droit (y=), ls droits = t = ( ) ( ) ln + X X ln + car > Par aillurs on a f ( ) I 6 4 ( ) ln( ), 5 ;, st un I = f d = + d d = = + stimation d I d'amplitud, Somms partills séri harmoniqu, N Calédoni 7 7 points Soit (u n ) la suit défini sur N * par PARTIE A Montrr qu pour tout n d N *, u u n n+ k= n = = k n n+ n k= n En déduir l sns d variation d la suit (u n ) Établir alors qu (u n ) st un suit convrgnt n un = n n ( + )( n+ ) L objctif d la parti B st d détrminr la valur d la limit d la suit (u n ) PARTIE B Soit f la fonction défini sur l intrvall ] ; + [ par : f ( ) a Justifir pour tout ntir naturl n non nul l ncadrmnt : n+ n n b Vérifir qu d = f ( n) c En déduir qu pour tout ntir naturl n non nul, f ( n) On considèr la suit (S n ) défini sur N * par S n k= n = + ln + n+ d n+ n n n n ( + ) = = k k n n n n n n k= n ( + ) ( + ) ( + )( + ) ( + ) f n Sn a Montrr qu pour tout ntir naturl n non nul, f ( n) f ( n ) ( ) b Détrminr ls réls a t b tls qu pour tout rél distinct d t d, on ait a b = ( )

17 c En déduir l égalité S n n+ = n n ( + ) d En utilisant ls qustions précédnts, détrminr alors la limit quand n tnd vrs + d k= n f ( k) = f ( n) + f ( n+ ) + + f ( n) k= n f n + f n+ + + f n = u n ln + n Vérifir qu pour tout ntir n >, ( ) ( ) ( ) f Détrminr la limit d la suit (u n ) Corrction PARTIE A u n k= n = = k n n+ n k= n un+ un= = + d où n+ n n+ n+ n n+ n n+ n+ n u n+ n un = n n ( + )( n+ ) La suit (u n ) st décroissant puisqu n < La suit st positiv puisqu somm d trms positifs ; ll st décroissant t minoré, ll convrg bin PARTIE B n+ a n n+ d n+ n n+ n n n+ + n+ d = ln = ln n+ lnn= ln n ; n n b [ ] ( ) par aillurs f ( n) c Comm a Comm n n+ ln ln a b = = car ln = ln n n n n+ n b a n+ d, on a : n+ n n n f ( n) f ( n) f ( n) = n+ n n n+ n n n+ n n+ f ( n), n n ( ) ( + ) f n+,, on somm touts cs inégalités t on obtint : ( n+ )( n+ ) f ( n), n n ( + ) ( ) f ( n) + f ( n+ ) + + f ( n) = S n n n n n n n ( + ) ( + )( + ) ( + ) Trminal S 7 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

18 b On a déjà l résultat au c : c On rmplac donc dans S n = n n+ n n+ k= n ( ) ( ) = = = car tous k k+ n n+ n+ n+ n n+ n n+ k= n ls trms intrmédiairs s éliminnt ; S d n u n n+ n n+ = = = n n+ n n+ n n+ ( ) ( ) S tnd vrs n + ; grâc au «gndarms» f ( n) f ( n ) f ( n) n k= n = = ; k n n+ n k= n tnd égalmnt vrs n n+ n f ( n) + f ( n+ ) + + f ( n) = + ln + + ln ln n n+ n+ n+ n n+ n n+ n = ln n n+ n n n n n n+ = un + ln = un ln = un ln + n+ n n Ls logarithms s simplifint car tous ls trms du produit à l intériur du crocht s éliminnt f On sait déjà qu f ( n) f ( n ) f ( n) vrs ln Fonction+air+suit, Liban 6 7 points Parti A : étud d un fonction tnd vrs ; l logarithm tnd vrs ln donc u n tnd ;+ par f() = ln( +) Sa courb rprésntativ (C) dans un rpèr orthogonal ( O ; u, v) st donné ci-dssous Soit f la fonction défini sur l intrvall [ [ a Montrr qu la fonction f st strictmnt croissant sur l intrvall [ ;+ [ b L a ds abscisss st-il tangnt à la courb (C) au point O? Trminal S 8 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

