Le planimètre polaire

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1 Le planimètre polaire Document d accompagnement des transparents. Bruno eischer Introduction Dans mon exposé à La Rochelle, ou au séminaire de l IREM de Besançon, j ai volontairement consacré une longue partie à rappeler et démontrer des propriétés «élémentaires» d analyse : intégrale doule, formes différentielles, intégrale curviligne, Green-Riemann. La démonstration proprement dite du fonctionnement du planimètre s en trouve du coup un peu perdue à la fin de ces explications. Je vais procéder différemment dans ce document, en ne rappelant plus les propriétés «à savoir», et en attaquant directement dans ce qui sert à la démonstration ; j en profite pour donner une autre démonstration du fonctionnement du planimètre polaire, pour donner une démonstration du fonctionnement du planimètre linéaire, et je continue en donnant la démonstration du fonctionnement d un planimètre général que j ai annoncée lors de l exposé, et qui est valale dans les deux cas précédents, et pour finir, je corrige une erreur dans mes raisonnements initiaux, erreur que personne n avait relevée, mais qui n était pas anodine. 1 Figure v α e r c ' e θ α M u α r a j O i θ Le planimètre polaire et ses deux ras sont ici schématisés par les deux segments [O] et [M] de longueurs respectives a et et classiquement, en mettant l origine du repère O, i, j ) en O, le rayon [OM] vaut r). La roulette d enregistrement est le petit segment c. [t On cherche l aire de la figure, dont le contour est la coure fermée, paramétrée par, t 1 ] R t Mt) 1

2 On peut travailler en coordonnées polaires, ou en coordonnées cartésiennes, dans le repère orthonormal O, i, j ). Le vecteur u α est le vecteur normal porté par le ras [M] u α = 1 M) et le vecteur v α est le vecteur normé directement orthogonal à u α. L angle orienté α est α = OM, M ). Principe On admet que la roulette ne peut tourner que perpendiculairement au deuxième ras [M] du planimètre. De ce fait, elle n enregistre que le projeté orthogonal d un déplacement élémentaire dm sur le vecteur unitaire v α. u out d un tour, la valeur affichée par le planimètre correspond donc, à un coefficient de proportionnalité près 1, à la circulation du champ de vecteur v α le long du contour de la figure. Si on veut raisonner plus «rigoureusement», on peut travailler avec les vitesses instantanées ce qui revient à diviser le déplacement élémentaire dm par un instant élémentaire dt!). On otient la même formule au out t1 t1 du compte, car ft 1 ) ft ) = f t) dt = k v α Mt)) M t) dt = k v α dm. 3 alcul en polaires 3.1 alcul du produit scalaire. t Soit P) la valeur affichée par le planimètre au out d un tour. On a donc t P) = k v α t1 dm = k v α Mt)) M t) dt t Or les coordonnées de v α dans la ase orthonormale e r, e θ ) associée aux coordonnées polaires, pour le point M sont sin α, cos α) celles de u α sont cos α, sin α)). omme d autre part, dans cette ase, les coordonnées de M t) sont r t), rt)θ t) ), on a donc v α Mt)) M t) = r t) sinαt)) + rt) cos αt)θ t). 3. alcul de l angle α. ) Grâce à l-ashi, on a cos α = r + a, donc sin α = ± r + a 1 = gr) sin α, comme cos α r r d ailleurs, ne dépend que de r et pas de θ.) 3.3 alcul final. Donc P) = k v α t1 dm = k v α Mt)) M t) dt t1 = k grt))r t) + rt) rt) + a t rt) P) = k gr) dr + r + a dθ t θ t) ) dt 1. est vite dit! en fait, cette affirmation que je considérais comme évidente, que personne n a contestée lors de mes exposés, est erronée, voir le dernier paragraphe 8

