EO - EXERCICES SUR LE CALCUL DE LONGUEUR D ARCS DE COURBE

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1 EO - EXERCICES SUR LE CALCUL DE LONGUEUR D ARCS DE COURBE Exercice Longueur de l arc de spirale logarithmique défini par r = e t pour t a, puis limite quand a tend vers + Exercice Longueur de l astroïde définie par x = cos 3 t y = sin 3 t Exercice 3 Longueur de l arc de courbe d équation y = e x pour x Exercice 4 Longueur de l arc de courbe d équation y = x 3/ pour x 3 Exercice 5 Longueur de l arc de chainette d équation y = ch x pour x Exercice 6 Longueur de la cardioïde définie par r = ( cos t) Exercice 7 Longueur de la courbe définie par x = cos t cos(t) y = sin t sin(t) Exercice 8 Longueur du cercle d équation polaire r = cos t Exercice 9 Longueur de la courbe définie par r = sin t Exercice Longueur du segment de droite d équation polaire r = cos t pour t π/3 Exercice Longueur d une arche de la cycloïde définie par x = t sin t y = cos t Exercice Longueur de l arc de courbe d équation y = ln x pour 3 x 8 Exercice 3 Longueur de l arc de courbe d équation y = arcsin (e x ) pour x Exercice 4 Longueur de la première spire de la spirale d Archimède définie par r = t Exercice 5 Longueur de l arc de développante du cercle défini par x = cos t + t sin t y = sin t t cos t pour t π Exercice 6 Montrer que les deux arcs paramétrés définis par ont même longueur. r = asin(t) ( t π ) et { x = acos t y = asint ( t π )

2 EO Exercice 7 Longueur de l arc de parabole d équation y = x pour a x b Exercice 8 Longueur de l arc de spirale hyperbolique défini par r = t pour t Rappel des formules courbe paramétrée, pour t compris entre a et b (a<b) b a x (t) + y (t) dt. courbe d équation y = f(x), pour x compris entre a et b (a<b) b a + f (t) dt. courbe en coordonnées polaires, pour t compris entre a et b (a<b) b a r(t) + r (t) dt.

3 EO 3 Corrigé des exercices sur le calcul de longueur d arcs de courbe ) On a et par suite r (t) = e t, r(t) + r (t) = e t, a e t dt = ( e a ). Cette expression tend vers lorsque t tend vers +. ) La courbe est symétrique par rapport aux axes. On obtient un quart de cette courbe lorsque t varie de à π/. Par ailleurs x (t) = 3sin t cos t et y (t) = 3cos t sin t. Donc x (t) + y (t) = 9(sin t cos 4 t + sin 4 t cos t) = 9sin t cos t = 9 4 sin t. Alors Mais, sur [, π/ ], sint est positif, 6 π/ 4 π/ 3 sin t dt. [ cos t sin t dt = 6 ] π/ = 6. 3) On a Effectuons le changement de variable f (t) = e t. + e t dt. u = + e t.

4 EO 4 C est une fonction strictement croissante et continue, une bijection de [, ] sur [, + e ]. On obtient t = ln(u ), Alors dt = udu u. +e u du u. On décompose facilement la fraction rationnelle u u = + u = + ( u ). u + Donc [ u + ln u ] +e u + = + e + ln + e + e + ln + 4) On a 3 5) On a + 9t 4 dt = = + e + ln( + e ) ln( ). [ ( + 9t ) ] 3/ 3 = f (t) = 3 t, [ ( + 7 ) 3/ ( + 9 ) ] 3/ = f (t) = sht, + sh t dt = ch t dt = sh. [ ] 3. 6) La courbe est symétrique par rapport à l axe Ox. On obtient la moitié de cette courbe lorsque t varie de à π. Par ailleurs, r (t) = sin t, r(t) + r (t) = 4( cos t) + 4sin t = 8( cos t) = 6sin t.