19 On pos I = d + a Détrminr trois réls a, b t c tls qu, pour tout, b Calculr I c = a+ b+ + + À l aid d un intégration par partis t du résultat obtnu à la qustion, calculr, n unités d airs, l air A d la parti du plan limité par la courb (C) t ls droits d équations =, = t y = 4 Montrr qu l équation f() =,5 admt un sul solution sur l intrvall [ ; ] On not α ctt solution Donnr un ncadrmnt d α d amplitud Parti B : étud d un suit n La suit (u n ) st défini sur N par = ln( + ) u d n Détrminr l sns d variation d la suit (u n ) La suit (u n ) convrg-t-ll? ln Démontrr qu pour tout ntir naturl n non nul, u n En déduir la limit d la suit (u n ) n + Corrction Parti A : étud d un fonction Soit f la fonction défini sur l intrvall [ ;+ [ par f() = ln( +) croissant sur ct intrvall a f '( ) = ln( + ) + ; sur [ ;+ [ ls du trms ln( ) + b La tangnt n O a pour équation y ( )( ) au point O a b = + = t + sont positifs donc f st = ln + + = donc l a ds abscisss st tangnt à (C) ln ln + + I = d= + d= + + = + ln + d= ln + d= ln I = + 4 ( ) ( ) 4 La fonction f st continu, monoton strictmnt croissant t donc bijctiv d f ( ) f ( ) = ln,69 ; comm, 5 [ ; ln ],,5 a un uniqu antécédnt dans [ ; ] On obtint d où α, 56 Parti B : étud d un suit f(),5694,4999,565445,54558 n+ n n ln( ) ln( ) ( ) ln( ) n n = vrs ; comm ( ) u + u = + d + d = + d st négatif t qu ls autrs trms sont posititfs sur [ ; ], l intégral st négativ t (u n ) st décroissant Par aillurs il st évidnt qu (u n ) st positiv donc (u n ) décroissant, minoré par convrg Trminal S 9 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

20 On a ln( + ) < ln sur [ ; ] donc ( ) Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés n n ln ln n ln ln n + n + n+ u = + d d= = ln On a donc bin u n Comm ln tnd vrs à l infini, la suit convrg vrs n + n+ 4 Logarithm+ po+ acc finis Parti A L but d ctt parti st d'étudir la fonction f défini sur ] ; + [ par ln f( ) = + (C) st la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthonormal (O ; i,j ) Étud d la fonction auiliair g défini sur ] ; + [ par a Étudir l sns d variation d g t calculr g() b En déduir l sign d g() pour tout d ] ; + [ a Calculr ls limits d f n t n + b Étudir ls variations d f t drssr son tablau d variations g( ) = + + ln (unité graphiqu : cm) c Montrr qu la droit d'équation y = st asymptot à (C) t étudir la position d (C) par rapport à d Détrminr ls coordonnés du point A d (C) sachant qu (C) admt n A un tangnt T parallèl à Tracr (C), t T dans l rpèr (O ; i,j ) Calculr, n cm, l'air du domain plan limité par, la courb (C) t ls droits d'équations = t = 4 Montrr qu l'équation f() = admt un solution uniqu Prouvr qu Parti B L but d ctt parti st d détrminr un valur approché d On désign par h la fonction défini sur ] ; + [ par h( ) = Montrr qu st l'uniqu solution d l'équation h() = On not I l'intrvall ; Montrr qu, pour tout appartnant à I, h() appartint aussi à I a Calculr la dérivé h d h t la dérivé scond h'' d h b Étudir ls variations d h sur I c En déduir qu, pour tout d I, on a h'( ) 4 On considèr la suit défini par u = t u n + = h(u n ) pour tout ntir naturl n d N a Montrr par récurrnc qu, pour tout n d N : u n b En utilisant l'inégalité ds accroissmnts finis, montrr qu, pour tout n d N : c En déduir qu, pour tout n d N : u n 5 a Détrminr l plus ptit ntir naturl n tl qu, pour tout ntir n n, on ait : n / n+ α n α u u n <

21 b Montrr qu : défaut Corrction Parti A a n u Qu rprésnt ( ² ) g'( ) = = = ( )( + ) u n rlativmnt à? Calculr + g () + + g() u n à près par g() = ² + = b st un minimum d la fonction g sur ] ; + [ donc la fonction g st positiv qul qu soit a ln ln lim f( ) = lim ( + ) lim lim = + = car ln ln lim f( ) = lim ( + ) = lim + lim =+ car b ln ln lim = lim X = lim ( X ln X) = X + X + X + ln lim = + ln ² ln g( ) f '( ) + = + = = du sign d g(), c st à dir positif! ² ² ² f st donc strictmnt croissant sur ] ; + [ + f () + f () ln + c lim ( f( ) ) = lim =, donc la droit d équation y = st asymptot à la courb Lorsqu < + + la courb st n dssous d, lorsqu >, la courb st au-dssus d (C) admt n A un tangnt d cofficint dirctur ssi f '( A) = : g( A) f '( A) = = A ² + ln A = A ² lna = lna = lna = A = ; ² A ln f( A) = f( ) = +,45 = + + Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