3 La forme différentielle ω = gr) dr + r + a dθ peut s écrire ω = ω + ω, avec ω = gr) dr + a dθ ) et ω = r dθ ; la forme différentielle ω est exacte, puisque rotω ) = a gr)) =, donc r θ r P) = k dθ = k ). La valeur affichée par le planimètre est ien proportionnelle à l aire de. 4 alcul en coordonnées cartésiennes. Sur la suggestion de Frédérique Plantevin, voici une démonstration de ce résultat n utilisant pas les coordonnées polaires. On a toujours l expression de la valeur affichée par le planimètre comme circulation du champ de vecteurs v α : P) = v α dm. Mais on sait que u α = 1 ) M ; les coordonnées de x x u α sont donc, y y ) et celles de v α sont donc y y, x x. Par définition de la circulation d un champ de vecteurs, et en appliquant Green-Riemann, on a donc P) = k y y ) dx + x x ) dy = k = k x x ) dx dy. x x ) x + y y ) ) dx dy Or on peut, sans calculer les coordonnées du point, trouver la valeur de x x +, en utilisant le fait que les segments [O] et [M], même s ils dépendent de x et de y, ont des longueurs a et fixes. x x Puisque x + y = x + y x = 1) a, on a x x + y = ) x x ) x x ) + y y ) y y ) = De même, puisque x x ) + y y ) = x x, on a x x ) x x ) + y y ) y y ) = x x ) 1 x ) y y ) x x = e dernier système équivaut à x x ) x + y y ) 1 ) = x x ) x x + y y ) x = x x 3) Ou encore x x ) x + y y ) = y y 4) x x Prenons les équations 1) et 3), nous otenons le système : x + y x = 1) x x ) x x + y y ) ; x = x x 3) y c est un système de ramer, on otient facilement la valeur x x = x x y y x y xy = x y x y xy x x y y 3

4 x x + y = ) De même, avec les équations ) et 4), on otient le système x x ) x + y y ) = y y 4) x et = x x y y x y x y = x y x y xy x x y y Finalement x x + = 1, et donc P) = k 5 Remarque. 1) dx dy = k ). Dans le calcul du 4, on trouve à la fin que P) = k div M) dx dy puisque div M) = x x ) + y y ) ). x D après la linéarité de la fonction divergence, puisque OM = O + M, on peut interpréter le calcul précédent ainsi : P) = k div M) dx dy = k div OM O) dx dy et s il est évident que div OM) =, on prouve donc que div M) = div O) = 1. ette propriété remarquale peut peut-être se prouver autrement... Si quelqu un trouve un raccourci pour cette démonstration, je suis preneur! 6 Planimètre linéaire. Un planimètre linéaire est constitué d un ras [M] de longueur fixe, muni d une roulette perpendiculaire à ce ras, n enregistrant que les déplacements perpendiculaires à ce ras. Le point est astreint à se déplacer de manière rectiligne, sur une droite qu on prendra comme axe des ascisses. Le point M décrit le contour de la figure dont on veut mesurer l aire. Soit θ = i, M) ; On pose u θ = 1 M et on prend v θ tel que u θ, v θ ) soit une ase orthonormale directe. 4

5 Lorsque le point M a fait le tour de la surface à mesurer, la valeur affichée est proportionnelle à l intégrale de vθ dm : P) = k vθ dm. Or u θ cos θ, sin θ) donc v θ sin θ, cos θ) Mais sin θ = y ; donc cos θ = ± 1 y y dx + hy) dy = hy) ) ; D où v θ dm = 1 Posons ω = y dx = P dx + Q dy et ω = hy) dy ; il est clair que rotω) = Q rotω ) = Donc P) = k ω + ω = k 7 Généralisation. 7.1 Planimètre généralisé. 1 dx dy = k ). x P = 1 et de même Voici une démonstration unifiée du fonctionnement de ces deux planimètres. On considère un ras [M] de longueur fixe, avec un roulette montée n importe où, tournant perpendiculairement à ce ras ; On suppose que reste sur une coure fixe et ne fait que des allers-retours) tandis que M décrit le contour de la surface à mesurer. Nous allons montrer que quelle que soit la coure sur laquelle se déplace et où que soit la roulette d enregistrement c), ce dispositif a un comportement de planimètre, c est-à-dire que la roulette enregistre une quantité proportionnelle à l aire de. 7. ire décrite par un segment. On considère un segment moile [B]. Disons que la position de ses extrémités est fonction d un paramètre t qui peut être le temps pour fixer les idées. L aire décrite par ce segment entre les instants t et t 1 est l aire algérique. Même erreur que celle signalée au ; elle sera corrigée au 8 par la même démarche. 5

