Terminale S Divers,QCM, France points QCM, Asie 2009, 4 points

Transcription

1 Termnale S Nombres Complexes Exercces Dvers,QCM, France 00-5 ponts QCM, se 009, 4 ponts QCM, ntlles 009, 5 ponts 4 4 QCM, Polynése rempl ponts 5 QCM, N Calédone nov ponts QCM d après des sujets de concours GEIPI 6 7 QCM, La Réunon 009, 4 ponts 6 8 Vra-Faux, Centres étrangers 009, 4 ponts 7 9 Basque, ntlles ponts 7 0 Basque, ntlles ponts 8 Basque, N Calédone Basque, La Réunon nd degré et barycentre, ntlles nd degré, Polynése nd degré, Inde, Petts exos de base 7 Cours, C étrangers ponts 8 Basque, STL France, Jun ponts 9 Basque, m du Sud /008 0 Equaton, STL, France, Jun ponts 4 Equaton, STL, France, jun ponts 4 p/, STL, France, jun ponts 4 Equaton, STL, France, sept ponts 5 4 Rotatons, STL, France, sept ponts 5 5 Classque, La Réunon ponts 5 6 Système, STL, France, jun ponts 6 7 Smltude, STL, France, jun ponts 6 8 Transformaton? 6 9 Equaton 7 0 Cercles 7 Rotaton Carrés, rotatons et algnement 7 8 ROC+Equaton+Rotaton, Polynése 00, 5 pts 8 4 Système+parallélog ntlles 09/007, 5 pts 9 5 Barycentre, lgne de nveau 9 6 Barycentre + lgne de nveau, Polynése Lgne de nveau, Centres étrangers Lgne nveau+rotaton, Polynése ème degré, barycentre, lgne de nveau 40 ème degré, rotaton, Pondcherry 00 4 ème degré+rotaton, France ponts 4 Orthocentre, C étrangers ponts 4 Produt scalare 44 Forme algébrque & trgo de p/ - 45 Forme algébrque & trgo de p/ Forme algébrque & trgo de p/ p/ 4, France remplt ponts 4 48 Trgo, France 00, 5 pts 4 49 Equaton du second degré Equaton du second degré Médatrce Médatrce Sute géométrque 7 54 Sute arthmétco-géométrque, se pts 7 55 Sute de carrés, se ponts 8 Termnale S F Laroche 56 Inverson 8 57 Inverson, ntlles ponts 9 58 Inverson, m du Sud Inverson 4, se 06/ Homographe, m du Nord 00 5 ponts 6 Homographe, France 009, 5 ponts Homographe, Polynése sept ponts 6 Homographe+ROC, se ponts 64 Homographe 65 Homographe 66 Homographe, N Calédone Homographe 4, mérque du Sud Homographe 5, Centres étrangers Homog+constructon, France et La Réunon 09/ Homographe+cercles, France 00-5 ponts 7 Homographe, La Réunon ponts Carré 5 7 ROC+trangles, ntlles-guyane 5 ponts 6 74 Rotaton et sute, La Réunon sept 00, 5 pts 6 75 Rotaton, France, sept 00, 5 pts 6 76 Rotaton, se Rotatons, m du Nord Rotaton+Cercle, Pondcherry ROC + Smltude, Polynése 009, 5 ponts 9 80 Homothéte+rotaton, Polynése, nov 00, 5 pts 9 8 Rotaton et homothéte 40 8 Homothétes 40 8 Rotaton-translaton 4 84 Rotatons, Pars Vargnon, N Calédone ponts 4 86 ème degré+hyperbole, m Nord pts 4 87 Conjugué, Centres étrangers pts 88 ROC+homographe, La Réunon 00, 5 pts Transf + ROC, Pondcherry 007, 5 pts 4 90 Transf+médatrce, C étrangers pts 9 Foncton complexe, France 009, 5 ponts Transf non lnéare, Lban pts 45 9 Transformaton, ntlles Foncton carré, Lban 009, 5 ponts f()=²+, N Calédone 00-5 pts f()=², Polynése pts Napoléon, ntlles pts f()=² 4+6, Polynése Projecton orthogonale, m du Sud f(m)=mmb, ntlles Hyperbole+rotaton, Polynése 09/005-7 pts 5 0 Conque 5 0 Sprale 5 04 Courbe paramétrée+conque (prog 985) 5 05 Hyperbole et complexes 5 06 Bssectrce (recherche) 07 Brapport Trangles équlatéraux, m du Sud Somme de dstances, se 00, 5 ponts 55

2 0 Produt de dstances, C étrangers Logarthme complexe, EFREI Termnale S F Laroche

3 Dvers,QCM, France 00-5 ponts Le plan complexe est rapporte à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On consdère les ponts et Ω d affxes respectves : a= + + et ω = + On appelle r la rotaton de centre Ω et d angle et h l homothéte de centre Ω et de rapport Placer sur une fgure les ponts et Ω, l mage B du pont par r, l mage C du pont B par r et l mage D du pont par h On note b, c et d les affxes respectves des ponts B, C et D Le tableau c-dessous content une sute de 8 affrmatons, dont chacune débute dans la premère colonne et s achève sur la même lgne colonne, colonne ou colonne 4 Le canddat dot se prononcer sur chacune de ces affrmatons Pour cela l dot remplr le tableau de la feulle annexe, en fasant fgurer dans chacune des cases la menton VRI ou FUX (en toutes lettres) a ω = 4 arg( a ω ) = Ω = ( v, C) arg ω = ( ) 5 b d = a d 6 Le pont D est : ( ω ) ( ) v, CΩ a+ b+ c a+ b+ c b l mage de Ω par la translaton de vecteur Ω l mage de Ω par l homothéte de centre et de rapport l mage de Ω par la rotaton de centre B et d angle 6 Réponses Réponses Réponses 4 Réponses 5 Réponses 6 Réponses nnexe QCM, se 009, 4 ponts L exercce comporte quatre questons ndépendantes Pour chacune d entre elles, tros réponses sont proposées dont une seule est exacte Il s agt de détermner la bonne réponse et de justfer le chox ans effectué Un chox non justfé ne rapporte aucun pont Toutefos, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve, même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton Queston La soluton f de l équaton dfférentelle y + y = 6 qu vérfe la condton ntale f(0) = est défne sur l ensemble R des nombres réels par : x Réponse (): f ( x) e x = + Réponse (): f ( x) = e + Réponse (): f ( x) e Termnale S F Laroche = x

4 Queston On consdère un trangle BC et on note I le pont tel que IB+ IC = 0 Les ponts G, I et sont algnés lorsque G est le barycentre du système : Réponse () : {(, ), (C, )} Réponse () : {(, ), (B, ), (C, )} Réponse () : {(, ), (B, ), (C, )} Queston Dans l espace mun d un repère orthonormal ( O;, j, k ), on consdère le plan P d équaton cartésenne : x y+ = 5 et le pont ( ; ; ) Le projeté orthogonal du pont sur le plan P est le pont : Réponse () : H ( ; ; 4) Réponse () : H (4 ; ; 4) Réponse () : H ( ; 0 ; ) Queston 4 La valeur moyenne de la foncton f défne sur l ntervalle [0 ; ] par ( ) Réponse () : QCM, ntlles 009, 5 ponts Réponse () : 4 f x = est égale à : + x Réponse () : Dans chacun des cas suvants, ndquer s l affrmaton proposée est vrae ou fausse et justfer la réponse Le plan complexe est mun d un repère orthonormal ( O; u, v) Sot le pont d affxe, le pont B d affxe 4 et l ensemble E des ponts M d affxe tels que = + 4 ffrmaton : E est la médatrce du segment [B] Le plan complexe est mun d un repère orthonormal ( O; u, v) c a On consdère tros ponts, B et C deux à deux dstncts, d affxes respectves a, b et c, tels que = b a ffrmaton : appartent au cercle de damètre [BC] e On consdère le nombre = 7 ffrmaton : 009 est un nombre réel postf 4 On consdère tros ponts, B et C non algnés de l espace Le pont G est le centre de gravté du trangle BC On note F l ensemble des ponts M vérfant M+ MB+ MC = 6 ffrmaton :F est la sphère de centre de G et de rayon 5 L espace est mun d un repère orthonormal ( O;, j, k ) S est la sphère d équaton x + y 5 = 0 ffrmaton : Le plan P coupe la sphère S suvant un cercle 4 QCM, Polynése rempl ponts x + y + = 5 P est le plan Pour chacune des questons, une seule des tros propostons est exacte Le canddat ndquera sur la cope le numéro de la queston et la lettre correspondant à la réponse chose ucune justfcaton n est demandée Une réponse exacte rapporte pont ; une réponse nexacte enlève 0,5 pont ; l absence de réponse est comptée 0 pont S le total est négatf, la note est ramenée à éro Dans tout l exercce, le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Le pont M est stué sur le cercle de centre ( ; 5) et de rayon Son affxe vérfe : a + 5 = ; b + 5 = ; c + 5 = Termnale S 4 F Laroche

5 On consdère tros ponts, B et C d affxes respectves a, b et c, deux à deux dstncts et tels que le trangle BC n est pas équlatéral Le pont M est un pont dont l affxe est telle que les nombres complexes b et c sont magnares purs c a b a a M est le centre du cercle crconscrt au trangle BC ; b M appartent aux cercles de damètres respectfs [C] et [D] ; c M est l orthocentre du trangle BC Sot et B les ponts d affxes respectves + et 5 + 4, et C un pont du cercle de damètre [B] On appelle G l sobarycentre des ponts, B et C et on note G son affxe a G 5,5 = ; b 6 5 QCM, N Calédone nov ponts G ( + ) = (4+ ) ; c G (+,5 ) = (4+ ) Pour chaque queston, une seule des tros propostons est exacte Le canddat ndquera sur la cope le numéro de la queston et la lettre correspondant à la réponse chose ucune justfcaton n est demandée Une réponse exacte rapporte 0,5 pont ; une réponse nexacte enlève 0,5 pont ; l absence de réponse est comptée 0 pont S le total est négatf, la note est ramenée à éro Le plan complexe est mun d un repère orthonormé drect d orgne O Une soluton de l équaton + = 9+ est : a b c + Sot un nombre complexe ; + est égal à : a + b c + + Sot un nombre complexe non nul d argument θ Un argument de est : a + θ b + θ c θ 4 Sot n un enter naturel Le complexe ( ) n + est un magnare pur s et seulement s : a n = b n = 6k +, avec k relatf c n = 6k avec k relatf 5 Soent et B deux ponts d affxe respectve et l ensemble des ponts M d affxe vérfant = + est : a la drote (B) b le cercle de damètre [B] 6 Sot le pont d affxe c la drote perpendculare à (B) passant par O L ensemble des ponts M d affxe = x+ y vérfant + = 4 a pour équaton : a y = x+ x + y = 5 c = + 5e θ avec θ réel b ( ) 7 Soent et B les ponts d affxes respectves 4 et L affxe du pont C tel que le trangle BC sot socèle avec ( B, C ) = est : a 4 b 8 L ensemble des solutons dans C de l équaton = est : c a { } b L ensemble vde c { ;+ } Termnale S 5 F Laroche

6 6 QCM d après des sujets de concours GEIPI Dans chaque queston sont proposées pluseurs réponses, chacune de ces réponses pouvant être vrae ou fausse Il n y a pas forcément une seule bonne réponse pour chaque queston Donner pour chaque queston les réponses vraes et les réponses fausses Chaque résultat exact rapportera des ponts, chaque résultat nexact entraînera une pénalté Une absence de réponse ne sera pas consdérée comme un résultat nexact S le total des ponts, pour une queston est négatf, ce total sera ramené à 0 Pour tous nombres complexes et non nuls, on a : a + b S = alors c S = ' alors = ou = d + ' = + ' On consdère les complexes a= et b= + a Re( ) = ab= e b Il exste un enter n non nul tel que a n est un réel c Il exste un enter n non nul tel que a n et b n sont tous deux des enters d Le pont d affxe a est l mage du pont B d affxe b par une rotaton de centre O e θ Pour tout réel θ de [0 ; [ on pose Z( θ ) = + lors : a Z( ) = e b Pour tout θ de [0 ; [, Z ( θ ) = Z ( θ ) c Pour tout θ de [0 ; [, Z( θ ) e est réel θ d L ensemble des ponts Mθ ( ) d affxe Zθ ( ) est un cercle de rayon 4 Sot a un réel de ] ; e[ et (E) l équaton d nconnue : e dont les affxes sont les solutons de (E) lors : a Les ponts M et N sont symétrques par rapport à l axe des abscsses b Les ponts M et N sont stués sur le cercle de centre O et de rayon c Il n exste aucune valeur de a telle que M et N sont symétrques par rapport à O d S est le pont d affxe, on a M < 7 QCM, La Réunon 009, 4 ponts lna+ = 0 On appelle M et N les ponts Cet exercce est un questonnare à chox multple (QCM) Pour chaque queston une seule des propostons est exacte Le canddat portera sur la cope, sans justfcaton, la lettre correspondant à la réponse chose Il est attrbué un pont s la réponse est exacte, aucun pont n est enlevé pour une réponse nexacte ou une absence de réponse Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Sot (E) l ensemble des ponts M d affxe vérfant : = + e θ, θ étant un nombre réel a (E) est une drote passant par le pont d affxe b (E) est le cercle de centre d affxe + et de rayon c (E) est le cercle de centre d affxe et de rayon d (E) est le cercle de centre d affxe et de rayon 5 Sot f l applcaton du plan qu, à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe tel que ' = a f est une homothéte b Le pont d affxe est un antécédent du pont d affxe c f est la rotaton de centre le pont d affxe + et d angle Termnale S 6 F Laroche

7 d f est la rotaton de centre le pont d affxe et d angle Sot (F) l ensemble des ponts M d affxe vérfant + = + + Soent les ponts, B et C d affxes respectves, + et a C est un pont de (F) b (F) est la médatrce du segment [B] c (F) est la médatrce du segment [C] d (F) est le cercle de damètre [B] 4 On consdère dans l ensemble des nombres complexes l équaton + = 7+ Cette équaton admet : a Deux solutons dstnctes qu ont pour parte magnare b Une soluton réelle c Deux solutons dont une seule a pour parte magnare d Une soluton qu a pour parte magnare 8 Vra-Faux, Centres étrangers 009, 4 ponts Pour chacune des propostons suvantes, ndquer s elle est vrae ou fausse et justfer la réponse chose Dans le cas d'une proposton fausse, on pourra donner un contre-exemple ( ) Pour tout complexe, Re( ) Re( ) = Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) Pour tout nombre complexe non nul, les ponts M d'afîïxe, N d'affxe et P d'affxe appartennent à un même cercle de centre O Pour tout nombre complexe, s + = alors la parte magnare de est nulle 4 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal ( O; u, v) Quels que soent les nombres complexes et non nuls, d'mages respectves M et M' dans le plan complexe, s et vérfent l'égalté + ' = ', alors les drotes (OM) et (OM ) sont perpendculares 9 Basque, ntlles ponts ( O; u, v) est un repère orthonormal drect du plan complexe Sot le pont d affxe + = + u pont M d affxe, on assoce le pont M d affxe telle que ' ( ) On pose = x+ y et ' = x' + y' avec x, y, x et y réels a Démontrer les égaltés suvantes : x' = ( x+ y) et y' ( x y) à la drote (O) = + En dédure que le pont M appartent b Détermner l ensemble des ponts M du plan tels que M =M c Démontrer que pour tout pont M du plan les vecteurs MM' et O sont orthogonaux Sot r la rotaton de centre O et d angle M est le pont d affxe mage de M par r, M le pont d affxe =, M le pont d affxe tel que le quadrlatère OM M M sot un parallélogramme a Dans cette queston unquement M a pour affxe 4 +, placer les ponts M, M, M, M b Exprmer en foncton de, pus en foncton de c OM M M est-l un losange? Justfer d Vérfer que ' = En dédure que MM' = OM Démontrer que les ponts M, M, M et M appartennent à un même cercle de centre O s et seulement s MM' = OM Termnale S 7 F Laroche