22 y y Il faut calculr form u' u dont un primitiv st Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés ln ( f( ) ) d= d ; or st la dérivé d ln, donc on a qulqu chos d la u : ln ( f( ) ) d= d= (ln ) = = 4 La fonction f st continu, strictmnt croissant, sur ] ; + [, c st donc un bijction d ] ;+ [ sur R Il ist bin un valur appartnant à ] ; + [ tll qu f( ) = ln f = + = 4ln < t 5 Logarithm+primitiv ln f () = + = > donc L'objt d c problèm st d'étudir un fonction à l'aid d'un fonction auiliair t d n détrminr un primitiv Parti A Soit f la fonction défini sur l'intrvall ] ;+ [ par : f( ) = ln( + ) +

23 Calculr f (), étudir son sign t n déduir l tablau d variation d la fonction f Calculr f() Montrr qu l'équation f() = admt actmnt du solutions dont l'un, qu l'on désign par α, appartint à [,7 ;,7] Donnr l sign d f(), pour appartnant à ] ;+ [ Parti B Soit g la fonction défini sur l'nsmbl D = ] ; [ ] ;+ [ par : Étud d g au borns d son nsmbl d définition Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés ln( + ) g( ) = ² a Calculr ls limits d g() quand tnd vrs par valurs infériurs t quand tnd vrs par valurs supériurs b Calculr lim g( ) t lim g( ) > Sns d variation d g + a Calculr g () t déduir, à l'aid d la parti A, son sign b Montrr qu gα ( ) = α( α + ) Tablau t rprésntation graphiqu d g a Drssr l tablau d variation d la fonction g En déduir un valur approché d g( α ) n prnant α,75 b Rprésntr graphiqumnt la fonction g dans l plan rapporté à un rpèr orthonormal (unité graphiqu cm) 4 Calcul d un primitiv d g : Soit h la fonction défini sur D par : ln( + ) h( ) = ² ( + ) a Détrminr ds fonctions u t v tlls qu l on puiss écrir h( ) = u'( ) v( ) + u( ) v'( ) t n déduir un primitiv d h b Après avoir vérifié qu = ( + ) +, détrminr un primitiv d ( + ) c Déduir ds qustions précédnts, un primitiv d g Corrction Parti A f( ) = ln( + ), D f = ] ;+ [ + f st dérivabl comm somm d fonctions dérivabls : n fft, u: st dérivabl sur D f t + v : + = y lny st dérivabl sur D f + ( + ) f '( ) = = = ( + )² + ( + )² ( + )² f '( ) + f () + f() f(-/)

24 ( + )ln( + ) lim f( ) = lim = car lim X lnx = + X > > lim ln( + ) = car lim = t lim ln( ) = + / f( / ) = ln = + ln,9, f() = / f st continu t strictmnt croissant sur l intrvall ] ; /[ t f() chang d sign sur ct intrvall ; il ist donc un nombr α d ] ; /[ tl qu f( α ) = f(,7),7 t f(,7),5 donc,7< α <,7 Sign d f() : α + f() + Parti B ln( + ) g( ) =, D = ] ; [ ] ;+ [ ² a ln( + ) lim g( ) = lim = car < < D mêm b ln( + ) lim g( ) = lim =+ > > lim g( ) = t ln( + ) lim = t ln( + ) + lim g( ) = lim = car + + ( + ) ² lim = < lnx lim = t + X X + lim = + ² ² ln( + ) ln( + ) ( ) a '( ) f g = + = + = 4 α + f() + + g () + ln( α + ) α α b g( α) = ; or on sait qu f( α ) = donc ln( α + ) = ln( α + ) = α ² α + ( α + ) ln( α + ) α On déduit qu g( α) = = =,455 α ² ( α + ) α ² α( α + ) α + g () + g() + Trminal S 4 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

