M. MORICEAU, brevet (DNB) CORRECTION de l épreuve de mathématiques (DNB) de 2012

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1 M. MORICEAU [Collège Montgaillard - Saint Denis (REUNION)] Mathématiques, 28 juin 2012, ème, BREVET (DNB) CORRECTION de l épreuve de mathématiques (DNB) de 2012 Activités numériques (12 points) V Premier exercice : 1) La probabilité qu Alice gagne la voiture est 1. En effet, elle a une chance sur d ouvrir la bonne porte (la porte derrière laquelle se trouve la voiture) 2) S il y a quatre portes et toujours une seule voiture à gagner (derrière une des quatre portes), la probabilité qu a Alice de gagner la voiture diminue. On peut affirmer que cette probabilité est égale à 1 4 (et 1 4 < 1 ). V Deuxième exercice : 1) Ecriture décimale du nombre proposé : = = = 1, ) Antoine a raison, le résultat affiché n est pas exact = 1 mais = > V Troisième exercice : Le coureur coure 1 km en 4 minutes et 0 secondes en c est-à-dire 270 secondes ( = 270) Il courera 42,195 kms en 11 92,65 secondes (270 42,195 = 11 92,65) 11 92, 65 = ,65 donc 11 92, 65 s = 189 min et 52,65 s = h 09 min et 52,65 s. 1

2 Ce dernier temps est inférieur à h et 0 minutes Conclusion : Ce coureur mettra moins de h et 0 minutes pour finir le marathon. V Quatrième exercice : 1) Si x = 4 alors (4x )2 9 = (4 4 )2 9 = ( ) 2 9 = 0 9 = 9 (et 9 est différent de 0). Conclusion : 4 n est pas solution de l équation (4x )2 9 = 0. Si x = 0 alors = (4x ) 2 9 = (4 0 ) 2 9 = ( ) 2 9 = 9 9 = 0. Conclusion : 0 est une solution de l équation (4x ) 2 9 = 0. 2) Factorisons (4x ) 2 9. (4x ) 2 9 = (4x ) 2 2 = (4x + ) (4x ) = 4x (4x 6) ) Les solutions de l équation (4x ) 2 9 = 0 sont les solutions de l équation 4x (4x 6) = 0. Résolvons l équation-produit 4x (4x 6) = 0. Dire qu un produit est nul revient à dire qu au moins l un des facteurs de ce produit est nul. 4x(4x 6) = 0 est équivalent à 4x = 0 ou 4x 6 = 0 est équivalent à x = 0 4 ou 4x = est équivalent à x = 0 ou 4x = 6 est équivalent à x = 0 ou x = 6 4 = 2 2

3 Les solutions de l équation (4x ) 2 9 = 0 sont les nombres 0 et 2 Activités géométriques (12 points) V Premier exercice : 1) a) Notons A l aire du carré ABCD. A = AB AB = = 1600 Conclusion : L aire du triangle ABCD est égale à 1600 cm 2 a) Notons A l aire du rectangle DEFG Les points D, E et A sont alignés dans cet ordre donc DE = DA - DE = (cm). Puis, Les points D, C et G sont alignés dans cet ordre donc DG = DC + CG = (cm). A = DE DC = (40 15) ( ) = = 1625 Conclusion : L aire du rectangle DEFG est égale à 1625 cm 2 2) Notons x la longueur (en cm) du carré ABCD. Les points D, E et A sont alignés dans cet ordre donc DE = DA - DE = x - 15 (cm). Puis, Les points D, C et G sont alignés dans cet ordre donc DG = DC + CG = x + 25 (cm). L aire du carré ABCD est x 2 et l aire du rectangle DEFG est (x 15) (x + 25). On cherche x tel que x 2 = (x 15)(x + 25). Résolvons cette équation.

