Baccalauréat S Nouvelle - Calédonie Mars 2009

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1 Bcclurét S Nouvelle - Clédoie Mrs 009 Exercice Commu à tous les cdidts (5 poits) r r Le pl est rpporté à u repère orthoorml direct ( O, u, v) d uité grphique cm O cosidère les poits et B d ffixes respectives z ; z + i Soit C et D les poits d ffixes respectives zc + i ( ) ; zd + i ( + ) B L ojet de l exercice est de proposer ue costructio géométrique des poits D et C π Motrer que l imge du poit B pr l rottio de cetre et d gle est le poit D E déduire que les poits B et D sot sur u cercle C de cetre dot o détermier le ryo Soit F, l imge du poit pr l homothétie de cetre B et de rpport Motrer que l ffixe z F du poit F est i Motrer que le poit F est le milieu du segmet [CD] zc zf c Motrer que i z zf zc zf E déduire l forme expoetielle de z zf Déduire des questios précédetes que l droite (F) est l méditrice du segmet [CD] Proposer u progrmme de costructio pour les poits D et C à prtir des poits, B et F et réliser l figure Ds cette questio, toute trce de recherche, même icomplete, ser prise e compte ds l evlutio Exercice Cdidts yt ps suivi l eseigemet de spécilité ( 5 poits) r r r L espce est rpporté u repère orthoorml ( O, i, j, k ) O cosidère les poits: (;0;0), B(0;;0), C(0;0;) et E ; ; 9 O se propose de détermier de deux fços l distce δ E du poit E u pl (BC) RPPEL : Soit (P) u pl d équtio x + y + cz + d 0,, c et d omres réels vec,, et c o tous uls et xm + ym + czm + d M ( xm ; ym ; z M ), l distce δ M du poit M u pl (P ) est : + + c ) Motrer que les poits, B etc détermiet ie u pl Soit r le vecteur de coordoées (; 6; ) Motrer que r est u vecteur orml u pl (BC) c Motrer qu ue équtio du pl (BC) est: x + 6 y + z 0 d Déduire des questios précédetes l distce δ E

2 x + t ) Motrer que l droite (D) de représettio prmétrique: y t t R 5 z + t 9 est perpediculire u pl (BC) et psse pr le poit E Détermier les coordoées du projeté orthogol G du poit E sur le pl (BC) c Retrouver à prtir des coordoées des poits E et G l distce δ E Exercice Commu à tous les cdidts (5 poits) Ds u std de tir, u tireur effectue des tirs successifs pour tteidre plusieurs ciles L proilité que l première cile soit tteite est Lorsqu ue cile est tteite, l proiité que l suivte le soit est Lorsqu ue cile est ps tteite, l proilité que l suivte soit tteite est O ote, pour tout etier turel o ul: l évèemet: «l -ième cile est tteite» l évèemet: «l -ième cile est ps tteite l proiité de l évèemet l proiité de l évèemet ) Doer et Clculer et O pourr utiliser u rre podéré ) Motrer que, pour tout N, : + +, puis: N, : + + ) Soit ( ) U l suite défiie pour tout etier turel o ul, pr U Motrer que l suite ( U ) est ue suite géométrique O préciser l riso et le premier terme U E déduire l expressio de U e foctio de, puis de e foctio de c Détermier l limite de l suite ( ) Détermier le plus petit etier turel tel que: 0, 6665

3 Exercice Commu à tous les cdidts (5 poits) Soit f ue foctio défiie pour tout omre réel x pr f ( x) ( + ) r r Le pl est rpporté à u repère orthoorml ( O, i, j ) x x e d uité grphique cm ) Étudier le sige de f(x) sur R Détermier l limite de l foctio f e Détermier l limite de l foctio f e + c O ote f l foctio dérivée de l foctio f sur R Clculer, pour tout omre réel x, f ( x) E déduire les vritios de l foctio f sur R d Trcer l coure représettive de l foctio f sur l itervlle [; 5] ) O ote ( ) I l suite défiie pour tout etier turel pr : I f ( x) dx Ds cette questio, o e chercher ps à clculer l vleur excte de I e foctio de Motrer que, pour tout N, I 0 Motrer que l suite ( I ) est croisste ) À l ide d ue itégrtio pr prties, motrer que, pour tous réels et : f ( x) dx ( ) e + ( + ) e E déduire l expressio de I e foctio de c Détermier: lim I + d Doer ue iterpréttio grphique de cette limite ) Détermier α R tel que: f ( x) dx e Ce clcul itégrl correspod-il à u clcul d ire? α