6 de la partie de plan limitée par les segments [t )Bt )] et [t 1 )Bt 1 )] et les deux coures paramétrées respectivement décrites par les points t) et Bt). Si est le compact limité par les deux segments et les deux arcs paramétrés, son contour est la réunion des deux segments et des deux arcs. On convient que l orientation du contour est choisie de façon que [t )Bt )] soit décrit de vers B. L aire décrite par le segment [B], pour t [t, t 1 ] est l aire algérique de, pour cette orientation du contour positive sur cette figure). Sa valeur est ) = = [t )Bt )] + Bt)Bt [t 1)Bt 1)] 1) t)t 1) Dans cette écriture, les segments sont orientés de l origine vers l extrémité de vers B) de gauche à droite sur la figure) et les arcs sont orientés dans le sens des t croissants, de t vers t 1 de as en haut sur la figure). 7.3 Segment dont les extrémités décrivent deux coures fermées. Théorème 1 Si les extrémités t) et Bt) d un segment décrivent respectivement les coures fermées 1 et, qui entourent respectivement les compacts 1 et, alors l aire décrite par le segment [t)bt)] est égale à la différence des aires algériques de 1 et : c est ) 1 ) Preuve : Il suffit d appliquer la formule ci-dessus, lorsqu on a décrit un tour complet des coures 1 et : à ce moment-là, on a t ) = t 1 ) et Bt ) = Bt 1 ), de sorte que dans la formule ci-dessus, les intégrales sur les 6

7 segments se compensent et disparaissent. Il ne reste plus que la différence entre les intégrales sur les contours 1 et d une forme différentielle qui donne justement l aire de ces surfaces. Pour la figure ci-dessus, le signe des aires de 1 et dépend respectivement de l orientation de 1 et : si décrit 1 dans le sens positif, 1 ) >, etc. La différence des aires otenue peut donc très ien en pratique être une somme d aires géométriques! 7.4 as où l origine du segment reste sur une coure. Si l origine du segment reste sur une coure, et fait des allers-retours sur cette coure, on pourra considérer qu on est dans la situation précédente, avec un compact 1 d aire nulle, et donc l aire décrite par le segment [B] n est rien d autre que l aire du compact. Pour l instant, dans le suivant, on ne considérera pas encore que le point fait des allers-retours sur une coure, mais qu il décrit le contour 1 d un compact 1. Notons aussi que pour l instant, nous n imposons pas au segment [B] d avoir une longueur fixe. 7.5 Dérivation de la fonction aire décrite On considère encore la situation d un segment dont les extrémités décrivent deux coures fermées dont l une est éventuellement «aplatie»). On suppose que les points et B décrivent un tour complet pour T qui varie entre et T f. On définit la fonction S par ST ) est l aire décrite par le segment [B] entre l instant et l instant T. Bien entendu, on vient de voir que ST F ) = ) 1 ). Nous avons vu que ST ) = [)B)] + B)BT [T )BT )] ) )T ) ST ) = I 1 + I I 3 I 4. onsidérons { une paramétrisation { naturelle des coures 1 et : x = x t) x = x B t) t [, T f ] et t [, T f ] y = y t) y = y B t) On a donc T x B t)y B I = I T ) = t) y Bt)x B t) T x t)y dt et I 4 = I 4 T ) = t) y t)x t) dt. Pour le segment [T )BT )], on utilise une paramétrisation naturelle d un segment : {x = x T ) + t x B T ) x T ) ) y = y T ) + t ) t [, 1] y B T ) y T ) Donc 1 x T ) + t x B T ) x T ) )) yb T ) y T ) ) y T ) + t y B T ) y T ) )) xb T ) x T ) ) I 3 = I 3 T ) = dt = 1 1 x T )y B T ) y T )x B T ) ) dt = x T )y B T ) y T )x B T ) Pour I 1, on trouve évidemment la même chose en remplaçant T par, mais la valeur otenue est constante, et on va s intéresser à la dérivée par rapport à T ) de ST ), donc la valeur constante de I 1 va disparaître. On a otenu : ST ) = I 1 + T x B t)y B t) y Bt)x B t) dt x T )y B T ) y T )x B T ) T x t)y t) y t)x t) dt Donc S T ) = x BT )y B T ) y BT )x B T ) x T )y T ) y T )x T ) x T )y BT ) + x T )y B T ) y T )x BT ) y T )x B T ) = y T ) + y B T ) xb T ) x T ) ) x T ) + x B T ) yb T ) y T ) ) 7

