Solutions auto-semblables pour des modèles avec conductivité thermique

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1 Soluions auo-semblables pour des modèles avec conducivié hermique Séphane DELLACHERIE e Olivier LAFITTE CRM décembre 25 Cenre de Recherches Mahémaiques, Universié de Monréal, Case posale 628, Succursale cenre-ville, Monréal (Québec, H3C 3J7, Canada Commissaria à l Énergie Aomique, DM2S-SFME, 99 Gif sur Yvee, France Laboraoire Analyse, Géomérie e Applicaions, Universié Paris 3, 99 Av. J-B Clémen, 9343 Villeaneuse, France Courriels : sephane.dellacherie@cea.fr e lafie@mah.polyechnique.fr

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3 Classificaion AMS : 35R5, 35K5. Résumé Nous développons dans cee noe des soluions analyiques simples pour des équaions de la chaleur monodimensionnelles don les coefficiens son consans par morceaux. Nous uilisons ces soluions pour mieux comprendre des modèles d évoluion d inerface dans des siuaions physiques réalises de ype croissance de bulles provoquée par des échanges de chaleur. Ces soluions simples permeen par exemple de comprendre les régulariés minimales qui pourraien êre renconrées dans les problèmes de couplage ranspor d inerface-diffusion hermique. En pariculier, ces soluions ne son pas des soluions classiques au sens où elles son seulemen régulières par morceaux, leur régularié Sobolev dans ou inervalle conenan l inerface n éan pas en général meilleure que 3 2 ɛ. Mos clés : équaion de la chaleur, équaion de Hamilon-Jacobi, problème de Sefan, soluion auo-semblable. Absrac We sudy in his Noe simple analyical self-similar soluions for he monodimensional hea equaion wih piecewise consan coefficiens. These soluions help o undersand inerface moion in fluid mechanics wih hermal ransfer, namely a bubble wih hea conducion model. We show wih hese examples ha he regulariy of he compued soluions is no enough o rea hem as classical soluions. More precisely, he Sobolev regulariy in all inerval conaining he inerface is no, in general, beer han 3 2 ɛ. Key words : hea equaion, Hamilon-Jacobi equaion, Sefan problem, self-similar soluion. 3

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5 Inroducion Nous explicions des soluions auo-semblables sur R pour différenes équaions de la chaleur à coefficiens consans de par e d aure d une inerface fixe ou mobile. Ces équaions son inspirées des équaions modélisan l évoluion à bas nombre de Mach de l inerface d une bulle de gaz soumise à des échanges de chaleur [2]. De elles soluions, inroduies par Barenbla [] dans les années 95, on éé uilisées par Tayachi e al [7] dans les années 99 (recherche de soluions asympoiquemen auo-semblables, e uilisées dans un cas parabolique dégénéré pour le ranspor d eau dans les milieux poreux par Lafie e Le Poier [5]. Nous consaerons que la régularié des soluions auo-semblables obenues n es pas suffisane pour que celles-ci soien des soluions classiques. Ceci monre qu il n es pas possible d appliquer pour les modèles proposés dans cee Noe des méhodes d énergie comme celles uilisées dans [3] pour l éude de l exisence e de l unicié de soluions en domaine borné. 2 Équaion de la chaleur avec inerface fixe On se propose de monrer que l équaion aux dérivées parielles u(, x K = x (λ x u(, x + Q(δ (x, (a u( >, = u( >, +, λ x u( >, = λ + x u( >, + + Q( avec (K, λ = (K >, λ > pour x < e (K, λ = (K + >, λ + > pour x > adme une soluion auo-semblable. La source de chaleur Q( es une foncion du emps définie pour > e es a priori quelconque (celle-ci sera caracérisée au 2.3. (b (c (2. 2. Cas sans source de chaleur On inrodui la foncion d erreur classique erf donnée par erf(x = 2 x e 2 d. π On se place dans le cas Q( > =. L exisence e l unicié d une soluion auo-semblable u (, x de l équaion de la chaleur à coefficiens disconinus (2. sans source de chaleur es donnée par le lemme : Lemme 2.. Sous les condiions iniiales u( =, x > = U +, u( =, x < = U (2.2 où U ± son deux rééls, l EDP (2. adme la soluion auo-semblable ( U + U λ K λ+ K + + K + x erf λ K λ U pour x >, u (, x = ( U + U λ+ K + λ+ K + + K x erf λ K λ 2 + U pour x < (2.3 5