5 EO 5 On en déduit Mais sin(t/) est positif sur [, π ], π 8 π 4 sin t dt. sin t [ dt = 6 cos t ] π = 6. 7) La courbe est symétrique par rapport à l axe Ox. On obtient la moitié de cette courbe lorsque t varie de à π. Par ailleurs, Donc x (t) = (sin(t) sin t) et y (t) = (cos t cos(t)). x (t) + y (t) = 4( sin t sin(t) cos t cos(t)) = 8( cos t). On obtient le même résultat que dans 6). 8) La courbe est un cercle. L équation cartésienne s obtient facilement x(t) + y(t) = r(t) = r(t)cos t = x(t). ou encore ( x ) + y = 4. C est un cercle de rayon /. Sa longueur vaut π. Si on veut obtenir ce résultat grâce à une intégrale, on remarquera que l on obtient tout le cercle lorsque t varie de π/ à π/. Par ailleurs r(t) + r (t) =, π/ π/ dt = π. 9) La courbe est symétrique par rapport à l axe Ox. Elle est constituée de deux cercles de rayon /. Donc π. ) La courbe est le morceau de la droite d équation cartésienne x =, limité par les points d ordonnées et tan π/3 = 3. Donc 3. Si on veut obtenir ce résultat grâce à une intégrale, on a r (t) = sin t cos t,

6 EO 6 Alors ) On a r(t) + r (t) = 4 cos t + 4sin t cos 4 t = 4 cos 4 t. π/3 dt [ cos t = tan t ] π/3 = 3. x (t) = cos t et y (t) = sin t, x (t) + y (t) = cos t = 4sin t. L arche est obtenue lorsque t varie de à π Donc Mais sin(t/) est positif sur [, π ], ) On a π π sin t dt. sin t dt = 4 [ cos t f (t) = t, ] π = t dt = t dt = t 8 + t t 3 tdt + t. En effectuant le changement de variable u = + t qui est une bijection de [ 3, 8] sur [, 3], on obtient 3 u du u.

7 EO 7 En utilisant la décomposition déjà obtenue dans l exercice 3, on trouve = 3 ( + ( u )) du u + [ u + (ln(u ) ln(u + )) ] 3 = + (ln ln 4 + ln 3) = + (ln 3 ln ). 3) On a f (t) = e t e t, d où On obtient Effectuons le changement de variable + f (t) = e t e t + = e t. dt e t. u = e t. C est une bijection de [, ] sur [, e ]. On obtient e t = u, soit et Alors d où e du u = e t = ln( u ), dt = udu u. ( + u + ) u du = [ ln + u ] e u ln + e e = ln e + e e e = ln(e + e ) = argch e., 4) On a r (t) =.

8 EO 8 La longueur de la première spire est obtenue lorsque t varie de à π. Donc π + t dt. Cherchons une primitive de + t en intégrant par parties. On a I(t) = + t dt = t + t = t + t + = t t dt + t dt + t ( + t )dt + t + t + argsh t I(t). On en déduit Donc 5) On a I(t) = (t + t + argsh t). I(π) I() = π + 4π + argsh(π). x (t) = t cos t et y (t) = t sin t, d où 6) Pour le premier arc, on a π t dt = π. r (t) = acos t. Il a pour longueur l = π/ a sin t + 4cos t dt. En effectuant le changement de variable u = t, on obtient l = a π sin u + 4cos udu. Comme la fonction intégrée, est paire et de période π, on a encore l = a π/ sin u + 4cos u du.

9 EO 9 Enfin, en effectuant le changement de variable t = π/ u, Pour le second arc, on a On a bien 7) On a l = a π/ cos t + 4sin t dt. x (t) = asin t et y (a) = acos t, l = π/ l = l = a a 4sin t + cos t dt. π/ + 3sin t dt. f (t) = t, b a + 4t dt. En effectuant le changement de variable u = t, on obtient b a + u du, et, en utilisant la primitive calculée dans l exercice 4, (I(b) I(a)) = 4 (b + 4b + argsh(b) a + 4a argsh(a)). 8) On a r (t) = t, Effectuons le changement de variable t + t 4 dt = u = + t + t t dt.

10 EO qui est une bijection de [, ] sur [ 5/, ]. On a u = t, soit et On en déduit 5/ t = dt = u, udu (u ) 3/. u u udu (u ) 3/ = 5/ u du u. En décomposant comme dans l exercice 3, on obtient 5/ ( + ( u )) du u + = [u + (ln(u ) ln(u + )) ] = ( 5 + ln = 5/ ) 5 ln ln( ) ln( 5 ).