4 EXERCICE z ; z + i Corrigé Mths S Nouvelle Clédoie mrs 009 B, zc + i ( ) ; zd + i ( + ) Soit B' l imge du poit B pr l rottio de cetre et d gle π : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) π zb z e zb z zb + i + i + + i + i + + i + B D Pr coséquet, O doc B D + i 5 et les poits B et D sot sur u cercle C de cetre de ryo 5 Soit F, l imge du poit pr l homothétie de cetre B et de rpport uuur uuur BF B zf zb z zb i zf i zf zc + zd et le poit F est le milieu du segmet [CD] c ( ) ( ) d De plus, ( ) ( ) c zc z + i + i F i ( i ) ( i ) ( 5i ) z z + i + i + 5 F π zc z z i F D'où : i C zf z z et e F z zf uuur uuur π Il s'esuit que ( F, FC ) et l droite (F) est perpediculire à (FC) Et, puisque F est le milieu du segmet [CD], l droite (F) est l méditrice du segmet [CD] Pour l costructio des poits D et C : Trcé du cercle (C) de cetre psst pr B (questio ) Trcé du poit F imge de pr l homothétie de cetre B et de rpport Trcé de l méditrice du segmet [CD] Les poits C et D sot lors les itersectios de (C) et de l méditrice de [CD], C d'scisse positive, D d'scisse égtive

5 EXERCICE 5 poits (;0;0), B(0;;0), C(0;0;) et E ; ; 9 uuur uuur uuur uuur B ; C 0, les vecteurs B et C e sot ps coliéires et les poits, B et C e sot 0 ps ligés : les poits, B etc détermiet ie u pl uuur r uuur r r B + 0 B Soit 6 uuur r uuur r, et r est u vecteur orml u pl (BC) C + 0 C x + y + z c Il est clir efi qu ue équtio du pl (BC) est: 6 0 d d Déduire des questios précédetes l distce xe + 6 ye + ze δ E δ E x + t U vecteur directeur de l droite (D) de représettio prmétrique: y t t R 5 z + t 9 r est u ; ; r r, soit u et l droite (D) est perpediculire u pl (BC) De plus le poit E est le poit de (D) de prmètre t pl (BC) psst pr le poit E : l droite (D) est l perpediculire u Du, o déduit que le projeté orthogol G du poit E sur le pl (BC) est l'itersectio x + t de l droite (D) vec le pl (BC) : x + 6 y + z 0 et y t t R, d'où : 5 z + t ( + t ) + 6 t + + t 0 + t 0 t 9 9 E remplçt ds l représettio prmétrique, o trouve : G ; ; uuur c O : EG ; ; 8, d'où : 8 6 δ E EG Exercice Commu à tous les cdidts (5 poits)

6 Lorsqu ue cile est ps tteite, l proilité que l suivte soit tteite est l proilité de l évèemet, l proilité de l évèemet : ) L proilité que l première cile soit tteite est + doc et Lorsqu ue cile est tteite, l proilité que l suivte le soit est : ( ) p +, Lorsqu ue cile est ps tteite, l proilité que l suivte soit tteite est : ( ) p + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p + p p p + p p p + p + 5 et 8 8 ) O sit que Ω ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p + p p p + p p ( ) ( ) p + p , d'où + ( ) + U U + U U 6 U est doc ue suite géométrique de er terme U 6 de riso q ) L suite ( ) ) De ce qui précède o déduit que U 6 c) < < lim 0 lim + +, puis U + 6

7 d) 0, , 6665, 999 0, 00 6 l 0, 00 0, 6665 ( ) l l 0, 00 5, 98 l 0, 5 D'où 0, Remrque : ; 0, 6660 < 0, 6665 et ; 0, > 0, Exercice Commu à tous les cdidts (5 poits) + Soit f ue foctio défiie pour tout omre réel x pr f ( x) ( + ) r r Le pl est rpporté à u repère orthoorml ( O, i, j ) ) f ( x) ( + ) le même que celui de + x : x x e d uité grphique cm x x e et o sit que l'expoetielle est positive Pr suite le sige de f(x) sur R est ) ( ) x f ( x) x f ( x) 0 lim f ( x) cr lim + x et lim e x + x x x ( ) lim ( ) lim x x f x e xe lim f ( x) cr lim e x + 0 lim xe x 0 x + x + x + x + x + c) Sur R l foctio f, produit de deux foctios dérivles est elle-même dérivle et : ( ) ( ) x x x f ( x) e + + x e f ( x) xe est du sige de x d'où les vritios de f sur R : x + f ( x) + 0 f ) Sur [ [ 0 ; +, f ( x) 0 f ( x) dx 0 I 0 ) I I f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx cr f ( x) et ( ) I est croisste

8 u( x) + x ; v ( x) e x I x e dx Posos u ( x) ; v( x) e cotiues O lors : ) ( + ) x x, u et v dérivles à dérivées ( + ) ( + ) ( ) ( + ) ( + ) x x x x x x x e dx x e e dx x e e x e D'où : f ( x) dx ( ) e + ( + ) e ) + I f ( x) dx ( ) e + ( ) e I e ( + ) e e e c) lim I lim ( e ( + ) e ) lim ( e e e ) lim I e cr lim e lim e d) Cette limite est l'ire e cm² de l portio de pl comprise etre l coure représett f et l'xe des scisses pour x α ) ( ) ( ) α ( ) Sur [ ; ], f ( x) α f x dx e e α + e e α + e 0 α 0 et l'ire de l portio de pl comprise etre l coure représett f et l'xe des scisses pour x est lors doée pr f ( x) dx soit le clcul précédet