c. une infinité de solutions dont les points images dans le plan complexe sont situés sur une droite.

Transcription

1 Trminal S - ACP Révisions Nombrs complxs (Asi 013) Dans ls qustions 1. t., l plan st rapporté au rpèr orthonormal dirct ; ;. On considèr ls points A, B, C, D t E d affixs rspctivs : =+ = 3+ =1+ 3 = 1+ 3 = Affirmation 1 : ls points A, B t C sont alignés.. Affirmation : ls points B, C t D appartinnnt à un mêm crcl d cntr E. (Polynési 013) 1. Soit = 6 4 t = 3. La form xponntill d! st : a. 3 " #$! b. 1 %"$! c. 3 "&$! d. 3 " '$!. L équation z = z, d inconnu complx z, admt : a. un solution b. dux solutions c. un infinité d solutions dont ls points imags dans l plan complx sont situés sur un droit. d. un infinité d solutions dont ls points imags dans l plan complx sont situés sur un crcl. (Cntrs étrangrs 011) Qustion 1 On considèr, dans l plan complx muni d un rpèr orthonormal dirct ; ;, ls points A, B t C d affixs rspctivs =1+ =3 =( 3+ )+( * +) Affirmation : L triangl ABC st un triangl équilatéral. Qustion 3. On considèr l nombr complx = 3+ + Affirmation : L nombr complx a st un nombr imaginair pur. (Polynési 011) L plan complx st muni d un rpèr orthonormal dirct ; ; 1. Soint A l point d affix 5i t B l point d affix 7 3i. Proposition 1 : L triangl OAB st rctangl isocèl.. Soit (C) l nsmbl ds points M d affix z tll qu = + Proposition : (C) st un droit parallèl à l ax ds réls. 3. Soit =3+ 3 Proposition 3 : Pour tout ntir naturl n non nul, *- st imaginair pur. 4. Soit z un nombr complx non nul. Proposition 4 : Si. st un argumnt d z alors + =1+

2 (Antills Spt010) 1. L nsmbl ds points M d affix z du plan complx rapporté au rpèr orthonormé ; ;, vérifiant = st la droit d équation /=0. Si A, B t C sont trois points dux à dux distincts du plan complx d affixs a, b t c vérifiant 1% 3% = 3 alors A, B t C sont alignés. Nouvll Calédoni Novmbr Affirmation 1 : L point d affix 1+ + st situé sur l ax imaginair.. Affirmation : Dans l nsmbl ds nombrs complxs, l équation + 4 =0 admt un solution uniqu. (National Spt 01) L plan complx st muni d un rpèr orthonormé dirct ; ;. 1. L nsmbl ds points M d affix z tll qu 1+ = +3 4 st un droit passant par l point H d affix 5+5. (Cntrs étrangrs01) Dans l'nsmbl ds nombrs complxs, on considèr l'équation (E) d'inconnu z : ² 1=0 Affirmation : l'équation (E) admt au moins un solution. (National 011) L plan complx st rapporté au rpèr orthonormal dirct ; ;. On désign par A, B, C, D ls points d affixs rspctivs z A = 1, z B = i, z C = 1, z D = i. 1. L nsmbl ds points d affix z tll qu + = 1 st : la médiatric du sgmnt [BC], l miliu du sgmnt [BC], l crcl d cntr O t d rayon 1, la médiatric du sgmnt [AD].. L nsmbl ds points d affix z tll qu arg =. +< où < Z st : l dmi-crcl d diamètr [BD] passant par A, la droit (BD), la dmi-droit ]BD) d origin B passant par D privé d B, l crcl d diamètr [BD] privé d B t D.

3 Asi affixs ds vcturs?@ = 3+ + = 3?A = A? = = 1+ 3 On obsrv : 3+?A = 3+( 1+ 3 ) = = 3 =?@ Ls vcturs sont colinéairs, donc ls points B,D,E sont alignés. Tstons l égalité ds longuurs FE,FG,FD FD H =I I =I I =J =J = 8 FE = A H =I I = =L + = 8 FG = M H =N N =NO 3 PN =+ 3 FG FE donc ls points D,G,E n sont pas sur un mêm crcl d cntr E. Polynési Soit z = 4 t z = 3 1. La form xponntill d i st : z 1 6 i π i π z

