NOMBRES COMPLEXES. Ph DEPRESLE. 11 janvier Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe 2

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1 NOMBRES COMPLEXES Ph DEPRESLE janvier 06 Table des matières Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe Opérations dans l ensemble C. Addition dans C Multiplication dans C Les nombres complexes conjugués. Définition Conjugaison et opérations Résolution dans C de l équation az + bz+ c = 0 a,b,c R, a 0) 4. Résolution de l équation z = a a R Résolution de l équation az + bz+ c = 0 a,b,c R, a 0) Représentations géométriques des nombres complexes 4 6 Module d un nombre complexe 5 7 Argument d un nombre complexe-forme trigonométrique 5 7. Argument Forme trigonométrique Arguments et produit Notation exponentielle des nombres complexes 7 9 QCM 9 0 EXERCICES : Les exercices de base 0 EXERCICES : Les exercices de base corrigés)

2 Chapitre : Nombres complexes Les nombres complexes-forme algébrique d un nombre complexe Définition. On appelle nombre complexe, un nombre qui s écrit de façon unique sous la forme z = a+ i b dans lequel a et b sont des réels et i un élément vérifiant i =. a est appelé la partie réelle de z et b la partie imaginaire de z. Cette écriture est appelée forme algébrique du nombre complexe z. L ensemble des nombres complexes est noté C. On notera indifféremment a+ i b ou a+ bi Notation :a = Rez) et b=imz) Exemple : i ; i sont des nombres complexes. Re i )= et Im i )=. Remarques : Rez) et Imz) sont des nombres réels. Parmi les complexes il y a les réels qui s écrivent a + i 0). donc R C et de plus ; z R Imz)=0 Parmi les complexes il y a les imaginaires purs qui s écrivent 0 + i b). z imaginaire pur Rez)= 0 0 est à la fois réel et imaginaire pur. Deux nombres complexes sont égaux si et seulement s ils ont même partie réelle et même partie imaginaire. Opérations dans l ensemble C On définit sur C une addition et une multiplication ayant les mêmes propriétés que celles des nombres réels.. Addition dans C Soient z = a+ i b et z = a + i b a,b, a,b réels) on pose : z+z = a+i b)+a +i b )=a+a )+i b+b ). On additionne les parties réelles d une part et les parties imaginaires d autre part. z z = a+ i b) a + i b )=a a )+ib b ). Exemple : + 5i i = 0 + i. Multiplication dans C On utilise les règles de R, la distributivité et i =. z.z = a+ i b)a + i b )=aa + i bb + i ab + ba ) z.z = a+ i b)a + i b )=aa bb + i ab + ba ) Exemples. z = +i ; z = i ; zz = 5+5i.. z = 4i ; z = i ; zz = 4 +8i. Ph Depresle : Notes de cours Page sur 4

3 Chapitre : Nombres complexes Identités remarquables : a+ i b) = a b + i ab a i b) = a b i ab a+ i b)a i b)= a + b R + avec a,b R Exemple de calcul : Mettre sous forme algébrique le nombre complexe : +5i +5i 8 i = +5i )8+i ) 8 i )8+i ) = +46i 64+9 = i. Les nombres complexes conjugués. Définition 8 i Définition. Soit z = a + i b a, b réels) un nombre complexe, on appelle nombre conjugué du nombre z, et on note z, le nombre complexe z= a i b. Remarques : z ) = a i b= a+ i b=z. Le conjugué de z est z. On dit que z et z sont conjugués. z ) = z { { z= a+ i b z+ z = a z= a i b z z= i b. Conjugaison et opérations Rez)= z+ z z C Imz)= z z i z réel z = z z imaginaire pur z= z Propriétés. Quels que soient les nombres complexes z, z :. z+ z = z+ z. z.z = z.z. Si z est non nul, z )= z et z z )= z z 4. z.z = a + b R + 4 Résolution dans C de l équation az + bz+ c = 0 a,b,c R, a 0) 4. Résolution de l équation z = a a R Si a> 0, z = a admet racines réelles opposées a et a Si a= 0, z = 0 admet seule racine z= 0. Si a< 0, z = a admet racines imaginaires pures conjuguées i a et i a Ph Depresle : Notes de cours Page sur 4

