(10.C02) Une matrice de dimension <n;m> est un tableau formé par la juxtaposition de m vecteurs de dimension n. On la note par une majuscule grasse.

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1 0.C ANNEXE: CALCUL MATRICIEL 0.C. Défiitios La maîtrise du calcul matriciel est icotourable pour aborder l'étude des réglages d'état. Nous 'e rappelleros que les opératios fodametales déjà étudiées e mathématiques [28]. O précise qu'u système physique décrit par équatios différetielles du premier ordre est associé à ue applicatio liéaire défiie das l'espace vectoriel C. Le choix du vecteur d'état ( 0..) est lié à celui de la base de l'espace vectoriel. Si cette aexe coviet comme rappel, elle est vraisemblablemet isuffisate pour celui qui 'a pas étudié l'algèbre liéaire. O peut grouper gradeurs a à a e ue coloe appelée vecteur. O le ote par ue miuscule grasse. Sa dimesio est. a a a = a 2 M (0.C0) U vecteur-lige est u vecteur trasposé (0.C05). a T [ = a a a 2 L ] (0.C02) Ue matrice de dimesio <;m> est u tableau formé par la juxtapositio de m vecteurs de dimesio. O la ote par ue majuscule grasse. A= [ a a 2 L a m ] (0.C03) Chaque élémet a ij d'ue matrice est mui de deux idices, le premier i désige la lige et le deuxième j la coloe où il se trouve. a a2 L am a A = 2 a22 L a2m M M aij M a a2 L am (0.C04) Ue matrice carrée a des ombres de liges et de coloes idetiques. Sa dimesio est <;> ou plus simplemet. Les élémets a ii sot appelés diagoaux. Ils formet la diagoale pricipale. Ue matrice diagoale est ue matrice carrée dot seuls les élémets diagoaux sot o uls. Ue matrice triagulaire a tous ses termes au-dessus ou au-dessous de la diagoale pricipale qui sot uls. La matrice uité, otée, est la matrice diagoale dot tous les élémets diagoaux sot égaux à. La matrice zéro, otée 0, est la matrice carrée dot tous les élémets sot égaux à 0. Ue matrice trasposée, de dimesio <;m> s'obtiet e permutat les liges et coloes de la matrice de départ. O la ote avec u idice supérieur T. J.-M. Allebach

2 A T a a2 L a a 2 = 2 a22 L a M M a ji M am a2m L am (0.C05) T (A ) T = A (0.C06) Ue matrice symétrique est ue matrice carrée dot la diagoale pricipale est so axe de symétrie. La matrice diagoale est u cas particulier. Elle vérifie la propriété: A T = A (0.C07) La trace d'ue matrice est obteue par la somme des élémets de sa diagoale pricipale. tr( A ) = aii i= (0.C08) E particulier, la trace de la matrice uité est égale à sa dimesio. tr( ) = (0.C09) Le rag d'ue matrice idique le ombre de ses coloes ou de ses liges qui sot liéairemet idépedates. Ue matrice régulière est ue matrice carrée dot le rag est égal à sa dimesio. rag( A ) = (0.C0) 0.C.2 Opératios matricielles L'additio de deux matrices de mêmes dimesios A et B doe ue matrice C, ses termes sot la somme de ceux des matrices A et B de même lige et même coloe. L'additio de deux matrices de dimesios différetes est impossible. A+ B= C c = a + b (0.C) avec ij ij ij L'additio matricielle est commutative et associative, so élémet eutre est la matrice zéro. La soustractio se déduit de l'additio, elle 'est toutefois i associative i commutative. A B= C avec cij = aij b ij (0.C2) La produit d'ue matrice A par u scalaire f s'obtiet e multipliat chacu de ses termes par le scalaire. J.-M. Allebach

