FONCTIONS : LIMITES ET ASYMPTOTES I. QUELQUES RAPPELS SUR LES LIMITES. 1. Limites et fonctions polynômes :

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1 FONCTIONS : LIMITES ET ASYMPTOTES I. QUELQUES RAPPELS SUR LES LIMITES. Limites et foctios olyômes : Soit P ( ) = a + a a+ a u olyôme de degré. Alors P ( ) = ( a) et P ( ) = ( a) + + Justificatio : a a P ( ) = a + a a+ a= a( ) a a doc P( ) = a ( + ε ( )) avec ε( ) = d où la roriété ecadrée. + Si o ote f : a,o eut dire que les foctios P et f sot équivaletes e +. O ote P ( ) + a 5 Eemle I. :Soit P ( ) = 5 +alors 5 5 P ( ) ( 5) et P ( ) ( 5) + + = =+ = =. Limites et fractios ratioelles Ue fractio ratioelle est le quotiet de deu olyômes. Si P ( ) a + a a+ a f( ) = = Q ( ) a a alors f( ) = et f( ) = + + Ceci se justifie e factorisat le umérateur de f ar avec a et, a et le déomiateur de f ar + 5 Eemle I. : = = = II. BRANCHES PARABOLIQUES ET ASYMPTOTES. Braches araoliques (les formules sot doées avec des ites lorsque +, elles sot aussi valales lorsque ) ---si + f( ) =+ ou si + f( ) = alors la coure admet ue rache araolique de directio (Oy) (comme ar eemle les foctios ou e ou ) Cas où + f( ) = + Cas où + f( ) =

2 ---si f( ) = + alors la coure admet ue rache araolique de directio (O) (comme ar eemle les foctios ou L). Asymtotes La coure (A) est ue asymtote our la coure C f d équatio y = f() lorsque «la distace etre ces deu coures ted vers». ( A): =. Droites asymtotes arallèles au aes Si f( ) =+ ou si f( ) = alors la droite d équatio = est ue asymtote our C f Si f ( ) = y ou si f( ) = y alors la droite d équatio y = y + est ue asymtote our C f ( A): y = y y Cas gééral : si f ( ) eut se mettre sous la forme f ( ) = u( ) + ε ( ) avec ε ( ) = alors la coure (A) d'équatio y = u) ( ± est ue asymtote our C + Eemle II. f ( ) = = + = + ε( ) avec ε( ) = + Et ε( ) = Cela motre que la coure d équatio our C f e +, et e y = est ue asymtote f C f (A) y =

3 . Méthodes de recherche d asymtotes qui sot des droites oliques C est le cas où o eut écrire f() sous la forme f ( ) = a+ + ε( ) avec ε ( ) = ± Ue méthode géérale our rechercher ce tye d asymtote est la suivate : (méthode doée lorsque +, valale aussi si ) f ( ) il faut d aord chercher : + --si cette ite vaut, ou +, ou -, la coure admet ue rache araolique ( cf.vi ) f ( ) --si = a il faut chercher ( f ( ) a) + + si ( f ( ) a) = avec alors la droite d équatio y = a+ est asymtote de C f + Eemle II. : f( ) = e + f( ) f ( ) = e + doc = et ( f( ) ) = (e ) = cela motre que la droite d équatio y = est asymtote our la coure de f e +. O aurait aussi u remarquer que f ( ) = e + = + e = a+ + ε ( ) avec ε ( ) = e et ε ( ) =, a=, = our >, ε ( ) > doc + f( ) > et doc la coure est au dessus de l asymtote. Cas articulier des fractios ratioelles Das le cas où la foctio est ue fractio ratioelle, la divisio euclidiee du olyôme du umérateur divisé ar le olyôme du déomiateur eut ermettre d oteir directemet ue coure asymtote et la ositio ar raort à cette coure. Rael :divisio euclidiee das La divisio osée avec a dividede, diviseur, q quotiet et r reste ermet d écrire a= q+ r avec r < a. r q Rael :divisio euclidiee das l esemle des olyômes La divisio osée ermet d écrire P ( ) = QA ( ) ( ) + R ( ) avec R ( ) = ou d R< d Q P() R() Q() A() D où P ( ) R ( ) = ( ) + avec ( ) = ou d < d Q ( ) Q ( ) A R R Q E fait, si d P> d Q, alors d A= d P d Q, doc si d P= d Q+ alors d A = et doc A ( ) = a+

4 Eemle II. :soit f( ) = P = ( ) Q ( ) Voici quelques étaes de la divisio euclidiee du olyôme P ( ) ar le olyôme Q. ( ) ère étae ème étae ème étae et fi de la divisio Ceci motre que =( + )( +) O e déduit que f( ) = = = doc la droite d équatio y = + est ue droite asymtote à la coure de f + + Autre méthode : il est arfois ossile d utiliser des déveloemets ités avec u chagemet de variale Eemle II. f ( ) = + + our > Lorsque ted vers +, alors ted vers, doc e aliquat le DL à l ordre our la foctio + au voisiage de, o eut écrire ou ecore δ + = + + ( ) avec δ ( ) ε + = + = + + avec ε = + = + δ δ doc f ( ) = + + ( ) + = + 5+ ( ) avec δ ( ) = + ce qui motre que la droite d équatio y=+5 est asymtote our la coure de f e +.. Positio de C f ar raort à ue coure asymtote Soit y = u ( ) ue équatio de l asymtote (A) our Cf e + Pour savoir si C f est au dessus ou e dessous de (A) e +, il faut étudier le sige de la différece f ( ) u( ) Si f( ) u( ) lorsque ted vers +, cela etraîe que f ( ) u( ) et doc que C f est au dessus de (A) e +, Si f( ) u( ) lorsque ted vers +, cela etraîe que f ( ) u( ) et doc que C f est au dessous de (A) e +, Eemle II. (suite) + f ( ) = = + = + ε( ) La coure d équatio y = est ue asymtote our C f et f( ) =

5 f( ) lorsque ted vers +, cela etraîe que f ( ) et doc que C f est au dessus de (A) e +, f( ) lorsque ted vers -, cela etraîe que f ( ) et doc que C f est au dessous de (A) e +, 5