INTÉGRALES. I Définition. Définition. Remarques. Exemple. Exercice 01

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1 INTÉGRALES I Définition Définition Soit f un fonction continu t positiv sur un intrvll [ ; ]. Soit (C) s cour rprésnttiv dns un rpèr orthogonl (O ; i, j). On ppll intégrl d à d l fonction f, t on not l'ir, n unités d'ir, d l prti du pln limité pr l cour (C), l' O t ls droits d'équtions = t =, c'st-à-dir l'nsml ds points M( ; y) tls qu y f() j i unité d'ir (C) Rmrqus On dit qu t sont ls orns d l'intégrl. s lit : "intégrl d à d ". L vril t st pplé vril "mutt", cr ll n'intrvint ps dns l résultt finl. On put rmplcr t pr n'import qull utr vril : = f(u) du = f() d. L'unité d'ir st l'ir du rctngl défini pr ls vcturs i t j. Si l rpèr pour unités grphiqus cm sur l' O t cm sur l' Oy, lors l'unité d'ir st 6 cm. Empl Si f st un fonction constnt positiv k, lors corrspond à l'ir d'un rctngl. On k dt = k( - ). k j O i y k dt Ercic On considèr l'rc d l prol (P) d'éqution y = rprésnté ci-contr, dns un rpèr orthonormé, sur l'intrvll [ ; ]. L'unité étnt divisé n, un ptit crru d l grdution cicontr msur un cntièm d'unité d'ir. Comptr l nomr n d ptits crru s trouvnt ntièrmnt u-dssous d l cour. Comptr l nomr n d ptits crru qui sont trvrsés pr l cour. On stim qu l'ir sous l cour put êtr évlué pr l nomr n + n, Donnr lors un évlution d d. Détrminr un primitiv F d l fonction f défini pr f() =. Clculr F() - F() t n donnr un vlur pproché à - près. O TES Intégrls pg / 7

2 Ercic On considèr l fonction ffin f défini sur IR pr f() = +. ) Rprésntr grphiqumnt f. Détrminr. - ) Détrminr un primitiv F d f sur IR. Justifir qu - = F() - F(-) II Intégrl t primitivs Ercic Soit f défini sur IR pr : f() = +. ) Trcr l rprésnttion grphiqu D d f n utilisnt un rpèr orthonormé (O ; i, j). ) Soit un rél positif. Plcr sur l dssin l point M d'sciss sur D ; l point M' d'sciss sur l' O t l point A d'sciss sur D. Clculr n fonction d l'ir du trpèz OAMM'. En déduir qu l fonction F défini pr F() = st un primitiv d f. Théorèm Si f st un fonction continu t positiv sur un intrvll [ ; ], l fonction F défini sur [ ; ] pr : F() = st un primitiv d f sur [ ; ]. F insi défini st l'uniqu primitiv d f s'nnulnt n. Rmrqus On lors F() = Si G st un utr primitiv d f sur [ ; ], lors G = F + k vc k R ; donc G() = F() + k t comm F s'nnul n, on n déduit qu G() = k. Pr conséqunt = F() = G() - k = G() - G() Propriété Si f st un fonction continu t positiv sur un intrvll [ ; ] t si F st un primitiv d f sur [ ; ], lors = F() - F() Rmrqus L rltion = F() - F() st vll pour n'import qull primitiv F d f. On not ussi F() - F() = F(t) Empls qui s lit : "F(t) pris ntr t ". ( + 5) d = + 5 = ( + 5 ) - ( + 5 ) = (9 + 5) - ( + 5) = - 6 = 8 5 d = ln () = ln (5) - ln () 5 TES Intégrls pg / 7

3 Rmrqu L rltion = F() - F(), où F st un primitiv d f, pourr êtr étndu à un fonction f continu d sign qulconqu. Ell pourr ussi êtr utilisé vc ds orns qui n sont ps dns l'ordr croissnt. Empl t - t dt = t + t = = = -6 + = - 9 Ercic Clculr ls intégrls suivnts : ( + ) d ; ( + ) d ; - t dt ; d ; d - Ercic 5 Clculr ls intégrls suivnts : d ; - d ; (t - ) dt ; - t - + t dt ; + + d Ercic 6 Clculr ls intégrls suivnts : d ; -, + d ; d ; - + d Ercic 7 L pln st rpporté à un rpèr orthogonl. On considèr l fonction f défini sur [ ; ] pr f() = + ) Justifir qu l fonction f st positiv. ) Détrminr un primitiv d f sur [ ; ]. TES Intégrls pg / 7. ) On donn ci-contr, l rprésnttion grphiqu (C) d f. Clculr, n unités d'ir, l vlur ct d l'ir hchuré sur l dssin. Donnr un vlur pproché d ctt ir à - près Ercic 8 L pln st rpporté à un rpèr orthonormé d'unité cm. Rprésntr grphiqumnt f défini sur IR pr f() = Clculr l'ir d l portion frmé du pln situé ntr l cour t l' O. Ercic 9 On considèr l fonction f défini sur ] ; + [ pr f() = ln () S rprésnttion grphiqu st donné ci-contr. ) Soit F défini sur ] ; + [ pr F() = ln () - Justifir qu F st un primitiv d f sur ] ; + [. ) On considèr l portion du pln A corrspondnt à l'nsml ds points M( ; y) tls qu 5 y ln () ) Hchurr ctt portion d pln A sur l dssin. ) Clculr l'ir d A. On donnr l vlur ct puis un vlur pproché u cntièm.

