Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre 2008

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1 Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre EXERCICE 1 séries de FOURIER 1 si t α ft) = si α < t < α avec < α < 1 si α t et f paire et périodique de période 1 Représentation de f sur ; lorsque α = 1 si t Pour α = on a ft) = si < t < 1 si α t a Calcul de a D après le formulaire a = 1 et comme f est paire, a = ft)dt 1 ft)dt, d où : a = 1 α α 1dt + dt + 1)dt = 1 α α α)) = 1 α + α) = b Valeur de b n pour tout entier n 1 D après le formulaire b n = 1 α ft) sinnt)dt Comme f est paire, t ft) sinnt) est impaire donc entier n 1, b n = c Calcul de a n pour tout entier n 1 D après le formulaire a n = 1 également paire donc a n = ft) sinnt)dt =, d où, pour tout ft) cosnt)dt et comme f est paire, t ft) cosnt) est ft) cosnt)dt On a : a n = = α 1 cosnt)dt + 1 n sinnt) α α α + cosnt)dt + 1 n sinnt) α α 1) cosnt)dt = 1 n sinnα) sin) 1 sinn) sinn nα)) n = 1 sinnα) + sinn nα)) n Or sinn nα) = sinn) cosnα) cosn) sinnα) = 1) n sinnα) donc, pout tout entier n 1, a n = 1 n sinnα) 1)n sinnα)), soit a n = n 1 1)n sinnα) Valeur α de α pour laquelle a = a = 1 1) sinα) = 4 sinα) a = si et seulement si α = k avec k Z d où α = k, comme < α < α = on a k = 1 donc

2 Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre Page sur?? 4 a Calcul de F F = 1 f t)dt = 1 f t)dt car f est paire puisque f l est également, = 1 1 dt + dt + 1) dt = 1 dt + dt = 1 ) + ) = 1 + ) donc F = b Calcul de gt) gt) = a + a 1 cost) + b 1 sint) + a cost) + b sint) avec t R Or a = b 1 = b =, a 1 = 1 1) 1 sin 1 ) = 4 ) 1 sin = et a = 1 1) sin ) = donc, pour tout t R, gt) = cost) c Calcul de G g est périodique de période, d où : G = 1 = 1 = 1 = 1 = 1 g t)dt g t)dt car g est paire puisque g l est également, cost) cos t)dt 1 + cost) dt ) dt = cost) dt = 6 t + sint) = 6 donc G = 6 d Calcul de G G F = 6 F = 9 =,91 à 1 près

3 Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre Page sur?? EXERCICE équations différentielles et transformation de LAPLACE Partie A résolution de E 1 ) : y t) + 4yt) = 1 a Solution particulière constante de E 1 ) La fonction x ϕt) = k avec k une constante réelle) est solution de E 1 ) si et seulement si, pour tout t R, ϕ t) + 4ϕt) = soit 4k = donc k = Une solution particulière constante de E 1 ) est la fonction t ϕt) = b Solution générale de E 1 ) La solution générale de l équation sans second membre y t) + 4yt) = est la fonction t A cost) + B sint), avec A et B deux constantes réelles car l équation caractéristique est r + 4 = qui a pour solutions i et i La solution générale de E 1 ) est la somme de la solution générale de l équation sans second membre et d une solution particulière de E 1 ), donc la solution générale de E 1 ) est la fonction y définie sur R par yt) = + A cost) + B sint), A et B étant deux constantes réelles a Solution f de E 1 ) qui vérifie f) = et f ) = f est solution de E 1 ) donc, pour tout t R, ft) = + A cost) + B sint) f) = si et seulement si + A = soit A = f est dérivable sur R et, pour tout t R, f t) = A sint) + B cost) f ) = si et seulement si B = soit B = Donc, pour tout t R, ft) = cost) = 1 cost) b Période, minimum et maximum de f La pulsation de f est ω = donc sa période est T = ω = = Pour tout t R, 1 cost) 1 d où, 1 cost) 1, soit 1 cost), donc ft) 4 La fonction f a donc pour minimum et pour maximum 4 Le minimum est atteint en mod ) et le maximum est atteint en Partie B résolution de E ) : g t)+4gt) = U t) U 1 a Représentation sur ; de t et) = U t) U On obtient facilement et) = b Calcul de E p) mod ) t ) + U t ) U t ) + U t ) U si t < ou t < ou t > si t < ou t < Pour tout p >, L U t)) = 1 p, L U t L U t )) = 1 p e p D après la linéarité de la transformation de LAPLACE, E p) = p a Calcul de Gp) L g t)) = p Gp) pg) g ) = p Gp) car g) = g ) = t t ) )) 1 = p e p, L U t )) = 1 p e p et L g t) + 4gt)) = p Gp) + 4Gp) = p + 4 ) Gp), d après la linéarité Or, g t) + 4gt) = et) donc p + 4 ) Gp) = E p) soit Gp) = 1 p + 4 E p) Finalement, pour tout p >, Gp) = 1 p p e p + e p e p + 4) ) 1 e p + e p e p

4 Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre Page 4 sur?? b Transformée de LAPLACE H de h Pour tout t R, ht) = 1 cost) U t) = U t) cost)u t) En utilisant la linéarité : Hp) = p c Expression de g Pour tout p > : Gp) = Hp) p p + = p + 4 ) p p p, donc, pour tout p >, Hp) = + 4) 1 e p + e p e p p p + 4) = Hp) Hp)e p + Hp)e p Hp)e p, donc, pour tout t R, gt) = ht) h t ) + ht ) h t a Expressions de gt) sur Pour tout t ; Donc, pour tout t ; et sur ;, ht) = 1 cost) et h ;, gt) = 1 cost) ) t ) = ht ) = h t ) = Pour tout t ;, ht) = 1 cost), h t ) = 1 cost ) = 1 + cost), ht ) = 1 cost ) = 1 cost) et h t ) = Donc, pour tout t ; : gt) = 1 cost) 1 + cost)+1 cost) = cost) cost)+ cost) Finalement, pour tout t On peut donc écrire : ;, gt) = 6 cost) si t < gt) = cost) si t < 4 cost) si t < cost) si t < cost) si t

5 Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre Page 5 sur?? Représentations graphiques EXERCICE 1 Représentation de f sur ; ft) 1 t 1 EXERCICE Partie A représentation de f sur ; 4 ft) t Partie B représentation de e sur ; et) 4 t

6 Corrigé du BTS, groupement A, Nouvelle-Calédonie, novembre Page 6 sur?? Partie B représentation de g sur ; 5 gt) t 4 6