8 Donner alors la mesure en radans de l angle géométrque M' OM 0 Basque, ntlles ponts Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v), on consdère les ponts d affxe a, a R ; B d affxe b +, b R ; C mage de B dans la rotaton de centre et d angle a Détermner une relaton entre a et b pour que le pont C appartenne à l axe ( O; v ) b Exprmer alors l affxe du pont C en foncton de a Dans cette queston, on pose a= et b = 0 On consdère les ponts C d affxe c = et D d affxe d = + a Quelle est la nature du trangle BC? b Calculer le quotent d a ; que peut-on en dédure pour le trangle CD? c a c Détermner l affxe du pont E mage de D dans la rotaton de centre et d angle d Détermner l affxe du pont F mage de D dans la translaton de vecteur C e Détermner la nature du trangle BEF Basque, N Calédone ponts Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) Termnale S 8 F Laroche drect d unté graphque cm On consdère les ponts et B d affxes respectves = et B = + 4 Sot C et D les ponts d affxes respectves C = + ( ) et D ( ) = + + L objet de l exercce est de proposer une constructon géométrque des ponts D et C a Montrer que l mage du pont B par la rotaton de centre et d angle est le pont D b En dédure que les ponts B et D sont sur un cercle (C) de centre dont on détermnera le rayon Sot F, l mage du pont par l homothéte de centre B et de rapport a Montrer que l affxe F du pont F est b Montrer que le pont F est le mleu du segment [CD] C F c Montrer que = En dédure la forme exponentelle de F précédentes que la drote (F) est la médatrce du segment [CD] C F F Dédure des questons Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, sera prse en compte dans l évaluaton Proposer un programme de constructon pour les ponts D et C à partr des ponts, B et F et réalser la fgure Basque, La Réunon ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Sot (C) le cercle de centre O et de rayon On consdère le pont de (C) d'affxe = e

9 Détermner l'affxe B du pont B mage de par la rotaton de centre O et d'angle Détermner l'affxe C du pont C mage de B par la rotaton de centre O et d'angle a Justfer que (C) est le cercle crconscrt au trangle BC Construre les ponts, B et C sur la feulle de paper mllmétré b Quelle est la nature du trangle BC? Justfer Sot h l'homothéte de centre O et de rapport a Compléter la fgure en plaçant les ponts P, Q et R mages respectves des ponts, B et C par h b Quelle est la nature du trangle PQR? Justfer 4 Dans cette queston le canddat est nvté à porter sur sa cope les étapes de sa démarche même s elle n'aboutt pas a Donner l écrture complexe de h b Calculer + B + C En dédure que est le mleu du segment [QR] c Que peut-on dre de la drote (QR) par rapport au cercle (C)? nd degré et barycentre, ntlles 00 Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équaton d nconnue : = 0 On consdère les ponts et B qu ont pour affxes respectves les nombres complexes a= 4 4 et b= Calculer les dstances O, OB et B En dédure la nature du trangle OB On désgne par C le pont d affxe c= + et par D son mage par la rotaton de centre O et d angle Détermner l affxe d du pont D 4 On appelle G le barycentre des ponts pondérés (O ; ), (D ; ) et (B ; ) a Montrer que le pont G a pour affxe g = b Placer les ponts, B, C, D et G sur une fgure (unté graphque : cm) c Démontrer que le quadrlatère OBGD est un parallélogramme 5 a Justfer l égalté c g = + a g b En dédure une mesure en radans de l angle ( G, GC ) Que peut-on en dédure concernant la nature du trangle GC? 4 nd degré, Polynése 996 Parte Sot P le polynôme défn sur C par: Résoudre dans C l'équaton P() = 0 GC, ans que la valeur du rapport G P( ) = Écrre les solutons sous forme trgonométrque Parte B Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect (unté 4 cm) Soent, B et C les ponts d'affxes respectves a =, b = + et c= Placer les ponts, B et C sur une fgure Sot a b Z= c b Termnale S 9 F Laroche

10 a Interpréter géométrquement le module et un argument de Z b Écrre Z sous forme algébrque et sous forme trgonométrque c En dédure la nature du trangle BC ans qu'une mesure, en radans, de l'angle ( BC, B) Calculer l'are du trangle BC en centmètres carrés 5 nd degré, Inde, 996 a Démonstraton de cours : étuder la résoluton dans C de l équaton réels avec a non nul b Résoudre l équaton postve a + b+ c= 0, a, b, c étant tros + 4= 0 On appellera et les solutons, ayant sa parte magnare c Donner la forme exponentelle de et pus celle de Dans le plan complexe mun d un repère othonormal ( O, u, v) d affxe ( + ), M d affxe ( ) et d affxe = d unté cm, on consdère les ponts M a Détermner l affxe du pont M mage de M par l homothéte h de centre et de rapport b Détermner l affxe 4 du pont M 4 mage de M par la rotaton r de centre O et d angle c Représenter les ponts O,, M, M, M, M 4 d Calculer Que peut-on en conclure? 4 Termnale S 0 F Laroche

11 6 Petts exos de base j O Sur la fgure c-dessus placer les ponts suvants : Termnale S F Laroche 4 ( + ), B( ), C(+ ), D( ), E(+ ), F( + ), G( ), H( e ), K( e ) 4 4 Lre sur la fgure le module et l argument de chacun des complexes correspondants Fare le calcul pour B, D, G, H 4 Détermner la forme algébrque et la forme exponentelle des conjugués de B, D, G, H 5 Calculer ( ) ( ) ( ) 5 6 C,,( ) ( ) 4 E K H 6 Calculer les complexes E et B E ; détermner leurs modules Calculer B module et son argument, en dédure l angle des vecteurs E et EB E E, détermner son 7 On fat une rotaton de centre O et d angle sur les ponts E, et B S E, et B sont leurs mages, ' quelles sont les affxes de ces tros ponts Que vaut alors 8 On veut construre un trangle rectangle socèle BM dont l hypothénuse est [B] Lre sur la fgure les affxes possbles des ponts M Donner une méthode pour trouver les ponts M, l applquer B' E' E'?

12 9 Soent =, = et =, calculer,,,,,, a = + et b = ( ) 0 Sot f la transformaton du plan qu à M d affxe assoce M d affxe tel que : = Détermner l unque pont nvarant de f et en dédure la nature et les éléments caractérstque de f Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect( O; u, v) Dans chacun des cas suvants, détermner l ensemble des ponts M d affxe tels que : a + = + b ( )( + ) = Sot le complexe Z= + a Ecrre Z sous forme exponentelle b Reprendre la forme ntale de Z pour détermner sa forme algébrque c Dédure des questons précédentes les valeurs exactes de 5 5 cos et sn α et β sont des réels fxés Mettre chacun des complexes suvants sous forme trgonométrque : cosα + snα ; snβ cosβ 4 Mettre le complexe suvant sous forme exponentelle, pus sous forme algébrque : (+ ) 5 Utlser une formule d Euler pour exprmer sn x en foncton de snx et snx 6 Dre, sans justfer s chacune des affrmatons a), b), c) est vrae ou fausse Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect( O; u, v) On consdère les ponts, B et C d affxes respectves : = +, B= + et C = cos + sn a On a arg( C ) = b L écrture algébrque de B est + + c L écrture trgonométrque de est cos sn + B 7 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect( O; u, v) On consdère les ponts ( ), B (), C(+ ) et D( + ) a Précser les affxes des mleux des segments [ C ] et [ BD ] Que peut-on en dédure pour le quadrlatère BCD? b Interpréter géométrquement le module et un argument de C D B Calculer c Dédure du b les proprétés vérfées par les dagonales de BCD Quelle est la nature de BCD? 7 Cours, C étrangers ponts Parte : resttuton organsée de connassances Prérequs : On rappelle les deux résultats suvants : () S est un nombre complexe non nul, on a l équvalence suvante : ( cosθ snθ ) = r = r + arg = θ à près r 0 C D B 5 Termnale S F Laroche

13 Termnale S F Laroche ( ) ( ) cos a+ b = cosacosb snasnb () Pour tous nombres réels a et b : sn a+ b = snacosb+ snbcosa Soent et deux nombres complexes non nuls Démontrer les relatons : = et arg( ) = arg( ) + arg( ) à près Parte B Pour chaque proposton, ndquer s elle est vrae ou fausse et proposer une démonstraton pour la réponse ndquée Dans le cas d une proposton fausse, la démonstraton consstera à fournr un contre-exemple Une réponse sans démonstraton ne rapporte pas de pont On rappelle que s est un nombre complexe, désgne le conjugué de et désgne le module de S = +, alors 4 est un nombre réel S + = 0, alors = 0 S + = 0, alors = ou = 4 S = et s + =, alors = 0 8 Basque, STL France, Jun ponts Parte Pour tout nombre complexe, on note ( ) P = Calculer P() Vérfer que, pour tout nombre complexe, P() peut s écrre sous la forme ( ) ( )( 4) P = + Résoudre, dans l ensemble C des nombres complexes, l équaton + 4= 0 En dédure les solutons, dans l ensemble C des nombres complexes, de l équaton P() = 0 Parte B Le plan complexe est mun d un repère orthonormal ( O; u, v) (unté graphque : cm) On consdère les ponts, B et C d affxes respectves : a =, b = +, c= a Placer les ponts, B et C dans le plan complexe b Démontrer que les ponts, B et C sont sur un même cercle Γ de centre O c Construre le cercle Γ Détermner un argument du nombre complexe b En dédure une mesure de l angle ( O, OB) est la nature du trangle OB? 9 Basque, m du Sud /008 Quelle 5 ponts Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v), on consdère les ponts, B, C d affxes respectves a = +, b = +, c = 4 Montrer que le trangle BC est socèle en Sot I le mleu de [BC] et I son affxe a Quel est l ensemble des ponts M du plan dstncts de dont l affxe est telle que x I b Détermner l unque réel x tel que sot un réel x c Sot l affxe du vecteur I I ; donner une forme trgonométrque de I I sot un réel?

14 a Sot G le pont d affxe Montrer qu l exste deux rotatons de centre G, dont on détermnera les angles, telles que les mages de et I par ces rotatons soent toutes deux sur l axe des réels b Sot r la rotaton de centre G et d angle de mesure Termnale S 4 F Laroche Détermner l écrture complexe de r 4 4 Sot, B et C les mages respectves de, B, et C par la rotaton r ; soent a, b et c leurs affxes Quelle est l mage par r de l axe de symétre du trangle BC? En dédure que b' = c' 0 Equaton, STL, France, Jun ponts Le plan P est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) (unté graphque cm) On consdère un polynôme P défn par ( ) P = + 6 où est une varable complexe a Détermner les nombres réels a, b et c tels que P( ) ( )( a b c) b Résoudre dans C l équaton P() = 0 = On consdère les ponts et B d affxes respectves : = et B = + a Écrre sous forme trgonométrque pus sous forme exponentelle les nombres et B b Placer dans le plan P les ponts et B c Quelle est la nature du trangle OB? On consdère la transformaton T du plan P dans lu-même qu, à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe tel que ' = e a Caractérser géométrquement la transformaton T b Détermner sous forme trgonométrque et sous forme algébrque l affxe du pont mage de par la transformaton T c En dédure les valeurs exactes de cos et sn Equaton, STL, France, jun ponts On désgne par le nombre complexe de module et d argument Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) d unté graphque cm Résoudre dans l ensemble des nombres complexes, l équaton suvante, en donnant les solutons sous forme algébrque : + + = 0 On consdère les nombres complexes : = + et = a Écrre sous forme trgonométrque b Construre avec précson dans le repère ( O; u, v) lassera apparents les trats de constructon 7 On appelle D le pont d affxe = et K le pont d affxe 4 = a Montrer que les ponts, B et D appartennent à un cercle C de centre K les ponts et B d affxes respectves et On b Montrer que le pont K est le mleu du segment [D] c Dans le repère ( O; u, v) placer les ponts K et D et tracer le cercle C Détermner la nature du trangle BD p/, STL, France, jun ponts Le plan P est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) d unté graphque 4cm a Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équaton solutons sous forme algébrque et sous forme trgonométrque + 4 = 0 Donner les

15 b Représenter dans le plan P les ponts d affxe et B d affxe + c Démontrer que le trangle OB est équlatéral On consdère l applcaton R de P dans P qu à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe telle que ' = e 4 a Caractérser géométrquement l applcaton R b Placer le pont mage du pont par R c Calculer sous forme trgonométrque pus sous forme algébrque l affxe du pont d En dédure les valeurs exactes de cos et sn Equaton, STL, France, sept ponts Résoudre dans C l équaton = 0 Le plan complexe est mun d un repère orthonormé drect ( O; u, v) d unté graphque cm Sot les ponts, B et C du plan complexe d affxes respectves = + ; = et = 6 a Calculer le module et un argument de et B b Construre les ponts, B et C c Calculer B d Quelle est la nature du trangle OB? (justfer la réponse) a Écrre C sous forme algébrque b Montrer que C est le mleu du segment [O] 4 Quelle est la nature du trangle BC? (justfer la réponse) 4 Rotatons, STL, France, sept ponts Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) d unté graphque cm On note le nombre complexe de module et d argument Dans P, les ponts et B ont pour affxes respectves 8 et 8 On appelle D l mage de par la rotaton R de centre O et d angle R de centre O et d angle B C e et C l mage de B par la rotaton a Quelles sont les fonctons f et f de C dans C assocées respectvement aux rotatons R et R b Calculer les affxes des ponts C et D a Montrer que les ponts, B, C et D appartennent à un même cercle C dont on précsera le centre et le rayon Tracer le cercle C dans le plan P et représenter les ponts, B, C et D b Quelle est la nature du trangle OCD? On note a l affxe du vecteur D et b celle du vecteur BC Montrer que b = a En dédure que le quadrlatère BCD est un trapèe 5 Classque, La Réunon ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v), l unté graphque est cm On désgne par le nombre complexe de module et d argument complétera au fur et à mesure des questons + On réalsera une fgure que l on Termnale S 5 F Laroche