25 5 y ln( + ) 4 a h( ) = u= ln( + ), u' =, v' =, v= h= uv' + u' v ² ( + ) + ² ln( + ) La fonction uv = st un primitiv d h b ( + ) = = donc la fonction ln( ) ln( + ) st un primitiv d + ( + ) ( + ) c Un primitiv d la fonction ln( + ) g( ) = = h( ) + st ² ( + ) ( + ) ln( + ) + ln ln( + ) 6 Logarithm On considèr la fonction f défini sur l'intrvall [ ;+ [ par : f( ) = ln + ² si > t f () = On not (C ) la courb rprésntativ d f dans un rpèr orthonormal ( O ; i, j) (unité graphiqu : 5 cm) L but du problèm st d'étudir crtains propriétés d la fonction f Parti A : Etud d'un fonction auiliair On considèr la fonction g défini sur l'intrvall ] ; + [ par : Calculr la dérivé g ' d g Montrr qu pour tout d ] ; + [, Trminal S 5 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés g( ) = ln + ² ² + ( ² ) g'( ) = ( ² + )² Etudir l sign d g'() slon ls valurs d Détrminr la limit d g n + Détrminr la limit d g n Drssr l tablau ds variations d g 4 En déduir qu'il ist un uniqu nombr rél α > tl qu g( α ) = Vérifir qu, 5< α <,6 Déduir ds qustions précédnts l sign d g() sur l'intrvall ] ; + [

26 On n dmand pas d construir la courb rprésntativ d la fonction g Parti B : Etud d la fonction f a Calculr la limit quand tnd vrs + d f( ) (on pourra posr X = ) ² b En déduir qu f() tnd vrs quand tnd vrs + Montrr qu pour tout d ] ; + [, on a f ( ) = g( ) Drssr l tablau d variations d f sur ] ; + [ Etud d f n a Montrr qu ln + tnd vrs quand tnd vrs par valurs supriurs Qu put-on n ² conclur? b Etudir la dérivabilité d f n c Précisr la tangnt à la courb d f au point O Donnr l équation d la tangnt au point d absciss 4 Donnr l allur d (C) Corrction a g st dérivabl comm somm d fonctions dérivabls En fft, composé d fonctions dérivabls, d mêm qu ² + ln + st dérivabl comm ² ( ² ) 4 ² ( ² ) '( ) + + g = + = + = + = = ( ² ) ² ( ² + ) ( ² + ) ( ² + ) ( ² + ) ( ² + ) ² ² b L sign d g'() st clui d si < <, g'() st négatif ; si >, g'() st positif lim g( ) = lim ln + lim ; + + ² + ² + donc lim g( ) = + = ( )( + ) Comm g' st défini sur lim = donc + ² lim g( ) = lim ln + lim ; ² ² + lim =+ donc ² X = + ² t lim = donc lim g( ) =+ ² + 4 a * R +, on a : lim ln + = ln= t + ² + g'() + lim ln + = lim lnx =+ ² X + lim = + ² + avc g() +, g () = ln( + ) = ln, ² ² + Trminal S 6 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

27 4 b La fonction st continu t dérivabl sur ] ; ], d plus ll st strictmnt décroissant sur ct intrvall n changant d sign, donc il ist un valur α > tll qu gα ( ) = On a g(, 5),948 t g(,6),445 donc g(,5) > = g( α) > g(,6) t comm g st décroissant,,5 < α <,6 5 Pour < < α, alors g() st positif ; pour > α alors g() st négatif a b ln + lim ( ) = lim ² ln + = lim = lim X = (cours) ² ln( X) f X lim f( ) = lim f( ) = lim = f( ) = ln( + ), f '( ) = ln( + ) + = ln( + ) + = ln( + ) = g( ) ² ² ² ² + + ² ² + ² ² α + f '() + f() f(α ) ² + ² ² a lim ln + = lim ln = lim( ln( ² + ) ln ² ) > > > limln( ² + ) = car lim ln( ² + ) = ln= > > Trminal S 7 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