6 où U = λ+ K + U + + λ K U λ+ K + + λ K. ( Sous les condiions aux limies > : lim u(, x = U ±, x ± lim xu(, x =, x ± (2.5 la soluion auo-semblable (2.3 es l unique soluion de l EDP (2.-(2.2 sur ], + [ R. Remarquons que la soluion auo-semblable (2.3 vérifie aux bornes d un domaine [ L, L] la condiion de Neumann non homogène suivane U + U exp ( K±L2 4λ ± λ ± x u (±L, = λ +K + + π λ K qui end vers lorsque end vers + comme. On noe aussi que cee soluion vérifie lim u (, x = U + ainsi que les esimaions x K compac, M(K > el que u (x, U U + U λ +K + + λ K x λ ± π M(K ce qui monre que sur ou compac K, u (, φ converge vers la foncion affine par morceaux U + A λ ± φ lorsque + où A es une consane ad hoc déduie de l expression précédene. Preuve du lemme 2.: Toue soluion auo-semblable de l EDP (2. es nécessairemen de la forme u (, x = U(φ où φ = x es la variable auo-semblable, e U(φ es alors soluion de U (φ = K + 2λ + φu (φ pour φ >, K 2λ φu (φ pour φ <. Donc U(φ = ( πλ + K + φ B + erf + A + pour φ >, K + λ + 2 ( πλ K φ B erf + A pour φ <. K λ 2 (2.6 Les condiions aux limies (2.(b(c à l inerface ( >, x = son équivalenes aux condiions de compaibilié à l origine U( + = U(, λ + U ( + = λ U ( 6

7 pour la soluion auo-semblable (2.6 ce qui impose A + = A A, λ + B + = λ B C. On a donc U(φ = C C π λ + K + erf π λ K erf ( K + φ + A pour φ >, λ + 2 ( K φ + A pour φ <. λ 2 On conclu en enan compe de la condiion iniiale (2.2 qui s écri pour la soluion auosemblable U(+ = U +, soi encore U( = U C π λ +K + + A = U +, C π λ K + A = U, relaions qui permeen d obenir A e C. Les expressions (2.3 e (2.4 s en déduisen immédiaemen. Supposons mainenan l exisence de deux soluions u e u 2 de (2.(2.2. Celles-ci vérifien alors l inégalié d énergie β 2 α 2 K(u 2 u 2 (, xdx 2 [λ(u 2 u x (u 2 u (, x] x=β2 x= α 2 d sur ou compac [ α 2, β 2 ]. Sous les condiions aux limies (2.5 (condiions saisfaies par la soluion auo-semblable (2.3, on obien donc que u (,. = u 2 (,. presque parou. 2.2 Régularié de la soluion auo-semblable sans source de chaleur Dans la suie de cee parie, on éudie la régularié globale de la soluion auo-semblable u (, x donnée par (2.3. Nous consaerons que, conrairemen à l équaion de la chaleur u = 2 xu qui régularise oue donnée iniiale, l opéraeur de la chaleur à coefficiens disconinus ne régularise pas la soluion pour >. On le démonre dans le cadre des espaces de Sobolev : Lemme 2.2 La soluion auo-semblable u (, x donnée par (2.3 vérifie ( u C ], + [; H 3 2 ɛ ([ L, L]. De plus, lorsque u (, x n es pas la soluion consane (i.e. lorsque U + U, on a ( u C ], + [; H 7 2 ɛ ([ L, L] λ + = λ e s, u C (], + [; H s ([ L, L] λ + = λ e K + = K. 7