4 x 2 = (x 15)(x + 25) x 2 = x x 15x x 2 = x x 75 x 2 x 2 = x x 75 x 2 0 = 10x 75 10x 75 = 0 10x = x = 75 x = x = 7,5 Conclusion : les deux figures ont la même aire si AB = 7,5 cm. V Deuxième exercice : 1) Notons V le volume de ce cône. V = π R2 h = π 22 5 = 20π 21 Conclusion : Le volume du cône est égal à 21 cm. 2) On effectue la section du cône par le plan parallèle à la base qui passe par le point, on obtient ainsi un petit cône. Le petit cône est une réduction du cône initial. Notons k le coefficient de réduction. 1 k = AB OA = 2 OA OA = 1 2 Si on note V 1 le volume du cône initial et V 2 le volume du cône réduit. On peut écrire : V 2 = k V 1 = ( ) 1 V 1 = V 1 = V 1 8 4

5 Le volume du petit cône est donc huit fois plus petit que le cône initial. Conclusion : L affirmation est fausse. V Troisième exercice : Pour déterminer la longueur du parcours ABCDE, nous devons calculer BC, CD puis enfin DE. Commençons à calculer BC. Nous savons que le triangle ABC est rectangle en A, nous pouvons appliquer le théorème de Pythagore dans ce triangle et écrire : BC 2 = AB 2 +AC 2. Nous pouvons écrire : Ainsi, BC = = 500 BC 2 = AB 2 + AC 2 = = BC 2 = La longueur BC est égale à 500 m. Les droites (AE) et (BD) sont sécantes en C. Les points A, C et E sont alignés Les points B, C et D sont alignés Les droites (AB) et (DE) sont parallèles Nous pouvons appliquer le théorème de Thalès et écrire : Pour calculer CD, utilisons : AC CE = BC CD = AB DE 1000 = 500 CD = 00 DE 1000 = 500 CD 5

6 Un produit en croix nous donne : CD = La longueur CD est égale à 1250 m Pour calculer DE, utilisons : 1000 = 00 DE Un produit en croix nous donne : DE = La longueur DE est égale à 750 m. = 1250 = 750 Notons L la longueur réelle du parcours ABCDE. L = AB + BC + CD + DE = = 2800 Conclusion : La longueur réelle du parcours ABCDE est égale à 2800 mètres. Problème (12 points) PARTIE I : 1) 10h0 min - 9h5 min = 0h55min. Conclusion : La durée du vol est égale à 55 minutes. 2) a) Notons n le nombre de passagers le mercredi. On a : n = 111 ( ) = 145 Conclusion : Il y a eu 145 passagers le mercredi. b)notons m la moyenne désirée. m = = 159 Conclusion : Il y a eu 159 passagers en moyenne cette semaine là. ) a) SOMME(B2 :H2) b) MOYENNE(B2 :H2) 6

7 4) L avion peut transporter au maximum 190 personnes. Calculons 80% de = 19 8 = Conclusion :L objectif est atteint car 166 > 152. PARTIE II : 1) Notons v la vitesse. v = km/s la durée aller est égale à 0,000 2 = 0,00015 s. Nous savons que la vitesse est égale au quotient de la distance par le temps. v = d t donc d = v t On a : d = ,00015 = 45 Conclusion : A cet instant, l avion se trouve à 45 kilomètres du radar. 2) Le triangle ARI est rectangle en I, nous pouvons donc appliquer dans ce triangle les relations trigonométriques. Nous avons : sin ÂRI = longueur du côté opposé à l angle ÂRI longueur de l hypoténuse = AI AR Donc AI = 45 sin(5 ),9 sin(5 ) = AI 45 Conclusion : A cet instant, l altitude de l avion est de,9 kilomètres. PARTIE III : Une lecture graphique du graphique en annexe nous permet de répondre. 1) Conclusion : L avion a parcouru 450 mètres. 2) Conclusion : à partir de 22 secondes, l avion est à l arrêt. ) Conclusion : 20 secondes. (le temps mis par l avion pour s arrêter quand la fonction est constante) 7