Développements limités. Généralités. Définitions usuelles

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1 Développements limités I Générlités I.A Définitions usuelles I.B Formules de Tylor I.C Développements limités usuels I.D Eemples de développements limités u voisinge d un point ou de l infini II Opértions lgébriques sur les développements limités 6 II.A Somme et produit II.B Composée II.C Quotient II.D Développement limité d une primitive ou d une dérivée III Applictions des développements limités 0 III.A Clcul de limites III.B Etude locle et brnches infinies de fonctions III.B. Étude u voisinge d un point III.B. Étude u voisinge de ± III.C Étude locle d un rc prmétré III.C. Tngente en un point d une courbe prmétrée III.C. Position pr rpport à l tngente I Générlités I est un intervlle de R. I.A Définitions usuelles Définition. Soit f : I R une fonction.. On dit que f dmet un développement limité à l ordre n u voisinge de 0 (noté DL n (0)) si f peut s écrire sous l forme : f() = n }{{ n + } o( n ) }{{} Prtie régulière du DL Reste du DL. On dit f dmet un développement limité à l ordre n u voisinge de 0 (noté DL n ( 0 )) si f peut s écrire sous l forme : f() = 0 + ( 0 ) + + n ( 0 ) n + o(( 0 ) n ) 3. On dit f dmet un développement limité à l ordre n u voisinge de l infini (noté DL n (+ ) ou DL n ( )) si f peut s écrire sous l forme : f() = n n + o( n )

2 Théorème. Si l fonction f dmet un développement limité d ordre n en 0 (resp. 0, resp. ± ), lors celui-ci est unique. Démonstrtion. Supposons f() = n n + o( n ) = b 0 + b + + b n n + o( n ) Alors ( 0 b 0 ) + ( b ) + + ( n b n) n = o( n ), donc pour tout i [[0, n]], on i = b i (c est évident si on considère l définition des o). Remrques.. f est dérivble en 0 si et seulement si f dmet un DL (0), et dns ce cs, on : f() = o() vec 0 = f(0) et = f (0).. Si f dmet un DL n (0) et si p n, lors f dmet un DL p (0). En effet : f() = p p + p+ p+ + + n n + o( n ) }{{} =o( p ) Eercice. Démontrer le ) de l remrque. Eemple. Recherchons le développement limité de. On sit, d près l formule donnnt l somme des termes d une suite géométrique, que : n = n+ = n+ Or, n+ = o(n ), cr n+ n ( ) = 0. D où le résultt (à retenir) : 0 = n + o( n ) De même, on obtient (en remplçnt pr ) : I.B + = ( ) n n + o( n ) Formules de Tylor On rppelle que si une fonction f est de clsse C sur un intervlle [, ], on : f() f() = f (t)dt et donc : f() = f() + f (t)dt Si f est de clsse C (i.e. f est de clsse C ), on peut fire une intégrtion pr prties, vec u(t) = f(t) et v (t) = : u (t) = f (t) v(t) = t f() = f() + [ (t )f (t) ] (t )f (t)dt = f() + ( )f () + ( t)f (t)dt ( )

3 En fisnt des intégrtions pr prties successives, on l formule suivnte : Théorème (Formule de Tylor vec reste intégrl). Si f est une fonction de clsse C n+ sur un intervlle I et si I, lors on I : f() = f() + ( )f ( ) () + f () +! ( )n + f (n) () + ( t) n f (n+) (t)dt Démonstrtion. Montrons le résultt pr récurrence pour n N : Pour n = 0, c est le résultt ( ) énoncé plus hut : f() = f() + f (t) dt Supposons l formule vrie u rng n. Soit f une fonction de clsse C n+ sur I, lors f est de clsse C n sur I et, d près l hypothèse de récurrence : f() = f()+( )f ( ) ()+ f ( )n ()+ + f (n ) ( t) n ()+ f (n) (t) dt! (n )! (n )! f étnt de clsse C n+ sur I, on peut lors effectuer une intégrtion pr prties sur le terme intégrl en posnt u(t) = f (n) (t) et v (t) = ( t)n (n )! u (t) = f (n+) (t) v(t) = ( t)n ( t) n ] f (n) ( t)n (t)dt = [ f (n) ( t) n (t) + f (n+) (t) dt (n )! ( )n = f (n) ( t) n () + f (n+) (t) dt Donc l formule est vrie u rng n. Pr récurrence, l formule est vrie pour tout n. : Corollire (Inéglité de Tylor-Lgrnge). Soit f une fonction de clsse C n+ sur l intervlle I, et I. On suppose qu il eiste M R tel que : t I, f (n+) (t) M Dns ce cs, on : n f() ( ) k f (k) () k! k=0 M n+ (n + )! Démonstrtion. D près le théorème, on : n f() ( ) k f (k) () = ( t) n k! f (n+) (t) dt k=0 t n f (n+) (t) dt }{{} M n f() ( ) k f (k) () M t n M dt = n+ k! k=0 (n + )! 3