3 B = f A avec bij = f aij (0.C3) Le produit d'ue matrice A de dimesio <;m> avec ue matrice B de dimesio <m;p> est ue matrice C de dimesio <;p>. m C= A B avec cij = aik bkj (0.C4) k= Si le ombre de coloes de la première matrice est différet de celui des liges de la secode, le produit est impossible. Le produit matriciel est sauf exceptio o commutatif. Das l'esemble des matrices carrées de dimesio, la matrice uité est l'élémet eutre du produit. Le rag d'ue matrice produit e peut pas dépasser le plus petit rag des matrices multipliées. rag( AB) mi(rag( A),rag( B)) si rag( A) = m( ) et rag( B) = m( p) alors rag( AB) = m (0.C5) Les produits de matrices et vecteurs sot des cas particuliers du produit matriciel. Les produits de vecteurs offret des résultats d'aspect très différet selo leur ses: le produit scalaire (0.C8) a pour résultat u scalaire tadis que le produit diadique (0.C9) a pour résultat ue matrice carrée. c= Ab (0.C6) T T c = a B (0.C7) T c = a b (0.C8) T C= ab (0.C9) L'élévatio d'ue matrice A carrée à la puissace q reviet à la multiplier q fois par elle-même. A q = AAL A (0.C20) q L'élévatio d'ue matrice régulière à la puissace q est ue matrice régulière. Pour ue matrice diagoale, le calcul se simplifie. q D q = C avec cii = dii (0.C2) O peut défiir l'expoetielle d'ue matrice comme ue opératio das l'esemble des matrices carrées de dimesio. O applique comme pour l'expoetielle scalaire la défiitio par le développemet e série. A F = e (0.C22) F A A 2 = A A k L + L (0.C23) 2! 3! k! E toute gééralité, les termes de la matrice expoetielle e sot pas l'expoetielle de la matrice de départ. J.-M. Allebach

4 f ij e a ij (0.C24) O peut costruire ue ouvelle matrice par juxtapositio pour autat que le ombre de lige des matrices qu'o accole soit idetique et que le ombre de coloes de celles qu'o superpose soit aussi idetique. Soit deux relatios matricielles défiies e (0.C25). c = Ab + A2b2 c2 = A2b + A22b2 (0.C25) O peut créer les vecteurs b et c par superpositio. b c b = c b = et c 2 2 (0.C26) Les deux relatios de (0.C25) peuvet alors être remplacées par ue seule relatio matricielle. c= Ab (0.C27) La matrice A est obteue par juxtapositio des matrices de (0.C25). A A A = 2 A A 2 22 (0.C28) 0.C.3 Iversio d'ue matrice O itroduit d'abord la otio de détermiat, qui 'est défii que pour des matrices carrées. O les calcule à partir des termes d'ue lige i, et du sousdétermiat A ik qui s'applique à la matrice dot o a supprimé la lige i et la coloe k. i+ k det A = A = ( ) a ik A ik (0.C29) k= O peut aussi le calculer à partir de la coloe k. i det A = A = ( ) + k a ik A ik (0.C30) i= E calcul mauel o choisira la lige, ou la coloe, qui compte le plus de zéros. Pour ue matrice de dimesio 2, o a ue expressio assez simple. det A = a a22 a2 a2 (0.C3) J.-M. Allebach

5 Pour ue matrice diagoale D, ou ue matrice triagulaire, le calcul est ecore plus simple. det D = d i= ii (0.C32) O rappelle quelques propriétés du calcul des détermiats. La traspositio e chage pas la valeur du détermiat. E croisat deux liges ou deux coloes, le détermiat est ichagé. E ajoutat à ue lige ou à ue coloe le multiple d'ue autre lige ou coloe le détermiat est ichagé. S'il y a ue coloe ou ue lige de zéros, le détermiat est ul. Si des liges ou coloes sot liéairemet dépedates, le détermiat est ul. De (0C0), o déduit qu'ue matrice est régulière si sot détermiat est o ul. Précisos ecore qu'e applicatio umérique, o e parle pas de détermiat ul, mais de détermiat de module iférieur à epsilo. La défiitio du mieur, ou complémet algébrique, est voisie de celle du détermiat. α ik + = ( ) i k A (0.C33) ik La matrice des mieurs se costruit à partir des mieurs, e preat garde à la rotatio autour de la diagoale pricipale. α α2 L α α A mi = 2 α22 L α2 M M M α α L α (0.C34) La matrice iverse A peut se défiir par le détermiat et la matrice des mieurs. A mi A = det A (0.C35) O ote ici que l'opératio divisio 'est pas défiie pour les matrices, elle est remplacée par la multiplicatio par l'iverse. E applicatio umérique, o 'utilise pas la défiitio aalytique (0.C35), mais des algorithmes mois gourmads e temps de calcul. Ue matrice diagoale s'iverse très facilemet. J.-M. Allebach

