CHAPITRE 1 SYSTÈMES LINÉAIRES - SYSTÈMES ASSERVIS

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1 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique CHAPITRE SYSTÈMES LINÉAIRES - SYSTÈMES ASSERVIS Les sysèmes - Définiions e exemples Un sysème peu êre défini comme un ensemble d'élémens exerçan collecivemen une foncion déerminée Un sysème communique avec l exérieur par l'inermédiaire de grandeurs, foncions du emps, appelées signaux Dans la suie, on essaiera de garder les noaions suivanes: x ()x N () pour les signaux d'enrée y ()y M () pour les signaux de sorie Les signaux de sorie d'un sysème son aussi appelés réponse du sysème x () x N () SYSTÈME y () y M () Remarque: en général les signaux d'enrée e de sorie d'un sysème ne son pas de même naure De plus N peu êre différen de M Les sysèmes à une enrée e une sorie (cas où N =, M = ) son appelés sysèmes univariables ou sysèmes scalaires Exemples: Chauffage d'une pièce T EXTERIEUR T RADIATEUR T PIECE Commande d'un moeur Couran Moeur Couple - -

2 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique Un sysème es principalemen connu par son acion sur le monde exérieur Lorsqu'on applique cerains signaux d'enrée, le sysème se manifese en émean des signaux de sorie pariculiers Le sysème es donc parfaiemen connu quand on peu prédire ces signaux de sorie, c'es-à-dire lorsqu'on connaî les relaions enre les x i e les y j : y () = f (x (),,x N ()) y M () = f M (x (),,x N ()) Exemple: Soi le circui élecrique suivan : v e () i() R C v s () v e () CIRCUIT v s () La charge du condensaeur éan iniialemen nulle, on ferme l'inerrupeur à = Pour >, l'équilibre élecrique du circui se radui par l'équaion : R i + C i d = v e( ) avec : v C i d s( ) = dvs on a donc l'équaion du sysème: RC + vs( ) = ve( ) d 2 Les sysèmes linéaires Un sysème es di linéaire si la réponse de ce sysème à une combinaison linéaire de signaux d'enrée es égale à la combinaison linéaire des réponses: x () Sysème y () x 2 () Sysème y 2 () si on applique en enrée on obiendra en sorie x() = ux () + vx 2 () y() = uy () + vy 2 () Cee propriéé des sysèmes linéaires es aussi appelée principe de superposiion Dans la plupar des cas on essaie de se ramener à l'éude d'un sysème linéaire En effe, le principe de superposiion simplifie beaucoup les problèmes: en pariculier, on peu disinguer l'éude des condiions iniiales d'une par e l'éude du comporemen dynamique d'aure par - 2 -

3 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique x +x() y +y() se décompose en : x y x() y() 3 Les sysèmes invarians Un sysème es di invarian si la réponse du sysème à un signal x() différé d'un emps τ es la même que la réponse y() du sysème mais différée de τ enrée x() enrée x(-τ) τ sorie y() sorie y(-τ) τ Un sysème invarian es aussi appelé sysème à paramères consans localisés ou à consanes localisées Cee propriéé des sysèmes invarians es aussi appelée principe de permanence Exemples: Moeur couran Moeur couple Si on néglige l'usure, le moeur n'évolue pas dans le emps: le sysème es invarian Fusée débi de propergols Fusée accéléraion La masse de la fusée diminue au cours de son ascension : pour un même débi de propergols, l'accéléraion augmene avec le emps : le sysème es varian - 3 -

4 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique Remarques: Dans la suie on s inéressera surou aux sysèmes invarians Un sysème peu êre linéaire e/ou invarian : les deux propriéés son indépendanes - 4 -

5 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique 4 Réponses pariculières d'un sysème scalaire On considère ici un sysème scalaire, c'es à dire à une enrée e une sorie x() y() Pour connaîre le comporemen du sysème e le comparer à d'aures sysèmes, on éudie les réponses à quelques signaux pariculiers Réponse impulsionnelle On appelle réponse impulsionnelle, la réponse noée h(), obenue par l'applicaion d'une impulsion de Dirac δ() (voir Annexe ) à l'enrée du sysème, celui-ci éan iniialemen au repos δ() y()=h() Réponse indicielle On appelle réponse indicielle, la réponse noée w(), obenue par l'applicaion d'un échelon unié u() à l'enrée du sysème, celui-ci éan iniialemen au repos u() y()=w() 5 Réponse à un signal quelconque : convoluion emporelle Remarque : l annexe donne les noions indispensables sur la disribuion de Dirac noée δ() pour aborder la noion fondamenale de convoluion emporelle 5 Définiion de la convoluion emporelle On considère un sysème scalaire linéaire invarian de réponse impulsionnelle h() Pour un sysème scalaire, linéaire e invarian, iniialemen au repos, la réponse y() à un signal d'enrée quelconque x() es donnée par le produi de convoluion enre x() e la réponse impulsionnelle du sysème : + y( ) = x( v) h( v) dv = x( ) h( ) - 5 -