4 En effet, pour >, on : [ ( t) t n dt = ( t) n n+ ] dt = n + et on le même résultt pour <. = ( )n+ n + = n+ n + Théorème 3 ((Formule de Tylor-Young)). Soit f une fonction de clsse C n sur l intervlle I et I. Alors I : f() = f() + ( )f () + ( ) f () +! ( )n f (n) () + o ( ( ) n) Démonstrtion. Afin de simplifier l démonstrtion, on v supposer f de clsse C n+ (l pluprt des fonctions uquelles nous ppliquerons ce résultt sont de clsse C ). Quitte à réduire l intervlle de déprt, on peut supposer que I est un segment. Ainsi f (n+) est une fonction continue sur un segment, donc mjorée en vleur bsolue pr un réel M > 0. On sit lors, d près le corollire, que : f() f() ( )f ( ) () f ( )n () f (n) ()! M n+ (n + )! Or n+ ( ) n = 0, donc : f() f() ( )f () ( )! f () ( )n ( ) n f (n) () 0 D où f() f() ( )f () ( ) f! () ( )n f (n) () = o ( ( ) n), ce qui prouve le résultt. I.C Développements limités usuels On v étblir les développements limités en 0 des fonctions usuelles. Pour cel, on utilise l formule de Tylor-Young vec = 0 (formule de Mc-Lurin), ce qui donne pour une fonction f de clsse C : f() = f(0) + f (0) + f (0) + + n f (n) (0) + o( n ) On v insi déterminer les développements limités suivnts (qui concernent des fonction de clsse C ) : DL(0) de e : On n 0, ep (n) (0) = ep(0) =, d où : DL(0) de sin : e = + +! + 3 3! + + n + o(n ) On sin = cos = sin ( + π ), et on étblit fcilement que : sin (n) = sin ( + nπ d où sin (n) (0) = 0 et sin (n+) (0) = ( ) n, ce qui donne : ) 4

5 DL(0) de cos : sin = 3 3! + 5 n+ + + ( )n 5! (n + )! + o(n+ ) De l même fçon, on étblit que : cos =! + 4 n + + ( )n 4! (n)! + o(n+ ) DL(0) de f : ln( + ) : On f () = +,, f () = (+),, f () = récurrence que : f (n) () = ( )n (n )! ( + ) n d où f (n) (0) = ( ) n (n )!, ce qui donne : (+) 3 et on montre pr ln( + ) = + 3 n + + ( )n 3 n + o(n ) DL(0) de f : ( + ) α (α R) : On f () = α( + ) α et on montre pr récurrence que : f (n) () = α(α )... (α n + )( + ) α n d où f (n) (0) = α(α )... (α n + ), ce qui donne : ( + ) α = + α + α(α ) + +! α(α )... (α n + ) n + o( n ) Pr eemple pour α =, on peut obtenir le DL (0) de + : + = ( + ) = o( ) De même, pour α =, on peut obtenir le DL (0) de + : DL(0) de sh : DL(0) de ch : = ( + ) = o( ) sh = + 3 3! + 5 5! + + n+ (n + )! + o(n+ ) ch = +! + 4 4! + + n (n)! + o(n+ ) Remrque. Le premier terme du développement limité est un équivlent de l fonction. On reconnît insi sns difficulté les équivlents usuels en 0 de sin, ln( + ), e,.... 5

