Analyse complexe. Exercice 1. Montrer que la fonction cosinus complexe cos : C C, n est pas bornée.

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1 Université Chouaib Doukkali Faculté des Sciences Département de Mathématiques El Jadida A. Lesfari Analyse complexe Exercice. Montrer que la fonction cosinus complexe cos : C C, n est pas bornée. z Exercice 2. Montrer que lim n existe pas. z z Exercice 3. a) Montrer que La fonction f (z) = u(x, y) + iv(x, y) est holomorphe dans Ω si et seulement si u et v sont différentiables dans Ω et satisfont aux conditions de Cauchy-Riemann: b) En déduire que u x = v y, u y = v x. f (z) = u x + i v x = u x i u y = v y i u y = v y + i v x. Exercice 4. Montrer que les équations de Cauchy-Riemann sont équivalentes à l équation: f z =. Exercice 5. Soit f C dans Ω, à valeurs complexes. Montrer que la fonction f est holomorphe si et seulement si la forme différentielle ω = fdz est fermée dans Ω. Exercice 6. Soit f(z) = u(x, y) + iv(x, y), une fonction complexe d une variable complexe z = x + iy. a) Montrer que si f(z) est holomorphe dans un domaine Ω, on peut l y exprimer au moyen de z seul. b) Comment trouver formellement l expression de u(x, y) + iv(x, y) au moyen de z seul? c) On suppose que u et v soient différentiables. Montrer que si la fonction f(z) s exprime au moyen de z seul, alors elle est holomorphe. d) Supposons que la fonction f soit holomorphe et que f (z). Posons g(z) = P (x, y) + iq(x, y). Montrer que g est holomorphe si et seulement si df dg =.

2 A. Lesfari 2 Exercice 7. Montrer que la règle de l Hospital reste d application dans le cas complexe, à savoir, si f(z ) = g(z ) = alors: f(z) lim z z g(z) = f (z ) g (z ), si g (z ) est nul et si f et g sont dérivables en z. Exercice 8. Soit f : C C, une fonction holomorphe. On pose z = x+iy et f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Montrer que f est constante s il existe des nombres réels a, b, c non tous nuls et tels que: au + bv = c. Exercice 9. Montrer que la fonction f(z) = Re(z), n est pas holomorphe. Exercice. Calculer z2 dz où est le segment de droite reliant le point z = i au point z = 2 + i, orienté de z à z. Exercice. Appliquer la formule de majoration au cas de l intégrale où est un arc de cercle de centre, de rayon R et d angle au centre θ. Exercice 2. Soient : [a, b] C un chemin fermé et le complémentaire de l image de, c est-à-dire = I c où I = {z : t [a, b], z = (t)}. Montrer que pour tout z, on a 2πi dζ ζ z = ind (z), est un entier dépendant du point z et s appelle indice de par rapport à z. Montrer qu il est égal au nombre de tours que fait autour de z. Montrer que la fonction z ind (z) est constante sur toute partie connexe de et s annule sur la composante connexe non bornée de. Exercice 3. a) Soit f (z) une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe Ω C et soit un chemin fermé contenu dans Ω. Montrer que f (z) dz =. b) Soit f (z) une fonction holomorphe dans un domaine simplement connexe Ω C, sauf en z, z 2,..., z k et soit un chemin fermé contenu dans Ω entourant tous ces points. Si j ( j k) est un chemin fermé contenu dans le domaine intérieur à entourant z j et n entourant pas les autres z l (l j), montrer que k f (z) dz = f (z) dz. j j= c) Que peut-on dire si le domaine Ω n est pas simplement connexe et si est homotope à zéro. Même question si a des points doubles. dz z 2

