Remarque L intégration permet de résoudre les équations différentielles : y = f(t). 4.2 Equations à variables séparables

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1 Chapitre 4 Equations différentielles 4.1 Généralités Dans une équation différentielle d ordre n, l inconnue est une fonction n fois dérivable. La forme générale est : F(t, y,y,...,y (n) ) = 0. Ici y est la fonction inconnue de la variable t. Une équation différentielle d ordre 1 de la forme : y = f(t, y) est dite résolue par rapport à la dérivée. Pour chaque point (t, y), f(t, y) définit une pente. On peut représenter l équation en associant au point (t, y) le vecteur v(t) = (1, f(t, y)). Les courbes représentant les solutions (courbes intégrales) sont tangentes à ce champ de vecteurs; plus précisément t y(t) est solution si et seulement si la vitesse du mouvement t (t, y(t)) est donnée par v(t). Remarque L intégration permet de résoudre les équations différentielles : y = f(t). 4.2 Equations à variables séparables On appelle équation différentielle à variables séparables une équation qui peut se mettre sous la forme : y = g(t)h(y). Ici on va supposer que g est continue sur l intervalle I, et h est continue sur l intervalle J. 15

2 Proposition Si h(a) = 0, alors y(t) = a est une solution constante. Proposition On suppose que h ne s annulle pas sur J. Si W est une primitive de 1 h, et si G est une primitive de g, alors l équation : y = g(t)h(y), t I et y J est équivalente à : W(y) = G(t) + C, C R. Remarque : si la fonction W admet une fonction réciproque : on pourra exprimer y comme fonction, de t. Exemple L équation y = 2y, t > 0 admet la solution y(t) = 0, et les t solutions de ln y = 2 ln t + C : y(t) = ±e t2 +C = ke t Equations différentielles linéaires d ordre 1 Il s agit des équations : y = a(t)y + b(t). Les fonctions a et b sont continues sur un intervalle I. Une telle équation est appelée homogène lorsque b est nulle : y = a(t)y Cas à coefficient constant Théorème La solution générale de l équation homogène y = ay est : (Elle est définie sur R.) y(t) = Ce at, (C R). Théorème Si b est une fonction continue sur I, et si g est une solution particulière de l équation y = ay + b(t), alors la solution générale est : y(t) = Ce at + g(t), (C R). Proposition Si b est une fonction continue sur I, une solution particulière de l équation y = ay + b(t), est : g(t) = G(t)e at, où G est primitive sur I de t b(t)e at. Méthode de variation de la constante : utiliser le changement de fonction inconnue : y(t) = C(t)e at. 16

3 4.3.2 Cas linéaire homogène Théorème Si a est une fonction continue sur I, et si A est une primitive de a, alors la solution générale de l équation homogène : y = a(t)y est : y(t) = Ce A(t), (C R). Remarque : On peut prendre A(t) = t t 0 a(s)ds Cas avec second membre Théorème Si a et b sont des fonctions continues sur I, si A est une primitive de a, et si g est une solution particulière de l équation y = a(t)y + b(t), alors la solution générale est : y(t) = Ce A(t) + g(t), (C R). Proposition Si a et b sont des fonctions continues sur I, et si A est une primitive de a, une solution particulière de l équation y = a(t)y + b(t), est : g(t) = G(t)e A(t), où G est primitive sur I de t b(t)e A(t). Méthode de variation de la constante : utiliser le changement de fonction inconnue y(t) = C(t)e A(t). Exemple Equation v(t) = Ri+Li (i est l intensité dans un circuit avec résistance, inductance, et tension variable). Cas v(t) = V : Cas v(t) = A sin ωt : i(t) = Ce Rt L + V R. i(t) = Ce Rt RA L + sin ωt ωla cos ωt ω 2 L 2 + R2 ω 2 L 2 + R2 Remarque En fonction de la forme du second membre, il peut être opportun de chercher une solution particulière de forme analogue. Il convient de traiter des exemples variés pour retenir ou deviner la forme d une solution particulière. 17