28 Conclusion : ln ln ln ln lim ln ² lim lim lim X = = + = = lim = avc X + X > > > > limln + = ² > b f dérivabl n si t sulmnt si la limit d son tau d'accroissmnt st fini La fonction n'st donc pas dérivabl n f( ) f() f( ) lim = lim = lim ln + =+ ² X = c La tangnt n O à f st vrtical Son équation st = 4 La tangnt au point d'absciss a pour équation y= f '()( ) + f() : f '() = g() = ln d où y= (ln )( ) + ln y= (ln ) + 5 f () = ln( + ) = ln, ² Rmarqu : On a vu dans la parti A qu g'() =, or g'() = f "(), c'st-à-dir la dérivé scond d f n : la courb admt un point d'inflion pour = 7 Logarithm+ asymptot+primitivs + Soit la fonction défini sur l'intrvall I = ]4 ;+ [ par : f( ) = + 5+ ln 4 rprésntativ dans l rpèr orthonormal (O ; i,j ), unité graphiqu : cm Étud d f a Étudir ls limits d la fonction f au borns d I b Montrr qu sur I, f () st strictmnt négatif t drssr l tablau d variation d f t (C) sa courb c Montrr qu la droit (D) d'équation y = + 5 st un asymptot à (C) Précisr la position d (C) par rapport à (D) Tracr la courb (C) t la droit (D) dans l rpèr (O ; i,j ) Trminal S 8 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

29 Détrminr ls coordonnés du point d (C) où la tangnt a un cofficint dirctur égal à Donnr un équation d t la tracr dans l rpèr (O ; i,j ) 4 Calcul d'air 9 a Détrminr, à l'aid d'un intégration par partis, ls primitivs sur ] ; + [ d la fonction ln b Montrr qu la fonction G : ( + ) ln ( + ) st un primitiv d la fonction g : ln ( + ) sur I c Montrr qu la fonction H : ( 4) ln ( 4) st un primitiv d la fonction h : ln ( 4) sur I d Déduir ds qustions précédnts l calcul d l'air A du domain plan délimité par la courb (C), la droit (D) t ls droits d'équations rspctivs = 5 t = 6 On donnra la valur act d A puis un valur approché à près 5 Intrsction d (C) t d l'a ds abscisss a Montrr qu l'équation f() = admt dans I un uniqu solution, noté b Détrminr graphiqumnt un ncadrmnt d d'amplitud,5 c À l'aid d la calculatric, détrminr un ncadrmnt d d'amplitud On plicitra la méthod mployé Corrction + + a Lorsqu tnd vrs 4, tnd vrs + ainsi qu ln donc f tnd vrs Lorsqu tnd vrs +, + 4 b f [ ] + tnd vrs, ln tnd vrs, +5 tnd vrs donc f tnd vrs 4 + ( + )( 4) 5 '( ) = + ln ln( ) ln( 4) 4 = + + = + 4 = + ( + )( 4) Lorsqu > 4, + st positif, 4 st positif donc l numératur st négatif t l dénominatur st positif Moralité, f st négativ + c f( ) ( + 5) = ln ; nous avons dit qu c trm tnd vrs lorsqu tnd vrs + donc la droit 4 + (D) st un asymptot à (C) Lorsqu > 4, > donc (C) st au-dssus d (D) 4 a On pos u= ln, v' = u' =, v= d où un primitiv d ln st b On dériv G : G'( ) = ln( + ) + ( + ) = ln( + ) + c Eactmnt paril c On chrch ln d = ln 6 6 f d d G G H H ; 5 5 A = ( ) ( + 5) = ln( + ) ln(4 ) = [ (6) (5)] [ (6) (5)] G(6) G(5) = 7 ln7 6 6 ln6+ 5= 7 ln7 6 ln6, H(6) H(5) = ln 6 ln+ 5= ln, t l résultat A = 7 ln7 6 ln6 ln,48 U 8 Fonction inconnu Parti A Trminal S 9 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

30 Soit la fonction f défini sur ] [ st donné ci-dssous ;+ par : f( ) = a+ ( b+ c)ln avc a, b t c ds réls La courb (C) d f En utilisant c graphiqu t n sachant qu f () = ln, justifir qu l on a a= c= t b= Parti B On considèr alors la fonction g défini sur ] [ a Détrminr la limit d g n b Détrminr la limit d g n + a Détrminr la fonction dérivé d g b Etudir, pour dans ] [ variations d g Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés ;+ par : g( ) = + ( )ln ;+, l sign d ln t clui d Drssr l tablau complt ds variations d g 4 Soit la droit d équation y= En déduir l sign d g'( ) t ls a Résoudr dans R l équation ( )ln= t donnr un intrprétation graphiqu ds solutions b Etudir la position d la courb rprésntativ d g par rapport à Corrction Parti A f() = ln a+ ( b+ c)ln = ln ; par aillurs la dérivé s annul n t f() = : b+ c b+ c f '( ) = a+ bln+ a+ + = a+ b+ c= ; f() = a+ = a= On a donc + ( b+ c)ln = ln b+ c= ; avc + b+ c= on tir c= t b=

