Produit de Cauchy de la série alternée par elle-même.

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1 CCP 8. Filière MP. Mathématiques. Corrigé pour serveur UPS par JL. Lamard I. Gééralités. Pour > la série défiissat F coverge absolumet, pour < elle coverge par le critère spécial des séries alterées et efi pour elle diverge grossièremet. Le domaie de défiitio de F est doc ], + [. g (t = + ( t + pour t. Doc sur [, [ la suite (g coverge simplemet vers g : t et est + t + t domiée par la foctio costate égale à itégrable sur [, [. Le théorème de la covergece domiée permet doc d affirmer que g (tdt i.e. F( = l. + + t 3 Notos f ( = (. Pour il viet que f (. Aisi f ( coverge ormalemet sur 4 [, + [ et le théorème du double passage à la limite permet d affirmer (puisque lim f ( = pour que + lim F( =. + a E otat ϕ(t = lt t pour t > (avec > fié, il viet que ϕ (t = t ( lt t doc ϕ est décroissate ( l pour t e /. La suite est doc asymptotiquemet décroissate. b Pour prouver que F est de classe C sur ], + [ et e outre dérivable terme à terme, il suffit de prouver que : ( : les foctios f sot de classe C sur ], + [ ( : la série f (t coverge simplemet sur ], + [ (3 : la série f ( coverge localemet uiformémet sur ], +. Or ( est clair et ( a été établi e la questio. Par ailleurs f ( = ( l. Soit alors a >. ( l Pour a et e /a la suite décroît (vers par croissaces comparées compte-teu de la questio précédete. Doc la série f ( relève du théorème spécial pour a et e/a. Aisi : + f k ( f l( + + ( + ( + a = ε a e /a. Ce qui prouve que la série f ( coverge uiformémet sur [a, + [. doc (3 est bie satisfaite. Aisi F est de classe C sur ], + [ et F ( = + ( l = 5 Soit > fié. Comme les séries ( et F( = + = ( + + = F( ζ( = + = + et ζ( = ( + = coverget, o peut écrire : ( + ( + + = ( + doc : ( = ζ( soit F( = ( ζ( D où ζ( F( au voisiage de + doc lim ζ( =. + >. Produit de Cauchy de la série alterée par elle-même. 6 a Pour > la série défiissat F( coverge absolumet doc so produit de Cauchy par elle-même coverge absolumet vers F(. b Il viet c ( = p= ( p p ( p ( p = ( (. Or p( p p( p 4 Doc c ( ( 4 = a. Or a 4 e ted pas vers (pour fié et + si <. Doc das ce cas c ( diverge grossièremet. p= pour p. CCP-8-maths.TEX

2 7 a X( X = ( X + Doc c ( = ( p=. X p( p = ( p= ( p + = ( H p b E écrivat que H = H + il viet immédiatemet que H H + = H ( ( + et aisi la suite H est-elle décroissate. c Comme e outre H l ted vers, la série c ( coverge par critère spécial au séries alterées. O peut facilemet motrer qu elle coverge bie vers le produit des sommes i.e. (l. Cf aee à la fi. Calcul de la somme d ue série à l aide d ue étude de zeta au voisiage de. 8 a Comme F est de classe C sur ], + [, elle est e particulier dérivable e et admet doc e u développemet limité qui est le développemet de Youg : F( + h = l + F (h + o(h E otat g( = il viet g( + h = h = e l h (l = (l h h + o(h b Pour > o a (questio 5 ζ( = F(/g( et aisi pour h > : ζ( + h = (l h l + F (h + o(h l = h + o(h (l h + o( 9 ζ( + h = ( F h + ( l + l ( l + F (h + o(h a La foctio t t état décroissate sur [, +] (car > il viet ( + proposée valable pour tout >. ( + l h + o(h + doc t d où l iégalité b Il e découle que v k ( k= ( + pour tout et tout réel >. Aisi la série v ( coverge pour tout réel > e tat que série à termes positifs et à sommes partielles borées. E particulier + v ( = lim = + k= c Pour tout > o a v k ( = coverget et aisi + = k= ( v k ( = lim + k= k= + k v ( = ζ(. d Soit a > fié. Pour a il viet N k=+ v ( k l(+ ( ( = lim + k= k l l(+ = γ.. Si e outre > les deu termes du membre de droite t ( + (N + ( + ( + a. E faisat tedre N vers + (licite vu la covergece de la série il viet que + k=+ la covergece uiforme de la série v ( sur tout itervalle [a, + [ avec a >. + v ( a ce qui établit ( + e Pour fié, la foctio est cotiue sur ], + [ e tat qu itégrale propre à paramètre car t (t, t est cotiue sur [, + ] ], + [. Il e découle que v est cotiue sur ], + [. Par théorème de récupératio uiforme de la cotiuité, il viet alors que + v ( est cotiue sur ], + [ et e particulier e +. Doc + v ( + h = + v ( + o( = γ + o( et la questio c prouve alors que ζ( + h = h + γ + o( = = = CCP-8-maths.TEX page