3 A. Lesfari 3 Exercice 4. Montrer que si f (z) est holomorphe dans Ω, alors f (z) est continue dans Ω. Exercice 5. a) Soit un chemin d extrémités a et b, et contenu dans Ω. Montrer que l intégrale f (z) dz ne dépend que des extrémités a et b de. On pose b f(z)dz = f(z)dz. b) Soit f(z) une fonction holomorphe dans Ω. D après a), on peut définir dans Ω une fonction uniforme F (z) = z a z f(ζ)dζ, z Ω. Cette fonction F (z) est définie à une constante près, dépendant du choix du point z. Montrer que F (z) est holomorphe dans Ω et on a F (z) = f(z), sur Ω. Exercice 6. Soit f C dans Ω, à valeurs complexes. Montrer que la fonction f admet une primitive dans Ω si et seulement si la forme différentielle ω = fdz est exacte dans Ω. Exercice 7. Soit f (z) une fonction holomorphe dans un domaine Ω. Soit un chemin fermé contenu dans Ω et soit le domaine simplement connexe ayant pour frontière. Montrer que a) Pour tout z, on a la formule intégrale de Cauchy : f(z) = 2πi f(ζ) ζ z dζ. ( étant parcouru dans le sens positif, càd. anti-horlogique). b) La fonction f est indéfiniment dérivable dans et on a, pour tout z, f (n) (z) = n! f(ζ) n+ dζ. 2πi (ζ z) Exercice 8. a) Calculer l intégrale + z dz, lorsque est le périmètre z du carré de centre, dont un sommet est le point (, ) du plan complexe. b) Même question lorsque est la circonférence du plan complexe d équation: x 2 + y 2 4x + 3 =. c) Calculer l intégrale cos 2πz dz, où est le cercle z = 2. (z ) 7 Exercice 9. Montrer que si f(z) est continue dans un domaine simplement connexe Ω et si f(z)dz =, pour tout chemin fermé de Ω, alors f(z) est holomorphe dans Ω.

4 A. Lesfari 4 Exercice 2. Soit Ω un ouvert de C et f : Ω C une fonction complexe d une variable complexe z. Alors la fonction f est analytique dans Ω si et seulement si elle est holomorphe dans Ω. Exercice 2. Soit D = {z C : z a r}, le disque de centre a et de rayon r et soit f une fonction holomorphe surd. Supposons qu il existe une constante M telle que: f(z) M, z C = D. Montrer que f (n) (a) n!m, n N. rn Exercice 22. Montrer que si f(z) est une fonction holomorphe et bornée sur tout C, alors f(z) est une constante. En déduire que C est algébriquement clos. Autrement dit, toute équation algébrique a z n + a z n + + a n z + a n =, a, a au moins une racine dans C. Exercice 23. Soit f une fonction holomorphe dans un domaine Ω C et soit z Ω. Montrer que les conditions suivantes sont équivalentes: i) f (k) (z ), k N ii) f dans un voisinage V(z ) de z. iii) f dans Ω. Exercice 24. Soient f et g deux fonctions holomorphes dans un domaine Ω C. Supposons que f = g dans un voisinage d un point de Ω. Montrer que f = g sur tout Ω. Exercice 25. a) Soit Ω un domaine de C et f : Ω C une fonction holomorphe non identiquement nulle. Montrer que les zéros de f sont isolés. Autrement dit, l ensemble des zéros de f dans Ω est discret. b)en déduire que l anneau des fonctions holomorphes sur Ω est intègre. Exercice 26. Soit f : Ω C une fonction continue dans un ouvert Ω de C. On dit que f possède, dans Ω, la propriété de la moyenne si pour tout disque fermé D = {z C : z a r} Ω, la valeur de f au point a est égale à la moyenne de f sur le cercle C = D c est-à-dire f(a) = 2π 2π f ( a + re iθ) dθ. a) Montrer que toute fonction holomorphe dans un ouvert Ω C, possède la propriété de la moyenne. b) Montrer que sous les conditions du théorème précédent, on a f(a) max f(a + re iθ ). θ 2π

5 A. Lesfari 5 Exercice 27. Montrer que si le module d une fonction holomorphe sur un domaine Ω C, atteint son maximum en un point de Ω, alors cette fonction est constante. Exercice 28. Soit f (z) une fonction holomorphe dans le disque ouvert D (, ) = {z C : z < } telle que: f () =, f(z), z D (, ). a) Montrer que f(z) z, z D (, ). b) Montrer que si en outre, il existe un z pour lequel f(z ) = z, alors on a identiquement f (z) = e iθ z, θ R. Exercice 29. a) Montrer que toute fonction holomorphe est harmonique. b) En déduire que la partie réelle et la partie imaginaire d une fonction holomorphe sont harmoniques. c) Montrer que la fonction Log z est harmonique dans C\ {}. Exercice 3. Soit u : Ω R une fonction harmonique dans un ouvert simplement connexe Ω de C. Montrer qu on peut trouver une fonction harmonique v : Ω R telle que: u + iv soit holomorphe sur Ω. Exercice 3. Soit u une fonction harmonique dans le disque ouvert D (, R), et continue dans le disque fermé D (, R). Montrer que u (z) = 2π 2π u ( R e iθ) R 2 z 2 R e iθ 2 dθ, z D (, R), z ou, ce qui revient au même, en posant z = ρe iα, ρ < R, u ( ρe iα) = 2π u ( R e iθ) (R 2 ρ 2 ) 2π R 2 + ρ 2 2Rρ cos (θ α) dθ. Exercice 32. Soit D (, ) un disque ouvert de centre et de rayon R et soit u (θ) une fonction 2π-périodique sur le cercle C = D (, R). Montrer qu il existe une fonction f (z) continue sur le disque fermé D (, R), harmonique sur le disque ouvert D (, R) et satisfaisant à f ( R e iθ) = u (θ). Cette fonction est unique et est donnée par f (z) = 2π u (θ) 2π R 2 z 2 R e iθ 2 dθ, z < R. z Exercice 33. Montrer que si f(z) est holomorphe dans un domaine Ω et si f (z) dans Ω, alors f est conforme dans Ω. Exercice 34. Soit f (z) une fonction holomorphe sur un ouvert connexe Ω de C. a) Montrer que l image de Ω par f est ouverte et connexe.

