( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Terminales S Exercices sur les nombres complexes Page 1 sur 6. Exercice 1 :

Transcription

1 Termnales S Exercces sur les nombres complexes Page sur 6 Exercce : ) Calculer, et ) En dédure, et ) Détermner les enters n pour lesquels n est a) un réel, b) est un magnare pur, c) égal à Exercce : Ecrre sous forme algébrque chacun des nombres complexes suvants : ( ) ( ) ( 5 )( 7 ) ( )( ) ( 5 ) z = + + z = + z = + z = + Exercce : Calculer ( + ) En dédure que ( ) + est réel Exercce : Ecrre sous forme algébrque chacun des nombres complexes suvants : 8 5 z = z = + z = z = + z5 = Exercce 5 : Pour quelles valeurs du paramètre réel λ, le nombre complexe z = ( λ + ) ( λ + 5 ( λ 7) ) est l un magnare pur? Exercce 6 : Quelles condtons dovent vérfer les réels a et b pour que le nombre complexe z = a b a + b a a + b sot un nombre réel? ( ( ))( ( )) Exercce 7 : Résoudre dans, les équatons suvantes : z ( a) z = z + ( b) ( z )( z + + ) = 0 ( c) z( z + ) = z ( d ) = z + Exercce 8 : Résoudre dans, les systèmes suvants : z + z = 7 z z = z + z = z + z = 7 Exercce 9 : Résoudre dans, chacune des équatons suvantes : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a z z + 5 = 0 b z + z + 6 = 0 c 9z 6z + 7 = 0 d z + z + = 0 Exercce 0 : ) Résoudre l équaton ( E) z + z + = 0 On note j la soluton de (E) dont la parte magnare est postve ) Montrer que j = j = et que j ) Donner les valeurs de j = n j suvant les valeurs de l enter naturel n

2 Termnales S Exercces sur les nombres complexes Page sur 6 Exercce : On consdère l équaton ( E) z z + z = 0 ) Vérfer que est une soluton de (E) ) Montrer qu l exste des réels a, b et c tels que z z + z = ( z )( az + bz + c) ) Résoudre alors l équaton (E) dans Exercce : A chaque pont M d affxe z du plan complexe, on assoce le pont M d affxe z ' = ( z )( + z) Détermner l ensemble des ponts M pour lesquels M appartent à l axe magnare Exercce : A chaque pont M d affxe z du plan complexe, on assoce le pont M d affxe z ' = ( z )( z ) Détermner l ensemble des ponts M pour lesquels M appartent à l axe magnare Exercce Soent A, B, C et D les ponts d affxes respectves z A = 5 +, z B = 8 +, z C = et z D = Démontrer que ABCD est un parallélogramme : a) en comparant les affxes de deux vecteurs b) en comparant les affxes de deux mleux Exercce 5 Soent A, B et C les ponts d affxes respectves z A = +, z B = + et z C = 5 Démontrer que les ponts A, B, C sont algnés Exercce 6 : Détermner les modules des nombres complexes suvants : z = + z = z = 6 z = 5 + ( 6 )( 5 ) + z5 = z z6 = z7 = + Exercce 7 : ) Détermner géométrquement l ensemble des ponts M d affxe z du plan complexe vérfant : a) z = z b) z + = ) Donner, dans chaque cas, une équaton cartésenne de l ensemble trouvé Exercce 8 : A chaque pont M d affxe z du plan complexe, on assoce le pont M d affxe ) On note A le pont d affxe et B celu d affxe Interpréter géométrquement le module de z ' ) Détermner géométrquement l ensemble des ponts M tels que z ' = Donner une équaton cartésenne de cet ensemble z + z ' = + z

3 Termnales S Exercces sur les nombres complexes Page sur 6 Exercce 9 : BAC Pondchéry 00 Le plan est rapporté au repère orthonor rmal ( O, u, + z + 5 z l applcaton f qu à tout pont M d affxe z du plan assoce le pont M d affxe z avec z ' = 6 ) On consdère les ponts A, B, C d'affxes respectves z A = +, z B = et z C = Détermner les affxes des ponts A ', B ', C ' mages respectves de A, B, C par f Placer les ponts A, B, C, A ', B ', C ' dans le repère ) On pose z = x + y (avec x et y réels) ) Détermner la parte réelle et la parte magnare de z ' en foncton de x et y ) Montrer que l'ensemble des ponts M nvarants par f est la drote (D) d'équaton y = x Tracer (D) Quelle remarque peut-on fare? ) Sot M un pont quelconque du plan et M ' son mage par f Montrer que M ' appartent à la drote (D) z ' z z + z z z 5) a) Montrer que, z C, on a = + En dédure que le nombre z ' z est réel za 6 za b) En dédure que, s M' M, les drotes (OA) et (MM ') sont parallèles 6) Un pont quelconque N étant donné, comment construre son mage N '? On pourra étuder deux cas, suvant que N appartent ou non à (D) Effectuer la constructon sur la fgure Exercce 0 : (Extrat du BAC Antlles Jun 0) Le plan complexe est rapporté à un repè On prendra une unté graphque de cm On défnt ère orthonormal drect ( O, u, ( ) L unté graph hque est cm π On note le nombre complexe de module et d argument On appelle J le pont d affxe ) On consdère les ponts A, B, C, H d affxes respectves a =, b = +, c = et h = Placer ces ponts sur une fgure qu sera complétée au fur et à mesure de l exercce ) Montrer que J est le centre du cercle crconscrt au trangle ABC Précser le rayon du cercle ) Dans la sute de l exercce, on admet que H est l orthocentre du trangle ABC Placer H sur la fgure ) On note G le centre de gravté du trangle ABC Détermner l affxe g du pont G Placer G sur la fgure 5) Montrer que le centre de gravté, le centre du cercle crconscrt et l orthocentre du trangle ABC sont algnés A noter L orthocentre d un trangle est le pont de concours des hauteurs du trangle Le centre de gravté d un trangle est le ponts de concours des médanes du trangle Il est stué au ters nféreur de chacune d elle