8 Remarquons que lorsque x apparien à un compac ne conenan pas un voisinage de, la foncion es de classe C ce qui indique qu elle es localemen dans H s pour ou s au voisinage de ou poin x, le défau de régularié éan au poin i.e. à l inerface. Nous avons donc rouvé une soluion de l équaion de la chaleur avec coefficiens L qui ne se compore pas comme la soluion de l équaion de la chaleur usuelle, en ce sens qu elle n es pas régulière pour >. On ne pourra donc pas uiliser des résulas fins issus d esimaions de Sobolev pour éudier l exisence e l unicié de soluions d EDP du ype (2.. Plus précisémmen, les résulas liés à u H s (Ω où Ω R d avec s d/2 + appliqués par exemple dans [3] ne pourron pas êre uilisés. Preuve du lemme 2.2 : La preuve de ce résula s appuie sur la ransformée de Fourier parielle en x de la soluion auo-semblable u (, x. En effe, pour éudier la régularié Sobolev de u (, x sur [ L, L], il suffi d éudier l inégrabilié de û (, ξ 2 ( + ξ 2 s sur [, ξ] e sur [ ξ, ] pour ξ +, la ransformée de Fourier éan donnée par û (, ξ = = iξ = iξ u (, x exp( ixξdx + + u (, x d dx exp( ixξdx iξ x u (, x exp( ixξdx + iξ u (, x exp( ixξdx + + u (, x d dx exp( ixξdx x u (, x exp( ixξdx. Nous éudierons ici l inégrabilié de û (, ξ 2 ( + ξ 2 s sur [, ξ] (donc ξ >. On a x u (, x = D λ λ + exp( µ + x 2 lorsque x >, = D λ+ λ exp( µ x 2 lorsque x < où D es une foncion du emps e où µ ± = K± 4λ ±. Donc, on a avec h (ξ = iξû (, ξ D = λ + λ h (ξ + exp( µ x 2 ixξdx e h + (ξ = λ λ + h + (ξ (2.7 + exp( µ + x 2 ixξdx. On éudie mainenan la foncion h (ξ. Comme pour la ransformée de Fourier de la foncion gaussienne, elle vérifie l équaion différenielle En uilisan h ( = 2 π µ, il vien h (ξ = Noons ou d abord que h (ξ = [ π + i 2 µ [ 2 µ h (ξ + π µ + i µ ξ h (ξ = i. 2µ 2µ ξ 2 µ exp(η 2 dη ] exp. (2.8 4µ ] exp(η 2 dη exp + i exp ξ 2 µ exp(η 2 dη 4µ µ 4µ (2.9 8

9 e que Par ailleurs ξ exp 2 µ 4µ = 3e 4 exp Il exise donc un complexe A el que h (ξ + A exp ce qui implique que h (ξ + A exp En oure ξ 2 µ exp(η 2 = d [( dη 2η + ] 4η 3 exp(η η 4 exp(η2. (2. 4µ 4µ [( d dη 2η + 4η 3 µ + 4µ i ξ 2iµ ξ 3 = i µ exp i ξ 2iµ ξ 3 3 4η 4 exp(η2 dη = Il exise donc deux réels B e C els que ξ 2 µ µ exp 4µ = ξ ] exp(η 2 µ + 2µ ξ 3. 4µ exp µ 4µ dη ξ 2 µ ξ 2 µ 3 4η 4 exp(η2 dη (2. 3 4η 4 exp(η2 dη. (2.2 ξ 4 ξ µ 3 2 µ 3 4η 4 exp(η2 dη + ξ 4η 4 exp(η2 dη 4 µ 3 ( ξ 2 ξ ( 4 exp 4 µ ξ 2 ξ 2 µ 3 dη + exp 6µ 4µ ξ 4η 4 dη 4 µ 3 ( ( ( ξ ξ 2 ξ 2 4µ µ 4 4 exp + exp µ 6µ 4µ ξ η 4 exp(η2 dη B exp + C 4µ ξ 3. On dédui alors de cee dernière inégalié e de (2.2 que pour ξ assez grand, il exise une consane C elle que h (ξ i ξ 2iµ ξ 3 C ξ 3. En ravaillan de la même manière sur la foncion h + (ξ e en uilisan (2.7, on rouve finalemen qu il exise une consane C elle que pour ξ assez grand, l on ai ( i D û(, ξ i ξ 2 λ + λ 2i λ + λ (µ λ λ + ξ 4 µ + λ λ + C ξ 4. (2.3 Le erme principal de û 2 ( + ξ 2 s pour ξ assez grand es donc donné par ( 2 ( + ξ 2 s λ + λ ξ 4 λ λ + lorsque λ + λ. On obien les premier e deuxième poins du lemme en noan que ce erme es inégrable sur [, + [ lorsque 2s 4 <, qu il s annule uniquemen lorsque λ + = λ, le erme principal devenan alors ( + ξ 2 s ξ 8 (µ µ + qui es inégrable sur [, + [ lorsque 2s 8 <. On obien le dernier poin du lemme en remarquan que u C (], + [; C ([ L, L] lorsque l on a en plus K + = K (ceci es bien sûr lié aux propriéés régularisanes de l opéraeur classique de la chaleur. 9