6 A. Lesfari 6 b) Montrer que si en outre f est injective, alors f est holomorphe dans f (Ω) et f (z) dans Ω. c) En déduire que si f est une transformation conforme de Ω dans, alors f est une transformation conforme de dans Ω. Exercice 35. Montrer que l image d un ouvert simplement connexe par une transformation conforme est simplement connexe. Exercice 36. Montrer que tout ouvert simplement connexe Ω de C tel que: Ω C est isomorphe au disque ouvert. Exercice 37. Soit f : C une fonction holomorphe dans la couronne ouverte = {z C : R < z z < R 2 }, a) Montrer que f peut être représentée dans de façon unique par une série de la forme f (z) = a k (z z ) k, avec a k = 2πi k= f (ζ) dζ, k Z, k+ (ζ z ) où est un chemin fermé entourant z et contenu dans la couronne. b) Montrer que cette série converge absolument vers f dans et converge uniformément dans toute couronne fermée contenue dans. Exercice 38. Montrer que si z est un pôle d ordre n de la fonction f(z), alors celle-ci s écrit sous la forme f(z) = g(z), avec g(z) holomorphe au (z z ) n voisinage de z et telle que g(z ). Exercice 39. Déterminons les premiers termes du développement de Laurent de sin z, au voisinage de z = dans le disque D de centre, privé de son centre, et de rayon π. Exercice 4. Même question pour (z ) 2 3, au voisinage de z =, (z 4) dans le disque ouvert D de centre, privé de son centre, et de rayon 3. Exercice 4. Trouver et qualifier les points singuliers de la fonction f(z) = z (z ) 2 (z + i). Exercice 42. Montrer que z = est un point singulier essentiel de la fonction ez.

7 A. Lesfari 7 Exercice 43. Dévelpper en série de Laurent la fonction e z + ez, autour de l origine du plan complexe. 2 Exercice 44. Dévelpper en série de Laurent la fonction f(z) = (z ) (z + ), autour de z =, dans les couronnes < z < 2 et 2 < z. Exercice 45. a) Montrer que lorsque z est un pôle d ordre m de f(z), alors Rés z f(z) = (m )! lim z z d m dz m [(z z ) m f(z)]. b) Montrer que lorsque z est un pôle simple de f(z) = P (z) Q(z), avec P (z ) et Q(z ) =, alors Rés z f(z) = P (z ) Q (z ) si Q (z ). Exercice 46. Calculer les résidus de la fonction f(z) = tous les pôles à distance finie. Exercice 47. Calculer le résidu de la fonction f(z) = z =. z (z ) (z 2) 2, en cos z. chz, au point z 3 sin z. shz Exercice 48. Calculer le résidu de la fonction ez au point z =. Exercice 49. Soit Ω C un domaine et f : Ω\ {z, z 2,..., z k } C fonction holomorphe. Montrer que f(z)dz = 2πi k j= Rés z j f(z), une où est un chemin fermé contenu dans Ω à l intérieur duquel sont contenus tous les z j. Exercice 5. Calculer l intégrale z (z ) (z 2) 2 dz, où est le cercle de centre et de rayon respectivement : 2, 3 et 3. 2