4 a i π 1 Répons d. = " R 6". S %". * b. 1 i π 1 c. 7 3 i π 1 d i π 1 ". R 6 "Ṡ R 1 ". * 3 "(. T. ṠT * ) 3 "*.. L équation z = z, d inconnu complx z, admt : a. un solution Répons c b. dux solutions c. un infinité d solutions dont ls points imags dans l plan complx sont situés sur un droit. d. un infinité d solutions dont ls points imags dans l plan complx sont situés sur un crcl. On vut U V W c qui st réalisé lorsqu U st un point d l ax ds ordonnés. Ou on pos 0/ avc 0,/ réls 0/0/ L nsmbl ds points U st la droit d équation 00 Cntrs étrangrs 011 Conjctur C imag d A par la rotation d cntr B d angl. ". 3O 1 3 P 13 3O 1 3 P Y 1 A 3 ZO 3 P On a [$ A [$ Donc E imag d A par la rotation d cntr B d angl. * Ainsi l triangl ABC st équilatéral L affirmation vrai

5 Qustion 3. On considèr l nombr complx a ( 3 i ) 011 = +. Affirmation : L nombr complx a st un nombr imaginair pur. Posons 3+ =J 3 +1²= = 3+ =O 3 +1 P ]^=5 6 arg =arg + =011arg=011R 5 6 =10055 = =+5 6 = 6 L complx a un argumnt différnt d ±., il n st pas imaginair pur L affirmation st fauss Polynési Soint A l point d affix 5i t B l point d affix 7 3i. Proposition 1 : L triangl OAB st rctangl isocèl. méthod 1 : B=? = 5 =L + 5 = 9 = 7 3 =L7 + 3 = 58 BD = = 5+ =L5 +²= 9 On a : B=D b B²+BD²=9+9=58=D² Donc l triangl OAB st rctangl t isocèl n A : la proposition 1 st vrai. Méthod : un schéma prmt d conjcturr : OAB rctangl t isocèl n = c? 0 5 = = = = 9 9 = =1 d=1 BD =1 BD =B BD fèh i B c? B arg = Z= c? BD ;B =. Soit (j) l nsmbl ds points M d affix z tll qu z i = z + i. BD ]bi^h i B Proposition : (j) st un droit parallèl à l ax ds réls. i ]éib B " b D %" U Δ = +? BU =DU L nsmbl ds points U vérifiant l égalité st la médiatric d [BD], p? =0 donc (AB) st l ax ds imaginairs purs, donc la médiatric d [AB] st parallèl à l ax ds réls. La proposition st vrai. 3. Soit z = 3 + i 3. Proposition 3 : Pour tout ntir naturl n non nul, z 3n st imaginair pur. Méthod 1 : après ssais TI 3+ 3 *R =3+ 3 * = = *R =4 3 = 178 il xist au moins un valur i pour laqull z 3n n st pas imaginair pur. Méthod : = = 3

6 3O P= 3O 3 +1 P= 3(f 6 +i 6 ) arg = 6 d V où arg *- =3iRarg =3iR. u =i. arg *- =i.. Pour i= : *R st rél La proposition 3 st fauss 4. Soit z un nombr complx non nul. Proposition 4 : Si v w. 0 barg = = x yéz{ }y~}z z } ƒ ~}~ + = + = 1+ = R 1+ =1R1+ =1+ 1+ =1+ =1+ La proposition 4 st vrai st un argumnt d z alors + =1+ (Antills Spt010) 1. L nsmbl ds points M d affix z du plan complx rapporté au rpèr orthonormé ; ;, vérifiant = st la droit d équation /=0 =? BU =DU U Δ [?@] Or la médiatric d [BD] st la droit d équation /=0 Vrai. Si A, B t C sont trois points dux à dux distincts du plan complx d affixs a, b t c vérifiant 1% 3% = 3 alors A, B t C sont alignés. = 3 = 3 BD = 3 BE BD = 3 BE Vrai Nouvll Calédoni Novmbr 014 Affirmation 1 Méthod 1 1+ =1 + =1 1= 1+ + = 1+ = = 3R R R = 3R 1 R 1 R = 3 3 st un imaginair pur L affirmation st vrai Méthod = 1+ =L 1 +1 = = Y Z= Ycos3 4 +sin3 4 Z On n déduit arg = *Ṡ Cours : arg + =10Rarg arg 1+ + = 30 4 =15 =7,5 Or 7,5 4R =

7 arg1+ + = Un point st sur l ax imaginair si t sulmnt si un argumnt d son affix st. ou. Affirmation Pour tout d, on pos =0+/ avc 0 ;/ réls =0 + 4 =0 0+/ 0 / + 4 =0 +/ 4 =0+0 Š / 4=0 C systèm n a pas d solution, donc l équation n a pas d solution, donc l affirmation st fauss.