10 2.3 Cas avec source de chaleur On cherche mainenan une soluion auo-semblable de l EDP (2. lorsqu il y a un dépô de chaleur à l inerface, c es à dire lorsque Q( >. L exisence d une soluion auo-semblable impose une forme pariculière à la source de chaleur. On a en effe le résula : Lemme 2.3 Sous les condiions iniiales (2.2, l EDP (2. adme une soluion auo-semblable si e seulemen si Q( = q où q es un réél sricemen posiif. Par ailleurs, cee soluion auo-semblable u q (, x es définie avec [ ( ] u (, x + δuq erf K+ x λ + 2 pour x >, u q (, x = [ ( ] (2.4 u (, x + δuq + erf K x λ 2 pour x < où u (, x es la soluion auo-semblable définie avec (2.3 e où πq δuq = λ+ K + +. λ K On consae que le comporemen de u q> (, x es similaire au comporemen de u (, x : ceci es bien évidemmen dû au fai que la source de chaleur à l inerface x = décroi comme /. La différence essenielle réside en ce que la limie de u q (, x es ranslaée de la quanié algébrique δuq par rappor à la limie U de u (, x. Preuve du lemme 2.3 : Pour éablir ce lemme, il suffi de revenir à la preuve du lemme 2. dans laquelle on a rappelé que oue soluion auo-semblable de (2. s écri ( πλ + K + φ B + erf + A + pour φ >, K + λ + 2 U(φ = ( πλ K φ B erf + A pour φ <, K λ 2 (2.5 les consanes A ± e B ± éan déduies des condiions aux limies (2.(b(c (avec mainenan Q( e des condiions iniiales (2.2. En noan que x u q (, x = U (φ où φ = x/, on voi que la condiion aux limies (2.(c impose à la source de chaleur Q( d êre en / d où la disribuion q δ (x dans (2.(a pour que u q (, x soi une soluion de (2.-(2.2 au sens des disribuions. 3 Équaion de la chaleur avec inerface mobile On généralise mainenan le problème éudié au 2 en inroduisan dans la modélisaion une inerface mobile Σ(. On sous-enend par là que les coefficiens K e λ s écriven mainenan K = K + x>σ( + K x<σ( e λ = λ + x>σ( + λ x<σ(