8 A. Lesfari 8 Exercice 5. Soit f(z) une fonction méromorphe dans un domaine simplement connexe Ω. Soit un chemin fermé contenu dans Ω entourant tous les pôles et zéros de f(z) dans Ω. Montrer que N P = 2πi f(z) f (z) dz = ind fo (), où N est le nombre de zéros et P le nombre de pôles dans Ω. (Tous ces points sont comptés avec leur ordre de multiplicité). Exercice 52. a) Soient f(z) et g(z) deux fonctions méromorphes dans un domaine simplement connexe Ω et sur sa frontière. Supposons qu en tout point de, on ait f(z) > g(z). Montrer que f(z) et f(z) + g(z) ont le même nombre de zéros dans Ω. b) En déduire que tout polynôme de degré n possède n zéros. c) Déterminer le nombre de zéros de la fonction z 8 4z 5 + z 2 dans le disque {z C : z < } Exercice 53. Soit f(z) une fonction holomorphe dans le disque ouvert {z C : z < } satisfaisant à f() =, f (z) M, en tout point de ce disque. a) Etablir successivement les inégalités: f (z) f () 2M z, f(z) zf () M z 2. b) On suppose désormais que : f () =, M >. Déterminer un nombre 2 réel ϱ > tel que les relations: z =, et Z < ϱ, entraînent 2M f(z) z < z Z. c) En déduire que pour Z fixé et Z < ϱ l équation f(z) Z =, a le même nombre de racines que l équation z Z =, dans le disque z < 2M. d) Déterminer un nombre r > tel que la restriction de la fonction f au disque {z C : z < r} soit univalente. Exercice 54. Dans les exercices qui suivent (resp. 2 ) désignera le demicercle de centre et de rayon r (resp.ε). a) Montrer que si f(z) M r k, pour z = reiθ, où k > et M sont des constantes, alors lim r f(z)dz =.

9 A. Lesfari 9 b) Montrer que si f(z) M r k, pour z = reiθ, où k > et M sont des constantes, alors lim f(z)e imz dz =. r c) Montrer que si z = est un pôle simple de f(z), alors lim f(z)dz = πi Rés f(z). ε 2 Exercice 55. Calculer les intégrales suivantes par la méthode des résidus: a) 2π cos 3θ 5 4 cos θ dθ. b) 2π dx, a >, b >. (a + b cos 2 x) 2 c) 2π ( + 2 cos x) n cos nx 2a cos x a dx, < a <. 3 d) dx + x. 4 e) x sin x x 2 + dx, f) x cos x x 2 2x + dx, g) x sin x x 2 2x + dx. h) sin x x dx. i) sin 4 mx dx, m >. x 2 Exercice 56. On considère la fonction Soit f(z) = e iz z(z 2 + ), z C. (ε, r) = {z = x + iy C : ε < z < r, y > }, ε et r étant des constantes strictement positives. ) Déterminer les pôles et résidus correspondants de la fonction f(z). 2 ) En déduire la valeur de l intégrale + f(z)dz, + désignant la frontière de orientée dans le sens positif. 3 ) Calculer l intégrale réelle sin x x(x 2 + ).

10 A. Lesfari Exercice 57. Calculer les intégrales suivantes : x α a) dx, < α <. ( + x)x b) log x + x dx. 2 c) 4 x3 ( x)dx. Exercice 58. En utilisant la méthode des résidus, déterminer la somme des séries suivantes: a) k 2 + a, a. 2 k= ( ) k b) (k + a) 2, a Z. k= Exercice 59. Déterminer la fonction réelle causale f(t) dont la transformée de Laplace est F (z) = f(t)e zt dt = z, (Rez > ). Indication: utiliser la formule de Bromwich-Wagner: f(t) = 2πi σ+i σ i F (z)e zt dz, (t, σ > ). Exercice 6. Soit Ω un ouvert de C. ) Soit (f n ) une suite de fonctions holomorphes sur Ω qui converge uniformément sur tout compact de Ω vers une fonction f. Montrer que : a) f est holomorphe dans Ω. ( b) la suite des dérivées f (k) n ) convege uniformément sur tout compact de Ω vers f (k), k N. 2) Soit f n une série de fonctions holomorphes sur Ω. On suppose que cette série converge uniformément (resp. normalement) sur tout compact de Ω. Montrer que : a) la somme de cette série est holomorphe sur Ω. b) la série est dérivable terme à terme sur Ω. En outre, la série f n (k) converge uniformément (resp. normalement) sur tout compact de Ω. Exercice 6. Soit f n et f des fonctions holomorphes sur Ω C. Montrer qu il est équivalent de dire i) la suite (f n ) converge uniformément vers f sur tout compact de Ω. ii) lim n d n (f n, f) =.

