Théorème de convergence dominée

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1 [ édité le juillet 4 Eocés Théorème de covergece domiée Eercice [ 9 ] [correctio] Clculer les ites des suites dot les termes gééru sot les suivts : ) u = π/4 t b) v = + e Eercice [ 746 ] [correctio] Clculer les ites des suites dot les termes gééru sot les suivts : ) u = si b) u = Eercice 3 [ 9 ] [correctio] Etudier ) e c) u = + Eercice 7 [ 96 ] [correctio] Clculer e t si t) Eercice 8 [ 97 ] [correctio] Etblir que ) + t Eercice 9 [ 33 ] [correctio] Eistece et clcul de l t e t Idice : utiliser ue suite de foctios judicieuse. e t Eercice 4 [ 93 ] [correctio] Détermier u équivlet de + ) Eercice [ 435 ] [correctio] Etudier l ite de où f : [, ] R est cotiue. ft ) Eercice 5 [ 94 ] [correctio] Soit f : R + R cotiue et borée. Détermier l ite qud de f) + Eercice [ 86 ] [correctio] Clculer! k + ) k= Eercice 6 [ 95 ] [correctio] Soit f : R + R + cotiue et itégrble. Détermier l ite qud de ft) + t Eercice [ 98 ] [correctio] Détermier cos ) Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

2 [ édité le juillet 4 Eocés Eercice 3 [ 5 ] [correctio] Soit f C R +, R + ) borée. O pose, pour N, I = Détermier l ite de I qud. ft)e t Eercice 4 [ 359 ] [correctio] Soit F ue pplictio cotiue décroisste de R ds R, te vers e et vers e. Soiet deu réels h et δ vérifit < h < δ. ) Détermier l ite évetuelle de b) O pose I = S = F k= F δt h) ) δ k + )) h Détermier u équivlet de S lorsque ted vers. Eercice 5 [ 394 ] [correctio] Motrer e = e Eercice 6 [ 365 ] [correctio] Soit f : R + R de clsse C itégrble isi que s dérivée. ) Détermier pour > b) Préciser le mode de covergece. cos tsi t) ft) Eercice 7 [ 336 ] [correctio] Pour N et ], [, o pose f ) = + l ) Motrer que f est itégrble sur ], [. O pose J = f ) b) Motrer que l suite J ) N est covergete et détermier s ite. c) Motrer que J = 4 k=+ Eercice 8 [ 38 ] [correctio] Etudier l ite évetuelle, qud ted vers, de l suite I = Eercice 9 [ 387 ] [correctio] Motrer que l foctio f doée pr f ) = k + + l + /) + ) est itégrble sur R +. Motrer que l suite de terme géérl u = f ) coverge vers ue ite à préciser. Eercice [ 39 ] [correctio] Soit f ue pplictio réelle de clsse C sur [, b] vec < < < b et f). Soit f ) l suite de foctios telle que f ) = ) Détermier l ite simple de f ). f) + Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

3 [ édité le juillet 4 Eocés 3 b) Etblir l églité suivte : c) Motrer que b f t) = ft) t f t) l f) Eercice 4 [ 57 ] [correctio] Pour N et R, o pose f ) = ) 4 π Soit g ue foctio cotiue sur R et ulle e dehors d u segmet [, b]. Motrer que f )g) = g) R Eercice [ 77 ] [correctio] Vérifier que l suite de terme géérl u = est bie défiie et étudier s covergece. sit) t + t Eercice [ 568 ] [correctio] Motrer que est défiie pour. Clculer u = ) + t 3 ) + t 3 ) E déduire l ture de l série de terme géérl u. Eercice 3 [ 567 ] [correctio] Soit f : [, [ C cotiue. O suppose que l foctio f coverge e vers ue ite l. Détermier l ite qud de µ = ft) Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