11 ce qui es équivalen à écrire que K = Y K + + ( Y K e λ = Y λ + + ( Y λ où Y (, x es soluion faible de l EDP Y + Σ ( x Y =, (3.6 lim Y (,. = x> dans D (], + [ R C (], + [; L (R. La foncion Y (, x es souven appelée foncion couleur ou foncion indicarice du milieu défini par {x R, x > Σ(}. On remplace donc l EDP (2. avec u(, x K = x (λ x u(, x + Q(δ x Σ(, (a u( >, Σ( = u( >, Σ( +, (b (3.7 λ x u( >, Σ( = λ + x u( >, Σ( + + Q( (c où Q = q/ (cf On cherche alors les condiions sur la foncion Σ( qui permeen de consruire une soluion auo-semblable de l EDP (3.7. On a le résula suivan : Lemme 3.. Sous les condiions iniiales (2.2, le problème (3.7 adme une soluion auosemblable u a q(, x de la forme U( x Σ( si e seulemen si il exise a élémen de R el que Σ( = Σ( + a. e 2. Dans le cas Σ( = a, la soluion auo-semblable de (3.7 avec Q = (i.e. q = es égale à ( K + x λ K G(aerf λ U+ (a pour x > Σ(, u a (, x = ( (3.8 K x λ+ K + G(aerf λ 2 + U (a pour x < Σ(. Les consanes G(a e U ± (a son données par G(a = ( λ+ K + erfc K λ U + U + ( λ K erfc K+ λ + a 2 U ± (a = U ± λ K G(a. Noons que l on a bien sûr u a= (, x = u (, x où u (, x es la soluion auo-semblable donnée par (2.3. En pariculier, on a U ± ( = U où U es donné par (2.4. Preuve du lemme 3. : La parie imporane de la preuve du lemme 3. es le premier poin de ce lemme. Elle s appuie sur le changemen de variable X = x Σ( qui donne la nouvelle équaion aux dérivées parielles K( ũ Σ ( X ũ = X (λ X ũ + Q(δ (X. a 2 Si on suppose que ũ es une soluion auo-semblable du ype U(φ avec φ = l équaion différenielle ordinaire X, on obien. On se ramène à ce cas en changean l origine des x avec Σ(. U (φ + K ± λ ± [ φ 2 + Σ (]U (φ = (3.9

12 dans chacune des régions X > e X <. Ainsi, nécessairemen, la foncion Σ ( ne dépend que de φ, e comme elle ne dépend que de, c es donc une consane 2. Le poin du lemme es démonré. Le poin 2 du lemme se démonre comme dans la preuve du lemme 2. c es à dire en résolvan l équaion (3.9 e en ajusan les consanes d inégraion via les condiions aux limies e iniiales. Généralisaion au cas d une bulle monodimensionnelle : La soluion auo-semblable (3.8 peu êre généralisée en écrivan que les consanes K e λ son données par K = K x< a + K a <x<a + K + x>a e λ = λ x< a + λ a <x<a + λ + x>a. Les consanes (K, λ e (K +, λ + définissen alors le milieu à l exérieur d une bulle localisée par l inervalle ] a, a [ e caracérisée par les consanes K e λ. On a le lemme : Lemme 3.2 Sous les condiions iniiales (2.2, l EDP (3.7 généralisée au cas de l inerface Σ( = { a, a } adme une unique soluion auo-semblable U( x don la forme es donnée par ( π K + x C + erf λ + K + λ A + pour x > a, ( x U = π C erf λ K π C + erf λ K ( K λ ( K λ x 2 x 2 + A pour a < x < a, + A pour x < a où A ±, A, C ± e C son des foncions qui dépenden de K ±, K, λ ±, λ, U ± e a. La preuve de ce lemme es idenique à la preuve des lemmes 2. e 3. qui éablissen que oue soluion auo-semblable sera forcémen de la forme (2.5, que l inerface soi mobile ou non. Pour obenir l expression analyique complèe des foncions A ±, A, C ± e C, il suffi d écrire la coninuié de la soluion e des flux aux poins φ = ±a e de enir compe de la condiion iniiale (2.2. Bien évidemmen, lorsque λ = λ e K = K, on rerouve la soluion du lemme Équaion de la chaleur avec inerface mobile régularisée La dernière soluion auo-semblable de l équaion de la chaleur (2. que nous présenons es celle qui es associée à une régularisaion de la foncion couleur Y (, x inroduie auparavan dans l équaion (3.6. Cee régularisaion s effecue via l équaion Y + V (, x x Y = ε 2 xy pour le cas d une inerface mobile se déplaçan à la viesse V (, x. On s inéresse donc mainenan au sysème Y + V (, x x Y = εx 2Y, (a K u = x [λ(y (, x x u] (4.2 (b 2. On peu en fai généraliser ce résula au cas où la viesse de l inerface dépend aussi de x. Dans ce cas, il fau que Σ(, x soi une foncion de x/. 2