31 Parti B a En, ln tnd vrs, donc g tnd vrs = = b Mttons n factur : g( ) ( )ln [ ( ) ] ln+ ln a g'( ) = ln+ = = b ln chang d sign n, d mêm qu puisqu st positif La dérivé st constitué d du morcau qui changnt d sign au mêm ndroit : avant ll st positiv, après ll st négativ + g '() + g() = 4 a ( )ln= = ou= : la courb coup la droit n cs du points ln= b g( ) = ( )ln st positif sur 9 Un fonction assz simpl On considèr la fonction f défini sur R * + par : ; : C au-dssus d ; sinon C st n dssous d ln+ f( ) = ² On not (C) la courb rprésntativ d f dans un rpèr ( O ; u, v), unité graphiqu cm Parti A : Etud d un fonction auiliair On considèr la fonction g défini sur R * + par : g() = ln + Détrminr ls limits d g n t n + Etudir l sns d variation d g Montrr qu dans [,5 ; ] l équation g() = admt un solution uniqu α dont on détrminra un valur approché à près 4 En déduir l sign d g() suivant ls valurs d Parti B : Etud d la fonction f Détrminr ls limits d f au borns d son nsmbl d définition Etudir l sns d variation d f + α Montrr qu f( α) = t n donnr un valur approché à près α ² 4 Donnr l tablau d variation d f 5 Tracr (C) Corrction lim g( ) = lim ln + = lim ln lim + =, A ( ) Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

32 ( ) lim g( ) = lim ln + = lim ln lim+ =+ g'( ) = = du sign d ; > < / c qui st impossibl puisqu st positif La fonction g st donc négativ qul qu soit positif Donc la fonction g st strictmnt décroissant sur R * + g(,5),7 t g(),78 (à la calculatric) La fonction g st continu, strictmnt décroissant, t chang d sign sur l intrvall [,5 ; ] donc il ist un valur uniqu α d ct intrvall tll qu g(α ) = A la calculatric : α,67 4 On n déduit qu, qul qu soit < α on a g() positif, t > α, g() négatif B ln+ ln lim f( ) = lim = lim + lim = car + + ² + ² + ln + ln + ln+ lim f( ) = lim = lim = lim = ² ² > > > > f st dérivabl sur son domain d définition ln+ ln f( ) = = +, ² ² ln ln lim lim lim = t lim = + ² ² ln ln ² ln ( ) '( ) g f = = = = 4 4 f st donc du sign d g car st strictmnt positif sur R * + Par conséqunt, f st positiv qul qu soit infériur à α t négativ aillurs t donc f croissant sur ] ; α [ t décroissant sur ]α ; + [ On sait qu g(α ) = c'st-à-dir qu lnα α = ou ncor α + α lnα + α + α f( α) = = =,65, α ² α ² α ² α + f () + f () f(α ) α lnα =, soit Courb d g Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

33 5 4 a Courb d f Logarithms 7 points Parti A On considèr la fonction g défini sur ] ; + [ par ( ) g = + ln Calculr g' ( ) pour tout d ] ; + [ Étudir son sign sur ] ; + [ Drssr l tablau d variations d g sur ] ; + [ (On n dmand pas ls limits d g au borns d son nsmbl d définition) En déduir qu pour tout d ] ; + [, g() < Parti B Soit f la fonction défini sur ] ; + [ par f ( ) ln = + On désign par C sa courb rprésntativ dans l plan muni d un rpèr orthogonal ( O ; i, j) graphiqus cm sur l a ds abscisss t cm sur l a ds ordonnés a Calculr la limit d f n Intrprétr graphiqumnt c résultat b Calculr la limit d f n + c Démontrr qu la droit d équation y = + st asymptot à la courb C d Étudir la position rlativ d C t sur ] ; + [ a Calculr f '( ) pour tout > b Vérifir qu pour tout d ] ; + [, f '( ) ( ) g = c Déduir d la parti A l tablau d variations d f sur ] ; + [ d Calculr f() En déduir l sign d f sur ] ; + [ Dans l plan muni du rpèr ( O ; i, j), tracr la droit t la courb C d unités Parti C (vrsion ) Trminal S F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