16 Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équaton algébrque Résoudre dans C l équaton Termnale S 6 F Laroche 4 = Écrre la soluton sous forme + 4= 0 Écrre les solutons sous forme exponentelle Soent, B, et D les ponts du plan complexe d affxes respectves : a =, b = 4, a = et d = + Quelle est la nature du trangle ODB? 4 Soent E et F les ponts d affxes respectves e= et f = + Quelle est la nature du quadrlatère OEF? 5 Sot C le cercle de centre et de rayon Sot C le cercle de centre et de rayon Sot r la rotaton de centre O et d angle + a On désgne par E l mage par la rotaton r du pont E Calculer l affxe e du pont E b Démontrer que le pont E est un pont du cercle C c Vérfer que : e d ( )( e d) = + En dédure que les ponts E, E et D sont algnés 6 Sot D l mage du pont D par la rotaton r Démontrer que le trangle EE D est rectangle 6 Système, STL, France, jun ponts + ' = Résoudre le système suvant d nconnues complexes et : ' = + On donnera les solutons sous forme algébrque Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v) d unté graphque cm a Placer dans le plan les ponts, B et C d affxes respectves =, B = et C = + b Calculer les modules des nombres complexes : B C et B Donner une nterprétaton géométrque de ces résultats c On note I le mleu du segment [C] Précser l affxe du pont I pus calculer la dstance BI d Détermner l are en cm du trangle BC 7 Smltude, STL, France, jun ponts Le plan est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v), unte graphque cm désgne le nombre complexe de module et dont un argument est À tout pont M d affxe du plan complexe, on fat correspondre le pont M d affxe tel que ( ) Determner le nombre complexe tel que = ' = + On consdère les ponts et B d affxes respectves = et B = + a Détermner les affxes des ponts et B Que peut-on dre du pont? b Placer les ponts, B et B dans le repère( O; u, v) c Démontrer que le trangle BB est un trangle rectangle et socèle a Vérfer l égalté : ' ( ) = + b Sot C le pont d affxe C = + Interpréter géométrquement et ( ) + c Dédure des questons précédentes l ensemble (D) des ponts M d affxe vérfant ' = et tracer (D) dans le repère précédent 8 Transformaton? tout nombre complexe on assoce le nombre complexe égal à f( ) = (( + 4) + 5 ) 6

17 Calculer f(), f() et f( 4) f( ) Exprmer ' = à l ade de et de + En dédure que est réel pour tout complexe 9 Equaton Sot (E) l équaton complexe : 0 + = Démontrer que = x + y avec x et y réels est soluton de (E) s et seulement s : x x y + = 0 (x ) y= 0 En dédure la résoluton de l équaton (E) dans C 0 Cercles Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v), unté graphque 4 cm, on consdère les ponts, B et C d'affxes respectves a, b, et c telles que : a =, b = +, c = + = a On note Γ le cercle de damètre [B] a Placer sur une fgure les ponts, B, C et le cercle Γ b Mettre les nombres complexes a, b et c sous forme trgonométrque c Sot r la rotaton de centre O telle que r () = B Détermner l'angle de r et le pont r (B), mage de B par r d Détermner l'mage Γ du cercle Γ par r ; placer Γ' sur la fgure On consdère un nombre θ dans ]0 ; [ dstnct de ; on note M le pont d'affxe = + e θ On désgne par M' l'mage de M par r, et on appelle ' l'affxe de M' a Montrer que M est un pont de Γ dstnct de et de B b Exprmer ' en foncton de Calculer en foncton de θ les affxes u et u' des vecteurs BM et θ c Etablr la relaton u= u'tan Termnale S 7 F Laroche BM' d Prouver que les ponts B, M et M' sont algnés Placer sur la fgure un pont M et son transformé M' Rotaton Dans le plan complexe P mun d'un repère orthonormal ( O; u, v), (unté graphque : cm), on note B et C les ponts d'affxes respectves et Sot R la transformaton du plan P qu, à tout pont M d'affxe, assoce le pont M d'affxe telle que ' = e Placer les ponts B et C dans le plan P et donner l'écrture de leurs affxes respectves sous la forme exponentelle ( re θ ) Précser la nature et les éléments caractérstques de la transformaton R Détermner, sous la forme exponentelle, les affxes des mages respectves B et C par la transformaton R des ponts B et C Placer B et C dans le plan P Que peut-on dre du pont B? Que peut-on dre des ponts B et C relatvement à l'axe des abscsses? 4 a En utlsant les ponts B et C, détermner et construre l'ensemble D des ponts M d'affxe telle que + = b Détermner l'mage D par la transformaton R de l'ensemble D

18 Carrés, rotatons et algnement Le plan complexe P est rapporté au repère orthonormal drect (O; u, v) On consdère tros ponts dstncts, B et C d'affxes respectves a, b et c a Interpréter géométrquement l'argument du quotent c a b a b Montrer que, B et C sont algnés s et seulement s c a est un nombre réel b a Placer sur une fgure (unté graphque : cm) les ponts, B et C d'affxes respectves a =, b =, c = 4+ Montrer, à l'ade de la proprété précédente, que les ponts, B et C sont algnés On consdère les ponts, B, C,, B, C tels que les quadrlatères O, OB B B, OC C C soent des carrés drects a Tracer les carrés O, OB B B, OC C C b Donner les affxes a et b des ponts et B pus les affxes a et b des ponts et B c À l'ade de la rotaton de centre O et d'angle, calculer l'affxe c de C à l'ade de c d En dédure que les ponts, B et C sont algnés 4 a Détermner le réel a tel que le barycentre du système {(O, a), (C, ), (C, )} sot C (Rappel : le barycentre G du système (, α ),(B, β ), est tel que αg+ βbg+ = 0 ) b Calculer l'affxe c de C c Montrer que les ponts, B, C sont algnés ROC+Equaton+Rotaton, Polynése 00, 5 pts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Parte - Resttuton organsée de connassances Prérequs Sot un nombre complexe tel que = a + b où a et b sont deux nombre réels On note le nombre complexe défn par = a b Questons a Démontrer que, pour tous nombres complexes et, ' = ' n b Démontrer que, pour tout enter naturel n non nul, et tout nombre complexe, ( ) n Parte B On consdère l équaton (E) : 4 = 4 où est un nombre complexe = Montrer que s le nombre complexe est soluton de l équaton (E) alors les nombres complexes et sont auss solutons de l équaton (E) On consdère le nombre complexe 0 = + a Écrre le nombre complexe 0 sous forme exponentelle b Vérfer que 0 est soluton de l équaton (E) Dédure des deux questons précédentes tros autres solutons de l équaton (E) Parte C Soent, B, C et D les ponts d affxes respectves : = + ; = + ; = et = B C D Termnale S 8 F Laroche

19 Sot r la rotaton du plan de centre C et d angle de mesure celle du pont D par r Détermner l écrture complexe de la rotaton r a Démontrer que l affxe du pont E, notée E, est égale à + b Détermner l affxe F du pont F c Démontrer que le quotent Termnale S 9 F Laroche E F est un nombre réel d Que peut-on en dédure pour les ponts, E et F? 4 Système+parallélog ntlles 09/007, 5 pts Parte ( ) α + = + Détermner le complexe α tel que α = 4+ On appelle E l mage du pont B par r et F Pour tout nombre complexe, on pose f ( ) = ( + ) + ( 4+ ) Montrer que ( ) la forme ( α )( α ) En dédure les solutons (sous forme algébrque) de l équaton ( ) 0 Parte B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé ( O; u, v), unté graphque 5 cm f s écrt sous f = On consdère les ponts et B d affxes respectves a= + et b= + Placer et B dans le repère et compléter la fgure au fur et à mesure Montrer que b= a, en dédure que le trangle OB est un trangle socèle rectangle tel que ( O, OB) = On consdère le pont C d affxe un trangle socèle rectangle tel que ( OC, OD) c= + Détermner l affxe du pont D tel que le trangle OCD sot = On pourra conjecturer l affxe de D à l ade de la fgure pour trater la queston suvante Sot M le mleu du segment [BC] On appelle D Prouver que OM = D 4 Donner une mesure en radans de ( D, OM) 5 Prouver que OM = D OM et et les affxes respectves des vecteurs OM D 6 On appelle J, K et L les mleux respectfs des segments [CD], [D] et [B] On admet que le quadrlatère JKLM est un parallélogramme ; démontrer que c est un carré 5 Barycentre, lgne de nveau Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect (O; u, v), unté graphque cm a Donner l écrture algébrque du nombre complexe de module et dont un argument est b Résoudre dans C l équaton = 4 On donnera la soluton sous forme algébrque On désgne par I, et B les ponts d affxe respectves, et + a Fare une fgure que l on complétera au cours de l exercce b Calculer l affxe Z C du pont C mage par de la symétre de centre I

20 c Ecrre sous forme algébrque le nombre complexe nombre ; ans qu une nterprétaton géométrque C B B En dédure le module et un argument de ce d Sot D le pont d affxe Z D telle que D C = B, montrer que BCD est un carré Pour tout pont M du plan, on consdère le vecteur M+ MB+ MC+ MD a Exprmer le vecteur M+ MB+ MC+ MD en foncton du vecteur MI b Montrer que le pont K défn park+ KB+ KC + KD= B est le mleu du segment [D] c Détermner l ensemble Γ des ponts M du plan tel que : M+ MB+ MC+ MD = B Construre Γ 6 Barycentre + lgne de nveau, Polynése 004 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal ( O; u, v), unté graphque : cm On désgne par, B et I les ponts d affxes respectves : = +, B = et I = a Fare une fgure que l on complétera au cours de l exercce b Écrre sous forme algébrque le nombre complexe trangle IB? I Z = I B Que peut-on en dédure sur la nature du c Calculer l affxe C du pont C mage de I par l homothéte de centre et de rapport d Sot D le barycentre du système {(, ) ; (B, ) ; (C, )} ; calculer l affxe D du pont D e Montrer que BCD est un carré Détermner et construre l ensemble Γ des ponts M tels que M MB+ MC = M+ MC On consdère l ensemble Γ des ponts M du plan tels que : M MB+ MC = 4 5 a Montrer que B appartent à Γ b Détermner et construre l ensemble Γ 7 Lgne de nveau, Centres étrangers ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) ; l'unté graphque est cm Résoudre, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équaton sous forme algébrque, pus sous forme trgonométrque = 0 On donnera les solutons On note et B les ponts du plan d'affxes respectves : a= et b = a Placer ces ponts sur un graphque qu sera complété au fl de l'exercce a Détermner l'affxe c du pont C, mage du pont B par la rotaton de centre O et d'angle b On note D l'mage de C par la rotaton de centre et d'angle ; démontrer que l affxe d du pont D est d = 6 c Placer les ponts C et D sur le graphque Quelle est la nature du quadrlatère BCD? α étant un nombre réel non nul, on désgne par G α le barycentre du système : {(, );( B, );( C, α )} a Exprmer le vecteur CG α en foncton du vecteur B Termnale S 0 F Laroche

21 b En dédure l'ensemble des ponts G α lorsque α décrt l'ensemble des réels non nuls Construre cet ensemble c Pour quelle valeur de α a-t-on G D α =? 4 On suppose dans cette queston que α = Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d'ntatve, même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton Détermner et construre l'ensemble des ponts M du plan tels que M MB+ MC = 4 8 Lgne nveau+rotaton, Polynése ponts Résoudre dans l'ensemble des nombres complexes, l équaton 6+ = 0 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) d'unté graphque cm On consdère les ponts, B, C d'affxes respectves a=, b= +, c= 4 Fare une fgure et placer les ponts, B, C Montrer que OBC est un parallélogramme 4 Détermner l'affïxe du pont Ω, centre du parallélogramme OBC 5 Détermner et tracer l'ensemble des ponts M du plan tels que MO+ M+ MB+ MC = 6 Sot M un pont de la drote (B) On désgne par β la parte magnare de l'affxe du pont M On note N l'mage du pont M par la rotaton de centre D et d'angle a Montrer que N a pour affxe 5 5 β + b Comment chosr β pour que N appartenne à la drote (BC)? 9 ème degré, barycentre, lgne de nveau On consdère dans C l'équaton d'nconnue Z : (E) a Vérfer que 8 est soluton de cette équaton Z Z + 48Z 8= 0 Détermner les nombres réels α, β, γ tels que, pour tout complexe Z, Z Z + 48Z 8 = ( Z 8)( αz + βz+ γ) b Résoudre l'équaton (E) ( O; u, v) est un repère orthonormal drect du plan orenté, l'unté graphque est cm On consdère les ponts, B, C d'affxes respectves a =, b= +, c= 8 a Calculer le module de a (noté a ) et son argument θ Placer les tros ponts, B et C b Calculer le complexe trangle BC a c q=, détermner son module et son argument θ En dédure la nature du b c c Détermner le barycentre D des ponts pondérés (, a ), (B, b ), (C, c ) Placer D d Détermner l'ensemble E des ponts M du plan tels que M+ MB+ MC = M+ MB MC Tracer E 40 ème degré, rotaton, Pondcherry 00 Premère parte On consdère dans l ensemble des nombres complexes, l équaton suvante : (E) + 6 = 0 Termnale S F Laroche

22 Montrer que est soluton de (E), pus que (E) peut s écrre sous la forme : ( )(a + b + c) = 0, où a, b et c sont tros réels que l on détermnera En dédure les solutons de l équaton (E) sous forme algébrque, pus sous forme exponentelle Deuxème parte Le plan complexe est mun d un repère orthonormal ( O;, j) Placer les ponts, B et D d affxes respectves =, B = et D = + Calculer l affxe C du pont C tel que BCD sot un parallélogramme Placer C Sot E l mage de C par la rotaton de centre B et d angle D et d angle a Calculer les affxes des ponts E et F, notées E et F b Placer les ponts E et F 4 a Vérfer que : F E = b En dédure la nature du trangle EF et F l mage de C par la rotaton de centre 5 Sot I le mleu de [EF] Détermner l mage du trangle EB par la rotaton de centre I et d angle 4 ème degré+rotaton, France ponts Parte On consdère l équaton : (E) ( ) ( ) = 0 où est un nombre complexe Démontrer que le nombre complexe est soluton de cette équaton Détermner les nombres réels a, b et c tels que, pour tout nombre complexe on at : En dédure les solutons de l équaton (E) ( 4 ) ( 4 ) ( )( ) = a + b+ c Parte B Dans le plan complexe, rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v), on désgne par, B et C les ponts d affxes respectves, + et Sot r la rotaton de centre B et d angle 4 Détermner l affxe du pont, mage du pont par la rotaton r Démontrer que les ponts, B et C sont algnés et détermner l écrture complexe de l homothéte de centre B qu transforme C en 4 Orthocentre, C étrangers ponts I Resttuton organsée de connassances Démontrer qu un nombre complexe est magnare pur s et seulement s = Démontrer qu un nombre complexe est réel s et seulement s = Démontrer que pour tout nombre complexe, on a l égalté : = Le plan complexe est rapporté a un repère orthonormé drect ( O; u, v) orthonormé drect On se propose de démontrer, à l ade des nombres complexes, que tout trangle de sommets, B, C, deux à deux dstncts, d affxes respectve a, b, c, et dont le centre du cercle crconscrt est stué à l orgne O, a pour orthocentre le pont H d affxe a +b +c II Étude d un cas partculer Termnale S F Laroche