13 (on simplifie ici la modélisaion en prenan K + = K := K muni des condiions aux limies lim Y (, x = e lim Y (, x = x x + sur la foncion caracérisique Y (, x de l inerface régularisée. On suppose par ailleurs que λ(y es une foncion régulière vérifian λ( = λ + e λ( = λ. Nous avons le résula suivan : Lemme 4.. Sous les condiions iniiales (2.2, le sysème (4.2 adme une soluion auosemblable si e seulemen si V (, x ne dépend que de x. On noe cee foncion W( x. 2. Sous cee hypohèse e sous l hypohèse supplémenaire que + exp ( η2 4ε + η W(βdβ dη < +, ε la soluion auo-semblable en Y es de la forme Y (, x = Y ε ( x avec où A ε = Y ε (φ = A ε φ exp ( η2 4ε + ε ( ( + exp η2 4ε + η. ε dη W(βdβ η W(βdβ dη 3. La soluion auo-semblable en u es alors de la forme u(, x = U ε ( x avec U ε (φ = U + B ε φ ( + où B ε = (U + U ( λ(y exp ε(η η ( η λ(y ε (η exp Kβ 2λ(Y ε (β dβ dη Kβ. 2λ(Y dβ ε(β dη Dans le cas où V (, x = a 2 avec a R, les limies des foncion Y ε e U ε lorsque ε son respecivemen le Heaviside H(x a e la foncion U du lemme 3.. Soulignons que la foncion U ε es de classe C alors que sa limie U n es pas une soluion classique. Preuve du lemme 4. : Toue soluion auo-semblable Y (, x = Y ε ( x de (4.2(a es soluion de l équaion différenielle ordinaire ( φ V Y ε (φ = 2ε Y ε ε (φ. Donc, V es nécessairemen une foncion qui ne dépend que de φ. On obien Y ε ( x en inégran logarihmiquemen cee équaion. D aure par, oue soluion auo-semblable u(, x = U ε ( x de (4.2(b es soluion de l équaion différenielle ordinaire équaion qui se réécri e que l on résou logarihmiquemen. K φ 2 U ε (φ = d dφ ( λ(y ε (φ du ε dφ, d dφ (λ(y ε(φu ε(φ λ(y ε (φu ε(φ = Kφ 2λ(Y ε (φ 3

14 5 Modèle avec viesse dépendan de la empéraure On se propose mainenan de rouver une famille de soluions auo-semblables pour le sysème d EDP Y (, x + u(, x Y (, x =, x (a [ T (, x + u(, x T (, x = T λ(y ] (5.2 x x x T (, x (b définie sur [, + [ [, + [ e où la viesse u(, x es définie avec Les condiions iniiales son données par Y ( =, x > Σ =, e u = λ x T. (5.22 Y ( =, x < Σ = T ( =, x > Σ = T + (x, T ( =, x < Σ = T (x (5.23 (5.24 où Σ ], + [ définie la posiion iniiale de l inerface. Comme dans (3.6, la foncion Y (, x es la foncion indicarice du milieu {x R, x > Σ(} où l inerface Σ( iniialemen posiionnée en Σ( = = Σ se déplace à la viesse u(, x donnée par (5.22. La foncion Y (, x es donc une soluion faible de (5.2(a qui perme de définir la conducivié hermique λ via λ(y = Y λ + + ( Y λ. (5.25 Enfin, on impose les condiions aux limies T (, Σ( + = T (, Σ(, λ x T (, Σ( + = λ + x T (, Σ(. (5.26 Il es imporan de noer que le champ iniial T ( =, x doi vérifier les condiions aux limies (5.26 afin que la viesse iniiale u( =, x soi définie en x = Σ. Les foncions T ± (x doiven donc vérifier les condiions de raccord T + (Σ = T (Σ T, (a (5.27 λ + x T + (Σ = λ x T (Σ. (b Ceci exclu oue recherche de soluions saisfaisan des condiions iniiales non régulières du ype (2.2. On peu noer que l équaion (5.2(b es une équaion de ype Hamilon-Jacobi avec diffusion non-linéaire. En effe, il es immédia que celle-ci peu se réécrire avec ( 2 T + 2λ(Y x T = [ λ(y T ] x x T pour oue soluion régulière T (, x puisque u es définie avec (5.22. Noons que le sysème (5.2-(5.27 es, parmi les modèles proposés dans cee noe, celui qui es le plus proche de la parie hermique du sysème diphasique à bas nombre de Mach éudié dans [2]. 4