6 I.D Eemples de développements limités u voisinge d un point ou de l infini L méthode consiste à utiliser les développements limités usuels en 0 en posnt :. X = 0 pour un DL n ( 0 ).. X = pour un DL n(+ ). Eemple.. Cherchons le DL n () de ln. On pose X = ( = + X), on insi : ln = ln( + X) = X X + X3 3 = ( ) ( ) + ( )3 3 Attention à ne ps développer ce résultt! + + ( )n+ Xn n + o(n ) n+ ( )n + + ( ) + o( n ) n. Cherchons le DL n (+ ) de cos. On pose X = ( = + X), on insi : cos = cos X = X! + X4 4! + + ( ) n Xn (n)! + o(xn+ ) =! + 4! ( )n (n)! n + o( n+ ) II II.A Opértions lgébriques sur les développements limités Somme et produit Proposition. Soient f et g deu fonctions définies sur un intervlle I de R. Si f et g dmettent chcune un DL n (0), lors :. f + g dmet un DL n (0), et l prtie régulière de celui-ci est l somme des prties régulières des DL n (0) de f et g.. fg dmet un DL n (0), et l prtie régulière de celui-ci est le produit des prties régulières des DL n (0) de f et g, en supprimnt les termes de degré > n. Démonstrtion. On écrit : f() = n n + o( n ) et g() = b 0 + b + + b n n + o( n ). (f + g)() = ( 0 + b 0 ) + ( + b ) + + ( n + b n) n + o( n ). ( n ). (fg)() = 0 b 0 + ( 0 b + b 0 ) + + k b n k n + + nb n n + o( n ) }{{} k=0 o( n ) Eemples 3. 6

7 . Clculons le DL 4 (0) de e + cos(). On : e + cos = ) ) ( o(4 ) + ( o(4 ) = o(4 ). Clculons le DL 4 (0) de ln( + ) sin. ln( + ) sin = ) ) ( o(4 ) ( o(4 ) = o(4 ) = o(4 ) On peut remrquer que ce dernier clcul peut donner un DL 5 (0) cr o( 4 ) = o( 5 )). II.B Composée Proposition. Soient f et g deu fonctions définies sur un intervlle I de R. Si f et g dmettent chcune un DL n (0) et si lim f() = 0 lors g f dmet un 0 DL n (0), obtenu en composnt les prties régulières des DL n (0) de g et f. Eemple 4. Recherchons le DL 4 (0) de ln(cos ). On commence pr déterminer un DL 4 (0) de cos. On : D où : ln(cos ) = ln cos = o(4 ) ) ( o(4 ) = ln( + u) vec u = o(4 ) 0 0 = u u + u3 3 u4 4 + o(u4 ) ) = ( ( ln(cos ) = o(4 ) = 4 + o(4 ) ) + ) 3 ( ) 4 ( o( 4 ) 4 N.B. : Le clcul est simplifié pr le fit qu on élimine systémtiquement les termes de degré >4. 7

8 II.C Quotient Méthode : Si g() = n n + o( n ), lors : g() = u vec u = ( + + n n + o( n )) 0 0 = + u + u + + u n + o(u n ) = ( + + n n ) + ( + + n n ) + + ( + + n n ) n + o( n ) Il reste à développer et à conserver les termes de dégré n. Remrques 3.. Cette méthode fonctionne pour g() = n n + o( n ) vec 0 0 : Il suffit de mettre 0 en fcteur pour se rmener u cs précédent.. Pour clculer un DL n (0) de f g, on écrit f g = f g et on utilise l méthode précédente, puis le produit. Il suffit que le terme constnt du DL n (0) de g soit non nul. Eemple 5. Cherchons le DL 4 (0) de tn. On : tn = sin cos = = = = o(4 ) o(4 ) ) ( ( ( ) ( ) o(4 ) o( )) 4 4 ) ) ( o(4 ) ( o(4 ) ) ) ( o(4 ) ( o(4 ) tn = o(4 ) = o(4 ) Remrque 4. Dns l eemple précédent, on urit pu se contenter d écrire cos = + o(3 ) (c est à dire un DL 3 (0)), cr on obtient un o( 4 ) en multiplint pr. Eercice. Clculer le développement limité à l ordre en 0 de sin. II.D Développement limité d une primitive ou d une dérivée Théorème 4. Soit I un intervlle de R, et f : I R une fonction dérivble sur I. Si f dmet un DL n (0) (f () = n n + o( n )), lors f dmet un DL n+ (0) et : f() = f(0) n+ + + n n + + o(n+ ) 8