4 Termnales S Exercces sur les nombres complexes Page sur 6 Exercce : BAC Amérque du nord 006 Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal drect ( O, u, les ponts A, B et C d'affxes respectves z =, z = + et z = A B C Parte A ) Donner la forme trgonométrque de z pus z Placer les ponts A, B et C ) Détermner la nature du quadrlatère OBAC ) Détermner et construre l'ensemble D des ponts M du plan tels que z = z Parte B A tout pont M d'affxe z tel que z z A, on assoce le pont M ' d'affxe z défn par ) Détermner l mage du pont B ) Détermner les ponts fxes de l applcaton ) a) ROC avec en pré requs : le module d'un nombre complexe z vérfe Démontrer que z, z C, z z = z z et z C, = z z b) Démontrer que pour tout nombre complexe z dstnct de, A B z ' = (unté graphque cm), on consdère z z z = z z z ' = z c) On suppose dans cette queston que M est un pont quelconque de D, où D est l'ensemble défn à la Exercce : queston ) de la parte A Démontrer que le pont M ' assocé à M appartent à un cercle Γ dont on précsera le centre et le rayon Tracer Γ On consdère le plan complexe ( O, u, de chacune des affxes des ponts A, B, C, D et E Par lecture graphque, détermner un argument Exercce : Détermner le module et un argument de chacun des nombres complexes suvants : z = + z = z = z = 6 z = 5 Exercce : Ecrre les nombres suvants sous forme exponentelle : z =, z =, z =, z = Exercce 5 : Ecrre les nombres suvants sous forme algébrque : e e e π e π π π = = = = z z z z Exercce 6 : Ecrre sous forme exponentelle les nombres complexes z = + et z = Ecrre ensute la forme exponentelle du produt z z

5 Termnales S Exercces sur les nombres complexes Page 5 sur 6 Exercce 7 : Ecrre les nombres suvants sous forme exponentelle : π π sn cos ( ) + z = + z = z = π π cos + sn Exercce 8 : On consdère les nombres complexes z = 6 et z = z ) Ecrre sous forme algébrque le quotent z z ) Ecrre sous forme exponentelle z, z et z π π ) En dédure les valeurs exactes de cos et sn Exercce 9 : Amérque du sud Novembre 007 Le plan complexe est mun d'un repère orthonormal drect ( O, u, Sot f l applcaton qu à tout pont M du plan d affxe non nulle assoce le pont M d affxe ) Sot E le pont du plan d affxe ze = z ' = z + z Détermner le pont d affxe E, mage de E par f ) Détermner l ensemble des ponts M tels que M = M ) On note A et B les ponts d affxes respectves et Sot M un pont dstnct des ponts O, A et B a) Montrer que, pour tout nombre complexe z dfférent de 0, et, on a : z ' + z + = z ' z b) Donner une expresson de M ' B M ' A en foncton de MB MA c) Donner une expresson de l angle orenté ( AM ', BM ') en foncton de ( AM, BM ) d) Sot la médatrce du segment [AB] Montrer que s M est un pont de dstnct de O, alors M est auss un pont de

6 Termnales S Exercces sur les nombres complexes Page 6 sur 6 Exercce 0 : Le plan complexe est mun d'un repère orthonormal drect ( O, u, On prendra pour unté graphque 5 cm + On pose z 0 = et, pour tout enter naturel n, zn+ = zn ) On note A n le pont du plan d'affxe z n Calculer z, z, z, z et vérfer que z est un nombre réel Placer les ponts A0, A, A, A, A sur une fgure ) n N, on pose un = zn Etablr que n N, u n = ) A partr de quel rang n 0 tous les ponts A n appartennent-ls au dsque de centre O et de rayon 0,? zn+ zn ) a) Etablr que, pour tout enter naturel n, = En dédure la nature du trangle OA n A n+ zn+ b) Pour tout enter naturel n, on note L n la longueur de la lgne brsée A 0 A A A n- A n On a ans : L n = A 0 A + A A + + A n- A n Exprmer L n en foncton de n Quelle est la lmte de la sute (L n )? n Exercce BAC Antlles Guyane Sept 0 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal drect ( O, u, L unté graphque est cm On note le nombre complexe de module et d argument π On complétera le graphque au fur et à mesure sur une feulle de paper mllmétré On consdère la foncton f qu à tout nombre complexe z assoce ( ) ) Calculer l mage de + f z = z + z + 9 ) Résoudre dans C l équaton f ( z ) = 5 Mettre les solutons sous forme exponentelle On note A et B les ponts dont les affxes sont les deux solutons La parte magnare de l affxe de A est postve Construre les ponts A et B ) Sot λ un nombre réel Détermner l ensemble des valeurs de λ pour lesquelles l équaton f ( z) = λ admet deux solutons complexes conjuguées ) Sot ( F ) l ensemble des ponts du plan complexe dont l affxe z vérfe f ( z) 8 = Prouver que ( F ) est le cercle de centre Ω d affxe et de rayon Construre ( F ) 5) Sot z C, z = x + y, x, y R a) Montrer que la forme algébrque de f ( z ) est x y + x ( xy + y) b) On note ( E ) l ensemble des ponts du plan complexe dont l affxe z est telle que f ( ) réel Montrer que ( ) Tracer les deux drotes z est un nombre E est la réunon de deux drotes D et D dont on précsera les équatons ) Détermner les ponts d ntersecton des ensembles ( E) et ( F )