U, I [V] [A] Il existe plusieurs types de courants ou de tensions pour lesquels nous pouvons tracer ces représentations :

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1 Régme alernaf snusoïdal Chapre 13 Régme alernaf snusoïdal Sommare Défnons des valeurs de courans alernafs Producon d une enson alernave Valeurs de crêe, moyenne e effcace Représenaons emporelles e vecorelles des sgnaux alernafs Addon de sgnaux en phase e déphasés nroducon 13. Généralés e défnons : Tou couran ou enson peu se représener dans des sysèmes d'axes = f () pour les courans e u =f () pour les ensons, dans lesquelles e u représenen une valeur nsananée (valeur à un nsan donné). [V] U, U [ms] = f () ou u = f () son des représenaons emporelles, pusque, dans le premer cas, l s'ag de représener le couran en foncon du emps, e dans le second la enson u en foncon du emps. De façon plus générale, représener une grandeur en foncon du emps. l exse pluseurs ypes de courans ou de ensons pour lesquels nous pouvons racer ces représenaons : Remarque : L'ulsaon d'une mnuscule pour ou pour u ndque qu'l s'ag d'une valeur nsananée, c'es à dre, la valeur du couran ou de la enson à un nsan donné. La courbe résulane représene l ensemble des valeurs nsananées. Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 1

2 Régme alernaf snusoïdal 13.1 Formes de courans : Courans connus DC Courans alernafs AC La valeur e le sens du couran nsanané ne changen pas. 1 = = 3 = 4 La valeur e le sens du couran nsanané changen couran pulsé : couran alernaf rangulare: Seule la valeur du couran nsanané change. Son sens es oujours le même La valeur e le sens du couran nsanané changen couran pulsé : couran alernaf carré : Seule la valeur nsananée du couran change. Son sens es oujours le même Seul le sens du couran nsanané change mas pas sa valeur. 1 = e 3 = 4 mas 4 Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000

3 Régme alernaf snusoïdal couran ondulé : couran alernaf snusoïdal : DC La valeur nsananée du couran change, mas n'aen plus la valeur 0. DC en rallé correspond à la valeur moyenne des La valeur nsananée du couran change pérodquemen de sens e de valeur 13. Défnons : Forme d'onde : Représenaon graphque d'une grandeur, elle que ou u, en foncon d'une cerane varable comme le emps. Exemples de formes d ondes : ondulée, carrée, snusoïdale, recangulare Valeur nsananée : Valeur d'une forme d'onde à un nsan donné. Elle se noe par une lere mnuscule. Exemples de noaon :, u, s Amplude de crêe : Valeur maxmum posve ou négave que prend une forme d'onde. Elle se noe avec un crconflexe sur le symbole de grandeur. Exemples de noaon : Î. Û Amplude peak o peak, crêe à creux : Valeur maxmum d'une forme d'onde mesurée de sa valeur maxmum posve à sa valeur maxmum négave. Elle peu se noer de pluseurs manères. Exemples de noaon :: U pp, pp, U cc, cc, U, Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 3

4 Régme alernaf snusoïdal Forme d'onde pérodque : Forme d'onde qu se reprodu à nervalles régulers dans le emps. Pérode : nervalle de emps pendan lequel une forme d'onde pérodque se reprodu. La pérode se mesure enre deux pons denques de la forme d'onde, so sur le flanc monan, so sur le flanc descendan. Son symbole de grandeur es T e son uné s exprme en. Alernance : Durée d'une dem-pérode. L'alernance es so posve, so négave. Fréquence : Nombre de pérodes par seconde. Elle se noe f e s'exprme en herz [Hz]. f = 1 T Exemples : max. max. - T max. max. pérode ou cycle T pérode ou cycle alernance posve alernance négave 13.3 Radan : Défnon : Un radan équvau à l'angle qu, ayan son somme au cenre d'un cercle, nercepe sur la crconférence de ce cercle un arc d'une longueur égale à celle du rayon du cercle. Le cercle rgonomérque es sans uné e son rayon vau 1. r r r L'angle dessné représene 1 radan. Crconférence c = π r c = π d Dans le cercle rgonomérque le rayon vau 1 : r =1 donc c = π donc : 360 = π [rad] π [rad] = 180 Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 4