9 ) Démonstrtion. Posons F () = f() f(0) ( 0 + n+ + + n. On insi, n+ d près l hypothèse : F () = f () ( n n ) = o( n ) D près le théorème des ccroissements finis, il eiste θ ]0, [ tel que F () F (0) = F (θ), d où : f() f(0) ( n+ ) n = o(θ n n ) = o( n+ ) n + On retrouve insi le résultt nnoncé. Appliction : Clculons le DL(0) de rctn : rctn = + = + ( ) + + ( ) n ( ) n + o( n+ ) = ( ) n n + o( n+ ) Donc : rctn = } rctn {{ 0 } n+ + + ( )n 7 n + + o(n+ ) =0 rctn = n+ + + ( )n 7 n + + o(n+ ) Remrque 5. On peut retrouver pr ce moyen le développement limité en 0 de ln( + ) à prtir de celui de +, ou celui de cos à prtir de celui de sin. Théorème 5. Si f : I R est dérivble et dmet un DL n (0), et si f dmet un DL n (0) (pr eemple si f est de clsse C n ), lors le DL n (0) de f s obtient en dérivnt celui de f. Eemple 6. On peut obtenir le DL n (0) de ( ) s git de l dérivée de : = n + o( n ) en remrqunt qu il Donc : ( ) = n n + o( n ) On peut évidemment obtenir ce développement limité pr d utres moyens, toutefois moins rpides. Remrque 6. Le fit que f dmette un DL n (0) n implique ps nécessirement que f dmette un DL n (0). Pr eemple, si : f() = cos = o( 3 ) On : f () = cos + sin }{{ } + + o( ) =o( ) cr sin = sin n ps de limite lorsque tend vers 0. 9

10 III Applictions des développements limités III.A Clcul de limites On vu précédemment que les équivlents permettient de clculer certines limites. L inconvénient de ceu-ci est qu on ne peut ps les dditionner, ce qui n est ps le cs des développements limités. On utilise donc ces derniers lorsque les équivlents ne suffisent ps. Eemple 7.. Cherchons lim 0 sin cos : Donc : sin = o(4 ) sin = o( 5 ) cos = o(5 ) sin = 3 + o( 3 ) = cos = + o( 3 ) = Donc on : ( + ) 3 + o( 3 ) ( + ) + o( 3 ) sin cos = o() 6 + o() = + o() On en déduit : lim 0. Cherchons lim 0 ( + sin ) : sin cos = ( + sin ) = e ln(+sin ) = e ln(++o()) Donc lim 0 ( + sin ) = e. 3. Cherchons lim 0 e cos sin. = e (+o()) = e +o() On : e = o( ), cos = + o( ) et sin = + o( ), donc : e cos sin = + o( ) = + o() Finlement, lim 0 e cos sin = 0

11 III.B Etude locle et brnches infinies de fonctions III.B. Étude u voisinge d un point 0 Soit f : I R et 0 un point de I. Si u voisinge de 0, on : f() = 0 + ( 0 ) + o(( 0 )) lors y = 0 + ( 0 ) est l éqution de l tngente à l courbe en 0 (rppel : = f ( 0 )). Si de plus u voisinge de 0, on : f() = 0 + ( 0 ) + ( 0 ) + o(( 0 ) ) lors l position de l courbe pr rpport à cette tngente u voisinge de 0 est donnée pr le signe de (si 0) : Si > 0, l courbe est u dessus de l tngente u voisinge de 0 (f() ( 0 + ( 0 )) = ( 0 ) + o(( 0 ) ) > 0). Si < 0, l courbe est en dessous de l tngente u voisinge de 0 (f() ( 0 + ( 0 )) < 0). Dns le cs où = 0, et si : f() = 0 + ( 0 ) + 3 ( 0 ) 3 + o(( 0 ) 3 ) vec 3 0, lors 0 est un point d infleion (l courbe trverse s tngente). Remrque 7. On peut générliser ce résultt : si n (n ) est le premier terme non nul du développement limité de f en 0 lors, si n est impir on un point d infleion, et si n est pir l courbe se situe u dessus ou u dessous de l tngente, suivnt le signe de n. Eercice 3. Utiliser cette méthode pour préciser l éqution de l tngente à l courbe de l fonction cosinus en 0, insi que l position de l courbe pr rpport à cette tngente u voisinge de 0 (fire un dessin). Même trvil pour l fonction sinus. III.B. Étude u voisinge de ± Soit f : R R. Si u voisinge de + (resp. ), on : f() = o() lors y = 0 + est l éqution de l symptote à l courbe en + (resp. ). Si de plus u voisinge de +, on : f() = ( ) + o vec 0, lors l position de l courbe pr rpport à cette symptote u voisinge de ± est donnée pr le signe de (si 0). Si = 0, un développement plus poussé peut nous permettre de déterminer cette position.

