Un modèle de propagation d un nuage de fumée

Transcription

1 Un modèle de propagaion d un nuage de fumée Gabriel Caloz & Grégory Vial 9 février 26 Résumé L obe de ce documen es de présener à l aide d ouils élémenaires le problème de ranspor dans R. Une modélisaion simple de la propagaion d un nuage de fumée condui à l équaion d advecion-diffusion D. On monre l eisence e l unicié de la soluion du problème sans diffusion à l aide de la méhode des caracérisiques e on s inéresse ensuie au aspecs numériques. Des simulaions moiven l inroducion du schéma up-wind don on donne une preuve de la sabilié e de la convergence ; le phénomène de diffusion numérique es aussi abordé. Modélisaion On considère la siuaion suivane, eraie de [3, chap. 2] : une usine reee à l insan iniial une fumée oique qui, sous l effe du ven, va se propager au habiaions voisines. On souhaie connaîre la densié de la fumée lorsque celle-ci aein une maison, pour en esimer la nocivié. Fumée Usine Ven Maison FIG. Propagaion de la fumée émise par une usine Afin d écrire un modèle mahémaique simple, on fai l hypohèse que le phénomène es mono-dimensionnel, c es-à-dire que la viesse du ven es selon un ae horizonal, voir figure. On inrodui les quaniés suivanes : la concenraion de la fumée au poin e au emps es noée c(, ) ; la viesse du ven au poin e au emps es noée u(, ). UFR de Mahémaiques, Bâ. 22, Universié de Rennes, Campus de Beaulieu, 3542 Rennes cede. gabriel.caloz@univ-rennes.fr Déparemen de Mahémaiques, ENS Cachan anenne de Breagne, Campus de Ker-Lann, 357 Bruz. gregory.vial@breagne.ens-cachan.fr

2 2 Agrégaion eerne de mahémaiques ENS Cachan Breagne On suppose que la viesse du ven es une donnée, ainsi que la disribuion de fumée à l insan iniial : u(, ) e c(, ) = c () son connus (précisémen, la concenraion iniiale c () correspond à l émission de l usine ; il es naurel de supposer que c es à suppor compac). On cherche à déerminer la concenraion c(, ) pour ou R e ou emps >. On fai l hypohèse que la foncion c(, ) es régulière : on suppose c C 2 (R R + ) pour la suie. De plus, on prendra u C (R R + ). Afin de déeminer les équaions vérifiées par c(, ), on fai le bilan des enrées-sories dans un volume de conrôle D = (, + δ) : soi V() la quanié de fumée conenue dans D à l insan, V() = c(ξ, ) dξ. () D Dans un inervalle de emps (, + δ), la variaion de quanié de fumée dans le volume D es due à l effe du ven qui aoue de la fumée en e en enlève en + δ : cee conribuion es proporionnelle à la viesse du ven, à la densié de fumée au poin considéré (qu on considère consanes sur l inervalle de emps considéré) e, bien sûr, à la durée δ. Elle s écri : [ u(, )c(, ) u( + δ, )c( + δ, ) ] δ. (2) au phénomène de diffusion qui end, même en l absence de ven, à ce que le nuage de fumée s éale dans l espace. Cee conribuion a pour epression [ (, ) ( + δ, ) ] δ, (3) le flu es donné par une loi empirique : la loi de Fick. L epression de es la suivane, elle eprime la endance de la fumée à se déplacer des endrois de fore concenraion vers ceu de faible concenraion : (, ) = k (, ). (4) Le nombre réel k es appelé coefficien de diffusion, e dépend du ype de fumée, ainsi que du milieu de propagaion. Le bilan sur le volume D = (, + δ) pendan l inervalle de emps (, + δ) s écri finalemen [ V( + δ) V() = u(, )c(, ) u( + δ, )c( + δ, ) ( ) ] + k ( + δ, ) (, ) δ. Comme la foncion c es supposée régulière, alors V() es dérivable si bien qu on peu faire endre δ vers dans l epression précédene : V D () = (u c) D (ξ, ) dξ + k 2 c (ξ, ) dξ. (5) 2 Touours à l aide de l hypohèse de régularié faie sur c, on peu dériver sous l inégrale dans l epression () donnan V() pour obenir [ ] (u c) > (ξ, ) + (ξ, ) k 2 c (ξ, ) dξ =. (6) 2 D