4 [ édité le juillet 4 Correctios 4 Correctios Eercice : [éocé] A chque fois, o vérifie que les foctios eggées sot cotiues pr morceu. ) Sur [, π/4[, t CV S t = ϕ) itégrble sur [, π/4[ doc u π/4 = CV S b) Sur [, [, +e f) vec f) = e sur [, [ et f) = sur ], [. De plus +e e = ϕ) vec ϕ itégrble sur [, [ doc v e = e e Eercice : [éocé] A chque fois, o vérifie que les foctios eggées sot cotiues pr morceu. ) Ici, o e peut ppliquer le théorème de covergece domiée sur [, [ près ue mjortio de si pr cr l foctio domite ϕ) = / e ser ps itégrble sur ], [. Pour cotourer cette difficulté, o découpe l itégrle. si si si u = = + O si si ) cr si Ss difficultés, pr le théorème de covergece domiée et doc Aussi Or si si ) si si si CS f) vec f) = pour tout π/ [π]. De plus puis u. b) O écrit O si = ϕ) vec ϕ itégrble sur [, [ doc u = et si f) = = = e vertu du théorème de covergece domiée et vi l domitio sur [, [. Aisi u. c) O écrit O u = et + = + = + + doc u. O peut ussi ppliquer le théorème de covergece domiée mis c est mois efficce. Eercice 3 : [éocé] f ) = + ) e χ [,] ) sur [, [. f ) CS e et e vertu de l iéglité l + u) u o f ) e = ϕ) vec ϕ itégrble sur [, [. Pr pplictio du théorème de covergece domiée, + ) e = e =. Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

5 [ édité le juillet 4 Correctios 5 Eercice 4 : [éocé] Pr chgemet de vrible + ) ñ = u= / Pr le théorème de covergece domiée doc u du + Eercice 5 : [éocé] Pr le chgemet de vrible u =, ) u du f) + = fu/) + u du Posos lors f : u fu/) +u défiie sur R +. L suite de foctios f ) coverge simplemet vers f : u f) + u Les foctios f et f sot cotiues pr morceu sur R +. vec f u) = { fu) +u/ si u [, ] si u ], [ CV S O f f vec f et f cotiues et f f = ϕ vec ϕ cotiue pr morceu itégrble sur [, [ idépe de. Pr covergece domiée f u) du fu) du Eercice 7 : [éocé] L foctio itégrée e coverge ps simplemet e les t = π/ + π cotourer cette difficulté o risoe à l ide de vleurs bsolues. e t si t) e t si t O vec f t) = e t si t) CS ft) { si t π/ [π] ft) = sio e t Les foctios f et f sot cotiues pr morceu et f t) e t = ϕt) [π]. Pour vec ϕ itégrble sur R +. Pr covergece domiée, f u) f + u = ϕu) vec ϕ cotiue pr morceu itégrble sur [, [ doc pr covergece domiée : e t si t) = ft) = Eercice 6 : [éocé] O f) f) πf) + du = + u ft) + t = u=t fu) + u/ du = f u)du Eercice 8 : [éocé] Les foctios doées pr f t) = + t / ) sot défiies et cotiues pr morceu sur R. L suite de foctios f ) coverge simplemet vers f vec ft) = e t cotiue pr morceu sur R. défiie et Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

6 [ édité le juillet 4 Correctios 6 Soit t R fié et cosidéros ϕ : l + t /) ϕ est croisste et ϕ = doc ϕ est décroisste et pr coséquet, pour tout N ) + t = epϕ)) epϕ)) = + t L foctio t / + t ) est itégrble sur R doc pr covergece domiée + t ) e t Eercice 9 : [éocé] L itégrle l t e est défiie cr l foctio t lt)e t est cotiue et t itégrble sur ], [ puisque t lt)e t et t t lt)e t + t Pour tout t R +, e t est l ite de u t) = ) t χ [,] t) Le de l epost est ps usuel et peut très bie être remplcé pr u. Némois pour lléger les clculs à veir, le est préférble... O lt)u t) lt)e t et doc pr covergece domie O lt)u t) e lt)e t l t e t = t ) lt) = vec u) lu) du = l + t ) lt) u) lu) du lu) u) du et pr itégrtio pr prties lu) u) du = [lu) u) )] + u) u O oter qu o choisi u) ) pour primitive de u) cr celle-ci s ule e de sorte que l itégrtio pr prties egge que des itégrles covergetes. Efi puis u) u u) u v du = v = du = Filemet l t e t k= v k dv k= = l γ + o) k = γ Eercice : [éocé] Cosidéros l suite des foctios u : [, ] R détermiée pr u t) = ft ). Les foctios u sot cotiues pr morceu et pr cotiuité de f u t) ut) = déf { f) si t [, [ f) si t = L suite de foctios u ) coverge simplemet sur [, ] vers l foctio u cotiue pr morceu. Efi, l foctio f étt cotiue sur u segmet, elle y borée ce qui permet d itroduire M = sup ft) t [,] Puisque t [, ], u t) M vec t M itégrble sur [, ], o peut ppliquer le théorème de covergece domiée et ffirmer ft ) ut) = f) du Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