4 Chapitre : Nombres complexes 4. Résolution de l équation az + bz+ c = 0 a,b,c R, a 0) Propriétés. Si z 0 est solution de l équation, z 0 est aussi solution. Exemple : Résoudre dans C l équation : z + z+ 4=0 Solution : On calcule le discriminant =9 6= 7=i 7). L équation admet donc deux solutions complexes conjuguées : z = +i 7 et z = i 7 5 Représentations géométriques des nombres complexes Le plan est rapporté à un repère orthonorméo; u, v ) ; z= a+ i b est représenté par le point Ma,b). a,b R On dit que M est l image de z z est l affixe de M ) on note Mz). De même, si #» w est un vecteur, w = a u + b v On dit que w est l image de z z est l affixe de w ) on note w z). M -z) v O axe imaginaire u wz) Mz) axe réel M z) Propriétés.. Les images de z et z sont symétriques par rapport à O.. Les images de z et z sont symétriques par rapport à l axe des réels.. Si W #» et si W #» ont comme affixes respectives z et z, alors W #» + W #» a pour affixe z+ z. 4. Si λ R et si w #» a pour affixe z, alors λ W #» a pour affixe λz. 5. Si A et B ont pour affixes respectives z A et z B, alors AB #» = OB #» OA #» a pour affixe z B z A. 6. Si A et B ont pour affixes respectives z A et z B, alors le milieu de [AB] a pour affixe z A+ z B. Exercice : Trouver l ensemble des points M d affixe z tel que Z = 5z soit un imaginaire pur. z Z imaginaire pur Z = Z et z 5z 5z = et z z z 5z )z )= z )5z ) et z 0zz 7z+ z)+4=0 et z 0x + y ) 4x+ 4= 0 et x, y),0) avec z= x+ i y, x, y R x + y 7 5 x+ = 0 et x, y),0) 5 x 7 ) + y = 9 et x, y),0) 0 00 C est le cercle de centre Ω d affixe 7 0 et de rayon privé du point A d affixe. 0 Ph Depresle : Notes de cours Page 4 sur 4

5 Ω Chapitre : Nombres complexes 5 A Module d un nombre complexe Définition. Soit z= a+ i b, avec a et b réels. Le module de z est le réel : z = zz= a + b. Théorème. Soit z un nombre complexe et M et #» w ses images dans le plan muni d un repère orthonormé O, #» u, #» v ). Alors OM = z et #» w = z. b v M O u a Propriétés 4. Les nombres z et z sont des nombres complexes quelconques :. Un nombre complexe est nul si, et seulement si, son module est nul, c est à-dire : z = 0 équivaut à z =0.. Le module d un nombre complexe est égal au module de son conjugué z = z. Le module du produit de deux nombres complexes est égal au produit de leurs modules : z.z = z. z 4. Le module de l inverse d un nombre complexe non nul est l inverse de son module et le module du quotient de deux nombres complexes est le quotient de leurs modules. pour z 0 : z = z et z z z = z 5. Inégalité triangulaire : Le module d une somme de deux nombres complexes est inférieur ou égal à la somme de leurs modules : z+ z z + z 6. Pour tout naturel n, on a z n = z n. 7 Argument d un nombre complexe-forme trigonométrique 7. Argument Définition 4. Soit z un nombre complexe non nul et M son image dans le plan complexe muni du repère orthonormal direct 0; #» u, #» v ). On appelle argument du complexe z, noté Ar g z) toute mesure de l angle orienté #» u, OM). #» Ph Depresle : Notes de cours Page 5 sur 4