11 A. Lesfari Exercice 62. Soit Ω un ouvert de C et soit O (Ω) l ensemble des fonctions holomorphes sur Ω. Montrer qu il n existe aucune norme dont la topologie est celle de O (Ω). Exercice 63. Soit f n une série de fonctions méromorphes sur un ouvert Ω de C. On suppose que cette série converge uniformément (resp. normalement) sur tout compact de Ω. Montrer que : ) la somme f de cette série est méromorphe sur Ω. 2) la série f n (k) converge uniformément (resp. normalement) sur tout compact de Ω et sa somme est f (k). Exercice 64. On considère la série n= (z n) 2. ) Montrer que cette série converge normalement sur tout compact de C. 2) On pose f (z) = (z n) 2. n= a) Montrer que f (z) est périodique de période. b) Montrer que les pôles de f (z) sont les entiers n Z, sont doubles et de résidu nul. c) Soit z = x + iy. Montrer que lim f (z) =, y uniformément par rapport à x. 3) Montrer que ( π ) 2 (z n) 2 =. sin πz n= Exercice 65. Soit f une fonction méromorphe de pôles: z, z 2, z 3,... et soit () g n (z) = p n k= a (n) k (z z n ) k, la partie principale du développement en série de Laurent de f au voisinaage de z n. Montrer que pour toute suite de points z n C tels que: lim n z n = et toute suite de fonctions g n de la forme (), il existe une fonction méromorphe f ayant pour seuls pôles les points z n et pour tout n, la partie principale g n.

12 A. Lesfari 2 2) Montrer que toute fonction méromorphe f peut-être développée en une série (2) f = h + (g n P n ), n= uniformément convergente sur tout compact, où h est une fonction entière, g n les parties principales de f et P n des polynômes. Soit C n = {z C : z = r n }, r < r 2 <..., lim n r n = une famille de cercles et soit f une fonction méromorphe. On suppose que sur C n, la fonction f croît moins vite que z n (c-à-d. il existe une constante A telle que: z C n, n N, on ait f (z) A z m ). Montrer qu on peut prendre dans le développement (2), P n et h des polynômes de degré m. Exercice 66. Soit (f n ) une suite de fonctions continues sur Ω C. Soit A une partie de Ω et posons f n = +u n. Montrer que le produit infini f n (z) converge normalement sur A si et seulement si la série u n converge normalement sur A. n= Exercice 67. Soit (f n ) une suite de fonctions holomorphes sur Ω C. On suppose que le produit infini f n converge normalement sur tout compact n= de Ω. Montrer que : ) f = f n est holomorphe sur Ω. 2) n= Z (f) = n Z (f n ), m Z (f) = n n= m Z (f n ), où Z (f) (resp. Z (f n )) désigne l ensemble des zéros de f (resp. f n ) et m Z (f) (resp.m Z (fn)) est l ordre de multiplicité du zéro de f (resp. f n ). 3) la série de fonctions méromorphes n= f n f n, converge normalement sur tout compact de Ω et sa somme est la dérivée logarithmique f f.

13 A. Lesfari 3 Exercice 68. Démontrer les formules : z + 2z = π cot g πz, z 2 n2 n= sin πz = πz ( z2 n= Exercice 69. Soit k un nombre complexe non nul de module k >. On se propose de déterminer les fonctions f méromorphes dans C = C\ {}, non identiquement nulles, qui possèdent la propriété suivante : il existe λ f C tel que pour tout z C on ait f (kz) = λ f f (z). ) Montrer que l ensemble E de ces fonctions est un groupe multiplicatif. 2) Si f est holomorphe et appartient à E, montrer que f est de la forme f (z) = αz n avec α C, n Z. 3) Montrer qu il existe des réels r tels que f n ait ni pôle ni zéro sur le bord de la couronne r z k r. Montrer que f a le même nombre de zéros que de pôles dans une telle couronne Ω r. 4) Montrer que les produits infinis p (z) = n= ( z k n ), q (z) = n 2 n= ). ( ) zk n convergent normalement sur tout compact de C. Montrer que ϕ (z) = p (z) q (z) est une fonction holomorphe dans C ayant pour zéros l ensemble = {k n } (n Z). 5) Soit f E et soit r R défini comme au 3). Dans Ω r, soient a,..., a p les zéros de f, b,..., b p ses pôles (distincts ou non). On pose ψ (z) = ϕ (z/a )...ϕ (z/a p ) ϕ (z/b )...ϕ (z/b p ). Montrer que l on a ψ E et qu il existe α C, n Z tels que f (z) = αz n ψ (z). 6) Conclusion.- Quelle est l expression des fonctions de E? Exercice 7. Soit f une fonction holomorphe sur C sauf en un nombre fini de points a, a 2,..., a n. Montrer que n k= Resf + Res f =. a k