8 7.6 Interprétation. On suppose maintenant que le segment [B] a une longueur fixe On a otenu ) 1 ) = ST f ) = Tf S t) dt Soit I le milieu du segment moile [B] ; on peut interpréter ainsi l expression de S t) : S t) = x I t) y B t) ) + y I t)x B t) = I t) v t), en considérant le vecteur u = u t) = et v tel que u, v ) soit une ase orthonormale directe. Les coordonnées de 1 u sont donc x B, 1 ) y B et celles de v : Par conséquent, ) 1 ) = Tf I t) v t) dt. 1 y B, 1 ) x B B = 1 B B Donc un dispositif qui permettrait d enregistrer la projection orthogonale à B du déplacement du milieu I du segment [B], enregistrerait, au out d un tour, la différence des aires de 1 et. 7.7 Solution pratique. La première solution à laquelle on pourrait penser consisterait ien sûr à mettre une roulette de planimètre au milieu du segment [B]. Mais, en pratique, on ne se fatigue pas à essayer de mettre la roulette exactement au milieu du segment [B] : elle peut se situer n importe où, pas forcément sur le segment ; la seule contrainte est que sa position par rapport au segment [B] soit fixée mais les systèmes mécaniques sont rigides, ce n est pas contraignant). Bien sûr, le segment [B] a une longueur fixe ; comme on veut mesurer une seule surface à la fois, on prend un compact 1 d aire nulle, c est-à-dire qu on impose au point de faire des allers-retours sur une coure, tandis que le point B qu on appellera M à partir d ici) décrit le contour de la surface qu on veut mesurer. Il reste à prouver que la quantité enregistrée par une tel dispositif est ien proportionnelle à l aire ; on prouvera même que cette quantité est exactement la même que si la roulette se situait exactement au milieu du segment [B]. Supposons que la roulette soit située en un point G, tel que G = I + λ u + µ v avec λ, µ constantes). La roulette c enregistre donc la composante selon v du mouvement du point G, donc lorsqu on a fini le tour de la surface à mesurer, la valeur affichée P) par le compteur est proportionnelle à l intégrale de à T f de G v. En fait, si λ et µ sont ien des constantes, les vecteurs u et v sont des vecteurs unitaires non fixes ; ils ont des coordonnées qui dépendent d un angle θ = i, u ) = B, u ), lui-même dépendant de la position du point 8