6 Chapitre : Nombres complexes b v z Argz M O u a Le nombre complexe 0 n a pas d argument. 7. Forme trigonométrique Soit z le nombre complexe a+ i b où a et b sont deux réels pas tous les deux nuls. Soit M son image dans le plan complexe. Si on désigne par r le module de z en fait r = z ) et θ un argument de z, on a : { a= r cosθ, on a donc z = r cosθ+ i r sinθ soit z= r cosθ+ i sinθ) b= r sinθ Définition 5. Soit z un nombre complexe non nul de module r et d argument θ. L expression z = r cos θ + i sin θ) est l expression trigonométrique de z. Deux nombres complexes non nuls sont égaux si, et seulement s ils ont le même module et des arguments égaux à kπ près k entier). Exercice : Soit z = ). Calculer le module et un argument de z et écrire z sous forme trigo- nométrique. + i Solution : z = donc z= i ) et Arg z= π + kπ z= cos π + i sin π ) est la forme trigonométrique de z. π Mz) Remarque Pour obtenir la forme trigonométrique du nombre complexe z = sin α + i cos α faut transformer l écriture de z. α R, il sinα=cos π α) et cosα=sinπ α) Ce qui permet d écrire : z= cos π α)+i sinπ α) qui est la forme trigonométrique de z. Propriétés 5.. Tout réel strictement positif a un argument égal à 0. z R + Ar g z)=0+kπ k Z). Tout réel strictement négatif a un argument égal à π. z R Ar g z)=π+kπ k Z). z imaginaire pur non nul Ar g z)= π + kπ k Z) Ph Depresle : Notes de cours Page 6 sur 4

7 Chapitre : Nombres complexes 4. Mz) et M z) sont symétriques par rapport à l axe des réels donc Ar g z= Ar g z+ kπ k Z) 5. Mz) et M" z) sont symétriques par rapport à l origine donc Ar g z)= Ar g z+ π+kπ k Z) 6. Soit Az A ) et Bz B ) alors ABz B z A ) et Ar g z B z A )= #» u, AB) #» B Mz) A Arg z + π v Arg z v AB Argz B z A ) O u - Arg z O u M"-z) M z) 7. Arguments et produit Propriétés 6.. Un argument du produit de deux nombres complexes est la somme de deux arguments de ces nombres, c est-à-dire : Ar g zz )= Ar g z+ar g z + kπ k Z). Un argument de l inverse d un nombre complexe est l opposé d un argument de ce nombre : Ar g )= Ar g z+ kπ k Z) z. Un argument du quotient de deux nombres complexes est la différence entre un argument du numérateur et un argument du dénominateur : Ar g z z )= Ar g z) Ar g z )+kπ k Z) 4. Formule de Moivre : Pour tout entier n : Ar g z n = n Ar g z+ kπ k Z) 8 Notation exponentielle des nombres complexes La fonction θ cosθ+ i sinθ vérifie la propriété caractéristique de l exponentielle. Définition 6. On note pour θ R : e iθ = cosθ+ i sinθ. Ph Depresle : Notes de cours Page 7 sur 4

8 Chapitre : Nombres complexes Remarques : e iπ e i e i π 4 e 0 = e i π e i π e i 0 = e i π = ; e iπ = ; e i π = i ; e i π = i Propriétés 7. On a les propriétés suivantes : e iθ = e iθ = e iθ θ= θ + kπk Z) e i θ+kπ) = e iθ e iθ = e iθ e iθ e iθ = e i θ+θ ) = eiθ e iθ eiθ e iθ = ei θ θ ) e iθ ) n = e i nθ,n Z Définition 7. Tout nombre complexe non nul s écrit z= r e iθ où r = z et θ est un argument de z. C est la forme exponentielle dez. Exemples :. z = +i, on a z = et Argz = π 4 + kπ ) z peut s écrire z= cos π 4 + i sin π = e i π 4 est la forme exponentielle de +i. 4. z = i, on a z = soit z= ) i et Argz = π + kπ z peut s écrire z= cos π ) π + i sin = e i π De façon analogue aux propriétés précédentes, on a : r e iθ r e iθ = r r e i θ+θ ) r e iθ r e = r θ θ ) iθ r ei r e iθ ) n = r n e i nθ, n Z Ph Depresle : Notes de cours Page 8 sur 4

9 Chapitre : Nombres complexes 9 QCM. Démontrer que pour tout nombre complexe z : z+ z = Rez) et Rez) z.. Démontrer que pour tous les nombres complexes z et z : Solution z + z = z + z + z z + z z. En déduire l inégalité triangulaire : z + z z + z. Écrivons z sous forme algébrique : z= x+ i y, avec x et y réels. z+ z = x+ i y)+x i y)=x = Rez). x x + y, donc x x + y, ce qui équivaut à : Rez) z. z + z = z + z )z + z )=z + z )z + z )= z z + z z + z z + z z z + z = z + z + z z + z z. z + z = z + z + Rez z ) d après le.) z + z z + z + z z d après le.) z + z z + z + z z z + z z + z ) On a démontré que z + z z + z. Ph Depresle : Notes de cours Page 9 sur 4