15 On a le résula suivan qui défini une famille de soluions auo-semblables : Lemme 5. Le sysème d EDP (5.2-(5.26 adme la famille de soluions auo-semblables ( T + + x2 Σ( 2 pour x Σ(, τ 2λ + ( + τ T τ (, x = ( T + ( x2 Σ( 2 pour x Σ( τ 2λ ( + τ ] [ Σ 2 paramérée par τ 2λ T, + avec ( Σ( = Σ + τ lorsque les condiions iniiales T ± (x son données par la famille T +,τ (x = T + x2 Σ 2 2λ + τ, T,τ (x = T + x2 Σ 2 2λ τ. Il es imporan de souligner que la soluion auo-semblable T τ (, x ne converge pas vers une consane T lorsque +. Par exemple, la empéraure T τ [, Σ(] converge vers τ T i.e. vers +. Ce comporemen vien de ce que, d une par, l équaion (5.2(b n es pas une équaion de la chaleur classique (cf. le erme en ( x T 2 e, d aure par, de ce que le domaine en x es non borné. La preuve du lemme 5. uilise le résula suivan : Lemme 5.2 Toue soluion régulière T (, x de (5.2-(5.22 e sricemen posiive es soluion de Y (, x + u(, x Y (, x =, x (a [ µ(, x = λ(y ] (5.29 x x log µ (, x (b avec µ = T. (5.3 On peu noer que ce résula es égalemen valable lorsque λ dépend de T. Remarquons que le sysème (5.29 muni des condiions iniiales (5.23 peu êre réécri avec µ = x [ λ (µ x µ] si x < Σ(, (5.3 µ = x [ λ + (µ x µ] si x > Σ( (où λ ± (µ := λ ± /µ auquel on adjoin les condiions d Σ( = K(µ q( d où K(µ := /µ, µ Σ ( = µ Σ + (, λ (µ x µ Σ ( = λ + (µ x µ Σ+ ( := q( (5.32 5

16 à l inerface mobile x = Σ(, ce qui défini un problème de Sefan. Preuve du lemme 5.2 : Pour oue soluion régulière T (, x, on a [ ( ] 2 T 2 T + λ(y x T = [ λ(y ] T x x T soi encore ( T d où le résula avec µ = /T. = λ(y T 2 ( 2 x T [ λ(y ] T x x T = [ ] λ(y x T x T = [ λ(y T x x ( ] T Nous éablissons mainenan la preuve du lemme 5. : Preuve du lemme 5. : Le lemme 5.2 nous perme de consruire une soluion auo-semblable de l EDP (5.2-(5.27. En effe l équaion (5.29(b s écri aussi [ µ(, x = λ(y µ m ] x x µ (, x avec m = (5.33 qui adme la soluion auo-semblable µ(, x = x 2 A( + B + 2( + B lorsque λ + = λ = (cf. [6], A e B éan deux consanes. On en dédui, en uilisan le changemen de variable λ ± + B ±, qu une soluion auo-semblable pariculière de (5.29 e donc de (5.2 es donnée par = T (, x = µ(, x A + (λ + + B + + A (λ + B + x 2 2(λ + + B + x 2 2(λ + B pour pour x Σ(, x Σ(. (5.34 Comme dans le cas de la soluion auo-semblable (2.6, les consanes A ± e B ± son déduies des condiions iniiales (5.24 e des condiions aux limies (5.26. La coninuié de λ x T (, Σ( impose que Σ( Σ( λ + = λ λ + + B + λ + B soi encore que B + /λ + = B /λ τ (5.35 où τ es un paramère quelconque évoluan a priori dans ], + [. En fai, le paramère τ doi êre sricemen supérieur à une valeur minimale τ min (T, Σ, λ afin d assurer la srice posiivié de T (, x sur [, + [ [, + [. La quanié τ min (T, Σ, λ sera expliciée plus loin. Par ailleurs, la coninuié de T (, x au ravers de l inerface Σ( impose que A + λ + ( + τ + Σ(2 λ + ( + τ = A λ ( + τ + Σ(2 λ ( + τ (5.36 6

