Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1. Interrogation n 1.

Transcription

1 1) Soit x R. Linéariser cos 3 (x) sin (x) ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) (1 i)z + z i = 0 b) z z + 1 i = 0 1) Soit x R. Linéariser cos 3 (x) sin (x) ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) (1 i)z + z i = 0 b) z z + 1 i = 0 1) Soit x R. Linéariser cos 3 (x) sin (x) ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) (1 i)z + z i = 0 b) z z + 1 i = 0 1) Soit x R. Linéariser cos 3 (x) sin (x) ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) (1 i)z + z i = 0 b) z z + 1 i = 0 1) Soit x R. Linéariser cos 3 (x) sin (x) ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) (1 i)z + z i = 0 b) z z + 1 i = 0 1) Soit x R. Linéariser cos 3 (x) sin (x) ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) (1 i)z + z i = 0 b) z z + 1 i = 0 1) Soit x R. Linéariser cos 3 (x) sin (x) ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) (1 i)z + z i = 0 b) z z + 1 i = 0 1) Soit x R. Linéariser cos 3 (x) sin (x) ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) (1 i)z + z i = 0 b) z z + 1 i = 0 1) Soit x R. Linéariser cos 3 (x) sin (x) ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) (1 i)z + z i = 0 b) z z + 1 i = 0 1) Soit x R. Linéariser cos 3 (x) sin (x) ) Résoudre dans C les équations suivantes : a) (1 i)z + z i = 0 b) z z + 1 i = 0

2 Interrogation n - A Compléter les pointillés : Pour tout x R, cos (x) + sin (x) =... cos(x + π) =... sin(x + π) =... cos(x + π) =... sin(x + π) =... tan(x + π) =... cos( x) =... sin( x) =... tan( x) =... cos(π x) =... sin(π x) =... tan(π x) =... cos( π x) =... sin( π x) =... tan( π x) =... cos( π + x) =... sin( π + x) =... tan( π + x) =... Pour tous (a, b) R : cos(a + b) =... cos(a b) =... sin(a + b) =... sin(a b) =... Pour tout x R : cos(x) =... =... =... sin(x) =... Interrogation n - B Compléter les pointillés : Pour tout x R, cos (x) + sin (x) =... sin(x + π) =... cos(x + π) =... sin(x + π) =... cos(x + π) =... tan(x + π) =... cos( x) =... sin( x) =... tan( x) =... cos(π x) =... sin(π x) =... tan(π x) =... cos( π + x) =... sin( π + x) =... tan( π + x) =... cos( π x) =... sin( π x) =... tan( π x) =... Pour tous (a, b) R : cos(a b) =... cos(a + b) =... sin(a b) =... sin(a + b) =... Pour tout x R : cos(x) =... =... =... sin(x) =...

3 Interrogation n 3 - A Compléter les pointillés : ln(x) lim =... x + x ln(x) lim x 1 x 1 =... lim x xex =... e x 1 lim =... x 0 x ln(x) β lim x + x α =... A quels ensembles appartiennent α et β?... a x x α =... A quels ensembles appartiennent α et a?... lim x + Donner l'expression du logarithme en base de a de x :... A quel ensemble appartient a?... log a(x) =... Donner l'expression de l'exponentielle en base de a de x :... A quel ensemble appartient a?... exp a(x) =... Donner l'expression du cosinus hyperbolique de x :... ch (x) =... Interrogation n 3 - B Compléter les pointillés : lim x ln(x) =... x 0 x>0 lim h 0 h>0 lim x + ln(1 + h) h =... e x x =... e x 1 lim =... x 0 x lim x α ln(x) β =... x 0 A quels ensembles appartiennent α et β?... lim x + x α a x =... A quels ensembles appartiennent α et a?... Donner l'expression du logarithme en base de a de x :... A quel ensemble appartient a?... log a(x) =... Donner l'expression de l'exponentielle en base de a de x :... A quel ensemble appartient a?... exp a(x) =... Donner l'expression de la tangente hyperbolique de x :... th (x) =...