7 [ édité le juillet 4 Correctios 7 Eercice : [éocé] O! k + ) + ) + ) = ϕ) k= vec ϕ itégrble sur [, [. Qud, k= l! = l + ) k k + ) k= cr l + /k) /k terme géérl d ue série à termes positifs divergete. Pr suite! k + ) k= puis pr le théorème de covergece domiée Eercice : [éocé]! = k + ) Posos f ) = cos ) si [, ] et f ) = si ], [. Pour R +, qud, f ) = k= cos ) = ep l / + o/ ) )) e / CS Aisi f f vec f : e /. [,[ Les foctios f et f sot cotiues pr morceu. Soit ψ : [, ] R défiie pr ψt) = t /4 cos t. Pr étude des vritios, [, ], ψ) O e déduit que, pour [, ], l cos ) ) l 4 4 puis f ) e /4 Cette iéglité vut ussi pour ], [ et puisque l foctio e /4 est itégrble, o peut ppliquer le théorème de covergece domiée pour ffirmer cos ) π = e / = Eercice 3 : [éocé] Pr le chgemet de vrible u = t I = Pr covergece domiée, scht vec ϕ itégrble, o obtiet fu/)e u du fu/) f e u = ϕu) I f)e u du = f) Eercice 4 : [éocé] ) Appliquos le théorème de covergece domiée. Posos f : [, ] R défiie pr f t) = F δt h) ) Pour t [, h/δ[, o f t). Pour t ]h/δ, ], o f t). Efi, pour t = h/δ, f t) = F ) F ). Aisi l suite de foctios f ) coverge simplemet sur [, ] vers f défiie pr si t [, h/δ[ ft) = F ) si t = h/δ si t ]h/δ, ] Les foctios f sot cotiues et l ite simple f est cotiue pr morceu. Efi t [, ], f t) = ϕt) Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

8 [ édité le juillet 4 Correctios 8 vec ϕ cotiue pr morceu et itégrble. Pr covergece domiée, I ft) = b) Pr l décroissce de F, o peut écrire k+)/ k+)/ h/δ = h δ F δt h) ) F δ k + )) h E sommt ces iéglités et +)/ / +)/ / F δt h) ) = F δt h) ) S I k+)/ k/ F δt + /) h) ) Pr covergece domiée, o obtiet de fço logue à ce qui précède, l ite de ce terme et o coclut S h δ L suite de foctios f ) coverge simplemet vers l foctio et pour tout N f : t e t t f t) e t = ϕt) vec ϕ foctio cotiue pr morceu et itégrble puisque t ϕt) F δt h) ) O peut lors ppliquer le théorème de covergece domiée et ffirmer Eercice 6 : [éocé] ) Pour >, posos e = u ) = e t t t/ cos tsi t) ft) e t t. L itégrbilité de f ssure que u ) est bie défiie. Puisque f est itégrble, l foctio f coverge e et, puisque f est ussi itégrble, f ted vers e. Pr itégrtio pr prties, o obtiet lors t Eercice 5 : [éocé] Soit N. L foctio e est défiie et cotiue pr morceu sur [, [. Ett de plus égligeble devt / qud, o peut ffirmer qu elle est itégrble et o peut doc itroduire e Pr le chgemet de vrible C strictemet mootoe doé pr l reltio t =, o obtiet Posos lors e = e t t t/ f : t e t t t/ Les foctios f sot défiies et cotiues pr morceu sur [, [. u ) = + si t) + f t) Posos g ) = si t + f t). Chque foctio g est cotiue pr morceu. L suite de foctios g ) coverge simplemet vers ue foctio cotiue pr morceu, ulle e chque π/ + kπ. L foctio ite simple est cotiue pr morceu. Efi o l domitio vec l foctio ϕ itégrble. Pr covergece domiée et pr compriso g ) f t) = ϕt) g t) u ) Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