4 III Propriétés - Vlur moynn d'un fonction Rmrqu Soit f un fonction continu t positiv sur un intrvll [ ; c] t soit [ ; c]. Pr ddition ds irs on put rmrqur qu : + c c = (rltion d Chsls) Propriétés f t g étnt du fonctions continus sur un intrvll I ;, t c étnt trois élémnts d I t λ un rél, on : = ; = - + c c = (Rltion d Chsls) (f + g)(t) dt = + g(t) dt ; ( λf )(t) dt = λ c Ercic ) Clculr d ) ) Justifir qu l fonction pour primitiv sur ]-; + [ l fonction ln ( + ) + ) Clculr + d ) Démontrr qu pour tout > on : ) En déduir l vlur d Ercic ) Justifir qu pour tout rél : ) Clculr d ( + ) d ( + ) = = - + ) ) Clculr l dérivé d l fonction h défini sur IR pr h() = ln ( + ) ) Clculr + d ) En déduir l vlur d + d Propriétés Soint f t g ds fonctions continus sur [ ; ]. ( ) Si pour tout d [ ; ] on f() ³, lors f() d ³ Si pour tout d [ ; ] on f() g(), lors f() d g() d Rmrqu Ls propriétés ci-dssus n sont vlls qu lorsqu. TES Intégrls pg / 7

5 Ercic On considèr l fonction f défini sur IR pr f() =. On n dmnd ps d clculr ls intégrls. ) Montrr qu f() d ³ - ) Montrr qu f() d - Rmrqu Soint f t g sont du fonctions continus t positivs tlls qu f() g() pour tout [ ; ]. L'inéglité f() d g() d s'intrprèt d fçon immédit n trms d'irs : l'ir sous l cour d f st infériur à l'ir sous l cour d g. (C f ) (C g ) Propriété Si f t g sont du fonctions continus t positivs sur [ ; ] tlls qu f() g() pour tout [ ; ], lors l'ir compris ntr ls du cours st : g() d - f() d c'st-à-dir [g() - f()] d C'st l'ir d l'nsml ds points M( ; y) tls qu : f() y g() (C f ) (C g ) Ercic Trcr, dns un rpèr orthonormé, l cour (C) rprésntnt l fonction f défini sur IR pr f() = + Rprésntr, sur l mêm dssin, l droit D d'éqution y = +. Clculr l'ir d l portion d pln compris ntr (C), D t ls droits d'équtions = t =. Ercic Dns un rpèr orthonormé détrminr, n unités d'ir, l'ir d l prti du pln limité pr l cour (C) rprésntnt l fonction f défini pr f() = - +, l droit D d'éqution y = t ls droits vrticls d'équtions = t =. Fir un dssin. Ercic 5 Soit f défini sur ]; + [ pr f() =. Trcr s cour rprésnttiv (C) dns un rpèr orthonormé. Rprésntr sur l mêm dssin l droit D d'éqution y = - +. Clculr l'ir d l portion d pln frmé compris ntr (C) t D. On donnr l vlur ct puis un vlur pproché à - près. Ercic 6 On considèr l fonction f défini sur ] ; + [ pr f() =. Clculr A = f() d. Intrprétr grphiqumnt ctt intégrl. Détrminr l hutur h du rctngl limité pr ls droits d'équtions = t = t l' O t ynt pour ir A. On dit qu h st l vlur moynn d l fonction défini pr f() = sur l'intrvll [ ; ]. TES Intégrls pg 5 / 7