6 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique Cee expression es fondamenale Elle perme, connaissan le sysème par sa réponse impulsionnelle h() e l enrée x(), de déerminer y() Elle peu donc remplacer oalemen l équaion différenielle régissan le sysème Cee expression se noe de façon condensée y( ) = x( ) h( ) es l'opéraeur de convoluion ; y() es la convoluion du signal d'enrée avec la réponse impulsionnelle du sysème Remarques: Le produi de convoluion es commuaif: y( ) = x( ) h( ) = h( ) x( ) L impulsion de Dirac e la réponse impulsionnelle (si x e y on même dimension) son homogènes à l inverse d un emps Ce son des élémens mahémaiques qui permeen de formaliser les comporemens des sysèmes mais qui n on pas de réalié physique Si l impulsion de Dirac es appliquée à l insan zéro, la réponse impulsionnelle es forcémen nulle pour < ν car h( ν) =, le sysème éan supposé causal (cas des sysèmes physiquemen réalisables) De plus, si le signal es lui-même causal (appliqué au emps =), alors x( v) = si v < Les bornes de l inégrale de convoluion se simplifien e le produi de convoluion s écri : y( ) = x( v) h( v) dv Exemple: calcul de la réponse indicielle d un circui RC à parir de sa réponse impulsionnelle La réponse impulsionnelle d un circui RC s écri (voir TD): h( ) = exp, avec τ=rc τ τ On se propose d uiliser la convoluion pour déerminer la réponse indicielle w() du circui RC à un échelon d ampliude E à parir de sa réponse impulsionnelle h() ( ) = h( ) * E u( ) = h( v) E u( v) dv = E h( v) w soi: w( ) v E v = E dv = E = exp exp exp τ τ τ τ τ τ dv 52 Quelques significaions physiques de la convoluion: appareil de mesure a Signal vrai e signal observé Un appareil de mesure (oscilloscope, analyseur de specre, ) peu êre décri par l opéraion de convoluion y( ) = x( ) h( ) x() es le signal vrai à mesurer, y() es le signal effecivemen mesuré (ou observé) à l aide de l appareil, h() es la réponse impulsionnelle de l appareil Pour que le signal mesuré corresponde rigoureusemen au signal vrai, il faudrai que la réponse impulsionnelle de l appareil soi une impulsion de Dirac Cela revien à dire que l appareil devrai êre parfai, c es-à-dire posséder un emps de réponse infinimen cour (ou une bande passane infinie) Dans ce cas, l appareil es ransparen puisqu il n inervien pas dans le signal observé qui correspond au signal réel En réalié, un appareil, quel qu il soi, possède oujours un emps de réponse non nul (e donc une bande passane non infinie - voir oscilloscopes uilisés en TP «Bande Passane=2MHz») Le signal observé es donc oujours une image plus ou moins modifiée du signal réel Le plus ou moins dépend de la bande passane de l appareil vis à vis du specre du signal à mesurer Si on mesure par exemple un signal sinusoïdal de fréquence KHz avec un oscilloscope possédan une bande passane égale à 2MHz, l oscilloscope pourra êre considéré comme parfai Par conre si le signal sinusoïdal possède une fréquence égale à MHz, il faudra enir compe de la réponse impulsionnelle de l oscilloscope

7 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique b Pouvoir séparaeur des appareils: résoluion emporelle La réponse impulsionnelle des appareils de mesure réels peu êre considérée plus ou moins coure selon les consanes de emps régissan les phénomènes observés (voir TD) Dans ous les cas sa durée es non nulle Ceci se radui par un éalemen emporel plus ou moins significaif du signal mesuré Ainsi, si deux impulsions à mesurer son rop rapprochées dans le emps, leur éalemen dans le emps fera que l on ne pourra plus les séparer lors de la mesure, la résoluion emporelle de l appareil éan insuffisane La résoluion emporelle d un appareil de mesure, direcemen liée à sa réponse impulsionnelle, es donc la disance minimale séparan deux impulsions successives permean de les disinguer lors de la mesure Cee noion de résoluion emporelle es générale en physique pour ous les appareils de mesure, aussi bien en opique qu en élecronique rapide (impulsions de largeur inférieure à ns= -9 secondes) 6 Les sysèmes asservis L éude des sysèmes es desinée à commander au mieux les différens processus renconrés Il exise deux soluions pour commander un sysème : 6 Commande en boucle ouvere Dans ce cas, la commande es envoyée en enrée sans conrôle sur les sories Exemple: rhéosa résisance chauffane four Pour uiliser ce ype de commande, il es nécessaire de connaîre le sysème e les réponses aux commandes envoyées Malgré ou, de muliples perurbaions peuven modifier l acion de ces commandes: si la pore du four rese ouvere, les graduaions du rhéosa ne corresponden plus à la empéraure inérieure 62 Commande en boucle fermée Pour améliorer les performances d une commande, il es indispensable d observer les sories du sysème pour les comparer à ce que l on désire obenir Dans ce deuxième ype de commande, les sories du sysème son conrôlées C es à ce niveau que l on renconre la noion de sysème asservi Un sysème asservi es un sysème don le rôle consise esseniellemen à éablir une correspondance définie enre une ou plusieurs grandeurs d enrée, de faibles niveaux énergéiques, e une ou plusieurs grandeurs de sorie de niveaux énergéiques plus élevés Un sysème asservi es caracérisé par la présence de: - chaînes direces Elles comprennen des élémens amplificaeurs e évenuellemen, des converisseurs de puissance, en liaison avec les sources d énergie - Chaînes de reour Elles son consiuées d élémens de précision généralemen passifs Ce ne son pas des chaînes de puissance ; elles ransmeen à l enrée des informaions sur les grandeurs de sorie Ces informaions son comparées aux signaux d enrée au moyen de comparaeurs Ces derniers élaboren les différences ou écars enre les signaux d enrée e les informaions images des signaux de sorie - 7 -