17 soi encore que qui s écri aussi Σ( 2 = 2λ + λ ( + τ 2 A+λ + A λ λ + λ ( Σ( = Σ + τ (5.37 ce qui donne la viesse de déplacemen V ( = Σ τ (5.38 de l inerface Σ(. D aure par, la condiion iniiale (5.27(a impose que A ± λ ± τ = T Σ2 2λ ± τ. En enan compe de la relaion (5.35, (5.34 s écri donc aussi ( T + ( Σ2 τ 2λ + τ + x 2 + τ 2λ + ( + τ T (, x = ( T + ( Σ2 τ 2λ τ + x 2 + τ 2λ + ( + τ pour pour x Σ(, x Σ(. (5.39 On obien de (5.39 la soluion auo-semblable (5.28 en noan que la relaion (5.37 es équivalene à Σ 2 ( τ + = Σ(2 τ + τ. Enfin, la empéraure minimale au emps es donnée par ( ( T (, x = = T Σ2 + 2λ τ τ ce qui impose au paramère τ d apparenir à l ouver ]τ min (T, Σ, λ, + [ où τ min (T, Σ, λ = Σ 2 2λ T pour avoir la srice posiivié de T (, x [, + [. 6 Conclusion Cee noe a eu pour obje de mere en évidence l exisence de soluions analyiques auosemblables monodimensionnelles pour des modèles avec conducivié hermique disconinue de par e d aure d une inerface fixe ou mobile, modèles possédan ceraines similariés avec la parie hermique du sysème diphasique à bas nombre de Mach proposé dans [2]. L exisence de soluions analyiques donnan la viesse de déplacemen de l inerface en foncion du emps dans le cas où celle-ci es mobile perme d envisager de eser la précision de l algorihme de capure d inerface basé sur le schéma de Després-Lagouière [4] dans un conexe faisan inervenir des échanges hermiques. Références [] Barenbla G. I. On self-similar moions of compressible fluid in a porous medium (en russe Prikladnaya Maemaika i Mekhanika (Applied Mahemaics and Mechanics (PMM, 6(6, p ,

18 [2] Dellacherie S. On a Diphasic Low Mach Number Sysem Mahemaical Modelling and Numerical Analysis, 39(3, p , 25. [3] Dellacherie S. e Lafie O. Exisence e unicié d une soluion classique à un modèle absrai de vibraion de bulles de ype hyperbolique-ellipique Publicaion du Cenre de Recherches Mahémaiques de Monréal (Canada, CRM-32, 25. [4] Després B. e Lagouière F. Un schéma non-linéaire ani-dissipaif pour l équaion d advecion linéaire C. R. Acad. Sci., Paris, Série I, Mah., 328, p , 999. [5] Lafie O. e Le Poier C. The Richards equaion for he modeling of a nuclear wase reposiory Ellipic and parabolic problems (Rolduc/Gaea, 2, World Sci. Publishing, River Edge, NJ, p , 22. [6] Rodríguez A. e Vásquez J.L. Maximal Soluions of Singular Diffusion Equaions wih General Iniial Daa Nonlinear Diffusion Equaions and heir Equilibrium Saes, ed. Birkhäuser, 3, p , 992. [7] Tayachi S., Souple Ph. e Weissler F. Exac self-similar blow-up of soluions of a semilinear parabolic equaion wih a nonlinear gradien erm Indiana Univ. Mah. J., 45, p ,