5 Régme alernaf snusoïdal Pour déermner la correspondance d'un radan en degrés, l fau effecuer le développemen suvan : 360 = π 1 radan = 360 = [rad] = 57. [ ] π π Pour les conversons, nous ulserons : π converson de degrés en radans x = 180 [ rad] n [ ] [ ] n [ rad] converson de radans en degrés x = 180 π x représene la valeur recherchée n représene le nombre connu 13.4 Représenaon emporelle de la roaon du rayon veceur: 90 π ω π π 11 [ s ] 70 3π 90 π 180 π 70 3π 360 π 90 π 180 π 70 3π 360 π Remarque : l'axe horzonal représene l'angle du veceur ournan, à un momen donné, défn so en degré, so en radan Vesse angulare ou pulsaon ω (oméga) La vesse angulare, appelée égalemen pulsaon, défn le nombre de radans effecués par seconde par le rayon veceur ournan à l'néreur du cercle. formule générale de la vesse : v Dans l'applcaon au cercle rgonomérque : s = v vesse s dsance emps la dsance s es remplacée par la crconférence du cercle πr e comme le rayon vau 1, c = π le emps es remplacé par la pérode T la vesse v es remplacée par la vesse angulare ω Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 5

6 Régme alernaf snusoïdal Nous arrvons au développemen suvan : π 1 π ω = e comme T = nous obenons ω = T f 1 f ce qu donne : ω = π f ω rad s ou 1 s pulsaon ω 1 s vesse angulare ω rad s 13.6 Valeur nsananée : ω α 1 T = sn de l'angle en applquan les relaons de rgonomére nous pouvons dre : sn α = = snα formule 1 Le veceur ourne à la vesse consane ω. Le emps nécessare pour parcourr π [rad] es une pérode T. l es donc possble de poser un rappor permean de calculer l'angle parcouru duran une dfférence de emps séparan l'orgne 0 du emps 1. Nous savons que π α π = α = T T π = ω T [ rad] rad s = s donc : α = ω formule Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 6

7 Régme alernaf snusoïdal Plaçons la formule dans la formule 1 : = sn( ω + k π ) valable pour les composanes courans u= U sn( ω + k π ) [V] valable pour les composanes ensons Remarques : Le rayon veceur peu ourner pluseurs fos auour de son axe avec le faceur kπ. Nous savons que π = 360, ce qu mplque que kπ = k 360 Le faceur k représene le nombre (ener) de ours effecué par le rayon veceur dans le cercle. Exemple : α = π + kπ (1 360) = 540 avec k = 1 α = π + kπ ( 360) = 900 avec k = 13.7 Producon d une enson alernave snusoïdale l exse pluseurs manères de produre des sgnaux de forme snusoïdale, suvan l applcaon à laquelle ls son desnés. Dans les apparels élecronques, les sgnaux snusoïdaux son produs par des crcus oscllans élecronques, ou par des généraeurs de foncons. Les crcus oscllans feron l obje d une éude uléreure. La pussance fourne par ce genre de généraeur es rès fable e ne conven pas pour almener une nsallaon. S nous désrons ulser l'énerge fourne pour allumer une lampe ou fare ourner un moeur, l fau ulser un aure genre de généraeur. Pour cela, l es fa appel aux los du magnésme. En effe, lorsqu'une nducance es soumse à un champ magnéque exéreur varable, elle produ une enson ndue U à ses bornes. La valeur de cee enson U dépend des caracérsques de l'nducance (nombre de spres, perméablé du noyau) e de celles du champ magnéque. Rappel : U = Φ U = B l v U [V] Φ [Wb] Φ [V s] B [T] l [m] v m s Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 7

8 Régme alernaf snusoïdal 13.8 Démonsraon du fonconnemen : Deux bobnes son branchées en sére e raccordées à un volmère. Lorsque l'aman placé au cenre des bobnes se me à ourner, une enson ndue U apparaî aux bornes des bobnes. Cee enson es alernave car les deux bobnes son alernavemen soumses au champ magnéque du pôle Nord e du pôle sud de l'aman. Les varaons des lgnes de forces de sens opposés produsen des ensons ndues de sens opposés. Nord Sud Avec ce genre de monage, nous produsons une enson alernave snusoïdale. Les cenrales de producon d énerge élecrque son équpées de générarces qu fonconnen selon le même prncpe, mas les généraeurs son de alle plus mporane e ls son appelés ALTERNATEURS. Ces son les alernaeurs qu produsen la enson présene aux prses élecrques. Dans les cenrales élecrques, les alernaeurs son relés mécanquemen à des urbnes. Dans le cas de cenrales hydraulques, les urbnes son enraînées par l'eau accumulée par des barrages dans des lacs arfcels, ou par l'eau des rvères. Dans les cenrales hermques, les urbnes son enraînées par la vapeur. Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 8