6 0 L 0 d D 0 L 0 = d22 M M M 0 0 L d (0.C36) Voici ecore quelques propriétés de la matrice iverse: AA = A A= ( c A) = A c ( AB) = B A T T ( A ) = ( A ) (0.C37) (0.C38) (0.C39) (0.C40) 0.C.4 Valeurs propres et vecteurs propres. Toute applicatio liéaire L de C das C peut être décrite par ue matrice carrée de dimesio. Si la matrice A décrit l'applicatio liéaire das la base caoique de C, o peut défiir l'applicatio liéaire sur le vecteur y. L ( y) = A y (0.C4) Si o choisit ue autre base, c'est ue matrice B qui décrira la même applicatio liéaire; celle-ci est liée à A par la matrice de chagemet de base T. B = T AT (0.C42) U ombre complexe p i est appelé valeur propre de la matrice A s'il existe das C u vecteur o ul y pi tel que: Ay = p y pi i pi (0.C43) Le vecteur y pi est appelé vecteur propre associé à la valeur propre p i. Autremet dit, est valeur propre le ombre complexe qui vérifie l'égalité (0.C44) appelée équatio caractéristique de A, das laquelle le vecteur propre associé 'est plus explicite. det( A p i ) = 0 (0.C44) Le détermiat det( A p i ) exprimé e (0.C44) est u polyôme e pi, de degré égal à la dimesio de la matrice A, appelé polyôme caractéristique. Notos ecore que les vecteurs y p... y pk associés à des valeurs propres p... p k distictes sot liéairemet idépedats das C. J.-M. Allebach

7 La matrice A est dite diagoalisable si o peut trouver das C ue autre base das laquelle l'applicatio liéaire est alors décrite par ue matrice diagoale A J. La matrice A est diagoalisable das C si et seulemet si elle est associée à vecteurs propres liéairemet idépedats. Cela implique des valeurs propres p... p k distictes, ce qui est e gééral le cas pour des matrices qui décrivet des systèmes physiques réels. O doit, pour diagoaliser A, trouver la matrice de chagemet de base T. A T A J = T (0.C45) Les termes de la diagoale de A J sot les valeurs propres de A. O peut oter sas le démotrer ici que la trace de la matrice est u ivariat pour ue applicatio liéaire doée, elle e déped doc pas du choix de la base. O e tire ue propriété précieuse. tr( A) = tr( A ) = p J i= i (0.C46) Das le cas très particulier où A est exprimé das la base caoique de C, la matrice de chagemet de base peut être costruite par juxtapositio des vecteurs propres. Das le cas gééral, o doit résoudre ue équatio matricielle pour détermier T. TA J = AT (0.C47) Comme A J cotiet beaucoup de zéros, l'équatio matricielle (0.C47) peut être remplacée par équatios plus simples, das lesquelles o appelle t i la i ème coloe de T. t p = At i i i (0.C48) La solutio des équatios (0.C48) 'est toutefois pas uique, mais permet de détermier t i à u facteur de proportioalité près. Pour lever l'idétermiatio du facteur d'échelle, il faut ue coditio supplémetaire; das l'espace d'état, celle-ci sera fourie par la coditio sur la sortie du système. J.-M. Allebach

8 J.-M. Allebach