14 A. Lesfari 4 Exercice 7. ) Soit τ un nombre complexe tel que : Im (τ) > et soit q = e πiτ. Montrer que la série + n= ( ) n q n2 e 2πniz, converge uniformément sur tout compact de C. 2) On désigne par ϑ la somme de cette série. Montrer que ϑ (z + ) = ϑ (z), ϑ (z + τ) = q e 2πiz ϑ (z). 3) Montrer que ϑ n est pas identiquement nulle. On pourra montrer par exemple que ϑ (x) 2 dx = n= q n2. 4) Montrer que les nombres m + ( n + 2) τ sont des zéros de ϑ. 5) En évaluant l intégrale de la fonction ϑ /ϑ sur le contour d un parallélogramme de périodes bien choisi, montrer que ϑ n a pas d autre zéro. 6) Montrer que le produit infini (( q 2n e 2πiu) ( q 2n e 2πiu)), n= définit une fonction f (u) holomorphe dans le plan de la variable complexe u. 7) Quels sont les zéros de f? 8) Montrer que f/ϑ est doublement périodique et entière. 9) En déduire que f (u) = c.ϑ (u), où c est une constante. Exercice 72. La fonction gamma d Euler Γ (z), se définit par l intégrale Γ (z) = e t t z dt. Montrer que : ) La fonction Γ (z) est définie et holomorphe dans le demi-plan Res >. 2) La fonction Γ (z) vérifie la relation fonctionnelle suivante : (3) Γ (z + ) = zγ (z), Res >

15 A. Lesfari 5 ce qui imlique la relation de récurrence : Γ (n + ) = n!, n N. On peut prolonger la fonction Γ (z) au moyen de la formule (3), en une fonction holomorphe sur C\ { N}. 4) Graphe de Γ (z) pour z = x R. 5) Etablir la formule de Weierstrass : Γ (z + ) = ecz k= ( + z ) z e k. k 6) Posons z (z + ) (z + n) g n (z) = n z. n! Montrer que lorsque n, alors g n tend vers g (z) = Γ(z), uniformément sur tout compact de C. 7) Etablir la formule des compléments : Γ (z) Γ ( z) = π, z C\Z. sin πz Exercice 73. Montrer que l espace projectif complexe est une variété analytique. P n (C) = {[Z] Cn+ }, [Z] [λz] Exercice 74. Soit T n un tore complexe de dimension n c est-à-dire le produit direct de n cercles. Autrement dit, T n est le quotient C n /L de C n par un sous-groupe engendré par une base de C n. Montrer que T n est muni d une structure de variété analytique. Exercice 75. Soit G n,k, k n, une Grassmannienne complexe c est-àdire l ensemble des plans de dimension k de l espace C n passant par. G n,k peut être considéré comme espace des sphères de centre et de dimension k contenues dans la sphère S n, ces sphères correspondant biunivoquement aux sous-espaces vectoriels de dimension k de C n. Montrer que G n,k est une variété complexe analytique compacte et connexe de dimension (n k) k. Exercice 76. Soit Ω un ouvert de C n et soit O (Ω) l ensemble des fonctions holomorphes sur Ω. ) Montrer que l ensemble O (Ω) est une C-algèbre pour l addition, la multiplication des fonctions et la multiplication par les constantes complexes.

16 A. Lesfari 6 2) Soit f O (Ω). Montrer que si f(z), z Ω, alors f O (Ω). 3) Montrer que si Ω est connexe et si f est à valeurs réelles ou si f est constante, alors f est constante. Exercice 77. Soit D(a, r) = {(z,..., z n ) C n : z j a j < r j, j =,..., n}, un polydisque (de C n ) de centre a = (a,..., a n ) C n et de rayon r = (r,..., r n ) ( R +) n et soit D(a, r) = {(z,..., z n ) C n : z j a j = r j, j =,..., n}, le bord distingué de D(a, r). On désigne par O (D) C ( D ) l ensemble des fonctions holomorphes sur D et continues sur D. ) Soit f O (D) C ( D ). Montrer que (4) z D, f (z) = c k (z a) k, k = où k = (k,..., k n ) N n, k = k + + k n et c k = f (ζ) (2πi) n D (ζ a) k+ dζ. 2) En déduire que toute fonction f O (D) est analytique. 3) Soit f O (D). Montrer que f C (D), que ses dérivées sont holomorphes sur D et qu en outre, les coefficients c k de la série (4) sont donnés par c k = k f k! z k. z=a 4) Soit f O (D) C ( D ) et supposons que: f M sur D, M étant une constante. Montrer que où r k = r k... r kn n. c k M r k, Exercice 78. Soit X la surface de Riemann associée à l équation : w 2 = z 4, ) Quelles sont les points de branchements de X? Justifier la réponse et analyser le cas z =. 2) Montrer que X est un tore à 3 trous.