9 Régme alernaf snusoïdal 13.9 Prncpe de fonconnemen d'un alernaeur : Un aman permanen appelé ROTOR ourne au cenre d une carcasse. Dans cee carcasse es logée une bobne appelée STATOR Par le passage de l aman près de la bobne, une enson de forme snusoïdale es produe. Dans les cenrales, l aman es remplacé par un élecroaman pour obenr une pussance supéreure. Fonconnemen élecrque : Cee représenaon monre la forme de enson présene aux bornes de la bobne en foncon de la poson du roor Valeur effcace : Cee valeur de couran ou de enson es défne par comparason avec le couran ou la enson connue. Défnon : La valeur effcace caracérse un couran non connu qu produ le même raval qu'un couran connu, dans la même charge e duran le même nervalle de emps. La valeur effcace de ce couran sera alors la même que celle du couran connu. La valeur effcace de la enson correspond à la même défnon. Exemple : Un récpen conen 5 lres d'eau. Nous désrons en augmener la empéraure de 0 [ C] au moyen d'une réssance Lorsqu'elle es parcourue par un couran élecrque, la réssance chauffe e ransme son énerge au lqude. Pour nore exemple nous allons fare deux fos l'expérence. Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 9

10 Régme alernaf snusoïdal 1. La réssance almenée par une enson connue DC. La réssance almenée par une enson alernave AC Pour rer une concluson e éuder le résula, nous mesurons le couran dans la réssance, pour les deux cas. Expérence : S1 DC ~ AC A C réssance Relaons : Pour fare les calculs, nous ulserons la formule générale de la pussance. P = U Dans nore monage, nous connassons e R. Le développemen de la formule de la pussance donne la relaon suvane : P = U U= R P = R P = R [W] = [V] [V] = [Ω] [W] = [Ω] Pour calculer l'énerge W, l fau enr compe de la pussance dsspée en foncon du emps. W = P [J] e P = R [W] W = R [J] [J] = [W] [W] = [Ω] [J] = [Ω] Dans nos deux expérences, nous mesurons la pussance nsananée dsspée dans la réssance. Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre

11 Régme alernaf snusoïdal Tableaux de mesure : Crcu en couran connu emps réssance nsanané pussance [ms] [Ω] [W] Crcu en couran alernaf emps réssance crêe nsanané pussance [ms] [Ω] [W] Consaaons : Dans le monage en DC, la pussance dsspée es la même à chaque nsan, le couran nsanané ne change pas. Dans le monage en AC, la pussance dsspée n'es pas consane e sa valeur maxmum vau le double que pour le monage en DC. Le couran nsanané vare. Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre

12 Régme alernaf snusoïdal Traçons les courbes de nos deux mesures : p, [W] p [W] p, p [ms] La pussance nsananée p es le produ de R. Remarque : Pusque le couran es élevé au carré, la pussance es oujours posve, même lorsque le couran nsanané es négaf. Dans le crcu connu, la pussance es consane, alors que pour le crcu alernaf, la pussance vare, elle n'es pas consane. Leurs valeurs ne son par denques. [W] p [W] p p p L'are représene le produ de la pussance P par le emps ce qu correspond au raval W. Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 1

13 Régme alernaf snusoïdal Pour comparer le raval en connu au raval en alernaf, nous allons découper l'are du raval alernaf de la manère suvane : [W] p [W] p a1 b a a1 b a p p a1 b a Consaaon mporane : L'are résulane es la même en AC e en DC. La surface b es deux fos plus grande que la surface a. La surface plus foncée représene le raval. Nous consaons que les pares de pussances nsananées qu dépassen du recangle plus foncé son égales à l'addon des ros surfaces (a 1 + b + a ). S nous ne enons compe que des surfaces de nos dagrammes, la surface oale manquane correspond à (a 1 + b + a ), elle es comblée par les deux surfaces (b). Nous pouvons en dédure : P = R eff P = R Smplfons nore égalé en élmnan la valeur de R pusqu'elle es commune : R eff = R = eff eff = eff = eff = Après nore ransformaon, nous obenons les relaons suvanes : eff = e = eff Les relaons pour la enson son denques à celles du couran : U U eff = e U = Ueff Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre

14 Régme alernaf snusoïdal Exemple : A quel angle en degrés correspond le rappor enre la valeur de crêe e la valeur effcace d'un couran? Relaons : eff = = eff = ˆ sn( ω) Nous cherchons à déermner quel es l'angle α à l'nsan où le couran nsanané a la même valeur que le couran effcace. Nous pouvons dre qu'à ce nsan, = e = sn( ω ) eff = = eff remplaçons eff par eff = sn( ω) = sn( ω) es élmné par smplfcaon : 1 = sn( ω ) L'angle α que nous recherchons es donné par le sn(ω) sn( ω ) = α = sn = 45 [ ] Remarques : Pour connaîre l'angle, l fau applquer une des foncons suvanes : arcsn, nvsn, sn -1 Le nom de la foncon dépend du modèle de machne à calculer. S la machne es en degrés, l'angle affché sera en degrés, s la machne es en radans, l'angle affché sera en radans. L'angle α correspondan à la valeur effcace d'une enson ou d'un couran es de : π [rad] 45 [ ] 4 ou π kπ + [rad] k [ ] 4 L ndce eff n es pas ule, en effe, lorsque nous renconrons une valeur alernave marquée U ou, sans aures précsons, l s agra oujours d'une valeur effcace. Remarque : Dans les documens echnques, nous rouvons souven l'ndcaon RMS menonnée à côé de ceranes valeurs. Cee abrévaon se rappore à la valeur effcace de la enson, du couran ou de la pussance. RMS sgnfe Roo (racne) Mean (moyenne) Square (carrée) l es fa référence à la valeur effcace, déermnée par la racne carrée de la moyenne des valeurs nsananées (moyenne géomérque). Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre

15 Régme alernaf snusoïdal Exemple : S nous reprenons la représenaon avec le cercle rgonomérque, nous consaons que la enson effcace correspond à la valeur nsananée de la enson à un angle de opp. snα = sn α= u = =. α hyp U = = 45 ω u [V] α u Expérence sur la valeur effcace e la fréquence : Une expérence smple à réalser nous perme de vsualser la dfférence enre les valeurs de crêe e effcace d'un couran alernaf. Schéma : Deux lampes de caracérsques denques son raccordées sur deux almenaons. Le généraeur de gauche fourn une enson alernave snusoïdale AC de 10 [V] e d'une fréquence de 50 [Hz]. Le généraeur de droe fourn une enson connue DC d'une valeur de 10 [V]. Les deux généraeurs fournssen des ensons de même valeur, comme nous l'ndquen les deux volmères. Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre

16 Régme alernaf snusoïdal Premère expérence : Valeur de crêe d'une enson alernave AC. S nous observons les deux lampes, nous ne consaons aucune dfférences de lumnosé. l s'ag d'une confrmaon de la héore éudée précédemmen. Un osclloscope es égalemen branché sur les deux lampes. l nous monre la forme des deux ensons. Nous consaons claremen que la valeur de la enson alernave AC es pérodquemen plus élevée que la valeur de la enson connue DC. La race B (enson DC) coupe la race A (enson AC) à la valeur effcace de la enson alernave. La valeur maxmum suée au-dessus de la race B représene la valeur de crêe de la enson alernave. Nous consaons c que pour obenr une lumnosé denque sur les deux lampes, la valeur de crêe de la enson AC do êre supéreure à la valeur DC. Pour meux observer le passage par la valeur de crêe, l suff de dmnuer la fréquence du généraeur AC. Par exemple. Pour une fréquence de 1 [Hz] l es possble d'observer la lampe s'allumer e s'éendre. Lorsque la enson aen sa valeur de crêe, la lampe AC éme plus de lumère que la lampe DC. Seconde expérence : Paplloemen d'une lampe almenée en AC Pour vor les objes, nous ulsons naurellemen nos yeux. Nous possédons deux yeux. ls nous permeen de dsnguer le relef e de reconsuer une mage en ros dmensons. Par analoge, nos orelles nous permeen de dsnguer la provenance des sons. Pour la vue comme pour l'ouïe, nore cerveau reço deux sgnaux dfférens provenan de l'œl gauche e de l'œl dro, so de l'orelle gauche e l'orelle droe. Ces nformaons dfférenes permeen à nore cerveau de reconsuer le relef d'un obje pour la vue, ou la provenance d'un son pour l ouïe. Nore œl es rès complexe. Pour smplfer nore explcaon nous ne parlerons que de ros pares mporanes : L'rs Elle joue le rôle de l'oburaeur de l'apparel de phoo. Elle se ferme s la lumère es volene, ou elle s'ouvre s la lumère es fable. RS CRSTALLN Le crsalln l joue le rôle de la lenlle de focalsaon. l règle la neeé de l'mage sur la réne. Par effe opque, l nverse l'mage drgée sur la réne. RETNE NERF OPTQUE La réne Elle reço l'mage e la conver en sgnaux élecrques qu seron drgés par le nerf opque vers les cenres de la vue, à l'arrère du cerveau. La réne es composée de deux élémens dfférens, sensbles so à la lumnosé de l'obje, so à la couleur de l'obje. Œl human es 10 fos mons sensble aux couleurs qu'à la lumnosé des objes. Lorsque nous observons un obje, son mage rese "fxée" un nsan sur la réne. S l'obje es rop lumneux, l'mage persse pluseurs secondes. l s'ag de la perssance rénenne. Cee dernère perme de ler les mages enre elles; elle es à la base des normes de élévson e de cnéma. Lorsque nous regardons un flm au cnéma ou à la élévson, nous ne percevons pas le passage d'une mage à l'aure. L'mage rese "fxée" un nsan sur la réne. Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre

17 Régme alernaf snusoïdal Reour à nore expérence : Pour consaer l'effe de la perssance rénenne, nous allons fare varer la fréquence du généraeur alernaf. Lorsque la fréquence es rès basse (quelques Herz) nous voyons rès faclemen la lampe s'allumer e s'éendre. En augmenan la fréquence, la lampe se me à clgnoer pus à paplloer. A parr d'une cerane fréquence, nous ne pouvons plus vor la lampe s'allumer e s'éendre. En effe, nore réne "le" les allumages successfs de la lampe. A parr d'une cerane fréquence, ce n'es plus la réne que fa effe de len, mas le flamen de la lampe. l n'a ou smplemen plus le emps de refrodr, e donc de s'éendre! Le réseau élecrque fourn une fréquence de 50 [Hz]. Avec cee fréquence, nous ne percevons pas le paplloemen Valeur moyenne : l s'ag de la moyenne arhméque des ensons ou des courans nsananés prs sur une seule alernance. U [V] u u u u u Umoy = n Par développemen, nous arrvons à la relaon suvane : Umoy = U = U π Pour explquer la noon de enson moyenne U m, prenons le sgnal suvan : u [V] 10 u Reprenons la formule énoncée plus hau : Valeurs mesurées : Umoy u1 + u + + un =... n u 1 =. [V] u =.8 [V] u 3 = 3. [V] u 4 = 5.5 [V] u 5 = 8. [V] u 6 = 9.8 [V] u 7 = 9.7 [V] u 8 = 8. [V] u 9 = 4.7 [V] u 10 = 3.9 [V] Applcaon numérque : U moy = 10 = 58. [V] Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre

18 Régme alernaf snusoïdal Tenson moyenne d'une pérode: En applquan les prncpes éudés précédemmen, l es possble de calculer la enson moyenne d'une pérode T d'un sgnal snusoïdal. u [V] 1 0 a [ ] Nous ne ferons pas le développemen comple, mas comme la valeur moyenne de l'alernance posve es égale à la valeur moyenne absolue de l'alernance négave, nous en dédurons que la enson moyenne d'une pérode d'un sgnal alernaf snusoïdal es nulle. Tableau récapulaf : u [V] sgnal U U m eff carré symérque 0 U max [V] u carré posf U max U max u [V] alernaf snusoïdal 0 U max [V] u [V] u pulsé redressemen smple alernance U max p U max pulsé redressemen double alernance U max p U max Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre

19 Régme alernaf snusoïdal Faceur de forme : Dans cerans ypes d'apparels de mesure, l es nécessare de connaîre le rappor enre la enson effcace U e la enson moyenne U m Cerans mulmères avec les symboles AC / DC mesuren un sgnal alernaf en le redressan au moyen de dodes monées en pon de Greaz. Ces nsrumens unversels mesuren la valeur moyenne du sgnal redressé e ls ndquen fos cee valeur. Cee valeur de se nomme faceur de forme e peu êre calculée de la manère suvane : faceur de forme = U U m Pour déermner la valeur du faceur de forme, nous ulsons les relaons suvanes : U Um = π ) En remplaçan Û par sa valeur, nous obenons : U = U U Um = π Nous cherchons à soler la valeur du faceur de forme so : U U m Pour soler le faceur de forme, l fau : dvser de chaque côé de l'égalé par U m dvser de chaque côé par mulpler de chaque côé par π U m U Um π U π π U = = = π U U π U m m m Nous obenons ans la relaon suvane : faceur de forme = U Um = π = Ce faceur n'es applcable qu'en présence d'un sgnal snusoïdal parfa e symérque. Dans la ve praque, l es rès souven fa appel à des conversseurs de fréquences pour commander des apparels. Ces conversseurs on pour effe de créer une nouvelle forme du sgnal alernaf. Les sgnaux présens à la sore de ces conversseurs ne son plus des snusoïdes parfaes e le faceur de forme el que nous venons de l'éuder n'es plus valable. Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre

20 Régme alernaf snusoïdal Lors de la mesure sur des apparels commandés par des conversseurs, l fau êre aenf car la valeur affchée par l'nsrumen de mesure ne sera pas forcémen correce. En élévson, la enson de commande du ransformaeur de rès haue enson, présene sur le colleceur du ranssor de commande, ne peu pas êre mesurée avec un volmère, car la présence d'mpulsons non snusoïdales de fores ampludes fausse le fonconnemen de l'nsrumen de mesure. De même que pour les apparels commandés par des conversseurs de fréquence, l'osclloscope es le seul nsrumen capable d'effecuer une mesure correce. L'osclloscope nous monre la forme réelle du sgnal. Dans ce exemple, nous consaons que la enson ndquée par le volmère n'es pas denque à celle de l'osclloscope Relaon de phase enre sgnaux de même fréquence : Dans un crcu almené en couran alernaf, l es possble que le couran e la enson ne soen pas en phase. On peu égalemen rouver des crcus dans lesquels convergen pluseurs courans ou pluseurs ensons dfférenes e déphasées. Dans ces cas, on parle de ensons ou de courans déphasés. enran 1 Le couran enran e es égal au couran soran s. soran Récepeur 1 e = 1+ Récepeur somme vecorelle e = 1 + Suvan les caracérsques des deux récepeurs, les courans 1 e peuven ne pas êre en phase. e 1 + somme mahémaque Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 0

21 Régme alernaf snusoïdal 1. avance de phase ω = sn( ω + ) l'angle correspond au déphasage enre les deux courbes 1 [ ] Dans ce cas, le couran 1 (ra gras) es en avance de phase par rappor au couran (ra fn). L angle déermne l avance de phase e l es posf.. reard de phase ω = sn( ω + ( )) l'angle correspond au déphasage enre les deux courbes 1 [ ] Dans ce cas, le couran 1 (ra gras) es en reard de phase par rappor au couran (ra fn). L angle déermne le reard de phase e l es négaf Représenaons vecorelles de sgnaux déphasés, de même fréquence Les exemples que nous venons de vor ulsen des représenaons emporelles pour mere en évdence les déphasages. l es égalemen possble d ulser un dagramme vecorel pour ces représenaons. Le dagramme vecorel es plus smple à éablr que la représenaon emporelle, c es pourquo l es généralemen ulsé. ω α [ ] 1 Pour racer nore représenaon vecorelle, nous devons chosr un nsan donné. Dans nore premer exemple, le dagramme vecorel es racé à l'nsan 0, so au débu de la représenaon emporelle c-dessus. L'nsan pour lequel es racé un dagramme vecorel n'es pas mporan car le déphasage es consan dans le emps. Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 1

22 Régme alernaf snusoïdal Pour dfférencer la valeur vecorelle, elle es noée surmonée par une flèche, c'es à dre 1. Par smplfcaon, le premer veceur 1 es racé à l'horzonale. Ensue, nous dessnons le couran en foncon de son angle de déphasage. Le couran es en avance sur 1 ω L angle déermne le déphasage. 1 1 = couran dans le récepeur 1 = couran dans le récepeur ω 1 Le couran es en reard sur 1 1 = couran dans le récepeur 1 L angle déermne le déphasage. = couran dans le récepeur Calcul du déphasage : Dans la plupar des cas, le déphasage es exprmé en degrés. l exse pluseurs méhodes pour le calculer. méhode drece u [V] 360 = T [ ] 0 π = T [rad] T Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000