23 On pose : a = +, b = +, c= 5 5 Vérfer que O est le centre du cercle crconscrt au trangle BC Placer les ponts, B, C et le pont H d affxe a + b + c, pus vérfer graphquement que le pont H est l orthocentre du trangle BC III Étude du cas general BC est un trangle dont O est le centre du cercle crconscrt, et a, b, c sont les affxes respectves des ponts, B, C Justfer le fat que O est le centre du cercle crconscrt au trangle BC s et seulement s : aa = bb = cc On pose w = bc bc a En utlsant la caractérsaton d un nombre magnare pur étable dans le I, démontrer que w est magnare pur b Verfer l égalté : ( b c)( b c ) b+ c w + = w et justfer que : = b c b c c En dédure que le nombre complexe b + c est magnare pur b c Sot H le pont d affxe a + b + c a Exprmer en foncton de a, b et c les affxes des vecteurs H et CB b Prouver que ( CB, H ) = + k, k Z (On admet de même que ( C, BH ) = + k, k Z c Que représente le pont H pour le trangle BC? 4 Produt scalare Le plan est mun d'un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque cm) et sont deux nombres complexes et on pose : ϕ (, ') = ' + ' et ' désgnent les conjugués respectfs de et 6 Calculer : ϕ (, ) ; ϕ ( +, + ), ϕ ( +, + ), ϕ e, e Montrer que pour tout couple (, ) le nombre ϕ (, ) est réel a On pose = x + y et = x + y ; x, y, x, y réels Calculer ϕ (, ) en foncton de x, x, y, y b Détermner l'ensemble D des ponts M d'affxe tels que ϕ (, + ) = Dessner D a On pose et cos(θ θ ) re θ = et b Exprmer ϕ (, ') en foncton de r ' ' = r' e θ ; θ et θ réels, r et r réels postfs Calculer ϕ (, ) en foncton de r, r c Détermner l'ensemble C des ponts M d'affxe tels que ϕ (, ') = d Dessner C dans le repère( O; u, v) Que peut-on dre de la poston relatve de C et D? Justfer la réponse 44 Forme algébrque & trgo de p/ - Dans le plan rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) on consdère les ponts, B et C d'affxes respectves : Z 6 =, ZB =, Z a Écrre Z C sous forme algébrque C Z = Z B b Détermner le module et un argument de Z et de Z B c Écrre Z C sous forme trgonométrque ; en dédure les valeurs exactes de cos et de sn Termnale S F Laroche

24 Sot I le pont d'affxe Z I = a Quelle est la nature du trangle OIB? b Détermner les mages de I et B dans la rotaton de centre O et d'angle En dédure la nature du trangle OC 45 Forme algébrque & trgo de p/ - 6 Sot les nombres complexes : = et = a Mettre sous forme trgonométrque, et Termnale S 4 F Laroche Z = b En dédure que cos = et sn = 4 4 c On consdère l équaton d nconnue réelle x : ( ) x ( ) 6 + cos + 6 snx= Résoudre cette équaton dans R et placer les ponts mages des solutons sur le cercle trgonométrque 46 Forme algébrque & trgo de p/ - Le plan complexe P est rapporté à un repere orthonormal ( O ;, j ) et C d'affxes respectves = +, = et = (+ ) + a Calculer le module et un argument du nombre complexe W = b En dédure la nature du trangle BC a Écrre le nombre complexe B B C sous forme algébrque On consdère dans P les ponts, B b Écrre les nombres et B sous forme trgonométrque En dédure la forme trgonométrque de c À l'ade des deux questons précédentes donner les valeurs exactes de cos et sn 47 p/ 4, France remplt ponts Sot les nombres complexes : = + 6, = + et Écrre Z sous forme algébrque Donner les modules et arguments de, et Z En dédure cos et sn Z = 4 Le plan est mun d un repère orthonormal ; on prendra cm comme unté graphque On désgne par, B et C les ponts d affxes respectves, et Z Placer le pont B, pus placer les ponts et C en utlsant la règle et le compas (on lassera les trats de constructon apparents) 5 Écrre sous forme algébrque le nombre complexe 007 Z 48 Trgo, France 00, 5 pts Dans le plan complexe mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v), on consdère le pont d affxe et le cercle C de centre O passant par Dans tout l exercce on note α le nombre complexe α = + et α le nombre complexe conjugué du nombre complexe α C B B B

25 a Démontrer que α 4α = α 8 b Démontrer que les ponts B et C d affxes respectves α et α appartennent au cercle C Sot D un pont du cercle C d affxe e θ où θ est un nombre réel de l ntervalle ] ; ] + a Construre sur la fgure donnée c-dessous le pont E mage du pont D par la rotaton r de centre O et d angle b Justfer que le pont E a pour affxe E e θ = α Soent F et G les mleux respectfs des segments [BD] et [CE] a Justfer que le pont F a pour affxe F b On admet que le pont G a pour affxe α = + e θ queston a En dédure que le trangle FG est équlatéral G θ αe + α = Démontrer que G F α = On pourra utlser la 4 Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve, même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton À l ade d un logcel de géométre dynamque, on conjecture qu l exste une poston du pont D, défn à la queston, pour laquelle la longueur du coté F du trangle FG est mnmale On admet que F = 4 cosθ + snθ f x = x+ x Le tableau c- On consdère la foncton f défne sur l ntervalle [ ; + ] par ( ) 4 cos sn dessous donne les varatons de la foncton f sur l ntervalle [ ; + ] Permet-l de valder la conjecture? Justfer Compléter ce tableau de varatons Termnale S 5 F Laroche

26 x f 49 Equaton du second degré - On désgne par P le plan complexe Unté graphque : cm Résoudre l équaton d nconnue complexe : Termnale S 6 F Laroche + 4= 0 On notera la soluton dont la parte magnare est postve et l autre Donner le module et l argument de chacun des nombres,, Ecrre sous forme algébrque et On consdère dans le plan les ponts (+ ), B( ), C( + ) et D( ) a Représenter les ponts, B, C et D dans le plan P Quelle est la nature du quadrlatère BCD? b Montrer que les ponts O, et D d une part et les ponts O, B et C d autre part sont algnés Quel est le pont d ntersecton des dagonales de BCD? c Quelles sont les affxes des vecteurs B et C? Montrer que les drotes (B) et (C) sont perpendculares 50 Equaton du second degré - α étant un nombre réel appartenant à l'ntervalle [0 ; ] et un nombre complexe, on consdère le polynôme P(), défn par : P( ) = ( sn α) + ( sn α) a Calculer P() b En dédure l'exstence de tros réels a, b, c tels que P( ) = ( )( a + b+ c ) Détermner a, b et c c Résoudre, dans C, l'équaton P() = 0 On consdère tros nombres complexes : = ; = snα + cosα ; = snα cosα Détermner le module et un argument de chacun de ces nombres complexes, et 5 Médatrce - Le plan complexe (P) est rapporté au repère orthonormal( O; u, v) Sot (D) l'ensemble des ponts M de (P) d'affxe vérfant () : = + En écrvant = x + y, montrer par le calcul que (D) est une drote dont on donnera une équaton On se propose dans cette queston de vérfer le résultat du Sot le pont d'affxe et B le pont d'affxe + a Placer et B dans le repère ( O; u, v) b En nterprétant géométrquement la relaton () à l'ade des ponts et B, re-démontrer que (D) est une drote Tracer (D) c Retrouver alors par le calcul l'équaton de (D) obtenue au 5 Médatrce - Le plan complexe est mun d'un repère orthonormal drect ( O; u, v ), unté graphque : cm Placer les ponts B et D d'affxes respectves B = +, D = On complètera la fgure dans les questons suvantes Montrer que le trangle ODB est un trangle équlatéral,

27 Sot E le pont d'affxe = e E a Le pont est l'mage de E par la rotaton r de centre O et d'angle Détermner l'affxe du pont et vérfer que est le mleu du segment [OB] b Le pont C est l'mage de E par la translaton t de vecteur 4 Calculer C B et détermner un argument de ce nombre complexe v Détermner l'affxe C du pont C 5 Dédure des questons précédentes que la drote (CD) est la médatrce du segment [OB] 5 Sute géométrque On désgne par M n le pont du plan complexe d affxe n défne par: n n n = e = (cosn + sn n ) où n est un nombre enter naturel et où M 0 est le pont d affxe 0 = Détermner les valeurs de n pour lesquelles n est réel Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal( O; u, v ) (unté = 8 cm) a Représenter dans P les ponts M0, M, M, M, M 4 b Calculer en foncton de n les longueurs des tros côtés du trangle OMnM n + Montrer que ce trangle est rectangle On consdère la sute ( an) n Ν défne par an = n+ n a Montrer que la sute ( a n) est une sute géométrque dont on précsera le premer terme et la rason b Calculer k= n n = ak Détermner la lmte de n l k= 0 n l quand n tend vers + 4 a Calculer en foncton de n l are b n du trangle OMnM n + b Calculer k= n n = bk Détermner la lmte de n s k= 0 b quand n tend vers + 54 Sute arthmétco-géométrque, se pts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) L unté graphque est 4 cm Sot λ un nombre complexe non nul et dfférent de On défnt, pour tout enter naturel n, la sute ( n ) 0 = 0 de nombres complexes par : n+ = λn + On note M n le pont d affxe n Calcul de n en foncton de n et de λ a Vérfer les égaltés : = + ; = ( λ + λ + ) = ; ( λ ) b Démontrer que, pour tout enter n postf ou nul, Étude du cas λ = a Montrer que 4 = 0 b Pour tout enter naturel n, exprmer n+ en foncton de n n n λ = λ c Montrer que M n+ est l mage de M n par une rotaton dont on précsera le centre et l angle Termnale S 7 F Laroche

28 d Représenter les ponts M 0,M, M, M et M 4 dans le repère ( O; u, v) Caractérsaton de certanes sutes ( n ) k a On suppose qu l exste un enter naturel k tel que λ = Démontrer que, pour tout enter naturel n, on a l égalté : n+k = n b Récproquement, monter que s l exste un enter naturel k tel que, pour tout enter naturel n on at l égalté n+k = n alors : λ = Termnale S 8 F Laroche k 55 Sute de carrés, se ponts Dans le plan complexe (P) mun d un repère orthonormé drect ( O; u, v), d unté cm, on consdère les ponts, B, C et D d affxes respectves : = ; B = ; C = + et D = + Placer sur une fgure les ponts, B, C et D a Interpréter géométrquement le module et l argument du complexe b Calculer le complexe C D B c Que pouve-vous conclure concernant les segments [C] et [BD]? a Quelle est la nature du quadrlatère BCD? Justfer b Calculer l are s 0 du quadrlatère BCD 4 a Placer sur la fgure précédente les ponts, B, C et D tels que D = B = BC, où les ponts et B appartennent à [DC], le quadrlatère B C D étant un carré stué àl extéreur du quadrlatère BCD b Tracer le carré B C D et détermner son are s 5 a On contnue par le même procédé : un carré n B n C n D n étant détermné, on consdère les ponts n+, B n+, C n+ et D n+ tels que Dnn+ = n+ Bn+ = Bn+ Cn où les ponts n+ et B n+ appartennent à [D n C n ], le quadrlatère n+ B n+ C n+ D n+ étant un carré stué à l extéreur du carré n B n C n D n Tracer le carré B C D b Sot s n l are du carré n B n C n D n Exprmer s n+ en foncton de s n, pus de n En dédure s n, en foncton de n c Détermner, en foncton de n, l are S n de la fgure obtenue par la juxtaposton du quadrlatère BCD et des carrés B C D, B C D, et n B n C n D n d La sute (s n ) est-elle convergente? Précser sa lmte s elle exste 56 Inverson Le plan complexe P est rapporté à un repère orthonormal drect(o; u, v ) L'unté graphque est 4 cm C D À tout pont M d'affxe non nulle, on assoce le pont M d'affxe telle que ' = nombre complexe conjugué de a Détermner une relaton entre les arguments de et de b En dédure que les ponts O, M et M sont algnés Démontrer que ' + = ( ) B, où désgne le On nomme et B les ponts d'affxes respectves et On désgne par C le cercle de centre contenant le pont O et par C * le cercle C prvé du pont O On suppose dans cette queston que le pont M appartent à C * a Justfer l'égalté : = Démontrer que ' + = ' Interpréter géométrquement cette égalté b Dédure de ce qu précède une constructon géométrque du pont M à partr du pont M 4 Le pont M étant un pont du plan, d'affxe non réelle, on nomme M son symétrque par rapport à l'axe des réels

29 ' + a Calculer en foncton de Exprmer alors l'argument de ' b Comparer les angles ( M, M B) et ( M, MB ) c Démontrer que M appartent au cercle crconscrt au trangle MB ' + en foncton de l'angle ( M, MB ) ' 57 Inverson, ntlles ponts ( O; u, v) est un repère orthonormal du plan P Sot le pont d affxe ; sot B le pont d affxe Sot F l applcaton de P prvé de O dans P qu à tout pont M d affxe dstnct de O assoce le pont M = F(M) d affxe ' = a Sot E le pont d affxe e ; on appelle E son mage par F Détermner l affxe de E sous forme exponentelle, pus sous forme algébrque b On note C le cercle de centre O et de rayon Détermner l mage de C par l applcaton F a Sot K le pont d affxe e 5 6 et K l mage de K par F Calculer l affxe de K b Sot C le cercle de centre O et de rayon Détermner l mage de C par l applcaton F On désgne par R un pont d affxe rayon a Montrer que + e θ où θ ] ; + [ ' + = En dédure que : ' + = ' b S on consdère mantenant les ponts d affxe stuées sur une drote On pourra utlser le résultat du a 58 Inverson, m du Sud 005 R appartent au cercle C de centre et de + e θ, θ ] ; + [, montrer que leurs mages sont 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Unté graphque cm Sot f l applcaton qu à tout pont M du plan d affxe non nulle assoce le pont M d affxe telle que 4 ' =, où désgne le nombre complexe conjugué de Détermner l ensemble des ponts nvarants par f Détermner l ensemble des ponts dont l mage par l applcaton f est le pont J d affxe Sot α un nombre complexe non nul Démontrer que le pont d affxe α admet un antécédent unque par f, dont on précsera l affxe OMOM, ' Interpréter géométrquement ce résultat 4 a Donner une mesure de l angle ( ) b Exprmer ' en foncton de S r désgne un réel strctement postf, en dédure l mage par f du cercle de centre O et de rayon r c Chosr un pont P du plan complexe non stué sur les axes de coordonnées et tel que OP =, et construre géométrquement son mage P par f 5 On consdère le cercle C, de centre J et de rayon Montrer que l mage par f de tout pont de C, dstnct de O, appartent à la drote D d équaton x = 59 Inverson 4, se 06/008 4 ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra pour le dessn : u =4cm Termnale S 9 F Laroche