34 F = + ln st un primitiv d f 4 Vérifir qu la fonction F défini sur ] ; + [ par ( ) ( ) Calculr l intégral I ( ) = f d (on donnra la valur act) a Hachurr sur l graphiqu la parti E du plan limité par la courb C, l a ds abscisss t ls droits d équations = t = b Déduir d la qustion d la parti C la valur act d l air S d E n cm, puis n donnr la valur arrondi n cm, au mm près Parti C (vrsion ) Démontrr qu il ist un uniqu tangnt à C parallèl à, précisr ls coordonnés du point d contact J t l équation d ctt tangnt T Tracr T dans l rpèr précédnt Soit un rél supériur ou égal à M t N sont ls points d absciss situés rspctivmnt sur C t sur a Précisr, n fonction d, la valur d la distanc MN b Etudir sur [ ; + [ ls variations d la fonction h défini sur [ ; + [ par h( ) ln = c Déduir ds qustions précédnts qu la distanc MN st maimal lorsqu M st n J t précisr la valur d ctt distanc maimal Corrction Parti A ( )( + ) 4 g( ) = + ln, ( ) g' = 4+ = = Sur ] ; + [ sul l trm chang d sign : positif avant /, négatif après / / + g () + g() ln L maimum d g st Parti B a f ( ) ln Trminal S 4 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés donc ( ) g g = ln < ln = + : ln = ln ; or n ln tnd vrs t tnd vrs + quand tnd vrs ; la droit = st asymptot d C b On sait qu ln tnd vrs + Conclusion, f tnd vrs quand tnd vrs + donc f tnd vrs car + tnd vrs ln ln c f ( ) ( + ) = + + = donc la droit y = + st asymptot à la + courb C d Lorsqu >, dssous d ln < car ln > Donc sur [ ;+ [ C st au-dssus d ; sur ] ] ; C st n

35 a b c f ( ) ln ln ( ) ' + g = = = Donc f st négativ t f décroissant + f () + f() d f() = : lorsqu st infériur à, f ( ) f ( ) f ( ) < f ( ) = y > = car f st décroissant Lorsqu st supériur à, Parti C (vrsion ) ln 4 F '( ) = ( ) + ln = + = f ( ) : F st un primitiv d f I = f d= F F = + ln ln, = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) b L unité d air st d air, c qui nous fait cm cm= cm ; on prnd la valur absolu d l intégral multiplié par l unité +, soit nviron,45 cm au mm près Parti C (vrsion ) Trminal S 5 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

36 Pour avoir un tangnt parallèl à, il faut trouvr tl qu f '( ) =, + ln = ln= = L ordonné st alors f ( ) = + ; l équation d T st y = + + = + ln = + = = a Comm C st n dssous d, on a MN ( ) f ( ) h( ) b h' ( ) ln = qui chang d sign n = ; la distanc MN st maimal lorsqu M st n J t ctt ln h = = distanc vaut ( ) Ln+scond dgré+intégral, Antills L plan st rapporté à un rpèr orthonormal ( O ; i, j) On considèr la fonction f, défini sur l intrvall ] ; + [ par : On not (C ) sa courb rprésntativ ( ) ln ( ln ) f = + Parti A - Étud d la fonction f t tracé d la courb (C) a Résoudr dans ] ; + [ l équation f ( ) = (On pourra posr ln = X) b Résoudr dans ] ; + [ l inéquation f ( ) > a Détrminr ls limits d f n t n + b Calculr f '( ) c Étudir l sns d variation d f t drssr son tablau d variations Détrminr un équation d la tangnt (T) à la courb (C) au point d absciss 4 Tracr la courb (C) t la droit (T) (Unité graphiqu : cm sur chaqu a) Parti B - Calcul d un air Rstitution organisé ds connaissancs : Démontrr qu la fonction h, défini par h: ln st un primitiv d la fonction logarithm népérin sur ] ; + [ (attntion on n dmand pas simplmnt d l vérifir ) On pos ln I a Calculr I b Montrr qu = d t I = ( ln) d I 5 5 = 4 c Calculr I ( ) tls qu Corrction = f d En déduir l air, n unités d air, d l nsmbl ds points M( ; y) du plan f y t ( ) Parti A f ( ) ln ( ln) = soit Trminal S 6 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