12 Rppel : L limite du rpport f() lorsque tend vers + nous permet de déterminer l nture d une brnche infinie : Si f() 0 (resp. + ), on une brnche prbolique de direction + (O) (resp. (Oy)). 0, on une direction symptotique suivnt l droite + b R, on une Si f() d éqution y =. Dns ce cs, si f() symptote d éqution y = + b. + Eemples 8.. Étudions l brnche en + de l fonction f : ln ( + ) : ( f() = + ( )) o 3 = + ( ) 3 + o Donc f dmet une symptote d éqution y = u voisinges de +. Au voisinge de +, l courbe est u dessus de l symptote cr 3 > 0. Le clcul (et le résultt) est le même si on étudie l brnche en. L courbe se situe cette fois-ci en dessous de l symptote cr 3 < 0 u voisinge de.. Étudions l brnche en + de l fonction f : On pose X = : f() = = ( + X ) 4 + ( + X) 3 = + 4 X + o(x ) X 9 X + o(x ) = + 3 X X + o(x ) = o( ) On en déduit : f() = o( ) Donc f dmet une symptote d éqution y = + 3 u voisinge de +, et l courbe est u dessus de l symptote. À titre d eercice, on peut étudier l brnche en (ttention u subtilités du clcul). III.C Étude locle d un rc prmétré { Rppel : Soit f I R : t un rc prmétré de clsse OM(t) = ((t), y(t)) C. Le vecteur : M(t 0 )M(t) lim = f (t 0 ) = ( (t 0 ), y (t 0 )) t t 0 t t 0

13 est un vecteur tngent à l courbe de f en M(t 0 ) s il est non nul. Le point est lors dit régulier, sttionnire dns le cs contrire. L objectif de cette prtie est d utiliser les développements limités pour étudier le comportement de l courbe u voisinge d un point, en prticulier lorsqu il est sttionnire. Nous llons eposer l démrche à suivre sur des eemples. On supposer toujours f de clsse C k, vec k suffismment grnd. III.C. Tngente en un point d une courbe prmétrée t (t) = Eemple 9. Soit Γ : t y(t) = t3 + 4 t Cherchons un point sttionnire de f et étudions l tngente en ce point : (t) = t(t ) t t(t ) (t ) = (t ) y (t) = 3t (t ) (t 3 + 4) (t ) = t3 3t 4 (t ) = (t )(t + t + (t ) Il eiste donc un unique point sttionnire en t 0 =. Effectuons mintennt un développement limité à l ordre u voisinge de t 0. On pose h = t : (t) = ( + h) = ( + h) + h = (4 + 4h + h )( h + h + o(h)) = 4 + h + o(h ) y(t) = ( + h) = ( + h)3 + 4 = ( + h + 6h + o(h ))( h + h + o(h)) + h = + 6h + o(h ) On peut insi écrire : f( + h) = (4, ) +h (, 6) + (o(h ), o(h )) }{{}}{{} = f() = o(h ) Ce qu on peut réécrire de l mnière suivnte : f( + h) f() h 0 h (, 6) Il eiste donc une tngente en t 0 =, dirigée pr le vecteur (, 6). Générlistion : On rppelle qu u voisinge du point t 0, l formule de Mc- Lurin nous donne : (t 0 + h) = (t 0 ) + h (t 0 ) + + hn (n) (t 0 ) + o(h n ) y(t 0 + h) = y(t 0 ) + hy (t 0 ) + + hn y(n) (t 0 ) + o(h n ) 3