3 De l uicité du développemet limité e + de la foctio ζ, o tire alors F ( l + l = γ. Or F ( = + ( l = e particulier e. Aisi + car o a démotré précédemmet que F était dérivable terme à terme sur ], + [ doc = ( l ( = l γ l. Calcul des F(k à l aide des ombres de Beroulli. Voir démostratio de l eistece et de l uicité de la suite des polyômes de Beroulli e aee. Il viet immédiatemet B = X et B = X X + 6 doc b = et b = 6. Pour o a B ( B ( = puisque B (tdt = car. 3O vérifie immédiatemet que la suite (C défiie par C (X = ( B ( X vérifie les coditios de la suite de Beroulli doc B (X = ( B ( X par uicité de la suite de Beroulli. 4 Comme g k est π périodique, il viet pour [ π, [ que g k ( = g k (π = B k ( π car 5 π [, π[. Compte-teu de la questio précédete o a doc g k ( = B k ( π = g k(. Comme g k est π périodique et que sa restrictio à [ π, π[ est paire, g k est paire. E outre g k est cotiue sur R car elle est périodique de période π, que sa restrictio à [, π[ est cotiue (foctio polyomiale et que lim g k( = lim B k(t = B k ( = B k ( = g k ( = g k (π (a priori pour k π t car alors k mais égalemet vrai pour k = car g = B =. E outre g k est clairemet de classe C par morceau. Il e découle que g k est égale à la somme de sa série de Fourier (de cosius et qu e outre cette série coverge ormalemet sur R. L eistece est aisi prouvée. Quat à l uicité (d ailleurs totalemet iutile pour la suite, elle dépasse le cadre du programme. a Il viet par chagemet de variable a (k = B k (tcos(πtdt (. Pour k (pour dérivatio de B k et (pour primitivatio de cos(πt il viet par parties : a (k = k B k (tsi(πtdt. π E réitégrat par parties e dérivat à ouveau B k (o a bie k o obtiet le résultat de l éocé. b Par ailleurs a ( = d après ( ci-dessus (car B = et B ( = B ( = doc a ( = (π. (k(k c Pour k o a a (k = (π a (k d après a car k 3 doc B k ( = B k (. Par ue itétartio claire, compte-teu de la valeur de a ( ci-dessus, o obtiet a (k = ( k (k! k (π k O costate que cette formule est ecore vraie pour k =. 6Pour k o a a (k = b k = B k ( = g k ( = + = B k (tdt = doc : a (k = ( k (k! k k k ζ(k soit ecore ζ(k = (π (k! ( k b k π k. 7 a Par ue récurrece immédaite il viet que B est de degré et la formule de Taylor pour les polyômes fourit B (X = B (k ( X k. Or par ue récurrece immédiate il viet que B (k = (...( k + B k doc k= k! B (X = C k b k X k k= CCP-8-maths.TEX page 3

4 b E particulier pour o a b = B ( = b + C k b k doc C k b k =. Aisi b = C k b k = k= k= C k b k La suite (b est doc défiie par b = et pour : b = + k= k= k= C k + b k. Algorithme : o commece par créer u tableau B de réels iitialemet rempli par des zéros qui cotiedra à la fi le tableau [b, b,..., b ] qui sera revoyé par l algorithme. Le calcul des b k se fait à l aide d ue boucle for. Chaque étape de cette boucle comporte elle-même ue boucle for pour le calcul de la somme. À oter l utilisatio de la variable biom pour éviter la répétitio de calculs déjà effectués. Programme Maple : ber := proc ( local B,b,biom,i,j: B := ; for i from to - do B := B, od: B := [B]: for i from to do b := : biom := : for j from to i- do biom := biom*(i+-j+/j: b := b+b[j]*biom od: B[i] := -b/(i+ od: B ed: ber(; [-/, /6,, -/3,, /4,, -/3,, 5/66,, -69/73,, 7/6,, -367/5,, 43867/798,, -746/33] Programme Caml L ideatio des tableau commeçat à, b k est codé das la case d idice k du tableau B. let ber = let B = make_vect. i for i = to do let b = ref. ad biom = ref i for j = to i- do biom := (!biom * (i+-j / j; b :=!b +. (B.(j- *. float_of_it!biom doe; B.(i- <- -.(!b /. float_of_it (i+ doe; B ;; ber : it -> float vect = <fu> Ce programme fourit b = et o vérifie bie avec Maple que : evalf(-746/33; Aee : + = c ( = (l. Pour ], [, la série etière + ( coverge absolumet vers l( + car so rayo de covergece = est. Doc par produit de Cauchy o a e particulier l ( + = + c ( pour [, [. Comme la série c ( coverge (questio 7 o peut evisager la foctio S défiie sur [, ] par : S( = + c (. = = CCP-8-maths.TEX page 4

5 Comme la suite ( c ( est alterée de valeur absolue décroissate vers (Cf questio 7, la série précédete relève du théorème spécial pour tout [, ]. Aisi so reste d ordre vérifie R ( c + ( + c + ( [, ] ce qui prouve la covergece uiforme de la série + c ( sur [, ]. Aisi S est ue foctio cotiue sur [, ] et e particulier e doc : + = = c ( = S( = lim S( = lim l ( + = (l. Aee : Eistece et uicité de la suite des polyômes de Beroulli Soit le prédicat P : Il eiste ue uique famille (B, B,..., B de polyômes telle que B = et pour k de à : B = B et B = P est vrai. Supposos P vrai. Soit (Q,..., Q + ue suite satisfaisat P +. Alors la suite (Q,..., Q satisfait P doc Q k = B k pour k. E outre Q + = ( + Q = ( + B détermie Q + à ue costate additive près et cette costate est détermiée par Q + =. D où l uicité de la suite (Q,..., Q + si elle eiste. Soit la suite (B, B,..., B, Q + avec Q + ( = λ = P + (tdt. Alors cette suite vérifie P +. Aisi P + est vrai et l eistece et l uicité de la suite (B est établie. ( + B (tdt + λ = P + ( + λ où λ est défii par FIN CCP-8-maths.TEX page 5