3 Tee. Un modèle de propagaion d un nuage de fumée 3 On fai mainenan endre δ vers de elle sore que le volume D se rédui peu à peu au poin. Or, pour oue foncion ϕ coninue sur R, on peu écrire ϕ(ξ) dξ = ϕ( + sδ) ds ϕ() quand δ. (7) δ D Comme, pour ou >, l inégran de l epression (6) es coninu, on obien à la limie R > (, ) + (u c) (, ) k 2 c (, ) =. (8) 2 L équaion (8) es appelée équaion d advecion-diffusion ou de ranspor-diffusion. Elle es assorie de la condiion iniiale R c(, ) = c (). (9) 2 Analyse mahémaique de l équaion de ranspor sans diffusion Le bu de ce paragraphe es l éude de l eisence e de l unicié pour l équaion sans diffusion (k = ). 2. Cas où la viesse du ven es consane On suppose ici que la viesse du ven es consane (en emps e en espace) : pour R e >, u(, ) = u R. L équaion s écri donc (, ) + u (, ) =, R, >, c(, ) = c (), R. () On va employer la méhode die des caracérisiques : on cherche une foncion () elle que c soi consane sur les courbes ((), ). Supposons donc c soluion de l équaion () e posons φ() = c((), ), on cherche () de sore que φ soi consane. Par dérivaion composée, dφ d () = ((), ) + () ((), ) = [ u () ] ((), ), qui es nul si () = u. On en dédui les courbes, appelées caracérisiques de l équaion au dérivée parielles () : () = u + consane. () Réciproquemen, il es facile de vérifier que R > c(, ) = c ( u ). (2) Cee epression perme d obenir un résula d eisence e d unicié. = u + cse

4 4 Agrégaion eerne de mahémaiques ENS Cachan Breagne Théorème Si c C (R), alors le problème () adme une unique soluion c de classe C (R R + ), donnée par R > c(, ) = c ( u ). (3) La formule (3) s inerprèe ainsi : la donnée iniiale es ransporée le long des caracérisiques sans modificaion. Dans les ermes de nore modèle, cela signifie qu en l absence de diffusion, la fumée arrive à haueur de la maison avec la même concenraion qu à son émission. 2.2 Cas où la viesse du ven es variable On récri l équaion sous la forme (, ) + u(, ) c(, ) = c (), R. u (, ) = (, ) c(, ), R, >, (4) On a laissé dans le premier membre la parie principale de l opéraeur (celle qui compore les dérivées d ordre le plus élevé). Comme au paragraphe précéden, on recherche les caracérisiques ; ce qui condui à résoudre l équaion différenielle () = u((), ). (5) Afin d assurer l eisence globale de soluions pour (5), on suppose la foncion u lipschizienne par rappor à sa première variable. Soi alors (; ) la valeur au emps de la soluion de l équaion (5) saisfaisan la condiion iniiale (; ) =. = (; ) On pose φ() = c((; ), ), alors on obien l équaion différenielle qui s inègre en > dφ u () = d ((; ), ) φ(), (6) [ ] u φ() = φ() ep ((s; ), s) ds. (7) D où finalemen R > c((; ), ) = c ( ) ep [ ] u ((s; ), s) ds. (8) Comme plus hau, on peu à parir de cee formule déduire un résula d eisence e d unicié. Théorème 2 Soi c C (R) e u C (R R + ) vérifian la condiion de Lipschiz : L >, y R > u(, ) u(y, ) L y. (9) Alors l équaion (4) adme une unique soluion c C (R R + ).

5 Tee. Un modèle de propagaion d un nuage de fumée 5 Preuve. Il suffi de vérifier que la relaion (8) défini la soluion pour ous R e >, ce qui es lié au fai que les caracérisiques recouvren le demi-plan > ou-enier. On va chercher le pied de la caracérisique en résolvan l équaion différenielle (5) à l envers. L hypohèse de Lipschiz sur u perme de définir globalemen les soluions de l équaion différenielle (5). Pour (, ) fié, on noe ϕ(s;, ) la valeur au emps s R de la soluion saisfaisan la condiion iniiale ϕ(;, ) =. (, ) = ϕ(s;, ) =ϕ(;,) Si on pose = ϕ(;, ), alors (s; ) = ϕ(s;, ) e (; ) =. Ainsi la relaion (8) se récri : [ ] u c(, ) = c (ϕ(;, )) ep (ϕ(s;, ), s) ds, (2) qui déermine bien c(, ) de manière unique pour ous R e >. Il suffi de vérifier la régularié de la fonion c ainsi définie, ce qui se résume à s assurer que (s,, ) ϕ(s;, ) es de classe C. C es un résula classique de régularié des soluions d une équaion différenielle par rappor au données iniiales, voir [] ou [6]. REMARQUES. la formule (8) perme de vérifier aisémen que la soluion c(, ) rese posiive ou nulle dès que la donnée iniiale l es. Cee propriéé es rès imporane en erme de modélisaion, car c représene une concenraion ; la méhode des caracérisiques n opère plus dans le cas où k = car l équaion au dérivées parielles change de ype. Pour plus de déails sur les lois de conservaions, on pourra consuler [5]. 3 Résoluion numérique 3. Méhode des caracérisiques pour l équaion sans diffusion La méhode des caracérisiques (8) fourni un algorihme numérique pour le calcul approché de la soluion c(, ). En effe, e éan fiée, il suffi de résoudre, à l aide d une méhode d inégraion (Euler ou Runge-Kua, par eemple) l équaion (5) définissan la caracérisique e d évaluer c(, ) à l aide de la formule (8) (l inégrale peu êre calculée à l aide de la formule des rapèzes). La figure 2 présene le résula obenu par cee méhode pour les données suivanes : c () = ( ) I [,2] () e u(, ) = 3( ). (2) On a uilisé la méhode d Euler eplicie pour la déerminaion de la caracérisique, e la méhode des rapèzes pour l évaluaion de la formule (8) (pas d espace, pas de emps 6 2 ). On observe sur la graphe de la figure 2 que la donnée iniiale chapeau es ransporée dans le sens des posiifs dans un premier emps (pour < car la viesse es posiive) e dans le sens conraire ensuie.