37 a f ( ) ( ) = ou = ln + ln = : on pos X = ln d où = X+ X > X = ln ; ; ; + ; + b ] [ a Toujours avc X = ln, lorsqu tnd vrs, X tnd vrs donc X qui tnd vrs + ; lorsqu tnd vrs +, X tnd vrs + donc X qui tnd vrs + + 4ln ' = + ln= b f ( ) c f st croissant lorsqu 4ln ln 4 > > > ( ) 4 4 X+ X = X =, X = d où X+ X s comport comm X+ X s comport comm /4 5 f = + = Sign d f'() Variation d f f 4 = + = = ; f ' 4 = 4 5 /4 = 4 5/4 ; y 4 ( ) 5/ 4 5 /4 9 = 8 Trminal S 7 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

38 Parti B Rstitution organisé ds connaissancs : on fait un intégration par partis n posant u ' = t d où on tir lnd= ln d= ln d= ln On pos ln I = d t I = ( ln) d / a ln [ ln ] ( ) I = d= = + = + / ln b I ( ) = d : intégration par partis n posant ' / u = t v ( ln) =, soit u=, I = d= d= I = = ( ln ) ( ln ) ln / c ( ) v= ln v' = ln, soit I = ln+ ln d= I + I = = 4 Comm on a pu l rmarqur ls borns corrspondnt précisémnt au valurs d pour lsqulls f s annul La valur d I st négativ car f st négativ sur ct intrvall ; on a donc l air, n 9 unités d air, égal à I = + 7,8 Ln t calculatric, N Caldoni 5 6 points L plan st rapporté à un rpèr orthonormal ( O ; i, j) Soit f la fonction défini sur ] ; + [ par : f( ) =,+, ln( + ) Fair apparaîtr sur l écran d la calculatric graphiqu la courb rprésntativ d ctt fonction dans la fnêtr 4, 5 y 5 Rproduir sur la copi l allur d la courb obtnu grâc à la calculatric D après ctt rprésntation graphiqu, qu pourrait-on conjcturr : a Sur ls variations d la fonction f? b Sur l nombr d solutions d l équation f () =? On s propos maintnant d étudir la fonction f a Étudir l sns d variation d la fonction f b Étudir ls limits d la fonction f n t n +, puis drssr l tablau d variations d f c Déduir d ctt étud, n précisant l raisonnmnt, l nombr d solutions d l équation f () = d Ls résultats au qustions a t c confirmnt-ils ls conjcturs émiss à la qustion? 4 On vut rprésntr, sur l écran d un calculatric, la courb rprésntativ d la fonction f sur l intrvall [, ;,], d façon à visualisr ls résultats d la qustion a Qulls valurs trêms d l ordonné y proposz-vous pourmttr n évidnc ls résultats d la qustion c dans la fnêtr d votr calculatric? Trminal S 8 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

39 b À l aid d la calculatric dtrminr un valur approché par défaut à près d la plus grand solution α d l équation f () = 5 Soit F la fonction défini sur ] ; + [ par a Démontrr qu F st un primitiv d f sur ] ; + [ b Intrprétr graphiqumnt l intégral c Calculr Corrction f sur ] ; + [ par : F( ) =,, +, ( + ) ln( + ) α f( ) d α f ( ) d t primr l résultat sous la form bα f( ) =,+, ln( + ) + cα (b t c réls) a f smbl croissant b Il smbl n y avoir qu un solution à l équation f () =, mais c st doutu, +,, +,, (, ) a f '( ) =, + = = = ; on a du racins, t , ; l sign du trinôm donn f croissant avant, décroissant ntr t, puis d nouvau croissant, + b En, ln( + ) tnd vrs d mêm qu f ; n + f + ls croissancs comparés donnnt l trm gagnant t f tnd vrs + + c f s annul donc du fois : n évidmmnt puis un duièm fois après, puisqu f st croissant ntr, t f + t pass d un nombr négatif à ds valurs positivs, Trminal S 9 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés

40 d Evidmmnt non 4 a L minimum st au nvirons d,, t on put prndr f(,), n positif b On a α,57, soit,5 à près 5 F( ) =,, +, ( + ) ln( + ) a On dériv F : F '( ) =,, +, ln( ) ( ),,, ln( ), f( ) = = + b α f ( ) d rprésnt l air algébriqu (ici négativ) compris ntr la courb d f, ls droits = t = α c α f( ) d= F( α) F() = α,α,α +,( α + )ln( α + ) ; comm ( ) f α =, on a soit α, α +, ln( α + ) =, ln( α + ) =, α α, ( ) α f( ) d= α,α, α + ( α + ), α α = α +,α Trminal S 4 F Laroch Fonction logarithm rcics corrigés