30 M est un pont d affxe non nul On désgne par M le pont d affxe telle que conjugué du nombre complexe Quelques proprétés Sot un nombre complexe non nul ' = où désgne le Détermner une relaton entre les modules de et pus une relaton entre les arguments de et Démontrer que les ponts O, M et M sont algnés + = Démontrer que pour tout nombre complexe non nul on a l égalté : ' ( ) B Constructon de l mage d un pont On désgne par et B les deux ponts d affxes respectves et On note (C) l ensemble des ponts M du plan dont l affxe vérfe : = Quelle est la nature de l ensemble (C)? Sot M un pont de (C) d affxe, dstnct du pont O a Démontrer que ' + = ' Interpréter géométrquement cette égalté b Est-l vra que s vérfe l égalté : ' + = ', alors vérfe l égalté : =? Tracer l ensemble (C) sur une fgure S M est un pont de (C), décrre et réalser la constructon du pont M 60 Homographe, m du Nord 00 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) d'unté graphque cm On réalsera une fgure que l'on complétera tout au long de l'exercce On consdère les ponts d'affxe, B d'affxe et D d'affïxe On appelle E le pont tel que le trangle DE sot équlatéral drect Sot f l applcaton qu à tout pont M d affxe ( ) assoce le pont M d'affxe défne par ' = + Démontrer que le pont E a pour affxe + ( + ) Exprmer sous forme algébrque l affxe du pont D assocé au pont D par l'applcaton f a Démontrer que, pour tout nombre complexe dfférent de, ( ' + )( ) = b En dédure que pour tout pont M d'affxe ( ): BM' M u, BM' = u, M + k où k est un enter relatf = et ( ) ( ) 4 a Démontrer que les ponts D et E appartennent au cercle (C) de centre et de rayon b En utlsant les résultats de la queston b, placer le pont E assocé au pont E par l'applcaton f On lassera apparents les trats de constructon 5 Quelle est la nature du trangle BD E? 6 Homographe, France 009, 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On désgne par, B et J les ponts d affxes respectves, et On désgne par la médatrce du segment [B] et par C le cercle de centre O et de rayon À tout pont M d affxe dstncte de, on assoce le pont M d affxe telle que appelé mage du pont M ( + ) ' = M est + Termnale S 0 F Laroche

31 Calculer les affxes des ponts et O Sur une feulle de paper mllmétré, fare une fgure qu sera complétée tout au long de l exercce (unté graphque 4 cm) ( + ) Montrer que l équaton = admet deux solutons que l on précsera On note E et F les ponts + qu ont pour affxes respectves ces solutons Justfer que les ponts E et F appartennent au cercle C et les placer sur la fgure 4 Sot M un pont dstnct du pont B et M son mage a Exprmer la dstance OM en foncton des dstances M et BM b Montrer que s le pont M décrt la drote, alors le pont M décrt un cercle que l on précsera 5 Dans cette queston, toute trace de recherche même ncomplète, ou d ntatve même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton Montrer que s le pont M décrt la drote (B) prvée du pont B, alors le pont M appartent à une drote que l on précsera 6 Homographe, Polynése sept ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On pose a =, b = 5 et c = 5+ On désgne par, B et C les ponts d affxes respectves a, b et c Sot M un pont d affxe du plan, dstnct des ponts et B a Montrer que BC est un trangle rectangle socèle b Donner une nterprétaton géométrque de l argument du nombre complexe c Détermner alors l ensemble des ponts M d affxe tels que négatf Sot Γ le cercle crconscrt au trangle BC et Ω le pont d affxe a Donner l écrture complexe de la rotaton r de centre Ω et d angle 5+ sot un nombre réel strctement 5+ b Détermner l mage Γ de Γ par la rotaton r Détermner une équaton paramétrque de Γ 6 Homographe+ROC, se ponts Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque : cm) On rappelle que pour tout vecteur w non nul, d affxe, on a : = w et arg = ( u, w) à k près Parte : resttuton organsée de connassances Prérequs : On sat que s et sont deux nombres complexes non nuls, alors : ( ) Soent et deux nombres complexes non nuls Démontrer que : arg = arg arg Parte B arg = arg + arg On note et B les ponts d affxes respectves et On note f l applcaton qu, à tout pont M du plan, + d affxe, dstnct de, assoce le pont M d affxe telle que : = + Étude de quelques cas partculers a Démontrer que f admet deux ponts nvarants J et K appartenant au cercle de damètre [B] Placer ces ponts sur le dessn b On note C le pont d affxe c = + Démontrer que le pont C, mage de C par f, appartent à l axe des abscsses Termnale S F Laroche

32 Pour tout pont M du plan dstnct de et B, démontrer que arg ( M, MB) Étude de deux ensembles de ponts Termnale S F Laroche = + à k près a Détermner l ensemble des ponts M d affxe tels que sot un nombre complexe magnare pur b Sot M d affxe un pont du cerce de damètre [B] prvé des ponts et B À quel ensemble appartent le pont M? 64 Homographe Dans le plan complexe P, mun d'un repère orthonormal drect ( O; u, v), on consdère les ponts, B, C et D d'affxes respectves : =, B = 4, C = 4 +, D = a Placer les ponts, B, C et D sur une fgure, qu sera peu à peu complétée On prendra pour unté graphque cm b Précser la nature du trangle BC On désgne par F l'applcaton qu, à tout pont M de P, d'affxe et dstnct de, assoce le pont M (4+ ) d'affxe ' = + a Détermner les mages de B et C par F b Détermner l'ensemble E des ponts d'affxe tels que ' = Construre E a Montrer que, pour tout nombre complexe dstnct de, on a : ( ) ( + ) = 4 4 b En dédure que s M est sur un cercle de centre et de rayon r, M est sur un cercle dont on précsera le centre et le rayon c De même montrer que s M est sur une drote passant par, alors M est sur une drote passant par D Varante orgnelle a Montrer que, pour tout nombre complexe dstnct de, on a : ( )( + ) = 4 4 b Montrer que, pour tout pont M, dstnct de, et dont l'mage par F est notée M, on a : M' D DM' M = 4 5 ( u, DM' ) + ( u, M) = (mod ) 4 65 Homographe Sot un plan P rapporté à un repère orthonormal drect ( O ; u, v) On note le pont d'affxe et B celu d'affxe M le pont d'affxe et M' le pont d'affxe ' Sot f l'applcaton du plan complexe défne par : Sot un complexe dfférent de f( ) = ' = + a On désgne par r et θ le module et un argument de Interpréter géométrquement r et θ b Montrer que (' + )( ) = c On désgne par r' et θ le module et un argument de ' + Interpréter géométrquement r' et θ Sot (C) le cercle de centre et de rayon Montrer que s M appartent à (C), son mage M' par f appartent à un cercle (C') de centre B dont on donnera le rayon Sot T le pont d'affxe + + a Calculer l'affxe de T ; en dédure que T appartent au cercle (C) u, T Tracer le cercle (unté cm) et placer T b Détermner une mesure en radans de l'angle ( )

33 c En utlsant les questons précédentes, construre l'mage T' de T par f 66 Homographe, N Calédone 996 tout complexe dfférent de on assoce le complexe Calculer f( + ) Détermner le complexe tel que f( ) = + Termnale S F Laroche 4+ f( ) = + On appelle x et y la parte réelle et la parte magnare de Détermner en foncton de x et y la parte réelle X et la parte magnare Y de f( ) 4 Dans le plan complexe, on appelle le pont d affxe, B le pont d affxe et M le pont M d affxe Montrer que f( ) = MB Donner une nterprétaton de arg( f( )) à l ade de l angle ( MB, M) 67 Homographe 4, mérque du Sud 00 Dans le plan complexe, rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) on appelle et B les ponts d affxes respectves et À tout pont M d affxe, dfférent de, on assoce le pont N d affxe et 4 M d affxe tel que ' = Calculer et ' lorsque = 5 pus lorsque = + a Interpréter géométrquement et b Montrer que, pour tout dstnct de, ' = En dédure une nformaton sur la poston de M Détermner l ensemble E des ponts M d affxe ( ) tels que M = B 4 On note Z et Z M les affxes respectves des vecteurs M et BM Montrer que, pour tout pont M BM Z M dstnct de et n appartenant pas E, le quotent est un nombre réel Interpréter géométrquement Z ce résultat BM 5 Un pont M dstnct de, n appartenant pas E, étant donné, proposer une méthode géométrque pour construre le pont M On llustrera par une fgure 68 Homographe 5, Centres étrangers 00 5 ponts Dans le plan complexe (P)mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) d unté graphque 4 cm, on consdère le pont d affxe a = et l applcaton f, du plan (P) dans lu même, qu au pont M d affxe, dstnct de, assoce le pont M = f(m) d affxe tel que : ' = + Détermner l affxe des ponts M tels que M = M Démontrer que pour tout pont M dstnct de et de O, on a : OM OM' = et M ( u; OM' ) = ( M; MO) + à près a Sot B le pont d affxe [O] b= + Placer dans le repère le pont B et lamédatrce ( ) du segment b Calculer sous forme algébrque l affxe b du pont B mage du pont B par f Établr que B appartent au cercle (C) de centre O et de rayon Placer le pont B et tracer le cercle (C) dans le repère

34 c En utlsant la queston, démontrer que, s un pont M appartent à la médatrce ( ), son mage M par f appartent au cercle (C) d Sot C le pont tel que le trangle OC sot équlatéral drect En s adant des résultats de la queston, construre, à la règle et au compas, l mage du pont C par f (on lassera apparents les trats de constructon) 4 Dans cette queston, on se propose de détermner, par deux méthodes dfférentes, l ensemble (Γ) des ponts M dstncts de et de O dont l mage M par f appartent à l axe des abscsses Les questons a et b peuvent être tratées de façon ndépendante a On pose = x+ y avec x et y réels tels que (x, y) (, 0) et (x, y) (0, 0) Démontrer que la parte magnare de est égale à : Im ( ' ) Termnale S 4 F Laroche = x + y + x ( x ) + + y En dédure la nature et les éléments caractérstques de l ensemble (Γ) et le tracer dans le repère b À l ade de la queston, retrouver géométrquement la nature de l ensemble (Γ) 69 Homog+constructon, France et La Réunon 09/008 5 ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) On réalsera une fgure en prenant cm comme unté graphque sur chaque axe On consdère les ponts, B et I d'affxes respectves =, B = 5 et I = + On note (C) le cercle de centre O et de rayon, ( ) la médatrce de [B] et (T) la tangente au cercle (C) en À tout pont M d'affxe, dfférent de, on assoce le pont M d'affxe telle que : Le pont M est appelé l'mage de M Parte 5 ' = Détermner sous forme algébrque l'affxe du pont I mage de I Vérfer que I appartent à (C) MB a Justfer que pour tout pont M dstnct de et B, on a : OM' = M O; OM' = M; MB b Justfer que pour tout pont M dstnct de et B, on a : ( ) ( ) Parte B Dans cette parte, toute trace de recherche, même ncomplète, sera prse en compte dans l'évaluaton Dans la sute de l'exercce, M désgne un pont quelconque de ( ) On cherche à construre géométrquement son mage M Démontrer que M appartent à (C) On note (d) la drote symétrque de la drote (M) par rapport à la tangente (T) (d) recoupe (C) en N a Justfer que les trangles MB et ON sont socèles près avor justfé que ( O; N ) = ( M; B), démontrer que ( O; ON ) = ( M; MB) b En dédure une constructon de M 70 Homographe+cercles, France 00-5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) d unté graphque 4 cm On note et B les ponts d affxes respectves et À tout pont M, dstnct de et d affxe, est assocé le pont M ( )( ) d affxe Z défne par : Z= a Calculer l affxe du pont C assocé au pont C d affxe

35 b Placer les ponts, B et C Sot = x +y où x et y désgnent deux nombres réels a Montrer l égalté : Termnale S 5 F Laroche ( x ) ( y ) x y ( ) ( ) + + Z= x + y x + y b Détermner l ensemble E des ponts M d affxe telle que Z sot réel c Détermner l ensemble F des ponts M d affxe telle que Re(Z) sot négatf ou nul a Écrre le nombre complexe ( ) sous forme trgonométrque b Sot M un pont d affxe, dstnct de et de B Montrer que Z est un réel non nul s et seulement s l exste un enter relatf k tel que ( M, MB) = + k 4 c En dédure l ensemble des ponts M vérfant ( M, MB) = + k 4 d Détermner l ensemble des ponts M vérfant ( M, MB) = + k 4 7 Homographe, La Réunon ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) ; désgne le nombre complexe de module et d argument Soent les ponts, B et C d affxes respectves, + et + Sot f l applcaton qu, à tout pont M du plan dfférent de, d affxe, assoce le pont M du plan d affxe + tel que : ' = a Détermner les mages de B et de C par l applcaton f b Montrer que, pour tout nombre complexe dfférent de, on a la relaton ( )( ) ' = c Sot D le pont d affxe + Placer les ponts, B, C et D sur une fgure (unté graphque 4 cm) Dédure de la queston précédente une constructon du pont D mage du pont D par l applcaton f Sot R un nombre réel strctement postf Quelle est l mage par l applcaton f du cercle de centre et de rayon R? a Montrer que, s l affxe du pont M est un magnare pur dfférent de, alors l affxe du pont M est un magnare pur Que sgnfe ce résultat pour l mage par l applcaton f de l axe magnare prvé du pont? b Sot la drote passant par le pont et de vecteur drecteur u Détermner l mage de la drote prvée du pont par l applcaton f 7 Carré Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O;, j), on consdère le pont M d'affxe M =+m (où m est un nombre réel) et le carré MNPQ de centre O et tel que N sot l'mage de M par la rotaton de centre O et d'angle de mesure a Détermner, en foncton de m les affxes N, P, Q des ponts N, P et Q b Représenter le carré MNPQ dans le cas partculer où le pont M a pour affxe + M étant le pont d'affxe M = + m, on note I le mleu du segment [MN] et J le mleu du segment [NP] d'affxes respectves I et J Calculer le nombre complexe w = Donner l'nterprétaton géométrque du module et de l'argument de w et explquer le résultat obtenu par un rasonnement géométrque M Q I J

