Exercices sur les fonctions et les limites

Transcription

1 Pierre-Louis CAYREL Licence Introduction au Mathématiques Générales Université de Paris 8 Eercices sur les fonctions et les ites Fonctions Eercice Donner un eemple de fonction f définie sur I [0, ] telle que : f(i) ne soit pas un intervalle. f(i) soit un intervalle fermé borné. f(i) soit un intervalle ouvert borné. f(i) soit un intervalle non borné. Eercice Donner un eemple de deu fonctions f et g définies sur R telles que f o g g o f. Eercice 3. Montrer que : a, b R, ab (a + b).. Déterminer les domaines de définition des fonctions : que l on note D f et D g. ( ) + et g() ( )( ) + 3, 3. En utilisant, donner un encadrement des éléments de f(d f ). Faire de même pour g(d g ).. Montrer que g o f est bien définie sur D f. Qu en est-il pour f o g? Notion de ite Eercice. Ecrire la division euclidienne de ( ) par ( ).. On considère la fonction f : 3 +3sin() 3+6. Montrer que f est définie au voisinage sin() de et montrer, en utilisant les théorèmes sur les ites, que En revenant à la définition de la ite, montrer, à l aide d une majoration de 3, que la ite de f en eiste et vaut 3. Eercice 5 Soit f et g deu fonctions définies sur R + telles que : ( R +, g() > 0) et ( l R / + g() l).. Montrer que + 0 si et seulement si + g() 0.. Montrer que si l > 0, alors : + + si et seulement si + g() +.

2 3 Calculs de ites Eercice 6 Soient P et Q deu polynômes à coefficients réels de degrés respectifs n et m. Etudier, suivant les valeurs de n, m et de certains coefficients de P et Q, la ite de P () en Q() +. Eercice 7 Soit n Z. On rappelle les ites suivantes (à connaître) : 0 sin() et 0 cos() Lorsque les ites suivantes eistent, les déterminer :. a. + + b. c. n sin(π( E())) d. n ( E())( E()) e f ( g. ) h. ( ) + + i. ( + + ) j. 0 + sin( ) k. 0 sin() sin(3) l. π sin() cos() tan() m. sin(π) sin(3π) n. 0 sin() cos() o. 0 sin() sin() p. 0 tan() cos ()

3 Pierre-Louis CAYREL Licence Introduction au Mathématiques Générales Université de Paris 8 Eercices sur les fonctions et les ites Correction (), g() +, f g() ( + ), g +. Ces fonctions sont différentes, par eemple f g() n est pas égal à g f(). Correction 3. (a + b) ab a + b ab (a b) 0 donc (a + b) ab.. Pour que f soit définie, il faut ( ) ( ) Donc D f [0, ]. Pour que g soit définie, il faut ( )( ) 0, donc D g [, ]. 3. Si ab 0 alors par la question ) ab (a + b) a + b. De plus y 0 pour tout y 0. Donc +( ) + + et 3 g() ( )+( ) +3.. Par la question 3), f(d f ) [, ] D g, donc g f est définie sur D f. Par contre g(d g ) [3, ] et [3, ] D f donc le domaine de définition de f g est vide. Correction ( )( + 9).. sin sin donc si < alors est définie (autrement dit ], [ D f ). sin sin() 0 et sin sin() donc + 6 sin() + sin() par la question ). De plus si 3 alors sin() et sin() donc 3 ( )( + 9) sin() + 9. Soit ε > 0. Pour tout < min{ε/, }, 3 < ε sin() donc 3. Correction 5 (avec l > 0). g() signifie ε R+, M R +, M l g() < ε. Donc pour tout M, l ε < < l + ε. Comme g() > 0, (l ε)g() < < (l + ε)g(). g() Si l > 0 et ε < l/ on a l ε > l et l + ε < l d où l g() < < lg() et < < g() < <. l l+ε l ε l Si g() 0 alors α > 0, M, M g() < α. Si ε < l, α < ε et l > ma{m, M }, alors 0 < < lα < ε, donc 0. 3

4 Si 0 alors α > 0, M 3, M 3 < α. Si ε < l, α < lε et > ma{m, M 3 }, alors 0 < g() < α < ε, donc g() 0. l [Si l < 0 et ε < l/ alors on a lg() < < l g() et l donc on obtient de la même façon 0 l < l ε < g() < g() 0.]. Si g() + alors A R+, B R +, > B g() > A. Si ε < l, A > A l > ma{m, B} alors > l A > A donc +. l+ε < Si + alors A R+, B R +, > B > A. Si ε < l, A > la et > ma{m, B} alors g() > l l A > A donc g() +. Correction 6 On écrit P () a n n + a n n + + a 0 avec a n 0 et Q() m + m + +b 0 avec 0. On a : P () Q() a n m n + a n + + a 0 n. On obtient : b 0 m P () P () si n < m, 0, si n m, Q() Q() a n, si n > m, P () Q() + si an > 0 et si an < 0. Correction 7 a) + ( + )( ++) ++ ( ) D où et + 0. b). D où + +. c) sin(π( E())) sin(π( n)) 0 car E() n si n < n+ et n 0. n + n + sin(π( E())) sin(π( n + )) sin(π) 0 car E() n si n < n n n et n 0. Donc la ite eiste et vaut 0. d) n +( E())( E()) n +( n)( n) 0. n +( E())( E()) n +( (n ))( n + ) n(n ). Donc si n 0 ou n la ite eiste et vaut 0 et si n {0, } la ite n eiste pas. e) f) donc ( 3) ( 7)( + 7)( + 3) ( + 7)( +. Donc 3) 7 ( g) Soit y 3. Alors ( ) y + (y ) ( ) (y 3 ) (y 3 ) ( ) ( ) ( ) D où y + y + ( ) ( ) 9. h) D où + 0. i) ( + + ) + + (pour < 0). D où 3 9 y (y )(y + y + ) ( + + ). ) j) On a sin( ). Par le théorème des gendarmes, on a donc sin( )

5 k) sin() sin(3) sin() 3 sin(). D où sin(3) 3 0 sin(3) 3. sin() cos() cos()(sin() cos()) l) cos(). D où tan() cos() sin() π m) sin(y) sin(π y) sin(3π y), donc sin(π) sin(3π) sin(π π) sin(3π 3π) On a π( ) 0 donc par composition de ites : sin(π( )) sin(3π( )) et. D où π( ) 3π( ) sin n) cos sin cos. D où 0 sin. cos sin() sin() o) ( sin() sin() sin() sin() sin() sin() et p) tan() cos () sin() cos() (cos() )(cos() + ). sin(π) sin(3π) 3. ) sin(). On a sin() 0 sin() cos() tan() sin(π( )) π( ) +. La ite n eiste pas.. Donc 0. 3π( ) sin(3π( )) 3.. Donc tan() cos () ( ) 5