4 Interrogation n 4 - A 1. Donner l'ensemble de dénition, de dérivabilité, la dérivée ainsi que l'allure de la courbe représentative de la fonction sinus.. (a) Donner l'ensemble de dénition ainsi que l'expression logarithmique de la fonction Argch. (b) Donner l'ensemble de dérivabilité ainsi que l'allure de la courbe représentative de la fonction Argch. 3. Déterminer les primitives des fonctions : 4x + (a) f(x) = x + x + 1 (b) g(x) = x 4. Résoudre l'équation diérentielle y y = 0 Interrogation n 4 - B 1. Donner l'ensemble de dénition, de dérivabilité, la dérivée ainsi que l'allure de la courbe représentative de la fonction cosinus.. (a) Donner l'ensemble de dénition ainsi que l'expression logarithmique de la fonction Argsh. (b) Donner l'ensemble de dérivabilité ainsi que l'allure de la courbe représentative de la fonction Argsh. 3. Déterminer les primitives des fonctions : (a) f(x) = 3x + (x + 1) (b) g(x) = x 3 4. Résoudre l'équation diérentielle y y = 0 Interrogation n 4 - A 1. Donner l'ensemble de dénition, de dérivabilité, la dérivée ainsi que l'allure de la courbe représentative de la fonction sinus.. (a) Donner l'ensemble de dénition ainsi que l'expression logarithmique de la fonction Argch. (b) Donner l'ensemble de dérivabilité ainsi que l'allure de la courbe représentative de la fonction Argch. 3. Déterminer les primitives des fonctions : 4x + (a) f(x) = x + x + 1 (b) g(x) = x 4. Résoudre l'équation diérentielle y y = 0 Interrogation n 4 - B 1. Donner l'ensemble de dénition, de dérivabilité, la dérivée ainsi que l'allure de la courbe représentative de la fonction cosinus.. (a) Donner l'ensemble de dénition ainsi que l'expression logarithmique de la fonction Argsh. (b) Donner l'ensemble de dérivabilité ainsi que l'allure de la courbe représentative de la fonction Argsh. 3. Déterminer les primitives des fonctions : (a) f(x) = 3x + (x + 1) (b) g(x) = x 3 4. Résoudre l'équation diérentielle y y = 0

5 Interrogation n 5 x(t) = 1 + ln( + t) 1. (a) Déterminer le(s) point(s) singulier(s) de l'arc paramétré déni par : t y(t) = t + 1 t. (b) Déterminer la nature de ce(s) point(s).. On note respectivement ch, sh et th les fonctions cosinus, sinus et tangente hyperboliques dénies par : x R, ch(x) = ex + e x, sh(x) = ex e x, th(x) = sh(x) ch(x) Montrer que la fonction th est une bijection de R sur un intervalle I de R à préciser. On note Argth sa réciproque.

6 . 3. On considère l'équation diérentielle (E) : xy + 3y = 1 sur l'intervalle J =]0; 1[. 1 x Sachant que les solutions de l'équation homogène sont les fonctions J R : x k avec k R, déterminer une x3 solution particulière de l'équation complète. 4. Soit f une fonction telle que : x R, f(x) = f(x) 1 + f(x). Montrer que pour tout x R, f(x) 1.

7 Interrogation n 6 - Sujet A 1. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O; i, ; j). Donner deux couples distincts de coordonnées polaires du point A(, 3).. On considère une courbe d'équation polaire θ ρ(θ). (a) Quels sont les points qui peuvent être singulier? Justier. (b) Quelle est la tangente en ce(s) point(s)? Aucune justication n'est demandée. 3. On considère la courbe d'équation polaire ρ(θ) = (1 sin(θ)) cos(θ). Montrer que la courbe admet une branche innie sin(θ) lorsque θ 0, θ > 0 et déterminer la nature de cette branche. Interrogation n 6 - Sujet B 1. Le plan est muni d'un repère orthonormé direct (O; i, ; j). Donner deux couples distincts de coordonnées polaires du point A( 3, 3 ).. On considère une courbe d'équation polaire θ ρ(θ). (a) Quels sont les points qui peuvent être singulier? Justier. (b) Quelle est la tangente en ce(s) point(s)? Aucune justication n'est demandée. 3. On considère la courbe d'équation polaire ρ(θ) = (1 sin(θ)) cos(θ). Montrer que la courbe admet une branche innie sin(θ) lorsque θ 0, θ > 0 et déterminer la nature de cette branche.

8 Interrogation n 7 - Sujet A 1. Donner la dénition d'une ellipse.. Soit C une conique de foyer F, de directrice D et d'excentricité e. On pose p = d(f, D). Soit K le projeté orthogonal de F sur D. KF On pose i = et on choisit j unitaire tel que (F, i, j) p soit un ROND. Donner, dans ce repère une équation de C. On justiera FK D i j Interrogation n 6 - Sujet B 1. Donner la dénition d'une parabole. Soit C une conique de foyer F, de directrice D et d'excentricité e. On pose p = d(f, D). Soit K le projeté orthogonal de F sur D. KF On pose i = et on choisit j unitaire tel que (F, i, j) p soit un ROND. Donner, dans ce repère une équation de C. On justiera FK D i j