23 Régme alernaf snusoïdal méhode par Lssajous méhode du snus méhode du snus méhode de la angene a b b a b a snα = a b snα = a b an α = a b Pour ces deux mesures, l es nécessare d'ulser l'osclloscope avec une dévaon XY pour obenr la fgure de Lssajous. Cee noon es abordée lors de l'éude de l'osclloscope. Pour connaîre l'angle, l fau applquer une des foncons suvanes : arcsn, nvsn, sn -1 Le nom de la foncon dépend du modèle de machne à calculer. S la machne es en degrés, l'angle affché sera en degrés, s la machne es en radans, l'angle affché sera en radans. Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 3

24 Régme alernaf snusoïdal Addon de ensons ou de courans déphasés de même fréquence: Reprenons le schéma précéden. Dans ce crcu, les courans 1 e ne son pas en phase. S nous désrons déermner la valeur du couran oal, l es nécessare de procéder à l addon des deux courans. Pour procéder à cee addon, nous pouvons ulser une représenaon so emporelle, so vecorelle. enran 1 Récepeur 1 Récepeur soran 13.0 Représenaon emporelle : résulan l fau mesurer pluseurs valeurs nsananées des courans 1 e e de les addonner. En relan les pons, nous obenons une courbe représenan le couran résulan dans le crcu. Cee méhode a pour prncpal avanage de nous monrer la forme du couran résulan obenu, ans que oues les valeurs du couran nsanané. Dans la majoré des exercces, cee représenaon n es pas ule, car seules les valeurs effcaces e le déphasage nous néressen. Nous ulsons alors une représenaon vecorelle, plus smple e plus rapde. Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 4

25 Régme alernaf snusoïdal 13.1 Représenaon vecorelle : Reprenons le crcu composé de deux récepeurs dans lesquels crculen des courans déphasés 1 e. ω 1 = couran dans le récepeur 1 = couran dans le récepeur 1 Le couran es en avance sur 1. L angle déermne le déphasage. L addon vecorelle nous donne le résula suvan : 1 + ω r 1 = couran dans le récepeur 1 α r = couran dans le récepeur = couran résulan dans le crcu 1 r = enran = soran déphasage enre 1 e. α déphasage enre r e l axe d orgne. Exemple pour un couran en reard par rappor au couran 1 : 1 ω α r 1 = couran dans le récepeur 1 = couran dans le récepeur r = couran résulan dans le crcu déphasage enre 1 e. α déphasage enre r e l axe d orgne. Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 5

26 Régme alernaf snusoïdal 13. Exercces 1. Quel es le genre de couran ou de enson affché par les mulmères unversels?. Quels son les symboles d'unés e de grandeurs ulsés pour défnr la pérode e la fréquence? 3. Une mesure en enson à l'néreur d'un apparel nous donne une valeur de 46.8 [V]. Quelles son les valeurs, moyenne, de crêe e effcace de cee enson? 4. Quelles son les valeurs, effcace, de crêe e moyenne de la enson aux bornes d'une baere de voure? 5. Un fer à souder de 60 [W] es raccordé so sur une enson connue so sur une enson alernave de même valeur effcace. Dans quel cas le couran sera--l le plus mporan? 6. Une mesure effecuée à l'osclloscope donne une dévaon vercale de la race de 5 [cm]. Réglages de l'osclloscope : X : 1 [cm] 0. [ms] Y : 1 [cm] 500 [mv] Donner oues les valeurs calculables avec ces ndcaons 7. Défnr la pulsaon. 8. Calculer la pérode pour les fréquences suvanes : 16 /3 [Hz] ; 50 [Hz] ; [MHz] 9. A comben de radans un angle de 135 correspond-l? 10. Quelle es la fréquence de paplloemen d'une lampe à ncandescence branchée sur le réseau alernaf aux USA? 11. Une enson alernave snusoïdale de 3 [V] engendre un déplacemen de 3 [mm] sur la race d'un osclloscope. Quel déplacemen provoquera une enson de 11 [V]? 1. Une enson alernave snusoïdale a une valeur de 60 [V] 75 après le débu de la pérode. Calculer la valeur effcace de cee enson. 13. Calculer la vesse angulare d'un couran alernaf snusoïdal d'une fréquence de 36 [khz] 14. Une enson alernave es mesurée à l'ade d'un osclloscope. Sur l'écran, sa pérode mesure 45 [mm] avec un balayage réglé sur [ms] par [cm]. Calculer la fréquence de ce sgnal. Réponses : 1. valeur effcace. pérode T en secondes, fréquence f en Herz [Hz] 3. Û = [V], U = 46.8 [V] U m = 4.1 [V] 4. Une baere de voure fourn une enson connue 5. Le couran sera denque dans les deux cas, car DC = eff 6.U = 1.59 [V], U m = 1.43 [V] 7. Vesse angulare ω, elle défn la vesse de roaon du rayon veceur /3 [Hz] 60 [ms], 50 [Hz] 0 [ms], [MHz] 9.99 [ns] [rad] 10 f = 60 [Hz] paplloemen 10 fos par secondes [mm] 1. U = 43.9 [V] 13. ω =.6 [rad s -1 ] 14. T = 9 [ms] f = [Hz] Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 6