10 Chapitre : Nombres complexes 0 EXERCICES : Les exercices de base Exercice Résoudre dans C l équation E) : z= 6 z z. Exercice Quel est l ensemble de points M d affixe z = x + yi du plan complexe vérifiant z = z+ i? Exercice On considère, dans l ensemble des nombres complexes, l équation suivante : E) z )z + 4z+ 8)= 0.. Donner les solutions de E) sous forme algébrique.. Le plan complexe est muni d un repère orthonormal direct. Placer dans le plan les images des solutions de E). Montrer qu on obtient un triangle isocèle.. Calculer l aire de ce triangle. Exercice 4 Dans un repère orthonormé direct O; #» u, #» v ), on considère le point A d affixe z A = et le point B d affixe z B = + i.. Vérifier que z 4 + z + =z + ) z.. En déduire les solutions de l équation z 4 + z + =0. Donner pour chacune son module et un argument.. Déterminer les affixes des points C, D, E, F tels que : z F = z B z C = z F z D = z A z E = z B. Placer ces points. 4. Démontrer que ces points appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 5. Quelle est la nature du triangle C E A? En déduire une mesure de C # A,» C # E).» Exercice 5 On considère la suite z n ) à termes complexes définie par z 0 = +i et, pour tout entier naturel n, par z n+ = z n+ z n. Pour tout entier naturel n, on pose : z n = a n + ib n, où a n est la partie réelle de z n et b n est la partie imaginaire de z n. Le but de cet exercice est d étudier la convergence des suites a n ) et b n ).. Pour tout entier naturel n, exprimer z n+ en fonction de a n et b n. En déduire l expression de a n+ en fonction de a n et b n, et l expression de b n+ en fonction de a n et b n.. Quelle est la nature de la suite b n )? En déduire l expression de b n en fonction de n, et déterminer la limite de b n ). Ph Depresle : Notes de cours Page 0 sur 4

11 Chapitre : Nombres complexes. a) On rappelle que pour tous nombres complexes z et z : z+ z z + z Montrer que pour tout entier naturel n, inégalité triangulaire). z n+ z n. b) Pour tout entier naturel n, on pose u n = z n. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, ) n u n. En déduire que la suite u n ) converge vers une limite que l on déterminera. c) Montrer que, pour tout entier naturel n, a n u n. En déduire que la suite a n ) converge vers une limite que l on déterminera. Exercice 6 Le plan complexe est muni d un repère orthonormé O, #» u #» v ). ) n Pour tout entier naturel n, on note A n le point d affixe z n = e í nπ 6.. Représenter les points A 0, A,..., A 5.. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles A n est un point de l axe des ordonnées. ). Démontrer que pour tout entier n, z n+ = i z n. 4. Vérifier que la suite définie par u n = A n A n+ est géométrique. 5. Calculer la longueur de la ligne brisée l n = A 0 A + A A + + A n A n+. Quelle est la limite de l n? Ph Depresle : Notes de cours Page sur 4