9 1. a) Quelles sont les coniques dites à centre? Interrogation n 8 - Sujet A b) Pourquoi sont-elles qualiées ainsi? On rappelle que l'équation de ce type de conique dans un repère adapté est x e p (1 e ) + y e p 1 e = 1. L'équation réduite d'une ellipse de foyer F, de directrice D et d'excentricité e est x a + y b = 1. a) Donner les expressions de a et b en fonction de e et d = d(f, D). b) Montrer que c = a b où c = e p 1 e. 1. a) Quelles sont les coniques dites à centre? Interrogation n 8 - Sujet B b) Pourquoi sont-elles qualiées ainsi? On rappelle que l'équation de ce type de conique dans un repère adapté est x e p (1 e ) + y e p 1 e = 1. L'équation réduite d'une ellipse de foyer F, de directrice D et d'excentricité e est x a + y b = 1. a) Donner les expressions de a et b en fonction de e et d = d(f, D). b) Montrer que c = a b où c = e p 1 e.

10 1. a) Donner l'équation réduite d'une ellipse. Interrogation n 9 - Sujet A b) Préciser les coordonnées des deux foyers et les équations des deux directrices dans le repère dans lequel l'ellipse a cette équation.. Tracer la conique d'équation polaire ρ =. On précisera l'axe focal, l'excentricité, l'équation d'une 1 + cos(θ) directrice, les sommets et le centre éventuels. 1. a) Donner l'équation réduite d'une hyperbole. Interrogation n 9 - Sujet B b) Préciser les coordonnées des deux foyers et les équations des deux directrices dans le repère dans lequel l'hyperbole a cette équation.. Tracer la conique d'équation polaire ρ =. On précisera l'axe focal, l'excentricité, l'équation d'une 1 + cos(θ) directrice, les sommets et le centre éventuels.

11 1. a) Donner un paramétrage cartésien d'une parabole. 0 - Sujet A b) Donner deux paramétrages d'une ellipse.. On considère une ellipse d'équation x a + y b = 1. Donner une équation de la tangente à l'ellipse en un point M 0 et demontrer cette formule. 1. a) Donner un paramétrage cartésien d'une hyperbole. 0 - Sujet B b) Donner deux paramétrages d'une ellipse.. On considère une parabole d'équation y = px. Donner une équation de la tangente à l'ellipse en un point M 0 et demontrer cette formule.

12 1. a) Donner la dénition d'un ensemble ni. b) Montrer que pour tout n 1, 3 5 n 1 + 3n est divisible par 17.. Calculer la somme n k=1 1 k(k + 1)(k + ). 1. a) Donner la dénition d'un ensemble ni. b) Montrer que pour tout n 1, 3 5 n 1 + 3n est divisible par 17.. Calculer la somme n k=1 1 k(k + 1)(k + ).

13 3 - Sujet A 1. Soient E et F deux ensembles nis de cardinaux respectifs p et q. Quel est le cardinal : a) du nombre d'applications de E dans F? b) du nombre de parties de E? c) du nombre de bijections de E dans lui-même? d) du produit cartésien E F?. Calculer inf(i, j) 1 i,j n 3 - Sujet B 1. Soient E et F deux ensembles nis de cardinaux respectifs a et b. Quel est le cardinal : a) du nombre de parties de F? b) du produit cartésien E F? c) du nombre d'applications de E dans F? d) du nombre de bijections de F dans lui-même?. Calculer inf(i, j) 1 i,j n

14 6 1. Ecrire à l'aide de quanticateurs : lim u n = l et lim u n = n + n +. Soit (u n ) une suite telle que les deux suites extraites (u n ) et (u n+1 ) converge vers un même réel l. Montrer que (u n ) converge aussi vers l Ecrire à l'aide de quanticateurs : lim u n = l et lim u n = n + n +. Soit (u n ) une suite telle que les deux suites extraites (u n ) et (u n+1 ) converge vers un même réel l. Montrer que (u n ) converge aussi vers l Ecrire à l'aide de quanticateurs : lim u n = l et lim u n = n + n +. Soit (u n ) une suite telle que les deux suites extraites (u n ) et (u n+1 ) converge vers un même réel l. Montrer que (u n ) converge aussi vers l.

15 9 1. Donner la dénition d'un espace vectoriel E sur un corps K.. a) Donner la dénition du sous-espace vectoriel engendré par une partie A d'un K-espace vectoriel E. b) Comment sont caractérisés les éléments de vect(a) lorsque A est ni? 3. Soient f : G G un morphisme de groupe. Montrer que si Kerf = {0 G } alors f est injective. 4. a) Soit n N. Montrer que l'équation ln(x) + nx = 0 possède une unique solution dans R +. On la note x n. b) Montrer que la suite (x n ) n N est décroissante.