9 [ édité le juillet 4 Correctios 9 b) O viet déjà d obteir ue covergece simple de l suite de foctios u ) vers l foctio ulle. Motros qu e fit il s git d ue covergece uiforme. Pr chgemet de vrible u ) = + siu/)) + f u) du Soit ε >. Puisque l foctio f est itégrble, il eiste A R + tel que et lors u ) M Pour 4A/π, o et doc A A f u) du ε siu/) + du + ε vec M = m u [,A] f u) u [, A], u A π 4 A siu/) + du Pour 4A/π, o pr chgemet de vrible A siu/) + du = Pour k etier tel que kπ < A/ k + )π. A siu/) + du k+)π Or k + )π A + π 5A doc Filemet, pour tout >, A A/ A + si t + si t + = k + ) siu/) + du 5A u ) 5AM + AM + + ε et doc pour ssez grd, o pour tout >. u ) ε π si t) + Eercice 7 : [éocé] ) Cosidéros l foctio ϕ : l L foctio ϕ est défiie et cotiue pr morceu sur ], [. Qud +, ϕ) et qud, ϕ) = l + Puisque ϕ se prologe pr cotiuité e et e, ϕ est itégrble sur ], [. Or f ) = ϕ) ϕ) doc, pr domitio, l foctio f est elle ussi itégrble sur ], [. b) L suite de foctios f coverge simplemet vers l foctio ulle et est domiée pr l foctio itégrble ϕ doc pr covergece domiée c) O J k J k+ = Rélisos ue itégrtio pr prties ε Qud ε + et, o obtiet et doc J k+ l) [ ] k+ k+ l) = k + l + ε J = Efi pr trsltio d idice N k= J = J k J k+ = k= k + ) J k J k+ ) = k + ) = 4 k= k=+ ε k + ) k k+ Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

10 [ édité le juillet 4 Correctios Eercice 8 : [éocé] E découpt l itégrle I = E ppliqut le théorème de covergece domiée u deu itégrles, o obtiet I = Eercice 9 : [éocé] f est défiie et cotiue pr morceu sur ], [. Qud +, f ), o peut doc l prologer pr cotiuité. Qud, f ) = o ). Pr suite f est itégrble sur ], [. Posos u = g ) = l + /) + ) l + /) + ) = f ) Pour >, qud, g ) +. De plus, scht l + u) u, o g ) + = ϕ) vec ϕ itégrble. Pr covergece domiée, u + = π Eercice : [éocé] ) f ) coverge simplemet vers l foctio f doée pr f) si [, [ f) = f)/ si = si ], b] b) Scht f ) f) vec f itégrble sur [, b], o peut ppliquer le théorème de covergece domiée et o obtiet directemet le résultt proposé. c) Pr ue itégrtio pr prties [ ] t f t) = l + t )ft) l + t )f t) D ue prt [ ] l + t )ft) = l f) + l + ) cr l + ). D utre prt l + t )f t) f scht l + u) u. Au fil, o obtiet f) = l f) + o ) t = O = o t f t) = l ) f) + o Eercice : [éocé] Posos f : t sit) t + t L foctio f est défiie et cotiue pr morceu sur ], [. Qud t +, f t) t t+t. Qud t ; f t) = O ) t. O peut doc ffirmer que f est itégrble sur ], [. Pour t ], [. ) ) Qud, f t) = O ) doc l suite f ) coverge simplemet vers l foctio ulle. De plus, pour t π/, o, scht si u u, et pour t π/, Aisi f ϕ vec ϕ : t f t) t t + t f t) t + t t { si t [, π/] /t si t ]π/, [ L foctio ϕ étt itégrble sur ], [, o peut ppliquer le théorème de covergece domiée et ffirmer u = Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd

11 [ édité le juillet 4 Correctios Eercice : [éocé] L foctio t +t 3 ) vec 3 > doc l itégrle est cotiue pr morceu sur [, [ et o observe + t 3 ) t t 3 +t 3 ) est bie défiie pour. Pr pplictio du théorème de covergece domiée e pret ϕt) = +t 3 pour domitrice), o obtiet + t 3 ) = L décroissce de u ) et l positivité de l itégrle étt des propriétés immédites, o peut ppliquer le critère spécil et ffirmer que u coverge. Pour ssez grd de sorte que /, b/ o pour tout u [, b], u / 4 / <, h u) = π e 4 l u / 4) π e u = ϕu) et cette iéglité vut ussi pour u / [, b]. L foctio ϕ étt cotiue pr morceu et itégrble sur R, o peut ppliquer le théorème de covergece domiée et coclure scht e u du = π Eercice 3 : [éocé] Pr chgemet de vrible Pr covergece domiée µ = µ l fs) ds Eercice 4 : [éocé] L itégrle R f )g) = b f )g) est bie défiie. Pr le chgemet de vrible = u/ bijectif de clsse C vec R f )g) = b ) 4 u π 4 gu/)du = h u) = ) 4 u π 4 gu/)χ [,b] h u)du h est cotiue pr morceu, h ) coverge simplemet vers h cotiue pr morceu vec hu) = e u g) π Diffusio utorisée à titre etièremet grtuit uiquemet - dd