36 Sot le pont d'affxe a Calculer l'affxe Z du vecteur I Calculer le module de Z, pus, en dstnguant les cas m < et m >, détermner un argument de Z b En dédure l'ensemble décrt par le pont I quand M décrt la drote D d'équaton x = Représenter 7 ROC+trangles, ntlles-guyane 5 ponts Le plan est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) d unté cm Resttuton organsée de connassances On rappelle que le pont M est l mage du pont M par la rotaton r de centre Ω et d angle de mesure α s Ω M' =ΩM () et seulement s : ( Ω M, Ω M' ) = α + k, k Z () a Soent, et ω les affxes respectves des ponts M, M et Ω Tradure les relatons () et () en termes de modules et d arguments b En dédure l expresson de en foncton de, α et ω Résoudre dans l ensemble C des nombres complexes l équaton : On donnera les solutons sous forme algébrque Soent et B les ponts d affxes respectves a= et b= + a Écrre a et b sous forme exponentelle b Fare une fgure et placer les ponts et B c Montrer que OB est un trangle équlatéral = 0 4 Sot C le pont d affxe c= 8 et D son mage par la rotaton de centre O et d angle Placer les ponts C et D Montrer que l affxe du pont D est d = Montrer que D est l mage du pont B par une homothéte de centre O dont on détermnera le rapport 6 Montrer que OD est un trangle rectangle 74 Rotaton et sute, La Réunon sept 00, 5 pts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) Unté graphque : 4 centmètres On consdère la transformaton f du plan qu, à tout pont M d affxe, assoce le pont M d affxe telle = + que ' ( ) Montrer que la transformaton f est une rotaton dont on détermnera le centre et l angle On défnt la sute de ponts (M n ) de la façon suvante : M 0 est le pont d affxe 0 = et, pour tout nombre enter naturel n, Mn+ = f ( Mn ) On note n l affxe du pont M n a Justfer que, pour tout nombre enter naturel n, b Construre les ponts M 0, M, M, M et M 4 n n 4 = e c Montrer que pour tout nombre enter naturel n, les ponts M n et M n+8 sont confondus Dans cette queston, toute trace de recherche même ncomplète, ou d ntatve même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton Prouver que les trangles M 0 M M et M 7 M 0 M ont la même are Précser la valeur exacte de cette are 75 Rotaton, France, sept 00, 5 pts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) Termnale S 6 F Laroche

37 On consdère le pont I d affxe et le pont d affxe = + a Montrer que le pont appartent au cercle Γ de centre le pont I et de rayon Sur une fgure (unté graphque cm), qu on complètera au fur et à mesure de l exercce, placer le pont I, tracer le cercle Γ, pus construre le pont b On consdère la rotaton r de centre le pont I et d angle Démontrer que le pont B mage du pont par la rotaton r a pour affxe B ( ) le pont B appartent au cercle Γ c Calculer l affxe du pont C symétrque du pont par rapport au pont I d Quelle est la nature du trangle BC? Justfer = + + Justfer que Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton On consdère les ponts E et F tels que : E= IB et F = BI Que peut-on conjecturer pour les drotes (BF) et (CE)? Valder cette conjecture à l ade d une démonstraton 76 Rotaton, se ponts Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) On place, dans ce repère, les ponts d affxe, B d affxe b où b est un nombre complexe dont la parte magnare est strctement postve On construt à l extéreur du trangle OB, les carrés drects ODC et OBEF comme ndqué sur la fgure c-contre Détermner les affxes c et d des ponts C et D On note r la rotaton de centre O et d angle F G v E O u B a Détermner l écrture complexe de r b En dédure que l affxe f du pont F est b c Détermner l affxe e du pont E On appelle G le pont tel que le quadrlatère OFGD sot un parallélogramme Démontrer que l affxe g du pont G est égale à (b ) D C 4 Démontrer que e g = c g et en dédure que le trangle EGC est rectangle et socèle 77 Rotatons, m du Nord ponts Le plan complexe est mun d un repère orthonormal ( O; u, v) drect Termnale S 7 F Laroche

38 Sot le pont d affxe a= + et B le pont d affxe ( ) b= + + Parte : étude d un cas partculer On consdère la rotaton r de centre O et d angle B On note C le pont d affxe c mage du pont par la rotaton r et D le pont d affxe d mage du pont B par la rotaton r La fgure est donnée c-contre C j O a a Exprmer sous forme algébrque b a b En dédure que OB est un trangle rectangle socèle en Démontrer que c = On admet que d = a Montrer que la drote (C) a pour équaton y= ( x+ ) b Démontrer que le mleu du segment [BD] appartent à la drote (C) Parte B : étude du cas général Sot θ un réel appartenant à l ntervalle ] 0; [ On consdère la rotaton de centre O et d angle θ On note le pont d affxe a, mage du pont par la rotaton r, et B le pont d affxe b, mage du pont B par la rotaton r La fgure est donnée c-contre L objectf est de démontrer que la drote ( ) coupe le segment [BB ] en son mleu Exprmer a en foncton de a et θ et b en foncton de b et θ Sot P le pont d affxe p mleu de [ ] et Q le pont d affxe q mleu de [BB ] a Exprmer p en foncton de a et θ pus q en foncton de b et θ B' D ' B j O b Démontrer que p a = q p b a c En dédure que la drote (OP) est perpendculare à la drote (PQ) d Démontrer que le pont Q appartent à la drote ( ) 78 Rotaton+Cercle, Pondcherry ponts Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra pour unté graphque cm Sot, B et C les ponts d affxes respectves : a =, b = et c = a Placer ces ponts sur une fgure que l on complètera au fur et à mesure Termnale S 8 F Laroche

39 b Quelle est la nature du trangle BC? c Démontrer que les ponts et B appartennent à un même cercle Γ de centre O, dont on calculera le rayon Sot M un pont quelconque du plan d affxe notée m et N le pont d affxe notée n, mage de dans la rotaton r de centre M et d angle de mesure a Donner l écrture complexe de la rotaton r b En dédure une expresson de n en foncton de m On appelle Q le mleu du segment [N] et q son affxe Montrer que 4 Dans cette queston, M est un pont du cercle Γ a Justfer l exstence d un réel θ tel que : m= 0 b Calculer q Quel est le leu Γ ' de Q lorsque M décrt le cercle Γ? 79 ROC + Smltude, Polynése 009, 5 ponts Parte : Resttuton organsée de connassances e θ ( ) m q= + + Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect On supposera connus les résultats suvants : Pour tous ponts, B et C du plan d affxes respectves a, b et c, avec C et B : b a B b a = et arg = ( B, C ) + k où k est un enter relatf ; c a C c a Sot un nombre complexe et sot θ un nombre réel : = e θ s et seulement s = et ( ) arg = θ + k où k est un enter relatf Démontrer que la rotaton r d angle θ et de centre Ω d affxe ω est la transformaton du plan qu à tout θ pont M d affxe assoce le pont M d affxe telle que : ' ω e ( ω ) = Parte B Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque : cm) Sot f l applcaton qu, à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe telle que : ' = a Détermner l affxe ω du pont Ω telle que ( ) f ω = ω b Montrer que, pour tout nombre complexe on a : ' 4 ( 4) c En dédure la nature et les éléments caractérstques de f = On note et B les ponts d affxes respectves a = 4 et b = a Placer les ponts, B et Ω sur une fgure que l on completera au fur et à mesure des questons b Détermner les affxes des ponts et B mages respectves des ponts et B par f On appelle m, n, p et q les affxes des ponts M, N, P et Q, mleux respectfs des segments [ ], [ B], [BB ] et [B ] a Détermner m On admettra que n = +7, p = + et q = b Démontrer que MNPQ est un parallélogramme c Détermner la forme algébrque du nombre complexe MNPQ 4 Démontrer que les drotes (B ) et (Ω N) sont perpendculares q m En dédure la nature du quadrlatère n m 80 Homothéte+rotaton, Polynése, nov 00, 5 pts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v),(unté : cm) Termnale S 9 F Laroche

40 On fera une fgure que l on complétera au fur et àmesure des questons On consdère les ponts, B, S et Ω d affxes respectves a = + 4, b = 4 +, s = et Ω = + Sot h l homothéte de centre S et de rapport On appelle C l mage du pont par h et D l mage du pont B par h a Détermner l écrture complexe de h b Démontrer que le pont C a pour affxe c = 4 + et que le pont D a pour affxe d = 4 Démontrer que les ponts, B, C et D sont sur un même cercle dont on précsera le centre et le rayon Démontrer que la drote (SΩ) est la médatrce du segment [B] 4 Sot P le mleu du segment [C] a Détermner l affxe p du pont P ω p b Démontrer que = d b En dédure une mesure de l angle ( BD, PΩ) 5 Sot Q le mleu du segment [BD] Que représente le pont Ω pour le trangle PQS? 8 Rotaton et homothéte Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé drect ( O; u, v) ayant comme unté graphque cm a Résoudre dans C l équaton : + 4= 0 b On pose a= + et b=, exprmer a et b sous forme exponentelle c Placer (a) et B(b) dans le repère précédent a Sot r la rotaton de centre O et d angle Donner l expresson complexe de r, pus détermner l mage de par cette rotaton (On exprmera a sous forme algébrque et exponentelle) Placer dans le repère précédent b Sot h l homothéte de centre O et de rapport Donner l expresson complexe de h, pus détermner l mage B de B par cette homothéte (On exprmera b' sous forme algébrque et exponentelle) Placer B dans le repère précédent 8 Homothétes On consdère deux cercles (C) et (C ) de centres respectfs O et O et de rayons respectfs r et r, tangents extéreurement en, de damètres respectfs [B] et [ ] Sot M un pont quelconque de (C), dstnct de et B, et M le pont de (C ) tel que le trangle MM sot rectangle en (on prendra pour la fgure r = cm) a Détermner en justfant les réponses : - le rapport de l homothéte h de centre qu transforme (C) en (C ) - le centre I de l homothéte h, dstncte de h qu transforme (C) en (C ) Placer I sur la fgure b On note M = h (M) Montrer que M est le pont de (C ) damétralement opposé à M Détermner h (M) et en dédure que la drote (MM ) passe par un pont fxe lorsque M décrt le cercle (C) prvé des ponts et B Sot Ω le mleu de [MM ] Montrer que Ω appartent à un cercle fxe dont on donnera le centre et le rayon On consdère le repère orthonormé drect du plan complexe consttué par O et les vecteurs O et OC (orthogonal à O, et de longueur, on consdère donc que r = ) Sot M d affxe un pont de (C) On a donc θ θ = e, [0, ] a Calculer en foncton de les affxes des ponts M pus M En dédure l affxe de I Termnale S 40 F Laroche

41 b Vérfer que θ θ θ e + e + e = e e e θ θ θ 8 Rotaton-translaton pour tout θ Montrer que l angle ( M, M') est drot Dans le plan orenté, on consdère un trangle BC tel que B = C et ( B, C ) = ( ) Soent I, J et K les mleux respectfs de [BC],[C] et [B] On appelle R la rotaton de centre I et d angle, T la translaton de vecteur BC et on pose f = R o T et g = T o R J B I Détermner l mage de K par f et l mage de J par g Précser la nature et les éléments caractérstques de f et g Détermner la nature de la transformaton g o f Chercher l mage de par cette transformaton et caractérser alors g o f Sot M un pont du plan, M l mage de M par f et M l mage de M par g Détermner g o f (M ) Quelle est la nature du quadrlatère CM M? 4 On chost le repère ( ; B, C ) Détermner les affxes des ponts I, J et K Donner l expresson complexe de f et celle de g Détermner les affxes de C et MM Conclure 84 Rotatons, Pars 996 Dans le plan orenté on consdère un trangle socèle BC tel que B = C et ( B, C ) tel que le trangle CI sot rectangle socèle avec ( C, CI ) Termnale S 4 F Laroche = O Pour la fgure que l on complétera au fur et à mesure de l exercce, on prendra B = 5 cm K = Sot I le pont 4 On appelle r la rotaton de centre qu transforme B en C et r C la rotaton de centre C et d angle On pose f = rc r a Détermner les mages par f de et B b Démontrer que f est une rotaton dont on précsera l angle et le centre O Placer O c Quelle est la nature du quadrlatère CBO? Sot s la smltude de centre O qu transforme en C On appelle C l mage de C par s, H le mleu du segment [BC] et H son mage par s a Donner une mesure de l angle de s Montrer que C appartent à (O) b Donner l mage par s du segment [O] et montrer que H est le mleu de [OB] c Montrer que (C H ) est perpendculare à (OB) En dédure que C est le centre du cercle crconscrt au trangle OCB 85 Vargnon, N Calédone ponts Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) B, D = α[ ] CD, CB = β[ ], 0< α <, 0< β < On consdère le quadrlatère BCD tel que ( ), ( ) On construt les trangles équlatéraux DCP, DQ, BM et BCN tels que ( DC, DP ) = [ ], ( D, DQ) = [ ] B, BM =, ( ) [ ], ( BC, BN ) = [ ]

42 Sot a, b, c et d les affxes respectves des ponts, B, C et D, m, n, p et q les affxes respectves des ponts M, N, P et Q Démontrer les relatons suvantes : Termnale S 4 F Laroche = ( a b) + b, n= e ( c b) + b, p= e ( c d) + d, q e ( ) m e En utlsant les relatons précédentes : a Démontrer que MNPQ est un parallélogrammme b Démontrer que l on a : ( C, QP ) = [ ], C = QP, ( NP, BD) = [ ] = a d + d et NP = BD Démontrer que MNPQ est un carré s, et seulement s, les dagonales [C] et [BD] du quadrlatère BCD vérfent C = BD et ( C, BD) = [ ] 6 86 ème degré+hyperbole, m Nord pts Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) On veut résoudre dans C l équaton (E) : = 0 a Détermner deux réels a et b tels que l équaton (E) s écrve : ( )( + a + b) = 0 b Résoudre (E) On note (H) l ensemble des ponts M du plan complexe d affxe vérfant : 4= 4 a On note x et y les partes réelle et magnare de l affxe d un pont M Montrer que : M appartent à (H) s et seulement s x y = 4 b Soent, B et C les ponts d affxes respectves, 5, + 5 Vérfer que, B et C appartennent à (H) Sot r la rotaton de centre O et d angle 4 a Détermner les affxes de, B et C, mages respectves de, B et C par la rotaton r (on donnera ces affxes sous la forme algébrque) b On note M l mage par r du pont M d affxe On note l affxe de M Les partes réelle et magnare de sont notées x et y, celles de sont notées x et y On note (H ) l ensemble des ponts du plan dont l antécédent par r est un pont de (H) - Exprmer x et y en foncton de x et y - En utlsant la queston a prouver que : M appartent à (H ) s et seulement s x y = 4 Fare une fgure sur laquelle on placera les ponts, B, C,, B, C, la courbe (H ), pus la courbe (H) 87 Conjugué, Centres étrangers pts Le plan est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v), unté graphque : cm On appelle le pont d affxe À tout pont M du plan d affxe, on assoce le pont M d affxe ' = + On consdère le pont B d affxe b = Détermner la forme algébrque des affxes a et b des ponts et B assocés respectvement aux ponts et B Placer ces ponts sur le dessn Montrer que s M appartent à la drote ( ) d équaton y = alors M appartent auss à ( ) Démontrer que pour tout pont M d affxe, ' + = + ; nterpréter géométrquement cette égalté 4 Pour tout pont M dstnct de on appelle θ un argument de + u; M a Justfer que θ est une mesure de l angle ( ) b Démontrer que ( )( ' ) + + est un réel négatf ou nul