8 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique Srucure d un sysème asservi: X: signal d enrée ou consigne ou signal de référence Y: signal de sorie X E: écar ; P: perurbaion J: source d énergie + - E P 2 J Y : chaîne direce (amplificaeurs, correceurs, organes de conversion) 2: chaîne de reour (élémens de précision, capeurs, insrumens de mesure) Remarque: le conrôle des sories d un sysème semble êre un moyen idéal pour éablir des commandes parfaies Il ne fau cependan pas oublier que ou sysème physique compore des emps de réponse Des reours anarchiques insallés sans éude préalable peuven conduire à des insabiliés e parfois à la desrucion du sysème Pour déerminer les reours adéquas pour un sysème donné e une commande donnée, l auomaicien doi, dans un premier emps, éablir un modèle mahémaique du sysème alors seulemen, il pourra effecuer des calculs de commande Exemple: Chauffage d un immeuble T Sysème θ θ + - a T Sysème θ a) b) θ c θ + - a T Sysème θ - + P c) Figure - 8 -

9 Universié de Savoie DEUG STPI Unié U32 Sysèmes linéaires - Auomaique La figure a) représene le sysème La empéraure θ à l inérieur de l immeuble es foncion de la empéraure T de l eau chaude envoyée dans les radiaeurs e de la empéraure exérieure Nous représenons cee descripion, volonairemen simplifiée, par une boîe munie d une sorie θ, d une enrée de commande T à la disposiion de l opéraeur e d une perurbaion Le rayonnemen solaire dans l immeuble, le ven ou d aures grandeurs agissen aussi sur la empéraure θ C es volonairemen que ces grandeurs ne son pas prises en compe par nore modèle qui doi, avan ou, êre simple C es l uilisaeur qui règle T, en vue d obenir θ=9 C (en régime permanen) Il sai, par expérience, qu il obien un bon résula en réglan T, par exemple, à 45 C Il sai aussi que si la empéraure exérieure diminue, il devra revenir régler T qu il augmenera d auan plus que aura diminué La figure b) représene alors une première enaive de réglage auomaique de T, el que T = a( θ θe ) Dans cee configuraion, l opéraeur n aura plus besoin de reoucher T en foncion de la empéraure exérieure En effe, T va varier auomaiquemen en sens inverse de Quand =θ, on a T=, ce qui signifie qu on doi, bien enendu, couper le chauffage Cee commande en boucle ouvere donne de bons résulas car la empéraure es mesurable par une sonde exérieure, θ es donc une référence, réglable par l opéraeur de même que (-a), la pene de la droie de réglage (figure 2) T T max pene (-a) Figure 2 min θ Le chauffagise procédera à des essais pour adaper la chaufferie aux caracérisiques pariculières de l immeuble à chauffer en vue de définir les paramères θ e a La figure c) représene une amélioraion du réglage auomaique de T Supposons que par emps froid le soleil pénère à l inérieur de l immeuble La empéraure inérieure θ va s élever sans pour auan que la empéraure T de l eau des radiaeurs ne soi réduie puisqu elle ne dépend que de Il se produira alors une surchauffe e un opéraeur devrai venir pour modifier T, c es à dire pour diminuer θ Il es clair que cee opéraion peu s effecuer de façon auomaique en rendan θ dépendan de la empéraure θ effecivemen aeine dans l immeuble Pour cela, s comparée à une consigne θ c, réglable par l uilisaeur, à l aide d une boucle d asservissemen La grandeur θ peu alors suivre une loi rès simple, par exemple θ =P(θ c - θ), qui assure les variaions de θ dans le bon sens Le sysème foncionne ainsi en boucle fermée - 9 -