17 A. Lesfari 7 Exercice 79. Soit ( ω) et ω 2 deux nombres complexes différents de. On ω suppose que Im 2 ω > et on désigne par Ω le réseau ou sous-groupe discret de C engendré par ω et ω 2 : Ω = Zω + Zω 2 = { ω = mω + nω 2, (m, n) Z 2}. ) Montrer que toute fonction elliptique f (z) constante, possède des pôles. 2) Montrer que toute fonction elliptique a un nombre fini de pôles et de zéros dans Ω. 3) On désigne par a,..., a l : zéros de f de multiplicité respectivement n,..., n l. b,..., b m : pôles de f de multiplicité respectivement p,..., p m, et soit f une fonction elliptique ( constante) n ayant ni zéro, ni pôle sur Ω. Montrer que, dans Ω, on a m a) Resf =, b k k= l m b) n k = p k, c) k= k= l n k a k k= m p k b k = période, et interpréter ces résultats. k= 4) Montrer qu il existe deux fonctions elliptiques f (z) et g (z) quelconques de mêmes périodes ω et ω 2 une relation algébrique de la forme : P (f (z), g (z)) =, où P (Z, W ) est un polynôme en Z et W à coefficients constants. 5) En déduire que toute fonction elliptique f(z) satisfait à une équation différentielle de la forme P (f (z), f (z)) =, où P (Z, W ) est un polynôme en Z et W. Exercice 8. La fonction elliptique de Weierstrass est définie par (z) = z + { 2 (z ω) 2 }, ω 2 ω Ω\{} où Ω est le réseau défini dans l exercice précédent. ) Montrer que cette série converge normalement sur tout compact de C.

18 A. Lesfari 8 2) Montrer que : (z) est paire. (z) est doublement périodique. (z) est elliptique de périodes ω et ω 2. Les points ω Ω sont des pôles doubles de (z) dont le résidu est nul. 3) Montrer que la fonction (z) est solution dans Ω de l équation différentielle: où g 2 6 ( (z)) 2 = 4 ( (z)) 3 g 2 (z) g 3, ω Ω\{} ω, g ω Ω\{} 4) Montrer que (z) a trois zéros en: ω 2, ω 2 2, ω +ω 2 et que 2 ( ω + ω 2 5) Montrer que En déduire que ( ω ) 2 ( ω2 ) 2 (u) + (v) + (u + v) = 4 (2z) = 4 2 ). ω 6. ( ) (u) 2 (v). (u) (v) ( ) 2 (z) 2 (z) (formule de duplication). (z) 6) Montrer que toute fonction elliptique f peut s écrire sous la forme f = F ( (z)) + (z) G ( (z)). 7) On suppose que: g g 2 3 où g 2 et g 3 sont définies dans c). Déterminer l intégrale elliptique dont l inverse est la fonction (z). 8) Montrer que l application C/Ω P 2 (C), z [ : (z) : (z)], z, [ : : ]. est un isomorphisme entre le tore complexe C/Ω et la courbe elliptique E d équation y 2 = 4x 3 g 2 x g 3, où g 2 et g 3 sont définies dans 3).