43 c En dédure un argument de + en foncton de θ d Que peut-on en dédure pour les dem-drotes [M) et [M )? 5 En utlsant les résultats précédents, proposer une constructon géométrque du pont M assocé au pont M 88 ROC+homographe, La Réunon 00, 5 pts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) Parte I : Resttuton organsée de connassances Soent, B et C tros ponts du plan d affxes respectves a, b, c On suppose que et B sont dstncts, ans u; B = arg b a mod que et C On rappelle que ( ) ( )[ ] c a = b a Montrer que ( B; C) arg [ mod ] Parte II On consdère le pont d affxe + On assoce, à tout pont M du plan d affxe non nulle, le pont M d affxe Le pont M est appelé le pont mage du pont M ' = a Détermner, sous forme algébrque, l affxe du pont B, mage du pont B d affxe b Montrer que, pour tout pont M du plan d affxe non nulle, l affxe du pont M est telle que ' Détermner l ensemble des ponts M du plan d affxe non nulle pour lesquels l affxe du pont M est telle que ' = Quel est l ensemble des ponts M du plan d affxe non nulle pour lesquels l affxe du pont M est un nombre réel? 89 Transf + ROC, Pondcherry 007, 5 pts Dans cette queston l est demandé au canddat d exposer des connassances Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v) Sot R la rotaton du plan de centre Ω, d affxe ω et d angle de mesure θ L mage par R d un pont du plan est donc défne de la manère suvante : - R( Ω ) = Ω ; - pour tout pont M du plan, dstnct de Ω, l mage M de M est défne par Ω M' =Ω M et M Ω, Ω M ' = θ ( ) [ ] On rappelle que pour des ponts et B d affxes respectves a et b, B= b a et u, B = arg b a ( ) ( )[ ] Queston : montrer que les affxes et d un pont quelconque M du plan et de son mage M par la θ rotaton R sont lées par la relaton ' ω e ( ω ) = On consdère les ponts I et B d affxes respectves = + et = + Sot R la rotaton de centre B et d angle de mesure a Donner l écrture complexe de R b Sot l mage de I par R Calculer l affxe de c Montrer que O, et B sont sur un même cercle de centre I En dédure que OB est un trangle rectangle O, OB en Donner une mesure de l angle ( ) I B Termnale S 4 F Laroche

44 d En dédure une mesure de l angle ( u, O) Sot T la translaton de vecteur IO a Calculer l affxe ' de b Quelle est la nature du quadrlatère OI? c Montrer que est un argument de ' On pose ' T( ) = 90 Transf+médatrce, C étrangers pts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v), unté graphque 8 cm On appelle le pont d affxe et B le pont d affxe On appelle E l ensemble des ponts du plan dstncts de, O et B À tout pont M d affxe appartenant à E, on assoce le pont N d affxe Prouver que les ponts M, N et P sont deux à deux dstncts et le pont P d affxe On se propose dans cette queston de détermner l ensemble C des ponts M appartenant à E tels que le trangle MNP sot rectangle en P a En utlsant le théorème de Pythagore, démontrer que MNP est rectangle en P s et seulement s b Démontrer que c En dédure l ensemble C cherché + + = + + = équvaut à + + = 4 Sot M un pont de E et son affxe, on désgne par r le module de et α l argument de avec α ; + ] ] a Démontrer que l ensemble F des ponts M de E tels que l affxe de P sot un réel strctement postf est la réunon de tros dem-drotes (éventuellement prvées de ponts) b Représenter les ensembles C et F dans le repère ( O; u, v) c Détermner les affxes des ponts M de E tels que le trangle MNP sot rectangle en P, l affxe de P étant un réel strctement postf 9 Foncton complexe, France 009, 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque : cm) On assoce à tout pont M d affxe non nulle, le pont M mleu du segment [MM ] où M est le pont d affxe Le pont M est appelé l mage du pont M a Montrer que les dstances OM et OM vérfent la relaton OM OM u; OM u; OM = u; OM à près = et que les angles ( u; OM ) et ( ) vérfent l égalté des mesures suvante ( ) ( ) b Le pont appartent au cercle de centre O et de rayon Construre le pont mage du pont (On lassera apparents les trats de constructon) a Justfer que pour tout nombre complexe non nul, le pont M a pour affxe ' = + b Soent B et C les ponts d affxes respectves et Calculer les affxes des ponts B et C mages respectves des ponts B et C c Placer les ponts B, C, B et C sur la fgure Détermner l ensemble des ponts M tels que M =M Termnale S 44 F Laroche

45 4 Dans cette queston, toute trace de recherche même ncomplète, ou d ntatve même non fructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton Montrer que s le pont M appartent au cercle de centre O et de rayon alors son mage M appartent au segment [KL] où K et L sont les ponts d affxes respectves et 9 Transf non lnéare, Lban pts Le plan complexe est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) On consdère l applcaton f qu à tout pont M d affxe non nulle assoce le pont M = f(m) d affxe tel que : ' = ( ) Le cercle C, de centre O et de rayon, est représenté sur la fgure, donnée en annexe, que l on complétera au fur et à mesure des questons Pour complexe non nul, on note r e α Montrer que ' ( ) = re α =, r étant lemodule de et α un argument de Détermner l affxe a du pont, mage par f du pont d affxe a = Sot B le pont d affxe b = + a Écrre b sous forme exponentelle b Détermner l affxe b du pont B, mage du pont B par f 4 Placer, B, et B sur la fgure 5 a Détermner l ensemble E des ponts M du plan prvé du pont O dont l mage par f est O b Représenter E sur la fgure 6 Montrer que le cercle C est l ensemble des ponts M du plan dstncts de O tels que f(m) =M 7 Pour cette queston, M est un pont du plan, dstnct de O, n appartenant pas au cercle C On appelle I le mleu du segment [MM ] où M est l mage de M par f a Montrer que I appartent à C b Montrer que I appartent à la dem-drote [OM) c Sur la fgure donnée est placé un pont nommé M Construre le pont M, mage par f du pont M Termnale S 45 F Laroche

46 y M j O x x 9 Transformaton, ntlles ponts Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal drect ( O; u, v), le pont a pour affxe On nomme f l applcaton qu, à tout pont M d affxe avec assoce le pont M d affxe telle que : ' = Le but de l exercce est de construre géométrquement le pont M connassant le pont M Un exemple : on consdère le pont K d affxe + a Placer le pont K b Détermner l affxe du pont K mage de K par f c Placer le pont K Des ponts pour lesquels le problème ne se pose pas a On consdère le pont L d affxe Détermner son mage L par f Que remarque t-on? b Un pont est dt nvarant par f s l est confondu avec son mage Démontrer qu l exste deux ponts nvarants par f dont on détermnera les affxes Un procédé de constructon On nomme G l sobarycentre des ponts, M, M et g l affxe de G a Vérfer l égalté g = ( ) b En dédure que : s M est un pont du cercle de centre de rayon r, alors G est un pont du cercle de centre O de rayon r c Démontrer que arg ( g) ( u; M) = Termnale S 46 F Laroche

47 d Marquer un pont D sur le cercle de centre et de rayon On nomme D l mage de D par f Dédure des questons précédentes la constructon du pont D et la réalser sur la fgure Sur la fgure c-dessous le segment [OI] tel que u= OI est partagé en sx segments d égale longueur v O u I 94 Foncton carré, Lban 009, 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque : cm) On consdère les ponts, B et C d affxes respectves : Parte Écrre les nombres complexes et B sous forme exponentelle Placer les ponts, B et C Démontrer que le trangle BC est équlatéral Parte B = +, B = et C = Sot f l applcaton qu, à tout pont M d affxe du plan, assoce le pont M d affxe On note O,, B et C les ponts respectvement assocés par f aux ponts O,, B et C a Détermner la forme exponentelle des affxes des ponts, B et C b Placer les ponts, B et C c Démontrer l algnement des ponts O, et B ans que celu des ponts O, B et ' = d Sot G l sobarycentre des ponts O,, B et C On note G le pont assocé à G par f Détermner les affxes des ponts G et G Le pont G est-l l sobarycentre des ponts O,, B et C? Termnale S 47 F Laroche

48 Démontrer que s M appartent à la drote (B) alors M appartent à la parabole d équaton y= x + (On ne demande pas de tracer cette parabole) 4 95 f()=²+, N Calédone 00-5 pts On se place dans le plan complexe mun d un repère orthonormal ( O; u, v) On consdère la transformaton ponctuelle f qu, à tout pont M d affxe assoce le pont M d affxe défne par : = + Détermner les antécédents du pont O Exste-t-l des ponts nvarants par f? S ou, précser leurs affxes respectves Montrer que deux ponts symétrques par rapport à O ont la même mage Que peut-on dre des mages de deux ponts symétrques par rapport à l axe des abscsses? = + Détermner l affxe du pont mage de par f pus prouver que les ponts O, et sont algnés 4 Sot le pont d affxe ( ) 5 Sot θ un nombre réel appartenant à l ntervalle [0 ; [ et N le pont d affxe a Montrer que N appartent au cercle (Γ) de centre O et de rayon b Lorsque θ vare, montrer que N, mage du pont N par f reste sur un cercle dont on précsera le centre et le rayon ON = cosθ ON En dédure que les ponts O, N et N sont algnés c Vérfer que ( ) d Explquer la constructon du pont N 96 f()=², Polynése pts Le plan est mun d un repère orthonormal drect ( O; u, v) On prendra cm pour unté graphque Pour tout pont M d affxe on consdère les ponts M et M d affxes respectves ' = et a Détermner les ponts M pour lesquels M'' = M b Détermner les ponts M pour lesquels M'' = M' e θ '' = Montrer qu l exste exactement deux ponts M et M dont les mages M, M, M, M appartennent à l axe des ordonnées Montrer que leurs affxes sont conjuguées On pose = x+ y où x et y sont des nombres réels a Exprmer sous forme algébrque le nombre complexe '' ' b En dédure l ensemble E des ponts M du plan pour lesquels les ponts M, M et M sont algnés Représenter E graphquement et en couleur 4 On pose = e θ où θ 0; a Détermner l ensemble Γ des ponts M d affxe ans défns et chacun des ensembles Γ et Γ des ponts M et M assocés à M b Représenter Γ, Γ et Γ sur la fgure précédente c Dans cette queston θ = Placer le pont M obtenu pour cette valeur de θ, et les ponts M, M 6 assocés Montrer que le trangle M M M est rectangle Est-l socèle? Termnale S 48 F Laroche

49 97 Napoléon, ntlles pts Dans le plan orenté mun d un repère orthonormal drect, on consdère BC un trangle drect sur lequel on construt extéreurement tros trangles équlatéraux BC, CB et BC On consdère respectvement les ponts P, Q et R, centres de gravté respectfs des trangles BC, CB et BC On note a, b, c, a, b, c, p, q et r les affxes respectves des ponts, B, C,, B, C, P, Q et R a Tradure, avec les affxes des ponts concernés, que C est l mage de dans une rotaton d angle de mesure dont on précsera le centre b Montrer que a + b + c = a + b + c En dédure que p + q + r = a + b + c En dédure que les trangles BC, B C et PQR ont même centre de gravté 4 Montrer que : (q p) = (b c)+(c a )+(a b) On admettra que, de même : (r p) = (a c) + (b a ) + (c b) 5 Justfer les égaltés suvantes : a c e ( b' c ) ; b a' e ( c a' ) ; c' b e ( a b) 6 Dédure des questons 4 et 5 que le trangle PQR est équlatéral B' = = = 98 f()=² 4+6, Polynése 004 Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) On désgne par et B les ponts d affxes respectves et On fera un dessn (unté graphque : cm) qu sera complété selon les ndcatons de l énoncé On désgne par f l applcaton du plan qu, à tout pont M d affxe, assoce le pont M d affxe défn par l égalté : ' = 4+ 6 Cette transformaton admet-elle des ponts nvarants? a Détermner le(s) pont(s) admettant l orgne O comme transformé b On désgne par M et M les ponts d affxes respectves : = + et = Détermner la forme algébrque du complexe, donner son argument et en dédure la nature du trangle OBM c Démontrer, sans nouveau calcul, que les ponts O, B, M et M appartennent à un même cercle (C) que l on précsera et construra Placer les ponts M et M a Vérfer que pour tout pont M du plan d affxe on a : Q ' = ( ) b On désgne par ( Γ) le cercle de centre et de rayon Justfer que les ponts M du cercle ( Γ ) sont caractérsés par une affxe vérfant : = + e θ, où θ désgne un réel de l ntervalle ] ; ] c Montrer, à l ade des deux questons précédentes, que s M appartent au cercle ( Γ ), alors l affxe de M vérfe : ' e θ = + d En dédure que M est stué sur un cercle ( Γ ') dont on précsera le centre et le rayon Construre Γ ' e Détermner l angle orenté ( u ; M') en foncton de ( u; M) P C' C R B ' 4 pplcaton : On appelle D le pont d affxe + 6 d = + ; D est son mage par f Termnale S 49 F Laroche

50 a Ecrre sous forme exponentelle le complexe d En dédure que D est stué sur le cercle ( Γ ) b l ade de la queston d donner une mesure de l angle ( u; D') et placer le pont D sur le dessn c Démontrer que le trangle OD est équlatéral 99 Projecton orthogonale, m du Sud 00 Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque 4 cm) Sot I le pont d affxe On note (C) le cercle de damètre [OI] et on nomme son centre Ω Parte I : On pose a0 = + et on note 0 son mage Montrer que le pont 0 appartent au cercle C Sot B le pont d affxe b, avec b = +, et B le pont d affxe b telle que b = a 0 b a Calculer b b Démontrer que le trangle OBB est rectangle en B Parte II : Sot a un nombre complexe non nul et dfférent de, et son mage dans le plan complexe À tout pont M d affxe non nulle, on assoce le pont M d affxe telle que = a On se propose de détermner l ensemble des ponts tels que le trangle OMM sot rectangle en M a Interpréter géométrquement arg a a a b Montrer que ( M' O, M' M) = arg + k, k a Z c En dédure que le trangle OMM est rectangle en M s et seulement s appartent au cercle C prvé de O et de I Dans cette queston, M est un pont de l axe des abscsses, dfférent de O On note x son affxe On chost a de manère que sot un pont de C dfférent de I et de O Montrer que le pont M appartent à la drote (O) En dédure que M est le projeté orthogonal de M sur cette drote 00 f(m)=mmb, ntlles 00 Dans le plan complexe rapport au repère orthonormal ( O; u, v) consdère les ponts et B d affxes respectves = + et centre O et de rayon Donner la forme trgonométrque de et celle de B Dans la sute de l exercce, M désgne un pont de (C ) d affxe B drect, (unté graphque : 5 cm), on = + On désgne par (C ) le cercle de e α, α [ 0; ] On consdère l applcaton f qu tout pont M de (C ), assoce f( M) = M MB a Montrer, pour tout α R, l égalté suvante : b Montrer l égalté suvante : c En dédure l égalté suvante : α e α = e α f( M) = e + e f( M) = + snα 4 + a En utlsant c, montrer qu l exste deux ponts M de (C), dont on donnera les coordonnées, pour lesquels f(m) est mnmal Donner cette valeur mnmale b En utlsant c, montrer qu l exste un seul pont M de (C ), dont on donnera les coordonnées, pour lequel f (M) est maxmal Donner cette valeur maxmale α Termnale S 50 F Laroche