6 6 Agrégaion eerne de mahémaiques ENS Cachan Breagne FIG. 2 Soluion obenue par la méhode des caracérisiques. Noons que la méhode précédene possède les défaus suivans : elle perme aisémen la déerminaion de la soluion en un poin à un insan donné, mais n es guère adapée au calcul de la soluion pour un grand nombre de valeurs de ou (le coû es assez imporan car chaque calcul nécessie la déerminaion de la caracérisique) ; elle ne se généralise pas au cas où inervien la diffusion (i.e. k = ) car la représenaion de la soluion comme inégrale le long des caracérisiques n es plus valide. En effe, l équaion au dérivées parielles change de ype (elle n es plus hyperbolique, mais parabolique, voir [2] par eemple). 3.2 Méhode de différences finies pour l équaion d advecion-diffusion Une méhode générale pour la résoluion numérique des équaions au dérivées parielles consise à remplacer les dérivées (spaiales e emporelles) par des au d accroissemen. On parle de méhode de différences finies ; pour une éude déaillée dans le cas d une équaion de ranspor, on renvoie à [2, 4] En l absence de diffusion CAS D UNE VITESSE u CONSTANTE Considérons ou d abord l équaion de ranspor avec viesse consane (). Soien un pas d espace > e un pas de emps > ; pour Z e n N, on noe =, n = n e on recherche une approimaion c n de c(, n ). Remplaçan les dérivées parielles par les différences finies suivanes (, n ) c n+ c n e (, n ) cn c n, (22)

7 Tee. Un modèle de propagaion d un nuage de fumée 7 on obien le schéma n N Z c n+ = c n u ( c n c n ), (23) où u es la viesse (supposée ici consane). La algorihme es iniialisé par la condiion Z, c = c ( ). On di qu un el schéma es eplicie (en emps) car on peu calculer direcemen (c n+ ) Z à parir de la donnée de (c n ) Z. La figure 3 présene la soluion approchée en foncion de e dans le cas d une viesse u consane égale à (les pas de emps e d espace valen respecivemen 2 e 2 2 ). L approimaion obenue es conforme à la soluion eace c(, ) = c ( u). Noons cependan que le moif iniial (riangulaire) es lissé au fil des iéraions. On parle de diffusion numérique, phénomène qui s esompe quand on abaisse le pas d espace FIG. 3 Soluion obenue avec le schéma (23), u =, = 2 e = 2 2. Quelques simulaions numériques pour différens eu de paramères meen en évidence l imporance du nombre σ = u / : an que σ rese dans l inervalle [, ], le comporemen qualiaif de la soluion approchée es correc ; pour des valeurs de σ négaives ou supérieures à, la soluion numérique eplose (i.e. elle prend des valeurs rès grandes e n es plus proche de la soluion eace). Précisémen, on peu monrer le résula suivan : Théorème 3 On suppose que σ = u / [, ] e que la soluion c es de classe C 2 sur R R +, avec ses dérivées parielles d ordre 2 bornées sur R R +. Alors le schéma (23) es convergen, au sens suivan : on fie N N e on pose T = N, il eise une consane C >, elle que ma n N sup Z c(, n ) c n C T ( + ). (24) Preuve. On procède à une analyse de sabilié e consisance (à rapprocher de l éude des schémas numériques pour la résoluion des équaions différenielles, voir []) :