19 A. Lesfari 9 Exercice 8. Considérons f : C C, z w : w 2 = z (z ) (z λ), avec λ, λ. Il est clair que f n est pas une fonction. Construire (en justifiant) un domaine pour lequel f soit une fonction uniforme. Exercice 82. Quelle est la surface de Riemann C associée à l équation P (w, z) = w 2 + Q (z) w + =, où Q (z) est un polynôme en z de degré n. Déterminer une base (ω,..., ω g ) de différentielles holomorphes sur la surface de Riemann C, g étant le genre de C. Exercice 83. Soient D et D deux domaines de P (C) = C { }. ) Montrer que C et le disque ouvert {z C : z < } ne sont pas isomorphes mais sont homéomorphes. 2) Montrer que les automorphismes de D forme un groupe. 3) Montrer que le groupe des automorphismes de C est Γ (C) = {z az + b, a }, et prouver que ce groupe est transitif; le sous-groupe d isotropie de est {z az, a }. 4) Considérons les transformations homographiques (5) z w = az + b cz + d, où (a, b, c, d C) et ad bc. a) Montrer que (5) peut-être considérée comme le produit de transformations telles que: translation, rotation, homothétie et inversion. b) Montrer que les transformations (5) forment un groupe G d automorphismes de P (C) qui est transitif et qu en outre 5) On considère le demi-plan Γ ( P (C) ) = G. P + = {z C : Imz = y > }, et le disque unité D (, ) = {z C : z < }.

20 A. Lesfari 2 Démontrer les assertions suivantes : a) On obtient un isomorphisme de P + sur D (, ) en posant w = z i z + i. b) On obtient un automorphisme de D (, ) en posant ( ) z w = e iθ z, θ R, z <. z z Que peut-on dire du groupe Γ (D (, ))? c) On obtient un automorphisme de P + en posant w = az + b, (a, b, c, d R), ad bc =. cz + d Que peut-on dire du groupe Γ (P + )? 6) Montrer que tout ouvert simplement connexe de C, distinct de C, est isomorphe au disque D (, ). Exercice 84. Soit le système d équations différentielles dans le domaine complexe w = f (z, w,..., w n ),. w n = f n (z, w,..., w n ). Chercher des conditions pour que le système ci-dessus possède une solution unique. Justifier votre analyse du problème. Exercice 85. Soit l équation différentielle d ordre n d n w dz n = f ( z, w, w,..., w (n )), où f est une fonction holomorphe (de n + variables) dans un voisinage d un point (z, a,..., a n ). On cherche une solution w (z) de cette équation satisfaisant aux conditions initiales w (z ) = a, w (z ) = a,... w (n ) (z ) = a n. Montrer que sous ces conditions, l équation précédente possède une solution unique.

21 A. Lesfari 2 Exercice 86. Soit l équation différentielle w (n) + p (z) w (n ) + + p n (z) w + p n (z) w =, où p (z),..., p n (z) sont des fonctions holomorphes dans un domaine D. Montrer que cette équation possède une solution unique holomorphe dans D. Exercice 87. Soit l équation différentielle de second ordre w + p (z) w + q (z) w =. Supposons que z = ξ est un point singulier fuchien et soit α, α 2 les racines de l équation aux indices : avec α (α ) + a α + b =, a = lim z ξ (z ξ) p (z), b = lim z ξ (z ξ) 2 q (z). a) Montrer que si α α 2 / Z, l équation différentielle précédente possède deux solutions linéairement indépendantes : w = (z ξ) α w 2 = (z ξ) α 2 c n (z ξ) n, c, n= c n (z ξ) n, c. n= b) Montrer que si α α 2 Z, l équation différentielle précédente possède deux solutions linéairement indépendantes : w = (z ξ) α c n (z ξ) n, c, n= w 2 = [A ln (z ξ) + ϕ (z)] w, avec Reα Reα 2, A désignant une constante et ϕ (z) une fonction pouvant admettre z = ξ pour pôle. Exercice 88. On considère l équation différentielle suivante 2z 2 w + zw ( + z 2) w =.

22 A. Lesfari 22 ) Quels sont les points singuliers de cette équation? Déterminer, parmi ceux-ci, ceux qui sont fuchsiens. 2) En vertu de l exercice précédent, l équation possède au voisinage de l origine deux solutions linéairement indépendantes de la forme w = z α c n z n, w 2 = z α 2 n= c nz n. Déterminer les valeurs de α, α 2. 3) Déterminer les suites {c n }, {c n} (en prenant c =, c = ). Exercice 89. Quels sont les points singuliers des équations différentielles w + n= z (z + 2) w + z 2 w =, w + z 4 w + z 2 w =. Déterminer, parmi ceux-ci, ceux qui sont fuchsiens. Exercice 9. Etudier en détail l équation hypergéométrique de Gauss où a, b, c sont des constantes. z ( z) w + [c ( + a + b) z] w abw =, Exercice 9. Même question pour l équation de Bessel où ν est une constante. z 2 w + zw + ( z 2 ν 2) w =,