12 Chapitre : Nombres complexes EXERCICES : Les exercices de base corrigés) Exercice : Pour z E) équivaut à z z)= 6 z donc à z 4z+ 6=0. Le discriminant de cette équation est =6 4= 8= i ). E) admet deux solutions complexes non réelles : z = 4+ i = + i et z = z = i. Exercice : z = z+ i équivaut à x+ i y = x+ i y+ i. Ceci équivaut à x ) + y = x + y+ ) donc à x x+ + y = x + y + y+. L ensemble cherché est la droite d équation y = x. Remarque : Si on appelle A le point d affixe et B le point d affixe i, z = z+ i signifie que le point M est équidistant de A et B. L ensemble cherché est donc la médiatrice du segment [AB]. C est bien une droite. Exercice :. On cherche les solutions de E ) z + 4z+ 8=0. =6 = 6=4i ). E ) a deux solutions : z = 4+4i = +i et z = z = i. Or E) peut s écrire z =0 ou z + 4z+ 8=0, car un produit de nombres complexes est nul si et seulement si l un au moins de ces nombres est nul. Les solutions de E) sont donc +i, i,.. Soient M, M et M les points d affixes z = +i, z = i et z =. M H #» v O #» u M z et z sont des complexes conjugués, donc leurs images M et M sont symétriques par rapport à l axe des abscisses. Comme M appartient à cet axe, le triangle M M M est isocèle en M. M. Soit H le pied de la hauteur issue de M : c est le milieu de [M M ]. L affixe de H est z + z )=. Or M M = z z = 4 =4 et H M = ) = 4 L aire du triangle M M M est M M H M )=8. Exercice 4 :. z + ) z = z 4 + z + z = z 4 + z +.. z 4 + z + =z + ) z = z + z)z + + z)= z z+ )z + z+ ). Donc z 4 + z + = z + ) z = 0 z z+ )= 0 ou z + z+ )=0 Pour les deux équations le discriminant est : = 4= =i ) Ph Depresle : Notes de cours Page sur 4

13 Chapitre : Nombres complexes z z+ =0 z= +i = z B ou z= i = z B = z F. z + z+ =0 z= +i = z F = z C ou z= i = z B = z E z A =, z B = e i π, z C = e i π. z D = =e iπ, z E = e i π, z F = e i π Les solutions de l équation z 4 + z + = 0 sont z B, z C, z E, z F. C B D A E F 4. Les nombres complexes z A, z B, z C, z D, z E, z F sont de module. Ils appartiennent au cercle de centre O et de rayon. 5. C E = z E z C = i =. AE = z E z A = i = =. AC = z C z A = i = =. C E = AC = AE, le triangle C E A est équilatéral. On en déduit qu une mesure de #» C A, #» C E) est π. Exercice 5 :. Pour tout entier naturel n, z n+ = ) a n + i b n + an+ bn = ) a n + an+ bn+ i b n. On en déduit que a n+ = a n+ an+ bn) et b n+ = b n. ) n =. La suite b n ) est géométrique. Pour tout entier naturel n, b n = b 0 n. Or 0< <, donc lim b n = 0. n +. a) Pour tout entier naturel n, z n+ = z n+ z n z n + z n )= z n. Donc pour tout entier naturel n, z n+ z n. ) n b) Soit P n : "u n " Ph Depresle : Notes de cours Page sur 4

14 Chapitre : Nombres complexes u 0 = +i = + =, donc P 0 est vraie. On suppose que pour un entier n la proposition P n est vraie. Sous cette hypothèse, u n+ = z n+ z n n ) ) n+ u n+ et Pn+ est vraie. Par récurrence on en déduit que la proposition ) P n est vraie pour tout entier naturel n. n Posons pour tout entier n, v n = 0 et w n =. On a vn u n w n. Comme 0< <, la suite géométrique w n) tend vers 0. La suite u n ) est comprise entre deux suites qui tendent vers 0. On en déduit qu elle converge et que sa limite est 0. Théorème de l encadrement). c) Pour tout entier naturel n, 0 a n = an an+ bn = u n. La suite a n ) est comprise entre deux suites qui tendent vers 0. On utilise encore le théorème d encadrement : la suite u n ) converge et sa limite est 0. Ceci équivaut à : la suite a n ) tend vers 0. Exercice 6 :. A A A 4 A A 5 O. L argument de z n étant nπ 6, A n est un point de l axe des ordonnées si et seulement nπ 6 = π +kπ, où k Z, ce qui équivaut à n= +6k. ) n+ ) n ) ). z n+ = e í n+)π 6 = e í nπ 6 e í π 6 = e í π 6 z n ) ) ) Or e í π 6 = i, donc z n+ = i z n. 4. Pour tout entier n, u n = A n A n+ = z n+ z n ) u n = i z n z n = i z n = z n = La suite u n ) est bien géométrique. ) n+ ) n+ 5. l n = A 0 A + A A + + A n A n+ = =. Comme 0< <, lim l n = n + = + )+ = +. A 0 ) n Ph Depresle : Notes de cours Page 4 sur 4

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