6 Définition Soit f un fonction continu sur un intrvll [ ; ] ( ) On ppll vlur moynn d f sur [ ; ] l nomr rél : m = - Rmrqu Soit f un fonction continu t positiv sur un intrvll [ ; ] ( ). Soit (C) s cour rprésnttiv dns un rpèr orthogonl (O; i, j). L vlur moynn d f sur [ ; ] st l nomr rél m tl qu : = m ( - ) m (C) L vlur moynn st donc l nomr rél m pour lqul l'ir du rctngl d hutur m st égl à l'ir sous l cour d f. O Ercic 7 Détrminr l vlur moynn d chcun ds fonctions sur l'intrvll considéré. f() = sur [ ; ] ; g() = -, +,6 + 5 sur [ ; ] ; h() = sur [- ; ] Dns chcun ds cs fir pprîtr ctt vlur moynn sur un grphiqu créé vc un clcultric ou un ordintur. Ercic 8 On considèr l fonction f défini pr f() = ln ( - + ) ) Justifir qu f st défini sur IR. ) Clculr f'() t détrminr son sign. ) Donnr l tlu d vrition d f sur [ ; ]. ) Donnr, sns clculr ctt intégrl, un ncdrmnt d f() d. 5 ) En déduir qu l vlur moynn d l fonction f sur l'intrvll [ ; ] st compris ntr t 6. Ercic 9 Un société d'chts n lign vut nlysr l déroulmnt d'un vnt promotionnll «flsh» qu'll orgnisé sur Intrnt. Ctt vnt, d'un duré nnoncé d trois minuts, provoqué sur son sit un flu finncir qu l'on put supposr continu t dont l vitss instntné été vril n fonction du tmps. On pu modélisr ctt vitss pndnt ls trois minuts d l'ouvrtur du sit pr l fonction f défini pr f(t) = t p - t où t st l tmps, primé n minuts ( t [; ] ) t f(t) l vitss instntné d c flu, primé n millirs d'uros pr minut. L rprésnttion grphiqu d f st donné ci-contr. ) Détrminr un primitiv F d l fonction f. ) En déduir l'ir du domin pln limité pr l' ds scisss, l cour C f t ls droits d'équtions t = t t =, primé n unités d'ir. ) Qull st l vlur moynn d f sur [ ; ]? ) Qull été l somm totl trnsféré à l fin ds trois minuts (à un uro près)? TES Intégrls pg 6 / 7

7 Ercic Un ntrpris friqu un crtin produit P. On ppll l nomr d tonns d P friqués. On not C() lur coût totl d friction, primé n millirs d'uros. L fonction coût mrginl, C', st l dérivé d l fonction C. Pour tout ] ; + [ on : C'() = +. D plus on suppos qu'il n'y ps d chrgs fis, donc qu C() =. ) ) On considèr l fonction F défini sur IR pr F() = ln ( + ) Justifir qu F st un primitiv d C' sur IR. ) En déduir qu C() = ln ( + ) - ln (5). c) Qul st l coût totl d 5 tonns d c produit P? On n donnr l vlur ct, puis l vlur rrondi à l dizin d'uros près. ) On ppll C M () l coût moyn d friction défini, pour tout strictmnt positif, pr : C M () = C(). ) Montrr qu C M () st l vlur moynn d l fonction coût mrginl sur l'intrvll [ ; ]. ) Eprimr C M () n fonction d. c) Donnr ds vlurs pprochés à - près d C M (5) ; d C M () t d C M (). Ercic Prti Soint ls fonctions f t g définis sur [ ; 9] pr f() = + - t g() = ) Résoudr lgériqumnt l éqution : f() = g(). ) ) Soit F défini sur [ ; 9] pr F() = ln( + ) -. Justifir qu F st un primitiv d f. ) Clculr I = Prti 9 f() d ; on donnr l vlur ct puis un vlur pproché à - près. Un produit conditionné n oît st mis sur l mrché. On désign pr l pri d un oît d c produit n dizins d uros. On dmt qu l quntité chté pr ls consommturs, n fonction du pri ppliqué sur l mrché, st donné pr f() n cntins d oîts. On dmt qu l quntité proposé sur l mrché pr ls producturs, n fonction du pri d vnt uqul ls producturs sont disposés à vndr, st donné pr g() n cntins d oîts. Sur l grphiqu ci-contr, sont trcés dns un rpèr orthonormé ls cours rprésnttivs ds fonctions f t g. 9 quntités ) On pourr utilisr l grphiqu pour conjcturr ls réponss u qustions suivnts, puis on ls justifir lgériqumnt. ) Comin d oîts sront chtés pr ls consommturs si l pri d vnt st d l oît? ) Lorsqu l offr st égl à l dmnd, l mrché ttint son équilir. Donnr l pri d équilir n uros t l nomr d oîts corrspondnt. ) ) D près l grphiqu, ls producturs étint disposés à vndr ls oîts à un pri infériur u pri d équilir. On ppll surplus ds producturs l gin rélisé n vndnt ls oîts u pri d équilir. C gin st donné n millirs d uros pr l ir du tringl OAE (un unité d ir corrspond à un millir d uros). Clculr c surplus n uros. ) L surplus ds consommturs st l économi rélisé pr ls consommturs qui étint prêts à pyr plus chr qu l pri d équilir. C surplus st donné, n millirs d uros, pr l ir d l prti grisé du pln sur l grphiqu ( 9). Précisr qull intégrl prmt d clculr c surplus t n donnr l rrondi à l uro O y = f() E y = g() A pri TES Intégrls pg 7 / 7