51 0 Hyperbole+rotaton, Polynése 09/005-7 pts Le plan est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) (unté graphque : cm) Parte Dans le repère ( O; u, v), on consdère la courbe H d équaton y x = 6 Montrer que H est la réunon de deux courbes C et C où C est la courbe représentatve de la foncton f défne sur R par précsera f( x) = x + 6 et où C est l mage de C par une transformaton smple que l on Étuder la foncton f (lmtes aux bornes de l ensemble de défnton et sens de varaton) a Montrer que la drote d équaton y = x est une asymptote de C b Tracer H dans le repère ( O; u, v) On nomme et B les ponts de la courbe H d abscsses respectves et On consdère le domane D du plan consttué des ponts M(x ; y) vérfant x et exprmer l are de D à l ade d une ntégrale que l on ne cherchera pas à calculer Parte B On appelle r la rotaton de centre O et d angle 4 x + 6 y 5 Hachurer le domane D et a Donner l écrture complexe de r b On désgne par x et y les coordonnées du pont M, mage par r du pont M(x ; y) du plan x' = ( x+ y) Vérfer que Détermner les coordonnées des ponts et B, mages respectves de et B y' = ( x y) par la rotaton r Placer les ponts et B dans le repère ( O; u, v) Sot H l hyperbole d équaton xy = 8 a Tracer H dans le repère ( O; u, v) b Montrer que H est l mage de H par la rotaton r Sot D l mage de D par la rotaton r On admet que D est l ensemble des ponts M(x ; y) du plan vérfant x 4 et 8 y 5 x x a Hachurer D b Calculer l are de D exprmée en cm En dédure une valeur approchée à 0 près de l are de D 0 Conque Dans le plan complexe, on consdère l ensemble E des ponts M d affxe tels que a Détermner et construre E ( + ) = ( ) b Détermner et construre l ensemble F des ponts M tels que [ ( + )][ ( )] = 8 c Vérfer qu l exste un pont de E F où les deux courbes ont même tangente 0 Sprale Dans cet exercce on essae de calculer la longueur d une porton de sprale La fgure jonte au sujet sera complétée au fur et à mesure des besons et rendue avec la cope On consdère le plan complexe rapporté à un repère orthonormé ( O;, j) de sorte que le pont at pour affxe Termnale S 5 F Laroche

52 a Donner sous forme algébrque et sous forme exponentelle l affxe du pont B du cercle de centre O, de rayon, tel que ( O, OB) = ( ) 4 b Calculer la dstance B à 0 près En consdérant que l arc B du cercle trgonométrque a une longueur de, donner alors une valeur approchée de à l ade de la dstance B 4 c Placer sur la fgure le pont M, mage de par la rotaton R de centre O et d angle 8, placer de même les ponts M k tels que M = R( M ) avec k 5 Que peut-on dre de M 6? k+ k 4 e + d On appelle l affxe de M ; montrer que = et vérfer que = + Calculer alors la dstance M à 0 près et donner une nouvelle valeur approchée de On construt mantenant les ponts N k de la manère suvante : N 0 = et pour tout k, k 5, ONk+ = ONk et N k appartent au segment [OM k ] 4 a Placer sur la fgure les pont N k, k 6 Que peut-on dre de N 6? Quelle est la nature de la sute d = ON? Exprmer sous forme trgonométrque l affxe Z k des ponts N k k k b Justfer que les trangles NkON k + sont tous semblables Quelle est la nature de la sute Dk = NkN k +? Donner son expresson en foncton de k et de D 0 ; exprmer en foncton de k et D 0 la somme Sn = D0 + D + + Dn où n est un enter quelconque c Donner une valeur approchée à 0 près de la longueur D0 = N0N, en dédure une valeur approchée à 0 près de la longueur de la lgne polygonale N0NN N5N 6 Quelle est la lmte de S n lorsque n tend vers l nfn? Quelle sgnfcaton concrète a cette lmte? B O Fgure à compléter 04 Courbe paramétrée+conque (prog 985) Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O ;u,v ), unté graphque : cm Étude d'une courbe paramétrée (C) Termnale S 5 F Laroche

53 On consdère la courbe (C) défne paramétrquement par : a Étuder conjontement les varatons sur R des fonctons f et g t x = f( t) = + t t y = g( t) = + t t R b Précser les ponts de (C) où la tangente est parallèle à l'un des axes de coordonnées c Précser les ponts d'ntersecton de (C) avec chacun des axes Ox et Oy Donner un vecteur drecteur des tangentes aux ponts obtenus Dessner (C) On se propose de démontrer que la courbe (C) est une parabole, en étudant son mage par une transformaton partculère du plan a Le plan est assmlé au plan complexe On consdère l'applcaton R qu, à tout pont M du plan d'affxe ( + ), assoce le pont M' d'affxe : ' = Quelle est la nature de R? Détermner ses éléments géométrques b Calculer en foncton de t l'affxe de M' lorsque M est le pont d'affxe : f(t) + g(t) En dédure l'expresson en foncton de t des coordonnées x' et y' du pont M c Écrre une équaton cartésenne de la courbe (C') mage par R de la courbe (C) Représenter (C') sur la même fgure que (C) Pourquo peut-on affrmer que (C) est une parabole? 05 Hyperbole et complexes Le plan complexe est mun d'un repère orthonormal drect ( O ; u, v) On désgne par M, N, P tros ponts dstncts de ce plan d'affxes respectves m, n, p p n Démontrer que le trangle MNP est rectangle en N s et seulement s le complexe est un réel non m n nul Dans cette queston, M, N, P sont d'affxes respectves,, 4 a Quelles condtons dot vérfer pour que M, N, P soent dstncts deux à deux? b Démontrer que l'ensemble des ponts M d'affxe = x + y du plan tels que le trangle MNP sot rectangle en N est une conque Γ d'équaton x+ y =, prvée de deux ponts que l'on précsera 4 Précser la nature de Γ et détermner ses éléments géométrques (sommets, foyers, excentrcté, asymptotes) 4 Représenter Γ et mettre en place sur la fgure les sommets, les foyers et les asymptotes de Γ 06 Bssectrce (recherche) Sot a et b deux nombres réels, on consdère les nombres complexes et ' de module et d'arguments respectfs a et b ( + ') Montrer, en utlsant la forme exponentelle de et ', que ' En dédure que arg [ + '] = (arg [] + arg [']) est un réel postf ou nul On appelle M et M' les mages de et ' dans le plan mun d'un repère orthonormé drect de centre O et N le pont tel que OMNM' sot un parallélogramme Interpréter géométrquement l'égalté précédente à l'ade de ces ponts 07 Brapport Quelques défntons : - On dra qu une applcaton f est nvolutve s et seulement s f o f = Id Termnale S 5 F Laroche

54 - Quatre ponts, B, C et D sont cocyclques s et seulement s ls appartennent au même cercle Γ - On montre que quatre ponts, B, C et D sont cocyclques s et seulement s ( C, D) = ( BC, BD) [ ] (attenton, ce sont des angles de drotes ) On désgne par P le plan complexe, par Ω le pont d affxe et P =P {Ω} M un pont quelconque de P a pour affxe Pour tout réel non nul m, on désgne par f m l applcaton de P dans P telle que m fm : M( ) M ( )/ = + On suppose m donné Montrer que f m est nvolutve Détermner l ensemble des ponts nvarants par f m Démontrer que pour tout pont M de P, les ponts Ω, M et M sont algnés et que Ω M Ω M = m (produt scalare) Sot m et λ deux réels non nuls Pour tout pont M de P, on désgne par M le pont f m (M) et par M le pont f ( M') Montrer que M est l mage de M par une transformaton que l on précsera Quelle est la λ nature de cette transformaton? Le nombre m est toujours supposé fxé Sot, B, C, D quatre ponts dstncts de P, d affxes respectves a, b, c et d On appelle brapport de ces quatre ponts, noté (, B, C, D), le nombre complexe ( c a )( d b ) ( c b)( d a) a Démontrer que (, B, C, D) = (C, D,, B) b Démontrer que (, B, C, D) est un nombre réel s et seulement s les ponts, B, C et D sont algnés ou cocyclques c On désgne par, B, C, D les mages respectves des ponts, B, C et D par f m Montrer que (, B, C, D) et (, B, C, D ) sont conjugués 4 Dédure de la queston précédente que, quels que soent les ponts M et N appartenant à P, les ponts M, N, M et N sont algnés ou cocyclques 5 On désgne par une drote ou un cercle du plan P et par son ntersecton avec P Démontrer que l mage de par f m est l ntersecton d une drote ou d un cercle avec P 08 Trangles équlatéraux, m du Sud 99 Dans la fgure c-contre, BC et DEF sont deux trangles équlatéraux drect, BDEG et CDFH sont des parallélogrammes Le but de l exercce est de prouver que le trangle GH est équlatéral On appelle a, b, c, d, e, f, g, h les affxes des ponts, B, C, D, E, F, G, H Premère méthode : a Démontrer que c a= e ( b a) b Exprmer (f d) en foncton de (e d) a En dédure l expresson de g et h en foncton b, c, d, e, f b Montrer que h a e ( g a) Deuxème méthode : =, conclure On appelle R la rotaton de centre D, d angle, t la translaton de vecteur BD, t la translaton de vecteur DC Donner l expresson complexe de R, t, t H C F D B E G Termnale S 54 F Laroche

55 On appelle T la transformaton T = t R t a Donner l expresson complexe de T, en dédure la nature de T b Détermner T( B ) et le centre de T Détermner enfn ( ) Termnale S 55 F Laroche T G et conclure 09 Somme de dstances, se 00, 5 ponts Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O; u, v) L unté graphque est cm On note le nombre complexe demodule et d argument On consdère les ponts, B, C et P d affxes respectves : a =, b=, c= + et p = 0 PRTIE : Étude de la confguraton Constructon de la fgure a Placer les ponts et P dans le repère b Détermner les modules des nombres complexes b et c c Utlser les cercles de centre O et de rayons respectfs 4 et 6 pour construre les ponts B et C Démontrer que le trangle BCP est équlatéral On note r la rotaton de centre et d angle a Vérfer que l mage Q du pont C par r a pour affxe : q= 4+ 4 b Vérfer l égalté : q = b Que peut-on en dédure pour les ponts B, O et Q? 4 Sot R le symétrque de C par rapport à O a Démontrer que les drotes (P), (BQ) et (CR) sont concourantes en O b Établr que : P = BQ = CR PRTIE B On note f l applcaton qu, à tout pont M du plan, assoce le réel f(m) défn par : f(m) = M+MB+MC Calculer f(o) Soent M un pont quelconque et N son mage par la rotaton r Démontrer que : M =MN pus que MC = NQ Dans cette queston, toute trace de recherche, même ncomplète, ou d ntatve, même nfructueuse, sera prse en compte dans l évaluaton En utlsant l négalté trangulare, démontrer que pour tout pont M du plan, f ( M) 0 Produt de dstances, C étrangers 99 Dans le plan complexe, on consdère les ponts, B, C, D d affxes respectves,,, Montrer que le pont M d affxe le nombre complexe et seulement s rcosθ = ou r = 0 Montrer que le produt P = M MB MC MD est égal à = re θ est sur le cercle de centre B et de rayon s 4 P = En dédure une condton (portant sur r et θ ) pour que P sot égal à 4 Détermner les ponts M de l axe des réels tels que P est égal à 5 Détermner les ponts M du cercle de centre O, de rayon tels que P est égal à Logarthme complexe, EFREI 00 On note * C l'ensemble des nombres complexes prvé du nombre complexe nul Tout nombre complexe non nul peut s'écrre de façon unque = r(cosθ + sn θ) lorsqu'on suppose que θ vérfe les négaltés θ < et que r>0

56 Dans cet exercce, on étude l'applcaton F de C * dans C qu assoce à tout nombre complexe non nul = r(cosθ + sn θ) le nombre complexe Z= lnr+ θ On propose de transformer au moyen de F des régons de * C Détermner les mages par F des dem-cercles de centre O, tracés dans * C de rayon R et dont les extrémtés sont placées sur l'axe des magnares aux ponts d'affxes R et R Détermner de même les mages des segments de drote portés par des dem-drotes d'orgne O et dont aucune des extrémtés n'est stuée en O On défnt la régon D lmtée par les dem-drotes (( ) et ( ) ( Ox, ) θ = où on suppose que arcs de cercles ( Γ a) et ( b d'orgne O telles que ( Ox, ) = θ et θ et θ appartennent à ; et vérfent θ > θ et par les deux Γ ) de centre O et de rayons a et b entèrement stués dans le secteur lmté par les deux dem-drotes précédentes Dessner cette régon qu est donc un «secteur de couronne crculare» Défnr l'mage de la frontère de cette régon qu est donc consttuée de deux arcs de cercles et de deux segments Montrer que l'ntéreur de cette régon D est transformé par F en l'ntéreur d'un rectangle que l'on défnra précsément à l'ade des angles θ et θ et des réels a et b Détermner les condtons lant θ et θ d'une part et a et b d'autre part pour que ce rectangle sot centré en O On pose alors θ = θ et R = a Trouver la relaton entre θ et R pour que ce rectangle devenne un carré de centre O 4 Sot le cercle C qu passe par O et qu est centré au pont d'affxe En utlsant son équaton cartésenne, trouver la relaton fournssant r en foncton de θ pour qu'un pont d'affxe = r(cosθ + sn θ) appartenne à ce cercle On suppose θ ; L'mage par F d'un pont quelconque de C étant défn par son affxe X + Y, détermner X en foncton de Y Étuder les varatons de X en foncton de Y et, en prenant garde à l'échange des coordonnées, dessner la courbe mage de C par F Défnr l'mage par F de la régon D' ntéreure à ce cercle et comprse entre deux arcs de cercle de rayon R et R 5 Sot la parabole (P) d'équaton y = x Détermner la relaton entre θ et r pour qu'un pont d'affxe = r(cosθ + sn θ) appartenne à cette courbe Sot alors la régon D" comprse dans l'ntéreur de cette parabole et entre deux cercles de rayons R et R L'mage d'un pont x + y de la porton de parabole (P) comprse entre les deux arcs de cercle précédents étant désgnée par X + Y, exprmer X en foncton de Y Étuder les varatons de X en foncton de Y et en dédure l'mage de cette porton de la parabole (P) Sans prétendre à la précson, dessner l'allure de l'mage de la régon D" Termnale S 56 F Laroche