8 8 Agrégaion eerne de mahémaiques ENS Cachan Breagne Sabilié On considère c n vérifian le schéma (23) e κ n saisfaisan κ = c = c ( ) e le schéma perurbé κ n+ = κ n σ(κ n κ n ) + µn. (25) Par linéarié, la différence e n = c n κ n vérifie la relaion de récurrence e n+ = ( σ)e n + σe n + µn (26) Noan enfin ε n = sup Z e n, l hypohèse σ [, ] perme de monrer l esimaion ε n ε n + sup µ n sup µ k, (27) Z k<n Z pour n N, qui consiue un résula de sabilié. Consisance Si l on choisi κ n = c(, n ), soluion du problème coninu, il es aisé de vérifier à l aide de développemens de Taylor que κ n saisfai le schéma perurbé (25) avec µ n C ( + ), (28) e Convergence. ( C = ma sup 2 c ; 2 R R + sup R R + ) 2 c 2. (29) En combinan les deu poins précédens, e noan l égalié T = N, il vien n N c(, n ) c n C T ( + ), (3) qui es bien le résula annoncé. sup Z La condiion σ [, ] s appelle condiion CFL (Couran-Friedrichs-Lévy). Elle peu s inerpréer comme sui : le calcul de l approimaion c(, n ), c n, nécessie celui de cn e c n, e ainsi de suie, si bien que seul un nombre fini de valeurs c k l es uilisées. Le domaine, di d influence, ainsi délimié es un riangle, cf. figure 4. Il es raisonnable de penser que la soluion numérique ne pourra êre correce qu à condiion que la caracérisique issue de (, n ) soi inérieure au domaine d influence : on rerouve la condiion σ. La condiion σ signifie <, si bien que le pas d espace doi êre pei si l on veu une bonne représenaion spaiale de la soluion. Quan à σ, elle correspond à l adéquaion du décenremen pour l approimaion de la dérivée spaiale avec le signe de la viesse. Il es possible de mere au poin un schéma adapaif, nommé schéma upwind. Ce schéma s appliquan naurellemen au cas d une viesse variable, on l epose dans ce cas.

9 Tee. Un modèle de propagaion d un nuage de fumée 9 CAS D UNE VITESSE VARIABLE On considère l équaion de ranspor R > (u c) (, ) + (, ) =, (3) assorie de la condiion iniiale c(, ) = c (). Le schéma upwind es défini par u n désigne u(, n ) c n+ = c n u n + cn + un c n si u n <, u n c n u n cn si u n >. (32) Il es possible d éudier la convergence de ce schéma de la même façon que pour le héorème 3 : la condiion CFL s écri alors / u n (pour chaque e n). La figure 5 représene la soluion numérique obenue pour la même donnée iniiale e la même viesse que pour la méhode des caracérisiques, voir figure Cas d une diffusion non-nulle Dans le cas où k =, l équaion (8) peu aussi êre discréisée par différences finies : pour simplifier, on suppose u(, ) = u > consane. Le schéma décenré à gauche (don on a vu qu il éai adapé à une viesse posiive) devien dans ce cas c n+ = c n u (cn c n ) + k ( c n 2 2c n + c n ) +. (33) La condiion CFL es plus sévère que précédemmen : elle s écri ici 2k 2 + u. (34) Domaine d influence numérique n c n cn cn Caracérisique eace (pene : /u) FIG. 4 Caracérisique e domaine d influence numérique.

10 Agrégaion eerne de mahémaiques ENS Cachan Breagne FIG. 5 Soluion obenue avec le schéma upwind (32), avec une viesse u(, ) = 3( ) e les valeurs des paramères = 5 2 e = 2. Références [] M. CROUZEIX, A. L. MIGNOT. Analyse numérique des équaions différenielles. Collecion mahémaiques appliquées pour la maîrise. Masson, Paris 984. [2] D. EUVRARD. Résoluion numérique des équaions au dérivées parielles de la physique, de la mécanique e des sciences de l ingénieur. Enseignemen de la Physique : Mahémaiques pour la Physique. Masson, Paris 994. [3] A. FRIEDMAN, W. LITTMAN. Indusrial mahemaics. Sociey for Indusrial and Applied Mahemaics (SIAM), Philadelphia, PA 994. A course in solving real-world problems, wih conribuions by Bernardo Cockburn. [4] J. RAPPAZ, M. PICASSO. Inroducion à l analyse numérique. Mahémaiques. Presses Polyechniques e Universiaires Romandes, Lausanne 998. [5] D. SERRE. Sysèmes de lois de conservaion. I. Fondaions. Didero Edieur, Paris 996. Hyperbolicié, enropies, ondes de choc. [6] C. ZUILY, H. QUEFFÉLEC. Élémens d analyse pour l agrégaion. Masson, Paris 995.