9 Mt), donc du paramètre t. Donc on peut écrire u = ) u θt) cos θt), sin θt) et v = ) v θt) sin θt), cos θt). Et il est classique que dt d u θt) = θ t) v θt) tandis que dt d v θt) = θ t) u θt) Donc la valeur affichée par le compteur au out du tour de est P) = k Tf G t) v θt) dt. Or Gt) = It) + λ u θt) + µ v θt) donc G t) = I t) + λθ t) v θt) µθ t) u θt) Donc Tf P) = k I t) Tf v θt) dt + kλ θ t) dt = k ) + kθt f ) kθ) = k ) car θt f ) = θ), puisqu on suppose que la position finale du segment [M] est la même que la position initiale, avec simplement des allers retours pour le point il ne faut pas que le point M fasse un tour complet autour de ). On a donc étali qu on peut construire un planimètre général, en astreignant simplement le point à rester sur une coure. ette démonstration est valale à la fois pour le planimètre polaire, et pour le planimètre linéaire. 8 orrection d une erreur. ette dernière démonstration permet de se rendre compte de la présence une erreur dans toutes les démonstrations initiales. À chaque fois, on a prétendu que le déplacement de la roulette était proportionnel à la composante perpendiculaire au ras moile du déplacement dm. Or ceci n est qu une illusion. Dans le cas du planimètre polaire, il semle que ce soit le cas, en utilisant une homothétie de centre le point, où s articulent les deux ras. Mais ce point étant moile, qu est-ce qu une homothétie de centre moile? Pour le planimètre linéaire, on a le même prolème, encore plus criant. En fait, c est la dernière démonstration qui donne encore la solution, et qui permet de corriger cette erreur. Les calculs faits pour le planimètre polaire, lors du raisonnement en coordonnées polaires comme pour le raisonnement en coordonnées cartésiennes) ainsi que ceux faits pour le planimètre linéaire sont valales à condition que la roulette soit située au point M qui décrit la coure ce qui serait en pratique fort peu confortale!) Ils montrent à chaque fois que P) = v α dm est proportionnelle à l aire ). Mais en fait, la roulette n enregistre pas la composante selon v = v α ou v θt) du déplacement dm, mais la composante selon ce même vecteur du déplacement dg du point G de contact de la roulette avec la feuille de papier, ce déplacement n étant en rien proportionnel au déplacement du point M pointeur du planimètre). On a donc enregistré, au out d un tour, Q) = v dg. Or G = M + λ u + µ v, les vecteurs unitaires u et v étant tels que 1 u = M et u, v ) est une ase orthonormale directe. λ et µ sont des constantes, au contraire de ces vecteurs unitaires. On a donc u = u θ t) = cosθt)) i + sinθt)) j, avec θt) = i, t)mt)). t Mt) pour t [t, t 1 ] étant une paramétrisation quelconque, par exemple temporelle, du contour de la surface qu on cherche à mesurer.) d Par conséquent, dtu θt) = θ t) v θt) et d dtv θt) = θ t) u θt) et on peut écrire G t) = M t)+λθ t) v µθ t) u. Finalement, l enregistrement de la roulette au out d un tour, est : Q) = k t1 v dg = k vθt) t1 G t) dt = k vθt) M t) + λθ t) v θt) µθ t) ) u θt) dt t t = k t1 v dm + k λθ t) dt = k v dm + kλ θt1 ) θt ) ) = k v dm. t Puisqu on suppose que le ras moile du planimètre finit sa course dans la même position qu au départ, sans avoir fait un tour complet sur lui-même, c est-à-dire θt 1 ) = θt ).) On a ainsi prouvé, non seulement que la démonstration faite est encore valale quelle que soit la position de la roulette d enregistrement, pas seulement pour la roulette placée en Mt)), mais encore que Q) = P), pour une roulette de même dimension : le coefficient de proportionnalité otenu dépend certainement de la taille de la roulette, des graduations du système d enregistrement, mais pas de la position de la roulette! e n était pas clair avec la première erreur, car dans l illusion d une homothétie de centre, on croyait introduire une constante liée à la position de la roulette sur le ras moile). 9