27 Régme alernaf snusoïdal Exercces : 1. Pour ous les axes, ndquer le symbole de la grandeur e le symbole de l'uné a) Dessner sur le même graphque une courbe snusoïdale sans déphasage, de même fréquence avec U = 30 [V]. b) Marquer avec un pon bleu le maxmum posf des deux courbes. c) Quelle es la dfférence de enson enre le maxmum posf des deux courbes? d) Quelle es la dfférence angulare (axe des X) enre la courbe A e la courbe B? e) Dessner le dagramme vecorel représenan la valeur effcace des deux courbes.. Compléer s l y a leu les axes (symboles d uné e de grandeur) Repérer la pérode, l alernance posve e l alernance négave. Quelle es la valeur de la enson pour : 90 e 10 Quels son les angles pour une enson de : 0.5 [V] e [V] Converr les angles suvans so en radans, so en degrés : [rad] [rad] [rad] 4. Calculer les valeurs de courans e de ensons nsananées avec les données suvanes : Î = 1.8 f = 1 [khz] = 600 [µs] =? U = 60 [V] f = 100 [Hz] = 5 [ms] u =? U = 5 [V] u = 45 [V] = 0 [ms] f =? Î =.5 = 680 [ma] = 1400 [µs] f = Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 7

28 Régme alernaf snusoïdal 5. Une nsallaon d'éclarage composée de 7 lampes monées en parallèle e d'une pussance de 5 [W] chacune. En cas de panne une almenaon de secours es mse en foncon pour éver une coupure dans l'éclarage. L'almenaon de secours fonconne avec des 4 baeres 1 [V] monées en sére. Calculer les courans effcaces e de crêe dans les deux cas. 6. Compléer le ableau suvan : Fréquence Pulsaon Pérode Durée de l alernance f préfxes pussances [ns] [µs] Un crcu es composé de deux récepeurs branchés en sére. Les valeurs mesurées son les suvanes : U 1 = 50 [V] U = 30 [V] = 70 Tracer le dagramme vecorel e déermner U crcu ans que l angle de déphasage par rappor à U Un crcu es composé de ros récepeurs branchés en sére. Les valeurs mesurées son les suvanes : U 1 = 50 [V] U = 100 [V] U 3 = 75 [V] angle U 1 U = 90 angle U 1 U 3 = - 45 Tracer le dagramme vecorel e déermner U alm ans que l angle de déphasage par rappor à U Un crcu es composé de ros récepeurs branchés parallèle. Les valeurs mesurées son les suvanes : 1 =.5 = 1500 [ma] 3 = 750 [ma] angle 1 = - 90 angle 3 = 135 Tracer le dagramme vecorel e déermner almenaon ans que l angle de déphasage avec 3. Réponses : [ ].35[rad] 1.45 [rad] [ ] 360 [ ] 6.8 [rad] 7.66 [rad] [ ] 45 [ [ 7.41 [rad] 6.8 [rad] 360 [ ] 4. = 118 [ma] u = 3.3 [V] f = [Hz] f = [Hz] 5. crêe = 5.16 effcace = 3.65 DC = 3.65 Elecroechnque / Edons de la Dunanche /ocobre 000 8