14 On peut écrire ces reltions sous l forme : f (t0 + h) = f (t 0 ) + h f (t 0 ) + + hn f (n) (t 0 ) + o(h n ) vec f (k) (t 0 ) = ( (k) (t 0 ), y (k) (t 0 )) et o(h n ) = (o(h n ), o(h n )). Si u voisinge du point t 0, on peut écrire le DL p (0) de f : f (t0 + h) = f (p) (t 0 ) f (t 0 ) + h p + o(h p ) p! où p est le premier entier tel que f (p) (t 0 ) = ( (p) (t 0 ), y (p) (t 0 )) 0, lors l courbe dmet u point M(t 0 ) une tngente dirigée pr le vecteur f (p) (t 0 ). En effet : f (t0 + h) f (t 0 ) t t0 f (p) (t 0 ) h p p! III.C. Position pr rpport à l tngente Nous consttons que le développement limité qui précède nous donne le vecteur tngent à l courbe en un point mis ps l position de l courbe pr rpport à ce vecteur tngent. Comme u prgrphe III.B., un développement limité plus poussé peut nous permettre de préciser cette position. Avec les nottions précédentes, on suppose que q est le plus petit entier tel que ( f (p) (t 0 ), f (q) (t 0 )) est libre. On écrit : f (t0 + h) = f (p) (t 0 ) f (t 0 ) + h p f (q) (t 0 ) + + p! q! = f (p) (t 0 ) f (t 0 ) + (h p + o(h p )) + p! On lors f (t 0 + h) f (t 0 ) = M(t 0 )M(t) h 0 h q + o(h q ) f (q) (t 0 ) h q + o(h q ) q! ( ) h p p!, hq q! dns le repère ( f (p) (t 0 ), f (q) (t 0 )). Dns ce cs, si pr eemple p et q sont impirs, le signe de hp p! et hq q! étnt celui de h, l courbe se situe dns le qurt de pln (M(t 0), f (p) (t 0 ), f (q) (t 0 )) lorsque h < 0 et dns le qurt de pln (M(t 0 ), f (p) (t 0 ), f (q) (t 0 )) lorsque h > 0 : l coube trverse l tngente en M(t 0 ) et il s git d un point d infleion. On peut résumer les différents cs possibles dns l proposition suivnte : 4

15 Proposition 3. Soit I un intervlle de R, f : I R un rc prmétré de clsse C k (k suffismment grnd) de trjectoire Γ, et t 0 I. Si on note p le plus petit entier tel que f (p) (t 0 ) 0 et q > p le plus petit entier tel que ( f (p) (t 0 ), f (q) (t 0 )) est libre, Γ lors l llure suivnte u voisinge de M(t 0 ) : : er cs : p pir et q pir. nd cs : p impir et q pir. h > 0 Γ Γ f (q) (t 0) M(t 0) f (p) (t 0) h < 0 f (q) (t 0) h < 0 h > 0 M(t 0) f (p) (t 0) Point de rebroussement de seconde espèce 3 ème cs : p impir et q impir. Γ Point à llure normle 4 ème cs : p pir et q impir. Γ h < 0 f (q) (t 0) M(t 0) f (p) (t 0) h > 0 f (q) (t 0) h > 0 M(t 0) f (p) (t h < 0 0) Point d infleion Point de rebroussement de première espèce Eercice 4. Montrer que l courbe prmétrée : { (t) = sin t( sin t) Γ : y(t) = (cos t + )( cos t + sin t 3 ) dmet un point de rebroussement de seconde espèce u voisinge de t 0 = π 4. Eercice 5. Fire l étude complète (éventuellement à l ide de Mple) de l courbe : (t) = sin t Γ : cos t y(t) = cos t Dessiner l courbe vec précision (en prticulier u voisinge du point de rebroussement). Remrque 8. On constte que les points de rebroussement (première et seconde espèce) sont des points sttionnires. En revnche, les points d infleion ne le sont ps nécessirement. Si f (t) 0 et si M(t) est un point d infleion, 5

16 lors ( f (t), f (t)) est liée. On peut donc dns ce cs chercher les points d infleion en résolvnt l éqution : (t) y (t) (t) y (t) = 0 6