4 4.4 Equations différentielles linéaires d ordre 2 Il s agit des équations : y = a(t)y + b(t)y + c(t). Les fonctions a, b et c sont continues sur un intervalle I. Le cas homogène : y = a(t)y + b(t)y Cas homogène à coefficients constants Il s agit des équations : y = ay + by. L équation du second degré : λ 2 aλ b = 0 s appelle l équation caractéristique. Théorème Les solutions sur R de l équation homogène : y = ay + b forment un espace vectoriel de dimension 2. a) Si l équation caractéristique a deux solutions réelles λ 1 et λ 2, alors : y 1 (t) = e λ 1t, et y 2 (t) = e λ 2t forment une base de l espace des solutions; la solution générale est : y(t) = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t. b) Si l équation caractéristique a une solution double λ, alors : y 1 (t) = e λt, et y 2 (t) = te λt forment une base de l espace des solutions; la solution générale est : y(t) = C 1 e λt + C 2 te λt. b) Si l équation caractéristique a deux solutions complexes conjuguées λ = λ + iλ et λ = λ iλ, alors : y 1 (t) = e λ t cos(λ t), et y 2 = e λ t sin(λ t) forment une base de l espace des solutions; la solution générale est : y(t) = e λ t (C 1 cos(λ t) + C 2 sin(λ t)). Théorème Pour t 0 fixé, l équation : y = ay + by a une unique solution qui vérifie les conditions initiales y(t 0 ) = y 0, y (t 0 ) = v 0. 18

5 4.4.2 Cas à coefficients constants avec second membre Théorème On suppose que c est une fonction continue sur l intervalle I. Si g est une solution particulière de l équation y = ay + by + c(t), alors la solution générale sur I est : y(t) = C 1 y 1 (t)+c 2 y 2 (t)+g(t), (C R), où y 1 et y 2 forment une base de solutions de l équation homogène. Méthode de variation de la constante : utiliser le changement de fonction inconnue y(t) = C 1 (t)y 1 (t) + C 2 (t)y 2 (t), où y 1 et y 2 forme une base de solution de l équation homogène ; avec l équation additionnelle : C 1(t)y 1 (t) + C 2(t)y 2 (t) = 0, on obtient un système qui détermine C 1 et C 2. Proposition Avec les notations précédentes, si on a pour tout t I : y1 (t)c 1(t) + y 2 (t)c 2(t) = 0 y 1(t)C 1(t) + y 2(t)C 2(t) = c(t) alors g(t) = C 1 (t)y 1 (t) + C 2 (t)y 2 (t), est une solution particulière. Remarque Le déterminant w(t) = y 1 (t) y 2 (t) y 1(t) y 2(t) s appelle le déterminant wronskien. Si les solutions y 1 et y 2 sont indépendantes, il ne s annulle pas. Exemples a) y + 2y = x 2 e t, y(t) = C 1 cos 2t + C 2 sin 2t + ( 1 2 t2 1t )et. b) y + 2y = 2t 2 + 1, y(t) = C 1 cos 2t + C 2 sin 2t t2 1. c) y 4y + 4y = e 2t, y(t) = t2 2 e2t + (k 2 t + k 1 )e 2t d) y + 4y = cos 2t, y(t) = C 1 cos 2t + C 2 sin 2t + 1 t sin 2t. 4 Remarque La méthode de variation des constantes permet de résoudre dans chaque cas. On peut souvent s attendre à une solution particulière dont la forme est dictée par le second membre. 19

6 Exemple Dans l exemple précédent c), en remarquant que l exponentielle du second membre a un coefficient qui est racine double, on cherche : g(t) = at 2 e 2t, g (t) = (2at 2 + 2at)e 2t, g (t) = (4at 2 + 8at + 2a)e 2t, La condition se réduit à : 2a = 1 i.e. a = Résolution formelle avec sage from sage.calculus.desolvers import desolve t=var( t ) y=function( y,t) de=diff(y,t,2)-4*diff(y,t,1)+4*y==e^(2*t) desolve(de,y) 4.5 Exemples d équations différentielles générales et de méthodes Changement de fonction inconnue, raccordement de solutions : exemples. 4.6 Résolution numérique des équations différentielles Méthode d Euler On considère sur l intervalle [a, b] l équation différentielle avec condition initiale : y = f(t, y), y(a) = y 0. L intervalle [a, b] est subdivisé en n intervalles de taille h = b a : t n k = a+kh. La méthode d Euler approxime la valeur de la solution en t k, par : y k = y k 1 + hf(t k 1, y k 1 ). 20

7 4.6.2 Méthode de Runge-Kutta Avec les mêmes hypothèses que précédemment, on calcule d abord : z k = y k 1 + hf(t k 1, y k 1 ), puis l approximation : y k = y k 1 + h f(t k 1, y k 1 ) + f(t k, z k ) 2. 21